【国家百强校】2018-2019学年天津市第一中学高二上学期期末考试数学试题 PDF版
A. 9 5 2. 已知双曲线
B.4
C.
9 7 5
D. 16 5
y 2 x2 1 a 0, b 0 的一条渐近线过点( 3 ,2),且双曲线的一个焦点在抛 a 2 b2
1 4k (, 4] [4, ) k 1 1 当且仅当4k 4 即k = 时 k 2 故S ABCmax 2
S ABCmax 2
19. 解： (1)设动点 p(x，y)内|PM|+|PN|=6 可知点 P 是以 M、N 为焦点 故点 P 轨迹方程： (2)
x2 y2 1 2 y kx m y kx m (2)设直线 l 方程： 与 2 2 2 x 2 y 2 y 4x (2k 2 1) x 2 4kmx 2m2 2 0 由相切等价于 2 2 2 k x 2(km 2) x m 0 1 =16k 2m2 8(m2 1)(2k 2 1) 0 2 2 2 2 4(km 2) 4k m 0
11 11x ,则
a1+a2+…+a11=
B.-65 y2=4x
C.64
的焦点,过点 F 作两条互相垂直的直线 l1 与直线 l2,直线 l1 与抛物 C.14 D.16
线交于 A、B 两点,直线 l2 与抛物线交于 C、D 两点,则|AB|+|CD|的最小值为 B.12
x y 2 1 a 0, b 0 的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两 2 a b
20.已知椭圆
x2 y 2 2 1(a b 0) ,四个点 P1(1,1)、P2(0,1)、P3(-1, 3 )、P4(1, 2 2 a b 三个点在椭圆上.
(1)求该椭圆方程;
3 2
)中恰有
(2)设直线 l 不经过点 P2,且与椭圆交于 A、B 两点,若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率之 和为-1,证明直线 l 过定点.
B.
物线 x2= 4 7 y 的准线上,则双曲线的方程为
2 2 A. x y 1 21 28
x2 y 2 1 28 21
C.
y 2 x2 1 4 3
2 2 D. x y 1 3 4
3.已知双曲线
x2 y 2 1 a 0, b 0 的左右焦点 F1、F2.若在双曲线右支上存在点 P,满足 a 2 b2
2
x
2
2
5.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为 A.x=1 A.108 A.5 种 8.(x+1)6(1-2x)5=a A.-64 9.已知 F 为抛物线 A.10 10.过双曲线
2 2
x2 y 2 1(a b 0) 的右焦点 F 作直线 x+y- 3 =0 交椭圆于 M、N 两点,H 为 a 2 b2 1 线段 MN 的中点,且 OH 的斜率为 1 ,设点 A(1, ). 2 4 (1)求该椭圆的方程;
18.过椭圆 (2)若点 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 的中点 G 的轨迹方程; (3)过原点的直线交椭圆于 B、C 两点,求∆ABC 面积的最大值. 19.已知点 M(-2,0)、N(2,0)是平面上的两点,动点 P 满足|PM|+|PN|=6 (1)求点 P 的轨迹方程； (2)若(1-cos∠MPN)|PM|∙|PN|=2,求点 P 的坐标.
b 2 ( x1 x2 )( x1 x2 ) a 2 ( y1 y2 )( y1 y2 ) 0
2 2 3 a 2 b 2 a 4b 即 2 2 a 4b c 3 2 x 椭圆方程 : y 2 1 4
2 x x ' 1 (2) 设 G(x，y)，P(x’，y’)则有 1 2 y y ' 2
.
则椭圆的离心率为
三.解答题:(共 4 题,46 分) 17.已知 F 为椭圆
x2 y 2 2 1(a b 0) 的左焦点,离心率为 2 ，过 F 且垂直于 x 轴的直线被 2 2 a b 椭圆截得的线段长为 2 .
(1)求该椭圆方程; (2)设直线 l 同时与椭圆和抛物线 y2=4x 各恰有一个公共交点,求直线 l 的方程.
B.3x±5y=0 C.4x±3y=0 D.5x±4y=0
|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则双曲线的渐近线方程为 A.3x±4y=0 4.已知双曲线方程 A.(-1,3)
y 1 ,且双曲线两焦点间距离为 4,则 n 的取值范围为 m n 3m2 n C.(0,3) D.(0, 3 ) B.(-1, 3 )
x '=2x 1 即 1 y' 2y 2 代入 x2 y '2 1中 4
(2 x 1) 2 1 故点G轨迹方程： (2 y ) 2 1 4 2 | BC | 2 (3)当直线 BC x轴时 SABC 1 d 1
设直线 BC 方程
4 t2 ), P2 (0, 1) 2 4 t2 2 4 t2 2 1 则有k P2 A k P2B 1 即 t 2(舍) 2t 2t 2 t 0 or 0 t 2 y kx m 设直线l方程 2 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), m 1 2 x 4 y =4 A(t , B (t , (4k 2 1) x 2 8kmx 4m 2 4 0 方程是 64k 2 m 2 16(m 2 1)(4k 2 1) 0 8km x1 x2 2 4k 1 即m 2 4 k 2 1 2 x x 4m 4 1 2 4k 2 1 y 1 y 1 kx1 m 1 kx2 m 1 由k P2 A k P2 B 1 2 x1 x2 x1 x2 2kx1 x2 (m 1)( x1 x2 ) 1 x1 x2
| PM | | PN | =6 | PM | | PN | =6
a 3 故点P在以M , N 为焦点 的双曲线 c 2 x2 y 2 1 9 5 2 x y 2 =1 3 P( 3 3 5 , ), 2 2 ( 3 3 5 , ), 2 2 ( 3 3 5 , ), 2 2 ( 3 3 5 , ) 2 2
a 3 的椭圆 c 2
x2 y 2 1 9 5
| PM |2 | PN |2 16 2 | PM | | PN |
在MPN中，cos MPN
(| PM | | PN |) 2 2 | PM | | PN | 16 2 | PM | | PN | 10 | PM | | PN | | PM | | PN | 内(1 cos MPN ) | PM | | PN | 2 (1 10 | PM | | PN | ) | PM | | PN | =2 | PM | | PN | | | PM | | PN | |=2 3
20. 解： (1)由于 P3 与 P4 关于 y 轴对称，故椭圆必过 P2、P3、P4
b 1 故 1 3 1 a2 4
4 t2 ) 2
a 2 b 1
x2 椭圆方程： y 2 1 4
(2)当直线 l⊥x 轴时设直线 l 方程：x=t，t∈（-2，0）∪（0，2）
椭圆方程：
m 2 2k 2 1 km 1
2 k 2 m 2
2 k 2 m 2
or y 2 x 2 2 or y 1
故直线 l 方程： y
2 x 2 2
18. 解： (1)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)则
天津一中 2018-2019-1 高二年级数学学科期末质量调查试卷 本试卷分为第 I 卷(选择题填空题)、第 II 卷(答题纸)两部分,共 100 分,考试用时 90 分 钟。考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上,答在试卷上的无效。祝各位考生考 试顺利! 一.选择题:(每小题 3 分,共 30 分）
2 2 2 2 2 2 b x1 a y1 a b 两式相减 2 2 2 2 2 2 b x a y a b 2 2
y1 y2 1 y1 y2 x x 1, x x 4 1 2 1 2 x y 3 0 令 y 0 c 3 b 2 1 2 a 4
参考答案 一.选择题:(每小题 3 分,共 30 分） 1. D 6. D 2. C 7. C 3. C 8. B 4. A 9. D 5. B 10. D
二.填空题:(每小题 4 分,共 24 分) 11. 18 12. 70 13. 1 14. 2 2
2 2 1 16. 3
15. 三.解答题:(共 4 题,46 分) 17. 解： (1)
y kx x ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ y 4
2 2
(4k 2 1) x 2 4 0
16(k 2 1) k 2 1 4 | BC | 1 k 2 4k 2 1 4k 2 1 1 |k | 2 d 2 k 1 SABC 1 | 2k 1| k 2 1 4k 2 4k 1 4k 4 | BC | d = 1 2 1 2 2 2 1 2 4k 1 4k 1 k 1 4k 1 4k k
天津市2018-2019学年高二(上)期末数学试卷(文科)附答案解析
天津市2018-2019学年高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）若i为虚数单位，复数（3+2i）i等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i2．（4分）命题p：∀x∈R，x2+1≥0，则￢p为（）A． B．C． D．∀x∈R，x2+1＜03．（4分）设x∈R，则“x＞1”是“x2＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（4分）抛物线y2=4x的准线方程是（）A．x=1 B．y=1 C．x=﹣1 D．y=﹣15．（4分）椭圆的焦点坐标为（）A．B．（0，±1）C．（±1，0）D．（±2，0）6．（4分）抛物线y2=8x的焦点到直线的距离是（）A．1 B．C．2 D．37．（4分）设命题p：大于90°的角为钝角，命题q：所有的有理数都是实数，则p与q的复合命题的真假是（）A．“p∨q”假B．“p∧q”真C．“￢p”假D．“p∨q”真8．（4分）已知双曲线离心率为2，该双曲线的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）9．（4分）双曲线的焦距为．（用数字填写）10．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=．11．（4分）若双曲线的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为．12．（4分）椭圆的一个焦点为，则k=．13．（4分）若抛物线y2=4x上一点P到其焦点的距离为4．则点P的横坐标为．三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）14．（12分）复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i，m∈R，i为虚数单位．（I）实数m为何值时该复数是实数；（Ⅱ）实数m为何值时该复数是纯虚数．15．（12分）已知双曲线的离心率e=2，与椭圆有相同的焦点．