11树型动态规划的实例分析
动态规划的应用举例大全
在0/1背包问题的基础上，通过动态规 划的方式解决多个约束条件下的物品 选择问题。
排程问题
作业车间调度问题
通过动态规划的方式，求解给定一组作业和机器，如何分配作业到机器上，使得 完成时间最早且总等待时间最小。
流水线调度问题
通过动态规划的方式，解决流水线上的工件调度问题，以最小化完成时间和总延 误时间。
应用场景
在基因组测序、进化生物学和生物分类学等领域中，DNA序列比对是关键步骤。通过比对，可以发现物种之间的相 似性和差异，有助于理解生物多样性和进化过程。
优势与限制
动态规划算法在DNA序列比对中具有高效性和准确性，能够处理大规模数据集。然而，对于非常长的序 列，算法可能需要较长时间来运行。
蛋白质结构预测
应用场景
深度学习中的优化算法广泛应用于语音识别、图像处理、 自然语言处理等领域，动态规划可以帮助提高训练效率和 模型的准确性。
自适应控制和系统优化
问题描述
动态规划方法
自适应控制和系统优化是针对动 态系统的优化和控制问题。在这 些问题中，动态规划可以用于求 解最优控制策略和系统参数调整。
通过定义状态转移方程和代价函 数，将自适应控制和系统优化问 题转化为动态规划问题。状态表 示系统的当前状态和参数，代价 函数描述了在不同状态下采取不 同行动的代价。
考虑风险因素和概率
动态规划可以考虑到风险因素和概率，以制定最优的风险评估和管 理策略。
考虑风险承受能力和资本充足率
动态规划可以考虑到风险承受能力和资本充足率，以制定最优的风 险评估和管理策略。
04 动态规划在生物信息学中 的应用
DNA序列比对
算法描述
DNA序列比对是生物信息学中常见的问题，通过动态规划算法可以高效地解决。算法将DNA序列视为字符串，并寻 找两个或多个序列之间的最佳匹配。
树形数位动态规划_黄哲威
花神的数论题
» 用用sum(i)表示数i二二进制表示下1的个数。 » 问sum(1)~sum(n)这n个数的乘积对
1000000007取模的结果。 » n<=10^15
» 这使得NOIp中看似没有单独讨论数位DP的必 要。
» 但事实上这种方方法还是有或多或少的细节，所以 大大家还是把数位DP看成一一类特殊的DP。初学者 一一般比比较难以一一次写对，但好好对拍就没事了了。
WINDY数
» windy定义了了一一种windy数。不不含前导零且相 邻两个数字之差至至少为2的正整数被称为 windy数。 windy想知道，在A和B之间，包括 A和B，总共有多少个windy数？将答案对 1000000007取模。
树形与数位动态规划
2019年年1月月26日日
⻩黄哲威 hzwer
北北京大大学16级计算机科学
第三节目目标
• 一一些树形dp补充
• 数位dp介绍
• 数位dp练习
NOIP2014 联合权值
» 无无向连通图 G 有 n 个点，n-1 条边。点从 1 到 n 依次编 号，编号为 i 的点的权值为 Wi，每条边的⻓长度均为 1。
» 但是这题数据范围有10^9，(sqrt(B))，这里里里取60000左右。然后预处理理出所有 F[k*S], k=1,2,...
