立体几何圆锥曲线导数文科答案

1、在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10.（1）求棱1A A 的长；（2）若11A C 的中点为1O ，求异面直线1BO 与11A D 所成角的余弦值. 【答案】（1）3；（2）1111． 试题分析：（1）设1A A h =，由题意得1111111111ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-，可求出棱长；（2）因为在长方体中11//A D BC ，所以1O BC ∠即为异面直线1BO 与11A D 所成的角(或其补角),再借助解三角形的求解得到结论．试题解析：(1)设1A A h =，由题设111111111110ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=， 得1111103ABCD A B C S h S h ∆⨯-⨯⨯=，即1122221032h h ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，解得3h =， 故1A A 的长为3. (2)在长方体中11A D BC ，1O BC ∴∠即为异面直线1BO 与11A D 所成的角(或其补角),在1O BC ∆中，计算可得1111O B OC =1O BC ∠11考点：异面直线所成的角的求解；棱柱的结构特征． 【解析】2、如图，四边形PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=︒，//PM BC ，1,2PM BC ==，又1,AC =120ACB ∠=︒，AB PC ⊥，AM=2.（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求三棱锥P MAC -的体积． 【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）123=V . 试题分析：(Ⅰ)根据面面垂直的判定定理，可知证明面面垂直，先证明线面垂直，根据所给条件，易证明⎩⎨⎧⊥⊥ABPC BCPC ,即转化为证明⊥PC 平面ABC ；（Ⅱ）根据等体积转化PMC A MAC P V V --=,重点求PMC ∆的面积，在平面PCBM 内，过M 做MN BC ⊥交BC 于N ，连结AN ，这样在ACN ∆和AMN ∆中根据余弦定理和勾股定理，分别求AN 和MN ,这样就求出PMC ∆的面积，而点A 到平面PCM 的距离就是点A 到直线BC 的距离，做A 做AH BC ⊥交BC 于H ，根据求面积的过程，易求AH . 试题解析：（Ⅰ）证明：由90PCB ∠=︒得PC CB ⊥ 又因为AB PC ⊥，AB BC B ⋂=，,AB BC ⊆平面ABC所以PC ABC ⊥平面． 又PC PAC ⊂平面，所以平面PAC ⊥平面ABC ．(Ⅱ)解：在平面PCBM 内，过M 做MN BC ⊥交BC 于N ，连结AN ，则CN=PM=1， 又//PM BC ，得四边形PMNC 为平行四边形，所以//PC MN 且PC MN = 由（Ⅰ）得PC ABC ⊥平面，所以MN⊥平面ABC,在ACN ∆中，2222cos1203AN AC CN AC CN =+-⋅︒=，即3AN =．又AM=2.∴在Rt AMN ∆中，有1PC MN ==．在平面ABC 内，过A 做AH BC ⊥交BC 于H ，则AH PMC ⊥平面 因为1,AC CN ==120ACB ∠=︒，所以30ANC ∠=︒．∴在Rt AHN ∆中，有1322AH AN == 而111122PMC S ∆=⨯⨯= ABCMP∴113332212P MAC A PMCV V--==⨯⨯=考点：1.等体积转化；2.面面垂直的判定定理.【解析】3、如图所示,PA⊥平面ABC,点C在以AB为直径的O上，030CBA∠=，2PA AB==，点E为线段PB的中点，点M在AB上，且//OM AC.（Ⅰ）求证:平面//MOE平面PAC ；（Ⅱ）求证:平面PAC ⊥平面PCB．【答案】试题分析：（Ⅰ）利用三角形的中位线定理可得OE PA，即可得出OE 平面PAC，再利用OM AC，可得OM平面PAC，再利用面面平行的判定定理即可得出平面MOE平面PAC；（Ⅱ）点C在以AB为直径的O上，可得BC AC⊥，利用PA⊥平面ABC，可得PA BC⊥，可得BC⊥平面PAC，即可得出平面PAC⊥平面PCB.试题解析：证明:（Ⅰ）因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE PA.因为PA⊂平面PAC，OE⊄平面PAC，所以OE平面PAC.因为OM AC，又AC⊂平面PAC,OM⊄平面PAC，所以OM平面PAC.因为OE⊂平面MOE，OM⊂平面MOE，0OE OM=，所以平面MOE平面PAC.ACMPNH(2)因为点C 在以AB 为直径的O 上，所以90ACB ∠=︒，即BC AC ⊥. 因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥.因为AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面，PA AC A =，所以BC ⊥平面PAC .