（I）求双曲线的方程；（Ⅱ）求双曲线的渐近线方程．16．（12分）已知椭圆的长轴为4，短轴为2．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线l：y=x+m与椭圆C交于A，B两点，若点M（﹣1，y0）是线段AB 的中点，求直线l的方程．17．（12分）已知椭圆的一个顶点坐标为B（0，1），若该椭圆的离心等于，（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）点Q是椭圆C上位于x轴下方一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线QF1的倾斜角为，求△QF1F2的面积．天津市2018-2019学年高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）若i为虚数单位，复数（3+2i）i等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i【解答】解：（3+2i）i=2i2+3i=﹣2+3i．故选：B．2．（4分）命题p：∀x∈R，x2+1≥0，则￢p为（）A． B．C． D．∀x∈R，x2+1＜0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，x2+1≥0，则￢p为：．故选：C．3．（4分）设x∈R，则“x＞1”是“x2＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2＞1得x＞1或x＜﹣1，则“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件，故选：A4．（4分）抛物线y2=4x的准线方程是（）A．x=1 B．y=1 C．x=﹣1 D．y=﹣1【解答】解：∵抛物线y2=4x，得=1，∴其准线方程为x=﹣1．故选C．5．（4分）椭圆的焦点坐标为（）A．B．（0，±1）C．（±1，0）D．（±2，0）【解答】解：椭圆，可得a=，b=1，则c=1，椭圆的焦点坐标为：（±1，0）．故选：C．6．（4分）抛物线y2=8x的焦点到直线的距离是（）A．1 B．C．2 D．3【解答】解：抛物线y2=8x的焦点（2，0）到直线的距离是：=1．故选：A．7．（4分）设命题p：大于90°的角为钝角，命题q：所有的有理数都是实数，则p与q的复合命题的真假是（）A．“p∨q”假B．“p∧q”真C．“￢p”假D．“p∨q”真【解答】解：大于90°的角为钝角，错误则命题p是假命题，所有的有理数都是实数，正确，则q是真命题，则“p∨q”真，其余为假，故选：D8．（4分）已知双曲线离心率为2，该双曲线的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x，∴2p=4，得抛物线的焦点为（1，0）．∵双曲线的一个焦点与抛物y2=4x的焦点重合，∴双曲线的右焦点为F（1，0）即c=1；∵双曲线离心率为2，∴a=，∴b=，∴=．故选：A．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）9．（4分）双曲线的焦距为4．（用数字填写）【解答】解：双曲线的a=，b=，c==2，双曲线的焦距为：4．故答案为：．10．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|= 2．【解答】解：∵椭圆方程为∴a2=9，b2=2，得椭圆的长轴长2a=6∵点P在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=2a=6，得|PF2|=6﹣|PF1|=6﹣4=2故答案为：211．（4分）若双曲线的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为．【解答】解：由双曲线的渐近线方程为y=±x，b=a；∴双曲线的离心率e===．故答案为：．12．（4分）椭圆的一个焦点为，则k=3．【解答】解：椭圆的一个焦点为，可得：，解得k=3．故答案为：3．13．（4分）若抛物线y2=4x上一点P到其焦点的距离为4．则点P的横坐标为3．【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|MF|=3=x+=4，∴x=3，故答案为：3．三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）14．（12分）复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i，m∈R，i为虚数单位．（I）实数m为何值时该复数是实数；（Ⅱ）实数m为何值时该复数是纯虚数．【解答】解：（Ⅰ）由m2﹣3m=0，解得m=0或m=3，∴当m=0或m=3时，复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i为实数；（Ⅱ）由，即，得m=2．∴当m=2时为纯虚数．15．（12分）已知双曲线的离心率e=2，与椭圆有相同的焦点．（I）求双曲线的方程；（Ⅱ）求双曲线的渐近线方程．【解答】解：（Ⅰ）因为离心率e=2，则，椭圆的焦点（2，0），即c=2，a=1，双曲线c2=a2+b2，得，双曲线方程．（Ⅱ）因为双曲线方程．渐近线，所以．16．（12分）已知椭圆的长轴为4，短轴为2．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线l：y=x+m与椭圆C交于A，B两点，若点M（﹣1，y0）是线段AB 的中点，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆的长轴为4，短轴为2．可得2a=4，2b=2，所以a=2，b=1，则椭圆方程．（Ⅱ）因为，得5x2+8mx+4m2﹣4=0，又因为△＞0，（8m）2﹣4•5•（4m2﹣4）＞0，解得：.，，则，直线方程．17．（12分）已知椭圆的一个顶点坐标为B（0，1），若该椭圆的离心等于，（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）点Q是椭圆C上位于x轴下方一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线QF1的倾斜角为，求△QF1F2的面积．【解答】（Ⅰ）解：因为b=1，，且a2=b2+c2，所以a=2，，则椭圆方程．（Ⅱ）解：因为，=，直线QF1：，可得，整理得：，解得：，则，所以==．。
最新天津市2018-2019年高二上学期期末考试数学文试题
第一学期高二年级质量检测数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本题共有10个小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1、命题“01),,0[2≥+-+∞∈∀x x x ”的否定是A.01),,0[2<+-+∞∈∀x x xB.01),0,(2≥+--∞∈∀x x xC.01),,0[20<+-+∞∈∃x x xD.01),,0[20≥+-+∞∈∃x x x2、不等式0)2)(1(>-+x x 的解集是A.（-2,1）B.（-1,2）C.),1()2,(+∞--∞D.),2()1,(+∞--∞3、如果椭圆191622=+y x 上一点P 到它的左焦点的距离是2，那么点P 到右焦点的距离为 A.2 B.4 C.6 D.104、已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若2054=+a a ，则=8SA.18B.36C.64D.805、一物体的运动方程为)1(21>+=t t ts ，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在2秒末的瞬时速度是 A.47米/秒 B.49米/秒 C.23米/秒 D.25米/秒6、已知}{n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，则“01>a ”是“45S S >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7、已知实数y x ,满足 004202≥≤-+≥-+y y x y x ，则y x z +=2的最小值是A.1B.2C.4D.88、已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如图所示，其导函数是)('x f ，则=-)1(')3('f fA.-2B.2C.5D.-59、已知椭圆和双曲线右公共焦点1F 、2F ，P 是它们的一个公共点，且21PF F ∠3π=，若双曲线的离心率为3，则椭圆的离心率为 A.33 B.23 C.31 D.3 10、设 (71828).2,0,0=<<e b a 是自然对数的底数，那么 A.若b e a e b a 3545+=+，则b a >B.若b e a e ba 3545+=+，则b a <C.若b e a e b a 3545-=-，则b a >D.若b e a e ba 3545-=-，则b a <第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分11、在等比数列}{n a 中，,4,241==a a 则=6a12、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为c b a ,,，若A,B,C 成等差数列，c b a ,,成等比数列，则=⋅C A sin sin13、若抛物线)0(2>=a ay x 的准线与圆4)2(22=+-y x 相交于A 、B 两点，且32||=AB ，则a 的值是14、设2>x ，则函数22)(-+=x x x f 的最小值是 15、若函数x ax x x f 231)(23-+=在),(+∞a 是单调的，则实数a 的取值范围是 16、已知函数x x x f cos ||)(-=，对于],[ππ-上的任意21.x x ，给出如下条件：①||21x x >；②21||x x >；③2221x x >；④3231x x >其中能使)()(21x f x f >恒成立的条件的序号是 （写出序号即可）三、解答题：本大题共6小题，共76分。
2018-2019学年天津市第一中学高二上学期期末考试数学试题 解析版
