上海市徐汇区2014-2015学年高三第一学期一模数学理试卷含答案

2014学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）2015.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．已知3sin 5θ=-，则cos 2θ=__ ___．2．若实数,x y 满足4xy =，则224x y +的最小值为 ． 3．设i 是虚数单位，复数z 满足(2)5i z +⋅=，则z = ． 4．函数2()2(0)f x x x =-<的反函数1()f x -= ．5．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213y x -=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．6．若正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________．（结果用反三角函数值表示） 7．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，*110()2n n S a n N +-=∈，则{}n a 的通项公式为 ．8．若全集U R =，不等式11111x x+≥-的解集为A ，则U A C = ．9．已知圆22:(1)(1)2C x y -+-=，方向向量(1,1)d =的直线l 过点(0,4)P ，则圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为 ．10．如图：在梯形ABCD 中，//AD BC 且12AD BC =，AC 与 BD 相交于O ，设A B a =，D C b =，用,a b 表示BO ，则BO = ．11．已知函数()2sin(2)6f x x π=+，将()y f x =的图像向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图像．若()y g x =的图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，则ϕ的值为 ．12．已知函数222111()1()()(1)2222015n n n f x x n =+++++++，其中*n N ∈． 当1 2 3 n =，，，时，()n f x 的零点依次记作123 x x x ，，，，则lim n n x →∞= ．13．在平面直角坐标系中，对于函数()y f x =的图像上不重合的两点,A B ，若,A B 关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一组“奇点对”（规定(),A B 与(),B A 是相同的“奇点对”）．函数()()()1lg 01sin 02x xf x x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩的“奇点对”的组数是 ．14．设集合(){}{}12310,,,,|1,0,1,1,2,3,,10i A x x x x x i =∈-=，则集合A 中满足条件“1231019x x x x ≤++++≤”的元素个数为 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15． “14a ≥”是“实系数一元二次方程20x x a ++=有虚数根”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件16．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中一定能推出m β⊥的是 （ ）（A ）αβ⊥且m α⊂≠（B ）αβ⊥且α//m（C ）n m //且n β⊥ （D ）m n ⊥且//n β17．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n 类*()n N ∈，分别编号为1,2,,n ，买家共有m 名*(,)m N m n ∈<，分别编号为1,2,,m ．若1,1,10,ij i j a i m j n i j ⎧=≤≤≤≤⎨⎩第名买家购买第类商品第名买家不购买第类商品，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（ ） （A ）1112121222m m a a a a a a +++++++（B ）1121112222m m a a a a a a +++++++（C ）1112212212m m a a a a a a +++ （D ）1121122212m m a a a a a a +++18．对于方程为||1x +||1y =1的曲线C 给出以下三个命题： （1）曲线C 关于原点中心对称；（2）曲线C 既关于x 轴对称,也关于y 轴对称，且x 轴和y 轴是曲线C 仅有的两条对称轴； （3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M,N,P,Q 都在曲线C 上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2．其中正确的命题是（ ） (A)（1）（2） (B)（1）（3） (C)（2）（3） (D)（1）（2）（3）三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分． 已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ． （1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f ．20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数()22()x x f x k k R -=+⋅∈．（1）若函数()f x 为奇函数，求k 的值；（2）若函数()f x 在(],2-∞上为减函数，求k 的取值范围．21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图所示，某传动装置由两个陀螺12,T T 组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的13，且12,T T 的轴相互垂直，它们相接触的直线与2T 的轴所成角2arctan3θ=．若陀螺2T 中圆锥的底面半径为()0r r >．（1）求陀螺2T 的体积；（2）当陀螺2T 转动一圈时，陀螺1T 中圆锥底面圆周上一点P 转动到点1P ，求P 与1P 之间的距离．22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知椭圆222:1x y aγ+=（常数1a >）的左顶点为R ，点(,1),(,1)A a B a -，O 为坐标原点．（1）若P 是椭圆γ上任意一点，OP mOA nOB =+，求22m n +的值； （2）设Q 是椭圆γ上任意一点，()3,0S a ，求QS QR ⋅的取值范围；（3）设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆γ上的两个动点，满足OM ON OA OB k k k k ⋅=⋅，试探究OMN ∆的面积是否为定值，说明理由．23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知有穷数列}{n a 各项均不相等．．．．，将}{n a 的项从大到小重新排序后相应的项数．．．．．构成新数列}{n p ，称}{n p 为}{n a 的“序数列”．