郑州大学《有限元原理》：第四章有限元法几个关键问题解析
材料力学有限元法知识点总结
材料力学有限元法知识点总结材料力学是一门研究物质内部结构、性质和变形行为的学科，而有限元法则是一种在工程和科学领域中广泛应用的数值计算方法。
有限元法可以将一个复杂的实体划分为无数小的单元，通过对这些小单元进行分析和计算，最终得到整个实体的力学性质和行为。
本文将对材料力学有限元法的一些核心概念和知识点进行总结。
1. 有限元法基础概念有限元法基于将实际连续的物体离散为有限数量的单元，通过计算每个单元的受力、变形等性质，再通过组合这些单元的结果来近似整个物体的行为。
它包含以下几个基础概念：1.1 单元（Element）：有限元法中的基本组成单元，可以是一维的线段、二维的三角形或四边形，或三维的四面体、六面体等。
1.2 节点（Node）：单元的角点或边上的点，用于定义单元之间的连接关系和边界条件。
1.3 自由度（Degree of Freedom）：每个节点与力学性质相关的物理量，如位移、应力等。
根据问题的不同，在每个节点上可能有一个或多个自由度。
1.4 单元刚度矩阵（Element Stiffness Matrix）：描述单元内部受力和变形关系的矩阵，在有限元法中通过组合所有单元的刚度矩阵来得到整个系统的刚度矩阵。
1.5 全局刚度矩阵（Global Stiffness Matrix）：由所有单元刚度矩阵组合而成的整个系统的刚度矩阵，用于计算节点的位移和应力。
2. 有限元法的数学原理有限元法的数学原理主要基于以下两个方面：2.1 变分原理（Variational Principle）：有限元法的数学基础是根据变分原理推导实现的。
它通过对结构的势能进行变分并进行最小化，得到满足结构力学行为和边界条件的位移和应力场。
2.2 加权残差法（Weighted Residuals Method）：有限元法通过将变分原理中的势能函数展开为一系列基函数的线性组合，并使用权重函数对残差进行加权求和的方式进行近似。
这样可以将求解连续问题转化为离散问题，进而进行数值计算。
有限元法的原理_求解域_概述及解释说明
有限元法的原理求解域概述及解释说明1. 引言1.1 概述有限元法是一种数值分析方法，用于求解物理问题的数学模型。
它在工程领域得到了广泛的应用，能够对复杂的结构和系统进行精确的建模和计算。
有限元法通过将连续域划分为许多小的离散单元，在每个单元上使用适当的近似函数来表示待求解的变量，然后利用这些离散单元之间相互连接关系建立代数方程组，并通过求解该方程组得到所需结果。
1.2 文章结构本文将围绕有限元法展开讨论，并按照以下结构组织内容：引言包含概述、文章结构和目的；有限元法的原理部分将涵盖离散化方法、强弱形式及变分问题以及单元划分和网格生成；求解域部分将介绍求解域的定义与划分、边界条件设定和处理以及网格节点和单元的挑选策略；概述及解释说明部分将探讨有限元法在工程领域中的应用、与其他数值方法之间的对比与优势以及未来发展趋势和挑战；最后，本文将总结主要观点，并展望有限元法在应用领域的发展前景。
1.3 目的本文旨在对有限元法进行全面而清晰的介绍和解释，包括其基本原理、求解域的定义与处理方法以及在工程领域中的应用。
通过深入理解有限元法的原理和应用，读者可以更好地了解该方法的优劣势，并掌握将其应用于实际问题求解的能力。
此外，本文还将通过探讨有限元法未来的发展趋势和挑战，为研究者提供对该方法进行进一步改进和扩展的思路。
2. 有限元法的原理2.1 离散化方法有限元法是一种使用离散化方法来对偏微分方程进行求解的数值方法。
它将求解域划分为许多小单元，每个小单元称为有限元。
在这些有限元内，我们假设待求解的场量是线性或非线性的，并通过适当选择合适的函数空间来进行近似。
2.2 强弱形式及变分问题在有限元法中，我们将偏微分方程转化为一个弱形式或者说变分问题。
这是通过将原始方程乘以一个测试函数并进行积分得到的。
这样可以减小方程中高阶导数项对近似解产生的影响，并提供了更好的数学性质以进行计算。
2.3 单元划分和网格生成为了进行离散化，求解域需要被划分成一系列小单元。
机械设计中有限元分析的几个关键问题
Internal Combustion Engine &Parts0引言随着科学技术的发展，人们在机械设计中不断地应用更加精密的设备，在设计的过程中，就需要相关的设计人员能够预测出产品的性能、强度、寿命等，并且正确引入相关技术参数来进行精确的计算。
近些年来，随着我国计算机技术的发展以及数据分析相关技术的发展，为相关的计算提供了有效的方法与手段。
将有限元应用力分析应用到机械体结构上，能够充分计算外部的荷载量，以及所引发的应力应变、强度、耐久度的分析，从而能够有效地提高零件的质量，减少零件材料的成本。
有限元分析的结果与软件、建模等有关，在分析过程中，处理方式不当可能造成结果的差异，所以不能过度迷信有限元软件的结果，需要根据具体的情况具体分析。
1有限元分析的概述有限元分析方法作为一种数据处理分析的方法，是近些年来新引进入我国的一种数据分析的方式，其英文名字为FEM 。
它主要是运用数学的计算方法，模拟出物体真实的几何形状，以及负荷量状况，能够将无限的未知量展示出来，这种复杂的计算方法能比其他的代数方法更加准确[1]。