因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PAC ⊥平面PBC考点：1、面面平行的判定定理；2、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理. 【解析】4、在如图所示的四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ,AD ∥BC ,90BAD ︒∠=,12PA AB BC AD ====,,E 为PD 的中点.（Ⅰ）求证：PAB CE 面//；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面PDC ；（Ⅲ）求直线EC 与平面PAC 所成角的余弦值. 【答案】6试题分析：（Ⅰ）根据中位线定理求证出四边形MEBC 为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明；（Ⅱ）先证明线面垂直，再到面面垂直；（Ⅲ）找到∠ECF 为直线EC 与平面PAC 所成的角，再解三角形即可试题解析：（Ⅰ）解：取PA 的中点M ，连接BM ，ME AD //且AD 21ME = BC AD //且AD 21BC =∴ME //BC 且ME=BC∴四边形MEBC 为平行四边形，∴BME //CE ，CE ⊄面PAB ，BM ⊄面PAB ， ∴CE //面PAB（Ⅱ）证明：∵PA ⊥平面,ABCD ， ∴PA ⊥DC ，又22222AC CD AD +=+= ∴DC AC ⊥， ∵AC PA A = ∴DC ⊥平面PAC又DC ？平面PDC所以平面PAC ⊥平面PDC（Ⅲ）解：取PC 中点F ，则EF ∥DC ， 由（Ⅱ）知DC ⊥平面PAC 则EF ⊥平面PAC所以ECF ∠为直线EC 与平面PAC 所成的角CF ＝12PC 3EF ＝122CD = ∴6tan EF ECF FC ∠==即直线EC 与平面PAC 6考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 【解析】5、已知椭圆：()222210y x a b a b+=>>，离心率为22，焦点()()120,,0,F c F c -过1F 的直线交椭圆于,M N 两点，且2F MN ∆的周长为4. （1）求椭圆方程；（2）与y 轴不重合的直线l 与y 轴交于点()()0,0P m m ≠，与椭圆C 交于相异两点,A B 且AP PB λ=,若4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.【答案】（1）2221y x +=；（2）111,,122m ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．试题分析：（1）先由离心率为22，2F MN ∆的周长为4，列出方程即可求解,,a b c 的值，从而得到椭圆的方程；（2）先设l 与椭圆C 的交点为()()1122,,,A x y B x y ，然后联立直线与椭圆方程，得到关于x 的一元二次方程，进而得到两根与系数的关系，再根据AP PB λ=和4OA OB OP λ+=，可得λ的值，利用韦达定理即可求解实数m 的取值范围．试题解析：(1)设()2222:10y x C a b a b +=>>，设2220,c c a b >=-，由条件知244,2c a a ==， 21,2a b c ∴===，故C 的方程为：2221y x +=.(2)设:l y kx m =+与椭圆C 的交点为()()1122,,,A x y B x y ，将y kx m =+代入2221y x +=，得()()222222210,4220k x kmx m k m +++-=∴∆=-+>①.212122221,22km m x x x x k k --+==++,4,3AP PB OA OB OP AP PB λλ=+=∴=，21221222,3x x x x x x ∴+=-=-，消去2x 得()22212122221340,34022km m x x x x k k ⎛⎫--⎛⎫++=∴+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭. 即22224220k m m k +--=,当214m =时，22224220k m m k +--<， 2222122,441m m k m -∴≠=-由①得2222k m >-，解得111,,122m ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.考点：椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线综合应用．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质，直线与圆锥曲线综合应用，着重考查了转化与化归的思想及推理、运算能力，其中直线与圆锥曲线的综合题是高考的一个重点题型，属于中档试题，本题的解答中直线与椭圆方程，得到关于x 的一元二次方程，根据AP PB λ=和4OA OB OP λ+=的运算，再利用韦达定理即可求解实数m 的取值范围． 