例如数列：321,,a a a 满足231a a a >>，则其序数列}{n p 为2,3,1． （1）写出公差为(0)d d ≠的等差数列12,,,n a a a L 的序数列}{n p ；（2）若项数不少于5项的有穷数列}{n b 、}{n c 的通项公式分别是nn n b )53(⋅=(*n N ∈)，tn n c n +-=2(*n N ∈)，且}{n b 的序数列与}{n c 的序数列相同，求实数t 的取值范围；（3）若有穷数列}{n d 满足11=d ，nn n d d )21(||1=-+*()n N ∈，且}{12-n d 的序数列单调递减，}{2n d 的序数列单调递增，求数列}{n d 的通项公式．理科参考答案一、填空题：（每题4分）1.7252. 163.4. 2)x >-5. 2x =-6. 7. 2*1,123,2,n n n a n n N -=⎧=⎨⋅≥∈⎩8. (]1,0- 9. 10. 4233a b -+r r 11. 6π12. 3- 13. 3 14. 58024二、选择题：（每题5分）15. B 16. C 17. C 18. B三、解答题19、解：（1）553()sin()121242f A πππ=+=，322A ⋅=……………………..2’A ∴=; ……………………..4’（2）3()()))42f f +-=+-+=ππθθθθ，3cos )sin cos )]2+-+=θθθθ，……………………..6’32=θ，cos =θ，……………………..8’又)2,0(πθ∈，sin ∴==θ， ……………………..10’)43(θπ-f )=-==πθθ．……………………..12’20、解：（1）()()(1)(22)0x x f x f x k -+-=++=对一切的x R ∈成立，……………………..4’ 所以1k =-……………………..6’（2）若0k ≤，则函数()f x 在(],2-∞单调递增（舍）……………………..8’当0k >时，令(]20,4xt =∈，……………………..9’则函数()kg t t t=+在(]0,4上单调递减……………………..10’4≥，……………………..13’ 即16k ≥……………………..14’ 21、解：（1）设陀螺2T 圆锥的高为h ，则23r h =，即32h r =……………………..2’得陀螺2T 圆柱的底面半径和高为3r……………………..3’ 231=3327r r V r ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭柱……………………..5’23131=322V r r r ππ=椎……………………..7’232954T V V V r π=+=柱椎……………………..8’（2）设陀螺1T 圆锥底面圆心为O ，则12PP r π=，……………………..10’得1124332PP r POP OP r ππ∠===……………………..12’ 在1POP ∆中，12PPr ==……………………..14’ 22、解：（1）(),OP mOA nOB ma na m n =+=-+， 得(),P ma na m n -+……………………..2’()()221m n m n -++=，即2212m n +=……………………..4’ （2）设(),Q x y ，则()()3,,QS QR a x y a x y ⋅=-----()()()()222331x x a x a y x a x a a=-++=-++-……………………..5’22221213a x ax a a-=-+-()22342222144111a a a a x a x a a a a ⎛⎫--+=---≤≤ ⎪--⎝⎭……………………..6’ 由1a >，得321a a a >-……………………..7’ ∴ 当x a =-时，QS QR ⋅最大值为0；……………………..8’当x a =时，QS QR ⋅最小值为24a -；……………………..9’即QS QR ⋅的取值范围为24,0a ⎡⎤-⎣⎦……………………..10’（3）（解法一）由条件得，122121y y x x a=-，……………………..11’ 平方得224222222121212()()x x a y y a x a x ==--,即22212x x a +=……………………..12’122112OMN S x y x y ∆=-……………………..13’=2a==……………………..15’ 故OMN ∆的面积为定值2a……………………..16’（解法二）①当直线MN 的斜率不存在时，易得OMN ∆的面积为2a……………………..11’ ②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx t =+()()22222222211210x y a k x kta x a t ay kx t ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩……………………..12’ 由1122(,),(,)M x y N x y ，可得()2221212222212,11a t kta x x x x a k a k --+==++， ()()()2222212121212221t a k y y kx t kx t k x x kt x x x t a k -=++=+++=+又122121OM ON y y k k x x a⋅==-，可得22221t a k =+……………………..13’因为12MN x x =-，……………………..14’ 点O 到直线MN的距离d =……………………..15’12122OMNt S MN d x x ∆=⋅⋅=⋅-2t =22t a==综上：OMN ∆的面积为定值2a……………………..16’ 23、解：(1)当0>d 时，序数列}{n p 为,1,,2,1n n -L ；……………………..2’ 当0<d 时，序数列}{n p 为1,2,,1,n n -L ……………………..4’ (2)因为523)53(1nb b nn n -⋅=-+，……………………..5’当1=n 时，易得12b b >，当2≥n 时，n n b b <+1， 又因531=b ，33)53(3⋅=b ，44)53(4⋅=b ，314b b b <<， 即2314n b b b b b >>>>>L ，故数列}{n b 的序数列为2,3,1,4,,n L ，……………………..8’ 所以对于数列}{n c 有2522<<t ， 解得：54<<t ……………………..10’(3)由于}{12-n d 的序数列单调递减，因此}{12-n d 是递增数列，故01212>--+n n d d ，于是0)()(122212>-+--+n n n n d d d d ，而122)21()21(-<n n，所以||||122212-+-<-n n n n d d d d ，从而0122>--n n d d ， 122121222)1()21(----==-n n n n n d d (1) ……………………..12’ 因为}{2n d 的序数列单调递增，所以}{2n d 是递减数列，同理可得0212<-+n n d d ，故21221221(1)()22n n n nnd d ++--=-= (2) ……………………..14’ 由(1)(2)得：nn n n d d 2)1(11++-=-……………………..15’于是 )()()(123121--++-+-+=n n n d d d d d d d d ……………………..16’122)1(21211--++-+=n n211)21(12111+--⋅+=-n ……………………..17’12)1(3134--⋅+=n n 即数列}{n d 的通项公式为12)1(3134--⋅+=n n n d (*n N ∈)……………………..18’。