有限元方法是在计算机技术和数值分析方法的基础上发展起来的。
作为一种有效的手段，有限元分析应用在应力分析等领域中，对于机体机构上的外部荷载引起的应力应变以及耐久性、损伤容限、强度等均可以采用试验的方式进行。
有限元分析的过程会发生结果的差异，这与使用的软件和建模过程有关系，在设计中对于软件结果不能迷信，而是要谨慎对待处理方式不通带来的结果差异。
对于具体问题应根据模型试验验证判断结果而来，方能确定有限元结果正确性。
2有限元分析的注意事项工程人员对于有限元分析的精确度和正确性较为关注。
这是因为有限元结果的正确性关系到工程实际的运行。
凭借问题处理经验和有限元理论分析结果，对于有限元分析的注意问题可以归纳如下：①对于有限元分析方法的运用，注意有限元分析方法的流程，加强对有限元结果的认识。
离散网络密度、形函数构造、单元类型、边界条件处理都会产生对结果的影响。
★★★★★有限元法的讲解
精心整理第四章求解导热问题的有限单元法第4.1节概述第4.2节泛函变分原理第4.3节有限单元法第4.1节概述粗略地讲：有限元法是获得微分方程近似解的一种方法，是一种适合计算机来求解的数值计算方法。
数，函数。
，却换回一、泛函的概念（借助讲解）二、变分的概念借助普通函数微分的概念，用类比法讲解三、泛函的极值条件借助普通函数的极值条件，用类比法讲解四、里兹法（补充内容，但是很重要）泛函变分的近似解法一、泛函的概念通过教材§泛函的概念：函数的函数泛函与普通函数的区别就在于：函数的自变量是数；而泛函的自变量则是函数，泛函的定义域由具有一定条件的一组函数组成。
泛函是一个函数集到一个数集的映射；普通函数则是一个数集到另一个数集的映射。
泛函的表达式：J=J(y)=J[y(x)] J=J(T)=J[T(x ，y)]泛函的一般式：dx y y x F x y J x x ⎰=21)',,()]([从物理意义上讲，暂时你也可以把泛函理解成熵，自由能等。
对于泛函的具体数值我们并不是特别关心，而更关注它何时取得极值，即取什么样的自变量函数，泛函有极值。
四、里兹法（泛函变分的近似解法）（变分原理在求解微分方程中的应用）连续介质问题经常有着不同的但是等价的表达公式－－微分表达公式和变分表达公式，从例§求解变分精确解的过程中需要进行各种积分运算，而许多情况下被积函数根本无法找到与相应的初等函数形式的原函数，这说明通过求原函数来计算积分有它的局限性，甚至于可以说这种形式的变分运算根本无法体现出它的运算较微分解方程有什么优越性。
变分法的优越性体现在：我们可以找到一种适用于求得以变分形式表达问题的近似解的简便方法，这种方法叫里兹法，是有限元法的前身。
例：用里兹法解微分方程：01''=++y y边界条件0,01,0x y x y ==⎧⎨==⎩解：构造泛函122011[()][(')]22J y x y y y dx =--⎰，在满足边界条件0,01,0x y x y ==⎧⎨==⎩情况下，该泛函的极值条件与微分方程01''=++y y 同解。
有限元法原理
有限元法原理
有限元法是一种工程计算方法，主要用于求解连续介质的力学问题。
它的基本原理是将连续介质离散成有限个小单元，然后利用有限元的形状函数对每个小单元进行近似，最终利用这些近似解来求解整个连续介质的力学问题。
有限元法的主要思想是将问题的解表示为一个有限个数的基函数的线性组合。
这些基函数与小单元的形状函数相联系，通过对小单元的形状函数进行合适的选取和调整，可以确保解在小单元内满足边界条件。
然后，通过将所有的小单元的解进行组合，就可以得到整个连续介质的解。
在实际的计算中，有限元法通常分为以下几个步骤：首先，需要根据实际问题确定合适的有限元模型，包括选择适当数量和类型的有限元单元。
然后，需要确定边界条件，即确定整个连续介质的边界约束条件。
接下来，根据小单元的形状函数和基函数，可以建立刚度矩阵和荷载向量。
最后，通过求解线性方程组，可以得到整个连续介质的解。
有限元法具有广泛的应用范围，在工程领域中可以用于求解各种静力学、动力学、热力学、流体力学等问题。
它不仅能够提供精确的解，同时也具有较高的计算效率和灵活性。
因此，有限元法已经成为工程计算领域中一种非常重要的数值分析方法。
有限元的基本原理
有限元的基本原理
有限元方法是一种数值计算方法，常用于求解工程问题中的连续介质力学问题。
其基本原理是将复杂的连续介质分割成有限数量的简单几何形状的子域，称为有限元，然后利用数学方法和计算机技术对每个有限元进行离散化处理。
基于有限元原理，我们可以得到以下步骤：
1. 离散化：将连续的物理问题离散化为有限个由节点和单元组成的网格，在每个单元上选择适当的方程形式。
2. 建立本构方程：根据材料的力学性质，建立适当的本构关系表达式，将其转化为数学方程。
3. 单元形函数：在每个有限元上选择适当的单元形函数，将物理问题转换为离散问题。
4. 求解：对离散化后的方程进行求解，得到节点的未知位移。
5. 后处理：根据得到的位移信息，计算相应的应力和应变，以及其他感兴趣的物理量。
有限元方法的精度和收敛性与网格的划分有关，更精细的网格可以得到更准确的结果，但也会增加计算量。
因此，有限元方法是一个权衡计算效率和精度的方法。
