1980年全国统一高考数学试卷(理科)
1980年全国统一高考数学试卷（理科）一、解答题（共10小题，满分0分）1．（6分）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．2．（6分）半径为1、2、3的三个圆两两外切．证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形．3．（10分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．4．（10分）证明对数换底公式：（a，b，N都是正数，a≠1，b≠1）．5．（10分）直升飞机上一点P在地面M上的正射影是A，从P看地面上一物体B（不同于A）．直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N（如图）．证明：平面N必与平面M相交，且交线垂直于AB．6．（12分）设三角函数，其中k≠0．（1）写出f（x）极大值M、极小值m与最小正周期；（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f（x）至少有一个值是M与一个值是m．7．（14分）CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高，已知△ACD、△CBD、△ABC的面积成等比数列，求∠B（用反三角函数表示）．8．（14分）已知0＜α＜π，证明：；并讨论α为何值时等号成立．9．（18分）抛物线的方程是y2=2x，有一个半径为1的圆，圆心在x轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直？（注：设P（x0，y0）是抛物线y2=2px上一点，则抛物线在P点处的切线斜率是）．10．设直线（L）的参数方程是（t是参数）椭圆（E）的参数方程是（θ是参数）问a、b应满足什么条件，使得对于任意m值来说，直线（L）与椭圆（E）总有公共点．1980年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分0分）1．（6分）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．考点：虚数单位i及其性质．专题：计算题．分析：直接根据（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．的要求，分解因式即可．解答：解：（1）x5y﹣9xy5=xy（x2+3y2）（x2﹣3y2）．（2）x5y﹣9xy5=xy（x2+3y2）（x+y）（x﹣y）．（3）x5y﹣9xy5=xy（x+yi）（x﹣yi）（x+y）（x﹣y）．点评：本题考查实数系与数系的扩充，考查学生的基础知识，是基础题．2．（6分）半径为1、2、3的三个圆两两外切．证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：证明题．分析：根据两圆外切时两圆心之间的距离等于两半径之和，由三个圆的半径分别求出三角形的三边，求出最长一边的平方且求出其余两边的平方和，发现其相等，利用勾股定理的逆定理即可得证．解答：证明：设⊙O1、⊙O2、⊙O3的半径分别为1、2、3．因这三个圆两两外切，故有O1O2=1+2=3，O2O3=2+3=5，O1O3=1+3=4，则有O1O22+O1O32=32+42=52=O2O32根据勾股定理的逆定理，得到△O1O2O3为直角三角形．点评：此题考查学生掌握两圆外切时圆心距与两半径之间的关系，是一道基础题．通过此题，学生要明白判断一个三角形是直角三角形的方法不仅可以根据一个角是直角得到三角形为直角三角形，还可以利用勾股定理的逆定理来判断一个三角形为直角三角形．3．（10分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．考点：两条直线的交点坐标；直线的一般式方程．专题：证明题；数形结合．分析：建立直角坐标系，写出各点的坐标，利用两点的连线的斜率公式求出AB的斜率，利用两直线垂直斜率互为倒数得到AB边上的高的斜率，利用点斜式求出AB边的高的方程，同理求出AC边上的高，两高线的方程联立得到高线的交点．解答：证明：取△ABC最长一边BC所在的直线为X轴，经过A的高线为Y轴，设A、B、C的坐标分别为A（0，a）、B（b，0）、C（c，0），根据所选坐标系，如图，有a＞0，b＜0，c＞0，AB的方程为，其斜率为，AC的方程为，其斜率为，高线CE的方程为高线BD的方程为．解（1）、（2），得：（b﹣c）x=0∵b﹣c≠0∴x=0即高线CE、BD的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO上．因此，三条高线交于一点．点评：本题考查通过建立直角坐标系将问题转化为代数问题、考查两点连线的斜率公式、考查两直线垂直斜率乘积为﹣1、考查两直线的交点坐标的求法．4．（10分）证明对数换底公式：（a，b，N都是正数，a≠1，b≠1）．考点：换底公式的应用．专题：证明题．分析：利用指数式与对数式的互化，log b N=x 等价于b x=N，两边同取对数后解除x的解析式．解答：证明：令logN=x，则b x=N，两边同取以a为底的对数得：=log a N，b∴x•log a b=log a N，∴x=，∴log b N=成立．点评：本题考查对数的定义，体现解方程的思想．5．（10分）直升飞机上一点P在地面M上的正射影是A，从P看地面上一物体B（不同于A）．直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N（如图）．证明：平面N必与平面M相交，且交线垂直于AB．考点：平面与平面之间的位置关系；反证法．专题：证明题．分析：用反证法先证平面N与平面M相交，假如平面N与平面M平行，则PA也垂直于N，因此PA 与PB重合，B点与A点重合，但这与题设“不同于A”矛盾，从而平面N与平面M相交，设平面N与平面M的交线为L，然后证L⊥平面PAB，从而得到L垂直于AB．解答：证明：假如平面N与平面M平行，则PA也垂直于N，因此PA与PB重合，B点与A点重合，但这与题设“不同于A”矛盾，所以平面N与平面M相交．设平面N与平面M的交线为L，∵PA⊥平面M，∴PA⊥L，又∵PB⊥平面N，∴PB⊥L，∴L⊥平面PAB，∴L⊥AB．点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及反证法的应用，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．6．（12分）设三角函数，其中k≠0．（1）写出f（x）极大值M、极小值m与最小正周期；（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f（x）至少有一个值是M与一个值是m．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：综合题．分析：（1）根据正弦函数的性质可知函数最大值为1，最小值为﹣1，ω=进而根据T=可得函数的周期．（2）f（x）在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m．而任意两个整数间的距离都≥1，因此要使任意两个整数间函数f（x）至少有一个值是M与一个值是m，必须且只须使f（x）的周期≤1，进而可知，可得k的范围．解答：解：（1）M=1，m=﹣1，．（2）f（x）在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m．而任意两个整数间的距离都≥1，因此要使任意两个整数间函数f（x）至少有一个值是M与一个值是m，必须且只须使f（x）的周期≤1，即：．可见，k=32就是这样的最小正整数．点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象的性质．属基础题．7．（14分）CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高，已知△ACD、△CBD、△ABC的面积成等比数列，求∠B（用反三角函数表示）．考点：直角三角形的射影定理．专题：计算题．分析：要用反三角函数表示∠B，关键是要解三角形，求出含B的三角形中对应的边长，再利用三角函数的定义求出∠B的一个三角函数值，再用反三角函数表示∠B．解答：解：设CD=h，AB=c，BD=x，则AD=c﹣x因此，△ACD的面积为，△CBD的面积为，△ABC的面积为，依题意，，即x2=c（c﹣x），即x2+cx﹣c2=0，．∵取负号不合题意，∴取正号，得．又依直角三角形的性质，有AC2=AD•AB=c（c﹣x）．但x2=c（c﹣x），∴AC2=x2，∴AC=x=DB=．在直角三角形ABC中，．故．点评：在双垂直问题（即过直角三角形的直角顶点做斜边上的高）中，要善于利用勾股定理、射影定理去寻求边与边之间的关系．8．（14分）已知0＜α＜π，证明：；并讨论α为何值时等号成立．考点：弦切互化；不等式的证明．分析：根据倍角公式，把证明转变为证明，两端乘以sinα，进而转换为证明（1+cosα）[4（1﹣cosα）cosα﹣1]≤0，再利用倍角公式可证．解答：解：即证：．两端乘以sinα，问题化为证明2sinαsin2α≤1+cosα．而2sinαsin2α=4sin2αcosα=4（1﹣cos2α）cosα=4（1﹣cosα）（1+cosα）cosα所以问题又化为证明不等式（1+cosα）[4（1﹣cosα）cosα﹣1]≤0（1+cosα）≤0∴不等式得证，∵0＜α＜π，∴等号成立当且仅当cosα﹣=0即α=60°点评：本题主要考查利用三角函数中的常用公式，完成弦切之间的转换．属基础题．9．（18分）抛物线的方程是y2=2x，有一个半径为1的圆，圆心在x轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直？（注：设P（x0，y0）是抛物线y2=2px上一点，则抛物线在P点处的切线斜率是）．考点：圆锥曲线的共同特征；圆方程的综合应用；抛物线的应用．专题：计算题．分析：设出圆的方程，再设圆与抛物线的一个交点为P进而可求得在P点圆半径的斜率和在P点抛物线的切线斜率的表达式，根据在P点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切进而建立等式，把P点代入抛物线方程和椭圆方程，联立方程组可求得k，则圆的方程可得．解答：解：设圆的方程为（x﹣k）2+y2=1再设圆与抛物线的一个交点为P（x0，y0）在P点圆半径的斜率=．在P点抛物线的切线斜率=在P点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切，∴．（1）因P（x0，y0）是圆与抛物线的交点，∴y02=2x0．（2）（x0﹣k）2+y02=1．（3）由（1）、（2）式消去y0，得x0=﹣k，将（2）代入（3），得（x0﹣k）2+2x0﹣1=0，将x0=﹣k代入，得4k2﹣2k﹣1=0，∴．由于抛物线在y轴的右方，所以k=﹣x0≤0故根号前应取负号，即．故所求圆的方程为．故圆心是（，0）时圆与抛物线在交点处的切线互相垂直点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．解此类题应充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用．灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题．10．设直线（L）的参数方程是（t是参数）椭圆（E）的参数方程是（θ是参数）问a、b应满足什么条件，使得对于任意m值来说，直线（L）与椭圆（E）总有公共点．考点：直线的参数方程；直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的参数方程．专题：计算题；选作题；判别式法．分析：首先题中的直线方程及椭圆方程都是参数方程的形式，需要消去参数化简为一般方程，然后求公共点问题，考虑到联立方程式由求判别式的方法求取值范围即可得到答案．解答：解：对于直线（L）消去参数，得一般方程y=mx+b；对于椭圆（E）消去参数，得一般方程．：消去y，整理得（1+a2m2）x2+2（a2mb﹣1）x+a2b2﹣a2+1=0．（L）、（E）有交点的条件是上式的判别式≥0，即（a2mb﹣1）2﹣（1+a2m2）（a2b2﹣a2+1）≥0．化简并约去a2得（a2﹣1）m2﹣2bm+（1﹣b2）≥0．对任意m的值，要使这个式子永远成立，条件是或（1）、（2）合写成：即所求的条件．故答案为．点评：此题主要考查直线及椭圆参数方程化简一般方程的问题，其中对于求公共点的问题可以把方程联立，然后根据判别式法求得取值范围，属于综合性试题，有一定的计算量．。
1980年全国统一高考数学试卷(理科)
1980年全国统一高考数学试卷（理科）一、解答题（共10小题，满分0分）1．（6分）（1980•全国）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．2．（6分）（1980•全国）半径为1、2、3的三个圆两两外切．证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形．3．（10分）（1980•全国）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．4．（10分）（1980•全国）证明对数换底公式：（a，b，N都是正数，a≠1，b≠1）．5．（10分）（1980•全国）直升飞机上一点P在地面M上的正射影是A，从P看地面上一物体B（不同于A）．直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N（如图）．证明：平面N必与平面M相交，且交线垂直于AB．6．（12分）（1980•全国）设三角函数，其中k≠0．（1）写出f（x）极大值M、极小值m与最小正周期；（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f（x）至少有一个值是M与一个值是m．7．（14分）（1980•全国）CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高，已知△ACD、△CBD、△ABC的面积成等比数列，求∠B（用反三角函数表示）．8．（14分）（1980•全国）已知0＜α＜π，证明：；并讨论α为何值时等号成立．9．（18分）（1980•全国）抛物线的方程是y2=2x，有一个半径为1的圆，圆心在x轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直？（注：设P（x0，y0）是抛物线y2=2px上一点，则抛物线在P点处的切线斜率是）．10．（1980•全国）设直线（L）的参数方程是（t是参数）椭圆（E）的参数方程是（θ是参数）问a、b应满足什么条件，使得对于任意m值来说，直线（L）与椭圆（E）总有公共点．1980年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分0分）1．（6分）（1980•全国）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】11 ：计算题．【分析】直接根据（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．的要求，分解因式即可．【解答】解：（1）x5y﹣9xy5=xy（x2+3y2）（x2﹣3y2）．（2）x5y﹣9xy5=xy（x2+3y2）（x+y）（x﹣y）．（3）x5y﹣9xy5=xy（x+yi）（x﹣yi）（x+y）（x﹣y）．【点评】本题考查实数系与数系的扩充，考查学生的基础知识，是基础题．2．（6分）（1980•全国）半径为1、2、3的三个圆两两外切．证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形．【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．【专题】14 ：证明题．【分析】根据两圆外切时两圆心之间的距离等于两半径之和，由三个圆的半径分别求出三角形的三边，求出最长一边的平方且求出其余两边的平方和，发现其相等，利用勾股定理的逆定理即可得证．【解答】证明：设⊙O1、⊙O2、⊙O3的半径分别为1、2、3．因这三个圆两两外切，故有O1O2=1+2=3，O2O3=2+3=5，O1O3=1+3=4，则有O1O22+O1O32=32+42=52=O2O32根据勾股定理的逆定理，得到△O1O2O3为直角三角形．【点评】此题考查学生掌握两圆外切时圆心距与两半径之间的关系，是一道基础题．通过此题，学生要明白判断一个三角形是直角三角形的方法不仅可以根据一个角是直角得到三角形为直角三角形，还可以利用勾股定理的逆定理来判断一个三角形为直角三角形．3．（10分）（1980•全国）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．【考点】IM：两条直线的交点坐标；IG：直线的一般式方程．【专题】14 ：证明题；31 ：数形结合．【分析】建立直角坐标系，写出各点的坐标，利用两点的连线的斜率公式求出AB的斜率，利用两直线垂直斜率互为倒数得到AB边上的高的斜率，利用点斜式求出AB边的高的方程，同理求出AC边上的高，两高线的方程联立得到高线的交点．【解答】证明：取△ABC最长一边BC所在的直线为X轴，经过A的高线为Y轴，设A、B、C的坐标分别为A（0，a）、B（b，0）、C（c，0），根据所选坐标系，如图，有a＞0，b＜0，c＞0，AB的方程为，其斜率为，AC的方程为，其斜率为，高线CE的方程为高线BD的方程为．解（1）、（2），得：（b﹣c）x=0∵b﹣c≠0∴x=0即高线CE、BD的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO上．因此，三条高线交于一点．【点评】本题考查通过建立直角坐标系将问题转化为代数问题、考查两点连线的斜率公式、考查两直线垂直斜率乘积为﹣1、考查两直线的交点坐标的求法．4．（10分）（1980•全国）证明对数换底公式：（a，b，N都是正数，a≠1，b≠1）．【考点】4I：换底公式的应用．【专题】14 ：证明题．【分析】利用指数式与对数式的互化，log b N=x 等价于b x=N，两边同取对数后解除x的解析式．【解答】证明：令log b N=x，则b x=N，两边同取以a为底的对数得：=log a N，∴x•log a b=log a N，∴x=，∴log b N=成立．【点评】本题考查对数的定义，体现解方程的思想．5．（10分）（1980•全国）直升飞机上一点P在地面M上的正射影是A，从P看地面上一物体B（不同于A）．直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N（如图）．证明：平面N必与平面M相交，且交线垂直于AB．【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系；FC：反证法．【专题】14 ：证明题．【分析】用反证法先证平面N与平面M相交，假如平面N与平面M平行，则PA也垂直于N，因此PA与PB重合，B点与A点重合，但这与题设“不同于A”矛盾，从而平面N与平面M相交，设平面N与平面M的交线为L，然后证L⊥平面PAB，从而得到L垂直于AB．【解答】证明：假如平面N与平面M平行，则PA也垂直于N，因此PA与PB重合，B点与A点重合，但这与题设“不同于A”矛盾，所以平面N与平面M相交．设平面N与平面M的交线为L，∵PA⊥平面M，∴PA⊥L，又∵PB⊥平面N，∴PB⊥L，∴L⊥平面PAB，∴L⊥AB．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及反证法的应用，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．6．（12分）（1980•全国）设三角函数，其中k≠0．（1）写出f（x）极大值M、极小值m与最小正周期；（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f（x）至少有一个值是M与一个值是m．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；H1：三角函数的周期性；H2：正弦函数的图象．【专题】15 ：综合题．【分析】（1）根据正弦函数的性质可知函数最大值为1，最小值为﹣1，ω=进而根据T=可得函数的周期．（2）f（x）在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m．而任意两个整数间的距离都≥1，因此要使任意两个整数间函数f（x）至少有一个值是M 与一个值是m，必须且只须使f（x）的周期≤1，进而可知，可得k的范围．【解答】解：（1）M=1，m=﹣1，．（2）f（x）在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m．而任意两个整数间的距离都≥1，因此要使任意两个整数间函数f（x）至少有一个值是M与一个值是m，必须且只须使f（x）的周期≤1，即：．可见，k=32就是这样的最小正整数．【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象的性质．属基础题．7．（14分）（1980•全国）CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高，已知△ACD、△CBD、△ABC的面积成等比数列，求∠B（用反三角函数表示）．【考点】N6：直角三角形的射影定理．【专题】11 ：计算题．