【解析】6、已知椭圆E 的两焦点分别为()()1,0,1,0-，经过点2⎛⎝⎭． （1）求椭圆E 的方程；（2）过()2,0P -的直线l 交E 与A ，B 两点，且3PB PA =，设A ，B 两点关于x 轴的对称点分别是C ，D ，求四边形ACDB 的外接圆的方程．【答案】（1）2212x y +=；（2）2211039x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭. 试题分析：（1）由题意得1c =，进而可得222222++22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭b ，即可得到椭圆的方程；（2）设:2l x my =-，代入椭圆2212x y +=，并整理可得()222420my my +-+=，由韦达定理可得24m =，不妨设2m =可得圆心和半径，即可得到圆的方程.试题解析：（1）由题意知1,2c a ==22222+2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭222,1a b a c ∴==-=椭圆E 的方程为2212x y += （2）设:2l x my =-，带入椭圆方程得()222420m y my +-+=由2281602m m ∆=->>得设()()1122,,,,A x y B x y12122242,22m y y y m m +==++则y ①② 由213,3PB PA y y ==得③ 由①②③解得224,2m m =>符合不妨取2,m =则线段AB 的垂直平分线的方程为223y x =-- 则所求圆的圆心为()1,0,0,13B ⎛⎫- ⎪⎝⎭又所以圆的半径10r =所以圆的方程为2211039x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用及椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，涉及到了椭圆与圆的一些基础知识的综合应用，属于中档试题，同时着重考查了学生的运算推理能力，本题的解答中设出直线2x my =-，代入椭圆的方程，整理得到关于y 的一元二次方程，由根与系数的关系，得24m =，可求得圆心和半径，即可得到圆的方程. 【解析】7、已知A 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一个动点，弦AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2，当AC 垂直于x 轴时，恰好有13||||21：：=AF AF .（Ⅰ）求椭圆离心率；（Ⅱ）设C F AF B F AF 222111,λλ==,试判断21λλ+是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由. 【答案】（1）22=e ；（2）存在，定值为6． 试题分析：（1）当AC 垂直于x 轴时，2AF 为半通径的长2b a ，所以213b AF a=，根据椭圆的定义，化简出离心率，求出离心率；（2）先设出相关点的坐标),(),,(),,(221100y x C y x B y x A ，用点斜式求出直线,AB AC 的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出根与系数关系，结合F AF B F AF 222111λλ==求出12,λλ． 试题解析：解：（Ⅰ）当AC 垂直于x 轴时，a b AF 22||=，13||||21：：=AF AF ，∴ab AF 213||=∴a ab 242=，∴222b a =，∴22c b =，故22=e .（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆的方程为22222b y x =+，焦点坐标为)0,(),0,(21b F b F -. ①当弦AC 、AB 的斜率都存在时，设),(),,(),,(221100y x C y x B y x A ，则AC 所在的直线方程为)(00b x bx y y --=， 代入椭圆方程得0)(2)23(20200202=--+-y b y b x by y bx b .∴02222023bx b y b y y --=，F AF 222λ=，bx b y y 020223-=-=λ. 同理bx b 0123+=λ，∴621=+λλ②当AC 垂直于x 轴时，则bbb 23,112+==λλ，这时621=+λλ； 当AB 垂直于x 轴时，则5,121==λλ，这时621=+λλ. 综上可知21λλ+是定值6.考点：1、椭圆的概念及离心率；2、向量；3、根与系数关系．【思路点晴】在第一问中，用到了一个常用的小结论：过焦点垂直于长轴的弦长为通径，长度为222b a，这个结论对于双曲线也成立，记住一些小结论，对于解题是很有帮助的.在第二问中，12,λλ转化为纵坐标的比值，用根与系数求出这个比值，然后相加就可以，在做这类型的题目时，要努力提高自己的运算能力，平时多练习. 【解析】8、设抛物线21:4C y x =的准线与x 轴交于点1F ，焦点2F ；椭圆2C 以1F 和2F 为焦点，离心率12e =.设P 是1C 与2C 的一个交点.（1）椭圆2C 的方程；（2）直线l 过2C 的右焦点2F ，交1C 于12,A A 两点，且12A A 等于12PF F ∆的周长，求l 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（2）)21y x =-或)21y x =--. 