» 这样读入入询问后，找到离B最近的一一个k*S，从F[k*S]开始暴暴力力力计算F[B]。 例例如B=60111，那么因为已经算出了了F[60000]，暴暴力力力for i=60001 ... 60111 判断每个i是否是windy数即可。
• 在n个点的点权树上选两条不不相交的路路径，使
路路径上的点权和最大大
• n <= 100000
动态规划算法的详细原理及使用案例
动态规划算法的详细原理及使用案例一、引言动态规划是一种求解最优化问题的算法，它具有广泛的应用领域，如机器学习、图像处理、自然语言处理等。
本文将详细介绍动态规划算法的原理，并提供一些使用案例，以帮助读者理解和应用这一算法的具体过程。
二、动态规划的基本原理动态规划算法通过将问题分解为多个子问题，并利用已解决子问题的解来求解更大规模的问题。
其核心思想是利用存储技术来避免重复计算，从而大大提高计算效率。
具体来说，动态规划算法通常包含以下步骤：1. 定义子问题：将原问题分解为若干个子问题，这些子问题具有相同的结构，但规模更小。
这种分解可以通过递归的方式进行。
2. 定义状态：确定每个子问题的独立变量，即问题的状态。
状态具有明确的定义和可计算的表达式。
3. 确定状态转移方程：根据子问题之间的关系，建立状态之间的转移方程。
这个方程可以是简单的递推关系式、递归方程或其他形式的方程。
4. 解决问题：使用递推或其他方法，根据状态转移方程求解每个子问题，直到获得最终解。
三、动态规划的使用案例1. 背包问题背包问题是动态规划算法的经典案例之一。
假设有一个背包，它能容纳一定重量的物品，每个物品有对应的价值。
目的是在不超过背包总重量的前提下，选取最有价值的物品装入背包。
这个问题可以通过动态规划算法来求解。
具体步骤如下：（1）定义问题：在不超过背包容量的限制下，选取物品使得总价值最大化。
（2）定义状态：令dp[i][j]表示将前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
（3）状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i], dp[i-1][j])，其中w[i]为第i个物品的重量，v[i]为第i个物品的价值。
（4）解决问题：根据状态转移方程依次计算每个子问题的解，并记录最优解，直到获得最终答案。
2. 最长公共子序列最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）是一种经典的动态规划问题，它用于确定两个字符串中最长的共同子序列。
动态规划算法原理与的应用
动态规划算法原理与的应用动态规划算法是一种用于求解最优化问题的常用算法。
它通过将原问题划分为子问题，并将每个子问题的解保存起来，以避免重复计算，从而降低了问题的时间复杂度。
动态规划算法的核心思想是自底向上地构建解，以达到求解整个问题的目的。
下面将介绍动态规划算法的原理以及一些常见的应用。
1.动态规划算法的原理1)将原问题划分为多个子问题。
2)确定状态转移方程，即找到子问题之间的关系，以便求解子问题。
3)解决子问题，并将每个子问题的解保存起来。
4)根据子问题的解，构建整个问题的解。
2.动态规划算法的应用2.1最长公共子序列1) 定义状态：假设dp[i][j]表示序列A的前i个字符和序列B的前j个字符的最长公共子序列的长度。
2) 确定状态转移方程：若A[i] == B[j]，则dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1；若A[i] != B[j]，则dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])。
3) 解决子问题：从前往后计算dp数组中每个元素的值。
4) 构建整个问题的解：dp[m][n]即为最终的最长公共子序列的长度，其中m和n分别为序列A和序列B的长度。
2.2背包问题背包问题是指给定一个背包的容量和一些物品的重量和价值，要求在不超过背包容量的情况下，选择若干物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大。
该问题可通过动态规划算法求解，具体步骤如下：1) 定义状态：假设dp[i][j]表示在前i个物品中选择若干物品放入容量为j的背包中，能够获得的最大价值。
2) 确定状态转移方程：考虑第i个物品，若将其放入背包，则dp[i][j] = dp[i-1][j-wi] + vi；若不将其放入背包，则dp[i][j] = dp[i-1][j]。
3) 解决子问题：从前往后计算dp数组中每个元素的值。
4) 构建整个问题的解：dp[n][C]即为最终的背包能够获得的最大价值，其中n为物品的个数，C为背包的容量。
动态规划算法详解及经典例题
动态规划算法详解及经典例题⼀、基本概念（1）⼀种使⽤多阶段决策过程最优的通⽤⽅法。
