(完整版)高一数学必修1期末试卷及答案(长郡中学)
答案—2022年下学期—长郡中学高一期末考试
长郡中学2022年下学期高一期末考试数学参考答案一、单项选择题二、多项选择题三、填空题13.43π14.()3,115.726m −<<16.9513,,424⎡⎤⎡⎫+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭四、解答题17.【解析】(1)由题设，{}25A x x =−≤≤，{}44B x x =−<<，所以{}24AB x x =−≤<.(2)由题意A B ⊆，则242,345,m m −<−⎧⎨+>⎩可得113m <<. 18.【解析】(1)因为()22sin cos 2cos 1f x a x x x =++，所以()sin 2cos 22f x a x x =++.由题意可知03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 即22sin cos 20333f a πππ⎛⎫=++=⎪⎝⎭，即120322f a π⎛⎫=−+=⎪⎝⎭，解得a =(2)由(1)可得()cos 2222cos 223f x x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 函数cos y x =的递减区间为[]2,2k k πππ+，k ∈Z . 令2223k x k ππππ<+<+，k ∈Z ，得63k x k ππππ−<<+，k ∈Z ，所以()f x 的单调递减区间为,63k k ππππ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 19.【解析】(1)当4a <时，不等式()()()40f x x x a =−−<的解集为(),4a ，当4a =时，不等式()()()40f x x x a =−−<的解集为∅， 当4a >时，不等式()()()40f x x x a =−−<的解集为()4,a . (2)因为()4,x ∈+∞，由()16f x ≥−可得：164x a x −−≥−， 即164a x x ≤+−，因为16164441244x x x x +=−++≥=−−， 当且仅当1644x x −=−，即8x =时等号成立， 所以12a ≤.20.【解析】(1)因为()g x 是奇函数，所以()()0g a g a +−=，则()()()()224f a f a g a g a +−=++−+=， 因为()4f a =， 所以()0f a −=；(2)不妨设1222x x −<<<，则120x x −<， 又因为()()()12120f x f x x x ⎡⎤−−>⎣⎦， 所以()()120f x f x −<，则()f x 在()2,2−上单调递增，所以()()2g x f x =−在()2,2−上单调递增； 因为()()214f x f x −+>， 所以()()21220f x f x −−+−>， 所以()()210g x g x −+>， 又因为()g x 为奇函数， 所以()()21g x g x −>−，又因为()g x 在()2,2−上单调递增，所以13,2212,221322,22,322113x x x x x x x x ⎧⎧−<<⎪⎪−<−<⎪⎪−<−<⇒−<<⇒<<⎨⎨⎪⎪−>−⎪⎪>⎩⎩，则不等式()()214f x f x −+>的解集为13,32⎛⎫⎪⎝⎭. 21.【解析】(1)由图以及B ，D 两点的纵坐标可知，20128a =−=，124T=， 可得48T =，则24824ππω==， 由()3242242k k ππϕπ⨯+=+∈Z ， 解得()22k k πϕπ=+∈Z ，所以0k =，2πϕ=，所以ABC 段的函数表达式为()8sin 208cos 2024224f x x x πππ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，[]0,24x ∈. (2)由题意结合对称性可知，DEF 段的函数解析式为：()8cos 682024y x π⎡⎤=−+⎢⎥⎣⎦，[]44,68 x ∈.(3)由()8cos 68202424x π⎡⎤−+=⎢⎥⎣⎦，解得60x =，所以买入604416−=天后，股票至少是买入价的两倍. 22.【解析】(1)当01a <<时，1142a −=，解得12a =； 当1a >时，()1124a a a −−−=，无解， 故a 的值为12. 故()12xh x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()1121142x xy h x h x ⎛⎫⎛⎫=−+=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为[]2,2x ∈−，所以令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故2213124y t t t ⎛⎫=−+=−+ ⎪⎝⎭.当12t =时，min 34y =，当4t =时，max 13y =. 故函数()()21y h x h x =−+在区间[]2,2−上的值域为3,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(2)由题意，函数()12xh x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，函数()2x h x −=在R 上单调递增.由题可知函数12xy m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与函数2xy m =+在区间[]1,2023上同增或者同减.①若两函数在区间[]1,2023上均单调递增，则10,220xx m m ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+≥⎩在区间[]1,2023上恒成立， 故1110,220,m m ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+≥⎩解得122m −≤≤−； ②若两函数在区间[]1,2023上均单调递减，则10,220xx m m ⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+≤⎩在区间[]1,2023上恒成立， 故2023202310,220,m m ⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+≤⎩该不等式组无解. 综上，实数m 的取值范围是12,2⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦.。
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小題3分，45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）已知集合{1U =，3，4，5，7，9}，{1A =，4，5}，则(U A =ð ) A ．{3，9}B ．{7，9}C ．{5，7，9}D ．{3，7，9}2．（3分）函数(3)y lg x =-的定义域为( ) A ．(1,3)B ．[1，3)C ．(3,)+∞D ．[1，)+∞3．（3分）若函数2()4f x x mx m =+-在区间[1-，4]上单调，则实数m 的取值范围为()A ．(-∞，8][2-U ，)+∞B ．[2，)+∞C ．(-∞，8]-D ．(-∞，2][8-U ，)+∞4．（3分）函数332x x xy =+的值域为( )A ．(0,)+∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(0,1)5．（3分）已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，对于任意实数x ，(0,)y ∈+∞都满足()()()f xy f x f y =+，若f （3）1=且()(1)2f m f m <-+，则实数m 的取值范围为( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．9(,1)10D ．9(0,)106．（3分）设131log 4a =，141()4b =，131()3c =，则a ，b ．c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．