2014上海松江区高考数学(理)三模试题及答案解析
上海版第03期-2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编 专题04 三角函数与三角形(解析版)Word版含解析
一．基础题组1. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】已知θ为第二象限角，54sin =θ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πθ____________．2. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知tan tan αβ、是方程2670x x ++=的两根，则tan()αβ+=_______.3. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】在△ABC中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c.若bc b a 322=-，B C sin 32sin = ，则角A ＝._________ 【答案】6π【解析】试题分析：本题求三角形的角，由题设条件，可用余弦定理，因此首先把角的关系B C sin 32sin =转化为边的关系，这只要利用正弦定理，可得c =，因此2222cos 222b c a c c A bc bc b +-====22b =，故6A π=.考点：正弦定理与余弦定理.4. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】函数)12arcsin(-=x y 的定义域为 ．5. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】设ω＞0，若函数f (x )=2sin ωx 在［－4,3ππ］上单调递增，则ω的取值范围是_________.6. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2=a ，32=c ，3π=C ，则=b .【答案】4 【解析】试题分析：此题是解三角形问题，主要是应用正弦定理或余弦定理，对照这两个定理的条件，可用正弦定理求出A ，然后再得出B ，最后应用正弦定理（或余弦定理）求边b ，当然我们也可直接应用余弦定理来求b ，2222cos c a b ab C =+-，即212422c o s3b b π=+-⨯，2280b b --=，解得4b =．考点：解三角形问题．7. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】下列函数中，最小正周期为π的偶函数为（ ） (A) )4cos()4sin(ππ++=x x y (B)xxy 2sin 2cos 1+=(C) x y 2tan 2= (D)x x y cos sin =8. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知4cos 5α=，则cos()2sin()22tan()cot()2παπαππαα-+-+++=______________.9. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】函数()()x x y 2arccos 1arcsin +-=的值域是 .【答案】[]6ππ，10. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是 .11. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】为了得到函数2sin ,36x y x R π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭的图像，只需把函数2sin ,y x x R =∈的图像上所有的点------------------（ ）(A) 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） (B) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）(C) 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）(D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）【答案】B【解析】试题分析：这题考查函数图象的两个变换，平移变换，周期变换，当把函数sin()y A x ϕ=+图象上各点横坐标变为原来的1ω，纵坐标不变，则得函数sin()y A x ωϕ=+的图象，故本题选B.考点：三角函数的图象变换.12. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】已知sin 5x =，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则x = .（结果用反三角函数表示）13. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】已知函数()1cos sin )(2-+=x x x f ωω的最小正周期为π，则=ω _________．14. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】将函数x y 2sin =（R ∈x ）的图像分别向左平移m （0>m ）个单位，向右平移n（0>n ）个单位，所得到的两个图像都与函数⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y 的图像重合，则n m + 的最小值为……………………………………………………………………………（ ） A ．32π B ．65π C ．π D ．34π【答案】C 【解析】试题分析：利用图象变换的结论，函数x y 2sin =（R ∈x ）的图像分别向左平移m （0>m ）个单位，15. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】将函数)(x f y =的图像向右平移4π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为x y 2sin 2=，则函数)(x f 的表达式可以是………………………………………（ ）)(A x sin 2. )(B x cos 2. )(C x 2sin . )(D x 2cos .16. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】设锐角ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 1=a ，A B 2=, 则b 的取值范围为 ………（ ）.)(A ()3,2 ． )(B ()3,1 ．)(C()2,2 ． )(D ()2,0 ．二．能力题组1. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】如果x x cos sin +>λ对一切R x ∈都成立，则实数λ的取值范围是 ．2. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】在锐角ABC V 中,4,3AC BC ==，三角形的面积等于AB 的长为___________.3. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】设ω>0，若函数)(x f = sin2xωcos2xω 在区间[－3π，4π]上单调递增，则ω的范围是_____________．4. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】函数)(x f y =的图像与直线b x a x ==,及x 轴所围成图形的面积称为函数)(x f 在[]b a ,上的面积，已知函数nx y sin =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡n π,0上的面积为)(2*∈N n n ，则函数1)3sin(+-=πx y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,3ππ上的面积为 ．5. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知()sin 2cos 2f x a x b x=+（a ，b 为常数），若对于任意x R ∈都有()5()12f x f π≥，则方程()0f x =在区间[]0,π内的解为 . 【答案】263x x ππ==或 【解析】试题分析：三角函数一般先化为sin()A x k ωϕ++的形式，再利用正弦函数的性质来解决问题，本题中)(x f 可化为)2sin()(22ϕ++=x b a x f 的形式，可见函数的周期是ππ==22T ，方程()0f x =在区间[]0,π内应该有两解，由于对任意x R ∈都有()5()12f x f π≥，说明()f x 在512x π=时取得最小值，故方程()0f x =在区间[]0,π内的解为5124ππ±.考点：三角函数的最值与周期.三．拔高题组1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知函数()c x x x f ++=ωωcos sin 3（R x ∈>,0ω，c 是实数常数）的图像上的一个最高点⎪⎭⎫⎝⎛1,6π，与该最高点最近的一个最低点是⎪⎭⎫⎝⎛-3,32π， (1)求函数()x f 的解析式及其单调增区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,,，且ac BC AB 21-=⋅，角A 的取值范围是区间M ，当M x ∈时，试求函数()x f 的取值范围.试题解析：(1)∵()cos f x x x c ωω=++， ∴()2sin()6f x x c πω=++.∵(,1)6π和2(,3)3π-分别是函数图像上相邻的最高点和最低点， ∴2,2362,2sin() 1.66T T c πππωππω⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⋅++=⎪⎩解得,1,2.T c πω=⎧⎪=-⎨⎪=⎩ ∴()2sin(2)16f x x π=+-.