绝密★启用前天津市第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上，若、、是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为A．B．4 C．D．【答案】D【解析】【分析】设椭圆短轴的一个端点为根据椭圆方程求得c，进而判断出，即得或令，进而可得点P到x轴的距离．【详解】解：设椭圆短轴的一个端点为M．由于，，；，只能或．令，得，故选：D．【点睛】本题主要考查了椭圆的基本应用考查了学生推理和实际运算能力是基础题．2．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由题意可得渐近线的斜率，即为a，b的关系式，再根据抛物线的准线方程解得c，由a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到所求双曲线的方程．【详解】解：双曲线的一条渐近线过点，可得渐近线的斜率为，双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，可得，即，解得，，则双曲线的方程为：．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，以及抛物线的方程和性质，运用渐近线方程和斜率公式是解题的关键，属于基础题．3．设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知，可知|PF1|="2"=4b根据双曲定义可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，代入c2=a2+b2整理得3b2-4ab=0，求得=∴双曲线渐进线方程为y=±x，即4x±3y=0故选C考点：本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的运用。
点评：解决该试题的关键是利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案。
天津市南开区2018-2019学年度第一学期期末考试试卷高二数学(解析版)
2018-2019学年天津市南开区高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】解：根据特称命题的否定为全称命题可知：命题“，”的否定是“，“，故选：C．根据特称命题的否定为全称命题，分别对量词和结论进行否定即可本题主要考查了全称命题与特称命题的否定的应用，属于基础试题2. 设a，，若，则下列不等式中正确的是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：因为，当，时，，排除A；，排除B；，排除D故选：C．取，代入计算可排除A，B，D本题考查了不等式的基本性质，属基础题．3. 不等式的解集是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：不等式可化为，解得，不等式的解集是．故选：D．把不等式化为，求出解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．4. 命题：：，则p是q的A. 充分不必要条件B. 必要不充分C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：要使成立，则且，解得或．是q的充分不必要条件．故选：A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础．5. 200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过的汽车数量为A. 65辆B. 76辆C. 88 辆D. 95辆【答案】B【解析】解：根据频率分布直方图得，时速超过的频率是，所求的汽车数量为辆．故选：B．根据频率分布直方图求出时速超过的频率，再计算频数即可．本题考查了频率分布直方图与频率、频数的计算问题，是基础题目．6. 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A.B.C.D.【答案】B【解析】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积，则对应概率，故选：B．根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．7. 已知等差数列中，，则该数列前9项和等于A. 4B. 8C. 36D. 72【答案】C【解析】解：由等差数列的性质可得：，则该数列前9项和．故选：C．利用等差数列的性质及其求和公式即可得出．本题考查了等差数列的性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图如图所示，则该样本的中位数、众数、极差分别是A. 46，45，56B. 46，45，53C. 47，45，56D. 45，47，53【答案】A【解析】解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为第15和16个数的平均值：．众数是45，极差为：．故选：A．直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可．本题考查该样本的中位数、众数、极差，茎叶图的应用，考查计算能力．9. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的渐近线方程是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：双曲线的焦点到渐近线的距离为，顶点到渐近线距离：，双曲线的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，可得：，可得，可得，，则C的渐近线方程为：故选：C．利用双曲线的焦点到渐近线的距离是顶点到渐近线距离的3倍，求出a，b的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．10. 设，，若，则的最小值为A. 4B. 8C. 1D.【答案】A【解析】解：，，，，当且仅当时取等号．故选：A．利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．熟练掌握“乘1法”和基本不等式的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 先后抛掷三枚均匀的硬币，至少出现一次正面的概率是______．【答案】【解析】解：先后抛掷三枚均匀的硬币，全是反面的概率为，故至少出现一次正面的概率是，故答案为．先求出先后抛掷三枚均匀的硬币，全是反面的概率，再用1减去此概率，即得所求．本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，事件和它的对立事件概率之间的关系，属于基础题．12. 某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体600名学生中抽50名学生做生涯规划调查，现将600名学生从1到600进行编号，已知从～这12个数中取得数是31，则在第1小组～中随机抽到的数是______．【答案】7【解析】解：样本间隔为，从～这12个数中取得数是31，从～这12个数中取得数是第7个数，第1小组～中随机抽到的数是7，故答案为：7．根据系统抽样的定义进行求解即可．本题主要考查系统抽样的应用，比较基础．13. 对于回归直线方程，当时，y的估计值为______．【答案】390【解析】解：回归方程．当时，y的估计值是故答案为：390根据所给的线性回归方程，把x的值代入线性回归方程，得到对应的y的值，这里所得的y的值是一个估计值．本题考查回归分析的初步应用，本题解题的关键是理解用线性回归方程得到的y的值是一个预报值而不是准确值．14. 在数列中，，，则______．【答案】【解析】解：根据题意，，，当时，有，当时，有，当时，有，当时，有，则数列是周期为4的数列，则；故答案为：．根据题意，将变形可得，求出该数列的前5项，分析可得数列是周期为4的数列，则，即可得答案．本题考查数列的递推公式，注意分析数列的变化规律，属于基础题．15. 如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若，且，则此抛物线的方程为______．【答案】．【解析】解：设，，作AM、BN垂直准线于点M、N，则，又，得，，有，设，则，而，，由直线AB：，代入抛物线的方程可得，，即有，，得．故答案为：．根据过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据，且，和抛物线的定义，可得，设，，，而，，且，，可求得p的值，即求得抛物线的方程．此题是个中档题考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16. 在等差数列中，已知求数列的通项公式；设，求数列的前10项和．【答案】解：等差数列的公差设为d，，可得，解得，则；，则前10项和．【解析】设等差数列的公差为d，由等差数列通项公式解方程可得首项和公差，即可得到所求通项；求得，由等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．17. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点，点在双曲线上．Ⅰ求双曲线方程；Ⅱ求的值；Ⅲ求的面积．【答案】解：Ⅰ，可设双曲线方程为．过点，，即，双曲线方程为；Ⅱ证明：，，，，，点在双曲线上，，即，；Ⅲ的底，由知．的高，．【解析】Ⅰ双曲线方程为，点代入求出参数的值，从而求出双曲线方程；Ⅱ先求出的解析式，把点M的坐标代入双曲线，可得出；Ⅲ求出三角形的高，即的值，可得其面积．本题考查双曲线的标准方程和向量的数量积的坐标表示、双曲线的性质，属于中档题．18. 如图所示，四棱锥中，平面ABCD，，，．Ⅰ设PD的中点为M，求证：平面PBC；Ⅱ求PA与平面PBC所成角的正弦值；Ⅲ求二面角的正弦值．【答案】Ⅰ证明：建立如图所示空间直角坐标系，设，又，则0，，，2，，0，，0，．，，设平面PBC的一个法向量为y，，则，令，得1，，而0，，，即，又平面PBC，故A平面PBC；Ⅱ解：0，，设PA与平面PBC所成角为，由直线与平面所成角的向量公式有；Ⅲ解：平面PBC的一个法向量为1，，由题意可知，平面PCD的一个法向量为，．可得二面角的正弦值为．【解析】Ⅰ建立空间直角坐标系，设，结合已知求出平面PBC的一个法向量，再求出，由即可证明平面PBC；Ⅱ求出，利用向量夹角公式，即可求得PA与平面PBC所成角的正弦值；Ⅲ由Ⅰ中求得的平面PBC的一个法向量，再由平面PDC的法向量为0，，利用向量夹角公式，即可求二面角的正弦值．本题考查线面平行，考查线面角，点到平面距离的计算，解题的关键是建立空间直角坐标系，确定平面的法向量，属于中档题．19. 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且，，．Ⅰ求和的通项公式；Ⅱ求数列的前n项和．【答案】解：为公差为d的等差数列，是首项为2，公比为q的等比数列，，，，可得，，，解得，，即有；；，前n项和为．【解析】设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d，q，进而得到所求通项；求得，由裂项相消求和即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．20. 椭圆C：经过点，且A到右焦点F的距离为A到直线的距离之比为离心率．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ经过点，且斜率为k的直线与椭圆C交于不同的两点P、均异于点，设直线AP与AQ的斜率分别为，，证明：．【答案】解：Ⅰ椭圆C：经过点，到右焦点F的距离为A到直线的距离之比为离心率，即．椭圆C的方程为：；Ⅱ证明：Ⅱ由题设可设直线PQ的方程为，，化简，得，代入，得，由已知，设，，，则，，分从而直线AP，AQ的斜率之和，【解析】Ⅰ可得，，即即可得椭圆C的方程Ⅱ设直线PQ的方程为，，代入椭圆C的方程，得，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能证明直线AP与AQ斜率之和为定值．本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、椭圆性质的合理运用属于中档题．。
