有限元方法讲义
有限元总结讲义
5 网格分界面和分界点 结构中的一些特殊界面和特殊点应分为网格边界
或节点，以便定义材料特性、物理特性、载荷和位移 约束条件。
常见的特殊界面和特殊点有材料分界面、 几何尺寸突变面、分布载荷分界线(点)、集中 载荷作用点和位移约束作用点等。
6 位移协调性 位移协调是指单元上的力和力矩能够通过节点传
递相邻单元。 为保证位移协调，一个单元的节点必须同时也是
划分网格原则
划分网格是建立有限元模型的一个重要环节，它要求 考虑的问题较多，需要的工作量较大，所划分的网格 形式对计算精度和计算规模将产生直接影响。为建立 正确、合理的有限元模型，这里介绍划分网格时应考
虑的一些基本原则（影响因素）。
1 网格数量 5 网格分界面和分界点 2 网格疏密 6 位移协调性 3 单元阶次 7 网格布局 4 网格质量 8 节点和单元编号
体内部趋近于边界的应力分量的关系。
Fsj ijni
位移边界条件 就是弹性体表面的变形协调，弹性体临近表
面的位移与已知边界位移相等
面（应）边界条件
给定面力分量 X ,Y ,Z 边界 —— 应力边界
cos( N ,x ) l cos( N , y ) m cos( N ,z ) n
N
Z
Y X
2 网格疏密 网格疏密是指在结构不同部位采用大小不
同的网格，以适应计算数据的分布特征。 在计算数据变化梯度较大的部位(如应力集 中处)，为了较好地反映数据变化规律，需要采 用比较密集的网格。 在计算数据变化梯度较小的部位，为减小模 型规模，则应划分相对稀疏的网格。
这样，整个结构便表现出疏密不同的网格 划分形式。
1、结构的离散化 2、单元特性分析 3、计算单元刚度矩阵 4、单元集成 5、施加边界条件 6、求解位移 7、求解应力应变等场量
有限元入门ppt课件
有限体积法 (Finite Volume Method)
其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。
1-2 应力的概念
作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号 来表示。 体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。 弹性体受外力以后，其内部将产生应力。
边界元法 （Boundary Element Method）
边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新的数值方法，与有限元法不同，边界元法仅在定义域的边界划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元与有限元相比具有单元和未知数少、数据准备简单等优点，但边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分奇异点处的强烈的奇异性，使求解遇到困难。边界元法在塑性问题中应用还比较少。
弹性力学 — 区别与联系 — 材料力学 弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。 弹性力学 固有弱点： 由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：
塑性有限元常用软件
有限元经典PPT第4章
Pii Kiiui
Ki1u1 Ki2u2 Kiiui K u i,i1 i1
ui
n
Kiiui Kiiui
Kiju j
4.1.2 平面应力问题有限元的基本思想和瑞雷－里兹法
v3 f3y
3
u3
f3x
f1y v1 u1
1 f1x
v2 f2y u2
2 f2x
给定一个三角形单元和作用在角点上 的六个力，要求得六个角点的位移。 或者是要求三角形角点发生指定的位 移，在三角形三个角点如何加力？
很显然，问题的精确解很困难。采用 瑞雷－里兹法求近似式解
e号单元的三个节点I,j,k的力对应的 力的平衡方程是第2i-1,2i;2j-1,2j;2k1,2k个平衡方程
e号单元的三个节点I,j,k的位移是第 2i-1,2i;2j-1,2j;2k-1,2k个未知数
弹性模量：E 横截面积：A
1
1 L
2
2L
3
局部系单元刚度阵：
k
1
EA L
1 -1
-1
1
2 集成总刚：
0 1
解得：
ux uy
L EA
3.8284L
EA
i
j
第一类位移条件：
Ki1u1 Ki2u2 Kiiui Ki1ui1
ui 0
令： Kij 0 i j
m
vi 0
Kii 1
um 0
Pi 0
ui 0
第二类位移条件：um um
大数
充大数法： Kii Kii
第一步：求转换矩阵
k2
EA 1 2L -1
-1
1
P
cos 0
T sin
第五章 薄板弯曲问题有限元讲义