【分析】要用反三角函数表示∠B，关键是要解三角形，求出含B的三角形中对应的边长，再利用三角函数的定义求出∠B的一个三角函数值，再用反三角函数表示∠B．【解答】解：设CD=h，AB=c，BD=x，则AD=c﹣x因此，△ACD的面积为，△CBD的面积为，△ABC的面积为，依题意，，即x2=c（c﹣x），即x2+cx﹣c2=0，．∵取负号不合题意，∴取正号，得．又依直角三角形的性质，有AC2=AD•AB=c（c﹣x）．但x2=c（c﹣x），∴AC2=x2，∴AC=x=DB=．在直角三角形ABC中，．故．【点评】在双垂直问题（即过直角三角形的直角顶点做斜边上的高）中，要善于利用勾股定理、射影定理去寻求边与边之间的关系．8．（14分）（1980•全国）已知0＜α＜π，证明：；并讨论α为何值时等号成立．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；R6：不等式的证明．【分析】根据倍角公式，把证明转变为证明，两端乘以sinα，进而转换为证明（1+cosα）[4（1﹣cosα）cosα﹣1]≤0，再利用倍角公式可证．【解答】解：即证：．两端乘以sinα，问题化为证明2sinαsin2α≤1+cosα．而2sinαsin2α=4sin2αcosα=4（1﹣cos2α）cosα=4（1﹣cosα）（1+cosα）cosα所以问题又化为证明不等式（1+cosα）[4（1﹣cosα）cosα﹣1]≤0（1+cosα）≤0∴不等式得证，∵0＜α＜π，∴等号成立当且仅当cosα﹣=0即α=60°【点评】本题主要考查利用三角函数中的常用公式，完成弦切之间的转换．属基础题．9．（18分）（1980•全国）抛物线的方程是y2=2x，有一个半径为1的圆，圆心在x轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直？（注：设P（x0，y0）是抛物线y2=2px上一点，则抛物线在P点处的切线斜率是）．【考点】KF：圆锥曲线的共同特征；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】设出圆的方程，再设圆与抛物线的一个交点为P进而可求得在P点圆半径的斜率和在P点抛物线的切线斜率的表达式，根据在P点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切进而建立等式，把P点代入抛物线方程和椭圆方程，联立方程组可求得k，则圆的方程可得．【解答】解：设圆的方程为（x﹣k）2+y2=1再设圆与抛物线的一个交点为P（x0，y0）在P点圆半径的斜率=．在P点抛物线的切线斜率=在P点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切，∴．（1）因P（x0，y0）是圆与抛物线的交点，∴y02=2x0．（2）（x0﹣k）2+y02=1．（3）由（1）、（2）式消去y0，得x0=﹣k，将（2）代入（3），得（x0﹣k）2+2x0﹣1=0，将x0=﹣k代入，得4k2﹣2k﹣1=0，∴．由于抛物线在y轴的右方，所以k=﹣x0≤0故根号前应取负号，即．故所求圆的方程为．故圆心是（，0）时圆与抛物线在交点处的切线互相垂直【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．解此类题应充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用．灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题．10．（1980•全国）设直线（L）的参数方程是（t是参数）椭圆（E）的参数方程是（θ是参数）问a、b应满足什么条件，使得对于任意m值来说，直线（L）与椭圆（E）总有公共点．【考点】QJ：直线的参数方程；KH：直线与圆锥曲线的综合问题；QL：椭圆的参数方程．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题；17 ：选作题；47 ：判别式法．【分析】首先题中的直线方程及椭圆方程都是参数方程的形式，需要消去参数化简为一般方程，然后求公共点问题，考虑到联立方程式由求判别式的方法求取值范围即可得到答案．【解答】解：对于直线（L）消去参数，得一般方程y=mx+b；对于椭圆（E）消去参数，得一般方程．：消去y，整理得（1+a2m2）x2+2（a2mb﹣1）x+a2b2﹣a2+1=0．（L）、（E）有交点的条件是上式的判别式≥0，即4（a2mb﹣1）2﹣4（1+a2m2）（a2b2﹣a2+1）≥0．化简并约去a2得（a2﹣1）m2﹣2bm+（1﹣b2）≥0．对任意m的值，要使这个式子永远成立，条件是或（1）、（2）合写成：即所求的条件．故答案为．【点评】此题主要考查直线及椭圆参数方程化简一般方程的问题，其中对于求公共点的问题可以把方程联立，然后根据判别式法求得取值范围，属于综合性试题，有一定的计算量．考点卡片1．换底公式的应用【知识点归纳】换底公式及换底性质：（1）log a N=（a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．（2）log a b=，（3）log a b•log b c=log a c，（4）log an b m=log a b．2．虚数单位i、复数【虚数单位i的概念】i是数学中的虚数单位，i2=﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a=0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b=0叫做实数．复数的模为．【复数的运算】①复数的加法，若M=a+bi，N=c+di，那么M+N=（a+c）+（b+d）i，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．②复数的乘法，若M=a+bi，N=c+di，那么M•N=（ac﹣bd）+（ad+bc）i，与多项式乘法类似，只不过要加上i．【例题解析】例：定义运算，则符合条件的复数z为．解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z=4+2i，即z（1+i）=4+2i，∴z===3﹣i．这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复数相除．这个题的第一步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前面的符号变为相反既是）．处理这种方法外，有的时候还需要设出复数的形式为a+bi，然后在求出a和b，这种类型的题一般用待定系数法．【复数的概念】形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b=0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a=0，b≠0，则a+bi 为纯虚数．2、复数相等：a+bi=c+di⇔a=c，b=d（a，b，c，d∈R）．3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a=c，b+d=0（a，b，c，d∈R）．4、复数的模：的长度叫做复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=．3．反证法【知识点的认识】反证法：假设结论的反面成立，在已知条件和“否定结论”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与公理、定理、题设、临时假设相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定正确，这种证明方法就叫反证法．【解题思路点拨】用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的方法，其次注意反证法是在条件较少，不易入手时常用的方法，尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用．使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论2．反证法的一般步骤：（1）分清命题的条件和结论；（2）作出与命题结论相矛盾的假设；（3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；（4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．4．三角函数的恒等变换及化简求值【概述】三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．【公式】①正弦函数有y=sin（2kπ+x）=sinx，sin（+x）=sin（﹣x）=cosx②余弦函数有y=cos（2kπ+x）=cosx，cos（﹣x）=sinx③正切函数有y=tan（kπ+x）=tanx，tan（﹣x）=cotx，④余切函数有y=cot（﹣x）=tanx，cot（kπ+x）=cotx．【例题解析】例：sin60°cos（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cos（﹣570°）的值等于解：，，，，∴原式=．先利用诱导公式把sin（﹣420°）和cos（﹣570°）转化成﹣sin60°和﹣cos30°，利用特殊角的三角函数值求得问题的答案．这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一定要是恒等变换．【考点点评】本考点是三角函数的基础知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所有有必要认真掌握三角函数的每一个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简单的．5．三角函数的周期性【知识点的认识】周期性①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．③函数y=Asin（ωx+φ），x∈R及函数y=Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T=．【解题方法点拨】1．一点提醒求函数y=Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y=sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．2．两类点y=sin x，x∈[0，2π]，y=cos x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．3．求周期的三种方法①利用周期函数的定义．f（x+T）=f（x）②利用公式：y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y=tan （ωx+φ）的最小正周期为．③利用图象．图象重复的x的长度．6．正弦函数的图象【知识点的知识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y=sin x y=cos x y=tan x图象定义域R R k∈Z 值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）；递减区间：[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）递增区间：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）；递减区间：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）递增区间：[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）最值x=2kπ+（k∈Z）时，y max=1；x=2kπ﹣（k∈Z）时，y min=﹣1x=2kπ（k∈Z）时，y max=1；x=2kπ+π（k∈Z）时，y min=﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x=kπ+，k∈Z对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）对称轴：x=kπ，k∈Z对称中心：（，0）（k∈Z）无对称轴周期2π2ππ7．函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【知识点的知识】函数y=sin x的图象变换得到y=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤两种变换的差异先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．【解题方法点拨】1．一个技巧列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．2．两个区别（1）振幅A与函数y=A sin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M=A+b，最小值m=﹣A+b，故A=．（2）由y=sin x变换到y=A sin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y=sin x的图象变换到y=A sin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．3．三点提醒（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由y=A sin ωx的图象得到y=A sin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．8．直线的一般式方程【直线的一般式方程】直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c=0．9．两条直线的交点坐标【知识点的知识】两条直线的交点坐标：（1）一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组．若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合．（2）方程λ（A1x+B1y+C1）+（A2x+B2y+C2）=0为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的交点．10．圆与圆的位置关系及其判定【知识点的认识】1．圆与圆的位置关系2．圆与圆的位置关系的判定设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|=d（1）几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断①外离（4条公切线）：d＞r1+r2②外切（3条公切线）：d=r1+r2③相交（2条公切线）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2④内切（1条公切线）：d=|r1﹣r2|⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r1﹣r2|（2）代数法：联立两圆方程，转化为一元二次方程，但要注意一个x值可能对应两个y值．11．圆方程的综合应用【知识点的知识】圆的方程：（1）圆的标准方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r．特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2=r2．其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．（2）圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）其中圆心（﹣，﹣），半径r=．12．抛物线的性质【知识点的知识】抛物线的简单性质：13．圆锥曲线的共同特征【知识点的知识】圆锥曲线的共同特征：圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到定直线的距离之比为定值e．当0＜e＜1时，圆锥曲线是椭圆；当e＞1时，圆锥曲线是双曲线；当e=1时，圆锥曲线是抛物线．其中定点是圆锥曲线的一个焦点，定直线是相应于这个交点的准线．14．直线与圆锥曲线的综合问题【概述】直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．【实例解析】例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率．（1）求圆锥曲线C的方程；（2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使的值是常数．解：（1）依题意，设曲线C的方程为（a＞b＞0），∴c=1，∵，∴a=2，∴，所求方程为．（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y=k（x﹣1），由，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）=0，从而，，设P（t，0），则=当，解得此时对∀k∈R，；当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=1，x A=x B=1，，对，，即存在x轴上的点，使的值为常数．这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c中的两个值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法．【考点分析】必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当的放到最后做．15．平面与平面之间的位置关系【知识点的认识】平面与平面之间的位置关系：位置关系公共点个数符号表示图示两平面平行无α∥β两平面相交有一条公共直线α∩β=l16．直角三角形的射影定理【知识点的知识】直角三角形的射影定理直角三角形的斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两条直角边分别是他们在斜边上射影与斜边的比例中项．17．直线的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0=tan α（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（θ为参数）椭圆（θ为参数）+=1（a＞b＞0）双曲线（θ为参数）﹣=1抛物线y2=2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|=|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2=0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M=t M=．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P=．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2=1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．18．椭圆的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0=tan α（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（θ为参数）椭圆（θ为参数）+=1（a＞b＞0）双曲线（θ为参数）﹣=1抛物线y2=2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|=|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2=0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M0M=t M=．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P=．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2=1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．19．不等式的证明【知识点的知识】证明不等式的基本方法：1、比较法：（1）作差比较法①理论依据：a＞b⇔a﹣b＞0；a＜b⇔a﹣b＜0．②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系．（2）作商比较法①理论依据：b＞0，＞1⇒a＞b；b＜0，＜1⇒a＜b；②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．2、综合法。
1979年全国统一高考数学试卷(理科)