（3分）幂函数的图象经过点1(,2)2，若01a b <<<，则下列各式正确的是( )A ．11()()()()f a f b f f b a <<<B ．11()()()()f f f b f a a b <<<C ．11()()()()f a f b f f a b<<<D ．11()()()()f f a f f b a b<<<8．（3分）对于一个声强为I 为（单位：2/)W m 的声波，其声强级L （单位：)dB 可由如下公式计算：010IL lg I =（其中0I 是能引起听觉的最弱声强），设声强为1I 时的声强级为70dB ，声强为2I 时的声强级为60dB ，则1I 是2I 的( )倍A ．10B ．100C ．1010D ．100009．（3分）已知函数()3sin(2)3f x x π=-，下列结论中正确的是( )A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称C ．函数()f x 的图象关于点(,0)6π-对称D ．函数()f x 在5(,)1212ππ-内是增函数 10．（3分）为了得到函数3sin 21y x =+的图象，只需将3sin y x =的图象上的所有点( ) A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度 11．（3分）扇形周长为6cm ，面积为22cm ，则其圆心角的弧度数是( ) A ．1或5B ．1或2C ．2或4D ．1或412．（3分）若A 、B 是锐角ABC ∆的两个内角，则点(cos sin ,sin cos )P B A B A --在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．（3分）已知函数()3sin(2)2f x x π=+，若对于任意的x R ∈，都有12()()()f x f x f x 剟成立，则12||x x -的最小值为( ) A ．4B ．1C ．12D ．214．（3分）已知平面向量(1,3)a =-r ，(4,2)b =-r ，若a b λ-r r 与a r垂直，则实数(λ= )A ．1-B ．1C ．2-D ．215．（3分）如图，圆O 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆，若P ，Q 是圆O 上两个动点，则AP CQ u u u r u u u rg 的最小值为( )A ．6-B ．322--C ．32--D ．4-二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16．（3分）计算：24323827()log log 9log 2125--+-=g ．17．（3分）若()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x -=+，则1()2f = ．18．（3分）已知sin 2cos 5sin 2cos αααα+=-，则21cos sin 22αα+= ．19．（3分）已知2sin()24απ-=，则sin α= ． 20．（3分）若存在正整数ω和实数ϕ使得函数2()sin ()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则ω的值为 ．三、解答题[本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．（8分）若函数21()ax f x bx c+=+是奇函数，(a ，b ，)c N ∈且f （1）2=，f （2）3<．（1）求实数a ，b ，c 的值；（2）判断函数()f x 在(-∞，1]-上的增减性，并证明．22．（8分）设向量(cos ,sin )a αλα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，其中0λ>，02παβ<<<，且a b+r r 与a b -rr 相互垂直．（1）求实数λ的值；（2）若45a b =r r g ，且tan 2β=，求tan α的值．23．（8分）已知ABC ∆为等边三角形，2AB =，点N 、M 满足AN AB λ=u u u r u u u r ，(1)AM AC λ=-u u u ur u u u r ，R λ∈，设AC a =u u u rr，AB b =u u u r r．（1）试用向量a r和b r 表示BM u u u u r ，CN u u u r ； （2）若32BM CN =-u u u u r u u u r g ，求λ的值．24．（8分）将函数()4sin cos()6g x x x π=+的图象向左平移(0)2πϕϕ<…个单位长度后得到()f x 的图象．（1）若()f x 为偶函数，求()f ϕ的值；（2）若()f x 在7(,)6ππ上是单调函数，求ϕ的取值范围．25．（8分）已知函数()||1f x x a =--，(a 为常数）． （1）若()f x 在[0x ∈，2]上的最大值为3，求实数a 的值；（2）已知()()g x x f x a m =+-g ，若存在实数(1a ∈-，2]，使得函数()g x 有三个零点，求实数m 的取值范围．2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15小题，每小題3分，45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）已知集合{1U =，3，4，5，7，9}，{1A =，4，5}，则(U A =ð ) A ．{3，9}B ．{7，9}C ．{5，7，9}D ．{3，7，9}【解答】解：集合{1U =，3，4，5，7，9}，{1A =，4，5}， 所以{3U A =ð，7，9}， 故选：D ．2．（3分）函数(3)y lg x =-的定义域为( ) A ．(1,3)B ．[1，3)C ．(3,)+∞D ．[1，)+∞【解答】解：由题意可知，1030x x -⎧⎨->⎩…，解可得，13x <„，即函数的定义域为[1，3)． 故选：B ．3．（3分）若函数2()4f x x mx m =+-在区间[1-，4]上单调，则实数m 的取值范围为()A ．(-∞，8][2-U ，)+∞B ．[2，)+∞C ．(-∞，8]-D ．(-∞，2][8-U ，)+∞【解答】解：2()4f x x mx m =+-的对称轴12x m =-，2()4f x x mx m =+-Q 在区间[1-，4]上单调， ∴12m --„，或142m -…， 2m ∴…或8m -„，故选：A ．4．（3分）函数332xx xy =+的值域为( )A ．(0,)+∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(0,1)【解答】解：Q 2()03x >，∴21()13x +>，∴31(0,1)2321()3x xx xy ==∈++， 故选：D ．5．（3分）已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，对于任意实数x ，(0,)y ∈+∞都满足()()()f xy f x f y =+，若f （3）1=且()(1)2f m f m <-+，则实数m 的取值范围为( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．9(,1)10D ．9(0,)10【解答】解：Q 对于任意实数x ，(0,)y ∈+∞都满足()()()f xy f x f y =+，且f （3）1=， ∴令3x y ==得：f （9）f =（3）f +（3）2=，∴原不等式()(1)2f m f m <-+可化为()(1)f m f m f <-+（9），()(99)f m f m ∴<-，又Q 函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数， ∴01099m m m m>⎧⎪->⎨⎪<-⎩，解得：9010m <<，故选：D ．6．（3分）设131log 4a =，141()4b =，131()3c =，则a ，b ．c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<【解答】解：1331log log 414a ==>Q ，01b <<，01c <<， a ∴最大，又1141211()()464b ==Q ，1131211()()381c ==，且幂函数112y x =在(0,)+∞上单调递增，c b ∴<， c b a ∴<< 故选：B ．7．（3分）幂函数的图象经过点1(,2)2，若01a b <<<，则下列各式正确的是( )A ．