结构动力学问题讲义的有限元法
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有限元法概述
大型商用的FEM通用软件分类
目前已经出现了许多大型结构分析通用软件，最早的 是美国国家宇航局（NASA）在1956年委托美国计算科学 公司和贝尔航空系统公司开发的ANASTRAN有限元分析 系统，该系统发展到现在已有几十个版本。此外，比较知 名的有限元分析软件还有德国的ASKA,英国PAFEC，法 国AYATUS，美国ABAUS、ADNA、ANSYS、BERSAF E、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC、STARNYNE 等。下面仅介绍几种当前比较流行的有限元软件。 （1） ANSYS。 ANSYS是融结构、流体、电场、磁 场和声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。其主要 特点是具有较好的前处理功能，如几何建模、网络划分、
电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦分 析，可以模拟多物理介质的相互作用，具有灵敏度分析 及优化分析能力；后处理的计算结果有多种显示和表达 能力。ANSYS软件系统主要包括ANSYS/Mutiphysics 多物理场仿真分析工具、LS-DYNA显示瞬态动力分析 工具、Design Space设计前期CAD集成工具、Design Xploere多目标快速优化工具和FE-SAFE结构疲劳耐久 性分析等。ANSYS已在工业界得到较广泛的认可和应 用。
现代设计理论及方法
有限元分析法
(Finite Element Analysis ， FEA)
概述
1、有限元法简介
有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法，是将 弹性理论、计算数学和计算机软件有机结合在一起的一种 数值分析技术，是解决工程实际问题的一种有力的数值计 算工具。 目前，有限单元法在许多科学技术领域和实际工程问 题中得到了广泛的与应用，如，机械制造、材料加工、航 空航天、土木建筑、电子电气、国防军工、石油化工、船 舶、铁路、汽车和能源等，并受到了普遍的重视。 现有的商业化软件已经成功应用于固体力学、流体力 学、热传导、电磁学、声学和生物学等领域，能够求解由 杆、梁、板、壳和块体等单元构成的弹性、弹塑性或塑性 问题，求解各类场分布问题，求解水流管道、电路、润滑、 噪声以及固体、流体、温度间的相互作用等问题。
有限元分析-动力学分析PPT课件
有限元分析-动力学分析ppt课件
目录
• 引言 • 有限元分析基础 • 动力学分析基础 • 有限元分析在动力学中的应用 • 案例分析 • 结论与展望
01 引言
目的和背景
01
介绍有限元分析在动力学分析中 的应用和重要性。
02
阐述本课件的目标和内容，帮助 读者了解有限元分析在动力学分 析中的基本概念、方法和应用。
随着工程复杂性和精确度要求的提高，有限元分析在动力学分析中的 应用将更加重要和必要。
02
未来需要进一步研究有限元分析算法的改进和优化，以提高计算效率 和精度。
03
未来需要加强有限元分析与其他数值计算方法的结合，如有限差分、 有限体积等，以实现更复杂的动力学模拟和分析。
04
未来需要加强有限元分析在多物理场耦合和多尺度模拟中的应用，以 更好地解决工程实际问题。
有限元分析的优点和局限性
• 精确性：对于某些问题，可以得到相当精确的结 果。
有限元分析的优点和局限性
数值误差
由于离散化的近似性，结果存在一定的数值误 差。
计算成本
对于大规模问题，计算成本可能较高。
对模型简化的依赖
结果的准确性很大程度上依赖于模型的简化程度。
03 动力学分析基础
动力学简介
动力学是研究物体运 动过程中力与运动关 系的科学。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
ห้องสมุดไป่ตู้
求解等。
