2021年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学二模考前热身试卷
江苏省天一中学届高三数学二轮复习解析几何应用题

06
解析几何应用题的重要性和发展趋势
未来展望:未来的解析几何应用题将更加注重创新和探究,需要学生具备更强的数学素养和创新能力。
重要性:解析几何应用题是数学中的重要题型,能够培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
发展趋势:随着科技的进步和数学教育的改革,解析几何应用题将更加注重实际应用和跨学科的综合问题。
特点:解析几何应用题通常涉及较为复杂的几何图形和数量关系,需要学生具备较高的数学建模能力和思维逻辑能力。同时,这类题目通常与实际生活问题密切相关,能够帮助学生理解数学在解决实际问题中的应用。
解析几何应用题的解题思路
理解题意:仔细阅读题目,明确题目要求和条件
建立模型:根据题意,建立相应的数学模型,将实际问题转化为数学问题
注意事项:注意定值问题的特点和难点,结合题目要求选择合适的解题方法
04
读题审题,理解题意
仔细阅读题目,确保理解题意
找出关键信息,明确解题方向
结合图形,将文字信息转化为数学语言
避免因理解错误而导致的解题失误
建立坐标系,确定变量和参数
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运用解析几何知识解决问题
运用知识:运用解析几何的知识,如直线、圆、椭圆、双曲线等,进行计算和分析。
理解问题:仔细阅读题目,明确问题的要求和条件,理解问题的本质。
建立模型:根据问题的描述,选择合适的坐标系,建立数学模型,将问题转化为数学表达式。
求解问题:通过计算和推理,得出问题的解,并给出合理的解释和结论。
解析几何知识运用:运用解析几何的知识,对数学模型进行分析和求解
结论检验:对求解结果进行检验,确保符合实际情况
解析几何应用题在高考中的地位和作用
无锡市锡山区天一中学2021届高考数学二模考前热身试卷(含答案解析)

无锡市锡山区天一中学2021届高考数学二模考前热身试卷一、单选题(本大题共8小题,共40.0分)1.设,已知集合,,且,则实数的取值范围是()A. B. C. D.2.设i是虚数单位,若复数z满足z(1−i)=i,则复数z对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.由所确定的平面区域内整点的个数是()A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个4.函数y=a−x与y=log a(−x)的图象可能是()A. B.C. D.5.在中,,,则的面积为()A. B. C. D.6.《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长六百里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.根据该问题设计程序框图,若输人a=103,b=97,则输出n的值是()A. 5B. 6C. 7D. 87.已知双曲线:x 2−y 24=1上一点P 到它的一个焦点的距离为2,则它到另一个焦点的距离为( ) A. 3B. 4C. 6D. 2+2√58.已知f(x)=x 3−6x 2+9x −abc ,a <b <c ,且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论:①f(0)f(1)>0; ②f(0)f(1)<0; ③f(0)f(3)>0; ④f(0)f(3)<0; ⑤abc <4; ⑥abc >4.其中正确结论的序号是( )A. ①③⑤B. ①④⑥C. ②③⑤D. ②④⑥二、多选题(本大题共4小题,共20.0分) 9.在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,AC =√2,CC 1=1,点D 为BC 中点,则以下结论正确的是( ) A. A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. 三棱锥D −AB 1C 1的体积为√36C. AB 1⊥BC 且AB 1//平面A 1C 1DD. △ABC 内到直线AC.BB 1的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分10. 已知(x +2)7=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+a 3(x +1)3+⋯+a 6(x +1)6+a 7(x +1)7,则( )A. a 5=21B. ∑(7i=0−1)ia i =0C. ∑i 7i=1a i =448D. a 0,a 1,a 2,…,a 7这8个数中a 6最大11. 已知点P 是双曲线E :x 216−y 29=1的右支上一点,F 1、F 2是双曲线E 的左、右焦点,△PF 1F 2的面积为20,则下列说法正确的有( )A. 点P 的横坐标为203 B. △PF 1F 2的周长为803 C. ∠F 1PF 2大于π3D. △PF 1F 2的内切圆半径为3212. 在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,点M ,N ,P 分别是线段C 1D 1,线段C 1C ,线段A 1B 上的动点,且MC 1=NC 1≠0,则下列说法正确的有( )A. 三棱锥P −B 1BM 的体积为定值B. 异面直线MN 与BC 1所成的角为60°C. AP +PC 1的长的最小值为√2+√6D. 点B 1到平面BCD 1的距离为2√23三、单空题(本大题共4小题,共20.0分) 13. 已知二项式的各项系数和为,则的常数项为 .14. 已知两条直线和互相垂直,则等于15. 底面是正方形,容积为16的无盖水箱,它的高为______时最省材料.16. 一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等,那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是______ .四、解答题(本大题共6小题,共72.0分)17. 在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2asinB =√3b . (1)求角A 的大小;(2)若a =6,b +c =8,求△ABC 的面积. (3)若b =6,求CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影.18. 已知等差数列{a n }中,a 3a 7=−16,a 4+a 6=0 (1)求{a n }的通项公式;(2)若a 3<a 2,S n 是数列{a n }的前n 项和,求{Snn}的前n 项和.19. 如图,已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,D 是BC 的中点,AA 1=AB =1. (1)求证:平面AB 1D ⊥平面B 1BCC 1; (2)求证:A 1C//平面AB 1D ; (3)求二面角B −AB 1−D 的正切值.20. 北京时间3月10日,CBA 半决赛开打,采用7局4胜制(若某对取胜四场,则终止本次比赛,并获得进入决赛资格),采用2−3−2的赛程,辽宁男篮将与新疆男篮争夺一个决赛名额,由于新疆队常规赛占优,决赛时拥有主场优势(新疆先两个主场,然后三个客场,再两个主场),以下是总决赛赛程:(1)若考虑主场优势,每个队主场获胜的概率均为23,客场取胜的概率均为13,求辽宁队以比分4:1获胜的概率;(2)根据以往资料统计,每场比赛组织者可获得门票收入50万元(与主客场无关),若不考虑主客场因素,每个队每场比赛获胜的概率均为12,设本次半决赛中(只考虑这两支队)组织者所获得的门票收入为X ,求X 的分布列及数学期望.21. 已知函数f(x)=(x 2+mx +m)√1−2x ,(m ∈R)(1)当m =4时,求f(x)的极值.(2)若f(x)在区间(0,14)上单调递增,求m 的取值范围.22. 在平面直角坐标系xOy 中,点M(x,y)与定点F(1,0)的距离和它到直线l′:x =4的距离的比是常数12.(1)求点M 的轨迹C 方程;(2)设过点A(2,0)的直线l 与曲线C 交于点B(B 不在x 轴上),垂直于l 的直线与l 交于点P ,与y 轴交于点D ,若BF ⊥DF ,且∠POA ≤∠PAO ,求直线l 斜率的取值范围.【答案与解析】1.答案:B解析:试题分析:因为,所以,要使,只需.考点:集合的运算.2.答案:B解析:解:由z(1−i)=i,得z=i1−i =i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i2=−12+i2.∴复数z对应的点的坐标为(−12,12),在第二象限.故选:B.把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z的坐标得答案.本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.3.答案:A解析:解:由题意画图如下阴影部分,所以阴影部分内部的整数点只有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1)(2,1),(3,1)六个.故选:A.4.答案:C解析:解:∵在y=log a(−x)中,−x>0,∴x<0;∴图象只能在y轴的右侧,故排除A、D;当a>1时,y=log a(−x)是减函数,y=a−x=(1a)x是减函数,故排除B;当0<a<1时,y=log a(−x)是增函数,y=a−x=(1a)x是增函数,∴C满足条件;故选:C.用排除法,根据对数的真数大于0,排除A、D;讨论a的取值,排除B;从而得到正确答案.本题考查了函数的图象与对应函数之间的关系,是基础题.5.答案:C解析:试题分析:根据题意,由于,,那么,那么可知则根据三角形的正弦定理,,然后结合三角形的面积公式可知,故选C.考点:解三角形点评:解决的关键是利用正弦定理和余弦定理来求解三角形的面积,属于基础题。
江苏省普通高等学校高三数学招生考试模拟测试试题(二)(2021年整理)

(满分 160 分,考试时间 120 分钟) 参考公式: 1。 样本数据 x1,x2,…,xn 的方差 s2=错误!错误!(xi-错误!)2,其中错误!=错误!错误! i; 2. 锥体的体积公式:V=错误!Sh,其中 S 是锥体的底面面积,h 是高. 一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 已知集合 A={x|-1≤x≤1},则 A∩Z=______________. 2 。 若 复 数 z = ( 1 - i)(m + 2i)(i 为 虚 数 单 位 ) 是 纯 虚 数 , 则 实 数 m 的 值 为 ____________. 3. 数据 10,6,8,5,6 的方差 s2=____________. 4。 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1,2,3,4 的正四面体,记落在桌面的 底面上的数字分别为 x,y,则错误!为整数的概率是________.
11. (0,1)∪(4,+∞) 解析:∵ 二次函数 f(x)=-x2+2x 的对称轴为 x=1,∴ f(0)=f(2),结合二次函数的图象可得 log2x<0 或 log2x〉2,解得 0〈x〈1 或 x〉4,∴ 解集 为(0,1)∪(4,+∞).本题考查了二次函数的图象与性质,以及基本的对数不等式的解 法.本题属于中等题.
(第 6 题) 5 。 已 知 双 曲 线 x2 - 错误! = 1(m > 0) 的 一 条 渐 近 线 方 程 为 x + 错误! y = 0, 则 m = ______________. 6。 执行如图所示的算法流程图,则输出的结果是__________. 7. 底面边长为 2,侧棱长为 3的正四棱锥的体积为____________. 8。 在等比数列{an}中,若 a1=1,a3a5=4(a4-1),则 a7=__________. 9 。 已 知 | a | = 1 , | b | = 2 , a + b = ( 1 , 错误! ) , 则 向 量 a , b 的 夹 角 为 ____________. 10. 直线 ax+y+1=0 被圆 x2+y2-2ax+a=0 截得的弦长为 2,则实数 a 的值是 ____________.