11()()()()f a f b f f b a <<<B ．11()()()()f f f b f a a b <<<C ．11()()()()f a f b f f a b<<<D ．11()()()()f f a f f b a b<<<【解答】解：设幂函数解析式为：y x α= (α为常数），Q 幂函数的图象经过点1(,2)2，∴1()22α=，解得1α=-，∴幂函数解析式为：11y x x-==， ∴幂函数1y x=在(0,)+∞上单调递减， 01a b <<<Q ，1101a b b a∴<<<<<， 又Q 幂函数1y x=在(0,)+∞上单调递减， f ∴（a ）f >（b ）11()()f f b a >>，故选：B ．8．（3分）对于一个声强为I 为（单位：2/)W m 的声波，其声强级L （单位：)dB 可由如下公式计算：010IL lg I =（其中0I 是能引起听觉的最弱声强），设声强为1I 时的声强级为70dB ，声强为2I 时的声强级为60dB ，则1I 是2I 的( )倍 A ．10B ．100C ．1010D ．10000【解答】解：由题意可得：12010701060I lg I I lg I ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即10276I lg I I lg I ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，两式相减得121I lgI =，∴1210II =， 1I ∴是2I 的10倍，故选：A ．9．（3分）已知函数()3sin(2)3f x x π=-，下列结论中正确的是( )A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称C ．函数()f x 的图象关于点(,0)6π-对称D ．函数()f x 在5(,)1212ππ-内是增函数 【解答】解：A 错，最小正周期为π，当6x π=时，()1f x ≠，B 错，2()3sin()063f ππ-=-≠，C 错，当5(,)1212x ππ∈-时，2(32x ππ-∈-，)2π，()f x 单调递增，D 成立，故选：D ．10．（3分）为了得到函数3sin 21y x =+的图象，只需将3sin y x =的图象上的所有点( ) A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度 【解答】解：将3sin y x =的图象上的所有点的横标缩短原来的12倍， 得到3sin 2y x =的图象，再将函数的图象向上平移1个单位， 即可得到函数3sin 21y x =+的图象． 故选：B ．11．（3分）扇形周长为6cm ，面积为22cm ，则其圆心角的弧度数是( ) A ．1或5B ．1或2C ．2或4D ．1或4【解答】解：设扇形的半径为r ，弧长为l ， 则由题意可得26122r l lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得41l r =⎧⎨=⎩，或22l r =⎧⎨=⎩，当41l r =⎧⎨=⎩，时，其中心角的弧度数4l r α==；当22l r =⎧⎨=⎩时，其中心角的弧度数1l r α==故选：D ．12．（3分）若A 、B 是锐角ABC ∆的两个内角，则点(cos sin ,sin cos )P B A B A --在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：ABC ∆Q 为锐角三角形，2A B π∴+>．2A B π∴>-，2B A π>-．sin cos A B ∴>，sin cos B A > cos sin 0B A ∴-<，sin cos 0B A ->P ∴在第二象限．故选：B ．13．（3分）已知函数()3sin(2)2f x x π=+，若对于任意的x R ∈，都有12()()()f x f x f x 剟成立，则12||x x -的最小值为( ) A ．4B ．1C ．12D ．2【解答】解：函数()3sin(2)2f x x π=+，所以函数的周期242T ππ==． 对于任意的x R ∈，都有12()()()f x f x f x 剟成立，3()3f x -剟． 则12||x x -的最小值为22T=． 故选：D ．14．（3分）已知平面向量(1,3)a =-r ，(4,2)b =-r ，若a b λ-r r 与a r 垂直，则实数(λ= )A ．1-B ．1C ．2-D ．2【解答】解：Q (1a b λλ-=r r ，3)(4--，2)(4λ-=-，32)λ-+，a b λ-r r 与a r垂直， ∴()43(32)0a b a λλλ-=---+=r r rg ，解得1λ=．故选：B ．15．（3分）如图，圆O 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆，若P ，Q 是圆O 上两个动点，则AP CQ u u u r u u u rg 的最小值为( )A ．6-B ．322--C ．32--D ．4-【解答】解以O 为坐标原点建立如图坐标系，则P ，Q 在以O 为圆心的单位圆上，设(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，又(1,1)A --，(1,1)C ， ∴(cos 1,sin 1)AP αα=++u u u r ，(cos 1,sin 1)CQ ββ==-u u u r ， ∴(cos 1)(cos 1)(sin 1)(sin 1)AP CQ αβαβ=+-++-u u u r u u u rgg g cos cos cos cos 1sin sin sin sin 1αββααββα=+--++-- (cos cos sin sin )(sin cos )(sin cos )2αβαβββαα=+++-+- cos()2)2)244ππαββα=-++-，当cos()1αβ-=-，且sin()14πβ+=-，且sin()14πα+=时，则AP CQ u u u r u u u rg 有最小值，此时(21)k αβπ-=+，且524k βππ=+，且2()4k k Z παπ=+∈，∴AP CQ u u u r u u u rg 能取到最小值322--， 故选：B ．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16．（3分）计算：24323827()log log 9log 2125--+=g 4 ．【解答】解：原式23()351232()2423lg lg lg lg -⨯-=--g2512444=--=． 故答案为：4． 17．（3分）若()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x -=+，则1()2f = 3 ． 【解答】解：根据题意，()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x-=+， 令2x =可得：2f （2）1()22152f -=⨯+=，① 令12x =可得：12()2f f -（2）12122=⨯+=，②， 联立①②解可得：1()32f =； 故答案为：318．（3分）已知sin 2cos 5sin 2cos αααα+=-，则21cos sin 22αα+= 25 ． 【解答】解：Qsin 2cos 5sin 2cos αααα+=-， ∴tan 25tan 2αα+=-，解得tan 3α=， ∴2222221sin cos 1tan 132cos sin 221315cos sin cos tan ααααααααα++++====+++． 故答案为：25． 19．（3分）已知2sin()24απ-=，则sin α= 2425 ． 【解答】解：Q 2sin()24απ-=， 22224sin cos()cos2()12sin ()12()2242425παπαπαα∴=-=-=--=-⨯=． 故答案为：2425． 20．（3分）若存在正整数ω和实数ϕ使得函数2()sin ()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则ω的值为 2 ．【解答】解：由21cos(22)()sin ()2x f x x ωϕωϕ-+=+=及图象知：函数的半周期在1(2，1)之间，即112122πω<<g ， ∴2πωπ<<，2ω∴= 或3ω=．