有限元方法广泛应用于结构力学、流体力学、电磁场等领域的
建模和仿真中，可以有效地分析和解决各种工程问题。
其应用范围涉及机械、航空航天、汽车、建筑、电子等多个工程领域，为工程设计和优化提供了有力的工具。
有限元的基本原理
有限元的基本原理
有限元法是一种数值分析方法。
它的基本原理是将一个连续的问题离散化为一个由有限个节点构成的离散的问题，每个节点上都有一个或多个未知量，通过求解这些未知量来确定整个问题的解。
在有限元法中，使用数值分析方法来求解偏微分方程或者求解某些物理问题的模拟。
有限元法的基本步骤如下：
1. 离散化：将连续的物理区域分割成一个个小单元；
2. 建立形函数：表示每个小单元内的物理量，在有限元中往往是位移场，可以用形函数来近似表示；
3. 建立刚度矩阵和负载向量：每个小单元对应一个刚度矩阵和一个负载向量，将所有小单元的贡献汇总到整个问题中的刚度矩阵和负载向量中；
4. 边界条件处理：将边界条件对应的未知量赋为已知量；
5. 求解方程：通过求解线性方程组来确定所有未知量的值；
6. 后处理：根据求解得到的数值解，计算所需的物理量，比如应力、变形、位移等等。
有限元法因其准确性、适用性、可靠性等特点被广泛应用于多个领域，包括结构力学、电磁学、流体力学等。
机械设计中有限元分析的几个关键问题
机械设计中有限元分析的几个关键问题【摘要】有限元分析在机械设计中扮演着至关重要的角色，能够帮助工程师们评估和改进其设计方案。
本文将讨论有限元分析的基本原理，常见的有限元分析软件，材料特性在分析中的重要性，边界条件的设置以及模型的网格划分。
这些内容都是机械工程师在进行有限元分析时需要掌握的关键问题。
我们还将探讨有限元分析在机械设计中的应用以及未来发展，以及在面对挑战时可能带来的机遇。
通过深入理解并掌握这些关键问题，工程师们可以更好地利用有限元分析技术来提高产品的性能和质量，从而为机械设计领域的发展做出更大的贡献。
【关键词】机械设计、有限元分析、重要性、应用、软件、基本原理、材料特性、边界条件、模型、网格划分、未来发展、挑战、机遇1. 引言1.1 机械设计中有限元分析的重要性在机械设计中，有限元分析是一种非常重要的工具。
通过有限元分析，工程师们可以模拟和分析机械结构在不同工况下的应力、变形和疲劳等情况，从而优化设计方案，提高产品的性能和可靠性。
有限元分析可以帮助工程师们更好地理解机械结构的工作原理，预测和解决潜在的设计问题，提高设计效率和减少成本。
在现代机械设计中，由于产品设计复杂度和工作环境的多样性不断增加，有限元分析的重要性也日益凸显。
通过有限元分析，工程师们可以在设计阶段就对产品进行多方面的性能评估，避免在实际制造和使用过程中出现意外问题。
在激烈的市场竞争中，产品的性能和质量往往决定了企业的竞争力，而有限元分析可以帮助企业更好地把握市场需求，提升产品品质，实现可持续发展。
有限元分析在机械设计中扮演着至关重要的角色，是现代工程设计不可或缺的一部分。
通过深入研究和应用有限元分析技术，我们可以提高产品的性能和可靠性，降低设计风险，为企业创造更大的经济效益和社会价值。
1.2 有限元分析在机械设计中的应用有限元分析在机械设计中的应用非常广泛，可以帮助工程师解决各种复杂的结构力学问题。
其中包括但不限于以下几个方面：1. 结构强度分析：有限元分析可以用来评估结构的强度和刚度，帮助工程师设计出更加安全可靠的机械结构。
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线性单元完全积分
二次单元完全积分
被积函数f(x)为m次多项式，积分点数目n满足： 可以取得精确积分
一维问题：插值函数的多项式为p，微分算子中的导 数阶数是m，被积函数是2(p-m)次多项式.Gauss积 分点应 2( p m) 1 达到精确积分要求
m三、应力计算
stress recovery
■Error≠Mistake in FEM (Modeling or solution) Type of error: ★Modeling error (beam, plate,…theories) ★ Discretization error (Finite, Piecewise) ★ Numerical error (In solving FE equations) As the mesh in the FE models is refined repeaedly,the FE solution will converge to the exact solution of the mathematical model of the problem.
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Usually the usage of the nodes of the Gauss quadrature formula as interpolation or extrapolation points leads to better results. superconvergent stress points @The bi-linear elements have 1 superconvergent points in two dimensions. @The bi-quadratic elements have 4 superconvergent points in two dimensions.