第五章薄板弯曲问题有限元法第一节薄板弯曲问题的有关概念一、基本概念1．薄板的定义：薄板是由上下两个平行的表面所构成的片状结构，其间距称为板厚。
同时，定义等分板厚的面为中面，当中面为平面时，称为平板，当中面为曲面时则称为壳体。
2．挠度; 板结构在承受横向载荷（弯矩、扭矩和横向剪力）作用下，发生弯扭而使薄板中面上各个点沿垂直中面方向发生的横向变形称为挠度，记为w。
3．薄板的两类问题：（1）平面应力板问题，载荷作用于板面内—（薄膜单元）；在拉、压力和面内切力作用下，板内将产生薄膜内力，从而使板产生面内变形。
（2）薄板弯曲问题：其特点为：a) 几何尺寸：板的厚度远较长与宽的几何尺寸为小(一般厚度与板面最小尺寸之比小于1/5-1/10)；（否则称为厚板）b) 载荷条件：结构仅承受垂直于板中面的横向载荷作用。
c) 小挠度条件；即挠度与板厚之比值较小，一般为w/t ≤1/5。
研究薄板弯曲问题时，通常以未变形的板的中面为xoy平面，厚度方向为z轴方向，3．板的一般问题：一般情况下，板既可承受横向载荷作用，也可同时承受平行于板中面的膜载荷作用。
(1) 薄板：在小挠度情况下，当两种载荷同时作用时，可认为两种变形互不影响，因此膜载荷的作用可按平面应力问题进行处理，而横向载荷的作用则按薄板弯曲问题来分析，两种问题引起的薄膜内力和弯曲内力的叠加便是一般载荷综合作用的结果。
（2）厚板：当1<w／t<5时为大挠度板,w／t≥5时为特大挠度板。
在大挠度情况下，薄板面内变形和弯扭变形之间将相互影响，即横向载荷也可能产生膜内力和面内变形，而膜载荷也可能产生弯曲内力和弯曲变形。
这时描述薄板变形的数学方程是非线性的，应采用更复杂的理论分析方法。
二．薄板弯曲问题求解的假设：（克希霍夫假设）1．法线假设垂直板中面的法线在板变形后仍垂直于弯曲的挠曲面，且法线线段没有伸缩，板的厚度无变化。
这样，垂直于中面的正应变便可忽略，即εz=0根据几何方程，可得因此挠度只是x,y的函数，表示为w=w(x,y)，也即薄板中面上法线的各点都有相同位移。
有限元讲义3-2
y y
A-17
第九节 有限元法分析的步骤
一、单元刚阵的推导 1 写出位移函数； 2 计算单元应变； 3 计算单元应力； 4 根据虚功方程，得出单元刚阵。 二、整体结构的分析 1 建立整体结构的静力平衡方程式； 2 进行边界条件处理； 3 解方程组，求节点位移； 4 根据节点位移求应变、应力。
u ( x, y) Niu i N j u j N k uk Nl ul
令ui 1, u j uk ul 0, 代如上ux, y 式
v( x, y) Ni vi N j v j N k vk Nl vl
u( x, y) Ni
综上对三种单元的分析，可以看出，形状函数是单元一些 可能位移的方程式。 • 二、形状函数的性质
性质1：任一形状函数在各节点处的值或为1或为0
1 Ni 0
在节点i处 在其它节点处
A-5
性质2：单元的各个形状函数之和总是等于1
Ni 1
这两个性质的意义是：第一，形状函数反应了相邻单元在共同节点 处位移的连续性；它反映了单元的刚体位移。 • 三、形状函数的设定的说明 形状函数既然是单元的一些可能产生的位移，因此它们与位移函数 具有相同的特性，可以用插值多项式来设定。设定时要满足上诉形 状函数性质以及连续性和常应变条件。即 1、形状函数应满足
A-15
u x x x v y 0 y xy u v y x y N i x 0 Ni y N j x 0 N j y
A-16
0 Ni y Ni x
ห้องสมุดไป่ตู้
0 N j y N j x
有限元讲义3-1
[
]
试中，[B]称为三角板单元的应变矩阵或几何矩阵。
四、根据物理方 由物理方程 程求应变
{σ} = [D]{ε} = [D][B]{q}
（4.3-8）
弹性矩阵[D]是常数矩阵，[B]也是常数矩阵,因此，当节点位移 求出后，就可以算出三角板单元的应力（常数值）。 在单元内，应变和应力均为常数值，一般是与实际情况不相符 合的，当单元划分相当小时，也只能说是近似的。 五、单元力的平衡方程 在弹性力学中，应力与体积力之间的平衡关系是由平衡微分方程来 体现；应力与表面力之间的平衡关系由静力边界条件来体现，以上可 统称为应力与外力之间的平衡方程。这种平衡关系在整个弹性体内是 逐点满足的。 在有限元法中，应力与外力之间的平衡关系不是逐点满足的，而是 在单元整体意义上满足平衡。通常用虚功方程代替平衡方程。
四、根据物理方程求应力
{σ} = [D][B]{q}
五、矩形板单元刚度矩阵的导出
− − [K] = ∫∫∫V [B]T [D][B]dV = t ⋅ ∫∫S [B]T [D][B]dxdy= t ⋅ ∫a a ∫b b[B]T [D][B]dxdy
（4.4-11）