由图象经过点(1,0)，所以f （1）1cos(22)02ωϕ-+==，知222()k k Z ωϕπ+=∈， 222k ωϕπ∴=-+， 由图象知1cos21(0)22f ϕ-=>，得cos20ω<， 又当ω为正整数2时，可得：cos2cos40ω=<，cos60>，所以可得：2ω=．三、解答题[本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．（8分）若函数21()ax f x bx c+=+是奇函数，(a ，b ，)c N ∈且f （1）2=，f （2）3<． （1）求实数a ，b ，c 的值；（2）判断函数()f x 在(-∞，1]-上的增减性，并证明．【解答】解：（1）根据题意，函数21()ax f x bx c+=+是奇函数，(a ，b ，)c N ∈且f （1）2=， 则(1)2f -=-，又由f （2）3<，则有12124132a b c a b ca b c +⎧=⎪+⎪+⎪=-⎨-+⎪+⎪<⎪+⎩且a 、b 、c N ∈，解可得1a =，1b =，0c =； （2）由（1）可得：211()x f x x x x+==+，函数()f x 在(-∞，1]-上为增函数， 设121x x <-„，121212121212(1)()11()()()()x x x x f x f x x x x x x x ---=+-+=， 又由121x x <-„，则12()0x x -<且12(1)0x x ->，则有12()()0f x f x -<，故函数()f x 在(-∞，1]-上为增函数．22．（8分）设向量(cos ,sin )a αλα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，其中0λ>，02παβ<<<，且a b +r r与a b -r r 相互垂直．（1）求实数λ的值；（2）若45a b =r r g ，且tan 2β=，求tan α的值． 【解答】解：（1）由a b +r r 与a b -r r 互相垂直，可得22()()0a b a b a b +-=-=r r r r r r g ，所以222cos sin 10αλα+-=，又因为22sin cos 1αα+=，所以22(1)sin 0λα-=， 因为02πα<<，所以2sin 0α≠，所以210λ-=，又因为0λ>，所以1λ=．（2）由（1）知(cos ,sin )a αα=r ，由45a b =r r g ，得4cos cos sin sin 5αβαβ+=，即4cos()5αβ-=， 因为02παβ<<<，所以02παβ-<-<，所以3sin()5αβ-==-， 所以sin()3tan()cos()4αβαβαβ--==--， 因此tan()tan 1tan tan()1tan()tan 2αββααββαββ-+=-+==--． 23．（8分）已知ABC ∆为等边三角形，2AB =，点N 、M 满足AN AB λ=u u u r u u u r ，(1)AM AC λ=-u u u u r u u u r ，R λ∈，设AC a =u u u r r ，AB b =u u u r r．（1）试用向量a r 和b r 表示BM u u u u r ，CN u u u r ；（2）若32BM CN =-u u u u r u u u r g ，求λ的值． 【解答】解：（1）(1)(1)BM AM AB AC AB a b λλ=-=--=--u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r r r ；CN AN AC AB AC b a λλ=-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r ； （2）32BM CN =-u u u u r u u u r g ，即[(1)]()a b b a λλ=---r r r r g 22213[(1)1](1)(1)2244(1)22a b b a λλλλλλλλ=-+---=-+---=-r r r r g g g g ， 化为24140λλ+-=，解得12λ=．24．（8分）将函数()4sin cos()6g x x x π=+的图象向左平移(0)2πϕϕ<„个单位长度后得到()f x 的图象．（1）若()f x 为偶函数，求()f ϕ的值；（2）若()f x 在7(,)6ππ上是单调函数，求ϕ的取值范围． 【解答】解：（1）Q 31()4sin (sin )3sin 2(1cos2)2sin(2)126g x x x x x x x π=-=--=+-， ∴函数()2sin(2)16g x x π=+-的图象向左平移(0)2πϕϕ<„个单位长度后得到()2sin(22)16f x x πϕ=++-的图象，又()f x 为偶函数，则2()62k k Z ππϕπ+=+∈， Q 02πϕ<„，∴6πϕ=，()2sin(2)12cos212f x x x π∴=+-=-，()()2cos 1063f f ππϕ==-=． （2）Q 7(,)6x ππ∈，∴22(22,22)662x πππϕπϕπϕ++∈++++， Q 02πϕ<„，∴72(,]666πππϕ+∈，32(,]222πππϕ+∈， ()f x Q 在7(,)6ππ上是单调函数． ∴262ππϕ+…，且02πϕ<„，∴[,]62ππϕ∈． 25．（8分）已知函数()||1f x x a =--，(a 为常数）．（1）若()f x 在[0x ∈，2]上的最大值为3，求实数a 的值；（2）已知()()g x x f x a m =+-g ，若存在实数(1a ∈-，2]，使得函数()g x 有三个零点，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）1,()1,x a x a f x x a x a --⎧=⎨-+-<⎩…， 当1a …时，()(0)3max f x f ==，4a ∴=；当1a <时，()max f x f =（2）3=，2a ∴=-；综上：4a =或2-．（2）()||0g x x x a x a m =--+-=有三个零点， 等价于()||h x x x a x a =--+和y m =有三个不同的交点，22,(),x ax x a x a h x x ax x a x a ⎧--+=⎨-+-+<⎩…， 当12a 剟时，()h x 在1(,)2a --∞上递增， 在1(2a -，1)2a +递减，在1(2a +，)+∞递增； 10()2a m h -∴<<，即2(1)0(14a m +<<∈，9]4， 904m ∴<<． 当11a -<<时，()h x 在1(2a -，1)2a +上递减，在(-∞，11)(22a a -+，)+∞上递增； 11(()()22a a h m h +-∴<<即22(1)(1)44a a m -+-<<， 914m ∴-<<．。
长沙市长郡中学2022-2023学年高一上数学期末含解析
12．若方程x2+2x+m2+3m=mcos(x+1) + 7有且仅有1个实数根，则实数m的值为（）
A.2B.-2
C.4D.-4
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知 ，则 的最小值为_______________.
14．已知点 是角 终边上任一点，则 __________
15．在平行四边形 中， 为 上的中点，若 与对角线 相交于 ，且 ，则 __________
（1）当 时，求 的最值；
（2）设 ，若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
21．已知函数 为偶函数
（1）求a的值，并证明 在 上单调递增；
（2）求满足 的x的取值范围
22．2018年8月31日，全国人大会议通过了个人所得税法的修订办法，将每年个税免征额由42000元提高到60000元.2019年1月1日起实施新年征收个税.
【点睛】关键点点睛：构造函数 ，求出 的对称轴，利用对称的性质得出 .
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、 ##2 25
【解析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求解.
【详解】解：因为 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
14、 ##
【解析】将所求式子，利用二倍角公式和平方关系化为 ，然后由商数关系弦化切，结合三角函数的定义即可求解.
则这个试验的样本空间可记为 ，共包含 个样本点，
记事件 选出的 名同学中恰有一名同学身高在 内.
则事件 包含的基本事件有 、 、 ，共 种，故 .
19、（1） ；（2） .