【全国百强校】天津市第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题
2-2 2天津一中 2018-2019-1 高二年级数学学科期末质量调查试卷本试卷分为第 I 卷(选择题填空题)、第II 卷(答题纸)两部分,共100 分,考试用时90 分钟。
考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上,答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利!一.选择题:(每小题 3 分,共 30 分）2 21. 已知椭圆x+ y =1 的左右焦点分别为 F1、F2,点 P 在椭圆上,若 P、F1、F2 是一个直角三25 16角形的三个顶点,则点 p 到 x 轴的距离为A. 95x2B.4 D. 1652. 已知双曲线-a2 b=1(a > 0, b> 0)的一条渐近线过点且双曲线的一个焦点在抛物线 x2= 的准线上,则双曲线的方程为A. x2 y2- =1 B.x2 y2- =1 C. y2 x2-=1 D. x2 y2-=121 28x2 y228 21 4 3 3 43.已知双曲线-a2 b2=1(a> 0, b> 0)的左右焦点F1、F2.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则双曲线的渐近线方程为A.3x±4y=0B.3x±5y=0C.4x±3y=0D.5x±4y=04.已知双曲线方程x2m2 +ny2- =1 ,且双曲线两焦点间距离为 4,则 n 的取值范围为3m2 -nA.(-1,3) C.(0,3)5.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-26.一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为A.108B.216C.648D.12967.甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有A.5 种B.12 种C.24 种D.30 种8.(x+1)6(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a11x11,则 a1+a2+…+a11=A.-64B.-65C.64D.659.已知 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,过点 F 作两条互相垂直的直线 l1 与直线 l2,直线 l1 与抛物线交于 A、B 两点,直线 l2 与抛物线交于 C、D 两点,则|AB|+|CD|的最小值为A.10B.12C.14D.1610.过双曲线x y2 2=1(a> 0, b> 0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A、B 两a b点,D 为虚轴上一个端点,且∆ABD 为钝角三角形,则双曲线的离心率的取值范围为∪∞)二.填空题:(每小题 4 分,共 24 分)11.分别标有 1、2、3、4 的 4 张卡片,放入分别标号为 1、2、3、4 的 4 个盒中,每盒不空, 且 3 号卡片不能放入 3 号盒中,则有种不同的方法.12.从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有种.13.(a+x)5 展开式中 x2 的系数为 10,则实数 a 的值为.14.若抛物线 x2=2py(p>0)的准线经过双曲线 y2-x2=1 的一个焦点,则 p= .15.P 为双曲线 x2-y2=1 右支上的一个动点.若点 P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 m 恒成立, 则是实数 m 的最大值为.2 216.已知椭圆x +y=1(a >b > 0) ,A、B 为椭圆左右顶点，F 为左焦点,点 P 为椭圆上一点, a2 b2且 PF⊥x 轴,过点 A 的直线与线段 PF 交于 M 点,与 y 轴交于 E 点,若直线 BM 经过 OE 中点,则椭圆的离心率为.三.解答题:(共 4 题,46 分)2 217.已知 F 为椭圆x +y=1(a >b > 0) 的左焦点,，过 F 且垂直于 x 轴的直线被a2 b2(1)求该椭圆方程;(2)设直线 l 同时与椭圆和抛物线 y2=4x 各恰有一个公共交点,求直线 l 的方程.18.过椭圆x2 y2+ =1(a >b > 0) 的右焦点 F 作直线交椭圆于 M、N 两点,H 为a2 b2线段 MN 的中点,且 OH 的斜率为1 ,设点 A(1, 1 ).4 2(1)求该椭圆的方程;(2)若点 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 的中点 G 的轨迹方程;(3)过原点的直线交椭圆于 B、C 两点,求∆ABC 面积的最大值.19.已知点 M(-2,0)、N(2,0)是平面上的两点,动点 P 满足|PM|+|PN|=6(1)求点 P 的轨迹方程；(2)若(1-cos∠MPN)|PM|∙|PN|=2,求点 P 的坐标.20.已知椭圆x2 y2+ =1(a >b > 0) ,四个点P1(1,1)、P2(0,1)、P3、P4中恰有a2 b2三个点在椭圆上.(1)求该椭圆方程;(2)设直线 l 不经过点 P2,且与椭圆交于 A、B 两点,若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率之和为-1,证明直线 l 过定点.2一.选择题:(每小题 3 分,共 30 分）参考答案1. D2. C3. C4. A5. B6. D7. C8. B9. D 10. D二.填空题:(每小题 4 分,共 24 分)11. 1812. 7013. 114.15.216. 13三.解答题:(共 4 题,46 分)17. 解：(1)椭圆方程：x+y2 =12⎧y =kx +m⎧y =kx +m(2)设直线l 方程：⎨⎩x2 + 2 y2 = 2⎧⎪(2k 2 +1) x2 + 4kmx + 2m2 - 2 = 0⎨⎪⎩k 2 x2 + 2(km - 2) x+m2 = 0与⎨⎩y2 = 4x由相切等价于⎧⎪1=16k 2m2 -8(m2 -1)(2k 2 +1) = 0⎨= 4(km - 2)2 - 4k 2m2 = 0⎩⎪2⎧⎧m2 = 2k 2 +1k =⎧k =⎪ ⎪⎨ ⎨ 2 ⎨ 2⎩km =1 ⎪ ⎪⎩m ⎩m =故直线l 方程：y =or y =x or y =±118. 解：⎩1 2 1 2 1 2 1 2 ⎨d = 1 2(1)设 M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)则⎧⎪b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2 ⎧ y 1 - y 2= -1,y 1 + y 2 = 1 ⎨ 1 1 两式相减 ⎪ x - x x + x 4⎪b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2 ⎨ 1 2 1 2 ⎩ 2 2 ⎪ x + y = 0 令 y = 0 c =b 2 ( x + x )( x - x ) + a 2( y + y )( y - y ) = 0⎧⎪a 2 = 4b 2即⎨⎪⎧3 = a 2 - b 2∴ ⎨⎪⎧b 2= 1 ∴ ⎨ ⎪⎩c =2⎪⎩a 2= 4b 2⎪⎩a 2= 4 椭圆方程 : x4+ y 2 = 1⎧2x = x '+ 1(2) 设 G(x ，y)，P(x ’，y ’)则有 ⎪ ⎨2 y = y '+ 1⎩ 2⎧ x ' =2x -1 即 ⎪ 1 y ' = 2 y - ⎩ 2代入 x + y '2= 1中42故点G 轨迹方程(2 x -1) ： + (2 y - 1)2 = 1 4 2 (3)当直线 BC ⊥ x 轴时⎧| BC |= 2 ⎩⎧ y = kxS ∆ABC =1 设直线 BC 方程 ⎨ ⎩ x 2+ 4 y 2= 4(4k 2 + 1) x 2 - 4 = 0⎧ ⎪| BC |=⎪⎨ ⎪⎪d ⎪⎩| k - 1 |1 S ∆ABC = | BC | d2 =24k + 1∈ (-∞, - 4] ⋃ [4, + ∞)k2 2 2 当且仅当4k + 1 = -4 k 即k = - 1时2S ∆ABC max =故S ∆ABC =max19. 解：(1)设动点 p(x ，y)内|PM|+|PN|=6 ⎧a = 3 可知点 P 是以 M 、N 为焦点 ⎨⎩c = 2的椭圆x 2 故点 P 轨迹方程： y 2+ = 1 (2)9 5| PM |2 + | PN |2 -16 在∆MPN 中，cos ∠MPN ==2 | PM | ⋅ | PN | (| PM | + | PN |)2 - 2 | PM | ⋅ | PN | -16 2 | PM | ⋅ | PN | =10- | PM | ⋅ | PN | | PM | ⋅ | PN |内(1 - cos ∠MPN ) | PM | ⋅ | PN |= 2(1 - 10- | PM | ⋅ | PN |) | PM | ⋅ | PN | =2| PM | ⋅ | PN | ⎧| PM | ⋅ | PN | =6⎨⎩| PM | + | PN | =6∴| | PM | - | PN |⎧⎪a 故点P 在以M , N 为焦点 ⎨⎪⎩c = 2 ⎧ x 2 ⎪ y 2+ = 1⎨ 9 5 P ( - (- (- - )⎪ x 2 ⎪⎩ 3- y 2 =1 2 2 2 2 2 2 2 220. 解：⎩ 2 2(1)由于 P 3 与 P 4 关于 y 轴对称，故椭圆必过 P 2、P 3、P 4⎧b = 1故 ⎪1 3⎧a = 2⎨x 2 椭圆方程：+ y 2 = 1⎨+ = 1 ⎩b = 14⎪⎩ a 2 4(2)当直线 l ⊥x 轴时设直线 l 方程：x =t ，t ∈（-2，0）∪（0，2）A (tB (t , P 2 (0, 1) - 2 + 2则有k + k = -1 即 ⎪ 2 - 2 = -1∴t = 2(舍) P 2 A P 2 B ⎨ t t⎧ y = kx + m⎪-2 < t < 0 or 0 < t < 2设直线l 方程 ⎨ ⎩ x 2 + 4 y 2=4A ( x 1 , y 1 ),B ( x 2 , y 2 ), m ≠ 1 (4k 2 + 1) x 2 + 8kmx + 4m 2 - 4 = 0方程是∆ = 64k 2m 2 -16(m 2 -1)(4k 2 + 1) > 0⎧ ⎪ x 1 + x 2 = -8km 2 即m 2 < 4k 2 + 1 ⎪ ⎨ ⎪ x x = ⎪⎩ 1 2 4k + 14m 2- 4 4k 2 + 1由k P A + k P B = y 1 - 1 + y 2 - 1 = kx 1 + m - 1 + kx 2 + m - 1x 1 x 2 x 1 x 2=2kx 1x 2 + (m -1)( x 1 + x 2 )= -1x 1 x 2(2k + 1) x 1x 2 + (m -1)( x 1 + x 2 ) = 04m 2 - 4 (-8km )(2k + 1) + (m -1) = 0 4k 2+ 1 4k 2 + 1⎧(m -1)(2k + m + 1) = 0⎨⎩m ≠ 1即m = -2k - 1 故直线l 方程：y = kx - 2k - 1即 y + 1 = k ( x - 2)故直线l 过定点(2, -1)。