试题分析：（1）由条件()()121,0,1,0F F -是椭圆2C 的两焦点，离心率为12，由此能求出2C 的方程和其右准线方程；（2）12PF F ∆的周长为12126PF PF F F ++=，设l 的方程为(1)y k x =-与1C 的方程联立，由此利用弦长公式，即可求解直线的方程. 试题解析：（1）由题得，()()121,0,1,0F F -是椭圆2C 的两焦点，故半焦距为1，再由离心率为12知，长半轴长为2，从而2C 的方程为22143x y +=； （2）由（1）知，12PF F ∆的周长为12126PF PF F F ++=，又21:4C y x =，而且()21,0F若l 垂直于x 轴，易得124A A =，与已知矛盾，故l 不垂直于x 轴.与1C 方程联立可得，()2222240k x k x k -++=从而()()222222121222444111k k k A A k x x k k +-+=+-=+=令126A A =，解得22k =，即2k =故l 的方程为)21y x =-或)21y x =--.考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线综合应用.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线综合应用，解题是要认真审题，注意椭圆的弦长公式的合理运用，着重考查了推理与运算能力和分类讨论思想的应用，本题的解答中，利用12PF F ∆的周长为6，得出弦长，可设l 的方程为(1)y k x =-与1C 的方程联立，由此利用弦长公式，即可求解直线的方程. 【解析】9、已知函数()()22x f x e ax b x x =+++，曲线()y f x =经过点()0,1P ,且在点P 处的切线为:41l y x =+. （1）求a 、b 的值；（2）若存在实数k ，使得[]2,1x ∈--时，()()221f x x k x k ≥+++恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）1,1a b ==；（2）321,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．试题分析：（1）求出函数的导数，利用切线的斜率，以及函数值得到()()0401f f '=⎧⎪⎨=⎪⎩，即可求解a 、b 的值；（2）把当[]2,1x ∈--时，()()221f x x k x k ≥+++恒成立，转化为()121x e x k x +≥+恒成立，构造新函数()()121x e x g x x +=+，利用导数求解函数()g x 的最大值，即可求解实数k 的取值范围．试题解析：(1)()()22x f x e ax a b x '=++++，依题意，()()0401f f '=⎧⎪⎨=⎪⎩,即241a b b ++=⎧⎨=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩.(2)由()()221x x k x k ≥+++，得()()121x e x k x +≥+,[]2,1x ∈--时，210x +<()()221f x x k x k ∴≥+++即()()121x e x k x +≥+恒成立，当且仅当()121x e x k x +≥+.设()()1,21x e x g x x +=+[]()()()22232,1,21x e x x x g x x +'∈--=+. 由()0g x '=得0x =（舍去），32x =， 当()32,,02x g x ⎛⎫'∈-> ⎪⎝⎭；当()3,1,02x g x ⎛⎫'∈--< ⎪⎝⎭，()()121x e x g x x +∴=+在区间[]2,1--上的最大值为123124g e ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.∴常数k 的取值范围为321,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.考点：利用导数研究曲线上某点处的切线方程；导数在函数的最值、不等式的恒成立中的应用．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程、导数在函数的最值、不等式的恒成立中的应用，着重考查了转化与化归的思想的应用，其中构造新函数是解得大关键，试题难度较大，属于难题，本题的解答中，把不等式恒成立，转化为()121x e x k x +≥+恒成立，通过构造新函数()g x ，求解函数()g x 的最大值，即可求解． 【解析】10、已知函数：()ln 3(0)f x x ax a =--≠． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若对于任意的[1,2]a ∈，若函数23()[2()]2x g x x m f x '=+-在区间()3,a 上有最值，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）当0a >时，()f x 的单调增区间为1(0,)a，减区间为1(,)a+∞；当0a <时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无减区间；（Ⅱ）219-<<-m 332．