2022年江苏省无锡市天一中学高三二诊模拟考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若实数x ,y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,目标函数2z x y =-,则z 的最大值为( )A .52B .1C .2D .02.已知函数()2121f x ax x ax =+++-(a R ∈)的最小值为0,则a =( ) A .12B .1-C .±1D .12±3.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则“1322a a a +<”是“210n S -<”的( ) A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要D .既不充分也不必要4.执行如图所示的程序框图,若输入的3t =,则输出的i =( )A .9B .31C .15D .635.已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩,则3=3f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭( )A .22B .12C .3log 2-D .3log 26.设复数z 满足21z i z -=+,z 在复平面内对应的点为(,)x y ,则( ) A .2430x y --= B .2430x y +-=C .4230x y +-=D .2430x y -+=7.已知a ,b 为两条不同直线,α,β,γ为三个不同平面,下列命题:①若//αβ,//αγ,则//βγ;②若//a α,//a β,则//αβ;③若αγ⊥,βγ⊥,则αβ⊥;④若a α⊥,b α⊥,则//a b .其中正确命题序号为( )A .②③B .②③④C .①④D .①②③8.在ABC ∆中,内角A 的平分线交BC 边于点D ,4AB =,8AC =,2BD =,则ABD ∆的面积是( ) A .2B 15C .3D .39.等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中,90C ∠=︒,6BD =,现将ABD △沿BD 折起,则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时,直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为( )A .33B .22C .32D .23310.已知方程1x x y y +=-表示的曲线为()y f x =的图象,对于函数()y f x =有如下结论:①()f x 在()+-∞∞,上单调递减;②函数()()F x f x x =+至少存在一个零点;③()y f x =的最大值为1;④若函数()g x 和()f x 图象关于原点对称,则()y g x =由方程1y y x x +=所确定;则正确命题序号为( ) A .①③B .②③C .①④D .②④11. “角谷猜想”的内容是:对于任意一个大于1的整数n ,如果n 为偶数就除以2,如果n 是奇数,就将其乘3再加1,执行如图所示的程序框图,若输入10n =,则输出i 的( )A .6B .7C .8D .912.在满足04i i x y <<≤,i i y xi i x y =的实数对(),i i x y (1,2,,,)i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅中,使得1213n n x x x x -++⋅⋅⋅+<成立的正整数n 的最大值为( ) A .5B .6C .7D .9二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2021届全国天一大联考新高考模拟考试数学试题

2021届全国天一大联考新高考模拟考试数学试题★祝你考试顺利★注意事项:1、考试范围:高考考查范围。
2、答题前,请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答:每个小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答:用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁,不折叠,不破损。
7、本科目考试结束后,请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷(共60分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若全集{1,2,3,4,5,6{1,3,4}{2,3,4}, }U M N ===,,则集合U U C M C N 等于( )A. {5,6}B. {1,5,6}C. {2,5,6}D. {1256},,, 【答案】D 【解析】 【分析】根据补集、并集的定义计算即可;【详解】解:因为{1,2,3,4,5,6{1,3,4}{2,3,4}, }U M N ===,, 所以{}2,5,6U C M =,{}1,5,6U C N = 所以()(){}1,2,5,6U U C N M C =故选:D【点睛】本题考查集合的运算,属于基础题.2.已知实数x ,y 满足1,0,x y >>则“x y <是log 1x y >”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据题意,由对数的性质分析可得“若x y <,则log log 1x x y x >=”和“若log 1x y >,即log log 1x x y x >=,必有x y <”,结合充分、必要条件的定义分析可得答案.【详解】根据题意,实数,x y 满足1,0xy ,若x y <,即1x y <<,则log log 1x x y x >=,则“x y <”是“log 1x y >”的充分条件,反之若log 1x y >,即log log 1x x y x >=,由1x >,则必有x y <,则“x y <”是“log 1x y >”的必要条件, 故“x y <”是“log 1x y >”的充要条件; 故选:C【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断,考查对数函数的单调性,属于基础题.3.欧拉公式cos sin i e i θθθ=+,把自然对数的底数e ,虚数单位i ,三角函数cos θ和sin θ联系在一起,被誉为“数学的天桥”,若复数z 满足()1i e z i i π-⋅=+则 | z | =( )A.B.C. D. 3【答案】A 【解析】 【分析】由新定义将i e π化为复数的代数形式,然后由复数的除法运算求出z 后再求模. 【详解】由欧拉公式cos sin i e i θθθ=+有:cos sin 1i e i πππ=+=-. 由()1i e z i i π-⋅=+,即(1)1z i i --⋅=+ 所以111iz i i+--==-,即2z i =-+所以z ==故选:A【点睛】本题考查复数的新定义,考查复数的除法运算和求复数的模,解题关键是由新定义化i e π为代数形式,然后求解.属于中档题.4.设()1,3a =-,()1,1b =,c a kb =+,若b c ⊥,则a 与c 的夹角余弦值为( )【答案】B 【解析】 【分析】根据()1,3a =-,()1,1b =,表示c 的坐标,再由b c ⊥建立方程求得k ,得到c 的坐标,然后利用夹角公式求解.【详解】因为()1,3a =-,()1,1b =, 所以()1,3c a kb k k =+=-++, 因为b c ⊥,所以()()11310k k -+⨯++⨯=, 解得1k =-, 所以()2,2c =-,因为8,10,22a c a c ⋅===,所以cos ,5102a c a c a c⋅===⋅⋅,所以a 与c . 故选:B【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算及应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.5.已知α终边与单位圆的交点3,-5P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且sin cos 0αα⋅>的值等于( ) A.95B.75C.65D. 3【答案】A【解析】 【分析】先根据三角函数的定义得sin ,cos αα的值,再利用正、余弦二倍角公式化简所求式子,即可求解. 【详解】因为α终边与单位圆的交点3,5P x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,且sin cos 0αα⋅>,所以3sin 5α=-,4cos 5α=-,则 1sin 222cos 2αα-++()12sin cos 21cos 2ααα=-⋅++()22sin cos 4cos ααα=-+189sin cos 2cos 555ααα=-+=+=.故选:A.【点睛】本题考查了正弦函数的定义以及二倍角公式进行化简求值,属于较易题.6.某中学共有1000人,其中男生700人,女生300人,为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及经常进行体育锻炼的学生是否与性别有关(经常进行体育锻炼是指:周平均体育锻炼时间不少于4小时),现在用分层抽样的方法从中收集200位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据(单位:小时),其频率分布直方图如图.已知在样本数据中,有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,根据独立性检验原理( )附:()()()()()22n ad bc K a c b d a d b c -=++++,其中n a b c d =+++. ()20P K k ≥ 0.100.050.010.0050k2.7063.8416.6357.879A. 有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”B. 有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”C. 有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”D. 有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关” 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样以及频率分布直方图列联表,再计算2K ,结合表中的数据判断即可.【详解】由频率分布直方图可知, 平均体育锻炼时间不少于4小时的频率为()20.150.1250.0750.0250.75⨯+++=,故经常进行体育锻炼的学生2000.75150⨯=人.又其中有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,故有15040110-=位男生经常锻炼.根据分层抽样的方法可知,样本中男生的人数为700200140⨯=,女生有30020060⨯=.列出22⨯列联表有:故()22200110203040 3.171406015050K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯,因为2.706 3.17 3.841<<.故有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”. 故选:B【点睛】本题主要考查了分层抽样以及频率分布直方图的运用,同时也考查了独立性检验在实际情景中的运用.属于中档题.7.25()x x a --的展开式的各项系数和为32-,则该展开式中含9x 项的系数是( ) A. 15- B. 5-C. 5D. 15【答案】B【解析】 【分析】因为25()x x a --的展开式的各项系数和为32-,令1x =,可得25(11)32a --=-,解得2a =,结合二项式展开通项公式,即可求得答案. 【详解】25()x x a --的展开式的各项系数和为32-令1x =,可得25(11)32a --= 故:5()32a -=- 解得:2a =故:()()552525()(2)21x x a x x x x --=--=-+设()52x -展开通项公式为:()5152ii ii T C x -+=- 设()51x +展开通项公式为:()5151rr r r M C x -+=则()()5521x x -+展开通项公式为展开式中含9x即()()()()5555105555552122iriii i r r i r r i i r i r C x C x C C x x C C x ------⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅中x 的幂是9故109i r --=,可得1i r += 又05,05i r ≤≤≤≤且,i r N ∈可得01i r =⎧⎨=⎩或10i r =⎧⎨=⎩当01i r =⎧⎨=⎩,由()()01001995555225i i r i r C C x C C x x --⋅⋅-⋅=⋅⋅-⋅= 当10i r =⎧⎨=⎩,由()()110109955552210i i r i r C C x C C x x --⋅⋅-⋅=⋅⋅-⋅=- 该展开式中含9x 项的系数为1055-+=- 故选:B.【点睛】本题主要考查了根据二项式展开式求指定项的系数问题,解题关键是掌握二项式展开通项公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.8.已知函数f (x )的定义域为R ,且()()()1,02f x f x f '+<=,则不等式()13x f x e +>解集为( )A. (1,)+∞B. (,1)-∞C. (0,)+∞D. (,0)-∞【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数()()1xf xg x e+=,再分析()g x 的单调性以及()0g 求解()13x f x e +>即可. 【详解】构造函数()()1xf xg x e+=,则()()()10x f x f x e g x '--=>',故()g x 在R 上为增函数. 又()()00103f g e+==,故()13xf x e +>即()13x f x e +>,即()()0g x g >.解得0x >. 