天津市2018-2019年高二上学期期末考试质量评估数学试题
高二年级上学期期末质量评估试卷数学一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直线化为，斜率设直线的倾斜角为，则，结合，可得，故选D.2. 已知圆锥底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为圆锥的母线长为，底面半径，则由圆锥的侧面积公式得，故选C.3. 抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】抛物线的焦点在轴上，且开口向右，抛物线的准线方程为，故选D.4. 圆心为，半径长为的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】以为圆心，为半径的圆的标准方程为，可化为，故选A.5. 已知球的表面积为，则球的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为球的表面积是，所以球的半径为，所以球的体积为，故选D.6. 已知直线，，平面，若，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由于线面垂直的判定定理成立的条件是直线与平面内的两条相交直线垂直，所以“”不能推出“”，若“”，由线面垂直的定义可得“”，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B.【方法点睛】本题线面垂直的判断主要考查充分条件与必要条件，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】方程，化为表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得，实数的取值范围为，故选B.8. 如图，二面角的大小为，，为棱上相异的两点，射线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱．若线段，和的长分别为，和，则的长为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】与夹角的大小就是二面角，可得，故选A.9. 已知，是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，且，则下列结论正确的是（）A. 若，则双曲线离心率的取值范围为B. 若，则双曲线离心率的取值范围为C. 若，则双曲线离心率的取值范围为D. 若，则双曲线离心率的取值范围为【答案】C【解析】若，，得，若，时，双曲线离心率范围，故选C.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的值. 本题是利用焦半径的范围构造出关于的不等式，最后解出的范围.10. 若正方体表面上的动点满足，则动点的轨迹为（）A. 三段圆弧B. 三条线段C. 椭圆的一部分和两段圆弧D. 双曲线的一部分和两条线段【答案】A【方法点睛】本题主要考查空间想象能力、空间向量在立体几何中的应用及数学的转化与划归思想，属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，通过建立空间直角坐标系，将问题转化为轨迹方程求解，是解题的关键.填空题：本大题共6小题，单空题每题3分，多空题每题4分，共20分。
天津市部分区2018-2019学年高二上学期期末考试数学试卷
天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末考试高二数学第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正 确答案填在下表中.1．双曲线2212x y -=的焦点坐标为 （A ）(3,0)-，(3,0)（B ）(0,3)-，(0,3) （C）(，0)（D）(0,，2．命题“0(0,)x ∃∈+∞，使得00x ex <”的否定是（A ）0(0,)x ∃∈+∞，使得00x e x > （B ）0(0,)x ∃∈+∞，使得00x ex ≥（C ）(0,)x ∀∈+∞，均有xe x > （D ）(0,)x ∀∈+∞，均有xe x ≥ 3．复数1ii-（i 为虚数单位）的共轭复数为 （A ）1i -- （B ）1i -+（C ）1i -（D ）1i +4．已知a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件5．设公比为2-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5112S =，则4a 等于 （A ）8 （B ）4（C ）4-（D ）8-6．已知函数21()ln 2f x x x =-，则()f x （A ）有极小值，无极大值（B ）无极小值，有极大值 （C ）既有极小值，又有极大值（D ）既无极小值，又无极大值7．在数列{}n a 中，13a =，121n n a a +=-()n ∈*N ，则数列{}n a 的通项公式为（A ）21n a n =+（B ）41n a n =-（C ）21nn a =+（D ）122n n a -=+8．在空间四边形ABCD 中，向量(0,2,1)AB =-，(1,2,0)AC =-，(0,2,0)AD =-，则直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值为（A ）13 （B ）3（C ）13-（D ）3-9．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线与抛物线28y x =的准线分别交于M ，N 两点，A 为双曲线的右顶点，若双曲线的离心率为2，且AMN ∆为正三角形，则双曲线的方程为（A ）221824x y -= （B ）2211648x y -= （C ）2212472x y -=（D ）22164192x y -= 10．已知()f x 是定义在R 上的函数，()f x '是()f x 的导函数，且满足()()0f x f x '+<，设()()xg x e f x =⋅，若不等式2(1)()g t g mt +<对于任意的实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是 （A ）(),0(1,)-∞+∞（B ）()0,1 （C ）(),2(2,)-∞-+∞（D ）()2,2-第Ⅱ卷（共80分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．曲线1()2f x x x=+在点(1,3)处的切线方程为__________________． 12．已知向量(2,1,3)a =-与9(3,,)2b λ=平行，则实数λ的值为_____________．13．已知a ，b 均为正数，4是2a 和b 的等比中项，则a b +的最小值为__________． 14．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，986S a =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前10项的和为_____________．15．已知离心率为322221x y a b+=(0)a b >>的两个焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若120PF PF ⋅=，且12PF F ∆的面积为4，则椭圆的方程为__________． 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知复数22(2)(23)z m m m m i =++--，m ∈R （i 为虚数单位）． （Ⅰ）当1m =时，求复数1zi+的值； （Ⅱ）若复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且232n n nS -=()n ∈*N ，正项等比数列{}n b 满足11b a =，56b a =．（Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图，已知多面体111ABCA B C 中，1AA ，1BB ，1CC 均垂直于平面ABC ，AB AC ⊥，14AA =，11CC =，12AB AC BB ===．（Ⅰ）求证：1AC ⊥平面1ABC ； （Ⅱ）求二面角111B A B C --的余弦值．得 分 评卷人19．（本小题满分12分）已知椭圆C：221 2xy+=．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）若直线l ：y x m =+（m 为常数）与C 交于不同的两点A 和B ，且23OA OB ⋅=，其中O 为坐标原点，求线段AB 的长．20．（本小题满分12分）已知函数3222()32a f x x x x +=-+，a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 在[]1,1-上的最大值和最小值； （Ⅱ）若()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求a 的取值范围；（Ⅲ）当0m <时，试判断函数2()(2)1()ln 1f x a x mxg x x x x '++-=--（其中()f x '是()f x 的导函数）是否存在零点，并说明理由．天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末考试高二数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．20x y -+= 12．32- 13． 14．51215．221124x y += 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分） 解：（Ⅰ）当1m =时，34z i =-,∴34171122z i i i i -==--++. ………….