（2）动态规划过程是：每次决策依赖于当前状态，⼜随即引起状态的转移。
⼀个决策序列就是在变化的状态中产⽣出来的，所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。
假设问题是由交叠的⼦问题所构成，我们就能够⽤动态规划技术来解决它。
⼀般来说，这种⼦问题出⾃对给定问题求解的递推关系中，这个递推关系包括了同样问题的更⼩⼦问题的解。
动态规划法建议，与其对交叠⼦问题⼀次重新的求解，不如把每⼀个较⼩⼦问题仅仅求解⼀次并把结果记录在表中（动态规划也是空间换时间的）。
这样就能够从表中得到原始问题的解。
（3）动态规划经常常使⽤于解决最优化问题，这些问题多表现为多阶段决策。
关于多阶段决策：在实际中，⼈们经常遇到这样⼀类决策问题，即因为过程的特殊性，能够将决策的全过程根据时间或空间划分若⼲个联系的阶段。
⽽在各阶段中。
⼈们都须要作出⽅案的选择。
我们称之为决策。
⽽且当⼀个阶段的决策之后，经常影响到下⼀个阶段的决策，从⽽影响整个过程的活动。
这样，各个阶段所确定的决策就构成⼀个决策序列，常称之为策略。
因为各个阶段可供选择的决策往往不⽌⼀个。
因⽽就可能有很多决策以供选择，这些可供选择的策略构成⼀个集合，我们称之为同意策略集合（简称策略集合）。
每⼀个策略都对应地确定⼀种活动的效果。
我们假定这个效果能够⽤数量来衡量。
因为不同的策略经常导致不同的效果，因此，怎样在同意策略集合中选择⼀个策略，使其在预定的标准下达到最好的效果。
经常是⼈们所关⼼的问题。
我们称这种策略为最优策略，这类问题就称为多阶段决策问题。
（4）多阶段决策问题举例：机器负荷分配问题某种机器能够在⾼低两种不同的负荷下进⾏⽣产。
在⾼负荷下⽣产时。
产品的年产量g和投⼊⽣产的机器数量x的关系为g=g(x)，这时的年完善率为a，即假设年初完善机器数为x，到年终时完善的机器数为a*x(0<a<1)；在低负荷下⽣产时，产品的年产量h和投⼊⽣产的机器数量y 的关系为h=h(y)。
动态规划-例题众多-详细讲解
步骤2：状态转移方程：
步骤3：以自底向上的方法来计算最优解
12
程序的实现
BuyTicks(T, R)
1 n ← length[T]
2 f[0] ← 0
3 f[1] ← T[1]
4 for i ← 2 to n do
5
f[i] ← f[i-2]+R[i-1]
6
if f[i] > f[i-1]+T[i] then
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 F(n) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
2
递归 vs 动态规划
递归版本:
F(n)
1 if n=0 or n=1 then
2
return 1
3 else
4
return F(n-1) + F(n-2)
太慢!
动态规划:
F(n)
1 A[0] = A[1] ← 1
这里是某支股票的价格清单： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 价格 68 69 54 64 68 64 70 67 78 62 98 87 最优秀的投资者可以购买最多4次股票，可行方案中的一种是： 日期 2 5 6 10 价格 69 68 64 62 输入 第1行: N (1 <= N <= 5000)，股票发行天数 第2行: N个数，是每天的股票价格。 输出 输出文件仅一行包含两个数:最大购买次数和拥有最大购买次数的方案数(<=231) 当二种方案“看起来一样”时（就是说它们构成的价格队列一样的时候）,这2种方 案被认为是相同的。
你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要 几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。
树形动态规划
树形动态规划动态规划： 问题可以分解成若⼲相互联系的阶段，在每⼀个阶段都要做出决策，全部过程的决策是⼀个决策序列。
要使整个活动的总体效果达到最优的问题，称为多阶段决策问题。
动态规划就是解决多阶段决策最优化问题的⼀种思想⽅法。
阶段： 将所给问题的过程，按时间或空间（树归中是空间，即层数）特征分解成若⼲相互联系的阶段，以便按次序去求每阶段的解。
状态： 各阶段开始时的客观条件叫做状态。
决策： 当各段的状态取定以后，就可以做出不同的决定，从⽽确定下⼀阶段的状态，这种决定称为决策。
（即孩⼦节点和⽗亲节点的关系）策略： 由开始到终点的全过程中，由每段决策组成的决策序列称为全过程策略，简称策略。
状态转移⽅程： 前⼀阶段的终点就是后⼀阶段的起点，前⼀阶段的决策选择导出了后⼀阶段的状态，这种关系描述了由k阶段到k+1阶段（在树中是孩⼦节点和⽗亲节点）状态的演变规律，称为状态转移⽅程。
⽬标函数与最优化概念： ⽬标函数是衡量多阶段决策过程优劣的准则。