由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈.∴函数()f x 的单调递增区间是[,],36k k k Z ππππ-+∈.2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】已知函数3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f ，R ∈x ．（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）在锐角三角形ABC 中，若1)(=A f ，2=⋅，求△ABC 的面积．【答案】（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k （Z ∈k ）；（2． 【解析】试题分析：（1）三角函数问题一般都是要把三角函数化为()sin()f x A x k ωϕ=++形式，然后利用正弦函数的知识解决问题，本题中选用二倍角公式和降幂公式化简为()2sin(2)3f x x π=+；（2）三角形的面积公式很多，具体地要选用哪个公式，要根据题意来确定，本题中已知2=⋅AC AB ，而cos AB AC AB AC A ⋅=，因此我们选面积公式1sin 2S AB AC A =，正好由已知条件可求出A ，也即求出sin ,cos A A ，从而得面积．3. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知)sin ,cos (ααA ．)sin ,cos (ββB ，其中α、β为锐角，且510=AB ． （1）求)cos(βα-的值；（2）若212tan=α，求αcos 及βcos 的值． 【答案】（1）45；（2）3cos 5α=，24cos 25β=．【解析】4. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】如图，设1)2A 是单位圆上一点，一个动点从点A 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.2秒时，动点到达点B ，t 秒时动点到达点P .设(,)P x y ，其纵坐标满足()sin()()22y f t t ππωϕϕ==+-<<.（1）求点B 的坐标，并求()f t ；（2）若06t ≤≤，求AP AB ⋅的取值范围.311sin 4664266AP AB t t ππππ⎛⎫⎛⎫∴⋅=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1sin 2663t πππ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭1sin 266t ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭………………………………10分 06t ≤≤，5,6666t ππππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin ,1662t ππ⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ …………12分 所以，AP AB ⋅ 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦………………………………14分考点：（1）单位圆的点的坐标；（2）现是的数量积与三角函数的取值范围．5. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】已知以角B 为钝角的的三角形ABC 内角C B A 、、的对边分别为a 、b 、c ，)sin ,3(),2,(A n b a m -== ，且m与n垂直．（1）求角B 的大小；（2）求C A cos cos +的取值范围试题解析：1）∵m 垂直n，∴0sin 23=⋅-A b a （2分）由正弦定理得0)sin 2(sin 2)sin 2(3=-B R A A R （4分）∵0sin ≠A ，∴23sin =B ，（6分） 又∵∠B 是钝角，∴∠B 32π= （7分） （2）)3sin(3sin 23cos 21cos )3cos(cos cos cos ππ+=++=-+=+A A A A A A C A （3分）由（1）知A ∈（0，3π），)32,3(3πππ∈+A , （4分） ]1,23()3sin(∈+πA ，（6分） ∴C A cos cos +的取值范围是]3,23( （7分） 考点：（1）向量的垂直，正弦定理；（2）三角函数的值域．6. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】行列式cos 2sin 01cos A A x A x x()0A >1121312M M -+，记函数()1121f x M M =+，且()f x 的最大值是4.（1）求A ；（2）将函数()y f x =的图像向左平移12π个单位，再将所得图像上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在11,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的值域．试题解析：（1）11sin 0sin cos 1cos A x M A x x x== ………1分221cos cos 221cos AA x A M A x x=-=-+ ………2分 ()sin 2cos 2sin(2)2224A A f x x x x π=-=- ………3分max 42f ==，所以A =………1分 （2）向左移12π得4sin(2)12y x π=-，………2分 横坐标变为原来2倍得()4sin()12g x x π=- ………1分因为11(,)1212x ππ∈-，所以5(,)1266x πππ-∈- ………1分所以()(]4sin()2,412g x x π=-∈- ………3分考点：(1)行列式与三角函数的性质；(2)函数图象的变换.7. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】已知函数x x x x f cos sin 322cos )(+=（1）求函数)(x f 的最大值，并指出取到最大值时对应的x 的值； （2）若60πθ<<，且34)(=θf ，计算θ2cos 的值.试题解析：（1）)62sin(22sin 32cos )(π+=+=x x x x f ………………2分由20π≤≤x 得，67626πππ≤+≤x ………4分 所以当262ππ=+x 时，2)(m ax =x f ，此时6π=x ………6分（2）由（1）得，34)62sin(2)(=+=πθθf ，即32)62sin(=+πθ……………8分其中2626ππθπ<+<得0)62cos(>+πθ………………10分所以35)62cos(=+πθ……………11分 ]6)62cos[(2cos ππθθ-+=………………13分 621521322335+=⨯+⨯=………………14分 考点：（1）三角函数的最值；（2）两角差的余弦公式．8. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】在ABC ∆中,已知3AB AC BA BC =.(1)求证:tan 3tan B A =;（2）若cos 5C =，求角A 的大小.(2)∵ cos 0C <C <π=,∴sin C =.∴tan 2C =.…………8分∴()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦,即()tan 2A B +=-.∴tan tan 21tan tan A BA B+=-- . …………10分由 (1) ,得24tan 213tan A A =--,解得1tan =1 tan =3A A -，. …………12分∵cos 0A>,∴tan =1A .∴=4A π. …………14分考点：（1）向量的数量积的定义与正弦定理；（2）已知三角函数值，求角.9. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图：点A 、B 、C 分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点C 在点A 的北偏东47°方向，点B 在点C 的南偏西36°方向，点B 在点A 的南偏东79°方向，且A 、B 两点的距离约为3海里.（1）求A 、C 两点间的距离；（精确到0.01）（2）某一时刻，我国一渔船在A 点处因故障抛锚发出求救信号.一艘R 国舰艇正从点C 正东10海里的点P 处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为P →C →A （直线行进），而我东海某渔政船正位于点A 南偏西60°方向20海里的点Q 处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点M 处，再折向点A 直线航行，航速为22海里/小时.渔政船能否先于R 国舰艇赶到进行救助？说明理由．试题解析：（1）求得11,115CAB ABC ∠=︒∠=︒，……2分 由14.25sin11sin115AB ACAC =⇒≈︒︒海里. ……4分10. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，a 、b 是方程220x -+=的两个根，且120A B +=，求△ABC 的面积及AB 的长.考点：(1)正弦定理；（2）余弦定理．。
2014松江区高三数学三模(理)