……………6分 （Ⅱ）∵复数z 在复平面内对应的点位于第二象限,∴2220230m m m m ⎧+<⎨-->⎩…………………………………………9分解得21m -<<-，所以m 的取值范围是(2,1)--. …………………………………12分17．（12分） 解：（Ⅰ）当2n ≥时1n n n a S S -=-，2233(1)(1)22n n n n ----=-32n =-， …….…………………………3分当1n =时，111a S ==也适合上式,∴32n a n =-. …….…………………………4分 ∴11b =，516b =.设数列{}n b 的公比为q ，则416q =.∵0q >，∴2q =，∴12n n b -= …………………………………………7分 （Ⅱ）由（1）可知，1(32)2n n c n -=-⋅，∴12n n T c c c =+++22114272(35)2(32)2n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+-⋅ ①，21212422(35)2(32)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+-⋅ ②， ……9分由①－②得，2113(222)(32)2n n n T n --=+⨯+++--⋅122213(32)212n n n --⨯=+⨯--⋅- ………………………11分 ∴5(35)2nn T n =+-⋅. ………………………………12分18．（12分）解：以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，()0,2,0C ，()10,0,4A ，()12,0,2B ，()10,2,1C . ………………1分（Ⅰ）证明：1(2,2,1)BC =-，1(0,2,4)AC =-，(2,0,0)AB = ∵110440BC AC ⋅=+-=， 10000AB AC ⋅=++=， 所以11BC AC ⊥,1AB A C ⊥. ∵1ABBC B =,∴1AC ⊥平面1ABC ..…………………5分（Ⅱ）由题意可知，1AA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴1AA ⊥AC 又∵AB AC ⊥，1ABAA A =,∴AC ⊥平面ABC .∴平面1ABB 的一个法向量为(0,2,0)AC =. .……………………7分∵11(2,0,2)A B =-，11(0,2,3)AC =-, 设平面111A B C 的一个法向量为n (,,)x y z =，则1111220230A B n x z AC n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取2x =, 所以平面111A B C 的一个法向量为n (2,3,2)=， .……………………9分∴317cos ,17AC n AC n AC n⋅==.……………………11分 显然二面角111B A BC --为锐二面角, ∴二面角111B A B C --. …………………………12分 19．解：（12分）（Ⅰ）由题意可知：22a =，21b =,∴2221c a b =-=,∴2c e a ==. ………………………………………3分 （Ⅱ）设11(,)A x y 22(,)B x y ，由2212y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 消去y 得2234220x mx m ++-=，()2221612222480mm m =--=->.∴m << ① .……………………5分则1243mx x +=-，212223m x x -=,()()()212121212y y x m x m x x m x x m =++=+++223m -=. .…………………………7分又∵23OA OB ⋅=.∴2121243y y x x m +=-, 即：24233m -=. ……………………9分∴m =满足①式,∴AB == 43=. ∴线段AB 的长为43. …………………………………12分 20．（12分）解：（Ⅰ）当1a =时，3223()32f x x x x =-+, 2()231f x x x '=-+,令()0f x '=得12x =或1x =. ……………………1分 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表:∴min 19()(1)6f x f =-=-,max 15()()224f x f ==. ……………………4分 （Ⅱ）2()2(2)1f x x a x '=-++ ∵()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数,∴2()2(2)10f x x a x '=-++≥在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立. ………5分即：min 12(2)a x x+≤+.∵1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴当且仅当2x =时，12x x+≥.∴2a ≤ . ……………………7分（Ⅲ）由题意可知，22()ln 1x mx g x x x =-- (0,1)(1,)x ∈+∞ 2()ln 1mx x x x =--. ……………………8分 要判断()g x 是否存在零点，只需判断方程20ln 1mxx x -=-在(0,1)(1,)+∞内是否有解，即要判断方程2(1)ln 0x m x x --=在(0,1)(1,)+∞内是否有解.设2(1)()ln x h x m x x-=-, ………………10分2222()m mx h x x x x -'=-=(0,1)(1,)x ∈+∞, 可见，当0m <时，()0h x '<在(0,1)(1,)+∞上恒成立.∴()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递减.∵(1)0h =,∴()h x 在(0,1)和(1,)+∞内均无零点. …………………12分。
天津市部分区2018-2019学年高二上学期期末六校联考数学试卷(含答案)
2018～2019学年度第一学期期末六校联考高二数学一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分） 1．复数121iz i i-=++，则z =（ ） A ．0B ．C ．1D ．2．已知等差数列{}n a 的公差为2，前项和为，且，则8a 的值为（ ） A ．16B ．15C ．14D ．133．下列叙述中正确的是（ ）A ．若,,a b c R ∈，则“2,0x R ax bx c ∀∈++≥”的充分条件是“240b ac -≤” B ．若,,a b c R ∈，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C ．命题“2,0x R x ∀∈≥”的否定是“200,0x R x ∃∈<”D ．{}n a 是等比数列，则01q <<是{}n a 为单调递减数列的充分条件4．已知直线02422=+-y x 经过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点1F ，且与椭圆在第二象限的交点为M ，与y 轴的交点为N ，2F 是椭圆的右焦点,且2MF MN =，则椭圆的方程为（ ）A ．144022=+y x B ．2215x y += C ．22110x y += D ．22195x y += 5．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝2，AB ＝4，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为（ ） A ．B ．23C ．13D 26．已知，，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知函数是定义在R 上的偶函数，当0x >时，'()()xf x f x >，若，则不等式()0x f x ⋅>的解集为（ ） A ．或 B ．或 C ．或D ．或8．过双曲线12222=-by a x 的左焦点作圆222x y a +=的切线，切点为，延长交抛物线24y cx =于点，若1112F E F P =，则双曲线的离心率是（ ） A 15+ B 13+C ．35+ D 5二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）9．已知方程221542x y k k+=+-表示椭圆，则的取值范围为__________.10．设公比为的正项等比数列的前项和为，且，若，则__________.11．在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱中点，则PE BC ⋅uur uu u r的值为__________.12．已知，，且111a b +=，则42ba b a++的最小值等于__________. 13．设抛物线22y px = （0p >）的焦点为F ，准线为l .过焦点的直线分别交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作l 的垂线，垂足为,C D . 若3AF BF =，且三角形CDF 3，则p 的值为___________.14．已知函数3()3ln (1)xe f x k x k x x=++-，若3x =是函数唯一的极值点，则实数的取值范围为__________.三、解答题（共6小题，共80分） 15．（13分）数列的前项和为，已知11a =，1(21)(23)n n n a n S +-=+. 其中*n N ∈（Ⅰ）证明：数列21n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n S 的前项和.16．（13分）已知函数2()ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值. （Ⅰ）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若关于的方程5()2f x x b =-+在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围.17．（13分）在如图所示的多面体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且22AC BC BD AE ====，M 是AB 的中点.（Ⅰ）求证：CM EM ⊥；（Ⅱ）求平面EMC 与平面BCD 所成的二面角的正弦值； （Ⅲ）在棱DC 上是否存在一点N ，使得直线MN 与平面EMC 所成的角是60︒. 若存在，指出点N 的位置； 若不存在，请说明理由.18．（13分）已知数列{}n a 满足11a =，1114n n a a +=-，其中*n N∈ （Ⅰ）设221n n b a =-，求证：数列{}n b 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设41n n a c n =+，数列{}2n n c c +的前n 项和为n T ，是否存在正整数m ，使得11n m m T c c +<⋅对于*n N ∈恒成立，若存在，求出m 的最小值，若不存在，请说明理由.19．