02 有限元分析基础
有限元方法概述
01
有限元方法是一种数值分析方法，通过将复杂的物理系统离散化为有 限个简单元（或称为元素）的组合，来模拟和分析系统的行为。
02
它广泛应用于工程领域，如结构分析、流体动力学、热传 导等领域。
目录
• 引言 • 有限元分析基础 • 动力学分析基础 • 有限元分析在动力学中的应用 • 案例分析 • 结论与展望
01 引言
目的和背景
01
介绍有限元分析在动力学分析中 的应用和重要性。
02
阐述本课件的目标和内容，帮助 读者了解有限元分析在动力学分 析中的基本概念、方法和应用。
随着工程复杂性和精确度要求的提高，有限元分析在动力学分析中的 应用将更加重要和必要。
02
未来需要进一步研究有限元分析算法的改进和优化，以提高计算效率 和精度。
03
未来需要加强有限元分析与其他数值计算方法的结合，如有限差分、 有限体积等，以实现更复杂的动力学模拟和分析。
04
未来需要加强有限元分析在多物理场耦合和多尺度模拟中的应用，以 更好地解决工程实际问题。
有限元分析的优点和局限性
• 精确性：对于某些问题，可以得到相当精确的结 果。
有限元分析的优点和局限性
数值误差
由于离散化的近似性，结果存在一定的数值误 差。
计算成本
对于大规模问题，计算成本可能较高。
对模型简化的依赖
结果的准确性很大程度上依赖于模型的简化程度。
03 动力学分析基础
动力学简介
动力学是研究物体运 动过程中力与运动关 系的科学。
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求解等。
02 有限元分析基础
有限元方法概述
01
有限元方法是一种数值分析方法，通过将复杂的物理系统离散化为有 限个简单元（或称为元素）的组合，来模拟和分析系统的行为。
02
它广泛应用于工程领域，如结构分析、流体动力学、热传 导等领域。
7.2 结构动力学的有限单元法
B：应变矩阵 ν：线性阻尼系数
三、结构的动力学方程
单元的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，要用来形成整体 的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。在不考虑体积力的条 件下，整个结构的动力学方程为：
& & Mδ& + Cδ + Kδ = f
当f = 0, c = 0时得到自由振动时的无阻尼动力方程 0时得到自由振动时的无阻尼动力方程
四、有限元法求解动力学问题实例
设第j个梁单元的单位长度质量为m 抗弯刚度为EI 设第j个梁单元的单位长度质量为mj, 抗弯刚度为EIj， 长度为L 两端的节点编号为j j+1，节点j 长度为Lj， 两端的节点编号为j和j+1，节点j的横向 位移为u 角位移为u 节点j+1的横向位移为u 位移为uj1, 角位移为uj2, 节点j+1的横向位移为uj3, 角 位移为u 位移为uj4。设梁单元的广义坐标向量为：
关于振型的正交性
δ K δm = δ ω M δm
2 m
^ T n
^
^ T n
^
2 δ K δ m = δ ωn M δ m
^ T n
^
^ T n
^
(ω − ω ) δ M δ m = 0
2 m 2 n
^ T n
^
ω ≠ω
2 m
^ T n ^
2 n
δ M δm = 0
^ T n
^
同样可以求得 δ K δ = 0 振型关于质量矩阵和刚度矩阵正交 m
ω T = [ω1 ω 2 ... ω N ]
四、方程的特征值及振型的正交性
对于齐次代数方程 ( K − ω M ) δ = 0 ，只能求得振型矢量 的各元素的相对值。
动力学有限元
6.2结构动力有限元法理论与模型一、基本原理在实际问题的求解中，应用最广的是基于位移的有限元素法。
此法的基本思想是把本来为连续的工程结构分割成在结点上相联的单元组合体。
取这些结点的位移为基本未知量，并假定每个单元中的位移用单元位移函数来描述，这实质上是假定了单元的模态。
在此基础上，利用能量变分原理进行单元分析的全结构分析，得到全结构的振动平衡方程，从而把连续体的动力学问题化为多自由度系统的振动问题。