1979年全国统一高考数学试卷（理科）一、解答题（共10小题，满分100分）1．（6分）（1979•北京）若（z﹣x）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，求证：x，y，z成等差数列．2．（6分）（1979•北京）化简．3．（6分）甲，乙二容器内都盛有酒精，甲有V1公斤，乙有V2公斤．甲中纯酒精与水（重量）之比为m1：n1；，乙中纯酒精与水之比为m2：n2，问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？4．（6分）叙述并证明勾股定理．5．（10分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D里以内的区域，设A及B是我们的观测站，A及B间的距离为S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船在P点，在A站测得∠BAP=α同时在B站测得∠BAP=β，问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？6．（10分）（1979•北京）设三棱锥D﹣ABC中，∠ADB=∠BDC=∠CDA=直角．求证：△ABC是锐角三角形．7．（12分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x＜0.1，可用：ln（1+x）≈x，取lg2=0.3，ln10=2.3）8．（12分）设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A，与CF的延长线相交于点B．求证：9．（14分）（1979•北京）试问数列前多少项的和的值最大？并求这最大值．（lg2=0.301）10．（18分）（1979•北京）设等腰△OAB的顶点为2θ，高为h．（1）在△OAB内有一动点P，到三边OA，OB，AB的距离分别为|PD|，|PF|，|PE|，并且满足关系|P D|•|PF|=|PE|2，求P点的轨迹．（2）在上述轨迹中定出点P的坐标，使得|PD|+|PE|=|PF|．1979年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（6分）（1979•北京）若（z﹣x）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，求证：x，y，z成等差数列．考点：等差关系的确定．专题：证明题．分析：根据所给的等式进行整理，分解整理成符合完全平方形式，得到一个式子的完全平方等于0，则这个式子等于0，三个变量符合等差数列．解答：证明：∵（z﹣x）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=（x+z）2﹣2•2y（z+x）+4y2=（z+x﹣2y）2=0∴2y=x+z，∴x，y，z成等差数列．点评：本题考查等差数列和整式的整理，通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯．2．（6分）（1979•北京）化简．考点：三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：由下向上依次运算，1﹣csc2x=﹣cot2x，1﹣=1+tan2x，1﹣=1﹣cos2x．解答：解：原式=．点评：本题考查同角三角函数的基本关系的应用，繁分式的化简采用从下向上依次运算的顺序进行．3．（6分）甲，乙二容器内都盛有酒精，甲有V1公斤，乙有V2公斤．甲中纯酒精与水（重量）之比为m1：n1；，乙中纯酒精与水之比为m2：n2，问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：溶质=溶液×百分比；分别求得甲容器中的纯酒精和水，乙容器中的纯酒精和水，让纯酒精相加后除以水的和即为将两者混合后所得液体中纯酒精与水之比．解答：解：甲中含纯酒精（公斤），含水（公斤）乙中含纯酒精（公斤），含水（公斤）甲乙共含纯酒精=公斤甲乙共含水=公斤混合后，纯酒精与水比为：[m1v1（m2+n2）+m2v2（m1+n1）]：[n1v1（m2+n2）+n2v2（m1+n1）]．点评：考查函数模型的选择与应用，考查列代数式；得到纯酒精的和及纯水的和是解决本题的关键．4．（6分）叙述并证明勾股定理．考点：分析法和综合法．专题：证明题．分析：勾股定理的内容为：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理．它有不同的证明方法，这里我们用面积法来证明．解答：证明：如图左边的正方形是由1个边长为a的正方形和1个边长为b的正方形以及4个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形拼成的．右边的正方形是由1个边长为c的正方形和4个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形拼成的．因为这两个正方形的面积相等（边长都是a+b），所以可以列出等式，化简得a2+b2=c2．下面是一个错误证法：解：勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理证明：作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b＞a），斜边长为c．再做一个边长为c的正方形．把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上．过点Q作QP∥BC，交AC于点P．过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N．∵∠BCA=90°，QP∥BC，∴∠MPC=90°，∵BM⊥PQ，∴∠BMP=90°，∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90°．∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90°，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c，∴Rt△BMQ≌Rt△BCA．同理可证Rt△QNF≌Rt△AEF．即a2+b2=c2点评：勾股定理是初等几何中的一个基本定理．所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究．故大家要熟练掌握他的内容及证明方法．5．（10分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D里以内的区域，设A及B是我们的观测站，A及B间的距离为S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船在P点，在A站测得∠BAP=α同时在B站测得∠BAP=β，问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？考点：解三角形的实际应用．专题：应用题．分析：作PC⊥AB于C，设PC=d，在直角三角形PAC可分别表示出AC，BC，进而代入S=AC+BC 中，根据d的范围确定cotα+cotβ的范围．解答：解：作PC⊥AB于C，设PC=d，在直角三角形PAC中，AC=d•cotα在直角三角形PC中，BC=d•cotβ∴S=AC+BC=d（cotα+cotβ）当d≤D，即cotα+cotβ≥时，应向外国船发出警告．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．属基础题．6．（10分）（1979•北京）设三棱锥D﹣ABC中，∠ADB=∠BDC=∠CDA=直角．求证：△ABC是锐角三角形．考点：棱锥的结构特征；余弦定理的应用；三垂线定理．专题：计算题；证明题．分析：证一求出△ABC的三边，利用余弦定理验证即可．证二利用三垂线定理证明△ABC是锐角三角形．解答：解：证一：设DA=a，DB=b，DC=c，AB=p，BC=q，CA=r．于是p2=a2+b2，q2=b2+c2，r2=c2+a2．由余弦定理：∴∠CAB为锐角．同理，∠ABC，∠BCA也是锐角．证二：作DE⊥BC，E为垂足，因DA垂直于平面DAC，所以DA⊥BC又BC⊥DE，所以BC垂直于平面EAD，从而BC⊥AE及在△ABC中，A在BC边上的垂足E介于B和C之间，因此，∠B和∠C都是锐角，同理可证∠A也是锐角．点评：本题考查棱锥的结构特征，三垂线定理，余弦定理等知识，是中档题．7．（12分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x＜0.1，可用：ln（1+x）≈x，取lg2=0.3，ln10=2.3）考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题．分析：根据题设条件，年增长率x应满足100（1+X）40=500，即（1+X）40=5．然后取自然对数求出年增长率x．解答：解：年增长率x应满足100（1+X）40=500，即（1+X）40=5．取自然对数有40ln（1+x）=ln5．又lg5=1﹣0.3=0.7ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61利用ln（1+x）≈x，则有x≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4%答：每年约增长百分之四．点评：注意挖掘题设中的隐含条件，寻找数量间的等量关系，能够准确求解．8．（12分）设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A，与CF的延长线相交于点B．求证：考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：做出辅助线，根据一个圆周角是直角，得到圆周角所对的弦是直径，根据连接圆心与切点的直线垂直，得到直角，在直角三角形中应用射影定理，得到线段成比例，通过变形得到要征得结论．解答：解：证连接CD，∵∠CFD=90°，∴CD为圆O的直径，又AB切圆O于D，∴CD⊥AB，又在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∴AC2=AD•AB，BC2=BD•BA∴又因BD2=BC•BF，AD2=AC•AE∴由（1）与（2）得点评：本题是一个与圆有关的比例线段问题，这是一个平面几何问题，在解题时所应用的方法在立体几何中也会用到，是一个综合题．9．（14分）（1979•北京）试问数列前多少项的和的值最大？并求这最大值．（lg2=0.301）考点：数列的求和；对数的运算性质．分析：根据题意得该数列的第k项的通项a k，得到这个数列是递减等差数列，且其首项为2．要使前k项的和最大，必须前k项都是正数或0，而从第k+1项起以后都是负数，得到a k≥0且a k+1＜0，解得k的取值范围，求出正整数解得到k的值，然后利用等差数列的前k项和的公式得到和的最大值即可．解答：解：该数列的第k项为：所以这个数列是递减等差数列，且其首项为2．要使前k项的和最大，必须前k项都是正数或0，而从第k+1项起以后都是负数因此，k应适合下列条件：解此不等式组：由（1）得k≤14.2由（2）得k＞13.2又k∈N，∴k=14取k=14，前14项的和点评：此题考查学生会进行对数的运算，会根据要使数列前k项的和最大，必须前k项都是正数或0，而从第k+1项起以后都是负数列出不等式求出数列和的最大值．10．（18分）（1979•北京）设等腰△OAB的顶点为2θ，高为h．（1）在△OAB内有一动点P，到三边OA，OB，AB的距离分别为|PD|，|PF|，|PE|，并且满足关系|PD|•|PF|=|PE|2，求P点的轨迹．（2）在上述轨迹中定出点P的坐标，使得|PD|+|PE|=|PF|．考点：轨迹方程．专题：计算题．分析：（1）设OP与正X轴的夹角为α，P的坐标为（x，y），由题意知|OP|=，|PD|=xsinθ﹣ycosθ，|PF|=xsinθ+ycosθ，由条件|PD|×|PF|=|PE|2得x2cos2θ﹣2hx+y2cos2θ+h2=0，由此可知，所求轨迹是此圆在所给等腰三角形内的一部分．（2）由题意知x2sin2θ﹣y2cos2θ=4y2cos2θ，所以5y3cos2θ=x2sin2θ，y=，由此入手可以推出所求点P的坐标．解答：解：（1）设OP与正X轴的夹角为α，P的坐标为（x，y），则|OP|=|PD|=|OP|sin（θ﹣α）=|OP|（sinθcosα﹣cosθsinα）=xsinθ﹣ycosθ|PF|=|OP|sin（θ+α）=|OP|（sinθcosα+cosθsinα）=xsinθ+ycosθ由条件|PD|×|PF|=|PE|2得x2sin2θ﹣y2cos2θ=（h﹣x）2（1）即x2cos2θ﹣2hx+y2cos2θ+h2=0除以cos2θ≠0得即这是以为中心，以为半径的圆，所求轨迹是此圆在所给等腰三角形内的一部分，注意：在A作直线AE′⊥OA，则OE′=，E′是圆的中心AE′=是圆的半径，A是圆上一点，而且圆在A的切线是OA．（2）由条件|PD|+|PE|=|PF|得xsinθ﹣ycosθ+h﹣x=xsinθ+ycosθ即x+ycosθ=h （2）此直线通过（h，0）点及（0，）点，由（1），（2）得x2sin2θ﹣y2cos2θ=4y2cos2θ，∴5y3cos2θ=x2sin2θ，y=由|PD|+|PE|=|PF|可知y＞0，所以这里右端取正号，代入（2）得=h，∴=，=，所求点P的坐标为（）．点评：本题二圆锥曲线知识的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．。
1989年全国统一高考数学试卷(理科)
1989年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．（3分）（2000•北京）如果I={a ，b ，c ，d ，e}，M={a ，c ，d}，N={b ，d ，e}，其中I 是全集，那么（C I M ）∩（C I N ）等于（ ） A ． φ B ． {d} C ． {a ，c} D ． {b ，e} 2．（3分）与函数y=x 有相同图象的一个函数是（ ） A ． B ． C ． y =a log a x ．其中a ＞0，a≠1 D ． y =log a a x ．其中a ＞0，a≠1 3．（3分）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．（3分）的值等于（ ） A ． ﹣1 B ．C ．D ．5．（3分）已知{an}是等比数列，如果a 1+a 2+a 3=18，a 2+a 3+a 4=﹣9，S n =a 1+a 2+…+an ，那么S n 的值等于（ ） A ． 8 B ． 16 C ． 32 D ． 486．（3分）如果的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．7．（3分）（2010•宁波模拟）设复数z 满足关系：z+||=2+i ，那么z 等于（ ） A ． ﹣+i B ． +i C ． ﹣﹣iD ． ﹣i 8．（3分）已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（ ） A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 59．（3分）已知椭圆的极坐标方程是，那么它的短轴长是（ ） A ． B ．C ．D ．10．（3分）如果双曲线上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是（ ）A ． 10B ．C ．D ．11．（3分）已知f （x ）=8+2x ﹣x 2，如果g （x ）=f （2﹣x 2），那么g （x ）（ ） A ． 在区间（﹣1，0）上是减函数 B ． 在区间（0，1）上是减函数 C ． 在区间（﹣2，0）上是增函数 D ． 在区间（0，2）上是增函数 12．（3分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ） A ． 60个 B ． 48个 C ． 36个 D ． 24个二、填空题（共6小题，每小4分，满24分） 13．（4分）方程的解集是_________ 14．（4分）（2010•焦作二模）不等式|x 2﹣3x|＞4的解集是 _________ ．15．（4分）函数的反函数的定义域是 _________ ．16．（4分）（2010•佛山模拟）若（1+x ）6=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 6x 6，则a 1+a 2+…+a 6= _________ ． 17．（4分）已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的 _________ 条件 18．（4分）如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A 、B 两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB 与轴OO'之间的距离等于 _________ ．三、解答题（共6小题，满分60分） 19．（8分）证明：．20．（10分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=．（Ⅰ）求证：顶点A 1在底面ABCD 的射影O 在∠BAD 的平分线上； （Ⅱ）求这个平行六面体的体积．21．（10分）自点A（﹣3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0相切，求光线L所在直线的方程．22．（12分）已知a＞0，a≠1，试求使方程有解的k的取值范围．23．（10分）是否存在常数a，b，c使得等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）对于一切正整数n都成立？并证明你的结论．24．（10分）设f（x）是定义在区间（﹣∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z，用I k表示区间（2k ﹣1，2k+1]，已知当x∈I0时，f（x）=x2．（1）求f（x）在I k上的解析表达式；（2）对自然数k，求集合M k={a|使方程f（x）=ax在I k上有两个不等的实根}1989年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．（3分）（2000•北京）如果I={a ，b ，c ，d ，e}，M={a ，c ，d}，N={b ，d ，e}，其中I 是全集，那么（C I M ）∩（C I N ）等于（ ） A ． φ B ． {d} C ． {a ，c} D ． {b ，e}考点： 交、并、补集的混合运算． 分析： 根据交集、补集的意义直接求解．或者根据（C I M ）∩（C I N ）=C I （M ∪N ）求解． 解答： 解：C I M={b ，e}，C I N={a ，c}，∴（C I M ）∩（C I N ）=∅，故选A点评： 本题考查集合的基本运算，较容易． 2．（3分）与函数y=x 有相同图象的一个函数是（ ） A ． B ． C ． y =a log a x ．其中a ＞0，a≠1 D ． y =log a a x ．其中a ＞0，a≠1考点： 反函数． 分析： 欲寻找与函数y=x 有相同图象的一个函数，只须考虑它们与y=x 是不是定义域与解析式都相同即可．解答： 解：对于A ，它的定义域为R ，但是它的解析式为y=|x|与y=x 不同，故错；对于B ，它的定义域为x≠0，与y=x 不同，故错； 对于C ，它的定义域为x ＞0，与y=x 不同，故错；对于D ，它的定义域为R ，解析式可化为y=x 与y=x 同，故正确； 故选D ．点评： 本题主要考查了函数的概念、函数的定义域等，属于基础题． 3．（3分）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（ ） A ． B ． C ． D ．考点： 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 专题： 计算题． 分析： 根据圆锥的侧面积公式直接解答即可． 解答： 解：圆锥的底面半径为，高为2，母线长为：，那么它的侧面积：故选C ．点评： 本题考查圆锥的侧面积和表面积，是基础题、必会题．4．（3分）的值等于（ ）A ． ﹣1B ．C ．D ．考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：利用反函数的运算法则，以及两角和的余弦公式求解即可．解答：解：===﹣[cos（arcsin）cos（arccos）+sin（arcsin）sin（arccos）]=﹣[]=﹣1故选A．点评：本题考查反函数的运算，两角和的正弦公式，是基础题．5．（3分）已知{an}是等比数列，如果a1+a2+a3=18，a2+a3+a4=﹣9，S n=a1+a2+…+an，那么S n的值等于（）A．8B．16 C．32 D．48考点：极限及其运算；等比数列的前n项和；等比数列的性质．专题：计算题．分析：由题意知，所以，S n=．解答：解：∵a1+a1q+a1q2=18，a1q+a1q2+a1q3=﹣9，∴．∴，∴S n=．故选B．点评：本题考查等比数列的计算和极限，解题时要正确选取公式，注意公式的灵活运用．6．（3分）如果的值等于（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦．分析：由题目中给出的角θ的范围，确定余弦值，用余弦表示sin，求出结果，容易出错的地方是，要求结果的正负，要用角的范围帮助分析解答：解：∵，∴，∵∴或，∵，∴，故选C点评：已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的半角或二倍角的三角函数值，要用到二倍角公式．7．