（14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率12e =，左顶点为()4,0A -，过点A 作斜率为()0k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E . O 点为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的()0k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（Ⅲ）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求OM AD AE+的最大值.20．（14分）已知函数2()ln 2f x x x ax =+-，a R ∈. （Ⅰ）若在处取得极值，求的值；（Ⅱ）设()()(4)g x f x a x =+-，试讨论函数()g x 的单调性； （Ⅲ）当时，若存在正实数满足121212()()3f x f x x x x x ++=+，求证：1212x x +>.天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末六校联考高二数学参考答案1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．A 7．C 8．A9．1523k k-<<≠-且10．2 11．1-12．643+13614．327ek<15．（Ⅰ）证明：∵，∴，∴，又，∴，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列.…………… …………… 6分（Ⅱ）由（1）知，，∴，∴，①. ②①-②得，∴. …………… …………… 7分16．（Ⅰ）时，取得极值，故解得.经检验符合题意。
天津市部分区六校2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题
2018～2019学年度第一学期期末六校联考高二数学一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分） 1．复数121iz i i-=++，则z =（ ） A ．0B ．C ．1D ．2．已知等差数列{}n a 的公差为2，前项和为，且，则8a 的值为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．133．下列叙述中正确的是（ ）A ．若,,a b c R ∈，则“2,0x R ax bx c ∀∈++≥”的充分条件是“240b ac -≤” B ．若,,a b c R ∈，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C ．命题“2,0x R x ∀∈≥”的否定是“200,0x R x ∃∈<”D ．{}n a 是等比数列，则01q <<是{}n a 为单调递减数列的充分条件4．已知直线02422=+-y x 经过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点1F ，且与椭圆在第二象限的交点为M ，与y 轴的交点为N ，2F 是椭圆的右焦点,且2MF MN =，则椭圆的方程为（ ）A ．144022=+y xB ．2215x y +=C ．22110x y +=D ．22195x y +=5．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝2，AB ＝4，点E 是棱AB 的中点，则点E到平面ACD 1的距离为（ ） A ． B ．23C ．13D6．已知，，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知函数是定义在R 上的偶函数，当0x >时，'()()xf x f x >，若，则不等式()0x f x ⋅>的解集为（ ） A ．或 B ．或C ．或D ．或8．过双曲线12222=-by a x 的左焦点作圆222x y a +=的切线，切点为，延长交抛物线24y cx =于点，若1112F E F P =，则双曲线的离心率是（ ）A ．12+ B ．12C ．32+ D ．2二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）9．已知方程221542x y k k+=+-表示椭圆，则的取值范围为__________.10．设公比为的正项等比数列的前项和为，且，若，则__________.11．在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱中点，则PE BC ⋅uur uu u r的值为__________.12．已知，，且111a b +=，则42ba b a++的最小值等于__________. 13．设抛物线22y px = （0p >）的焦点为F ，准线为l .过焦点的直线分别交抛物线于,A B两点，分别过,A B 作l 的垂线，垂足为,C D . 若3AF BF =，且三角形CDF 的面积p 的值为___________.14．已知函数3()3ln (1)xe f x k x k x x=++-，若3x =是函数唯一的极值点，则实数的取值范围为__________.三、解答题（共6小题，共80分） 15．（13分）数列的前项和为，已知11a =，1(21)(23)n n n a n S +-=+. 其中*n N ∈（Ⅰ）证明：数列21n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n S 的前项和.16．（13分）已知函数2()ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值. （Ⅰ）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若关于的方程5()2f x x b =-+在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围.17．（13分）在如图所示的多面体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且22AC BC BD AE ====，M 是AB 的中点. （Ⅰ）求证：CM EM ⊥；（Ⅱ）求平面EMC 与平面BCD 所成的二面角的正弦值； （Ⅲ）在棱DC 上是否存在一点N ，使得直线MN 与平面EMC 所成的角是60︒. 若存在，指出点N 的位置； 若不存在，请说明理由.18．（13分）已知数列{}n a 满足11a =，1114n na a +=-，其中*n N ∈ （Ⅰ）设221n n b a =-，求证：数列{}n b 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设41nn a c n =+，数列{}2n n c c +的前n 项和为n T ，是否存在正整数m ，使得11n m m T c c +<⋅对于*n N ∈恒成立，若存在，求出m 的最小值，若不存在，请说明理由.19．（14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率12e =，左顶点为()4,0A -，过点A 作斜率为()0k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E . O 点为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的()0k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（Ⅲ）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求OM AD AE+的最大值.20．（14分）已知函数2()ln 2f x x x ax =+-，a R ∈. （Ⅰ）若在处取得极值，求的值；（Ⅱ）设()()(4)g x f x a x =+-，试讨论函数()g x 的单调性； （Ⅲ）当时，若存在正实数满足121212()()3f x f x x x x x ++=+，求证：1212x x +>.天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末六校联考高二数学参考答案1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．A 7．C 8．A9．1523k k -<<≠-且 10．2 11．1- 12．6+ 1314．327e k <15．（Ⅰ）证明：∵，∴，∴，又，∴，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列.…………… …………… 6分（Ⅱ）由（1）知，，∴，∴，①. ②①-②得，∴. …………… …………… 7分16．（Ⅰ）时，取得极值，故解得.经检验符合题意。
2018-2019学年天津市高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2018-2019学年天津市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充而分不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（3分）已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，则点P 的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．不存在3．（3分）在空间直角坐标中，点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．4．（3分）已知空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为（）A．6 B．C．D．5．（3分）抛物线y2=﹣x的准线方程是（）A．y= B．y= C．x= D．x=6．（3分）焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．7．（3分）直线l1、l2的方向向量分别为，，则（）A．l1⊥l2B．l1∥l2C．l1与l2相交不平行D．l1与l2重合8．（3分）已知在空间四边形ABCD中，，，，则=（）A．B．C．D．9．（3分）已知F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，若∠PF2Q=90°，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．10．