【解析】（1） 时，求出集合 ， ，从而求出 ，由此能求出
2020-2021学年长沙市长郡中学高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年长沙市长郡中学高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分） 1.已知集合A ={0,1,2}，B ={x|x 2+x −2≤0}，则A ∩B =( )A. {0}B. {0,1}C. {1,2}D. {0,1,2}2.下列语句不是全称量词命题的是( )A. 任何一个实数乘以零都等于零B. 自然数都是正整数C. 高一(1)班绝大多数同学是团员D. 每一个实数都有大小3.若tanα=3，则4sin 2α−sinαcosα+cos 2α的值为( )A. −175B. 175C. 3D. −34.已知条件p:不等式的解集为R ；条件q:指数函数为增函数，则p 是q 的( )A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件5.与函数y =x 是同一函数的函数是( )A. y =√x 2B. y =√x 33C. y =(√x)2D. y =x2x6.函数g(x)=lnx −1x 的零点所在区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)7.若角的终边上有一点，则的值是( )A.B.C.D.8.函数的部分图象大致是如图所示的四个图象中的一个，根据你的判断，a 可能的取值是( )A. 12B. 32C. 2D. 49.函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，要得到函数g(x)=2sin(2x +π4)的图象，只需将函数f(x)的图象( )A. 向右平移π12长度单位 B. 向左平移π24长度单位 C. 向左平移π12长度单位D. 向右平移π24长度单位10. 设，且，则= ( )A. 100B. 20C. 10D.11. 已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致是( )A.B.C.D. 图象大致形状是( )12. 若x +4x−1≥m 2−2am −3对所有的x ∈[2,4]和a ∈[−1,1]恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. [−4,2]B. [−2,4]C. [−2,2]D. [−4,4]二、多选题（本大题共3小题，共9.0分）13. 在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动(无滑动滚动)，点D 恰好经过坐标原点，设顶点B (x,y )的轨迹方程是y =f (x )，则对函数y =f (x )的判断正确的是( )A. 函数y =f (x )是奇函数B. 对任意的x ∈R ，都有f (x +4)=f (x −4)C. 函数y =f (x )的值域为[0,2√2]D. 函数y =f (x )在区间[6,8]上单调递增14. 已知实数a ，b ，c 满足a >b >c 且abc <0，则下列不等关系一定正确的是( )A. ac >bcB. c a >cbC. b a +ab >2D. aln|c|>bln|c|15. 下列关于函数y =tan(−2x +π3)的说法正确的是( )A. 在区间(−π3,−π12)上单调递增 B. 最小正周期是π2C. 图象关于点(5π12,0)成中心对称D. 图象关于直线x =−π12成轴对称三、单空题（本大题共5小题，共15.0分）16. 计算2log 214−(827)23+lg 1100+(√2−1)lg1的值为______． 17. 周长为6的等腰△ABC 中，当顶角A =π3时，S △ABC 的最大值为√3，周长为4的扇形OAB 中，则当圆心角α，|α|=∠AOB = ______ (弧度)时，S 扇形△AOB 的最大值是1． 18. 设4a =5b =m ，且1a +2b =1，则m =______．19. 广州市出租车收费标准如下：在3km 以内路程按起步价9元收费，超过3km 以外的路程按2元/km收费，另每次收燃油附加费1元，则收费额Q 关于路程s 的函数关系是______ ．20. 已知x 1，x 2是一元二次方程x 2−x −1=0的两实数根，则x 12+x 22= ______ ．四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）21. (1)1.513×(−76)0+80.25×√24+(√23×√3)6−√(23)23； (2)12lg3249−43lg8+lg √245．22. 为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，去年冬天，某水利工程队在河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为10 000 m 2的矩形鱼塘，其四周都留有宽2 m 的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小．23. (本小题满分12分) 向量(1)若a 为任意实数，求g(x)的最小正周期； (2)若g(x)在[o,)上的最大值与最小值之和为7，求a 的值，24. 某公司拟设计一个扇环形状的花坛(如图所示)，该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成．设圆弧AB ⏜、CD ⏜所在圆的半径分别为f(x)、R 米，圆心角为θ(弧度)．(1)若θ=π3，r 1=3，r 2=6，求花坛的面积；(2)设计时需要考虑花坛边缘(实线部分)的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？25.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)=log2x.(1)求当x<0时函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2−1)>2．参考答案及解析1.答案：B解析：解：∵集合A={0,1,2}，B={x|x2+x−2≤0}={x|−2≤x≤1}，∴A∩B={0,1}．故选：B．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.答案：C解析：根据全称量词命题与存在量词命题的定义，直接判断即可．本题考查了全称量词命题与存在量词命题的定义，属于基础题．解：A，B，D中含有“任何一个”“都是”“每一个”，是含有全称量词的全称量词命题，而C中命题可以改写为：高一(1)班存在部分同学是团员，所以C不是全称量词命题，故选：C．3.答案：B解析：先利用同角三角函数的基本关系把1换成sin2α+cos2α，分子分母同时除以cos2α，最后把tanα的值代入即可求得答案．本题主要考查了三角函数的化简求值．解题的关键是把原式中的弦转化成切，利用已知条件求得问题的解决．解：∵tanα=3，则4sin2α−sinαcosα+cos2α=4sin2α−sinαcosα+cos2αsin2α+cos2α=4tan2α−tanα+1 tan2α+1=4×9−3+19+1=175故选B．4.答案：C。
长沙市长郡中学2022-2023学年高一上数学期末达标检测模拟试题含解析
解：当 时， ， 或 ，
∴
【小问2详解】
解：∵ 或 ，∴ ，
∵“ ”是“ ”的充分不必要条件，
∴ 是 的真子集，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，故实数 的取值范围为
19、（1）
（2）最大值为 ，最小值为
【解析】（1）根据 的定义域列出不等式即可求出；
（2）可得 ，即可求出最值.
【小问1详解】
的定义域是 ， ，
2、C
【解析】如图所示，直线 额倾斜角为 ，故斜率为 ，由点斜式得直线方程为 .
考点：直线方程.
3、A
【解析】将 写成分段函数的形式，根据单调性先分析每一段函数需要满足的条件，同时注意分段点处函数值关系，由此求解出 的取值范围.
【详解】因为 ，所以 ，
当 在 上单调递增时， ，所以 ，
当 在 上单调递增时， ，所以 ，
当 时，
．
【点睛】本题考查函数值、函数解析式的求法，考查函数性质、三角形及矩形形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
18、（1）
（2）
【解析】（1）首先得到集合 ，再根据交集的定义计算可得；
（2）首先求出集合 的补集，依题意可得 是 的真子集，即可得到不等式组，解得即可；
【点睛】本题考查了三角函数诱导公式，属于基础题
10、C
【解析】①当 ， ，且 ，则 ，反之当 ，必有 .