（3分）（2010•宁波模拟）设复数z满足关系：z+||=2+i，那么z等于（）A．﹣+i B．+i C．﹣﹣i D．﹣i考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题；综合题．分析：解法1：设出复数，利用复数相等的条件求解即可；解法2：利用复数模的性质，移项平方，然后解方程即可；解法3：考虑选择题的特点，考查选项复数的模，结合题干推出复数z的实部、虚部的符号即可．解答：解：法1：设z=a+bi（a，b∈R）由已知a+bi+=2+i由复数相等可得∴故z=+i故选B．法2：由已知可得z=﹣||+i ①取模后平方可得|z|2=（2﹣|z|）2+1=4﹣4|z|+|z|2+1，所以，代入①得，故选B．法3：选择支中的复数的模均为，又，而方程右边为2+i，它的实部，虚部均为正数，因此复数z的实部，虚部也必须为正，故选B．点评：本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，复数的模，考查计算能力，判断能力，是基础题．8．（3分）已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（）A．4B．3C．2D．5考点：球面距离及相关计算．专题：计算题．分析：画出图形，求出两个截面圆的半径，即可解答本题．解答：解：由题意画轴截面图，截面的面积为5π，半径为，截面的面积为8π的圆的半径是，设球心到大截面圆的距离为d，球的半径为r，则5+（d+1）2=8+d2，∴d=1，∴r=3故选B．点评：本题考查球的截面圆的半径，球的半径，球心到截面圆心的距离的关系，是基础题．9．（3分）已知椭圆的极坐标方程是，那么它的短轴长是（）A．B．C．D．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：利用圆锥曲线统一的极坐标方程，求出圆锥曲线的短轴长即可．解答：解：将原极坐标方程为，化成：极坐标方程为ρ=．，对照圆锥曲线统一的极坐标方程得：e=，a=3，b=，c=2．∴它的短轴长2故选C点评：本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．10．（3分）如果双曲线上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的右准线的距离是（）A．10 B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线的第二定义可知点P到双曲线右焦点的距离和点P到它的右准线的距离之比等于离心率，由此可以求出点P到它的右准线的距离．解答：解：设点P 到它的右准线的距离是x ，∵， ∴，解得．故点P 到它的右准线的距离是．故选D ．点评： 本题考查双曲线的第二定义，解题时注意认真审题． 11．（3分）已知f （x ）=8+2x ﹣x 2，如果g （x ）=f （2﹣x 2），那么g （x ）（ ） A ． 在区间（﹣1，0）上是减函数 B ． 在区间（0，1）上是减函数 C ． 在区间（﹣2，0）上是增函数 D ． 在区间（0，2）上是增函数考点： 复合函数的单调性． 专题： 计算题；综合题；压轴题． 分析： 先求出g （x ）的表达式，然后确定它的区间的单调性，即可确定选项． 解答： 解：因为 f （x ）=8+2x ﹣x 2，则 g （x ）=f （2﹣x 2）=8+2x 2﹣x 4 =﹣（x 2﹣1）2+9，因为g′（x ）=﹣4x 3+4x ，x ∈（﹣1，0），g′（x ）＜0，g （x ）在区间（﹣1，0）上是减函数． 故选A ．点评： 本题考查复合函数的单调性，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题． 12．（3分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ） A ． 60个 B ． 48个 C ． 36个 D ． 24个考点： 排列及排列数公式． 专题： 压轴题． 分析： 由题意本题的要求是个位数字是偶数，最高位不是5．可先安排个位，方法有2种，再安排最高位，方法有3种，其他位置安排方法有A 33=6种，求乘积即可．解答： 解：由题意，符合要求的数字共有2×3A 33=36种故选C点评： 本题考查有特殊要求的排列问题，属基本题．有特殊要求的排列问题，一般采用特殊位置优先或特殊元素优先考虑．二、填空题（共6小题，每小4分，满24分） 13．（4分）方程的解集是 {x|x=2kπ+或x=2kπ+}（k ∈Z ）考点： 正弦函数的图象；三角函数的积化和差公式． 专题： 计算题．分析： 先利用两角和公式对化简整理，进而根据正弦函数的性质可求得x 的解集． 解答：解：=2（sinx ﹣cosx ）=2sin （x ﹣）=∴sin（x﹣）=∴x﹣=2kπ+或2kπ+∴x=2kπ+或2kπ+故答案为{x|x=2kπ+或x=2kπ+}（k∈Z）点评：本题主要考查了正弦函数的基本性质．考查了学生对正弦函数基础知识的理解和运用．14．（4分）（2010•焦作二模）不等式|x2﹣3x|＞4的解集是{x|x＜﹣1，或x＞4}．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：用绝对值的意义将绝对值不等式转化为一般不等式求解．解答：解：∵|x2﹣3x|＞4∴x2﹣3x＞4 或x2﹣3x＜﹣4由x2﹣3x＞4解得x＜﹣1或x＞4，x2﹣3x＜﹣4无解∴不等式|x2﹣3x|＞4的解集是{x|x＜﹣1或x＞4}故应填{x|x＜﹣1或x＞4}点评：考查绝对值不等式的解法，用绝对值的几何意义来进行转化．15．（4分）函数的反函数的定义域是（﹣1，1）．考点：反函数．专题：计算题．分析：欲求反函数的定义域，可以通过求在函数的值域获得，所以只要求出函数的值域即可．解答：解：由得，e x=．∵ex＞0，∴．＞0，∴﹣1＜y＜1，∴反函数的定义域是（﹣1，1）．故填：（﹣1，1）点评：本题主要考查反函数的性质，考查了互为反函数的两个函数的定义域和值域正好相反．属于基础题．16．（4分）（2010•佛山模拟）若（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a1+a2+…+a6=63．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：本题为求二项式系数的和，注意到等式右边当x=1时即为a0+a1+a2+…+a6，故可采用赋值法，只要再求出a0即可．解答：解：在原式中，令x=1得26=a0+a1+a2+…+a6=64，又因为a0=1，所以a1+a2+…+a6=63；故答案为：63点评：本题考查二项式系数求和：赋值法的应用，准确理解二项式定理是解决本题的关键．17．（4分）已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：压轴题；阅读型．分析：本题考查的知识点是充要条件的定义，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件．解答：解：由充要条件的定义，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件．故答案为：必要点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．18．（4分）如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A、B两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB与轴OO'之间的距离等于．考点：棱柱的结构特征；点、线、面间的距离计算．专题：计算题；压轴题．分析：画出几何图形，直线AB与轴OO'之间的距离，等于直线轴OO'与平面ABC的距离，求解即可．解答：解：如图直线AB与轴OO'之间的距离，等于直线轴OO'与平面ABC的距离，由图形可知直线AB与轴OO'之间的距离等于O到BC 的距离，AB=5，AC=4，所以BC=3所以所求距离为：故答案为：点评：本题考查棱柱的结构特征，点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力，考查计算能力，是中档题．三、解答题（共6小题，满分60分）19．（8分）证明：．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数恒等式的证明；弦切互化．分析：等式左边是两个正切值，右边是余弦、正弦的分式，左边是半角与，右边是单角x和倍角2x．若从右向左证，需进行单角变半角，而分母可进行和化积，关键是分子的变化，仍从角入手，将x写成﹣，再用两角差公式，而从左向右证，需进行切变弦，同时还要考虑变半角为单角．解答：证明：=点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系和两角差的正弦公式．属中档题．三角函数部分公式比较多要强化记忆．20．（10分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=．（Ⅰ）求证：顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上；（Ⅱ）求这个平行六面体的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题；综合题．分析：（Ⅰ）如图利用Rt△A1NA≌Rt△A1MA证明A1M=A1N，OM=ON，即证明顶点A1在底面ABCD 的射影O在∠BAD的平分线上；（Ⅱ）求出底面ABCD的面积，和高A1O，然后可求几何体的体积．解答：解：（Ⅰ）证：连接A1O，则A1O⊥底面ABCD．作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连接A1M，A1N由三垂线定理得A1M⊥AB，A1N⊥AD∵∠A1AM=∠A1AN，∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA∴A1M=A1N∴OM=ON．∴点O在∠BAD的平分线上（Ⅱ）∵AM=AA1，∴AO=AM．又在职Rt△AOA1中，A1O2=AA12﹣AO2=，∴A1O=．∴平行六面体的体积V=．点评：本题考查棱柱的体积，以及射影问题，考查学生逻辑思维能力，是基础题．21．（10分）自点A（﹣3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0相切，求光线L所在直线的方程．考点：直线和圆的方程的应用；关于点、直线对称的圆的方程．分析：化简圆的方程为标准方程，求出关于x轴对称的圆的方程，设l的斜率为k，利用相切求出k的值即可得到l的方程．解答：解：已知圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，它关于x轴的对称圆的方程是（x﹣2）2+（y+2）2=1，设光线L所在直线的方程是y﹣3=k（x+3）（其中斜率k待定）由题设知对称圆的圆心C'（2，﹣2）到这条直线的距离等于1，即．整理得：12k2+25k+12=0，解得：，或．故所求的直线方程是，或，即3x+4y﹣3=0，或4x+3y+3=0．点评：本题考查点、直线和圆的对称问题，直线与圆的关系，是基础题，解答简洁值得借鉴．22．（12分）已知a＞0，a≠1，试求使方程有解的k的取值范围．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题设条件可知，原方程的解x应满足，当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解，再根据这个不等式组的解集并结合对数函数的性质可以求出k的取值范围．解答：解：由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解由（1）得2kx=a（1+k2）（4）当k=0时，由a＞0知（4）无解，因而原方程无解．当k≠0时，（4）的解是把（5）代入（2），得．解得：﹣∞＜k＜﹣1或0＜k＜1．综合得，当k在集合（﹣∞，﹣1）∪（0，1）内取值时，原方程有解．点评：解题时要注意分类讨论思想的灵活运用．23．（10分）是否存在常数a，b，c使得等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）对于一切正整数n都成立？并证明你的结论．考点：数学归纳法；数列的极限．专题：证明题；压轴题．分析：先假设存在符合题意的常数a，b，c，再令n=1，n=2，n=3构造三个方程求出a，b，c，再用用数学归纳法证明成立，证明时先证：（1）当n=1时成立．（2）再假设n=k（k≥1）时，成立，即1•22+2•32+…+k（k+1）2=（3k2+11k+10），再递推到n=k+1时，成立即可．解答：证明：假设存在符合题意的常数a，b，c，在等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）中，令n=1，得4=（a+b+c）①令n=2，得22=（4a+2b+c）②令n=3，得70=9a+3b+c③由①②③解得a=3，b=11，c=10，于是，对于n=1，2，3都有1•22+2•32+…+n（n+1）2=（3n2+11n+10）（*）成立．下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，即1•22+2•32+…+k（k+1）2=（3k2+11k+10），那么当n=k+1时，1•22+2•32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2=（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2=（3k2+5k+12k+24）=[3（k+1）2+11（k+1）+10]，由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立．点评：本题主要考查研究存在性问题和数学归纳法，对存在性问题先假设存在，再证明是否符合条件，数学归纳法的关键是递推环节，要符合假设的模型才能成立．24．（10分）设f（x）是定义在区间（﹣∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z，用I k表示区间（2k﹣1，2k+1]，已知当x∈I0时，f（x）=x2．（1）求f（x）在I k上的解析表达式；（2）对自然数k，求集合M k={a|使方程f（x）=ax在I k上有两个不等的实根}考点：根的存在性及根的个数判断；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；压轴题．分析：（1）利用2为周期2k也是周期可得f（x）=f（x﹣2k）=（x﹣2k）2即为所求．（2）转化为x2﹣（4k+a）+4k2=0在区间I k上恰有两个不相等的实根，再求有两个不相等的实根成立的条件即可．解答：解：（1）∵f（x）是以2为周期的函数，∴当k∈Z时，2k也是f（x）的周期．又∵当x∈I k时，（x﹣2k）∈I0，∴f（x）=f（x﹣2k）=（x﹣2k）2．即对k∈Z，当x∈I k时，f（x）=（x﹣2k）2．（2）当k∈Z且x∈I k时，利用（1）的结论可得方程（x﹣2k）2=ax，整理得：x2﹣（4k+a）+4k2=0．它的判别式是△=（4k+a）2﹣16k2=a（a+8k）．上述方程在区间I k上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足化简得由（1）知a＞0，或a＜﹣8k．当a＞0时：因2+a＞2﹣a，故从（2），（3）可得，即当a＜﹣8k时：2+a＜2﹣8k＜0，易知无解，综上所述，a应满足故所求集合点评：本题借助于函数的周期性对函数解析式的求法和根的存在性'根的个数的判断的综合考查，是道中档题．。
1981年全国统一高考数学试卷(理科)
1981年全国统一高考数学试卷（理科）一、解答题（共10小题，满分120分）1．（6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：（1）A∪B，（2）A∩B．2．（6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果．3．（8分）下表所列各小题中，指出A是B的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是．4．（10分）写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明．5．（10分）解不等式（x为未知数）：．6．（10分）用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立．7．（16分）设1980年底我国人口以10亿计算．（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？8．（17分）在120°的二面角P﹣a﹣Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B 已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4，且线段AB=10，（1）求直线AB和棱a所成的角；（2）求直线AB和平面Q所成的角．9．（17分）给定双曲线．（1）过点A（2，1）的直线L与所给的双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程．（2）过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．10．（20分）已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF，其边长为1（如图）设AC=a，BC=b，作数列u1=a﹣b，u2=a2﹣ab+b2，u3=a3﹣a2b+ab2﹣b3，…，u k=a k﹣a k﹣1b+a k﹣2b2﹣…+（﹣1）k b k；求证：u n=u n﹣1+u n﹣2（n≥3）．1981年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分120分）1．（6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：（1）A∪B，（2）A∩B．考点：交集及其运算；并集及其运算．分析：根据实数可分为有理数、无理数两大类，可得A∪B，又由有理数、无理数的定义，可得A∩B．解答：解：（1）根据实数可分为有理数、无理数两大类，可得A∪B=R，（2）有理数、无理数的定义，没有一个数既是有理数又是无理数，则A∩B=Φ．点评：本题结合实数的分类与有理数、无理数的关系，考查集合间的交集、并集的运算，是概念类型的试题，难度较小．2．（6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果．考点：组合及组合数公式；排列及排列数公式．专题：计算题；阅读型．分析：（1）由题意知本题是一个从四个元素中选两个元素的问题，只要用排列数表示出来即可，列举时注意可以按照一定的顺序进行，比如先写出包含A的，再写包含B的去掉重复的．（2）本题和前一个问题是有一定的区别的，上一问选正、副班长各一人包括选出来，安排谁当什么，而本题只是选出三个人即可，与顺序无关．解答：解：（1）选举种数A42=12（种）所有可能的选举结果：AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC．（2）选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果：ABC、ABD、ACD、BCD．点评：排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．3．（8分）下表所列各小题中，指出A是B的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：阅读型．分析：本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行逐一判断即可．解答：解：见表对于第一个：平行四边形不一定是矩形，是矩形一定是平行四边形，故答案为：必要条件；对于第二个：a=3则|a|=3，但|a|=3则a=±3，故答案为：充分条件；对于第三个：θ=150°则sinθ=，但sinθ=则θ可能为30°，故答案为：充分条件；对于第四个：点在圆上，则点的坐标适合圆的方程，反之，点的坐标适合圆的方程则点在圆上，故答案为：充要条件点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．4．（10分）写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明．考点：余弦定理．专题：证明题．分析：建立坐标系，用解析法证明余弦定理．解答：解：a2=b2+c2﹣2bccosA．下用解析法证明证：以A为原点，射线AB为x轴正向，建立直角坐标系，则得A（0，0），B（c，0），C（bcosA，bsinA）．由两点距离公式得：a2=|BC|2=（c﹣bcosA）2+（﹣bsinA）2=b2+c2﹣2bccosA．点评：解析法证明代数几何中的某些定理与公式是一个很有效的武器．答题者应好好体会在本证明中的作用，并以所得的心得体会来证明余弦定理的其它形式．5．（10分）解不等式（x为未知数）：．考点：三阶矩阵．专题：计算题．分析：根据三阶矩阵的计算法则=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32﹣a13a22a31﹣a12a21a33﹣a11a23a32化简不等式的左边，求出不等式的解集即可．