（3分）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11．（5分）顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是．12．（5分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是．13．（5分）已知椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为．14．（5分）（理）已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ与的夹角为120°，则λ=．三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程．（1）焦点在y轴上，c=6，；（2）经过点（2，0），．16．（10分）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）求直线AB的方程．17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1．（Ⅰ）证明：BM⊥AN；（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．18．（10分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．19．（10分）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值．高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充而分不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当“m＞n＞0”时”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”成立，即“m＞n＞0”⇒”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”为真命题，当“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”时“m＞n＞0”也成立，即“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”⇒“m＞n＞0”也为真命题，故“m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，故选：C．2．（3分）已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，则点P 的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．不存在【解答】解：F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，因为|F1F2|=6＞4，则点P的轨迹满足双曲线定义，是双曲线的一支．故选：B．3．（3分）在空间直角坐标中，点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．【解答】解：∵点P（﹣1，﹣2，﹣3），∴点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是2，故选B．4．（3分）已知空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为（）A．6 B．C．D．【解答】解：空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为|AB|==6．故选：A．5．（3分）抛物线y2=﹣x的准线方程是（）A．y= B．y= C．x= D．x=【解答】解：抛物线y2=﹣x的开口向左，且2p=，∴=∴抛物线y2=﹣x的准线方程是x=故选D．6．（3分）焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，可得a+b=10，2c=4，c=2，即a2﹣b2=20，解得a2=36，b2=16，所求椭圆方程为：．故选：C．7．（3分）直线l1、l2的方向向量分别为，，则（）A．l1⊥l2B．l1∥l2C．l1与l2相交不平行D．l1与l2重合【解答】解：∵直线l1、l2的方向向量分别为，，∴1×8﹣3×2﹣1×2=0，∴l1⊥l2．故选A．8．（3分）已知在空间四边形ABCD中，，，，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵在空间四边形ABCD中，，，，∴==（）﹣=（）﹣=．故选：B．9．（3分）已知F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，若∠PF2Q=90°，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【解答】解：∵PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，∠PF2Q=90°，∴|PF1|=|F1F2|∴=2c，∴e2﹣2e﹣1=0，∵e＞1，∴e=1+．故选：D．10．（3分）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11．（5分）顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是x2=±24y．【解答】解：顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6，可得抛物线方程p=12，所求抛物线方程为：x2=±24y．故答案为：x2=±24y．12．（5分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是．【解答】解：双曲线与椭圆有相同的焦点（，0），焦点坐标在x轴，双曲线的一条渐近线为，可得=，a2+b2=13，可得a2=4，b2=9．所求双曲线方程为：．故答案为：．13．（5分）已知椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为．【解答】解：椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，可得：=0，即b2=ac，即a2﹣c2﹣ac=0，可得e2+e﹣1=0，e∈（0，1），解得e=．故答案为：．14．（5分）（理）已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ与的夹角为120°，则λ=．【解答】解：+λ=（1，0，0）+λ（0，﹣1，1）=（1，﹣λ，λ）．∵+λ与的夹角为120°，∴cos120°==，化为，∵λ＜0，∴λ=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程．（1）焦点在y轴上，c=6，；（2）经过点（2，0），．【解答】（1）解：由得，，解得，a=9，∵a2=b2+c2，∴b2=a2﹣c2=81﹣36=45，∵焦点在y轴上，∴椭圆的标准方程为；（2）解：由e=，设a=2k，c=（k＞0），则b=，由于椭圆经过点为（2，0），即为椭圆的顶点，且在x轴上，若点（2，0）为长轴的顶点，则a=2，此时2k=2，∴k=1，得b=1，则椭圆的标准方程为．若点（2，0）为短轴的顶点，则b=2，此时k=2，得a=4，则椭圆的标准方程为．16．（10分）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）求直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）令抛物线E的方程：y2=2px（p＞0）∵抛物线E的焦点为（1，0），∴p=2∴抛物线E的方程：y2=4x（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=4x1，y22=4x2，两式相减，得（y2﹣y1）/（y1+y2）=4（x2﹣x1）∵线段AB恰被M（2，1）所平分∴y1+y2=2∴=2∴AB的方程为y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0．17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1．（Ⅰ）证明：BM⊥AN；（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．【解答】（本题满分12分）解：如图，以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2），M （1，2，1），N（2，1，0），…（3分）（Ⅰ）∵=（2，1，0），=（﹣1，2，1），…（4分）∴•=0…（5分）∴⊥，即AN⊥BM…（6分）（Ⅱ）设平面PCD的法向量为=（x，y，z），…（7分）∵=（2，4，﹣2），=（0，4，﹣2），由，可得，…（9分）解得：，取y=1得平面MBD的一个法向量为=（0，1，2），…（10分）设直线MN与平面PCD所成的角为θ，则由=（﹣1，1，1），…（11分）可得：sinθ=|cos＜，＞|=||==…（12分）18．（10分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为，∴，，解得a=，b=1，∴椭圆方程是．（2）将y=kx+2代入，得（3k2+1）x2+12kx+9=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），以PQ为直径的圆过D（1，0）则PD⊥QD，即（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0，又y1=kx1+2，y2=kx2+2，得（k2+x）x1x2+（2k﹣1）（x1+x2）+5=0，又，，代上式，得k=，∵此方程中，△=144k2﹣36（3k2+1）＞0，∴k＞1，或k＜﹣1．∴存在k=﹣满足题意．19．（10分）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值．【解答】（本题满分10分）（1）证明：如图，以B1为原点，分别以的方向为x轴，y 轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．…（1分）依题意，，因为，…（3分）所以，所以，又OC⊄平面A1B1C1，所以OC∥平面A1B1C1．…（4分）（2）解：依题意，结合（1）中的空间直角坐标系，得A（0，1，4），B（0，0，2），C（1，0，3），A1（0，1，0），则，…（5分）设为平面ABC的一个法向量，由得解得不妨设z1=1，则x1=﹣1，y1=﹣2，所以．…（7分）设为平面ACA1的一个法向量，由得解得不妨设y2=1，则x2=1，所以．…（9分）因为，，于是，所以，二面角B﹣AC﹣A1的正弦值为．…（10分）。