最优化概念是在⼀定条件下找到⼀个途径，经过按题⽬具体性质所确定的运算以后，使全过程的总效益达到最优。
树的特点与性质：1、有n个点，n-1条边的⽆向图，任意两顶点间可达2、⽆向图中任意两个点间有且只有⼀条路3、⼀个点⾄多有⼀个前趋，但可以有多个后继4、⽆向图中没有环；拿到⼀道树规题，我们有以下3个步骤需要执⾏：1. 判断是否是⼀道树规题：即判断数据结构是否是⼀棵树，然后是否符合动态规划的要求。
如果是，那么执⾏以下步骤，如果不是，那么换台。
2. 建树：通过数据量和题⽬要求，选择合适的树的存储⽅式。
如果节点数⼩于5000，那么我们可以⽤邻接矩阵存储，如果更⼤可以⽤邻接表来存储(注意边要开到2*n，因为是双向的。
这是⾎与泪的教训)。
如果是⼆叉树或者是需要多叉转⼆叉，那么我们可以⽤两个⼀维数组brother[]，child[]来存储（这⼀点下⾯会仔细数的）。
3. 写出树规⽅程：通过观察孩⼦和⽗亲之间的关系建⽴⽅程。
深入探讨动态规划中的几个问题
初始化 ：［］ ］０ ＝［］ ］ １＝ ｆｉ ［ ［ ］ｆｉ［ ［ ］０
当 然 ， 们 可 以想 到 把 ０ １背 包 的 最 内层 加 上 了一 个 长 度 我 ＿
规 划 ， 线性 动态 规划 的 正反 两种 方 向类 似 ， 型动态 规划 是 与 树 建 立在树 上 的 ， 以也相应 的有两 个方 向： 所
苹果 总数 的平均 数下取 整 。 着 ， 接 要想 办法把 ｆｉ［］ｋ 跟 “ ” ［］ｊ ［ ］ 树
这一特 殊结 构联 系起来 ！ 根 据树 的遍历 原理 以及动 态规划 的局部 最优 性 ，每一个 ｆ
特殊 的数 据结构 结合起 来 ， 于 Ｄ 便 Ｐ的迭代使 用 。同时 ， 也有 部 分 问题 在使用 动态规 划思 想解决 时 。 时间效 率并不 能满 足
［］ｊ ］ 状 态 ， 要 枚 举 ｆｉ ［ １ ［ ］ｘ为 一个 范 围 的 常 ｉ ［儿ｋ 的 都 ［］ ｊ ］ｘ （ 一
一
要求 ， 而且 算法仍 然存 在优化 的余地 。 这时 ， 就需 要考 虑时 间效 率 的优 化
数 ）随之 确定 ｈ ｓ ［ ， ［ ｎｉ ｏ 儿妇］ｘ 。ｈ ｉ ］ ［］ ［ 儿ｘ 就是 “ 背包 九讲 ” 的 中
０ 引 言
动态规划 是一种 重要 的程序设 计思 想 ， 有广 泛 的应用 价 具 值 。动 态规划 具有 高时效 ， 因为它在 将 问题 规模 不断 减小 的 是 同时 ， 效 地把 解记 录下 来 ， 而避 免 了反 复解 同一 个 子 问题 有 从 的现象 ， 因而只要 运用得 当 ， 较之暴 力搜 索而 言 ， 率就会 有特 效 别 大 的提高 任 何思想 方法 都有一 定的局 限性 ． 出 了特定条 超 件， 它就失去 了作 用 。同理 ， 态规划 也并 不是万 能 的。那么使 动 用 动态规 划必须 符合什 么条 件呢 ？ 必须 满足最 优化 原理 和无后 效性。 一般 由初始 状态开 始 ， 通过对 中间阶段决 策 的选 择 ， 达到 结 束状态 。这些决 策形成 了一个 决策 序列 ， 同时确定 了完 成整 个 过程 的一条 活动 路线 。其 中 ， 态 压缩 型动 态规 划 把 Ｄ 状 Ｐ的 核 心思想 体现 得淋 漓尽 致 ， 形 动态 规划 则是 把 Ｄ 树 Ｐ和 “ 这 树”
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••Βιβλιοθήκη ●样例求解过程：初始f(i,0)=0 f(6,1)=6, f(5,1)=max{1,6}=6, f(7,1)=2 f(4,1)=max{1,2}=2, f(1,1)=max{1,f(4,1)}=2 f(3,1)=4, f(2,1)=max{1,4}=4 f(5,2)=7 f(7,2)=max{f(5,1)+2}=8 f(4,2)=max{f(7,2),f(7,1)+1}=8 f(1,2)=max{f(4,2),f(4,1)+2}=8 f(2,2)=max{f(1,1)+1, f(3,1)+1)}=5 f(7,3)=9 f(4,3)=max{f(7,2)+1,f(7,3)}=9 f(1,3)=max{f(4,2)+1,f(4,3)}=9 f(2,3)=max{f(1,1)+f(3,1)+1,f(1,2)+1}=9 f(2,4)=max{f(1,3)+1, f(1,2)+f(3,1)+1}=max{9+1,8+4+1}=13 因此，我们设f(i,j)表示以i为根结点的二叉树分配j门课程的所获得的最大学 分，则有，
● [问题描述] ● 在大学里每个学生，为了达到一定的学分，必须从很多课 程里选择一些课程来学习，在课程里有些课程必须在某些 课程之前学习，如高等数学总是在其它课程之前学习。 ● 现在有N门功课，每门课有个学分，每门课有一门或没有 直接先修课（若课程a是课程b的先修课即只有学完了课程 a，才能学习课程b）。 ● 一个学生要从这些课程里选择M门课程学习，问他能获得 的最大学分是多少？
动态规划