②当 ， ，且 ，则 ，反之，若 ，则 ，
，所以 .
③当 ，则 ；反之， ， .
综上所述，“存在集合 使得 是“ ”的充要条件.
考点：集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题.
11、D
【解析】从集合A到集合B的函数，即定义域是A，值域为B，逐项判断即可得出结果.
长郡高一期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. $\sqrt{2}$B. $\pi$C. $\frac{1}{3}$D. $\sqrt[3]{8}$2. 如果 $a > b$，那么下列不等式中正确的是（）A. $a + 2 > b + 2$B. $a - 2 < b - 2$C. $2a > 2b$D. $-2a < -2b$3. 已知函数 $f(x) = 2x - 3$，则 $f(2x - 1)$ 的值为（）A. $4x - 5$B. $4x - 7$C. $2x - 5$D. $2x - 7$4. 在 $\triangle ABC$ 中，$a = 5$，$b = 7$，$c = 8$，则 $\sin A$ 的值为（）A. $\frac{8}{15}$B. $\frac{7}{15}$C. $\frac{5}{7}$D.$\frac{5}{8}$5. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前三项分别为 $1$，$4$，$7$，则该数列的公差为（）A. $1$B. $2$C. $3$D. $4$6. 下列命题中，正确的是（）A. 若 $a > b$，则 $a^2 > b^2$B. 若 $a > b$，则 $a - b > 0$C. 若$a^2 > b^2$，则 $a > b$D. 若 $a^2 > b^2$，则 $a > b$ 或 $a < -b$7. 若复数 $z = a + bi$（$a$，$b$ 是实数）满足 $|z| = 1$，则 $z$ 在复平面上的对应点一定在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8. 已知 $x^2 - 5x + 6 = 0$，则 $x^3 - 5x^2 + 6x$ 的值为（）A. $-1$B. $1$C. $0$D. $6$9. 下列函数中，定义域为实数集的是（）A. $f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$B. $f(x) = \frac{1}{x}$C. $f(x) =\log_2(x - 1)$ D. $f(x) = x^2 + 1$10. 在 $\triangle ABC$ 中，$a = 6$，$b = 8$，$c = 10$，则 $\cos A$ 的值为（）A. $\frac{3}{5}$B. $\frac{4}{5}$C. $\frac{5}{6}$D.$\frac{6}{5}$二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 若 $a^2 - 4a + 3 = 0$，则 $a^3 - 6a^2 + 9a - 3$ 的值为______。
湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)
湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．函数1()ln(2)f x x x=-+的定义域是（）A ．(],2-∞B ．()0,2C ．()(),00,2-∞ D ．()(],00,2-∞⋃2．命题“2R,330x x x ∃∈-+≤”的否定是（）A ．2R,330x x x ∀∈-+>B ．2R,330x x x ∀∈-+≥C ．2R,330x x x ∃∈-+>D ．2R,330x x x ∃∈+≥3．用二分法求函数()y f x =在区间[]2,4上零点的近似值，经验证有()()240f f ⋅<，取区间的中点12432x +==，计算得()()120f f x ⋅<，则此时零点0x 满足（）A ．01x x =B ．01x x >C ．023x <<D ．02x <4．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（ 1.259≈）A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.65．若π3cos()25α-=，且π(,π)2α∈，则5πtan()4α+=（）A ．34-B ．34C ．17D ．76．若正实数x ，y 满足121x y+=，则x +2y 的最小值为（）A ．7B ．8C ．9D ．107．已知函数()[]22ln 33f x x x =-+，其中[]x 表示不大于x 的最大整数（如[]1.61=，[]2.13-=-），则函数()f x 的零点个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．48．若函数()f x 的定义域为R ，且()21f x +偶函数，()1f x -关于点()3,3成中心对称，则下列说法正确的个数为（）①()f x 的一个周期为2②()223f =③()f x 的一条对称轴为5x =④()19157i f i ==∑A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题9．设函数21,2()2log (1),2xx f x x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩，若()1f x =，则x 的取值可能是（）A ．0B ．3C ．1-D ．210．下列各式中，值为12的是（）A ．5sin6πB ．2sin15cos15︒︒C ．22cos 151︒-D︒11．生活经验告诉我们，a 克糖水中有b 克糖（a >0，b >0，且a >b ），若再添加c 克糖（c >0）后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：b c ba c a+>+.趣称之为“糖水不等式”.根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（）A ．若0,0a b m >>>，则b m a m ++与ba的大小关系随m 的变化而变化B ．若00a b m >><，，则b b m a a m+<+C ．若00a b c d >>>>，，则b db ca d a c++<++D ．若0,0a b >>，则一定有1111a b a ba b a b a b +<+++++++12．已知函数()121xmf x =-+是奇函数，下列选项正确的是（）A ．2m =B ．函数()f x 在[)1,2-上的值域为13,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．12,x x ∀∈R ，且12x x ≠，恒有()()()()1212x x f x f x -->D ．若x ∀∈R ，恒有()()2212f x f ax x -<-充分不必要条件为5a >三、填空题13．半径为2cm ，圆心角为2π3的弧长为___________cm .14．已知常数0a >，1a ≠，假设无论a 为何值，函数()log 21a y x =-+的图象恒经过一个定点，则这个定点的坐标是______．15．已知3R341,R 8E x m x m m ⎧⎫=∈-<<+∈⎨⎬⎩⎭∣，若“a E ∈”是“函数()()23417f x ax a x =--+在区间[]0,1上为增函数”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为___________.16．已知函数()()sin 0,0f x A x A ωω=>>，若至少存在两个不相等的实数[]12,,2x x ππ∈，使得()()122f x f x A +=，则实数ω的取值范围是________．四、解答题17．已知集合{}413A x x =-≤-≤，{}2434B x m x m =-<<+．