故选:C【点睛】本题主要考查了构造函数求解不等式的问题,需要根据题中所给的导数不等式或者所求的不等式,构造合适的函数,再根据函数的单调性求解.属于中档题.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.若正实数a ,b 满足1a b +=则下列说法正确的是( )A. ab 有最大值14B.C.11a b+有最小值2 D. 22a b +有最大值12【答案】AB 【解析】 【分析】对A,根据基本不等式求ab 的最大值;对B,对C,根据()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭再展开求解最小值; 对D,对1a b +=平方再根据基本不等式求最值.【详解】对A,2211224a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当12a b ==时取等号.故A 正确.对B, 22a b a b a b =++≤+++=,≤,当且仅当12a b ==时取等号.故B 正确.对C,()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭.当且仅当12a b ==时取等号.所以11a b +有最小值4.故C 错误.对D, ()()2222222121a b a ab b a a bb+=⇒++=≤+++,即2212a b +≥,故22a b +有最小值12.故D 错误. 故选:AB【点睛】本题主要考查了基本不等式求解最值的问题,需要根据所给形式进行合适的变形,再利用基本不等式.属于中档题.10.直线1y kx =-与圆C :()()223336x y ++-=相交于A 、B 两点,则AB 长度可能为( ) A. 6 B. 8C. 12D. 16【答案】BC 【解析】 【分析】先求得圆心到直线1y kx =-的距离最大值,再利用垂径定理求得弦长AB 的范围即可.【详解】因为直线1y kx =-过定点()0,1-,故圆C 的圆心()3,3-到直线1y kx =-的距离的最大值为5=.又圆C 的半径为6,故弦长AB 的最小值为=.又当直线1y kx =-过圆心时弦长AB 取最大值为直径12,故AB ⎡⎤∈⎣⎦.故选:BC【点睛】本题主要考查了直线过定点以及垂径定理的运用,需要根据定点求出圆心到直线的距离最值,进而得出弦长的最值与范围.属于中档题.11.CPI 是居民消费价格指数(comsummer priceindex )的简称.居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标.如图是根据国家统计局发布的2019年4月——2020年4月我国CPI 涨跌幅数据绘制的折线图(注:2019年6月与2018年6月相比较,叫同比;2019年6月与2019年5月相比较,叫环比),根据该折线图,则下列结论正确的是( )A. 2019年4月至2020年4月各月与去年同期比较,CPI 有涨有跌B. 2019年4月居民消费价格同比涨幅最小,2020年1月同比涨幅最大C. 2020年1月至2020年4月CPI 只跌不涨D. 2019年4月至2019年6月CPI 涨跌波动不大,变化比较平稳 【答案】BD 【解析】 【分析】根据同比和环比的概念结合折线图,对各选项逐一分析,即可得到正确选项. 【详解】根据同比折线图可知:2019年4月至2020年4月各月与去年同期都是涨,只是涨的幅度有大有小,其中,2019年4月居民消费价格同比涨幅最小为2.5%,2020年1月同比涨幅最大为5.4%, 故A 错误,B 正确; 根据环比折线图可知:2020年1月至2020年4月CPI 有跌有涨,故C 错误;2019年4月至2019年6月CPI 涨跌波动不大,变化比较平稳,故D 正确. 故选:BD.【点睛】本题主要考查统计中的折线图,同时考查对图表的分析与数据处理能力,属于基础题.12.抛物线24C x y =:的焦点为F ,P 为其上一动点,设直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,点()22,M ,下列结论正确的是( ) A. |PM | +|PF |的最小值为3B. 抛物线C 上的动点到点()0,3H 的距离最小值为3C. 存在直线l ,使得A ,B 两点关于30x y +-=对称D. 若过A 、B 的抛物线的两条切线交准线于点T ,则A 、B 两点的纵坐标之和最小值为2【答案】AD 【解析】 【分析】根据抛物线的性质对每个命题进行判断.【详解】A .设l 是抛物线的准线,过P 作PN l '⊥于N ,则3PM PF PM PN +=+≥,当且仅当,,P M N 三点共线时等号成立.所以PM PF +最小值是3,A 正确;B .设(,)P x y 是抛物线上任一点,即24x y =,2222(3)4(3)(1)8PH x y y y y =+-=+-=-+1y =时,min 822PH ==B 错误;C .假设存在直线l ,使得A ,B 两点关于30x y +-=对称,设l 方程0x y m -+=,由240x yx y m ⎧=⎨-+=⎩得2440x x m --=,所以16160m ∆=+>,1m >-,设1122(,),(,)A x y B x y ,则124x x +=,AB 中点为00(,)Q x y ,则12022x x x +==,002y x m m =+=+,Q 必在直线30x y +-=上, 所以2230m ++-=,1m =-,这与直线l 抛物线相交于两个点矛盾,故不存在,C 错误;D .设1122(,),(,)A x y B x y ,由24x y =即214y x =,得12y x '=,则切线AT 方程为1111()2y y x x x -=-,即2111124y x x x =-,同理BT 方程是2221124y x x x =-,由21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得12121()214x x x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,由题意T 在准线1y =-上,所以12114x x =-,124x x =-,所以22221212121212111()[()2]()2444y y x x x x x x x x +=+=+-=++, 所以120x x +=时,122y y +=为最小值.D 正确. 故选:AD .【点睛】本题考查抛物线的性质,涉及抛物线的定义,抛物线上的点到定点距离的最值,抛物线上的点关于定直线的对称性,抛物线的切线问题,难度较大.第Ⅱ卷(共90分)三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知双曲线C 过点()1,-且与双曲线221126x y -=有相同的渐近线,则双曲线C 的标准方程为______. 【答案】221105x y -=【解析】 【分析】设所求双曲线方程为22126x y k -=,代入所过点的坐标,可求解.【详解】由题意设所求双曲线方程为22126x y k -=,因为双曲线过点()1,-所以121126k -=,56k =,所以双曲线方程为2251266x y -=,即221105x y -=. 故答案为:221105x y -=.【点睛】本题考查求共渐近线的双曲线方程,掌握渐近线的定义是解题关键是.与双曲线22221x y a b-=共渐近线的双曲线方程可设为2222x y m a b-=.14.已知) (f x 为奇函数,当0x <时3,()2, x f x ex e -=+则曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程是______.【答案】2y ex e =- 【解析】【分析】利用奇函数的性质,求出0x >时,函数的解析式,求导函数,确定切线的斜率,求得切点坐标,进而可求切线方程. 【详解】) (f x 为奇函数,当0x <时3,()2, x f x ex e -=+可得0x >,30,()()2,xx f x e x e -<-=-+ 根据奇函数性质()()f x f x -=- 可得:3()()2xf x e x e -=-+∴3()2x f x ex e =-,可得1(1)2=f e e e =--故:2()32xf x ex e '=-∴(1)32f e e e '=-=∴曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程是:()1y e e x +=-整理可得:2y ex e =- 故答案为:2y ex e =-【点睛】本题考查奇函数的性质,考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,求出切线的斜率是关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.15.声音是由物体振动产生的声波,其中纯音的数学模型是函数sin y A t ω=,已知函数()()()2cos 2f x x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移3π个单位后,与纯音的数学模型函数2sin 2y x =图象重合,则ϕ=______,若函数()f x 在[],a a -是减函数,则a 的最大值是______. 【答案】 (1). 6π (2). 12π 【解析】 【分析】将函数2sin 2y x =的图象向左平移3π个单位后可得到函数()y f x =的图象,结合诱导公式可求得ϕ的值,求得函数()y f x =的单调递减区间,由0x =属于该区间求得k 的值,再由区间的包含关系可求得a 的最大值.【详解】将函数2sin 2y x =的图象向左平移3π个单位后可得到函数()y f x =的图象,则()22sin 22sin 22sin 22cos 233626f x x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦, 又()()()2cos 2f x x ϕπϕπ=+-≤≤,6πϕ∴=,令()2226k x k k Z ππππ≤+≤+∈,解得()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈,所以,函数()y f x =的单调递减区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦, 由()50,1212k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦,可得0k =, 由于函数()y f x =在区间[],a a -上单调递减,则[]5,,1212a a ππ⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦, 所以,12512a a a a ππ⎧-≥-⎪⎪⎪≤⎨⎪-<⎪⎪⎩,解得012a π<≤,则a 的最大值为12π.故答案为:6π;12π. 【点睛】本题考查利用三角函数图象平移求参数,同时也考查了利用余弦型函数的单调性求参数,考查计算能力,属于中等题.16.《九章算术》中记载:将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵,将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开,得到一个阳马(底面是长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体).在如图所示的堑堵111ABC A B C -中,12,4,BB BC AB AC ====且有鳖臑C 1-ABB 1和鳖臑1C ABC -,现将鳖臑1C ABC -沿线BC 1翻折,使点C 与点B 1重合,则鳖臑1C ABC -经翻折后,与鳖臑11C ABB -拼接成的几何体的外接球的表面积是______.【答案】1003π【解析】 【分析】当1C ABC -沿线BC 1翻折,使点C 与点B 1重合,则鳖臑1C ABC -经翻折后,A 点翻折到E 点,,A E 关于B 对称,所拼成的几何体为三棱锥11C AEB -,根据外接球的性质及三棱锥性质确定球心,利用勾股定理求出半径即可求解.【详解】当1C ABC -沿线BC 1翻折,使点C 与点B 1重合,则鳖臑1C ABC -经翻折后,A 点翻折到E 点,,A E 关于B 对称,所拼成的几何体为三棱锥11C AEB -,如图,由123,2,4,BB BC AB AC ==== 可得22114AB BB AB =+=,22114B E BB BE =+=,即1B AE △为正三角形,所以外接圆圆心为三角形中心1O ,设三棱锥外接球球心为O ,连接1O O ,则1O O ⊥平面1AB E ,连接1OC ,1OB ,在11OB C 中作11OM B C ⊥,垂足为M ,如图,因为11OC OB R ==,11OM B C ⊥,所以M 是11B C 的中点,由矩形11MOO B 可知11111322OO B C BC ===, 因为1O 为三角形1AB E 的中心, 所以111224323333B O B B ==⨯=在11Rt B OO 中,22111165333R OO B O =+=+=, 所以210043S R ππ==, 故答案为:1003π【点睛】本题主要考查了几何体的翻折问题,三棱锥的外接球,球的表面积公式,考查了空间想象力,属于难题.四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知D 是ABC ∆边AC 上的一点,ABD ∆面积是BCD ∆面积的3倍,22.ABD CBD θ∠=∠= (1)若∠ABC =2π,求sin sin A C 的值;(2)若BC 2,AB =3,求边AC 的长. 【答案】(13217 【解析】 【分析】(1)利用三角形面积公式以及题设条件,求解即可; (2)由题设条件结合三角形面积公式得出2cos 2θ=,进而得出334ABC πθ∠==,最后由余弦定理求解即可.【详解】解:(1)因为2ABC π∠=,22ABD CBD θ∠=∠=,所以6πθ=.所以11sin 3sin 2326AB BD BC BD ππ⋅=⨯⋅,所以sin 3sin 3BC A AB C ==;(2)因为11sin 23sin 22AB BD BC BD θθ⋅=⨯⋅,即2cos 3AB BC θ= 所以2cos 2θ=,所以4πθ=,334ABC πθ∠==2292232172AC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭,所以17AC =.【点睛】本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用,属于中档题. 18.