● 仔细理解左右孩子的意义（如右图）： 左孩子：原根结点的孩子 右孩子：原根结点的兄弟 ● 也就是说，左孩子分配选课资源时， 根结点必须要选修，而与右孩子无关。
f (il , k ) f (ir , j k 1) a[i], 根结点选修 f (i, j ) max f (ir , j), 根结点不选修
• 图2就是对图1采用孩子兄弟表示法所得到的二叉树
建立二叉树
● 边读数据边把二叉树建立第一个孩子作为父节点的左子树，其它孩子作为第 一个孩子的右子树。 ● type ● tree=record ● l,r,v:longint; ● end; ● f:array[0..200] of longint; ● a:array[0..200] of tree; ● for i:=1 to n do ● begin ● readln(k,s); ● a[i].v:=s; ● if f[k]=0 then a[k].l:=i ● else a[f[k]].r:=i; ● f[k]:=i; ● end;
● 0<=k<j<n, i ∈(1..m) ● 时间复杂度O(mn2)
f (il , k 1) f (ir , j k ) a[i], 根结点选修 f (i, j ) max f (ir , j), 根结点不选修
递归实现树型DP
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● procedure treedp(x,y:longint); var i,j,k,l:longint; begin if b[x,y]>=0 then exit; treedp(a[x].r,y);{只有右子树的情况} j:=b[a[x].r,y]; for k:=1 to y do{左右子树都有的情况} begin treedp(a[x].l,k-1); treedp(a[x].r,y-k); i:=b[a[x].l,k-1]+b[a[x].r,y-k]+a[x].k; if i>j then j:=i; end; b[x,y]:=j; end;
树型动态规划的实例分析
什么是树型动态规划
● 顾名思义，树型动态规划就是在“树”的数据结构上的动 态规划，平时作的动态规划都是线性的或者是建立在图上 的，线性的动态规划有二种方向即向前和向后，相应的线 性的动态规划有二种方法既顺推与逆推，而树型动态规划 是建立在树上的，所以也相应的有二个方向： ● 根—>叶：不过这种动态规划在实际的问题中运用的不 多。 ● 叶－>根：即根的子节点传递有用的信息给根，完后根 得出最优解的过程。这类的出现的比较多，下面就介 绍一些这类题目和它们的一般解法。
分析
● 性质：中序遍历是按“左-根-右”方式进行遍历二叉树， 因此二叉树左孩子遍历序列一定在根结点的左边，右孩子 遍历序列一定在根结点的右边！ ● 因此，假设二叉树的根结点为k，那么中序遍历为1,2,…,n 的遍历序列，左孩子序列为1,2,…,k-1，右孩子序列为 k+1,k+2,…,n，如下图
选课
分析
• 每门课程最多只有1门直接先修课，如果我们把课 程看成结点，也就是说每个结点最多只一个前驱 结点。 • 如果把前驱结点看成父结点，换句话说，每个结 点只有一个父结点。显然具有这种结构的模型是 树结构，要么是一棵树，要么是一个森林。 • 这样，问题就转化为在一个M个结点的森林中选 取N个结点，使得所选结点的权值之和最大。同 时满足每次选取时，若选儿子结点，必选根结点 的条件。
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
输入： 第一行有两个整数N,M用空格隔开。(1<=N<=200,1<=M<=150) 接下来的N行,第I+1行包含两个整数ki和si, ki表示第I门课的直接先修课，si表示第I门课 的学分。若ki=0表示没有直接先修课（1<=ki<=N, 1<=si<=20）。 输出： 只有一行，选M门课程的最大得分。 样例： 输入： 7 4 2 2 0 1 0 4 2 1 7 1 7 6 2 2 输出： 13
样例分析
● 如图1，为两棵树，我们可以虚拟一个结点，将这 些树连接起来，那么森林就转会为了1棵树，选取 结点时，从每个儿子出发进行选取。显然选M=4 时，选3，2，7，6几门课程最优。
转化为二叉树
• 如果该问题仅仅只是一棵二叉树，我们对儿子的分配就仅 仅只需考虑左右孩子即可，问题就变得很简单了。因此我 们试着将该问题转化为二叉树求解。
加分二叉树
● 给定一个中序遍历为1,2,3,…,n的二叉树 ● 每个结点有一个权值 ● 定义二叉树的加分规则为： ● 左子树的加分× 右子树的加分＋根的分数 ● 若某个树缺少左子树或右子树，规定缺少的子树加分 为1。 ● 构造符合条件的二叉树 ● 该树加分最大 ● 输出其前序遍历序列
● 样例 ● 中序遍历为1,2,3,4,5的二叉树有很多，下图是其 中的三棵，其中第三棵加分最大，为145.