vi = a5 − aa6 − ba7 + aba 8 v j = a5 + aa6 − ba7 − aba 8 vk = a5 + aa6 + ba7 + aba 8 vl = a5 − aa6 + ba7 − aba 8
（4.4-2）
写成矩阵形式并求出多项式系数，有
1 1 1 1 1 1 u 1 1 a1 − i − a a a a u a2 1 1 1 1 j = 1 − u a3 4 − b b b b k a4 1 1 1 1 ul − − ab ab ab ab
有限元法基础ppt课件
有限单元法
一、数值模拟方法概述 二、有限单元法简介 三、有限单元法分析步骤 四、利用有限元软件进行工程分析
一、数值模拟方法概述
工程技术领域中的许多力学问题和场问题，如固 体力学中的位移场、应力场分析、电磁学中的电磁 分析、振动特性分析、热力学中的温度场分析，流 体力学中的流场分析等，都可以归结为在给定边界 条件下求解其控制方程的问题。
结构矩阵分析方法认为：整体结构可以看作是由有限 个力学小单元相互连接而组成的集合体，每个单元的 力学特征可以看作建筑物的砖瓦，装配在一起就能提 供整体结构的力学特性。
结构矩阵分析方法分析的结构本身都明显地由杆件组 成，杆件的特征可通过经典的位移法分析建立。
虽然矩阵位移法整个分析方法和步骤都与有限单元法 相似，也是用矩阵来表达、用计算机来求解，但是它 与目前广泛应用的有限单元法是有本质区别的。
❖ 国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和 物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是 由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司 和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系 统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最 强的有限元分析系统。
有限元法
既可以分析杆系结构，又分析非杆系的连续 体结构。
三、有限单元法简介
有限单元法的常用术语：
有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
定义
真实系统
有限元模型
自由度（DOFs－ degree of freedoms）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有： 1、有限单元法FEM（ Finite Element Method） 2、边界元法BEM（Boundary Element Method ） 3、有限差分法FDM（ Finite Difference Method 4、离散单元法DEM（Discrete Element Method） 其中有限单元法是最具实用性和应用最广泛的。
有限元方法讲义
有限元方法讲义第1讲抛物问题有限元方法1、椭圆问题有限元方法考虑椭圆问题边值问题：（1）问题（1）的变分形式：求使满足（2）的性质，广义解的正则性结果。
区域的剖分，矩形剖分，三角剖分，剖分规则，正则剖分条件，拟一致剖分条件。
剖分区域上分片次多项式构成的有限元空间。
的逼近性质，逆性质：这里，为的插值逼近。
问题（2）的有限元近似：求使满足（3）（3）的解唯一存在，且满足。
（3）的解所满足的矩阵方程（离散方程组）形式：（4）刚度矩阵的由单元刚度矩阵组装而成。
模误差分析：由（2）－（3）可得（5）由（5）可首先得到则得到（6）－模误差分析设满足用与此方程做内积，由（5）式和插值逼近性质得到再利用模误差估计结果，得到（7）最优阶误差估计和超收敛估计概念。
当与时间相关时（为抛物问题准备），由（5）式得（8）利用（7），类似分析可得（9）2、抛物问题半离散有限元方法考虑抛物型方程初边值问题：（10）（10）的变分形式：求使满足（11）（11）的半离散有限元近似：求使满足（12）令，代入（12），依次取可导出常微分方程组：（13）其中为质量矩阵，K为刚度矩阵。
求解常微分方程组（13），得到代回的表达式，即得半离散有限元解。
定理1.问题（12）的解唯一存在且满足稳定性估计：（14）证明：在（12）中取得到整理为（注意是正定的）对此式积分，证毕。
误差分析。
引进解的椭圆投影逼近：满足（15）根据椭圆问题的有限元结果可知（16）分解误差：的估计由（16）式给出，只须估计。
由（11），（12）和（15）知，满足取，类似稳定性论证可得可取为的投影，插值逼近等。
由（17）式，三角不等式和（16），得到（18）3、抛物问题全离散有限元近似剖分时间区间：。
引进差分算子：规定，当为连续函数时，，则有由此得到（19）（20）定义问题（11）的全离散向后Euler有限元近似：求，使满足（21）将代入（21）可导出全离散方程组（22）其中。