试题分析：（Ⅰ）求出函数的定义域及导函数，然后根据导数等于零的根与区间端点的大小关系进行分类讨论即可；（Ⅱ）)(x g 在区间(,3)a 上有最值，()g x ∴在区间(,3)a 上总不是单调函数，即)('x g 在区间（a ，3）的函数值既有正值也有负知，结合导函数（二次函数）的图像知()0(0)1(3)0g a g g '<⎧'=-∴⎨'>⎩从而将问题转化为该不等式组在[1,2]a ∈恒成立，从而求出参数范围． 试题解析：（Ⅰ）由已知得()f x 的定义域为(0,)+∞，且1()f x a x'=-， 当0a >时，()f x 的单调增区间为1(0,)a ，减区间为1(,)a+∞； 当0a <时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无减区间； （Ⅱ）2332()[2()](),22x mg x x m f x x a x x '=+-=++-2()3(2)1,g x x m a x '∴=++-()g x 在区间(,3)a 上有最值，()g x ∴在区间(,3)a 上总不是单调函数，又()0(0)1(3)0g a g g '<⎧'=-∴⎨'>⎩由题意知：对任意22[1,2],()3(2)1510a g a a m a a a ma '∈=++⋅-=+-<恒成立，21515,a m a a a-∴<=-因为[1,2]a ∈192m ∴<-对任意[]2,1∈a ，()063263/>++=a m g 恒成立∴a a m 23263266--=--> ∵[]2,1∈a ∴332->m 321932m ∴-<<-考点:求含参数的函数的单调性；由有最值求参数范围．【方法点睛】求含参数的函数的单调区间的解法突破：第1步，求函数的定义域；第2步，求导函数；第3步，以导函数的零点存在性进行讨论；第4步，当导函数存在多个零点时，讨论它们的大小关系及与区间端点的位置关系；第5步，画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号；第6步，方法一：根据第5步的草图列出)('x f 、)(x f 、随x 变化的情况表，并写出函数的单调区间；方法二、根据第5步的草图解不等式)('x f 0>或)('x f 0<，进而得函数的单调区间；第7步，综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间． 【解析】11、设函数()()()2ln 1,0f x ax x b x x =+->，曲线()y f x =过点()2,1e e e -+，且在点()1,0处的切线方程为0y =． （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）证明：当1x ≥时，()()21f x x ≥-；（Ⅲ）若当1x ≥时()()21f x m x ≥-恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(Ⅰ)1,1-==b a ；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）23≤m . 试题分析：(Ⅰ)根据条件()12+-=e e e f ，()01='f 解方程组求b a ,；（Ⅱ）先设函数()()()21--=x x f x g ，再求函数的导数()x g '和()x g ''来分析函数()x g 最小值；（Ⅲ）设()()11ln 22+---=x m x x x x h ，求出()x h '，利用（Ⅱ）中知()()111ln 22-=-+-≥x x x x x x ，推出()()()1213---≥'x m x x h ，分①23≤m 和②23>m 时，求解m 的取值范围. 试题解析：解：（Ⅰ）()()2ln ,0f x ax x ax b x '=++>，(1)0f a b '=+=，22()(1)(1)f e ae b e a e e =+-=-+21e e =-+ 1=∴a ，1-=b ．（Ⅱ）2()ln 1f x x x x =-+，设22()ln g x x x x x =+-，(1)x ≥，()2ln 1g x x x x '=-+ 由()()2ln 10g x x ''=+>，∴)(x g '在[)1,+∞上单调递增，∴()(1)0g x g ''≥=，∴)(x g 在[)1,+∞上单调递增，∴()(1)0g x g ≥=．∴2()(1)f x x ≥-．（Ⅲ）设22()ln (1)1h x x x x m x =---+,(1)x ≥，()2ln 2(1)1h x x x x m x '=+---， 由（Ⅱ）中知22ln (1)1(1)x x x x x x ≥-+-=-，∴ln 1x x x ≥-，∴()3(1)2(1)h x x m x '≥---()()321m x =--，①当023≥-m 即23≤m 时，0)(≥'x h ，)(x h ∴在[1,)+∞单调递增，()(1)0h x h ∴≥=，立．