解答：解：不等式的左边==（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）﹣abc﹣abc﹣ac（x﹣b）﹣ab（x﹣c）﹣bc（x﹣a）=x3﹣ax2﹣bx2﹣cx2=x2（x﹣a﹣b﹣c），所以不等式变形为：x2（x﹣a﹣b﹣c）＞0，当x≠0时，x2＞0得到x﹣a﹣b﹣c＞0即x＞a+b+c则原不等式解是x＞a+b+c且x≠0．点评：此题是一道以三阶矩阵为平台，利用它的计算法则对不等式进行变形并会求不等式解集．6．（10分）用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立．考点：数学归纳法．专题：证明题．分析：要证明等式对一切自然数n都成立，则我们要先证明n=1时成立，再假设n=k时成立，进而n=k+1时等式也成立．解答：解：①当n=1时，②假设当n=k时，等式成立，即则当n=k+1时，=•=•=即此时等式也成立，故等式对一切自然数n都成立．点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基）P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．7．（16分）设1980年底我国人口以10亿计算．（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？考点：数列的应用．专题：应用题．分析：（1）由题意知所求人口数x（亿）x=10×（1.02）20，两边取对数可的答案．（2）设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%）20≤12，（1+y%）20≤1.2．由此解可得答案．解答：解：（1）所求人口数x（亿）是等比数列10，10×1.02，10×（1.02）2，的第21项，即x=10×（1.02）20，两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200，∴x=14.859（亿）（2）设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%）20≤12，（1+y%）20≤1.2．根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg（1+y%）≤lg1.2，即lg（1+y%）≤0.00396，∴1+y%≤1.0092，y%≤0.0092．点评：本题考查数列性质的综合应用，解题时要注意公式的灵活运用．8．（17分）在120°的二面角P﹣a﹣Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B 已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4，且线段AB=10，（1）求直线AB和棱a所成的角；（2）求直线AB和平面Q所成的角．考点：直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：（1）如图所示，在平面P内作直线AD⊥a于点D，在平面Q内，作直线BE⊥a于点E，过点D作DC⊥a，与从点B作CB∥a相交于点C．∠ABC等于AB和a所成的角，∠ADC为两面角P﹣a﹣Q的平面角，利用余弦定理即可得到AC，由a⊥平面ACD，BC∥a即可得到BC⊥平面ACD，在直角△ABC中求出sin∠ABC即可；（2）在△ACD所在的平面内，作AF⊥CD交CD的延长线于点F，利用面面垂直的性质即可证明AF⊥平面Q，从而得到∠ABF是直线AB和平面Q所成的角．解答：解：（1）在平面P内作直线AD⊥a于点D，在平面Q内，作直线BE⊥a于点E，从点D作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C．∴∠ABC等于AB和a所成的角，∠ADC为两面角P﹣a﹣Q的平面角，∴∠ADC=120°，又AD=2，BCDE为矩形，∴CD=BE=4．连接AC，由余弦定理得AC2=AD2+CD2﹣2AD•CDcos∠ADC=22+42﹣2×2×4×cos120°=28．∴．又∵AD⊥a，CD⊥a，∴a⊥平面ACD，∵BC∥a，∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥AC．在直角△ABC中，，∴．（2）在△ACD所在的平面内，作AF⊥CD交CD的延长线于点F．∵平面ACD⊥平面Q，∴AF⊥平面Q．在△ADF中，∠ADF=60°，AD=2，∴AF=．连接BF，于是∠ABF是AB和平面Q所成的角，在△ABF为直角三角形，∴．点评：熟练掌握线面与面面垂直的判定和性质定理、线面角、异面直线所成的角、余弦定理及常作的辅助线是解题的关键．9．（17分）给定双曲线．（1）过点A（2，1）的直线L与所给的双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程．（2）过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．考点：双曲线的应用；轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：（1）设直线L的方程代入双曲线方程，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），，根据韦达定理求得x1+x2的表达式，表示出x，把x代入直线方程求得y的表达式，再由的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程即是所求的轨迹方程．（2）设所求直线方程为y=k（x﹣1）+1，代入双曲线方程，设Q1（x1，y1），Q2（x2，y2）根据韦达定理表示出x1+x2求得k，代入判别式结果小于0，进而断定满足题设中条件的直线不存在．解答：解：设直线L的方程为y=k（x﹣2）+1，（1）将（1）式代入双曲线方程，得：（2﹣k2）x2+（4k2﹣2k）x﹣4k2+4k﹣3=0，（2）又设P1（x1，y1），P2（x2，y2），，则x1，x2必须是（2）的两个实根，所以有．按题意，，∴．因为在直线（1）上，所以．再由的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程为，这就是所求的轨迹方程．（2）设所求直线方程为y=k （x ﹣1）+1，代入双曲线方程，整理得（2﹣k 2）x 2+（2k 2﹣2k ）x ﹣k 2+2k ﹣3=0，（3） 设必须是（3）的两个实根，即如果B 是Q 1Q 2的中点，就有（x 1+x 2）=1，，所以有．综合起来，k 应满足．由第二式解出k=2，但k=2不满足第一式，所以（I ）无解．故满足题设中条件的直线不存在．点评：本题主要考查了双曲线的应用．解题的结果一定注意放到判别式中进行验证．10．（20分）已知以AB 为直径的半圆有一个内接正方形CDEF ，其边长为1（如图）设AC=a ，BC=b ，作数列u 1=a ﹣b ，u 2=a 2﹣ab+b 2，u 3=a 3﹣a 2b+ab 2﹣b 3，…，u k =a k ﹣a k ﹣1b+a k ﹣2b 2﹣…+（﹣1）k b k ； 求证：u n =u n ﹣1+u n ﹣2（n≥3）．考点： 数列递推式． 专题： 证明题．分析： 要证u n =u n ﹣1+u n ﹣2（n≥3），利用题目中给出的信息先求出通项u n ，然后利用圆中直角三角形的几何性质建立u n ，u n ﹣1，u n ﹣2三者的关系，即可得证． 解答：证明：通项公式可写成u k =a k ﹣a k ﹣1b+a k ﹣2b 2﹣+（﹣1）k b k =因a ﹣b=AC ﹣BC=AC ﹣AF=FC=1， ab=AC•BC=CD 2=1． 故得，n≥3==，=于是有．n≥3点评：本题是个中档题，主要考查了由数列递推式求数列的通项，以及证明等式的方法，在证明过程中注意几何图形的几何性质的应用．。
1997年全国统一高考数学试卷(理科)
1997年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分） 1．（4分）设集合M={x|0≤x ＜2}，集合N={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，集合M∩N=（ ） A ． {x|0≤x ＜1} B ． {x|0≤x ＜2} C ． {x|0≤x≤1} D ． {x|0≤x≤2} 2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x ﹣y ﹣2=0平行，那么实数a 等于（ ） A ． ﹣6 B ． ﹣3 C ．D ．3．（4分）函数y=tan （）在一个周期内的图象是（ ） A ．B ．C ．D ．4．（4分）已知三棱锥P ﹣ABC 的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P ﹣BC ﹣A 的大小为（ ） A ． B ． C ． D ．5．（4分）函数y=sin （）+cos2x 的最小正周期是（ ） A ．B ． πC ．2π D ． 4π6．（4分）满足arccos （1﹣x ）≥arccosx 的x 的取值范围是（ ） A ． [﹣1，﹣] B ． [﹣，0] C ． [0，] D ． [，1] 7．（4分）将y=2x 的图象____________再作关于直线y=x 对称的图象，可得到函数y=log 2（x+1）的图象（ ） A ． 先向左平行移动1个单位 B ． 先向右平行移动1个单位 C ． 先向上平行移动1个单位 D ． 先向下平行移动1个单位 8．（4分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ） A ． 20π B ． 25π C ． 50π D ． 200π9．（4分）曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），它的普通方程是（）A．（x﹣1）2（y ﹣1）=1 B．y=C．D．10．（4分）函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值为（）A．2B．0C．D．611．（5分）椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（）A．B．C．D．12．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A．πB．2πC．πD．π13．（5分）（2014•碑林区一模）定义在区间（﹣∞，+∞）的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，+∞）的图象与f（x）的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式：①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）；②f（b）﹣f（﹣a）＜g（a）﹣g（﹣b）；③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）；④f（a）﹣f（﹣b）＜g（b）﹣g（﹣a），其中成立的是（）A．①与④B．②与③C．①与③D．②与④14．（5分）不等式组的解集是（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x＜2.5} C．D．{x|0＜x＜3}15．（5分）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（）A．150种B．147种C．144种D．141种二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16．（4分）已知的展开式中x3的系数为，常数a的值为_________．17．（4分）（2014•陕西模拟）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是_________．18．（4分）的值为_________．19．（4分）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊊β且l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m．其中正确命题的序号是_________．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（10分）已知复数，．复数，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，Q．证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．21．（11分）已知数列{a n}，{b n}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1．设c n=a n+b n，S n为数列{c n}的前n项和．求．22．（12分）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？23．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）证明AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角．24．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜．（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f （x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜．25．（12分）（2012•北京模拟）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．1997年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）设集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x＜2} C．{x|0≤x≤1}D．{x|0≤x≤2}考点：交集及其运算．分析：解出集合N中二次不等式，再求交集．解答：解：N={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|0≤x＜2}，故选B点评：本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（）A．﹣6 B．﹣3 C．D．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：根据它们的斜率相等，可得=3，解方程求a的值．解答：解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，∴它们的斜率相等，∴=3，∴a=﹣6．故选A．点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．3．（4分）函数y=tan（）在一个周期内的图象是（）A．B．C．D．考点：正切函数的图象．专题：综合题．分析：先令tan（）=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函数y=tan（）的最小正周期为2π，排除B．解答：解：令tan（）=0，解得x=kπ+，可知函数y=tan（）与x轴的一个交点不是，排除C，D∵y=tan（）的周期T==2π，故排除B故选A点评：本题主要考查了正切函数的图象．要熟练掌握正切函数的周期，单调性，对称中心等性质．4．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P﹣BC﹣A的大小为（）A．B．C．D．考点：平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题．分析：要求二面角P﹣BC﹣A的大小，我们关键是要找出二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角，将空间问题转化为平面问题，然后再分析二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角所在的三角形的其它边与角的关系，解三角形进行求解．解答：解：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，得PB=PC=，PA=BC=2，取BC的中点E，连接AE，PE，则∠AEP即为所求二面角的平面角．且AE=EP=，∵AP2=AE2+PE2，∴∠AEP=，故选C．点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AEP 为二面角P﹣BC﹣A的平面角，通过解∠AEP所在的三角形求得∠AEP．其解题过程为：作∠AEP→证∠AEP是二面角的平面角→计算∠AEP，简记为“作、证、算”．5．（4分）函数y=sin（）+cos2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．分析：先将函数化简为：y=sin（2x+θ），即可得到答案．解答：解：∵f（x）=sin（）+cos2x=cos2x﹣sin2x+cos2x=（+1）cos2x﹣sin2x=sin（2x+θ）∴T==π故选B ．点评： 本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．属基础题．6．（4分）满足arccos （1﹣x ）≥arccosx 的x 的取值范围是（ ） A ． [﹣1，﹣] B ． [﹣，0] C ． [0，] D ． [，1]考点： 反三角函数的运用．专题： 计算题．分析： 应用反函数的运算法则，反函数的定义及性质，求解即可．解答：解：arccos （1﹣x ）≥arccosx 化为cos[arccos （1﹣x ）]≤cos[arccosx ] 所以1﹣x≤x ，即：x，又x ∈[﹣1，1]，所以x 的取值范围是[，1]故选D ．点评： 本题考查反余弦函数的运算法则，反函数的定义域，考查学生计算能力，是中档题．7．（4分）将y=2x 的图象____________再作关于直线y=x 对称的图象，可得到函数y=log 2（x+1）的图象（ ） A ． 先向左平行移动1个单位 B ． 先向右平行移动1个单位 C ． 先向上平行移动1个单位 D ． 先向下平行移动1个单位考点： 反函数；函数的图象与图象变化． 分析： 本题考查函数图象的平移和互为反函数的函数图象之间的关系两个知识点，作为本题，可以用逐一验证的方法排除不合题意的选项，验证的个数在1到3个，对于本题，这不是最佳选择，建议逆推得到平移后的解析式，这样就可以方便的观察到平移的方向及单位数．解答： 解：利用指数式和对数式的互化，由函数y=log 2（x+1）解得：x=2y ﹣1 则函数y=log 2（x+1）（x ＞﹣1）的反函数为y=2x ﹣1（x ∈R ） 即函数y=2x 平移后的函数为y=2x ﹣1， 易见，只需将其向下平移1个单位即可． 故选D点评： 本题采用先逆推获取平移后的解析式的方法，得到解析式后平移的方向和单位便一目了然，简便易行，值得尝试．8．（4分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ） A ． 20π B ． 25π C ． 50π D ． 200π考点： 球的体积和表面积． 专题： 计算题． 分析： 设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．解答：解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．∴S球=4π×R2=50π．故选C点评：本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题．9．（4分）曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），它的普通方程是（）A．（x﹣1）2（y ﹣1）=1 B．y=C．D．考点：参数方程的概念．专题：计算题．分析：由题意知x=1﹣，可得x﹣1=﹣，将方程两边平方，然后与y﹣1=﹣t2，相乘消去t即可求解．解答：解：∵曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），∴，∴将两个方程相乘可得，（x﹣1）2（1﹣y）=1，∴y=，故选B．点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．10．（4分）函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值为（）A．2B．0C．D．6考点：函数的值域；余弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：先进行配方找出对称轴，而﹣1≤cosx≤1，利用对称轴与区间的位置关系求出最小值．解答：解：y=cos2x﹣3cosx+2=（cosx﹣）2﹣∵﹣1≤cosx≤1∴当cosx=1时y min=0，故选B点评：本题以三角函数为载体考查二次函数的值域，属于求二次函数的最值问题，属于基本题．11．（5分）椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：依题意可知椭圆C关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可．