松江区2013学年度第二学期月考试卷高三数学（理科）（满分150分，完卷时间120分钟） 2014.5一、填空题 (每小题4分,满分56分)1．若复数z 满足i i z 2)1(=+，则z = ▲ ．2．已知向量)2,3(-=a ，)4,(-=k b ，若//，则k = ▲ ．3．若函数()y g x =的图像与2()log (2)f x x =+的图像关于直线y x =对称， 则()g x = ▲ ．4．函数32cos 2sin )(xx x f =的最大值为 ▲ ．5．一组数据中每个数据都减去20构成一组新数据，若这组新数据的平均数是2.5，方差是12.1，则原来一组数的方差为 ▲ ．6．不等式01>-x x的解集为 ▲ ． 7．已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若22cos cos 20A A +=，a =3c =,则b = ▲ ． 8．按右边的程序框图运行后,输出S 的值为 ▲ ． 9．记n a 为1(1)n x ++的展开式中含1n x-项的系数，则数列1{}na 的各项和为 ▲ ． 10．直线0=+y x 与曲线⎩⎨⎧+==θθ2sin 1cos y x 为参数θ(）的交点坐标为 ▲ ．11．如右图，底面直径为20的圆柱被与底面成 60二面角的平面所截，截面是一个椭圆，则此椭圆的焦距为 ▲ ．12．动点P 在平面区域|)||(|2:221y x y x C +≤+内，动点Q 在曲线222:(4)(4)2C x y -+-= 上，则||PQ 的最小值为 ▲ ．13．用)(A C 表示非空集合A 中元素的个数，定义⎩⎨⎧--=*),()(),()(A C B C B C A C B A )()()()(B C A C B C A C <≥若1{=A ，}2，)({2ax x x B +=}0)2(2=++ax x ，且1=*B A ，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则)(S C = ▲ ．14．已知函数)0(12)(≠+⋅=k k x f x，定义函数⎩⎨⎧<->=0)(0)()(x x f x x f x F ，给出下列命题：①)()(x f x F =； ②函数)(x F 是奇函数； ③当0<k 时，若0<⋅n m ，且0>+n m ，则有0)()(<+n F m F 成立， 其中所有正确命题的序号是 ▲ ．二、选择题 (每小题5分,共20分)15． 已知α、β是不同的两个平面，直线α⊂a ，直线β⊂b ，则“a 与b 没有公共点”是“βα//”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．若直线02=+-a y x 与圆04222=--+y x y x 有公共点，则实数a 的取值范围是A ．55≤≤-aB ．05a ≤≤C ． 5a ≤-或5a ≥D ．5a ≠±17．甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。
上海市徐汇、金山、松江区2014届高三下学期学习能力诊断理数学试卷(带解析)
上海市徐汇、金山、松江区2014届高三下学期学习能力诊断理数学试卷（带解析）1．设复数z 满足()132i z i +=-+，则z ＝____________． 【答案】13i - 【解析】试题分析：由题意232321132113i i iz i i i i-++=-=-=+-=+，∴13z i =-． 考点：复数的运算，共轭复数．2．已知直线⊥l 平面α，直线m ⊆平面β，给出下列命题,其中正确的是 ( ) ①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα ③βα⊥⇒m l // ④βα//⇒⊥m l A ．②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③【答案】C 【解析】试题分析：对①，由⊥l 平面α，//l αββ⇒⊥，又m β⊂，因此有l m ⊥，①正确，②错误，直线l 与平面β的关系不确定，因此l 与m 的关系也不确定，③由//l m 可得m α⊥，因此βα⊥，③正确，④由已知平面α与β的位置关系不确定，因此填空①③.考点：直线与平面的位置关系.3．在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，且B A ∠=∠2，则BB3sin sin 等于（ ） A ．c a B ．b c C ．abD ．c b【答案】D【解析】试题分析：3C A B B ππ∠=-∠-∠=-∠，所以s i n s i n (3)s i C B B π=-=，sin sin sin 3sin B B bB C c==.考点：三角形的内角和，正弦定理.4．函数y =图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下 不可能．．．成为公比的数是（ ）A ．23 B ．21 C ．33 D ．3 【答案】B 【解析】试题分析：函数y =1，最大值为3，故2133q ≤≤q ≤≤12<，因此选B. 考点：等比数列的性质.5．设圆O 1和圆O 2是两个相离的定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹可能是 ①两条双曲线；②一条双曲线和一条直线；③一条双曲线和一个椭圆．以上命题正确的是--（ ）A ．① ③B ．② ③C ．① ②D ．① ② ③ 【答案】C 【解析】试题分析：设圆B 与圆C 相离，半径分别为12,r r ，不妨设12r r ≤，则若圆A 与两圆都外切，则21AC AB r r -=-，而两圆都内切，则有21AB AC r r -=-，若圆A 与圆BC 、一个内切，一个外切，则有21AC AB r r -=+，故当21r r >时，轨迹是两条双曲线，当21r r =时，轨迹是一条双曲线和一条直线.选C.考点：圆与圆的位置关系，双曲线的定义.6．已知集合2|05x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}2|230,B x x x x R =--≥∈，则=B A ____________．【答案】(]5,1-- 【解析】试题分析：由题意{|52}A x x =-<<，{|13}B x x x =≤-≥或，则{|5A B x x =-<≤-考点：集合的运算.7．直线10x +=的倾斜角的大小是____________． 【答案】56π【解析】试题分析：由题意3k =-，即tan 3θ=-，∴56πθ=。
数学_2014年上海市青浦区高考数学三模试卷(理科)_(含答案)
2014年上海市青浦区高考数学三模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 若复数z =(x 2+2x −3)+(x +3)i 为纯虚数，则实数x 的值为________．2. 已知全集U ={−1, 0, 1, 2}，A ={−1, 2}，B ={0, 2}，则∁U (A ∩B)=________．3. 已知{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9=8π，则cos(a 2+a 8)的值为________．4. 已知向量a →=(1−sinθ, 1)，b →=(12, 1+sinθ)，且a → // b →，则钝角θ等于________．5. 若(1−ax)5的展开式中x 3的系数是80，则实数a 的值是________．6. 已知函数f(x)对任意x ∈R 都有f(x +5)−f(x)=0，若y =f(x)的图象关于y 轴对称，且f(−4)=−3，则f(2014)=________．7. △ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，S 是△ABC 的面积，且4S =a 2+b 2−c 2，则tan(π−C)=________．8. 某产品经过4次革新后，成本由原来的120元下降到70元．若每次革新后，成本下降的百分率相同，那么每次革新后成本下降的百分率为________ （精确到0.1%）． 9. 平面直角坐标系中，O 为原点，A 、B 、C 三点满足OC →=23OA →+13OB →，则|AC →||CB →|=________．10. 设地球半径为R ，北纬30∘圈上有A ，B 两地，它们的经度相差120∘，则这两地间的纬度线的长为________．11. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 参数方程为{x =cosαy =1+sinα（α为参数），α∈[0, 2π)．点M 为曲线C 上任一点，点N 满足OM →=2ON →，若以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点N 所在曲线的极坐标方程为________．12. 平面直角坐标系中，方程|x −1|+|y −1|=1的曲线围成的封闭图形绕y 轴旋转一周所形成的几何体的体积为________．13. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1、F 2．若椭圆上存在点P ，使得|PF 1→+PF 2→|=|F 1F 2→|成立，则ba 的取值范围为________．14. 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1=2，公和为5，那么a 18的值为________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列{1a n a n+1}的前100项和为( ) A100101B99101C99100D10110016. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，K 分别是棱A 1B 1、AB 、CD 的中点，动点P 在M ，N ，K 所确定的平面上．若动点P 到直线C 1D 1的距离等于到面ABCD 的距离，则点P 的轨迹为（ ）A 椭圆B 抛物线C 双曲线D 直线17. 若数列{a n }满足当a n >n 2(n ∈N ∗)成立时，总可以推出a n+1>(n +1)2成立，研究下列四个命题：①若a 3≤9，则a 4≤16； ②若a 3=10，则a 5>25； ③若a 5≤25，则a 4≤16；④a n ≥(n +1)2，则a n+1>n 2． 其中错误的命题有（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个18. 甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2和图3，若s 甲，s 乙，s 丙分别表示他们测试成绩的标准差，则（ ）A s 甲<s 乙<s 丙B s 甲<s 丙<s 乙C s 乙<s 甲<s 丙D s 丙<s 甲<s 乙三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. 已知a →=(sinx,−cosx)，b →=(cosx,√3cosx)，函数f(x)=a →⋅b →+√32（1）求f(x)的最小正周期；（2）当0≤x ≤π2时，求函数f(x)的值域．20.