有限元动力分析的基本过程是首先将工程结构离散化，通过选择合理的单元确定出分析模型，在此基础上选择位移函数，进行单元分析，确定单元的刚度、质量、阻尼、载荷矩阵，再经过坐标变换，通过能量变分原理，进行全结构分析，建立系统的振动平衡方程。
最后运用有限元数值方法进行方程的求解。
结构动力有限元法采用的单元位移函数与静力分析相同，基本原理和求解过程也与静力分析相同，不同之处仅在分析模型的确定与运动方程的建立方面。
二、动态分析模型的确定由于结构动态分析中除考虑弹性力外，还要考虑惯性力和阻尼力，其运动方程是常微分方程组，所以动态分析的复杂程度高，计算工作量大，有限元分析模型要尽量精炼、简单。
1.模型确定的基本原则•分析模型应与分析的目的相适应。
动力分析的目的各不相同，有的是为了提供固有特性计算动态响应或供控制系统用；有的是为了舱内提供振动环境。
不同的目的，通常要求不同的模态数与计算精度。
显然，用于估算基本固有频率的模型应当比计算冲击响应的模型简单。
用于设计计算的模型应当比用于校核计算的模型简单。
•分析模型要与选用的计算工具与计算条件相适应。
计算机软件种类日益丰富，选择分析模型要与所用程序、所用计算机容量相适应。
如对于容量大的计算机，可选用较为复杂的有限元模型，而对于容量小的计算机则在能反映结构动态性能的前提下尽量简化模型，使求解规模尽量小。
对于大模型，可选用子结构模型，采用模态综合方法求解。
应注意, 不一定模型愈精细精度就愈高。
有限元法应用举例
核反应堆运行过程中涉及高温、 高压、高辐射等极端条件，热工 水力学分析是确保安全性的重要
环节。
有限元法可以对核反应堆的热工 水力学进行模拟，评估冷却剂流 动、热能传递、压力容器应力分
布等关键参数。
通过模拟分析，可以优化反应堆 设计，提高运行效率，降低事故
风险。
建筑物的能耗模拟与优化
建筑物的能耗是节能减排的重要领域，能耗模拟与优化有助于降低能源消耗和碳排 放。
况，为设备的电磁兼容性设计和优化提供依据。
通过有限元分析，可以评估设备的电磁辐射是否符合相关标准
03
和规定，以及优化设备的天线布局和结构设计等。
高压输电线路的电场分析
高压输电线路在运行过程中会 产生电场和磁场，其强度和分 布情况对环境和人类健康具有 一定影响。
有限元法可以用来分析高压输 电线路的电场分布情况，包括 电场强度的计算和分布规律的 分析等。
通过有限元分析，可以评估高 压输电线路对环境和人类健康 的影响，为线路的规划、设计 和优化提供依据。
07
有限元法应用举例：声学分析
消声室的声学设计
消声室是用于测试和测量声音的特殊 实验室，其内部环境需要极低的噪音 水平。
通过模拟和分析，可以确定最佳的吸 音材料和布局，以及最佳的隔音结构， 以达到最佳的消声效果。
有限元法应用举例
• 有限元法简介 • 有限元法应用领域 • 有限元法应用举例：结构分析 • 有限元法应用举例：流体动力学分析 • 有限元法应用举例：热传导分析 • 有限元法应用举例：电磁场分析 • 有限元法应用举例：声学分析
01
有限元法简介
定义与原理
定义
有限元法是一种数值分析方法，通过将复杂的物理系统离散 化为有限数量的简单单元（或称为元素），并建立数学模型 ，对每个单元进行单独分析，再综合所有单元的信息，得到 整个系统的行为。
结构动力学问题的有限元法
K Q
K Q
对于结构动力学问题，节点载荷阵还包括惯性力和阻尼力。
e e e K Q (M C ) e e 1 m
或改写为：
C K M Q
代入：
dV Q N u
T T T
M N N dV
dV N N
e T
e
e dV Q N u
e T T
N N dV C
其中：
M M C C
e
e
质量阵和阻尼阵的叠加方法与刚度阵的叠加方法相同，也 是对称稀疏阵。
三、动力方程的简化
M e N T N dV
称为一致质量矩阵，是稀疏带状阵。
如果将单元质量阵近似作为对角阵，则方程变成彼此独立，避免 联立，称为集中质量阵或团聚质量阵。 解耦 例如长度为L，截面积为A，密度为ρ的梁单元。 i
A，ρ
L
j
x