给出以下三个条件:①数列{}n a 是首项为 2,满足142n n S S +=+的数列;②数列{}n a 是首项为2,满足2132n n S λ+=+(λ∈R )的数列; ③数列{}n a 是首项为2,满足132n n S a +=-的数列.. 请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整,并求解.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,n a 与n S 满足______,记数列21222log log log n n b a a a =+++,21++=n n n n n c b b ,求数列{n c }的前n 项和n T ;(注:如选择多个条件分别解答,按第一个解答计分) 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据所填条件求出数列{}n a 的通项公式,再依次求{}n b ,{}n c 的通项公式,由111(1)1n c n n n n ==-++,用裂项相消求数列{n c }的前n 项和n T 即可.【详解】选①,由已知142n n S S +=+(1), 当2n ≥时,142n n S S -=+(2),(1)-(2)得:()1144n n n n a S S a +-=-=,即14n n a a +=,当1n =时,2142S S =+,由12a =,所以22422a +=⨯+, 所以28a =,满足214a a =,故{}n a 是以2为首项4为公比的等比数列,所以212n na -=.()21222212log log log log n n n b a a a a a a =++⋅⋅⋅+=213(21)n n =++⋅⋅⋅+-=,2221(1)111(1)(1)1n n n n n n n c b b n n n n n n +++====-+++,所以111111112231n n T c c c n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++. 选②,由已知2132n n S λ+=+(1), 当2n ≥时,21132n n S λ--=+(2),(1)-(2)得,21212132232n n n n a +--=-=⋅,即212n n a -=,当1n =时,12a =满足212n na -=,故{}n a 是以2为首项4为公比的等比数列,所以212n n a -=.下同选①;选③,由已知132n n S a +=-(1), 则2n ≥时,132n n S a -=-(2),(1)-(2)得13n n n a a a +=-,即14n n a a +=,当1n =时,1232a a =-,而12a =,得28a =,满足214a a =, 故{}n a 是以2为首项4为公比的等比数列,所以212n n a -=.下同选①.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法,以及用裂项相消法求数列前n 项和.19.如图,已知平面BCE ⊥平面ABC ,直线DA ⊥平面ABC ,且DA AB AC ==.(1)求证://DA 平面EBC ; (2)若3BAC π∠=,PE ⊥平面BCE ,求二面角A BD E --的余弦值.【答案】(1)见解析;(2)15【解析】 【分析】(1)过点E 作EH BC ⊥于点H ,推导出EH ⊥平面ABC ,利用线面垂直的性质定理可得出//AD EH ,再由线面平行的判定定理可证得//DA 平面EBC ;(2)推导出四边形DAHE 为矩形,然后以点H 为坐标原点,分别以HB 、HA 、HE 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,设2DA a =,利用空间向量法可求得二面角A BD E --的余弦值.【详解】(1)证明:过点E 作EH BC ⊥于点H , 因为平面BCE ⊥平面ABC ,又平面BCE 平面ABC BC =,EH ⊂平面BCE ,所以EH ⊥平面ABC ,又因为DA ⊥平面ABC ,所以//AD EH ,因为EH ⊂平面BCE ,DA ⊄平面BCE ,所以//DA 平面EBC ;(2)因为DE ⊥平面BEC ,所以2DEB DEC π∠=∠=,由AB AC =可知DB DC =,DE DE =,DEB DEC ≅△△,则BE CE =, 所以点H 是BC 的中点,连接AH ,则AH BC ⊥, 所以AH ⊥平面EBC ,则//DE AH ,AHEH ⊥,所以四边形DAHE 是矩形.以H 为坐标原点,分别以HB 、HA 、HE 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,设2DA a =,则()0,0,2E a 、()3,0A a 、(),0,0B a 、()3,2D a a . 设平面ABD 的一个法向量为()111,,m x y z =, 又(),3,0AB a a =-,()0,0,2AD a =.由00m AB m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩,得1113020ax ay az ⎧=⎪⎨=⎪⎩,取11y =,得()3,1,0m =.设平面BDE 的一个法向量为()222,,n x y z =, 因为(),3,2BD a a a =-,(),0,2BE a a =-.由00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,得2222232020ax ay az ax az ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩,取21z =,得()2,0,1n =;设二面角A BD E --的平面角为θ,则15cos cos ,m n m n m nθ⋅=<>==⋅, 由题知二面角A BD E --是钝角,则二面角A BD E --的余弦值为15【点睛】本题考查利用线面平行的证明,同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值,涉及面面垂直和线面垂直的性质定理的应用,考查推理能力和计算能力,属于中等题.20.已知椭圆C :()222210x y a b a b+=>>与圆22243x y b +=相交于M ,N ,P ,Q 四点,四边形MNPQ 为正方形,△PF 1F 2的周长为()221.+(1)求椭圆C 的方程;(2)设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点(),0,1,D -若直线AD 与直线BD 的斜率之积为16,证明:直线恒过定点.【答案】(1)2212x y +=(2)见解析【解析】 【分析】(1)根据四边形MNPQ 为正方形,可得到关于,a b 的一个方程,由△PF 1F 2的周长为()221+得到关于,a b的另一个方程,联立方程,解方程组,即可得到椭圆C 的方程.(2)对直线l 的斜率存在与否进行讨论,当斜率不存在时,结合条件容易排除,当斜率存在时,设出直线方程与椭圆方程联立,得到两根之和、两根之积,将条件直线AD 与直线BD 的斜率之积为16转化为韦达定理的形式,代入化简即可证明结论. 【详解】解:(1)如图所示,设点()00,N x y ,由题意四边形MNPQ 为正方形,所以00x y =,即()00,N x x , 因为点()00,N x x 在圆22243x y b +=上,所以2220043x x b +=,即22023x b =,又点()00,N x x 在椭圆()222210x y a b a b+=>>上,所以2200221x x a b+=,即2222133b a +=,所以2212b a =①,又△PF 1F 2的周长为)21,即)2221a c +=②,由①②解得22a =,21b =,所以椭圆C 的方程为:2212x y +=.(2)①当直线l 斜率不存在时,设l :x m =,(),A A m y ,(),A B m y -,因为点(),A A m y 在椭圆2212x y +=上,所以2212A y m +=,即2212A y m =-, 所以22111A A AAD BDy y y k k m m m+-+-⋅=⋅=2211226m m ==≠不满足题意. ②当直线l 斜率存在时,设l :()1y kx b b =+≠-,()11,A x y ,()22,B x y ,联立22220y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩, 整理得()222124220kxkbx b +++-=,所以122412kb x x k -+=+,21222212b x x k -⋅=+,则121211AD BD y y k k x x ++⋅=⋅ ()()()12211221kx b kx b k x x b x x ++++++⎡⎤⎣⎦=()22121212()21k x x kb k x x b b x x ++++++=,将122412kb x x k -+=+,21222212b x x k -⋅=+代入上式化简得: 121211AD BDy y k k x x ++⋅=⋅2(1)12(1)(1)6b b b +==+-.即1113b b +=-,解得,2b =-, 所以直线l 恒过定点()0,2-.【点睛】本题考查椭圆的方程,直线与椭圆的综合,椭圆中直线恒过定点问题,属于中档题.21.已知函数()()21ln 204f x x ax a x a =-+≠ (1)若0a <时()f x 在[1,]e 上的最小值是5ln 24-,求a ;(2)若a e ≥,且x 1,x 2是()f x 的两个极值点,证明:()()()221212122f x f x x x e +<+-(其中e 为自然对数的底数, 2.71e ≈)【答案】(1)1a =-(2)见解析 【解析】 【分析】(1)利用导数得出函数()f x 的单调性,再由最值,解出a 的值;(2)由题意结合韦达定理得出122x x a +=,122x x a =,2221244x x a a +=-,将()()()221212122f x f x x x e +-++化简为2ln832a a a a e -++,构造函数2()ln 832()g a a a a a e a e =-++≥,利用导数得出其最大值,进而得出()()()221212122f x f x x x e +<+-. 【详解】解:(1)()f x 定义域是0,,222'()22a x x ax af x a x x-+=-+=. 令2()22g x x ax a =-+,对称轴00x a =<因为1a >,()110g =>,所以当[]1,x e ∈时,()0g x >,即()()'02g x f x x=> 所以()f x 在[]1,e 上单调递增.min 15()(1)ln 2ln 244f x f a a ==-+=- 解得1a =-.(2)由()f x 有两个极值点1x ,2x ,则()'0f x =在0,有2个不等的实根即2220x ax a -+=在0,有2个不等的实根,则2480a a a ⎧∆=->⎨>⎩,解得2a >.122x x a +=,122x x a =,()2222121212244x x x x x x a a +=+-=-当a e ≥时,()()()221212122f x f x x x e +-++()()221212121ln 424a x x a x x x x e =-+-++ ()()2221ln82442ln8324a a a a a e a a a a e a e =---+=-++≥ 令2()ln 832()g a a a a a e a e =-++≥,'()ln862()g a a a a e =-+≥ 令()'()ln862h a g a a a ==-+116'()6ah a a a-=-=,当a e ≥时,()'0h a <,所以()h a 在[),e +∞单调递减. 所以()()h a h e ≤即'()'()ln862(13ln 2)62g a g e e e e ≤=-+=+-+3ln 263363660e e e =-+<-+=-< 所以()g a 在[),e +∞单调递减22()()ln833(13ln 2)33g a g e e e e e e e e ≤=-+=+-+ (3ln 234)(334)(73)0e e e e e e =-+<-+=-<所以()0g a <所以原式成立. 即()()()221212122f x f x x x e +<+-. 【点睛】本题主要考查了已知函数的最值求参数,利用导数证明不等式,将不等式的恒成立问题转化为求最值的问题是解题的关键,属于较难题.22.新能源汽车已经走进我们的生活,逐渐为大家所青睐.现在有某品牌的新能源汽车在甲市进行预售,预售场面异常火爆,故该经销商采用竞价策略基本规则是:①竞价者都是网络报价,每个人并不知晓其他人的报价,也不知道参与竞价的总人数;②竞价采用“一月一期制”,当月竞价时间截止后,系统根据当期汽车配额,按照竞价人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2020年6月份的汽车竞价,他为了预测最低成交价,根据网站的公告,统计了最近5个月参与竞价的人数(如下表)(1)由收集数据的散点图发现,可用线性回归模型拟合竞价人数y (万人)与月份编号t 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程:ˆ bt y a =+,并预测2020年6月份(月份编号为6)参与竞价的人数;(2)某市场调研机构对200位拟参加2020年6月份汽车竞价人员的报价进行了一个抽样调查,得到如表所示的频数表:(i )求这200位竞价人员报价的平均值x 和样本方差s 2(同一区间的报价用该价格区间的中点值代替) (ii )假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布()2,,N μσ且μ与σ2可分别由(i )中所示的样本平均数x 及s 2估计.若2020年月6份计划提供的新能源车辆数为3174,根据市场调研,最低成交价高于样本平均数x ,请你预测(需说明理由)最低成交价. 参考公式及数据:①回归方程ˆˆˆybx a =+,其中1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx yb ay bx xnx ==-⋅==--∑∑ ②5521155, 2.6;ii i i i tx y ====≈∑∑③若随机变量X 服从正态分布()2,,N μσ则()()0.6826,220.9544,P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+= ()330.9974P X μσμσ-<<+=.【答案】(1)ˆ0.320.08y t =+,20000人.(2)(i )11万元,6.8(ii )13.6万元【解析】 【分析】(1)利用最小二乘法得出回归方程,并将6t =代入回归方程,即可预测2020年6月份(月份编号为6)参与竞价的人数;(2)(i )由频数表中数据,利用平均数和方差的求解方法求解即可;(ii )由题意得出竞拍成功的概率,根据正态分布的性质,即可确定最低成交价. 【详解】解:(1)根据题意,得:3t =, 1.04y =52155ii t==∑,5118.8i i i t y ==∑5152221518.853 1.040.3255535i ii ii t y t yb tt ==-⋅-⨯⨯∴===-⨯-∑∑则ˆ 1.040.3230.08a y bt =-=-⨯=从而得到直线的回归方程为ˆ0.320.08yt =+ 当6t =时,2y =.所以预测2020年6月份(月份编号为6)参与竞价的人数为20000人. (2)(i )根据表中给的数据求得平均值和方差为206060302010791113151711200200200200200200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(万元). 2222222060302010(4)(2)0246 6.8200200200200200s =⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=.(ii )竞拍成功的概率为31740.158720000P == 由题意知()~11,6.8X N所以()0.6826P X μσμσ-<<+= 所以()10.68260.15872P X μσ-≥+== 所以2020年6月份的预测的最低成交价13.6μσ+=万元.【点睛】本题主要考查了求线性回归方程,正态分布的实际应用,计算平均数和方差,属于中档题.。