如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，已知∠ABC =90∘，AB =BC =4，BB 1=3，M 、N 分别是B 1C 1和AC 的中点． （1）求三棱锥B 1−ABC 1的体积； （2）求MN 与底面ABC 所成的角． 21. 在△ABC 中，已知∠A 为锐角，f(A)=(cos2A+1)sinA2(cos 2A 2−sin 2A2)+cos2A+12．（1）将f(A)化简成f(A)=Msin(ωA +φ)+N(M >0, N ∈R)的形式； （2）若f(A −524π)≥√22+12恒成立，BC =2，求b +c 的取值范围？22. 曲线C ：(5−m)x 2+(m −2)y 2=8(m ∈R)． （1）若曲线C 表示双曲线，求m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的范围； （3）设m =4，曲线C 与y 轴交点为A ，B （A 在B 上方），y =kx +4与曲线C 交于不同两点M ，N ，y =1与BM 交于G ，求证：A ，G ，N 三点共线．23. 若对任意的n ∈N ∗，存在正常数M ，恒有|b n −b n−1|+|b n−1−b n−2|+...+|b 2−b 1|≤M 成立，则{b n }叫做Γ数列．（1）若公差为d 的等差数列{a n }是Γ数列，求d 的值；（2）记数列{b n }的前n 项和为S n ，证明：若{S n }是Γ数列，则{b n }也是Γ数列；（3）若首项为1，公比为q 的等比数列{b n }是Γ数列，当M ＝2时，求实数q 的取值范围．2014年上海市青浦区高考数学三模试卷（理科）答案1. 12. {−1, 0, 1}3. −124. 34π5. −26. −37. −18. 12.6%9. 12 10.√3πR3 11. ρ=sinθ 12. 4π 13. (0, √22]14. 3,当n 为偶数时，S n =52n ；当n 为奇数时，S n =52n −12 15. A 16. B17. A 18. D19. f(x)=sinxcosx −√3cos 2x +√32． =12sin2x −√32(cos2x +1)+√32=12sin2x −√32cos2x =sin(2x −π3)．所以f(x)的最小正周期为π． ∵ 0≤x ≤.π2．∴ −π3<2x −π3≤2π3∴ −√32≤sin(2x −π3)≤1，即f(x)的值域为[−√32,1] 20. 解：（1）V B 1−ABC 1=V C 1−ABC =13⋅12⋅4⋅4⋅3=8． （2）取BC 的中点P ，连接MP 、NP ，则MP // BB 1，∴ MP ⊥平面ABC ，又NP ⊂平面ABC ， ∴ MP ⊥NP ，MN 与底面所成的角为∠MNP ∵ PN =2，MP =3， ∴ MN =√4+9=√13． ∵ NP =2， ∴ tan∠MNP =32， ∴ ∠MNP =arctan 32．21. 解：（1）f(A)=(cos2A+1)sinA2(cos 2A 2−sin 2A2)+cos2A+12=sin2A 2+cos2A+12=√22sin(2A +π4)+12．（2）由条件及（1）得：sin(2A −π6)≥1， A =π3，由余弦定理得：4=b 2+c 2−bc =(b +c)2−3bc ， 由b +c ≥2√bc ， 所以：bc ≤(b+c)24，代入上式解得：b +c ≤4， 又因为：b +c >a =2， 因此，b +c ∈(2, 4]．22. 解：（1）若曲线C 表示双曲线， 则：(5−m)(m −2)<0，解得：m ∈(−∞, 2)∪(5, +∞)； （2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 则：m −2>5−m >0． 解得：m ∈(72, 5)…证明：（3）当m =4，曲线C 可化为：x 2+2y 2=8， 当x =0时，y =±2，故A 点坐标为：(0, 2)，B(0, −2)将直线y =kx +4代入椭圆方程x 2+2y 2=8得：(2k 2+1)x 2++16kx +24=0， 若y =kx +4与曲线C 交于不同两点M ，N ， 则△=32(2k 2−3)>0，解得：k 2>32，…由韦达定理得：x m +x n =−16k2k 2+1 ①， x m ⋅x n =242k 2+1 ②…设N(x N , kx N +4)，M(x M , kx M +4)，G(x G , 1)， MB 方程为：y =kx M +6x Mx −2，则G(3x M kx M +6, 1)，…∴ AG →=(3x MkxM +6, −1)，AN →=(x N , kx N +2)，欲证A ，G ，N 三点共线，只需证AG →，AN →共线， 即3x M kx M +6(kx N +2)=−x N ，将①②代入可得等式成立，则A ，G ，N 三点共线得证．23. 由题意|b n −b n−1|+|b n−1−b n−2|+...+|b 2−b 1|＝(n −1)d ≤M ， 由n 的任意性，得d ＝0，由{S n }是Γ数列得，存在正常数M ，恒有|S n −S n−1|+|S n−1−S n−2|+...+|S 2−S 1|≤M 成立， 即|b n |+|b n−1|+...+|b 2|≤M ，所以|b n −b n−1|+|b n−1−b n−2|+...+|b 2−b 1| ≤|b n |+2|b n−1|+2|b n−2|+...+2|b 2|+|b 1| ≤2|b n |+2|b n−1|+2|b n−2|+...+2|b 2|+|b 1| ＝2M +|b 1|，因为2M +|b 1|是正常数，所以{b n }是Γ数列． 由（1）知当q ＝1时{b n }是Γ数列， 显然当q ＝−1时{b n }不是Γ数列．|b n −b n−1|+|b n−1−b n−2|+...+|b 2−b 1|＝|q|n−2⋅|q −1|+|q|n−3⋅|q −1|+...+|q −1| ＝|q −1|1−|q|n−11−|q|，若对任意的n∈N∗，|q−1|1−|q|n−11−|q|≤2成立，则必有|q|<1，所以|q−1|1−|q|n−11−|q|<|q−1|1−|q|≤2，当0<q<1时，上式恒成立；当−1<q<0时，上式化为1−q1+q ≤2，解得−13≤q<0．所以，q的取值范围是[−13, 0)∪(0, 1]．。
上海市松江区2014学年高三数学(文理合卷)参考答案
上海市松江区2014学年度第一学期高三期末考试数学（文理合卷）试卷参考答案2015.1一、填空题1． i 2± 2． x⎪⎭⎫⎝⎛213．90 4．25． arccos 46．7．20 8． 12π9． 10．1311．(理)(0,1] （文）5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ 12113．()2,43 14． （理）4029 （文） 7二、选择题15．A 16． D 17．C 18．A三、解答题 19． 解：（1）B a b sin 2= B A B sin sin 2sin =∴……………2分0sin >B 21sin =∴A ……………4分 由于c b a <<，A ∴为锐角，6π=∴A ……………6分（2）由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-,233221242⨯⨯⨯-+=∴c c ，……………8分 0862=+-c c ，2=c 或4=c由于c b a <<，4=c ……………10分所以1sin 2S bc A ==12分20． 解：（1）()f x 为偶函数，∴对任意的x R ∈，都有()()f x f x -=，……………2分即x bx baa +-+= xb x b +=-+ ……………4分得 0b =。
……………6分 （2）记()x b x bh x x b x b x b+≥-⎧=+=⎨--<-⎩，……………8分①当1a >时，()f x 在区间[)2,+∞上是增函数，即()h x 在区间[)2,+∞上是增函数，∴2b -≤，2b ≥-……………10分②当01a <<时，()f x 在区间[)2,+∞上是增函数，即()h x 在区间[)2,+∞上是减函数但()h x 在区间[),b -+∞上是增函数，故不可能……………12分∴()f x 在区间[)2,+∞上是增函数时，a 、b 应满足的条件为1a >且2b ≥-……14分 21．解（1）开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高 为216833H =⨯=，底面半径为28433r =⨯=……………22118163333V r H ππ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭39.71……………5分198602.0=÷V （秒）所以，沙全部漏入下部约需1986秒。
2014上海松江区高考数学(文)三模试题及答案解析
上海市松江区2014年高考三模冲刺试卷数学（文科）一、填空题 (每小题4分,满分56分)1．已知集合},30{R x x x A ∈≤<=，{12,}B x x x R =-≤∈，则=B A ． 2．已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，则lim nn nS na →∞= ．3．函数2cos sin ()sin 2cos x xf x x x=的最小正周期为 ．4．某小组中有6名女同学和4名男同学，从中任意挑选3名同学组成环保志愿者宣传队，则这个宣传队由2名女同学和1名男同学组成的概率是 （结果用分数表示）． 5．圆柱M 的底面直径与高均等于球O 的直径，则圆柱M 与球O 的体积之比V V =圆柱球： ． 6．已知1e 、2e 是平面上两个不共线的单位向量，向量12a e e =-，122b me e =+．若a b ⊥，则实数m = ．7．二项式151()x x-的展开式中含x 一次幂的项是第 项．8．已知直线110l x +=：，210l x ty ++=：，若直线1l 与2l 的夹角为60︒，则t = ．9．设变量,x y 满足约束条件⎩⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ，则目标函数32z x y =-的最小值为 ．10．阅读右边的程序框图，如果输出的函数值y 在区间1[,1]4内，则输入的实数x 的取值范围是x ∈ ．11．若等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，前n 项的和为n S ，则数列{}n S n 为等差数列，且通项为1(1)2n S da n n =+-⋅．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{}nb 的首项为1b ，公比为q ，前n 项的积为n T ，则 ． 