根据原椭圆方程可求得其中心坐标，进而求得其关于直线x+y=0对称点，则椭圆方程可得．解答：解：依题意可知椭圆C关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可．∵椭圆的中心为（3，2）关于直线x+y=0对称的点为（﹣2，﹣3）故椭圆C的方程为故选A．点评：本题主要考查了直线与椭圆的关系及点关于直线对称的问题．属基础题．12．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A．πB．2πC．πD．π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过圆台的底面面积，求出上下底面半径，利用侧面积公式求出母线长，然后求出圆台的高，即可求得圆台的体积．解答：解：S1=π，S2=4π，∴r=1，R=2，S=6π=π（r+R）l，∴l=2，∴h=．∴V=π（1+4+2）×=π．故选D点评：本题是基础题，通过底面面积求出半径，转化为求圆台的高，是本题的难点，考查计算能力，常考题．13．（5分）（2014•碑林区一模）定义在区间（﹣∞，+∞）的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，+∞）的图象与f（x）的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式：①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）；②f（b）﹣f（﹣a）＜g（a）﹣g（﹣b）；③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）；④f（a）﹣f（﹣b）＜g（b）﹣g（﹣a），其中成立的是（）A．①与④B．②与③C．①与③D．②与④考点：函数奇偶性的性质．分析：根据f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g（b）=f（b），对①②③④进行逐一验证即可得答案．解答：解：由题意知，f（a）＞f（b）＞0又∵f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g（b）=f（b）；∴①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）⇔f（b）+f（a）＞f（a）﹣f（b）⇔f（b）＞﹣f（b），故①对②不对．③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）⇔f（b）+f（a）＞f（b）﹣f（a）⇔f（a）＞﹣f（a），故③对④不对．故选C．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用．14．（5分）不等式组的解集是（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x＜2.5} C．D．{x|0＜x＜3}考点：其他不等式的解法．专题：压轴题．分析：可以直接去绝对值解不等式，比较复杂；可结合答案用特值法解决．解答：解：取x=2满足不等式，排除A；再取x=2.5，不满足，排除B、D故选C点评：本题考查解绝对值不等式和分式不等式问题，要注意选择题的特点，选择特殊做法解决．15．（5分）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（）A．150种B．147种C．144种D．141种考点：排列、组合的实际应用；计数原理的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知从10个点中任取4个点有C104种取法，减去不合题意的结果，4点共面的情况有三类，取出的4个点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去不合题意的结果即可得答案．解答：解：从10个点中任取4个点有C104种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有C104﹣4C64﹣6﹣3=141种．故选D．点评：本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，解题时注意做到不重不漏．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16．（4分）已知的展开式中x3的系数为，常数a的值为4．考点：二项式定理；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数，列出方程解得．解答：解：的展开式的通项为=令解得r=8∴展开式中x3的系数为∵展开式中x3的系数为∴解得a=4故答案为4点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．17．（4分）（2014•陕西模拟）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是．考点：简单曲线的极坐标方程；与圆有关的比例线段；不等式的基本性质．专题：计算题；压轴题．分析：先将原极坐标方程中的三角函数式展开后两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即得．解答：解：将原极坐标方程，化为：ρsinθ+ρcosθ=1，化成直角坐标方程为：x+y﹣1=0，则极点到该直线的距离是=．故填；．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．18．（4分）的值为．考点：角的变换、收缩变换．专题：计算题；压轴题．分析：先将分式中的15°化为7°+8°，利用两角和的余弦、正弦展开，分子、分母分组提取sin7°，cos7°，再用同角三角函数的基本关系式，化简，然后，就会求出tan15°，利用两角差的正切，求解即可．解答：解：=======tan15°=tan（45°﹣30°）===，故答案为：点评：本题考查角的变换，两角和的正弦、余弦，同角三角函数的基本关系式，考查学生运算能力，是中档题．19．（4分）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊊β且l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m．其中正确命题的序号是①④．考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：压轴题．分析：对于①，考虑直线与平面垂直的判定定理，符合定理的条件故正确；对于②，考虑直线与平面平行的性质定理以及直线与平面的位置关系，故错误；对于③考虑α⊥β的判定方法，而条件不满足，故错误；对于④符合面面垂直的判定定理，故正确；对于⑤不符合线线平行的判定，故错误．正确命题的序号是①④解答：解：①，符合定理的条件故正确；②，若l平行于α，则l与α内的直线有两种：平行或异面，故错误；③m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α与β可以相交但不垂直；④符合面面垂直的判定定理，故正确；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m或者异面，错误，故正确命题的序号是①④．点评：本题考查立体几何中线线关系中的平行、线面关系中的垂直、面面关系中的垂直的判定方法，要注意对比判定定理的条件和结论，同时要注意性质定理、空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的应用．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（10分）已知复数，．复数，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，Q．证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．考点：复数代数形式的混合运算．分析：利用复数三角形式，化简复数，．然后计算复数，z2ω3，计算二者的夹角和模，即可证得结论．解答：解法一：，于是，，=因为OP与OQ的夹角为，所以OP⊥OQ．因为，所以|OP|=|OQ|由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．解法二：因为，所以z3=﹣i．因为，所以ω4=﹣1于是由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|．由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．点评：本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力，是中档题．21．（11分）已知数列{a n}，{b n}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1．设c n=a n+b n，S n为数列{c n}的前n项和．求．考点：等比数列的通项公式；极限及其运算；数列的求和．专题：计算题．分析：先根据等比数列的通项公式分别求出a n和b n，再根据等比数列的求和公式，分别求得S n和S n的表达式，进而可得的表达式，分p＞1和p＜1对其进行求极限．﹣1解答：解：，．分两种情况讨论．（Ⅰ）p＞1．∵，====p．（Ⅱ）p＜1．∵0＜q＜p＜1，==点评：本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力．22．（12分）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：（1）全程运输成本有两部分组成，将其分别分别表示出来依题意建立起程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，由题设条件速度不得超过c千米/时．故定义域为v∈（0，c]．（2）由（1）知，全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形，由于等号成立的条件有可能不成立，故求最值的方法不确定，对对速度的范围进行分类讨论，如等号成立时速度值不超过c，则可以用基本不等式求求出全程运输成本的最小值，若等号成立时速度值大于最高限速v，可以判断出函数在（0，c]上的单调性，用单调性求出全程运输成本的最小值．解答：解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为故所求函数及其定义域为（2）依题意知S，a，b，v都为正数，故有当且仅当，．即时上式中等号成立若，则当时，全程运输成本y最小，若，即a＞bc2，则当v∈（0，c]时，有==因为c﹣v≥0，且a＞bc2，故有a﹣bcv≥a﹣bc2＞0，所以，且仅当v=c时等号成立，也即当v=c时，全程运输成本y最小．综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为；当时行驶速度应为v=c．点评：本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．23．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）证明AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；证明题．分析：（1）证明线线垂直可先证线面垂直，欲证AD⊥D1F，可先证AD⊥面DC1，即可证得；（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，取AB的中点G，将D1F平移到A1G，AB与A1G构成的锐角或直角就是异面直线所成的角，利用三角形全等求出此角即可．解答：解：（Ⅰ）∵AC1是正方体，∴AD⊥面DC1．又D1F⊂面DC1，∴AD⊥D1F．（Ⅱ）取AB中点G，连接A1G，FG．因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F．设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°，即直线AE与D1F所成角为直角．点评：本小题主要考查异面直线及其所成的角，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于基础题．24．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜．（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f （x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；不等式的证明．专题：证明题；压轴题；函数思想；方程思想；作差法．分析：（1）方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，所以构造函数，当x∈（0，x1）时，利用函数的性质推出x＜f （x），然后作差x1﹣f（x），化简分析出f（x）＜x1，即可．（2）．方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，函数f（x）的图象，关于直线x=x0对称，利用放缩法推出x0＜；解答：证明：（1）令F（x）=f（x）﹣x．因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，所以F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）．当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，得（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，又a＞0，得F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，即x＜f（x）．x1﹣f（x）=x1﹣[x+F（x）]=x1﹣x+a（x1﹣x）（x﹣x2）=（x1﹣x）[1+a（x﹣x2）]因为所以x1﹣x＞0，1+a（x﹣x2）=1+ax﹣ax2＞1﹣ax2＞0．得x1﹣f（x）＞0．由此得f（x）＜x1．（2）依题意知因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，即x1，x2是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的根．∴，因为ax2＜1，所以．点评：本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．25．（12分）（2012•北京模拟）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．考点：直线与圆的位置关系．专题：压轴题．分析：圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，劣弧所对的圆心角为90°，设圆的圆心为P（a，b），圆P截X轴所得的弦长为，截y轴所得弦长为2；可得圆心轨迹方程，圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小，利用基本不等式，求得圆的方程．解答：解法一：设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为，故r2=2b2，又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2+1．从而得2b2﹣a2=1．又点P（a，b）到直线x﹣2y=0的距离为，所以5d2=|a﹣2b|2=a2+4b2﹣4ab≥a2+4b2﹣2（a2+b2）=2b2﹣a2=1，当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值．由此有解此方程组得或由于r2=2b2知．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．解法二：同解法一，得∴得①将a2=2b2﹣1代入①式，整理得②把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8（5d2﹣1）≥0，得5d2≥1．∴5d2有最小值1，从而d有最小值．将其代入②式得2b2±4b+2=0．解得b=±1．将b=±1代入r2=2b2，得r2=2．由r2=a2+1得a=±1．综上a=±1，b=±1，r2=2．由|a﹣2b|=1知a，b同号．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．点评：本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．易错的地方，P到x轴，y轴的距离，不能正确利用基本不等式．。
1999年全国统一高考数学试卷(理科)及其参考考答案
1999年全国统一高考数学试卷（理科）及其参考考答案本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页。
第II 卷3至8。
共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）注意事项：l ．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后。
再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束。
监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：三角函数的积化和差公式[]1sin cos sin()sin()2αβαβαβ=++- []1cos sin sin()sin()2αβαβαβ=+-- []1cos cos cos()cos()2αβαβαβ=++-正棱台、圆台的侧面积公式：1()2S c c l ='+台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长．球的体积公式：343V r π=球，其中R 表示球的半径．台体的体积公式：h S S S S V )31'++=‘台体（，其中'S ，S 分别表示上下底面积，h表示高。
一、选择题：本大题共14小题；第1—10题每小题4分，第11—14题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选顶中，只有一顶是符合题目要求的。
（1）如图,I 是全集,M 、P 、S 、是I 的3个子集，由阴影部分所表示的集合是 ( ) （A ）)(N M ⋂S ⋂ （B ）S P M ⋃⋂)(（C ）S P M ⋂⋂)( （D ）S P M ⋃⋂)(（2）已知映射f:A 中中的元素都是集合其中，集合A B A B },,3,2,1,1,2,3{,---=→ 元素在映射f 下的象，且对任意的a ∈A 中则集合中和它对应的元素是在B {a},B ,元 素的个数是 ( )（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（3）若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab 等于则)(,0b g ≠ ( ) （A ）a（B ）1a -（C ）b （D ）1b -（4）函数f(x)=Msin(在区间)0)(>+ωϕωx [a,b]上是增函数，且f(a)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(上在],[)b a x φω+ ( )(A)是增函数 （B ）是减函数 （C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值－M （5）若f(x)sinx 是周期为π的奇函数，则f(x)可以是（A ）sinx (B)cosx (C)sin2x (D)cos2x （6）在极坐标系中，曲线关于)3sin(4πθρ-= ( )(A)直线3πθ=对称（B ）直线πθ65=轴对称 （C ）点(2,)3π中心对称 （D ）极点中心对称（７）若干毫升水倒入底面半径为２cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为６cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 （ ）(A)cm 36 （B ）cm 6 （C ）2（D ）3（8）2312420443322104)(),)32(a a a a a x a x a x a x a a x +-++++++=+则（若 的值为 （ ）(A)1 (B)-1 (C)0 (D)2(9)直线为得的劣弧所对的圆心角截圆4032322=+=-+y x y x （ ）（A ）6π (B)4π (C)3π (D)2π(10) 如图，在多面体ＡＢＣＤＥＦ中 , 已知面ＡＢＣＤ是边长为３的正方形ＥＦ∥ＡＢＥＦ＝EF ,23与面ＡＣ的距离为２，则该多面体的体积 （ ） （A ）29 (B)5 (C)6 (D)215（11）若sin (αααctg tg >>∈<<-απαπ则),22（ ）(A))4,2(ππ--(B) )0,4(π- (C) )4,0(π (D) )2,4(ππ （12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1∶2，那么R ＝（ ）（A ）10 （B ）15 （C ）20 （D ）25（13）已知丙点M （1，),45,4()45--N 、给出下列曲线方程：4x+2y-1=0 ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足MP P N =的所有曲线方程是 （A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。