②当320m -<即23>m 时，()()()2ln 121h x x x m x '=+-- (())2ln 32h x x m ''=+-，令()()0h x ''=，得23201m x e-=>，当[)01,x x ∈时，()h x '单调递减，则()(1)0h x h ''<=，)(x h ∴在[)01,x 上单调递减()(1)0h x h ∴<=，不成立．综上，23≤m ． 考点：1.导数的最值的应用；2.恒成立问题. 【解析】12、已知函数()()1ln ,1a x f x x a R x -=-∈+. （1）若2a =，求证：()f x 在()0,+∞上为增函数；（2）若不等式()0f x ≥的解集为[)1,+∞，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）2a ≤.试题分析：（1）求解函数的导数，当2a =，判定()0f x '>，即可得到()f x 在()0,+∞上为增函数；（2）由（1）中，当2a =时，函数()f x 在()0,+∞上为增函数，且()10f =，分1a ≤、12a <≤、2a >三种情况分类讨论，特别当2a >时，可得()f x 在(][)120,,,x x +∞上增函数，在()12,x x 上减函数；()121,x x ∈，()10f =，显然不适合题意，即可得到实数a 的取值范围.试题解析：易知：()()()()2'222111211x a x a f x x x x x +-+=-=++ （1）()()()()22'221212011x x x a f x x x x x --+=⇒==≥++，当且仅当1x =时，取等号，则()f x 在()0,+∞上为增函数； （2）()()()2'2211,01x a x fx x x x +-+=>+，注意到()10f =①当1a ≤时，则()()()2'221101x a x f x x x +-+=>+，则()f x 在()0,+∞上为增函数；显然适合题意；②当12a <≤时，则()2420a a ∆=-≤，则()()()2'221101x a x fx x x +-+=≥+，当且仅当2,1a x ==时，取等号，则()f x 在()0,+∞上为增函数；显然适合题意； ③当2a >，则()2420a a ∆=->，()()()2'221101x a x fx x x +-+==+有两个实根221212,12x a a a x a a a =--=--，且()1201,11x a x a <<-<->，则()f x 在(][)120,,,x x +∞上增函数，在()12,x x 上减函数；()121,x x ∈，()10f =，显然不适合题意， 综上：2a ≤.考点：导数研究函数的单调性；导数在函数的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及导数在函数中的综合应用，试题运算量较大，有一定的难度，着重考查了函数与方程的思想及分类讨论思想的应用，本题的第二问的解答中，由函数()f x '且()10f =，可分三种情况分类讨论，特别当2a >时，可得()f x 在(][)120,,,x x +∞上增函数，在()12,x x 上减函数；()121,x x ∈，()10f =，显然不适合题意，综合三种情况，即可得到实数a 的取值范围. 【解析】13、已知函数()ln f x x ax =-在2x =处的切线l 与直线230x y +-=平行． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的方程2()2f x m x x +=-在]2,21[上恰有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）记函数21()()2g x f x x bx =+-，设)(,2121x x x x <是函数)(x g 的两个极值点，若32b ≥，且12()()g x g x k -≥恒成立，求实数k 的最大值． 【答案】（Ⅰ）1a =（Ⅱ）5ln 224m +≤<（Ⅲ）152ln 28-试题分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可求实数a 的值；（2）将()22f x m x x +=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不相等的实数根，进行转化，利用参数分离法，构造函数的导数，利用导数求出函数的极值即可，求实数m 的取值范围；（3）求函数的导数，根据函数极值之间的关系即可证明不等式 试题解析：（1）1'()f x a x=- ∵函数在2x =处的切线l 与直线230x y +-=平行∴1122k a=-=-，解得：1a=；（2）由（1）得()lnf x x x=-，∴2()2f x m x x+=-，即23ln0x x x m-++=设2()3ln(0)h x x x x m x=-++>，则21231(21)(1)'()23x x x xh x xx x x-+--=-+==令'()0h x=，得1,2121==xx，列表得：∴当1=x时，()h x的极小值为(1)2h m=-，又15()ln2,(2)2ln224h m h m=--=-+∵方程2()2f x m x x+=-在]2,21[上恰有两个不相等的实数根，∴1()0,2(1)0,(2)0,hhh⎧≥⎪⎪<⎨⎪≥⎪⎩即5ln20,420,2ln20,mmm⎧--≥⎪⎪-<⎨⎪-+≥⎪⎩解得：5ln224m+≤<；（3）解法（一）∵21()ln(1)2g