12．若集合{},),(,325),3(1)3(),(M b a y y y y x y x M ∈≤≤-++-⋅+==且对M 中其它元素),(d c ，总有,a c ≥则=a ．13．已知2()f x x =，01211n x x x x -≤<<<<≤，1|()()|,n n n a f x f x n N *-=-∈，123n n S a a a a =++++，则n S 的最大值等于 ．14．平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，命题：①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点； ③如果k 与b 都是有理数，则直线y kx b =+必经过无穷多个整点；④存在恰经过一个整点的直线；其中的真命题是 ▲ （写出所有真命题编号）． 二、选择题 (每小题5分,共20分)15．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）16．已知||1,z z C α≤∈:,|,z i a z C β-≤∈：|．若α是β的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥．B ．1a ≤．C ．2a ≥．D ．2a ≤．17．若2002(0)x py p >>，则称点00(,)x y 在抛物线C ：22(0)x py p =>外．已知点()P a b ，在抛物线C ：22(0)x py p =>外，则直线()l ax p y b =+：与抛物线C 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定18．在过正方体AC 1的8个顶点中的3个顶点的平面中，能与三条棱CD 、A 1D 1、 BB 1所成的角均相等的平面共有（ ） A ．1 个． B ．4 个． C ．8 个．D ．12个．三．解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 是等腰直角三角形，1AB AC ==，侧棱1AA ⊥底面ABC ，且12AA =，E 是BC 的中点． （1）求直三棱柱111ABC A B C -的全面积；（2）求异面直线AE 与1AC 所成角θ的大小（结果用反三角函数表示）；20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知函数()22x x f x a -=+⋅()a R ∈． （1）讨论函数()f x 的奇偶性；（2）若函数()f x 在(,2]-∞上为减函数，求a 的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分电视传媒为了解某市100万观众对足球节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图，将每周平均收看足球节目时间不低于1.5小时的观众称为“足球迷”， 并将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5小时的观众称为“铁杆足球迷”．（1）试估算该市“足球迷”的人数，并指出其中“铁杆足球迷”约为多少人；（2）该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳10万名观众．根据调查，如果票价定为100元/张，则非“足球迷”均不会到现场观看，而“足球迷”均愿意前往现场观看．如果票价提高10x 元/张()x N ∈，则“足球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少10%x ，“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少100%11xx +．问票价至少定为多少元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过10万人？22．（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知点P 是椭圆C 上任一点，点P 到直线12l x =-：的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为2d ，且21d d =直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B (A ，B 都在x 轴上方) ，且180OFA OFB ∠+∠=︒． （1）求椭圆C 的方程；（2）当A 为椭圆与y 轴正半轴的交点时，求直线l 方程；（3）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分若数列{}n a 满足条件：存在正整数k ，使得2n k n k n a a a +-+=对一切,n N n k *∈>都成立，则称数列{}n a 为k 级等差数列．（1）已知数列{}n a 为2级等差数列，且前四项分别为2,0,4,3，求89a a +的值；（2）若2sin (n a n n ωω=+为常数），且{}n a 是3级等差数列，求ω所有可能值的集合，并求ω取最小正值时数列{}n a 的前3n 项和3n S ；（3）若{}n a 既是2级等差数列{}n a ，也是3级等差数列，证明：{}n a 是等差数列．上海市松江区2014年高考三模冲刺试卷数学（文科）参考答案一、填空题1． }31{≤≤-x x 2．12 3．π 4．125． 3：2 6．2 7． 8 8．09． —4 10．[2,0]-11．数列11n b -=． 12．9413．2 14．①④ 二选择题 15．D 16．C 17．A 18. C 三、解答题19.（本题12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 解：（1）11111222ABC S AB AC ∆=⋅=⋅⋅=…………（2分）1()(11)24S AB BC AC AA =++⋅=⋅=+侧4分）∴=2ABC S S S ∆+侧全…………（6分）（2）取11B C 的中点1E ，连11A E ，则11//A E AE ，即11CA E ∠即为异面直线AE 与1AC 所成的角θ．…（2分）连1E C .在11Rt E C C ∆中，由11E C =12CC =知1AC ==在11Rt AC C ∆中，由111AC =，12CC =知1AC 4分） 在11A E C ∆中，222((cos θ+-===∴θ=6分）20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．解：（1）()22xx f x a --=+⋅…………（1分）若()f x 为偶函数，则对任意的x R ∈，都有()()f x f x =-，即2222x x x x a a --+⋅=+⋅，2(1)2(1)x x a a --=-，(22)(1)0x xa ---=对任意的x R ∈都成立。
(上海版 第03期)2014届高三数学 试题分省分项汇编 专题04 三角函数与三角形 理(含解析)苏教版
（上海版 第03期）2014届高三数学 试题分省分项汇编 专题04 三角函数与三角形 理（含解析）一．基础题组1. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】已知θ为第二象限角，54sin =θ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πθ____________．2. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知tan tan αβ、是方程2670x x ++=的两根，则tan()αβ+=_______.3. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c.若bc b a 322=-，B C sin 32sin = ，则角A ＝._________ 【答案】6π【解析】试题分析：本题求三角形的角，由题设条件，可用余弦定理，因此首先把角的关系B C sin 32sin =转化为边的关系，这只要利用正弦定理，可得c =，因此222cos 2b c a A bc +-=====，故6A π=.考点：正弦定理与余弦定理.4. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】函数)12arcsin(-=x y 的定义域为 ．5. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】设ω＞0，若函数f (x )=2sin ωx 在［－4,3ππ］上单调递增，则ω的取值范围是_________.6. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2=a ，32=c ，3π=C ，则=b .【答案】4 【解析】试题分析：此题是解三角形问题，主要是应用正弦定理或余弦定理，对照这两个定理的条件，可用正弦定理求出A ，然后再得出B ，最后应用正弦定理（或余弦定理）求边b ，当然我们也可直接应用余弦定理来求b ，2222cos c a b ab C =+-，即212422c o s3b b π=+-⨯，2280b b --=，解得4b =．考点：解三角形问题．7. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】下列函数中，最小正周期为π的偶函数为（ ） (A) )4cos()4sin(ππ++=x x y (B)xxy 2sin 2cos 1+=(C) x y 2tan 2= (D)x x y cos sin =8. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知4cos 5α=，则cos()2sin()22tan()cot()2παπαππαα-+-+++=______________.9. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】函数()()x x y 2arccos 1arcsin +-=的值域是 .【答案】[]6ππ，10. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是 .11. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】为了得到函数2sin ,36x y x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图像，只需把函数2sin ,y x x R =∈的图像上所有的点------------------（ ）(A) 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） (B) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）(C) 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）(D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）【答案】B 【解析】试题分析：这题考查函数图象的两个变换，平移变换，周期变换，当把函数sin()y A x ϕ=+图象上各点横坐标变为原来的1ω，纵坐标不变，则得函数sin()y A x ωϕ=+的图象，故本题选B.考点：三角函数的图象变换.12. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】已知sin x =，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则x = .（结果用反三角函数表示）13. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】已知函数()1cos sin )(2-+=x x x f ωω的最小正周期为π，则=ω _________．14. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】将函数x y 2sin =（R ∈x ）的图像分别向左平移m （0>m ）个单位，向右平移n（0>n ）个单位，所得到的两个图像都与函数⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y 的图像重合，则n m + 的最小值为……………………………………………………………………………（ ） A ．32π B ．65π C ．π D ．34π【答案】C 【解析】试题分析：利用图象变换的结论，函数x y 2sin =（R ∈x ）的图像分别向左平移m （0>m ）个单位，15. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】将函数)(x f y =的图像向右平移4π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为x y 2sin 2=，则函数)(x f 的表达式可以是………………………………………（ ）)(A x sin 2. )(B x cos 2. )(C x 2sin . )(D x 2cos .16. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】设锐角ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 1=a ，A B 2=， 则b 的取值范围为 ………（ ）. )(A ()3,2 ． )(B ()3,1 ．)(C()2,2 ． )(D ()2,0 ．二．能力题组1. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】如果x x cos sin +>λ对一切R x ∈都成立，则实数λ的取值范围是 ．2. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】在锐角ABC V 中，4,3AC BC ==，三角形的面积等于AB 的长为___________.3. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】设ω>0，若函数)(x f = sin 2x ωcos2x ω 在区间[－3π，4π]上单调递增，则ω的范围是_____________．4. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】函数)(x f y =的图像与直线b x a x ==,及x 轴所围成图形的面积称为函数)(x f 在[]b a ,上的面积，已知函数nx y sin =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡n π,0上的面积为)(2*∈N n n ，则函数1)3sin(+-=πx y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,3ππ上的面积为 ．5. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知()sin2cos2f x a x b x=+（a ，b 为常数），若对于任意x R ∈都有()5()12f x f π≥，则方程()0f x =在区间[]0,π内的解为 . 【答案】263x x ππ==或 【解析】试题分析：三角函数一般先化为sin()A x k ωϕ++的形式，再利用正弦函数的性质来解决问题，本题中)(x f 可化为)2sin()(22ϕ++=x b a x f 的形式，可见函数的周期是ππ==22T ，方程()0f x =在区间[]0,π内应该有两解，由于对任意x R ∈都有()5()12f x f π≥，说明()f x 在512x π=时取得最小值，故方程()0f x =在区间[]0,π内的解为5124ππ±.考点：三角函数的最值与周期. 三．拔高题组1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知函数()c x x x f ++=ωωcos sin 3（R x ∈>,0ω，c 是实数常数）的图像上的一个最高点⎪⎭⎫⎝⎛1,6π，与该最高点最近的一个最低点是⎪⎭⎫⎝⎛-3,32π， (1)求函数()x f 的解析式及其单调增区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,,，且ac 21-=⋅，角A 的取值范围是区间M ，当M x ∈时，试求函数()x f 的取值范围.试题解析：(1)∵()cos f x x x c ωω=++， ∴()2sin()6f x x c πω=++.∵(,1)6π和2(,3)3π-分别是函数图像上相邻的最高点和最低点， ∴2,2362,2sin() 1.66T T c πππωππω⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⋅++=⎪⎩解得,1,2.T c πω=⎧⎪=-⎨⎪=⎩ ∴()2sin(2)16f x x π=+-.由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈.∴函数()f x 的单调递增区间是[,],36k k k Z ππππ-+∈.2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】已知函数3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f ，R ∈x ．（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）在锐角三角形ABC 中，若1)(=A f ，2=⋅，求△ABC 的面积．【答案】（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k （Z ∈k ）；（2．【解析】试题分析：（1）三角函数问题一般都是要把三角函数化为()sin()f x A x k ωϕ=++形式，然后利用正弦函数的知识解决问题，本题中选用二倍角公式和降幂公式化简为()2sin(2)3f x x π=+；（2）三角形的面积公式很多，具体地要选用哪个公式，要根据题意来确定，本题中已知2=⋅，而cos AB AC AB AC A ⋅=，因此我们选面积公式1sin 2S AB AC A =，正好由已知条件可求出A ，也即求出sin ,cos A A ，从而得面积．3. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知)sin ,cos (ααA ．)sin ,cos (ββB ，其中α、β为锐角，且510=AB ． （1）求)cos(βα-的值；（2）若212tan=α，求αcos 及βcos 的值． 【答案】（1）45；（2）3cos 5α=，24cos 25β=．【解析】4. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】如图，设1)2A 是单位圆上一点，一个动点从点A 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.2秒时，动点到达点B ，t 秒时动点到达点P .设(,)P x y ，其纵坐标满足()sin()()22y f t t ππωϕϕ==+-<<.（1）求点B 的坐标，并求()f t ；（2）若06t ≤≤，求AP AB ⋅的取值范围.311cos sin 42664266AP AB t t ππππ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1sin 2663t πππ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭1sin 266t ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭………………………………10分06t ≤≤，5,6666t ππππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin ,1662t ππ⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ …………12分所以，AP AB ⋅的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦………………………………14分考点：（1）单位圆的点的坐标；（2）现是的数量积与三角函数的取值范围．5. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】已知以角B 为钝角的的三角形ABC 内角C B A 、、的对边分别为a 、b 、c ，)sin ,3(),2,(A n b a m -== ，且m与n垂直．（1）求角B 的大小；（2）求C A cos cos +的取值范围试题解析：1）∵m 垂直n，∴0sin 23=⋅-A b a （2分）由正弦定理得0)sin 2(sin 2)sin 2(3=-B R A A R （4分）∵0sin ≠A ，∴23sin =B ，（6分） 又∵∠B 是钝角，∴∠B 32π= （7分） （2）)3sin(3sin 23cos 21cos )3cos(cos cos cos ππ+=++=-+=+A A A A A A C A （3分）由（1）知A ∈（0，3π），)32,3(3πππ∈+A ， （4分）]1,23()3sin(∈+πA ，（6分） ∴C A cos cos +的取值范围是]3,23( （7分） 考点：（1）向量的垂直，正弦定理；（2）三角函数的值域． 6. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】行列式cos 2sin 01cos A A x A x x()0A >1121312M M -+，记函数()1121f x M M =+，且()f x 的最大值是4.（1）求A ；（2）将函数()y f x =的图像向左平移12π个单位，再将所得图像上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在11,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的值域．试题解析：（1）11sin 0sin cos 1cos A x M A x x x== ………1分221cos cos 221cos AA x A M A x x=-=-+ ………2分 ()sin 2cos 2)224A A f x x x x π=-=- ………3分max 42f ==，所以A =………1分 （2）向左移12π得4sin(2)12y x π=-，………2分 横坐标变为原来2倍得()4sin()12g x x π=- ………1分因为11(,)1212x ππ∈-，所以5(,)1266x πππ-∈- ………1分 所以()(]4sin()2,412g x x π=-∈- ………3分考点：(1)行列式与三角函数的性质；(2)函数图象的变换.7. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】已知函数x x x x f cos sin 322cos )(+=（1）求函数)(x f 的最大值，并指出取到最大值时对应的x 的值； （2）若60πθ<<，且34)(=θf ，计算θ2cos 的值.试题解析：（1）)62sin(22sin 32cos )(π+=+=x x x x f ………………2分由20π≤≤x 得，67626πππ≤+≤x ………4分 所以当262ππ=+x 时，2)(max =x f ，此时6π=x ………6分（2）由（1）得，34)62sin(2)(=+=πθθf ，即32)62sin(=+πθ……………8分 其中2626ππθπ<+<得0)62cos(>+πθ………………10分所以35)62cos(=+πθ……………11分 ]6)62cos[(2cos ππθθ-+=………………13分 621521322335+=⨯+⨯=………………14分 考点：（1）三角函数的最值；（2）两角差的余弦公式．8. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =.(1)求证:tan 3tan B A =;（2）若cos C =求角A 的大小.(2)∵ cos 05C <C <π=，∴sin C =.∴tan 2C =.…………8分∴()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦，即()tan 2A B +=-.∴tan tan 21tan tan A BA B+=--. …………10分由 (1) ，得24tan 213tan AA=--，解得1tan =1 tan =3A A -，. …………12分∵cos 0A>，∴tan =1A .∴=4A π. …………14分考点：（1）向量的数量积的定义与正弦定理；（2）已知三角函数值，求角.9. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图：点A 、B 、C 分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点C 在点A 的北偏东47°方向，点B 在点C 的南偏西36°方向，点B 在点A 的南偏东79°方向，且A 、B 两点的距离约为3海里.（1）求A 、C 两点间的距离；（精确到0.01）（2）某一时刻，我国一渔船在A 点处因故障抛锚发出求救信号.一艘R 国舰艇正从点C 正东10海里的点P 处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为P →C →A （直线行进），而我东海某渔政船正位于点A 南偏西60°方向20海里的点Q 处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点M 处，再折向点A 直线航行，航速为22海里/小时.渔政船能否先于R 国舰艇赶到进行救助？说明理由．试题解析：（1）求得11,115CAB ABC ∠=︒∠=︒，……2分 由14.25sin11sin115AB ACAC =⇒≈︒︒海里. ……4分10. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，a 、b 是方程220x -+=的两个根，且120A B +=，求△ABC 的面积及AB 的长.考点：(1)正弦定理；（2）余弦定理．21。
2014年高考上海卷数学(理)试卷及答案解析
2014年高考上海卷数学（理）试卷及答案解析考生注意：1、本试卷共4页，23道试题，满分150分。
考试时间120分钟。
2、本考试分设试卷和答题纸。
试卷包括试题与答题要求。
作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上。
在试卷上作答一律不得分。
3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸正面清楚地填写姓名。
(1) 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、函数._______)2(cos 212的最小正周期是x y -=【答案】 2π【解析】2π4π2∴4cos -)2(cos 2-12====T x x y 周期Θ2、若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则}1{zz +z ⋅=___________. 【答案】 6 【解析】61)41(1)1(∴21=++=+=•++=z z z zz i z Θ3、若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________. 【答案】 x=-2【解析】2-2-)0,2(2)0,2(159222==∴=∴=+x x px y y x 所以，是其准线方程为焦点为右焦点为ΘΘ4、设⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=],,[,),,(,)(2a x x a x x x f 若4)2(=f ，则a 的取值范围为_____________.【答案】 ]2,∞-( 【解析】]2,∞-(.2≤),∞,[∈2∴4)2(所以，是解得a a f +=Θ5、若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________. 【答案】 22 【解析】22,2222≥22y ∴1222222所以，是=•+=+=x x x x x xy Θ6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。
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上海市松江区2014年高考三模冲刺试卷数学（理科）（满分150分，完卷时间120分钟）一、填空题 (每小题4分,满分56分)1．已知集合},30{R x x x A ∈≤<=，{12,}B x x x R =-≤∈，则=B A ▲ ． 2．已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，则lim nn nS na →∞= ▲ ．3．函数2cos sin ()sin 2cos x xf x x x=的最小正周期为 ▲ ．4．某小组中有6名女同学和4名男同学，从中任意挑选3名同学组成环保志愿者宣传队，则这个宣传队由2名女同学和1名男同学组成的概率是 ▲ （结果用分数表示）． 5．已知圆柱M 的底面直径与高均等于球O 的直径，则圆柱M 与球O 的体积之比V V 圆柱球： = ▲ ．6．已知1e 、2e 是平面上两个不共线的单位向量，向量12a e e =-，122b me e =+．若a b ⊥，则实数m = ▲ ．7．二项式151()x x-的展开式中系数最大的项是第▲ 项．8．已知直线110l x +=：，210l x ty ++=：，若直线1l 与2l 的夹角为60︒，则t = ▲ ．9．已知1()y f x -=是函数()arcsin(1)f x x =-的反函数，则1()f x -= ▲ ．10．阅读右边的程序框图，如果输出的函数值y 在区间1[,1]4内，则输入的实数x 的取值范围是x ∈ ▲ ．11．若等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，前n 项的和为n S ，则数列{}n S n 为等差数列，且通项为1(1)2n S d a n n =+-⋅．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{}n b 的首项为1b ，公比为q ，前n 项的积为n T ，则 ▲ ．12．若集合,),(,325),3(1)3(),(M b a y y y y x y x M ∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-++-⋅+==且对M 中其它元素),(d c ，总有,a c ≥则=a ▲ ．13．