江苏省无锡市2021届新第二次高考模拟考试数学试卷含解析

江苏省无锡市2021届新第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知236a b ==,则a ,b 不可能满足的关系是() A .a b ab += B .4a b +>C .()()22112a b -+-< D .228a b +>【答案】C 【解析】 【分析】根据236a b ==即可得出21l 3og a =+,31l 2og b =+,根据23log log 132⋅=,33log log 222+>,即可判断出结果. 【详解】 ∵236a b ==;∴226log 1og 3l a ==+,336log 1og 2l b ==+;∴2332log 2log 4a b +=++>,2332log og 42l ab =++>,故,A B 正确;()()()()2322223211log log 2log 323log 22a b =>⋅-+-+=,故C 错误;∵()()()22232223log log 2log 2323log 2a b =+++++23232324log log l 23og log 82>+⋅+=⋅,故D 正确故C . 【点睛】本题主要考查指数式和对数式的互化,对数的运算,以及基本不等式:2a b ab +≥和不等式222a b ab +≥的应用,属于中档题2.若某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A .240B .264C .274D .282【答案】B 【解析】 【分析】将三视图还原成几何体,然后分别求出各个面的面积,得到答案. 【详解】由三视图可得,该几何体的直观图如图所示, 延长BE 交DF 于A 点,其中16AB AD DD ===,3AE =,4AF =, 所以表面积()3436536246302642S ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+=. 故选B 项.【点睛】本题考查三视图还原几何体,求组合体的表面积,属于中档题3.三棱锥S ABC -中,侧棱SA ⊥底面ABC ,5AB =,8BC =,60B ∠=︒,25SA =,则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A .643π B .2563π C .4363π D 2048327π 【答案】B 【解析】由题,侧棱SA ⊥底面ABC ,5AB =,8BC =,60B ∠=︒,则根据余弦定理可得2215825872BC =+-⨯⨯⨯= ,ABC 的外接圆圆心2sin 332BC r r B ===三棱锥的外接球的球心到面ABC 的距离15,2d SA == 则外接球的半径()22764533R ⎛⎫=+=⎪⎝⎭,则该三棱锥的外接球的表面积为225643S R ππ== 点睛:本题考查的知识点是球内接多面体,熟练掌握球的半径R 公式是解答的关键. 4.已知(1,3),(2,2),(,1)a b c n ===-,若()a c b -⊥,则n 等于( ) A .3 B .4C .5D .6【答案】C 【解析】 【分析】先求出(1,4)a c n -=-,再由()a c b -⊥,利用向量数量积等于0,从而求得n . 【详解】由题可知(1,4)a c n -=-,因为()a c b -⊥,所以有()12240n -⨯+⨯=,得5n =, 故选:C. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题,涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式,向量垂直的坐标表示,属于基础题目.5.已知α,β表示两个不同的平面,l 为α内的一条直线,则“α∥β是“l ∥β”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析:利用面面平行和线面平行的定义和性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断. 解:根据题意,由于α,β表示两个不同的平面,l 为α内的一条直线,由于“α∥β,则根据面面平行的性质定理可知,则必然α中任何一条直线平行于另一个平面,条件可以推出结论,反之不成立,∴“α∥β是“l ∥β”的充分不必要条件. 故选A .考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;平面与平面平行的判定.6.设双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的一个焦点为F (c,0)(c >0)的一条渐近线被圆x 2+y 2﹣2cx =0截得的弦长为 )A .221205x y -=B .22125100x y -=C .221520x y -=D .221525x y -=【答案】C 【解析】 【分析】由题得ca =b ==222+=a bc ,联立解方程组即可得25a =,220b =,进而得出双曲线方程. 【详解】由题得ce a== ①又该双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=,且被圆x 2+y 2﹣2cx =0截得的弦长为b == ②又222+=a b c ③ 由①②③可得:25a =,220b =,所以双曲线的标准方程为221520x y -=.故选:C 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质,圆的方程的有关计算,考查了学生的计算能力.7.欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,3i e π表示的复数位于复平面中的( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限【答案】A 【解析】 【分析】计算31cossin 332πππ=+=i ei ,得到答案. 【详解】根据题意cos sin ix e x i x =+,故31cossin 3322πππ=+=+i e i ,表示的复数在第一象限. 故选:A . 【点睛】本题考查了复数的计算, 意在考查学生的计算能力和理解能力.8.已知α22sin αα=,则cos2α等于( )A .23B .29C .13-D .49-【答案】C 【解析】 【分析】22sin αα=可得cos α=,再利用2cos 22cos 1αα=-计算即可. 【详解】因为cos 2sin ααα=,sin 0α≠,所以cos α=所以221cos22cos 1133αα=-=-=-. 故选:C. 【点睛】本题考查二倍角公式的应用,考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力,属于基础题. 9.抛物线23x ay =的准线方程是1y =,则实数a =( ) A .34-B .34C .43-D .43【答案】C 【解析】 【分析】根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可. 【详解】因为准线方程为1y =,所以抛物线方程为24x y =-,所以34a =-,即43a =-. 故选:C 【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.10.已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示,为了解该小区户主对户型结构的满意程度,用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查,则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A .240,18B .200,20C .240,20D .200,18【答案】A 【解析】 【分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量,利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数. 【详解】样本容量为:(150+250+400)×30%=240, ∴抽取的户主对四居室满意的人数为:15024040%18.150250400⨯⨯=++故选A . 【点睛】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意统计图的性质的合理运用.11.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点(设点A 位于第一象限),过点A ,B 分别作抛物线C 的准线的垂线,垂足分别为点1A ,1B ,抛物线C 的准线交x 轴于点K ,若11||2||A KB K =,则直线l 的斜率为 A .1 B .2C .22D 3【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】根据抛物线定义,可得1||||AF AA =,1||||BF BB =, 又11AA FK BB ∥∥,所以11||||2||||A K AF B K BF ==,所以1111||||2||||A K AAB K BB ==, 设1||(0)BB m m =>,则1||2AA m =,则111||||21cos cos ||23AA BB m m AFx BAA AB m m --∠=∠===+,所以22sin AFx ∠=,所以直线l 的斜率tan 22k AFx =∠=C .12.将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形,将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型,如图(2)放置,如果正四棱锥的主视图是正三角形,如图(3)所示,则正四棱锥的体积是()A 33263cm B 36463cm C 33223cm D 36423cm 【答案】B 【解析】设折成的四棱锥的底面边长为a ,高为h ,则3h =,故由题设可得12124222a a a +=⨯⇒=所以四棱锥的体积2313646=(42)423V =,应选答案B . 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
江苏省无锡市天一中学2021-2022学年高三上学期10月测试数学试题

传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,
可以用指数模型:I(t)= ert 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位:天)的变化规律,指数增长
率 r 与 R0,T 近似满足 R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出 R0=3.28,T=6.据此,在新冠
肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加 3 倍需要的时间约为(ln2=0.69)( )
得
1 2
x
3
,其解集为
(
1 2
, 3)
,于是得“2
x2
-5x-3<0”的一个必
要不充分条件对应集合必真包含 ( 1 , 3) , 2
对于 A,A 选项所对集合等于 ( 1 , 3) ,A 不是; 2
对于 B,B 选项所对集合 (3, 1 ) 与 ( 1 , 3) 互不包含,B 不是;
2
2
5
对于 C,C 选项所对集合 (1,6) ( 1 , 3) ,C 是; 2
传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,
可以用指数模型:I(t)= ert 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位:天)的变化规律,指数增长
率 r 与 R0,T 近似满足 R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出 R0=3.28,T=6.据此,在新冠 肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加 3 倍需要的时间约为(ln2=0.69)( )
1
A. 2.1 天
B. 2.4 天
C. 2.8 天
D. 3.6 天
7. 在等腰梯形 ABCD 中, AB//CD , AB 2CD 4 , AD BC 5 , E 为 CD 的中
江苏省天一中学2021届高三新高考统一适应性考前模拟试题(解析版)