(1)若0m =，求A B ⋂；(2)若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围．18．已知3π是函数2()2sin cos 2cos 1f x a x x x =++的一个零点.(1)求实数a 的值；(2)求()f x 单调递减区间.19．设函数()()()4f x x x a =--，R a ∈．(1)解关于x 的不等式，()0f x <；(2)当()4,x ∞∈+时，不等式()16f x ≥-恒成立，求a 的取值范围．20．已知()g x 是定义在()2,2-上的奇函数，且()()2f x g x =+.(1)若()4f a =，求()f a -的值；(2)对任意的1x ，()22,2x ∈-，12x x ≠，恒有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，解关于x 的不等式()()214f x f x -+>.21．在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y （元）与时间x （天）的关系在ABC 段可近似地用函数sin()20(0,0,0)y a x a ωϕωϕπ=++>><<的图像从最高点A 到最低点C 的一段来描述（如图），并且从C 点到今天的D 点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF 段所示，且DEF 段与ABC 段关于直线:34l x =对称，点B 、D 的坐标分别是(12,20)、(44,12)．（1）请你帮老张确定a ωϕ、、的值，写出ABC 段的函数表达式，并指出此时x 的取值范围；（2）请你帮老张确定虚线DEF 段的函数表达式，并指出此时x 的取值范围；（3）如果老张预测准确，且在今天买入该只股票，那么最短买入多少天后，股价至少是买入价的两倍？22．已知0a >且1a ≠，函数()4,02,0x a x x f x x -⎧≥=⎨<⎩满足()()11f a f a -=-，设()xh x a =．(1)求函数()()21y h x h x =-+在区间[]22-,上的值域；(2)若函数()y h x m =+和()y h x m =-+在区间[]1,2023上的单调性相同，求实数m 的取值范围．参考答案：1．C【分析】根据对数中真数大于零，分式中分母不等于零列不等式，解不等式即可得到定义域.【详解】由20x ->可得2x <，又因为0x ≠，所以函数()f x 的定义域为()(),00,2-∞ .故选：C.2．A【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解.【详解】解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“2R,330x x x ∃∈-+≤”的否定是2R,330x x x ∀∈-+>.故选：A.3．C【分析】根据零点的存在性定理即可得出答案.【详解】解：由题意，因为()()120f f x ⋅<，所以函数()f x 在区间()12,x 上一定存在零点，即函数的零点0x 满足023x <<.故选：C.4．C【分析】根据,L V 关系，当 4.9L =时，求出lg V ，再用指数表示V ，即可求解.【详解】由5lg L V =+，当 4.9L =时，lg 0.1V =-，则10.110110100.81.259V --===≈≈.故选：C.5．C【分析】先根据诱导公式化简cos π2α⎛⎫- ⎪⎝⎭，再运用平方关系求出cos ,α进而得到tan ,α最后运用两角和的正切公式可求出5πtan()4α+的值.【详解】依题意ππ34,π,cos()sin ,cos ,2255αααα⎛⎫∈-==∴==- ⎪⎝⎭5π5π14tan()tan tan3tan 4tan ta 4n .5π471αααα++∴=-∴==-⋅故选：C 6．C【分析】利用基本不等式进行求解即可.【详解】因为x ，y 是正数，所以有()12222559y x x y x y x y ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22y xx y=时取等号，即当且仅当3x y ==时取等号，故选：C 7．D【分析】构造函数()22ln g x x =与()[]33h x x =-，作出图象，结合图象得出两函数的交点个数，即可求解.【详解】设函数()22ln g x x =，()[]33h x x =-，则()()222ln()2ln g x x x g x -=-==，所以函数()g x 为定义域上的为偶函数，作出函数()22ln g x x =与()[]33h x x =-的图象，如图所示，当10x -<<时，()6h x =-，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；当01x <<时，()3h x =-，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；当1x =时，()()0g x h x ==，两函数有1个交点，即1个零点；当23x ≤<时，()3h x =，()4ln 24ln 3g x ≤<，此时两函数有1个交点，即1个零点，综上可得函数()[]22ln 33f x x x =-+共4个零点.故选：D.【点睛】本题主要考查了函数的零点个数的判定，以及函数的图象的应用，其中解答中构造新函数，作出函数的图象，结合两个函数的图象的交点个数进行判定是解答的关键，着重考查构造思想，以及数形结合思想的应用，属于中档试题.8．C【分析】由题意，根据函数的对称性，可得()()11f x f x -=+，()()262f x f x -=-+，且()23f =，根据函数周期性的定义，可判①的正误；根据周期性的应用，可判②的正误；根据函数的轴对称性的性质，可判③的正误；根据函数的周期性，进行分组求和，根据函数的对称性，可得()()136f f +=，()()246f f +=，可判④的正误.【详解】因为()21f x +偶函数，所以()()1212f x f x -=+，则()()11f x f x -=+，即函数()f x 关于直线1x =成轴对称，因为函数()f x 的图象是由函数()1f x -的图象向左平移1个单位，所以函数()f x 关于点()2,3成中心对称，则()()262f x f x -=-+，且()23f =，对于①，()()()()()()2626116116f x f x f x f x f x +=--=---=-+-=-，()()()()()()4226226611f x f x f x f x f x +=++=---=--=--+()()6112f x f x =-++=-()()()1111f x f x f x =+-=-+=，则函数()f x 的周期4T =，故①错误；对于②，()()()2224523f f f =+⨯==，故②正确；对于③，()()()()()()51411145f x f x f x f x f x f x +=++=+=-=-+=-，故③正确；对于④，()()()121621f f f =-=-+，则()()136f f +=，()()()()()40111123f f f f f ==-=+==，则()()246f f +=，由19443÷= ，则()()()()1911219i f i f f f ==+++∑ ()()()()()()()()41234171819f f f f f f f =++++++()()()()466123486357f f f =⨯++++=++=，故④正确.故选：C.9．AB【分析】根据分段函数的定义分类讨论求值即可.【详解】若2x <，则1()1,2xf x ⎛⎫== ⎪⎝⎭解得0x =，满足题意；若2x ≥，则2()log (1)1,f x x =-=解得3x =，满足题意；故选:AB.10．ABD【分析】根据诱导公式sin(-)sin παα=可判断A ；由二倍角的正弦公式sin22sin cos ααα=可计算B ；由二倍角的余弦公式2cos22cos 1αα=-可判断C ；由诱导公式tan()tan παα+=可计算D.