1 A L 0 集中质量阵： m 2 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
156 22L 22L 2 一致质量阵： 4 L AL m 13L 420 54 2 13 L 3 L
54 13L 13L 3L2 156 22L 2 22L 4 L
ˆ P K P K
T
在变换[K]和[M]的过程中，有时使用一次雅克比变换将一个 非对角线元素化为零以后，它在另一次变换中会重新变为非零 元素，但在素质上有所减小。这说明需要反复使用雅克比变换， 最终非对角线元素将趋于零。 在实际求解过程中，不必严格地把矩阵[K]和[M]所有的非对 角线元素变换为零，通常在完成一次变换后进行判断是否达到预 l 1 (l ) 设的精度：
动力学问题的有限元法
❖ 就结构的瞬态响应分析而言，典型的有结构在冲击载 荷下的响应问题。结构动力学中这类问题的特点是， 载荷作用前沿时间与构件的自振基频周期相近，远大 于应力波在构件中的传播时间。或者构件上长时间作 用随时间剧烈变化的载荷。
❖ 结构动力学问题在工程中具有普遍性。
3) 弹塑性动力学问题
❖ 这是连续介质变形体动力学问题的另一个重要领域。 涉及许多科学和工程领域，如高速碰撞，爆炸冲击， 人工地震勘探，无损探伤等。
力学问题。对等效系统应用虚功原理：
T
V
dV VuT(fu u)dV SuTTdS
• 将前面位移空间离散表达式和单元的几何方程、物理方 程代入上式虚功方程，并考虑到变分的任意性，得到离
散系统控制方程——结构有限元动力学方程：
Ma(t)Ca(t)Ka(t)Q(t)
方程中的系数矩阵分别为：系统质量矩阵，阻尼 矩阵，整体刚度矩阵。右端项为整体节点载荷向量。
u N ae
u(x, y, z,t) u来自v(x,
y,
z, t)
w( x, y, z, t)
a
e
a a
1 2
a n
ai
uvii
(t) (t)
(i
1,2,, n)
wi (t)
• 为建立有限元动力学响应控制方程，利用达朗倍尔原
理，在每个时刻 t，将连续介质中质点加上惯性力 u 和阻尼力 u ，则系统的动力学问题转化为等效静
• 如果忽略阻尼，则结构动力学方程简化为：
Ma(t) Ka(t) Q(t)
• 上式动力学方程的右端项为零时就得到结构自由振动 方程。
• 从动力学方程导出过程可以看出，动力学问题的有限元 分析中，由于平衡方程中出现了惯性力和阻尼力，从而 引入了质量矩阵和阻尼矩阵，运动方程是耦合的二阶常 微分方程组，而不是代数方程组。该方程又称为有限元 半离散方程，因为对空间是有限元离散的，对时间是连 续的。
❖ 结构动力学问题在工程中具有普遍性。
3) 弹塑性动力学问题
❖ 这是连续介质变形体动力学问题的另一个重要领域。 涉及许多科学和工程领域，如高速碰撞，爆炸冲击， 人工地震勘探，无损探伤等。
力学问题。对等效系统应用虚功原理：
T
V
dV VuT(fu u)dV SuTTdS
• 将前面位移空间离散表达式和单元的几何方程、物理方 程代入上式虚功方程，并考虑到变分的任意性，得到离
散系统控制方程——结构有限元动力学方程：
Ma(t)Ca(t)Ka(t)Q(t)
方程中的系数矩阵分别为：系统质量矩阵，阻尼 矩阵，整体刚度矩阵。右端项为整体节点载荷向量。
u N ae
u(x, y, z,t) u来自v(x,
y,
z, t)
w( x, y, z, t)
a
e
a a
1 2
a n
ai
uvii
(t) (t)
(i
1,2,, n)
wi (t)
• 为建立有限元动力学响应控制方程，利用达朗倍尔原
理，在每个时刻 t，将连续介质中质点加上惯性力 u 和阻尼力 u ，则系统的动力学问题转化为等效静
• 如果忽略阻尼，则结构动力学方程简化为：
Ma(t) Ka(t) Q(t)
• 上式动力学方程的右端项为零时就得到结构自由振动 方程。
• 从动力学方程导出过程可以看出，动力学问题的有限元 分析中，由于平衡方程中出现了惯性力和阻尼力，从而 引入了质量矩阵和阻尼矩阵，运动方程是耦合的二阶常 微分方程组，而不是代数方程组。该方程又称为有限元 半离散方程，因为对空间是有限元离散的，对时间是连 续的。