1984年全国统一高考数学试卷(理科)
1984年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）数集✠（ ⏹ ）⇨，⏹是整数❝与数集✡（ ）⇨， 是整数❝之间的关系是（）✌．✠②✡．✠③✡．✠✡．✠♊✡．（ 分）如果圆⌧ ⍓ ☝⌧☜⍓☞与⌧轴相切于原点，那么（）✌．☞，☝♊，☜♊．☜，☞，☝♊．☝，☞，☜♊．☝，☜，☞♊．（ 分）如果⏹是正整数，那么的值（）✌．一定是零．一定是偶数．是整数但不一定是偶数．不一定是整数．（ 分）♋❒♍♍☐♦（﹣⌧）大于♋❒♍♍☐♦⌧的充分条件是（）✌．⌧ （ ，．⌧ （﹣ ， ）．⌧ ☯，．．（ 分）如果→是第二象限角，且满足，那么（）✌．是第一象限角．是第三象限角．可能是第一象限角，也可能是第三象限角是第二象限角．二、解答题（共 小题，满 分）．（ 分）已知圆柱的侧面展开图是边长为 与 的矩形，求圆柱的体积．．（ 分）函数●☐♑ （⌧ ⌧ ）在什么区间上是增函数？．（ 分）求方程的解集．．（ 分）求式子（ ⌧﹣ ） 的展开式中的常数项．．（ 分）求的值．．（ 分）要排一张有 个歌唱节目和 个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）．．（ 分）设画出函数⍓☟（⌧﹣ ）的图象．．（ 分）画出极坐标方程的曲线．．（ 分）已知三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行． ．（ 分）设♍，♎，⌧为实数，♍♊，⌧为未知数，讨论方程在什么情况下有解，有解时求出它的解．．（ 分）设☐♊，实系数一元二次方程 ﹣ ☐❑有两个虚数根 ， 、再设 ， 在复平面内的对应点是☪ ，☪ ，求以☪ ，☪ 为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长． ．（ 分）求经过定点 （ ， ），以⍓轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程．．（ 分）在 ✌中， ✌， ， 所对的边分别为♋，♌，♍，且♍ ，， 为 ✌的内切圆上的动点，求点 到顶点✌， ， 的距离的平方和的最大值与最小值．．（ 分）设♋＞ ，给定数列 ⌧⏹❝，其中⌧ ♋，求证：（ ）⌧⏹＞ ，且；（ ）如果♋♎ ，那么．．如图，已知圆心为 ，半径为 的圆与直线●相切于点✌，一动点 自切点✌沿直线●向右移动时，取弧✌的长为，直线 与直线✌交于点 ．又知当✌时，点 的速度为❖，求这时点 的速度．年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）数集✠（ ⏹ ）⇨，⏹是整数❝与数集✡（ ）⇨， 是整数❝之间的关系是（）✌．✠②✡．✠③✡．✠✡．✠♊✡考点：集合的包含关系判断及应用．分析：题中两个数集都表示⇨的奇数倍的实数，根据集合的相等关系得这两个数集的关系．解答：解： 数集✠（ ⏹）⇨，⏹是整数❝其中的元素是⇨的奇数倍．数集✡（ ）⇨， 是整数❝其中的元素也是⇨的奇数倍．它们之间的关系是✠✡．故选 ．点评：本题主要考查集合的相等等基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间相等的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．．（ 分）如果圆⌧ ⍓ ☝⌧☜⍓☞与⌧轴相切于原点，那么（）✌．☞，☝♊，☜♊．☜，☞，☝♊．☝，☞，☜♊．☝，☜，☞♊考点：圆的一般方程．分析：圆与⌧轴相切于原点，则圆心在⍓轴上，☝，圆心的纵坐标的绝对值等于半径，☞，☜♊解答：解：圆与⌧轴相切于原点，则圆心在⍓轴上，☝，圆心的纵坐标的绝对值等于半径，☞，☜♊．故选 ．点评：本题考查圆的一般式方程，直线与圆的位置关系，是基础题． ．（ 分）如果⏹是正整数，那么的值（）✌．一定是零．一定是偶数．是整数但不一定是偶数．不一定是整数考点：进行简单的合情推理．专题：分类讨论．分析：这是一个简单的合情推理问题，我们可以对⏹的取值进行分类讨论，并加以简单的证明，不难得到正确的答案．解答：解： ⏹是正整数♊当为为奇数时，⏹ ﹣ 必为 的整数倍，不妨令⏹ ﹣ ☪，☪ ☠✉则 ☪，☪ ☠✉即此时的值为偶数．♋当为为偶数时， ﹣（﹣ ）⏹ 则 故的值一定是偶数故选点评：这是一道新运算类的题目，其特点一般是❽新❾而不❽难❾，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．．（ 分）♋❒♍♍☐♦（﹣⌧）大于♋❒♍♍☐♦⌧的充分条件是（）✌．⌧ （ ，．⌧ （﹣ ， ）．⌧ ☯，．考点：反三角函数的运用．专题：计算题；压轴题；分类讨论；转化思想．分析：充分考虑♋❒♍♍☐♦⌧的范围，推出♋❒♍♍☐♦（﹣⌧）的范围，然后确定♋❒♍♍☐♦（﹣⌧）大于♋❒♍♍☐♦⌧的充分条件解答：解： ♋❒♍♍☐♦⌧ ☯，⇨，（ ）♋❒♍♍☐♦⌧ ☯，）时，⌧ （ ， ，♋❒♍♍☐♦（﹣⌧） （，⇨＞♋❒♍♍☐♦⌧，（ ）♋❒♍♍☐♦⌧ （，⇨时，⌧ ☯﹣ ， ），♋❒♍♍☐♦（﹣⌧） ☯，）＜♋❒♍♍☐♦⌧，（ ）♋❒♍♍☐♦⌧时 ⌧，♋❒♍♍☐♦⌧ ♋❒♍♍☐♦（﹣⌧），故选✌．点评：本题考查反三角函数的运用，考查分类讨论的思想，是基础题．．（ 分）如果→是第二象限角，且满足，那么（）是第一象限角✌．是第三象限角．可能是第一象限角，也可能是第三象限角．是第二象限角．考点：半角的三角函数．专题：计算题；压轴题．分析：先根据→的范围确定的范围，再由可确定的大小关系，进而确定的象限．解答：解： →是第二象限角 （ ☪）当 为偶数时，在第一象限；当 为奇数时，在第三象限；是第三象限角故选 ．点评：本题主要考查象限角和二倍角公式以及同角三角函数的基本关系．属基础题．二、解答题（共 小题，满 分）．（ 分）已知圆柱的侧面展开图是边长为 与 的矩形，求圆柱的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；分类讨论．分析：圆柱的侧面展开图是边长为 与 的矩形，可以有两种形式的圆柱的展开图，分别求出底面半径和高，分别求出体积．解答：解：圆柱的侧面展开图是边长为 与 的矩形，当母线为 时，圆柱的底面半径是此时圆柱体积是当母线为 时，圆柱的底面半径是，此时圆柱的体积是综上所求圆柱的体积是：或．点评：本题考查圆柱的侧面展开图，圆柱的体积，是基础题．容易疏忽一种情况． ．（ 分）函数●☐♑ （⌧ ⌧ ）在什么区间上是增函数？考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：本题是一个复合函数，故应依据复合函数的单调性来判断其单调性，先求出定义域，判断出外层函数与内层函数的单调性，再依规则来判断即可．解答：解：令⌧ ⌧ ＞ ，得⌧♊﹣ ，由♦⌧ ⌧ 知，其对称轴为⌧﹣故内层函数在（﹣ ，﹣ ）上是减函数，在（﹣ ， ）上是增函数．因为外层函数的底数 ＜ ，故外层是减函数，欲求复合函数的增区间，只须求内层的减区间故函数⍓●☐♑ （⌧ ⌧ ）在（﹣ ，﹣ ）上是增函数．答：函数⍓●☐♑ （⌧ ⌧ ）在（﹣ ，﹣ ）上是增函数．点评：本题的考点是复合函数的单调性，考查了对数与二次函数的单调性的判断方法以及定义域的求法．．（ 分）求方程的解集．考点：三角函数的化简求值．专题：计算题；数形结合．分析：利用平方关系和倍角公式对方程进行整理，根据一个周期内的正弦函数值求解，最后解集写出几何形式．解答：解：由题意知，，即 ♦♓⏹⌧，♦♓⏹⌧﹣，则 ⌧ ⏹⇨或﹣ ⏹⇨（⏹ ☪），解得⌧ ⏹⇨或﹣ ⏹⇨（⏹ ☪），所求方程的解集是： ⌧⌧ ⏹⇨，⏹ ☪❝✉⌧⌧﹣ ⏹⇨，⏹ ☪❝点评：本题考查了三角函数方程的求解，即利用同角的基本关系、倍角公式、两角和差公式等等，对方程进行化简，再由三角函数在一个周期内的函数值和周期求出解集．．（ 分）求式子（ ⌧﹣ ） 的展开式中的常数项．考点：二项式系数的性质．分析：解法一：利用分步乘法原理展开式中的常数项是三种情况的和，解法二：先将利用完全平方公式化成二项式，利用二项展开式的通项公式求得第❒ 项，令⌧的指数为 得常数项．解答：解法一：（ ⌧﹣ ） （ ⌧﹣ ）（ ⌧﹣ ）（ ⌧﹣ ）得到常数项的情况有：♊三个括号中全取﹣ ，得（﹣ ） ；♋一个括号取 ⌧，一个括号取，一个括号取﹣ ，得 （﹣ ） ﹣ ， 常数项为（﹣ ） （﹣ ） ﹣ ．解法二：（ ⌧﹣ ） （﹣） ．设第❒ 项为常数项，则❆❒ ❒❿（﹣ ）❒❿（）❒❿⌧ ﹣❒ （﹣ ） ❿ ❒❿⌧ ﹣ ❒，得 ﹣ ❒，❒ ．❆ （﹣ ） ❿ ﹣ ．点评：本题考查解决二项展开式的特定项问题的重要工具有二项展开式的通项公式；还有分步乘法原理．．（ 分）求的值．考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：分子、分母同时除以 ⏹，原式转化为，由此能求出的值．解答：解： ．点评：本题考查数列的极限和运算，解题时要注意合理地进行等价转化．．（ 分）要排一张有 个歌唱节目和 个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：首先分析两个舞蹈节目不得相邻的排列法，可以猜想到用插空法求解，然后分别求出舞蹈节目的排法及歌唱节目的排法，相乘即可得到答案．解答：解：此题采用插空法，因为任何两个舞蹈节目不得相邻，即可把 个歌唱节目每个的前后当做一个空位，共有 个空位，只需把舞蹈节目安排到空位上就不会相邻了，共有 种排法，舞蹈节目排好后再排歌唱节目共有✌ 种所以共有种 ❿✌ 排法，答案为 ❿✌ ．点评：此题主要考查排列组合及其简单的计数问题，对于不相邻这种类型题目的求解，要想到可以用插空法求解，这种解题思路非常重要，要很好的理解记忆．．（ 分）设画出函数⍓☟（⌧﹣ ）的图象．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象．分析：考查函数图象的变化，⍓☟（⌧﹣ ）的图象是由⍓☟（⌧）的图象向右平移一个图象得到的．故可以先画出☟（⌧）的图象然后再向右平移 个单位得到☟（⌧﹣ ）的图象．解答：解：点评：考查函数图象的平移问题．记⍓♐（⌧），则⍓♐（⌧ ），⍓♐（⌧﹣ ），⍓♐（⌧） ，⍓♐（⌧）﹣ 的图象，是由⍓♐（⌧）图象分别向左，向右，向上，向下平移 个单位得到的．．（ 分）画出极坐标方程的曲线．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：作图题．分析：先将方程化简一下，然后根据极坐标方程的几何意义进行画图即可．解答：解：方程⇧﹣ 或→﹣ ，即⇧表示圆心在极点，半径为 的圆→表示极角为的射线画出图象即可．点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及作图能力的考查，属于基础题． ．（ 分）已知三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行．考点：平面与平面之间的位置关系．专题：证明题；综合题．分析：三个平面两两相交，有三条交线，这三条交线交于一点，或互相平行．证明时要分三条交线交于一点，和三条交线互相平行两种情况；（ ）证三线交于一点时，先由两线交于一点，再证这一点也在第三条直线上；（ ）证三线平行时，先由两线平行，再证第三条直线与这两条平行线中的任一条直线平行即可．解答：证明：设三个平面为↑，↓，↖，且↑✆↓♍，↑✆↖♌，↓✆↖♋； ↑✆↓♍，↑✆↖♌， ♍②↑，♌②↑；♍与♌交于一点，或互相平行．（ ）如图♊，若♍与♌交于一点，可设♍✆♌．由 ♍，且♍②↓，有 ↓；又由 ♌，♌②↖，有 ↖； ↓✆↖♋；所以，直线♋，♌，♍交于一点（即 点）．图♊； 图♋（ ）如图♋，若♍♌，则由♌②↖，且♍④↖， ♍↖；又由♍②↓，且↓✆↖♋， ♍♋；所以♋，♌，♍互相平行．点评：本题考查了空间中的直线平行，或相交的证明，特别是几何符号语言的应用，是有难度的问题．．（ 分）设♍，♎，⌧为实数，♍♊，⌧为未知数，讨论方程在什么情况下有解，有解时求出它的解．考点：对数的运算性质；对数函数图象与性质的综合应用；根的存在性及根的个数判断．分析：先将对数式转化为指数式，再根据对数函数的真数大于 ，底数大于 且不等于 找到方程有根的等价条件后可解题．解答：解：原方程有解的充要条件是：由条件（ ）知，所以♍⌧ ♎ 再由♍♊，可得又由及⌧＞ ，知，即条件（ ）包含在条件（ ）及（ ）中再由条件（ ）及，知⌧♊因此，原条件可简化为以下的等价条件组：由条件（ ）（ ）知这个不等式仅在以下两种情形下成立：♊♍＞ ， ﹣♎＞ ，即♍＞ ，♎＜ ；♋♍＜ ， ﹣♎＜ ，即♍＜ ，♎＞ 、再由条件（ ）（ ）及（ ）可知♍♊ ﹣♎从而，当♍＞ ，♎＜ 且♍♊ ﹣♎时，或者当♍＜ ，♎＞ 且♍♊ ﹣♎时，原方程有解，它的解是点评：本题主要考查对数式与指数式的互化和方程根的判定．属中档题．．（ 分）设☐♊，实系数一元二次方程 ﹣ ☐❑有两个虚数根 ， 、再设 ，在复平面内的对应点是☪ ，☪ ，求以☪ ，☪ 为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长．考点：复数的基本概念；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：由题意两个虚数根 ， 是共轭复数，可得椭圆的短轴长： ♌ ☐，焦距为 ♍ ﹣ ，然后求出长轴长．解答：解：因为☐，❑为实数，☐♊， ， 为虚数，所以（﹣ ☐） ﹣ ❑＜ ，❑＞☐ ＞由 ， 为共轭复数，知☪ ，☪ 关于⌧轴对称，所以椭圆短轴在⌧轴上，又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加，减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长 ♌ ☐，焦距离 ♍ ﹣ ，长轴长 ♋点评：本题考查复数的基本概念，椭圆的基本性质，是小型综合题，考查学生分析问题解决问题的能力．．（ 分）求经过定点 （ ， ），以⍓轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程．考点：椭圆的标准方程；轨迹方程．分析：先确定椭圆的位置，设左定点的坐标为✌（⌧，⍓），然后根据离心率的含义得到左焦点的坐标，根据椭圆的第二定义确定方程．解答：解：因为椭圆经过点 （ ， ），且以⍓轴为准线，所以椭圆在⍓轴右侧，长轴平行于⌧轴设椭圆左顶点为✌（⌧，⍓），因为椭圆的离心率为，所以左顶点✌到左焦点☞的距离为✌到⍓轴的距离的，从而左焦点☞的坐标为设♎为点 到⍓轴的距离，则♎根据及两点间距离公式，可得这就是所求的轨迹方程点评：本题主要考查椭圆方程的第二定义，平面上到定点☞距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合．．（ 分）在 ✌中， ✌， ， 所对的边分别为♋，♌，♍，且♍ ，，为 ✌的内切圆上的动点，求点 到顶点✌， ， 的距离的平方和的最大值与最小值．考点：三角函数的最值；正弦定理．专题：计算题．分析：利用正弦定理可求得，进而根据题设等式求得整理求得✌判断出三角形为直角三角形，进而可利用勾股定理求得♋和♌，利用直角三角形的性质求得其内切圆的半径，如图建立直角坐标系，则内切圆的方程可得，设出☐的坐标，表示出，✌ ，利用⌧的范围确定 的范围，则最大和最小值可得．解答：解：由，运用正弦定理，有，♦♓⏹✌♍☐♦✌♦♓⏹♍☐♦ ♦♓⏹✌♦♓⏹．因为✌♊，所以 ✌⇨﹣ ，即✌由此可知 ✌是直角三角形由♍ ，，♋ ♌ ♍ 以及♋＞ ，♌＞ 可得♋，♌ ．如图，设 ✌的内切圆圆心为 ，切点分别为 ，☜，☞，则✌☜（ ） ．但上式中✌♍ ，所以内切圆半径❒☜，如图建立坐标系，则内切圆方程为：（⌧﹣ ） （⍓﹣ ）设圆上动点 的坐标为（⌧，⍓），则 ✌ （⌧﹣ ） ⍓ ⌧ （⍓﹣ ） ⌧ ⍓⌧ ⍓ ﹣ ⌧﹣ ⍓ ☯（⌧﹣ ） （⍓﹣ ） ﹣ ⌧﹣ ⌧ ﹣ ⌧．因为 点在内切圆上，所以 ♎⌧♎ ，最大值 ﹣ ，最小值 ﹣ 点评：本题主要考查了三角函数求最值的问题，直角三角形内切圆的问题，圆的性质问题．考查了学生基础知识的综合应用．．（ 分）设♋＞ ，给定数列 ⌧⏹❝，其中⌧ ♋，求证：（ ）⌧⏹＞ ，且；（ ）如果♋♎ ，那么．考点：用数学归纳法证明不等式．专题：计算题；压轴题．分析：（ ）我们用数学归纳法进行证明，先证明不等式⌧⏹＞ 当⏹ 时成立，再假设不等式⌧⏹＞ 当⏹（ ♏ ）时成立，进而证明当⏹ 时，不等式⌧ ＞ 也成立，最后得到不等式⌧⏹＞ 对于所有的正整数⏹成立；（ ）我们用数学归纳法进行证明，先证明不等式当⏹ 时成立，再假设不等式当⏹（ ♏ ）时成立，进而证明当⏹ 时，不等式也成立，最后得到不等式对于所有的正整数⏹成立；解答：证明：（ ）♊当⏹ 时，，，⌧ ♋＞ ，＜⌧ ＜⌧ ．结论成立．♋假设⏹时，结论成立，即 ＜⌧ ＜⌧ （ ☠ ），则 ＞⌧ ，＞ ．＜⌧ ＜⌧ ，综上所述，由♊♋知 ＜⌧⏹ ＜⌧⏹．⌧ ⏹＞ 且．（ ）由条件⌧ ♋♎ 知不等式当⏹ 时成立假设不等式当⏹（ ♏ ）时成立当⏹ 时，由条件及⌧ ＞ 知♎，再由⌧ ＞ 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式也成立，从而不等式对所有的正整数⏹成立点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集☠相关的性质，其步骤为：设 （⏹）是关于自然数⏹的命题，若 ）（奠基） （⏹）在⏹ 时成立； ）（归纳） 在 （ ）（ 为任意自然数）成立的假设下可以推出 （ ）成立，则 （⏹）对一切自然数⏹都成立．．如图，已知圆心为 ，半径为 的圆与直线●相切于点✌，一动点 自切点✌沿直线●向右移动时，取弧✌的长为，直线 与直线✌交于点 ．又知当✌时，点 的速度为❖，求这时点 的速度．考点：直线与圆的位置关系．专题：压轴题．分析：设✌的长为⌧，✌的长为⍓，用⌧表示⍓，并用复合函数求导法则对时间♦进行求导．解答：解：如图，作 ✌，并设✌⌧，✌⍓， ✌→，由题意弧✌的长为，半径 ，可知→，考虑→ （ ，⇨）．✌， ．⍓﹣（ ﹣♍☐♦）， ♦♓⏹，．上式两边对时间♦进行求导，则⍓♦ ⍓⌧❿⌧♦．⍓♦当时，⌧♦ ❖，代入上式得点 的速度．点评：本题是难度较大题目，考查了弦长、弧度、相似、特别是复合函数的导数，以及导数的几何意义；同时也考查了逻辑思维能力和计算能力．。
1980年全国统一高考数学试卷(理科)
9．（18 分）抛物线的方程是 y2=2x，有一个半径为 1 的圆，圆心在 x 轴上运动问这个圆运动到什么 位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直？（注：设 P（x0，y0）是抛物线 y2=2px 上一点，则
抛物线在 P 点处的切线斜率是 ）．
10．设直线（L）的参数方程是
（t 是参数）椭圆（E）的参数方程是
3．（10 分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．
4．（10 分）证明对数换底公式：
（a，b，N 都是正数，a≠1，b≠1）．
5．（10 分）直升飞机上一点 P 在地面 M 上的正射影是 A，从 P 看地面上一物体 B（不同于 A）．直 线 PB 垂直于飞机窗玻璃所在的平面 N（如图）．证明：平面 N 必与平面 M 相交，且交线垂直于 AB．
1980 年全国统一高考数学试卷（理科）
一、解答题（共 10 小题，满分 0 分）
1．（6 分）将多项式 x5y﹣9xy5 分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；
（3）复数范围． 2．（6 分）半径为 1、2、3 的三个圆两两外切．证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三 角形．
6．（12 分）设三角函数
，其中 k≠0．
（1）写出 f（x）极大值 M、极小值 m 与最小正周期； （2）试求最小的正整数 k，使得当自变量 x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f（x）至少有一个值是 M 与一个值是 m． 7．（14 分）CD 为直角三角形 ABC 中斜边 AB 上的高，已知△ACD、△CBD、△ABC 的面积成等比 数列，求∠B（用反三角函数表示）．
（θ 是参数）问 a、b 应满足什么条件，使得对于任意 m 值来说，直线
1980年全国统一高考数学试卷(文科)