x x x b x=+-+，∴21(1)1'()(1)x b xg x x bx x-++=+-+=∴12121,1x x b x x+=+=，∴22112121221()()ln()(1)()2xg x g x x x b x xx-=+--+-111212112122212221()()111ln(1)()ln ln() 222 x x x x x x x x xb x xx x x x x x x+-=-+-=-=--120x x<<设12xtx=，则01t<<，令11()ln()2G t t tt=--，01t<<则222111(1)'()(1)022tG tt t t-=-+=-<，∴()G t在(0,1)上单调递减；∵32b ≥，∴225(1)4b +≥ ∵222211221212122121(1)()22x x x x x x b x x t x x x x t+++=+==++=++∴12524t t ++≥∴241740t t -+≥∴104t <≤ ∴当14t =时，min 115()()2ln 248G t G ==-∴152ln 28k ≤-max 152ln 28k ∴=-．解法（二）∵21()ln (1)2g x x x b x =+-+，∴21(1)1'()(1)x b x g x x b x x -++=+-+=∴12121,1x x b x x +=+=，∴211x x =∵32b ≥∴111115210x x x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩解得：1102x <≤∴22112121221()()ln ()(1)()2x g x g x x x b x x x -=+--+-21121112ln ()2x x x =-- 设22111()2ln ()(0)22F x x x x x =--<≤， 则223321(1)'()0x F x x x x x --=--=<∴()F x 在1(0,]2上单调递减； ∴当112x =时，min 115()()2ln 228F x F ==-∴152ln 28k ≤- max152ln 28k ∴=- 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值【解析】14、已知函数)()(R a e ax x f x ∈-=，xxx g ln )(=. （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）),0(0+∞∈∃x ，使不等式x e x g x f -≤)()(成立，求a 的取值范围.【答案】试题分析：（1）)(x f 的单调递增区间为)0,(-∞，)(x f 的单调递减区间为),0(+∞；（2）≤a e21. (1)求)('x f 令0)(,0)(''><x f x f 解不等式，求函数的递增、递减区间；（2）由题中条件可得2ln x x a ≤，将问题转化成max 2)ln (x xa ≤，利用导数与极值的关系，求2ln )(x xx h =的极大值，也就是最大值. 试题解析：（1）∵R x e a x f x ∈-=,)('， 由0)('>x f 得)(x f 的单调递增区间为)0,(-∞； 由0)('<x f 得)(x f 的单调递减区间为),0(+∞.（2）∵),0(0+∞∈∃x ，使不等式x e x g x f -≤)()(成立，则x x ax ln ≤，即2ln xxa ≤. 设2ln )(x x x h =，则问题转化为max 2)ln (x xa ≤ 由3ln 21)('x xx h -=，令0)('=x h ，则e x =.当x 在区间),0(+∞内变化时，)('x h 、)(x h 变化情况如下表：由上表可知，当e x =时，函数)(x h 有极大值，即最大值e21. ∴≤a e21. 考点：导数与单调性、导数与极值.【易错点晴】本题主要考查了导数与单调性、导数与极值的关系.用导数的方法来判断函数的单调性是重要的方法，尤其是在复杂函数中经常用到.函数的最值也可用导数的方法判断函数的单调性来确定极值，进而确定最值.导数的考查在高考中既是重点也是难点，要重视导数的应用.本题有一定的难度，属于中等题. 【解析】15、已知双曲线C ：)00(12222>>=-，b a by a x .（1）有一枚质地均匀的正四面体玩具，玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，4.若先后两次投掷玩具，将朝下的面上的数字依次记为b a ,，求双曲线C 的离心率小于5的概率；（2）在区间[]61，内取两个数依次记为b a ,，求双曲线C 的离心率小于5的概率. 【答案】（1）34（2）2125试题分析：（1）由双曲线C 的离心率小于5，得到0＜b ＜2a ，由此列举法能求出双曲线C 的离心率小于5的概率；（2）由a ∈[1，6]，b ∈[1，6]，以a 为横轴，以b 为纵轴建立直角坐标系，由几何概型能求出双曲线C 的离心率小于5的概率试题解析：双曲线的离心率22221ab ac a c e +===． 因为5e <a b ab 20422<<∴<∴ (1)因玩具枚质地是均匀的，各面朝下的可能性相等，所以基本事件),(b a 共有16个：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）． 