有限元结构静力学分析
04
有限元结构静力学的应用实例
工程实例一：桥梁结构的静力分析
总结词
桥梁结构的静力分析是有限元结构静力学分析的重要应用之一，通过分析可以获取桥梁在不同载荷条件下的变 形和应力分布，为桥梁设计提供依据。
详细描述
桥梁结构的静力分析通常需要考虑重力、车辆载荷、风载荷等作用，利用有限元方法可以将桥梁离散化为有限 个单元，并通过对单元进行刚度分析和受力分析，得到桥梁的位移和应力分布。根据分析结果，可以优化桥梁 设计，提高其承载能力和安全性。
建立有限元模型
选择合适的单元类型
建立节点坐标系
根据结构的形状和受力特性选择合适的单元 类型，如三角形、四面体、梁、壳等。
确定每个节点的三维坐标，为单元划分和节 点连接提供基础。
划分单元网格
定义材料属性
根据节点坐标系将结构划分为相应的单元网 格。
为每个单元赋予相应的材料属性，如弹性模 量、泊松比、密度等。
有限元分析中的参数不确定 性以及误差控制是一个重要 问题，需要发展更有效的误 差控制和不确定性量化方法 ，以保证分析结果的可靠性 和精度。
06
参考文献
参考文献
01
02
03
《有限元法基本原理与 数值方法（第二版）》 ，陆明万、罗学富 著， 清华大学出版社，1997
年。
《有限元法教程（第二 版）》，王勖成 著，清 华大学出版社，2004年
有限元结构静力学分析与人工智 能、机器学习等技术的结合，使 得分析过程更加智能化，能够自 动优化模型、选择合适的参数， 提高分析效率。
有限元结构静力学分析与材料科 学、流体动力学、热力学等领域 的交叉融合，使得分析结果更加 全面和准确，为工程设计和优化 提供更好的支持。
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1
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2 0
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1
1 0 1 0 2 0
0 1 0 1 0 2
2、集中质量矩阵
集中质量矩阵将单元的分布质量按等效原则分配在各个节点上，等效原则 就是要求不改变原单元的质量中心，这样形成的质量矩阵称为集中质量矩 阵。集中质量矩阵是一个对角阵，
一致质量矩阵：由于分布较合理，因此可以求得更精确的振型，另外，整 个模型的质量分布还受网格划分形式的影响。
三、总体矩阵集成 总体矩阵集成的任务是将各单元特性矩阵装配成整个结构的特性矩阵，
从而建立整体平衡方程，即
M q C q K q R t
式中，{q}为所以节点位移分量组成的n阶列阵，n为结构总自由度数；
M q K q 0
由于自由振动可分解为一系列简谐振动的叠加，因此上式的解可设为
在动态分析和静力分析中，单元的刚度矩阵是相同的，外部载荷的移置原理也一样。
在动态分析中，单元的质量矩阵通常采用以下两种形式。
1、一致质量矩阵
按 meNTNdV 形成的单元质量矩阵称为一致质量矩阵，因为
V
它采用了和刚度一致的形函数。这种质量矩阵取决于单元的类型和形函 数的形式。
2 0 1 0 1 0
精品
结构动力学问题的有限元法
工程中受动载荷的产品：受道路载荷的汽车；受风载的雷达； 受海浪冲击的海洋平台；受偏心离心力作用的旋转机械等。
动态分析的必要性：当产品受到随时间变化的动载荷时，需 要进行动态分析，以了解产品动态特性。
动载荷（又称动力分析）
固有特性分析
响应分析
固
有
振
频
型
率
位 移 响 应
二、单元分析
单元分析的任务仍是建立单元特性矩阵，形成单元特性方程。 动态分析中，单元特性矩阵：刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。
动态分析中，仍采用虚位移原理建立单元特性矩阵。
在动载荷作用下，对于任一瞬时，设单元节点发生虚位移 qe ，则单元 内也产生相应的虚位移 d 和虚应变 。单元内产生的虚应变能为:
1 0 0 0 0 0