2021届高三新高考统一适应性考试江苏省天一中学考前热身模拟试题高三英语本试卷满分150分考试时间120分钟注意事项1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
第一部分听力(共两节,满分30分)第一节(共5小题;每小题1.5分,满分7.5分)请听下面5段对话。
每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项,并标在试卷相应位置。
听完每段对话后,你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一个小题,每段对话读一遍。
1.How does the woman's father go to work?A. By bus.B. By subway.C. On foot.2.Where does the man probably stop the car?A. At a parking lot.B. At a gas station.C. On the way.3.What's the weather normally like in Chicago?A. Cold.BWarm.C.Rainy.4.What does the man think about the boating race?A. Disappointing.petitive.C.Meaningful.5.What does the man want to donow?A. Return a ticket.B. Deal with an emergency.C. Catch a train.第二节(共15小题;每小题1. 5分,满分22. 5分)听下面5段对话或独白。
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2021年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学二模考前热身试卷一、单选题(本大题共8小题,共40.0分)1. 如图所示,A ,B 是非空集合,定义集合A#B 为阴影部分表示的集合.若x ,y ∈R ,A ={x|y =√2x −x 2},B ={y|y =3x,x >0},则A#B 为( )A. {x|0<x <2}B. {x|1<x ≤2}C. {x|0≤x ≤1或x ≥2}D. {x|x =0或x >2}2. 已知i 是虚数单位,在复平面内,复数−2+i 和1−3i 对应的点间的距离是( )A. √5B. √10C. 5D. 253. 我国古代以天为主,以地为从,天和干相连叫天干,地和支相连叫地支,合起来叫天干地支.天干有十个,就是甲、乙,丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸,地支有十二个,依次是子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.古人把它们按照甲子、乙丑、丙寅、……的顺序而不重复地搭配起来,从甲子到癸亥共六十对,叫做一甲子.我国古人用这六十对干支来表示年、月、日、时的序号,周而复始,不断循环,这就是干支纪年法(即农历).干支纪年历法,是屹立于世界民族之林的科学历法之一.今年(2020年)是庚子年,小华的爸爸今年10月10日是56周岁生日,小华爸爸出生那年的农历是( )A. 庚子B. 甲辰C. 癸卯D. 丙申4. 定义在R 上的函数y =f(x)满足|f(x)|≤2|x−1|,且y =f(x +1)为奇函数,则y =f(x)的图象可能是( )A.B.C.D.5. 在△ABC 中,AC =9,∠A =60°,D 点满足CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD =√37,则BC 的长为( ) A. 3√7 B. 3√6 C. 3√3 D. 66. 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,九日二马相逢,则长安至齐( )A. 1120里B. 2250里C. 3375里D. 1125里7.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别是A,B,右焦点为F,点P在过F且垂直于x轴的直线l上,当△ABP的外接圆面积达到最小时,点P恰好在双曲线上,则该双曲线的渐近线方程为()A. y=±√33x B. y=±√22x C. y=±x D. y=±√2x8.若不等式aln(x+1)−x3+2x2>0在区间(0,+∞)内的解集中有且仅有三个整数,则实数a的取值范围是()A. [92ln2,32ln5] B. (92ln2,32ln5) C. (92ln2,32ln5] D. (92ln2,+∞)二、多选题(本大题共4小题,共20.0分)9.在复平面内,下列说法正确的是()A. 若复数z=1+i1−i(i为虚数单位),则z30=−1B. 若复数z满足z2∈R,则z∈RC. 若复数z=a+bi(a,b∈R),则z为纯虚数的充要条件是a=0D. 若复数z满足|z|=1,则复数z对应点的集合是以原点O为圆心,以1为半径的圆10.已知(1+ax )(2x−1x)6的展开式中各项系数的和为2,则下列结论正确的有()A. a=1B. 展开式中常数项为160C. 展开式系数的绝对值的和1458D. 若r为偶数,则展开式中x r和x r−1的系数相等11.已知点P是双曲线E:x216−y29=1的右支上一点,F1、F2是双曲线E的左、右焦点,△PF1F2的面积为20,则下列说法正确的有()A. 点P的横坐标为203B. △PF1F2的周长为803C. ∠F1PF2大于π3D. △PF1F2的内切圆半径为3212.如图,在棱长为2的正方体ABCD−A′B′C′D′中,M为BC边的中点,下列结论正确的有()A. AM与D′B′所成角的余弦值为√1010B. 过三点A、M、D′的正方体ABCD−A′B′C′D′的截面面积为92C. 四面体A′C′BD的内切球的表面积为π3D. 正方体ABCD−A′B′C′D′中,点P在底面A′B′C′D′(所在的平面)上运动并且使∠MAC′=∠PAC′,那么点P的轨迹是椭圆三、单空题(本大题共4小题,共20.0分)13.若(2x−1)4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则−a0+a1−a2+a3−a4=______ .14.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|=______.15.《九章算术》是古代中国的第一部自成体系的数学专著,与古希腊欧几里得的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.《九章算术》卷五记载:“今有刍甍(音:刍cℎú甍méng),下广三丈,表四丈,上袤二丈,无广,高一丈.问积几何?”译文:今有如图所示的屋脊状楔体PQ−ABCD,下底面ABCD是矩形,假设屋脊没有歪斜,即PQ中点R在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心点O,PQ//AB,AB=4,AD=3,PQ=2,OR=1(长度单位:丈).则楔体PQ−ABCD的体积为(体积单位:立方丈)______ .16.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中,以A为球心半径为2√33的球面与正方体表面的交线长为______ .四、解答题(本大题共6小题,共72.0分)17.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且bcosA=c−√32a.(1)求角B;(2)若△ABC的面积为2√3,BC边上的高AH=1,求b,c.18.已知等比数列{a n}的各项均为正数,且a1=1,a n+2=a n+1+2a n.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记数列{1a n +1(n+1)⋅log2a n+1}的前n项和为S n,求证:32≤S n<3.19. 如图所示的几何体由等高的12个圆柱和14个圆柱拼接而成,点G 为弧CD⏜的中点,且C 、E 、D 、G 四点共面. (1)证明:BF ⊥平面BCG .(2)若直线DF 与平面AFB 所成角为45°,求平面BDF 与平面ABG 所成锐二面角的余弦值.20. 射击是使用某种特定型号的枪支对各种预先设置的目标进行射击,以命中精确度计算成绩的一项体育运动.射击运动不仅能锻炼身体,而且可以培养细致、沉着、坚毅等优良品质,有益于身心健康.为了度过愉快的假期,感受体育运动的美好,法外狂徒张三来到私人靶场体验射击运动.(1)已知用于射击打靶的某型号步枪的弹夹中一共有k(k ∈N ∗)发子弹,假设张三每次打靶的命中率均为p(0<p <1),靶场主规定:一旦出现子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击.记标靶上的子弹数量为随机变量X ,求X 的分布列和数学期望.(2)张三在休息之余用手机逛B 站刷到了著名电视剧《津门飞鹰》中的经典桥段:中国队长燕双鹰和三合会何五姑玩起了俄罗斯轮盘.这让张三不由得想起了半人半鬼,神枪第一的那句家喻户晓的神话“我赌你的枪里没有子弹”.由此,在接下来的射击体验中,张三利用自己的人脉关系想办法找人更换了一把型号为M 1917,弹容为6发的左轮手枪,弹巢中有m 发实弹,其余均为空包弹.现规定:每次射击后,都需要在下一次射击之前填充一发空包弹.假设每次射击相互独立且均随机.在进行n(n ∈N)次射击后,记弹巢中空包弹的发数X n . (ⅰ)当n ∈N ∗时,探究数学期望E(X n )和E(X n−1)之间的关系;(ⅰ)若无论m 取何值,当射击次数达到一定程度后都可近似认为枪中没有实弹(以弹巢中实弹的发数的数学期望为决策依据,当弹巢中实弹的发数的数学期望<1时可近似认为枪中没有实弹),求该种情况下最小的射击次数n0.(参考数据:lg2≈0.301、lg3≈0.477)21.已知a>0,函数f(x)=e xx2+a.(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)已知函数f(x)存在极值点x1,x2,求证:|f(x1)−f(x2)|<e2⋅1−aa.22.已知O为坐标原点,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√22,点P在椭圆C上,椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,PF1的中点为Q,△OF1Q周长等于√3+√62.(1)求椭圆C的标准方程;(2)W为双曲线D:y2−x24=1上的一个点,由W向抛物线E:x2=4y做切线l1,l2,切点分别为A,B.(ⅰ)证明:直线AB与图x2+y2=1相切;(ⅰ)若直线AB与椭圆C相交于M,N两点,求△OMN外接圆面积的最大值.答案和解析1.【答案】D【解析】解:A,B是非空集合,定义集合A#B为阴影部分表示的集合.x,y∈R,A={x|y=√2x−x2}={x|0≤x≤2},B={y|y=3x,x>0}={y|y>0},A∩B={x|0<x≤2},A∪B={x|x≥0},则A#B=∁A∪B(A∩B)={x|x=0或x>2}.故选:D.求出集合A,B,进而求出A∩B,A∪B,由韦恩图求出A#B=∁A∪B(A∩B),由此能求出结果.本题考查集合的运算,涉及到交集、并集、补集的定义、韦恩图、不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力等核心素养,是基础题.2.【答案】C【解析】解:复数−2+i对应复平面内的点A(−2,1),复数1−3i对应复平面内的点B(1,−3)∴|AB|=√(−2−1)2+(1+3)2=5即复数−2+i和1−3i对应的点间的距离等于5故选:C.由题意不难得到两个复数在复平面内对应点的坐标,再结合直角坐标中两点距离的公式,可得它们的距离.本题给出两个复数,求它们在复平面内对应点之间的距离,考查了复数的几何意义和平面内两点间的距离公式等知识,属于基础题.3.【答案】B【解析】【分析】本题考查简单合情推理的应用,仔细分析题意,结合自然常识是解题的关键,是基础题.求解小华的爸爸的出生年,通过六十年一个甲子,干支纪年法求解选项.【解答】解:小华的爸爸今年10月10日是56周岁生日,小华爸爸出生于1964(2020−56=1964)年.按六十年一个甲子,今年(2020年)是庚子年,60年前(1960年)是庚子年,由干支纪年法知,1961,1962,1963,1964年分别是辛丑,壬寅,癸卯,甲辰年.故选:B .4.【答案】D【解析】解:∵y =f(x +1)为奇函数,∴f(x +1)=−f(−x +1),则f(x +1)+f(−x +1)=0, ∴f(x)关于点(1,0)成中心对称,可排除AB ; 又|f(1.5)|≤212=√2,可排除C . 故选:D .分析可知,函数f(x)关于点(1,0)成中心对称,可排除AB ;由|f(1.5)|≤√2,可选C . 本题考查利用函数性质确定函数图象,属于基础题.5.【答案】A【解析】解:∵CD⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∵AD =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√37,AC =|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=9,A =60°,设AB =c ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA =92c 则37=(13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=19AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+49AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +49AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=9+49c 2+2c ,∴整理可得,2c 2+9c −126=0∵c >0解可得,c =6,由余弦定理可得,a 2=c 2+b 2−2bc ⋅cosA =92+62−2×9×6×12=63, ∴BC 的长为3√7. 故选:A .由已知,结合向量的基本运算可求得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,然后结合已知及向量数量积的定义及性质可求AB ,最后利用余弦定理可求BC本题主要考查了解三角形的简单应用,解题中要注意结合向量知识,要灵活的运用基本公式.6.