已知2()f x x =，01211n x x x x -≤<<<<≤，1|()()|,n n n a f x f x n N *-=-∈，123n n S a a a a =++++，则n S 的最大值等于 ▲ ．14．平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，命题：①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点； ③如果k 与b 都是有理数，则直线y kx b =+必经过无穷多个整点； ④如果直线l 经过两个不同的整点，则l 必经过无穷多个整点； ⑤存在恰经过一个整点的直线；其中的真命题是 ▲ （写出所有真命题编号）．二、选择题 (每小题5分,共20分)15．在极坐标系中，圆C 过极点，且圆心的极坐标是()2a π，(0a >)，则圆C 的极坐标方程是A ．2sin a ρ=-θ．B ．2sin a ρ=θ．C ．2cos a ρ=-θ．D ．2cos a ρ=θ．16．已知||1,z z C α≤∈:,|,z i a z C β-≤∈：|．若α是β的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是 A ．1a ≥．B ．1a ≤．C ．2a ≥．D ．2a ≤．17．若2002(0)x py p >>，则称点00(,)x y 在抛物线C ：22(0)x py p =>外．已知点()P a b ，在抛物线C ：22(0)x py p =>外，则直线()l ax p y b =+：与抛物线C 的位置关系是 A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定18．在正方体AC 1中，若点P 在对角线AC 1上，且P 点到三条棱CD 、A 1D 1、 BB 1的距离都相等，则这样的点共有A ．1 个．B ．2 个．C ．3 个．D ．无穷多个．三．解答题（本大题满分74分）19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 是等腰直角三角形，1AB AC ==，侧棱1AA ⊥底面ABC ，且12AA =，E 是BC 的中点，F 是1AC 上的点．（1）求异面直线AE 与1AC 所成角θ的大小（结果用反三角函数表示）；（2）若1EF AC ⊥，求线段CF 的长．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知函数()22x x f x a -=+⋅()a R ∈． （1）讨论函数()f x 的奇偶性；（2）若函数()f x 在(,2]-∞上为减函数，求a 的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分电视传媒为了解某市100万观众对足球节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图，将每周平均收看足球节目时间不低于1.5小时的观众称为“足球迷”， 并将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5小时的观众称为“铁杆足球迷”． （1）试估算该市“足球迷”的人数，并指出其中“铁杆足球迷”约为多少人；（2）该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳10万名观众．根据调查，如果票价定为100元/张，则非“足球迷”均不会到现场观看，而“足球迷”均愿意前往现场观看．如果票价提高10x 元/张()x N ∈，则“足球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少10%x ，“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少100%11xx +．问票价至少定为多少元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过10万人？22．（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知点P 是椭圆C 上任一点，点P 到直线12l x =-：的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为2d，且21d d =．直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B (A ，B 都在x 轴上方)，且180OFA OFB ∠+∠=︒． （1）求椭圆C 的方程；（2）当A 为椭圆与y 轴正半轴的交点时，求直线l 方程；（3）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分若正项数列{}n a 满足条件：存在正整数k ，使得n k n n n ka aa a +-=对一切,n N n k *∈>都成立，则称数列{}n a 为k 级等比数列．（1）已知数列{}n a 为2级等比数列，且前四项分别为14,,2,13，求89a a ⋅的值；（2）若2sin()(6nn a n πωω=+为常数），且{}n a 是3级等比数列，求ω所有可能值的集合，并求ω取最小正值时数列{}n a 的前3n 项和3n S ；（3）证明：{}n a 为等比数列的充要条件是{}n a 既为2级等比数列，{}n a 也为3级等比数列．上海市松江区2014年高考三模冲刺试卷数学（理科）参考答案一、填空题1．}31{≤≤-x x 2．12 3．π 4．12． 5． 3：2 6．2 7． 9 8．09．1sin [,]22x x ππ-∈-10．[2,0]-11．数列11n b -=．12．9413．2 14．①④⑤二选择题 15．B 16．C 17．A 18. D三、解答题19.（本题12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．解：（1）取11B C 的中点1E ，连11A E ，则11//A E AE ，即11CA E ∠即为异面直线AE 与1AC 所成的角θ．…………（2分）连1E C .在11Rt E C C ∆中，由112E C =12CC =知1AC ==在11Rt AC C ∆中，由111AC =，12CC =知1AC =……（4分） 在11A E C ∆中，222cos θ+-===∴arccos10θ=…………（6分） （2）以A 为原点，建立如图空间直角坐标系，设CF 的长为x 则各点的坐标为，11(,,0)22E，(0,1)F x x -，1(0,0,2)A ，(0,1,0)C ……（2分）∴11(,)22EF x x =-，1(0,1,2)AC =- 由1EF AC ⊥知10EF AC ⋅=…………（4分）即1202x x -=，解得x =∴线段CF 6分）20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 解：（1）()22x x f x a --=+⋅…………（1分）若()f x 为偶函数，则对任意的x R ∈，都有()()f x f x =-，即2222x xx x a a --+⋅=+⋅，2(1)2(1)x x a a --=-，(22)(1)0x x a ---=对任意的x R ∈都成立。
由于22x x--不恒等于0，故有10a -=，即1a = ∴当1a =时，()f x 是偶函数。
…………（4分）若()f x 为奇函数，则对任意的x R ∈，都有()()f x f x =--，即22220xxx x a a --+⋅++⋅=，(22)(1)0x x a -++=对任意的x R ∈都成立。
由于22x x-+不恒等于0，故有10a +=，即1a =- ∴当1a =-时，()f x 是奇函数。
…（6分）∴当1a =时，()f x 是奇函数；当1a =-时，()f x 是偶函数；当1a ≠±时，()f x 是非奇非偶函数。
…………（7分）（2）因函数()f x 在(,2]-∞上为减函数，故对任意的122x x <≤，都有12()()0f x f x ->，…………（2分）即12()()f x f x -=1212(22)(1)022x xx x a -->恒成立。
…（4分）由12220x x -<，知121022x x a -<恒成立，即1222x xa ⋅<恒成立。
由于当122x x <≤时12max (22)4x x⋅<…………（6分） ∴4a ≥…………（7分）21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解：（1）样本中“足球迷”出现的频率=(0.160.100.06)0.516%++⨯=…………（2分）“足球迷”的人数=10016%16⨯=（万）…………（4分）“铁杆足球迷”=100(0.060.5)3⨯⨯=（万）所以16万“足球迷”中，“铁杆足球迷”约有3万人. …………（6分）（2）设票价为10010x +元，则一般“足球迷”中约有13(110%)x -万人，“铁杆足球迷”约有1003(1%)11xx -+万人去现场看球. …………（3分）令10013313(110%)3(1%)1610111011x x xx x x -+-=--≤++…………（5分） 化简得：2131136600x x +-≥解得：165,413x x ≤-≥或 ，由x N ∈，4x ∴≥ ……（7分） 即平均票价至少定为100+40=140元，才能使前往现场观看足球比赛的“足球迷”不超过10万人. …………（8分）22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．解：解：（1）设(,)P x y，则12|2|,d x d =+=2分）212d d == 化简得：2212x y += ∴椭圆C 的方程为：2212x y +=…………（4分） （2）(0,1),(1,0)A F -1010(1)AF k -∴==--，180OFA OFB ∠+∠=1BF k ∴=-，:1(1)1BF y x x =-+=--…………（3分） 代入2212x y +=得：2340x x +=，40,3x x ∴==-或，代入1y x =--得 403()113x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩舍，或，41(,)33B ∴-…………（5分） 11113,:14220()3AB k AB y x -==∴=+--，…………（6分） （3）解法一：由于180OFA OFB ∠+∠=，0AF BF k k +=。