0
1
0
0
0
0
m
e l
tA 3
0
0
0 0
1 0
0 1
0 0
0
0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
集中质量矩阵：是一个对角阵，因而可简化动态计算，减小存储容量。利 用这种矩阵计算出的结构固有频率偏低。不过有限元模型本身比实际结构 偏刚，两者相互补偿，计算出的固有频率反而更接近真实值。
V
me NTNdV
V
、质量矩阵和阻尼矩阵，它们就是决定单元动态性能的 特性矩阵。
R t e N T P v d V N T P s d A N T P c
V
A
称为单元节点动载荷列阵，它是作用在单元上的体力、面力和集中力向单元节 点移置的结果。
本区别。
二、位移特点 1、节点位移{q}不仅是坐标的函数，而且也是时间的函数。仍以节
点位移{q}作为基本未知量。
2、节点具有速度 q和 q加速度。
3、利用节点位移插值表示单元内任一点的位移
d=Nqe
一般仍采用与静力分析相同的形函数，[N]。当单元数量较多时，上述 插值可以得到较好的插值精度。 4、在线弹性条件下，单元内的应变和应力与节点位移的关系仍为
四、固有特性分析 结构的固有特性由结构本身决定，与外部载荷无关，它由一组模态参
数 定量描述。包括：固有频率、模态振型、模态质量、模态刚度和模态阻尼 比等。
固有特性分析就是对模态参数进行计算，其目的一是避免结构出现共 振和有害的振型，二是为响应分析提供必要依据。
由于固有特性与外载荷无关，且阻尼对固有频率和振型影响不大，因 此可通过无阻尼自由振动方程计算固有特性。
n
RtRi
t（i为节点数），称为节点载荷列阵；[K]、[M]、[C]
分别为结i构1 的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。
其中[K]与静力分析中的总刚度矩阵完全相同，矩阵[M]、[C]也采用与 [K]相同的集成方式，即
M ne me
e1 ne为单元总数
C ne ce
e1
矩阵[K]、[M]和[C]均为n阶对称阵。
速 度 响 应
加 速 度 响 应
动 应 变
动 应 力
固有特性：是一组模态参数构成，它由结构本身（质量与刚度 分布）决定，而与外部载荷无关，但决定了结构对动载荷的响应；
响应分析：是计算结构对给定动载荷的各种响应特性。
第一节 动态分析有限元法的特点
一、载荷特点 结构所受的载荷是随时间变化的动载荷。 这是与静力分析的一个根
由于 dN qe,B qe
且形函数仅为坐标x、y、z的函数，与时间无关，因此有
d N qe
d N qe
d N qe
B q e
根据虚位移原理，有
UW
代入经整理，可得单元运动方程为
m e q e c e q e k e q e R t e
式中 keBTDBdV
= B qe =DBqe
但这时的位移、应变和应力都是某一时刻的瞬时值，它们都是随时间t 变化的函数。
5、由于节点具有速度和加速度，结构将受到阻尼和惯性力的作用。 根据达朗伯原理，引入惯性力和阻尼力之后结构仍处于平衡状态，因 此动态分析中仍可采用虚位移原理来建立单元特性方程，然后再集成。 整个结构的平衡方程为
UTdV
V
单元除受动载荷外，还有加速度和速度引起的惯性力 ddV 和阻尼力 ddV ，其中ρ为材料密度，v是线性阻尼系数。外力所做的虚功为：
WdTPvdVdTPsdAdTPc
V
A
dTddVdTddV
V
V
式中，{Pv}、{Ps}、{Pc}分别为作用于单元上的动态体力、动态面力和动态 集中力；V为单元面积；A为单元面积。
M q C q K q R t
式又称运动方程，它不再是静力问题那样的线性方程，而是一个二阶 常微分方程组。
求解过程复杂，建立有限元模型时要特别注意控制模型规模。
第二节 动态分析有限元法的一般步骤
一、结构离散
该步骤与静力分析完全相同，只是应该分析内容不同，对网格形式的要求 有可能不一样。 静力分析：要求在应力集中部位加密网格； 动态分析：由于固有频率和振型主要与结构的质量和刚度分布有关，要求 整个结构采用尽可能均匀的网格形式。