【答案】D【解析】解:由题意知,良马每日行的距离成等差数列, 记为{a n },其中a 1=103,d =13;驽马每日行的距离成等差数列,记为{b n},其中b1=97,d=−0.5;设长安至齐为x里,则a1+a2+⋯+a m+b1+b2+⋯+b m=103×9+9×8×132+97×9+9×8×(−0.5)2=2x,解得x=1125.故选:D.由题意知,良马每日行的距离成等差数列,驽马每日行的距离成等差数列,利用等差数列的求和公式即可得出.本题考查了等差数列的定义通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.7.【答案】C【解析】解:由题意设P(c,y0),y0>0,当△ABP的外接圆面积达到最小时,设其外接圆的半径r,即r最小,而ABsin∠APB=2r,所以sin∠APB最大时,△ABP的外接圆面积达到最小,可得tan∠APB最大,而∠APB=∠APF−∠BPF,tan∠APF=a+cy0,tan∠BPF=c−a y,所以tan∠APB=tan(∠APF−∠BPF)=tan∠APF−tan∠BPF1+tan∠APF⋅tan∠BPF=a+cy0−c−ay01+a+cy0⋅c−ay0=2ay0+b2y0≤2√y0⋅b2y0=ab,当且仅当y0=b2y0,即y0=b,所以P的坐标(c,b),将P点坐标代入双曲线的方程可得c2a2−b2b2=1,即c2=2a2,可得a2+b2=2a2,所以a=b,所以渐近线的方程为:y=±x,故选:C.由题意设P的坐标,当△ABP的外接圆面积达到最小时,即外接圆的半径最小,由三角形的外接圆的求法可得半径最小时∠APB的正弦值最大,可得其角的正切值最大,由两角差的正切公式,及均值不等式可得当P的纵坐标为b 时满足条件,将P的坐标代入双曲线的方程可得a,c的工作,再由a,b,c的关系求出a,b的关系,进而求出双曲线的渐近线的方程.本题考查双曲线的性质,三角形外接圆的半径的求法,均值不等式的应用,属于中档题.8.【答案】C【解析】解:令f(x)=aln(x+1),g(x)=x3−2x2,则g′(x)=3x2−4x=x(3x−4),令g′(x)>0,得x >43或x <0;g′(x)<0,得0<x <43, ∴g(x)在(−∞,0)和(43,+∞)上单调递增,在(0,43)上单调递减, ∴g(x)min =g(43)=−3227,且g(0)=g(2)=0, 当a ≤0时,f(x)>g(x)至多有一个整数解.当a >0时,f(x)>g(x)在区间(0,+∞)内的解集中有且仅有三个整数, 只需{f(3)>g(3)f(4)≤g(4),即{aln4>27−18aln5≤64−32,解得:92ln2<a ≤32ln5, 故选:C .令f(x)=aln(x +1),g(x)=x 3−2x 2,利用导数,判断g(x)的单调性,通过讨论当a ≤0时,f(x)>g(x)至多有一个整数解.当a >0时,f(x)>g(x)在区间(0,+∞)内的解集中有且仅有三个整数,得到关于a 的不等式组,求实数a 的取值范围即可.本题考查利用导数研究不等式的解,考查学生的分析问题解决问题的能力,属于难题.9.【答案】AD【解析】解:A.复数z =1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=2i 2=i ,∵i 4=1,则z 30=(i 4)7⋅i 2=−1,因此正确.B .复数z 满足z 2∈R ,则z ∈R ,不正确,例如z =i 满足z 2=−1∈R ,但是z ∉R .C .复数z =a +bi(a,b ∈R),则z 为纯虚数的充要条件是a =0,b ≠0.因此不正确.D .复数z 满足|z|=1,则复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心,以1为半径的圆,根据复数的几何意义可知正确. 综上可得:只有AD 正确. 故选:AD . A 先化简.复数z =1+i 1−i,根据复数的周期性及其运算法则即可得出z 30,即可判断出正误.B .举例z =i 即可判断出正误.C .复数z =a +bi(a,b ∈R),则z 为纯虚数的充要条件是a =0,b ≠0,即可判断出正误.D .根据复数的几何意义即可判断出正误.本题考查了复数的周期性及其运算法则、几何意义及其有关知识、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.10.【答案】ACD【解析】解:令x =1,可得(1+ax )(2x −1x )6的展开式中各项系数的和为(1+a)×1=2,∴a =1,故A 正确; ∵(1+ax )(2x −1x )6=(1+1x )(64x 6−192x 4+240x 2−160+60x −2−12x −4+x −6),故展开式中常数项为−160,故B不正确;(1+ax )(2x−1x)6的展开式中各项系数绝对值的和,即项(1+ax)(2x+1x)6的各系数和,为(1+a)⋅36=1458,故C正确;根据(1+ax )(2x−1x)6=(1+1x)(64x6−192x4+240x2−160+60x−2−12x−4+x−6),可得若r为偶数,则展开式中x r和x r−1的系数相等,故D正确,故选:ACD.由题意令x=1,可得a的值;二项式展开,分析可得结论.本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,属于基础题.11.【答案】ABD【解析】解:设△F1PF2的内心为I,连接IP,IF1,IF2,双曲线E:x216−y29=1的a=4,b=3,c=5,不妨设P(m,n),m>0,n>0,由△PF1F2的面积为20,可得12|F1F2|n=cn=5n=20,即n=4,由m216−169=1,可得m=203,故A正确;由P(203,4),且F1(−5,0),F2(5,0),可得k PF1=1235,k PF2=125,则tan∠F1PF2=125−12351+12×125×35=360319∈(0,√3),则∠F1PF2<π3,故C不正确;由|PF1|+|PF2|=√16+3529+√16+259=373+133=503,则△PF1F2的周长为503+10=803,故B正确;设△PF1F2的内切圆半径为r,可得12r(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)=12⋅|F1F2|⋅4,可得803r=40,解得r=32,故D不正确.故选:ABD.设△F1PF2的内心为I,连接IP,IF1,IF2,求得双曲线的a,b,c,不妨设P(m,n),m>0,n>0,运用三角形的面积公式求得P的坐标,运用两直线的夹角公式可得tan∠F1PF2,由两点的距离公式,可得△PF1F2的周长,设△PF1F2的内切圆半径为r,运用三角形的面积公式和等积法,即可计算r.本题考查双曲线的方程和性质,考查三角形的内切圆的性质和等积法的运用,考查方程思想和运算能力,属于中档题.12.【答案】AB【解析】解:对于A ,建立空间直角坐标系如图所示,则有A(0,0,2),M(1,2,2),B′(0,2,0),D′(2,0,0), 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0),D′B′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0),所以cos <AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D′B′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D′B′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||D′B′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5×√8=√1010,故选项A 正确;对于B ,取N 为CC′的中点,连结MN ,则有MN//AD′,如图所示,所以梯形AMND′为过三点A ,M ,D′的正方体ABCD −A′B′C′D′的截面, 而MN =√2,AD′=2√2,AM =D′N =√5,可得梯形的高为3√22,所以梯形的面积为S =12×3√2×3√22=92,故选项B 正确;对于C ,如图所示,四面体A′C′BD 的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积,所以V =8−4×13×12×8=83,而四面体的棱长都为2√2,其表面积为S =4×12×2√2×2√2×sin π3=8√3,设其内切球半径为r ,则有13×8√3⋅r =83,解得r =√33,所以内切球的表面积为4πr 2=4π3,故选项C 错误;对于D ,正方体ABCD −A′B′C′D′中,点P 在底面A′B′C′D′(所在的平面)上运动且∠MAC′=∠PAC′, 即P 的轨迹为面A′B′C′D′截以AM ,AP 为母线,AC′为轴的圆锥体侧面所得曲线,如下图曲线GPK ,建立空间直角坐标系如图所示,则A(0,0,2),M(−√22,3√22,2),C′(0,2√2,0), 若P(x,y ,0),则AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,3√22,0),AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√2,−2),AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y,−2), 所以cos∠MAC′=AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×√12=√155, 所以cos∠PAC′=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AP⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2y+2√x 2+y 2+4×√3=√155, 整理可得(y +10√2)2−9x 2=216(y >0),即轨迹为双曲线的一支,故选项D 错误. 故选:AB .建立合适的空间直角坐标系,求出直线AM 与D′B′的方向向量,由向量的夹角公式求解,即可判断选项A ,取N 为CC′的中点,连结MN ,则有MN//AD′,得到过三点A ,M ,D′的正方体ABCD −A′B′C′D′的截面为梯形AMND′,然后求解面积即可判断选项B ,四面体A′C′BD 的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积,然后利用等体积法求出内切球半径,求出内切球表面积,即可判断选项C ,建立空间直角坐标系,设点P 的坐标,然后利用角的关系构造等式,化简得到轨迹方程,即可判断选项D .本题考查了空间线线角的计算,考查棱锥与球的位置关系,动点轨迹问题,综合性强,涉及知识点多,属于难题.13.【答案】−81【解析】解:在(2x−1)4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4中,令x=−1,得(−3)4=a0−a1+a2−a3+a4,所以−a0+a1−a2+a3−a4=−81.故答案为:−81.利用赋值法,在(2x−1)4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4中,利用x=−1求出a0−a1+a2−a3+a4的值.本题考查了二项式定理的应用问题,是基础题.14.【答案】8【解析】解:由题意,p=2,故抛物线的准线方程是x=−1,∵抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)B(x2,y2)两点∴|AB|=x1+x2+2,又x1+x2=6∴∴|AB|=x1+x2+2=8故答案为8.抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)B(x2,y2)两点,故|AB|=x1+x2+2,由此易得弦长值.本题考查抛物线的简单性质,解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等,由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题,大大降低了解题难度.15.【答案】5立方丈【解析】解:将楔体PQ−ABCD分成一个三棱柱、两个四棱锥,则V三棱柱=12×3×1×2=3立方丈,2V四棱锥=2×13×1×3×1=2立方丈,故V楔体PQ−ABCD=V三棱柱+2V四棱锥=3+2=5立方丈.故答案为:5立方丈.将楔体PQ−ABCD分成一个三棱柱、两个四棱锥,然后根据棱柱与棱锥的体积公式进行求解即可.本题主要考查了组合体的体积,以及三棱柱、四棱锥的体积公式,同时考查了空间想象能力和运算求解能力,属于基础题.16.【答案】5√36π【解析】解:正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类:ABCD、AA1DD1、AA1BB1为过球心的截面,截痕为大圆弧,各弧圆心角为π6,A 1B 1C 1D 1、B 1BCC 1、D 1DCC 1为与球心距离为1的截面,截痕为小圆弧, 由于截面圆半径为r =√33,故各段弧圆心角为π2.∴这条曲线长度为:3⋅π6⋅2√33+3⋅π2⋅√33=5√36π.故答案为:5√36π. 球面与正方体的六个面都相交,所得的交线分为两类:一类在顶点A 所在的三个面上;另一类在不过顶点A 的三个面上,且均为圆弧,分别求其长度可得结果.本题为空间几何体交线问题,找到球面与正方体的表面相交所得到的曲线是解决问题的关键,是中档题.17.【答案】解:(1)因为bcosA =c −√32a , 所以由正弦定理可得sinBcosA =sinC −√32sinA =sin(A +B)−√32sinA =sinAcosB +cosAsinB −√32sinA , 可得sinAcosB =√32sinA ,因为sinA ≠0,可得cosB =√32,所以由B ∈(0,π),可得B =π6.(2)因为△ABC 的面积为2√3,BC 边上的高AH =1,在Rt △ABH 中,可得c =AH sinB =1sin π6=2,BH =√c 2−AH 2=√22−12=√3,所以2√3=12acsinB =12×(√3+HC)×2×12,解得HC =3√3,可得a =BH +HC =4√3, 在△ABC 中,由余弦定理可得b =√a 2+c 2−2accosB =√(4√3)2+22−2×4√3×2×√32=2√7.