1980年全国统一高考数学试卷（文科）一、解答题（共8小题，满分100分）1．（8分）化简．2．（10分）解方程组：．3．（10分）用解析法证明直径所对的圆周角是直角．4．（12分）某地区1979年的轻工业产值占工业总产值的20%，要使1980年的工业总产值比上一年增长10%，且使1980年的轻工业产值占工业总产值的24%，问1980年轻工业产值应比上一年增长百分之几？5．（12分）设，化简．6．（16分）（1）若四边形ABCD的对角线AC将四边形分成面积相等的两个三角形，证明直线AC必平分对角线BD．（2）写出（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？7．（16分）如图，长方形框架ABCD﹣A′B′C′D′，三边AB、AD、AA′的长分别为6、8、3.6，AE与底面的对角线B′D′垂直于E．（1）证明A′E⊥B′D′；（2）求AE的长．8．（16分）（1）把参数方程（t为参数）化为直角坐标方程；（2）当0≤t＜及π≤t＜时，各得到曲线的哪一部分？1980年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、解答题（共8小题，满分100分）1．（8分）化简．考点：复数代数形式的乘除运算．分析：复数的分母实数化，即分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．解答：解：原式==．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题，也是常考题．2．（10分）解方程组：．考点：二元一次不定方程；二元一次不等式组．分析：采用加减消元法或代入消元法，消z，然后解出x，y再解z．解答：解：方程组：，①×3+②可得，∴解得x=1，y=﹣2，z=3方程组的解为．点评：本题是初中知识，解三元一次方程．3．（10分）用解析法证明直径所对的圆周角是直角．考点：两条直线垂直的判定．专题：证明题．分析：要证PA与PB垂直，即要求出PA的斜率和PB的斜率，把两个斜率相乘得到乘积为﹣1，所以以AB所在的直线为x轴，圆心为坐标原点建立平面直角坐标系，则得到A、B的坐标，设P（x，y），表示出PA与PB的斜率相乘，把P坐标代入圆的方程化简可得乘积为﹣1即可得证．解答：证明：将圆的直径AB所在的直线取为X轴，圆心作为原点，不妨设定圆的半径为1，于是圆的方程是x2+y2=1．A、B的坐标是A（﹣1，0）、B（1，0）．设P（x，y）是圆上任一点，则有y2=1﹣x2．∵PA的斜率为，PB的斜率为，∴∴PA⊥PB，∠APB为直角．点评：此题为一道证明题，要求学生掌握两直线垂直的条件为斜率乘积为﹣1，会利用解析的方法证明数学问题．4．（12分）某地区1979年的轻工业产值占工业总产值的20%，要使1980年的工业总产值比上一年增长10%，且使1980年的轻工业产值占工业总产值的24%，问1980年轻工业产值应比上一年增长百分之几？考点：数列的应用．专题：应用题．分析：设1980的轻工业产值比上一年增长x%，由题意，解此方程可得答案．解答：解：设1979年的工业总产值为a，又设1980的轻工业产值比上一年增长x%，则按题意，1980年的轻工业产值为；解得：x=32．答：1980年轻工业产值应比上一年增长32%．点评：本题考查数列的性质及其应用，解题时要认真审题，寻找数量间的相互关系，建立合理的方程．5．（12分）设，化简．考点：诱导公式一；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：利用诱导公式化简分式的分子，注意θ的范围然后求解即可．解答：解：原式==．∵，∴π＜θ+，∴sin（θ+）＜0，∴原式=﹣1．点评：本题考查诱导公式，同角三角函数基本关系的应用，考查学生的运算能力，是基础题．6．（16分）（1）若四边形ABCD的对角线AC将四边形分成面积相等的两个三角形，证明直线AC必平分对角线BD．（2）写出（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？考点：相似三角形的性质；四种命题．专题：综合题．分析：（1）证明BD被AC平分，即证明OB=OD，结合同底等高的三角形面积相等这一性质，不难想到要证明线段相等，可以证明线段所在的三角形全等．（2）将（1）的思路进行倒推，不难解决本小题．解答：解：（1）证：S△ABC=S△ADC′且△ABC与△ADC有同底AC，∴两高线相等：BE=DF设AC与BD交于点O，则Rt△BOE≌Rt△DOF，∴OB=OD，即AC平分BD．（2）逆命题：若四边形ABCD的对角线AC平分对角线BD，则AC必将四边形分成两个面积相等的三角形这个逆命题是正确的．证明如下：在图中，由于OB=OD，∠BOE=∠DOF，∠BEO=∠DFO=Rt∠，∴△BOE≌△DOF．∴BE=DF，即两高线相等．∴S△ABC=AC•BE=AC•DF=S△ADC'．点评：证明线段相等是平面几何常见题型，常用的方法有：利用平行线等分线段定理、等腰三角形的性质、全等三角形对边相等、平行四边形对角线互相平分等，同学们要注意平时多进行总结．7．（16分）如图，长方形框架ABCD﹣A′B′C′D′，三边AB、AD、AA′的长分别为6、8、3.6，AE与底面的对角线B′D′垂直于E．（1）证明A′E⊥B′D′；（2）求AE的长．考点：棱锥的结构特征．专题：计算题；证明题．分析：（1）先由AA'⊥平面A'B'C'D'，可转化为AA'⊥B'D'，又AE⊥B'D'，由线面垂直的判断定理可得B'D'⊥平面AA'E，得证．（2）先由等面积法A'B'•A'D'=A'E•B'D'求得A'E，再由勾股定理求得AE．解答：（1）证明：AA'⊥平面A'B'C'D'，∴AA'⊥B'D'．又AE⊥B'D'，∴B'D'⊥平面AA'E，因此B'D'⊥A'E（2）解：A'B'•A'D'=A'E•B'D'（都是△A'B'D'面积的2倍）∴6×8=A'E×，∴A'E=4.8∴AE=．点评：本题主要考查长方体的结构特征，主要涉及了线线，线面，面面垂直的关系，以及基本量的关系．属中档题．8．（16分）（1）把参数方程（t为参数）化为直角坐标方程；（2）当0≤t＜及π≤t＜时，各得到曲线的哪一部分？考点：参数方程化成普通方程．专题：计算题．分析：（1）先利用公式sec2t=1+tg2t，将参数t消去，即可得到曲线的直角坐标普通方程；（2）根据t的范围求出x与y的取值范围，结合图象可得到的是曲线的哪一部分．解答：解：（1）利用公式sec2t=1+tg2t，得．∴曲线的直角坐标普通方程为．（2）当时，x≥1，y≥0，得到的是曲线在第一象限的部分（包括（1，0）点）；当时，x≤﹣1，y≥0，得到的是曲线在第二象限的部分，（包括（﹣1，0）点）．点评：本题主要考查了双曲线的参数方程化成直角坐标方程，以及数形集合的数学思想，属于基础题．。
1980年全国统一高考数学试卷（理科）
1980年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科）一、解答题（共10小题，满分0分）分）1．（6分）将多项式x 5y ﹣9xy 5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．复数范围． 2．（6分）半径为1、2、3的三个圆两两外切．证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形．形．3．（10分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．4．（10分）证明对数换底公式：（a ，b ，N 都是正数，a≠1，b≠1）．5．（10分）直升飞机上一点P 在地面M 上的正射影是A ，从P 看地面上一物体B （不同于A ）．直线PB 垂直于飞机窗玻璃所在的平面N （如图）．证明：平面N 必与平面M 相交，且交线垂直于AB ．6．（12分）设三角函数，其中k≠0．（1）写出f （x ）极大值M 、极小值m 与最小正周期；与最小正周期；（2）试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f （x ）至少有一个值是M 与一个值是m ． 7．（14分）CD 为直角三角形ABC 中斜边AB 上的高，已知△ACD 、△CBD 、△ABC 的面积成等比数列，求∠B （用反三角函数表示）．8．（14分）已知0＜α＜π，证明：；并讨论α为何值时等号成立．为何值时等号成立．9．（18分）抛物线的方程是y2=2x，有一个半径为1的圆，圆心在x轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直？（注：设P（x0，y0）是抛物线y2=2px上一点，则抛物线在P点处的切线斜率是）．10．设直线（L）的参数方程是（t是参数）椭圆（E）的参数方程是（θ是参数）问a、b应满足什么条件，使得对于任意m值来说，直线（L）与椭圆（E）总有公共点．1980年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分0分）分）1．（6分）将多项式x 5y ﹣9xy 5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．复数范围． 考点：考点： 虚数单位i 及其性质．及其性质．专题：专题： 计算题．计算题．分析：分析： 直接根据（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．的要求，分解因式即可．）复数范围．的要求，分解因式即可． 解答：解答：解：（1）x 5y ﹣9xy 5=xy （x 2+3y 2）（x 2﹣3y 2）． （2）x 5y ﹣9xy 5=xy （x 2+3y 2）（x+y ）（x ﹣y ）．（3）x 5y ﹣9xy 5=xy （x+yi ）（x ﹣yi ）（x+y ）（x ﹣y ）． 点评：点评：本题考查实数系与数系的扩充，考查学生的基础知识，是基础题．本题考查实数系与数系的扩充，考查学生的基础知识，是基础题． 2．（6分）半径为1、2、3的三个圆两两外切．证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形．形．考点：考点： 圆与圆的位置关系及其判定．圆与圆的位置关系及其判定．专题：专题： 证明题．证明题．分析：分析： 根据两圆外切时两圆心之间的距离等于两半径之和，由三个圆的半径分别求出三角形的三边，求出最长一边的平方且求出其余两边的平方和，发现其相等，利用勾股定理的逆定理即可得证．解答：解答：证明：设⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3的半径分别为1、2、3． 因这三个圆两两外切，因这三个圆两两外切，故有O 1O 2=1+2=3，O 2O 3=2+3=5，O 1O 3=1+3=4， 则有O 1O 22+O 1O 32=32+42=52=O 2O 32 根据勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，得到△O 1O 2O 3为直角三角形．为直角三角形．点评：点评：此题考查学生掌握两圆外切时圆心距与两半径之间的关系，此题考查学生掌握两圆外切时圆心距与两半径之间的关系，是一道基础题．是一道基础题．是一道基础题．通过此题，通过此题，通过此题，学生要学生要明白判断一个三角形是直角三角形的方法不仅可以根据一个角是直角得到三角形为直角三角形，还可以利用勾股定理的逆定理来判断一个三角形为直角三角形．形，还可以利用勾股定理的逆定理来判断一个三角形为直角三角形．3．（10分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．考点：考点： 两条直线的交点坐标；直线的一般式方程．两条直线的交点坐标；直线的一般式方程． 专题：专题： 证明题；数形结合．证明题；数形结合． 分析：分析：建立直角坐标系，写出各点的坐标，利用两点的连线的斜率公式求出AB 的斜率，利用两直线垂直斜率互为倒数得到AB 边上的高的斜率，利用点斜式求出AB 边的高的方程，同理求出AC 边上的高，两高线的方程联立得到高线的交点．边上的高，两高线的方程联立得到高线的交点．解答：解答：证明：取△ABC 最长一边BC 所在的直线为X 轴，经过A 的高线为Y 轴，设A 、B 、C 的坐标分别为A （0，a ）、B （b ，0）、C （c ，0），根据所选坐标系，如图，有a ＞0，b ＜0，c ＞0，AB 的方程为，其斜率为，AC 的方程为，其斜率为，高线CE 的方程为高线BD 的方程为．解（1）、（2），得：（b ﹣c ）x=0 ∵b ﹣c≠0∴x=0 即高线CE 、BD 的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO 上．上． 因此，三条高线交于一点．因此，三条高线交于一点．点评：点评： 本题考查通过建立直角坐标系将问题转化为代数问题、考查两点连线的斜率公式、考查两直线垂直斜率乘积为﹣1、考查两直线的交点坐标的求法．、考查两直线的交点坐标的求法．4．（10分）证明对数换底公式：（a ，b ，N 都是正数，a≠1，b≠1）．考点：考点： 换底公式的应用．换底公式的应用．专题：专题： 证明题．证明题．分析：分析： 利用指数式与对数式的互化，log b N=x 等价于b x=N ，两边同取对数后解除x 的解析式．的解析式．解答：解答：证明：令log b N =x ，则b x =N ，两边同取以a 为底的对数得：=log a N， ∴x•log a b =log a N ， ∴x=，∴log b N =成立．成立．点评：点评：本题考查对数的定义，体现解方程的思想．本题考查对数的定义，体现解方程的思想．5．（10分）直升飞机上一点P 在地面M 上的正射影是A ，从P 看地面上一物体B （不同于A ）．直线PB 垂直于飞机窗玻璃所在的平面N （如图）．证明：平面N 必与平面M 相交，且交线垂直于AB ．考点：考点： 平面与平面之间的位置关系；反证法．平面与平面之间的位置关系；反证法．专题：专题： 证明题．证明题．分析：分析：用反证法先证平面N 与平面M 相交，假如平面N 与平面M 平行，则P A 也垂直于N ，因此P A 与PB 重合，B 点与A 点重合，但这与题设“不同于A”矛盾，从而平面N 与平面M 相交，设平面N 与平面M 的交线为L ，然后证L ⊥平面P AB ，从而得到L 垂直于AB ．解答：解答：证明：假如平面N 与平面M 平行，则P A 也垂直于N ， 因此P A 与PB 重合，B 点与A 点重合，点重合， 但这与题设“不同于A”矛盾，矛盾， 所以平面N 与平面M 相交．相交． 设平面N 与平面M 的交线为L ， ∵P A ⊥平面M ，∴P A ⊥L ， 又∵PB ⊥平面N ，∴PB ⊥L ， ∴L ⊥平面P AB ，∴L ⊥AB ． 点评：点评： 本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及反证法的应用，以及反证法的应用，以及反证法的应用，考查空间想象能力、考查空间想象能力、考查空间想象能力、运算能运算能力和推理论证能力，属于基础题．力和推理论证能力，属于基础题．6．（12分）设三角函数，其中k≠0．（1）写出f （x ）极大值M 、极小值m 与最小正周期；与最小正周期；（2）试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f （x ）至少有一个值是M 与一个值是m ．考点：考点： 函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象． 专题：专题： 综合题．综合题．分析：分析：（1）根据正弦函数的性质可知函数最大值为1，最小值为﹣1，ω=进而根据T=可得函数的周期．可得函数的周期．（2）f （x ）在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m ．而任意两个整数间的距离都≥1，因此要使任意两个整数间函数f （x ）至少有一个值是M 与一个值是m ，必须且只须使f （x ）的周期≤1，进而可知，可得k 的范围．的范围． 解答：解答：解：（1）M=1，m=﹣1，．（2）f （x ）在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m ．而任意两个整数间的距离都≥1，因此要使任意两个整数间函数f （x ）至少有一个值是M 与一个值是m ， 必须且只须使f （x ）的周期≤1， 即：．可见，k=32就是这样的最小正整数．就是这样的最小正整数．点评：点评： 本题主要考查了函数y=Asin （ωx+φ）的图象的性质．属基础题．）的图象的性质．属基础题．7．（14分）CD 为直角三角形ABC 中斜边AB 上的高，已知△ACD 、△CBD 、△ABC 的面积成等比数列，求∠B （用反三角函数表示）．考点：考点： 直角三角形的射影定理．直角三角形的射影定理．专题：专题： 计算题．计算题．分析：分析：要用反三角函数表示∠B ，关键是要解三角形，求出含B 的三角形中对应的边长，再利用三角函数的定义求出∠B 的一个三角函数值，再用反三角函数表示∠B ．解答：解答：解：设CD=h ，AB=c ，BD=x ，则AD=c ﹣x 因此，△ACD 的面积为，△CBD 的面积为，△ABC 的面积为，依题意，，依题意，，即x 2=c （c ﹣x ），即x 2+cx ﹣c 2=0，．∵取负号不合题意，∴取正号，得．又依直角三角形的性质，有AC 2=AD•AB=c （c ﹣x ）．但x 2=c （c ﹣x ），∴AC 2=x 2，∴AC=x=DB=．在直角三角形ABC 中，．故．点评：点评：在双垂直问题（即过直角三角形的直角顶点做斜边上的高）中，要善于利用勾股定理、射影定理去寻求边与边之间的关系．理去寻求边与边之间的关系．8．（14分）已知0＜α＜π，证明：；并讨论α为何值时等号成立．为何值时等号成立．考点：考点： 弦切互化；不等式的证明．弦切互化；不等式的证明．分析：分析：根据倍角公式，把证明转变为证明，两端乘以sinα，进而转换为证明（1+cosα）[4（1﹣cosα）cosα﹣1]≤0，再利用倍角公式可证．，再利用倍角公式可证．解答：解答：解：即证：．两端乘以sinα，问题化为证明2sinαsin2α≤1+cosα． 而2sinαsin2α =4sin 2αcosα=4（1﹣cos 2α）cosα =4（1﹣cosα）（1+cosα）cosα 所以问题又化为证明不等式所以问题又化为证明不等式（1+cosα）[4（1﹣cosα）cosα﹣1]≤0（1+cosα）≤0∴不等式得证，不等式得证， ∵0＜α＜π， ∴等号成立当且仅当cosα﹣=0即α=60°点评：点评：本题主要考查利用三角函数中的常用公式，完成弦切之间的转换．属基础题．本题主要考查利用三角函数中的常用公式，完成弦切之间的转换．属基础题．9．（18分）抛物线的方程是y 2=2x ，有一个半径为1的圆，圆心在x 轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直？（注：设P （x 0，y 0）是抛物线y 2=2px 上一点，则抛物线在P 点处的切线斜率是）．考点：考点： 圆锥曲线的共同特征；圆方程的综合应用；抛物线的应用．圆锥曲线的共同特征；圆方程的综合应用；抛物线的应用．专题：专题： 计算题．计算题．分析：分析：设出圆的方程，再设圆与抛物线的一个交点为P 进而可求得在P 点圆半径的斜率和在P 点抛物线的切线斜率的表达式，根据在P 点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径与抛物线在P 点相切进而建立等式，把P 点代入抛物线方程和椭圆方程，联立方程组可求得k ，则圆的方程可得．则圆的方程可得．解答：解答：解：设圆的方程为（x ﹣k ）2+y 2=1再设圆与抛物线的一个交点为P （x 0，y 0） 在P 点圆半径的斜率=．在P 点抛物线的切线斜率=在P 点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径与抛物线在P 点相切，点相切， ∴．（1）因P （x 0，y 0）是圆与抛物线的交点，）是圆与抛物线的交点， ∴y 02=2x 0．（2） （x 0﹣k ）2+y 02=1．（3） 由（1）、（2）式消去y 0，得x 0=﹣k ， 将（2）代入（3），得（x 0﹣k ）2+2x 0﹣1=0， 将x 0=﹣k 代入，得4k 2﹣2k ﹣1=0， ∴．由于抛物线在y 轴的右方，所以k=﹣x 0≤0故根号前应取负号，即．故所求圆的方程为．故圆心是（，0）时圆与抛物线在交点处的切线互相垂直）时圆与抛物线在交点处的切线互相垂直点评：点评： 本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．解此类题应充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用．灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题．用．灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题．10．设直线（L ）的参数方程是（t 是参数）椭圆（E ）的参数方程是（θ是参数）问a 、b 应满足什么条件，使得对于任意m 值来说，直线（L ）与椭圆（E ）总有公共点．考点：考点： 直线的参数方程；直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的参数方程．直线的参数方程；直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的参数方程．专题：专题： 计算题；选作题；判别式法．计算题；选作题；判别式法．分析：分析： 首先题中的直线方程及椭圆方程都是参数方程的形式，需要消去参数化简为一般方程，然后求公共点问题，考虑到联立方程式由求判别式的方法求取值范围即可得到答案．公共点问题，考虑到联立方程式由求判别式的方法求取值范围即可得到答案．解答：解答：解：对于直线（L ）消去参数，得一般方程y=mx+b ；对于椭圆（E ）消去参数，得一般方程．：消去y ，整理得（1+a 2m 2）x 2+2（a 2mb ﹣1）x+a 2b 2﹣a 2+1=0． （L ）、（E ）有交点的条件是上式的判别式≥0，即（a 2mb ﹣1）2﹣（1+a 2m 2）（a 2b 2﹣a 2+1）≥0．化简并约去a 2得（a 2﹣1）m 2﹣2bm+（1﹣b 2）≥0．对任意m 的值，要使这个式子永远成立，条件是条件是或（1）、（2）合写成：即所求的条件．即所求的条件．故答案为．点评：点评： 此题主要考查直线及椭圆参数方程化简一般方程的问题，其中对于求公共点的问题可以把方程联立，然后根据判别式法求得取值范围，属于综合性试题，有一定的计算量．联立，然后根据判别式法求得取值范围，属于综合性试题，有一定的计算量．。