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第四章 有限元法计算中的几个关键问题
§4.1 单元问题
§4.2 Substructure §4.3 联结单元 §4.4 钢筋混凝土结构模型
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§4.1 单元问题
一、有限单元 单元的特征
一、单元问题 二、缩减积分 三、应力计算 四、模型建立问题
①单元族：每种单元所假定的几何类型不同。 实体单元、壳单元、梁单元、桁架单元、膜 单元、无限单元、弹簧和粘壶、刚性体单元。 ②自由度：计算的基本变量 1、2、3方向的移动，绕1、2、3方向的转动，开 口截面梁单元的翘曲，声压、孔隙压力或静水压 力，电势，实体单元的温度
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③结点数目与插值的阶数 一次、二次插值，一般都提供二次单元选择 ④单元性质 截面特性。材料特性和任何附加的几何信息。 如三维梁单元：材料特性，梁截面轮廓。自由度 包括每个点（2个点）的三个方向位移、三个方 向的转角 ⑤数学描述和积分 定义单元行为的数学理论；应力或位移式基于 Lagrange或材料描述，欧拉方法描述。 每个单元几个积分点？完全积分，缩减积分
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⑥单元输出变量 输出变量是相对于整体坐标系还是在自己定义的 局部坐标系。 刚性体个刚性单元：计算效率问题 弹簧和减震器单元：在不需要详细模拟整体的情 况下建立2结点的有效刚度或阻尼。 二、实体单元的完全积分和缩减积分
完全积分：指单元形状规则时，所用的Gauss积 分点数目足以对单元刚度矩阵的多项式进行精确 积分。 形状规则是指直线边界、直角。如矩形四边形单 元。 4
x x x x x
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◆The SPR recovery method (Superconvergent patchs recovery) ◆ The REP recovery (Recovery by Equilibrium of Patches)
[1] O.C. Zienkiewicz and J.Z. Zhu, Superconvergence and the superconvergent patch recovery, Finite Elem. Anal. Des. 19 (1995) 11-23. [2] A. A. Rogovoy. THE STRESS RECOVERY PROCEDURE FOR THE FINITE ELEMENT METHOD, Computers & Strucrures Vol. 63, No. 6, pp: 1121- 1137, 1997
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p m 1
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n p m 1
◆二维4结点等参单元：插值函数包含有2次项，
1, , , , ,
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假设|J|是常数，应取(2+1)/2=2，即2x2个积分点 才能达到精确积分。 ◆二维8结点等参单元：需要3x3个积分点 大多数情况下，实际选取的积分点数低于精确积 分点。 高斯积分点数低于被积函数所有项次精确积分所 需要阶数的积分方案称为缩减积分.一般去在每个 方向少用一个积分点。
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Two type of procedures The residual based error estimator The recovery based error estimator
A achieving a fairly good stress approximation for the FEM ---stress recovery methods stress recovery procedures include: ■ a simple averaging of the stresses obtained from all elements at a particular node; The mean stress technique is the most simple for realization, but the least accurate. ■ the global least-squares procedures .