【解析】(1)由正弦定理,两角和的正弦公式化简已知等式,结合sinA ≠0,可得cos B 的值,结合B ∈(0,π),可得B 的值.(2)在Rt △ABH 中,由已知利用三角函数的定义可求c ,利用勾股定理可求BH 的值,进而根据三角形的面积公式可求HC 的值,从而可得a ,在△ABC 中,由余弦定理即可求得b 的值.本题主要考查了正弦定理,两角和的正弦公式化,勾股定理,三角形的面积公式,余弦定理在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.18.【答案】(1)解:设等比数列{a n }的公比为q(q >0),由题设可得:a n q 2=a n q +2a n ,∵a n >0,∴q 2−q −2=0,解得:q =2, 又a 1=1, ∴a n =2n−1;(2)证明:由(1)可得:1a n+1(n+1)⋅log2a n+1=12n−1+1n(n+1)=12n−1+1n −1n+1, ∴S n =1−12n 1−12+1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=2−12n−1+1−1n+1=3−(12n−1+1n+1)<3,又S n 随n 增大而增大, ∴S n ≥S 1=3−(1+12)=32, ∴32≤S n <3.【解析】(1)利用等比数列的通项公式求得等比数列{a n }的公比q ,即可求得其通项公式; (2)先由(1)求得:1a n+1(n+1)⋅log2a n+1,然后利用分组求和法与裂项相消法求得其前n 项和S n ,再利用其单调性证明结论即可.本题主要考查等比数列基本量的计算、分组求和法及裂项相消法在数列求和中的应用、单调性在不等式证明中的应用,属于中档题.19.【答案】(1)证明:取弧AB 的中点H ,连结BH ,GH ,则∠ABF =∠ABH =45°,所以BF ⊥BH ,因为BC−−//GH ,所以四边形BCGH 为平行四边形,BF ⊥GC ,又因为BC ⊥平面ABF ,所以BC ⊥BF ,BC ⊂平面BCG , CG ⊂平面BCG ,BC ∩CG =C , 所以BF ⊥平面BCG .(2)解:以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系, 设AB =2,因为直线DF 与平面AFB 所成角为45°,则AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,2),FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0),FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2), 设平面BDF 的法向量为n⃗ =(x,y,z), 由{n ⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0可得:{x +y =0−x +z =0,令x =1,则n⃗ =(1,1,1), 同理可得:平面ABG 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(2,0,1), 则cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√3×√5=√155, 故平面BDF 与平面ABG 所成锐二面角的余弦值为√155.【解析】(1)取弧AB的中点H,连结BH,GH,证明BF⊥BH,推出BF⊥GC,结合BC⊥平面ABF,证明BC⊥BF,即可证明BF⊥平面BCG.(2)以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,求解平面BDF的法向量,平面ABG的法向量,利用空间向量的数量积求解平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值即可.本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用,二面角的平面角的求法,考查空间想象能力,转化思想以及计算能力,是中档题.20.【答案】解:(1)由题意,X的所有可能取值为:0,1,2,…,k−1,k,因为张三每次打靶的命中率均为p(0<p<1),则P(X=m)=p m(1−p)(m=0,1,2,…,k−1),P(X=k)=p k,所以X的分布列为X012…k−1kP1−p p(1−p)p2(1−p)…p k−1(1−p)p k所以X的数学期望为E(X)=p(1−p)+2p2(1−p)+3p3(1−p)+⋯+(k−1)p k−1(1−p)+kp k,令M=p+2p2+3p3+⋯+(k−1)p k−1①,则pM=p2+2p3+3p4+⋯+(k−1)p k②,所以①−②可得,(1−p)M=p+p2+p3+⋯+p k−1−(k−1)p k=p(1−p k−1)1−p−(k−1)p k,则E(X)=M(1−p)+kp k=p−p k1−p −(k−1)p k+kp k=p−p k+11−p;(2)(ⅰ)第n次射击后,可能包含两种情况:第n次射出空包弹或第n次射出实弹;因为第n次射击前,剩余空包弹的期望为E(X n−1),若第n次射出空包弹,则此时对应的概率为E(X n−1)6,因为射击后要填充一发空包弹,所以此时空包弹的数量为E(X n−1)−1+1=E(X n−1);若第n次射出实弹,则此时对应的概率为1−E(X n−1)6,所以此时空包弹的数量为E(X n−1)+1;综上,E(X n )=E(X n−1)6⋅E(X n−1)+[1−E(X n−1)6][E(X n−1)+1]=56E(X n−1)+1;(ⅰ)因为当n =0时,弹夹中有6−m 发空包弹,则E(X 0)=6−m ;由(i)可知:E(X n )=56E(X n−1)+1(n ∈N ∗),则E(X n+1)−6=56[E(X n )−6](n ∈N),所以{E(X n )−6}(n ∈N)是首项为−m ,公比为56的等比数列,则E(X n )−6=−m(56)n ,即E(X n )=6−m(56)n (n ∈N), 因此弹巢中实弹的发数的期望为6−E(X n )=m(56)n ,为使弹巢中实弹的发数的数学期望小于1,只需m(56)n <1,则m <(65)n ,所以log 65m <n , 为使log 65m <n 恒成立,只需(log 65m)max <n , 而(log 65m)max =log 656=lg6lg 65=lg6lg6−lg5=lg2+lg3lg2+lg3−l+lg2=lg2+lg32lg2+lg3−l =0.301+0.4770.602+0.477−1≈9.848,又n ∈N ,所以最小的射击次数n 0=10.【解析】(1)由题意,X 的所有可能取值为:0,1,2,…,k −1,k ,因为张三每次打靶的命中率均为p(0<p <1),可得P(X =m)=p m (1−p)(m =0,1,2,…,k −1),P(X =k)=p k ,进而得出X 的分布列及其X 的数学期望为E(X),可利用错位相减法、等比数列的求和公式得出.(2)(ⅰ)第n 次射击后,可能包含两种情况:第n 次射出空包弹或第n 次射出实弹;由第n 次射击前,剩余空包弹的期望为E(X n−1),若第n 次射出空包弹,可得此时对应的概率为E(X n−1)6,射击后要填充一发空包弹,此时空包弹的数量为E(X n−1)−1+1=E(X n−1);若第n 次射出实弹,可得此时对应的概率为1−E(X n−1)6,此时空包弹的数量为E(X n−1)+1;进而得出E(x n ).(ⅰ)因为当n =0时,弹夹中有6−m 发空包弹,可得E(X 0)=6−m ;由(i)可知:E(X n )=56E(X n−1)+1(n ∈N ∗),变形利用等比数列的通项公式即可得出E(X n ),进而得出结论.本题考查了相互独立事件的概率计算公式及其数学期望、数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、对数运算性质、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.21.【答案】解:(I)∵f(x)=e xx 2+a ,∴f′(x)=e x (a+x 2−2x)(a+x 2)2=e x [(x−1)2+a−1](a+x 2)2,因为a >0,函数的定义域为R ,若a ≥1,f′(x)>0恒成立,故f(x)在R 上单调递增,若0<a <1,则当x <1−√1−a 时,当x >1+√1−a 时,f′(x)>0,此时f(x)单调递增, 当1−√1−a <x <1+√1−a 时,f′(x)<0,此时f(x)单调递减,故a ≥1时,f(x)在R 上单调递增,若0<a <1,f(x)在(−∞,1−√1−a),(1+√1−a,+∞)上单调递增,在(1−√1−a,1+√1−a)上单调递减; (II)由函数f(x)存在极值点x 1,x 2,结合(I)得,x 1=1−√1−a ,x 2=1+√1−a ,∵a +x 12=2x 1,x 22+a =2x 2,∴f(x 1)=e x 12x 1,f(x 2)=e x 22x 2,设m =√1−a ,则1−a =m 2, 因为e x ≥x +1,则e √1−a +√1−a)+e √1−a (√1−a −1)]=1e m (1+m)−e m (1−m)<1+m1+m −(1+m)(1−m)=m 2=1−a , ∴f(x 1)−f(x 2)=e x 1−e x 22x 1x 2=e⋅e −√1−a (1+√1−a)−e⋅e √1−a (1−√1−a)2a,=e 2a[e−√1−a(1+√1−a)+e √1−a(√1−a −1)]<e2⋅1−a a.【解析】(I)先对函数求导,然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论即可求解;(II)结合(I)及函数极值存在的条件得,x 1=1−√1−a ,x 2=1+√1−a ,从而得a +x 12=2x 1,x 22+a =2x 2,代入得f(x 1)=e x 12x 1,f(x 2)=e x 22x 2,然后利用换元法,结合e x ≥x +1可证明.本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及证明不等式,体现了分类讨论及转化思想的应用.22.【答案】解:(1)设|F 1F 2|=2c ,因为Q 为PF 1的中点,所以△OF 1Q 的周长为|F 1Q|+|OQ|+|QF 1|=c +|F 2P|+|F 1P|2=a +c ,所以{a +c =√3+√62c a =√22,解得a =√3,b =c =√62,所以椭圆C 的方程为x 23+2y 23=1.(2)(ⅰ)证明:由x 2=4y 得y =x 24,求导得y′=x2,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则直线l 1:y −y 1=x 12(x −x 1),即y =x 12x −x 124,同理:l 2=x 22x −x 224,设W(x 0,y 0),因为W 为l 1,l 2的交点, 所以x 0=x 1+x 22,y 0=x 1x 24,由题知直线AB 的斜率存在,设它的方程为y =kx +m , 将y =kx +m 代入x 2=4y 得:x 2−4kx −4m =0, 所以x 0=2k ,y 0=−m ,因为y 02−x 024=1,所以m 2=1+k 2,所以圆心O 到直线AB 的距离d =√1+k 2=1=r ,所以直线AB 与圆O :x 2+y 2=1相切. (ⅰ)将y =kx +m 与x 23+2y 23=1联立得:(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−3=0,由韦达定理可得x 1+x 2=−4km1+2k 2,x 1x 2=2m 2−31+2k 2,因为OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m) =(1+k 2)x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2, =3m 2−3k 2−31+2k 2=0,所以OM ⊥ON , 又因为|MN|=2√(1+k2)(6k 2−2m 2+3)1+2k 2=2|m|√4m 2+32m 2+1,方法一:由(ⅰ)知:方程x 2−4kx −4m =0的△=16(k 2+m)=16(m 2+m −1)>0且4m 2−3>0, 解得√32<m 或m <−√5+12,所以|MN|=√2⋅√2m 2(4m 2−3)2m 2−1=√2√(1+12m 2−1)(2−12m 2−1),令t =12m 2−1,所以0<t <2或0<t <√5−2, |MN|=√2⋅√(1+t)(2−t)=√2⋅√−(t −12)2+94,当t =12时,即m =√62时,|MN|有最大值,且最大值3√22,所以Rt △OMN 外接圆直径MN 的长度最大值为3√22,所以△OMN 外接圆面积的最大值等于9π8.方法二:由(ⅰ)知:方程x 2−4kx −4m =0的△=16(k 2+m)=16(m 2+m −1)>0且4m 2−3>0, 解得√32<m 或m <−√5+12,|MN|=√2⋅√(1+t)(2−t)≤√2⋅(2m 2+4m 2−3)2×(2m 2−1)=3√22, 当且仅当2m 2=4m 2−3,即m =√62(m =−√62舍),所以Rt △OMN 外接圆直径MN 的长度最大值为3√22,所以△OMN 外接圆面积的最大值等于9π8.第21页,共21页 【解析】(1)根据题意可得{a +c =√3+√62c a =√22,解得a ,c ,再由a 2=b 2+c 2,解得b ,进而可得椭圆的方程.(2)(ⅰ)根据题意可得y =x 24,求导得y′=x 2,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),写出直线l 1,l 2的方程,联立求出l 1与l 2交点W(x 0,y 0)的坐标,有点W 在双曲线上,推出m 2=1+k 2,进而有点到直线的距离公式可得圆心O 到直线AB 的距离d =√1+k 2=1=r ,即可得出答案.(ⅰ)联立直线ABy =kx +m 与x 23椭圆的方程得关于x 的一元二次方程,由韦达定理可得x 1+x 2,x 1x 2, 计算得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,推出OM ⊥ON ,写出弦长|MN|=2|m|√4m 2+32m 2+1=√2√(1+12m 2−1)(2−12m 2−1),令t =12m 2−1,0<t <2或0<t <√5−2,再由配方法可得|MN|的最大值.方法二:同方法一解得m 的取值范围,再由基本不等式可得|MN|的最大值,进而求出△OMN 外接圆面积的最大值.本题考查椭圆的方程,直线与椭圆的相交问题,解题中需要一定的计算能力,属于中档题.。