设“双曲线C 的离心率小于5”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件为（1，1），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共有12个． 故双曲线C 的离心率小于5的概率为431612)(==A P ． (2)∵[][]6,1,6,1∈∈b a∴⎪⎩⎪⎨⎧<<≤≤≤≤a b b a 206161 所以以a 为横轴，以b 为纵轴建立直角坐标系，如图所示，21422155=⨯⨯-⨯=阴影S ，由几何概型可知，双曲线C 的离心率小于5的概率为2521=P ． 考点：古典概型概率与几何概型概率 【解析】16、已知函数(),()2x nf x eg x x m ==+，其中e 为自然对数的底数，,m n R ∈. （1）若2n =时方程()()f x g x =在[]1,1-上恰有两个相异实根，求m 的取值范围；（2）若()()()T x f x g x =⋅，且12nm =-，求()T x 在[]0,1上的最大值；（3）若152m =-，求使()()f x g x >对x R ∀∈都成立的最大正整数n . 【答案】(1)111m e<≤+；(2)[]2max ()2nn e T x e-⎧-⎪=⎨⎪⎩，22n n <-≥-；(3)最大正整数14n =. 试题分析：(1)令()()()x F x f x g x e x m =-=--，求导得()1xF x e '=-，研究函数单调性，可以得到()()f x g x =在[]1,1-上恰有两个相异实根⇔1(1)10(0)10(1)10F m e F m F e m ⎧-=+-≥⎪⎪=-<⎨⎪=--≥⎪⎩，解之即可；(2)12n m =-，()(1)()22x n n T x e x n R =+-∈，'()(1)2x nT x e x =+,分0n ≥、20n -≤<、2n <-三种情况讨论导数的符号，从而确定函数在区间[0,1]上的单调性，求出最大值即可；(3构造函数15()()()22x n p x f x g x e x =-=-+，则()()f x g x >对x R ∀∈都成立()0p x ⇔>对x R ∀∈都成立min ()0p x ⇔>，求函数()p x 的导数，由导数得到函数()p x 的单调性，求出()p x 的最小值，由min ()(ln )02np x p =>解之即可.试题解析：（1）()()()x F x f x g x e x m =-=--，()1xF x e '=-，故()F x 在[]1,0-上单调递减；在[]0,1上单调递增；故()()f x g x =在[]1,1-上恰有两个相异实根.1(1)10(0)10(1)10F m e F m F e m ⎧-=+-≥⎪⎪=-<⎨⎪=--≥⎪⎩111m e ⇔<≤+； （2）12n m =-，()(1)()22x n n T x e x n R =+-∈，∴'()(1)2x nT x e x =+ ①当0n ≥时，'()0T x >，()T x 在[]0,1上为增函数，则此时max ()(1)T x T e ==；百度文库 - 让每个人平等地提升自我21 ②当2n <-时，201n <-<，'2()()2x n T x e x n =⋅+，故()T x 在20,n ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，在2,1n ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，此时22max 2()()(1)2n n n T x T e m e n --=-=-+=-⋅， ③当20n -≤<时，21n -≥，'2()()2x n T x e x n=⋅+，故()T x 在[]0,1上为增函数，此时max ()(1)T x T e ==；综上所述：[]2max()2n n e T x e -⎧-⎪=⎨⎪⎩，22n n <-≥- （3）由题设：15,()()()0(*)22x n x R p x f x g x e x ∀∈=-=-+> 因为'()2x n p x e =-故()p x 在(0,ln )2n 上单调递减；在(ln ,)2n +∞上单调递增； 故（）min 151()(ln )ln (ln 15)02222222n n n n n p x p n n ⇔==-+=-+> 设()ln 15(ln ln 2)152x h x x x x x x =-+=--+，则()1ln 1ln 22x x h x =--=-， 故()h x 在(0,2)上单调递增；在(2,)+∞上单调递减；而22222(2)22ln 151520h e e e e e =-+=->，且 2151515(15)1515ln 1515(2ln )15(ln ln )0222h e =-+=-=-<， 故存在20(2,15)x e ∈，使0()0h x =，且0[2,)x x ∈时()0h x >，0(,)x x ∈+∞时，()0h x <又∵2115(1)16ln 0,722h e =-><<， 故*n N ∈时使()()f x g x >的最大正整数14n =考点：1.函数与方程；2.导数与函数的单调性、极值；3.函数与不等式.【解析】。