【详解】对于A ：51sinsin(-)sin 6662ππππ===，所以A 正确;对于B ：12sin15cos15sin302==，所以B 正确;对于C ：22cos 151cos302-== ，所以C 不正确;对于D 1302))=+=== ，所以D 正确，故选：ABD.11．CD【分析】根据“糖水不等式”，即可判断A ；举反例，如3,1,2a b m ===-，即可判断B ；若00a b c d >>>>，，则0,0c d a d b d ->+>+>，再根据“糖水不等式”即可判断C ；利用不等式的性质即可判断D.【详解】解：对于A ，根据“糖水不等式”，若0,0a b m >>>，则b m a m +>+ba，故A 错误；对于B ，当3,1,2a b m ===-时，1,13b b m b a a m a+==-<+，与题设矛盾，故B 错误；对于C ，若00a b c d >>>>，，则0,0c d a d b d ->+>+>，根据“糖水不等式”，b dcd b d a d c d a d++-+>++-+，即b d b c a d a c ++<++，故C 正确；对于D ，若0,0a b >>，则110,110a b a a b b ++>+>++>+>，所以1111,1111a b a a b b<<++++++，所以1111ababa b a b a b +<+++++++，故D 正确.12．ACD【分析】对于A ，根据()00f =可求m 的值，验证即可；对于B ，由()2121x f x =-+，可得()f x 为增函数，从而可求值域；对于C ，根据函数()f x 的单调性即可判断；对于D ，根据函数()f x 的单调性可转化为2410ax x -+>对于x ∀∈R 恒成立，求出其成立的充要条件，根据集合间的包含关系及充分不必要条件的定义即可判断.【详解】因为函数()121x mf x =-+是奇函数，且定义域为R ，所以()0102mf =-=，解得2m =.当2m =时，()22112121x x x f x -=-=++，则()()21122112x xx xf x f x -----===-++，故函数()f x 是奇函数，故A 正确；因为()2121x f x =-+在[)1,2-上单调递增，且()()131,235f f -=-=，所以函数()f x 在[)1,2-上的值域为13,35⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，故B 错误；因为()2121x f x =-+单调递增，所以12,x x ∀∈R ，且12x x ≠，恒有()()()()12120x x f x f x -->，故C 正确；因为()2121xf x =-+单调递增，所以()()2212f x f ax x -<-可转化为2212x ax x -<-，即2410ax x -+>对于x ∀∈R 恒成立.当0a =时，410x -+>不恒成立，不符合题意；当0a ≠时，可得()20,440a a >⎧⎪⎨--<⎪⎩，解得4a >.故x ∀∈R ，恒有()()2212f x f ax x -<-的充要条件为4a >.因为{}5a a >{}4a a >，所以x ∀∈R ，恒有()()2212f x f ax x -<-充分不必要条件为5a >，故D 正确.故选:ACD.13．4π3##4π3【分析】根据弧长公式l r α=⋅(α：扇形圆心角，r ：扇形的半径)【详解】2π4π233l r α==⋅=故答案为：4π314．(3,1)【分析】利用对数函数性质可知，令21x -=即可求出()log 21a y x =-+的图象恒过的定点的坐标.【详解】因为log a y x =的图象必过(1,0)，即log 10a =，当21x -=，即3x =时，1y =，从而()log 21a y x =-+图象必过定点(3,1).故答案为：(3,1).15．726m -<<【分析】先求出函数()f x 在区间[]0,1上为增函数时a 的范围，再由必要不充分条件求解m 的范围．【详解】函数()()23417f x ax a x =--+在区间[]0,1上为增函数，0a =时，()7f x x =+符合题意；0a >时，4106a a -≤，104a <≤，a<0时，4116a a -≥，102a -≤<，综上1124a -≤≤，即11[,]24a ∈-，又“a E ∈”是“11[,]24a ∈-”的必要不充分条件，所以134231184m m ⎧-<-⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得726m -<<．故答案为：726m -<<．16．9513,,424⎡⎤⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【分析】当2T π>时，易知必满足题意；当2T π<时，根据[],2x ππ∈可得[],2x ωπωπω∈，由最大值点的个数可构造不等式组，结合0ω>确定具体范围.【详解】 至少存在两个不相等的实数[]12,,2x x ππ∈，使得()()122f x f x A +=，∴当42T ππω>=，即4ω>时，必存在两个不相等的实数[]12,,2x x ππ∈满足题意；当2T π<，即04ω<<时，[],2x ωπωπω∈，()225222k k Z k ππωπππωπ⎧≤+⎪⎪∴∈⎨⎪≥+⎪⎩，()12254k k Z k ωω⎧≤+⎪⎪∴∈⎨⎪≥+⎪⎩；当0k ≤时，解集为∅，不合题意；令1k =，则9542ω≤≤；令2k =，则1344ω≤<；综上所述：实数ω的取值范围为9513,,424⎡⎤⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故答案为：9513,,424⎡⎤⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查根据正弦型函数最值点的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方式，根据πω的范围所需满足的条件来构造不等式组，解不等式组求得结果.17．(1){|24}A B x x =-≤< ；(2)113m <<.【分析】（1）解一元一次不等式求集合A ，应用集合交运算求结果；（2）由题意A B ⊆，列不等式组求参数范围.【详解】（1）由题设，{|25}A x x =-≤≤，{|44}B x x =-<<，所以{|24}A B x x =-≤< .（2）由题意A B ⊆，则242345m m -<-⎧⎨+>⎩，可得113m <<.18．(1)(2),,63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【分析】（1）利用函数的零点的定义，求得实数a 的值．（2）利用三角恒等变化化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得()f x 的单调递减区间．【详解】（1）解：因为2()2sin cos 2cos 1f x a x x x =++，所以()sin 2cos 22f x a x x =++由题意可知03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即22sin cos 20333f a πππ⎛⎫⎪⎭= +⎝+=，即120322f π⎛⎫⎭- ⎪+⎝==，解得a =（2）解：由（1）可得()cos 2222cos 223f x x x x π=-+=⎛⎫ ⎪⎝⎭++，函数cos y x =的递减区间为[]2,2,k k k Z πππ+∈．令222,3k x k k ππππ<+<+∈Z ，得,63k x k k ππππ-<<+∈Z ，所以()f x 的单调递减区间为,,63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．19．(1)答案见解析；(2)12a ≤.【分析】（1）讨论,4a 的大小关系分别求解集即可；（2）将不等式化为164a x x ≤+-在()4,x ∞∈+上恒成立，利用基本不等式求右侧最小值，即可得a 的取值范围．【详解】（1）当4a <时，不等式()(4)()0f x x x a =--<的解集为(),4a ，当4a =时，不等式()(4)()0f x x x a =--<的解集为∅，当4a >时，不等式()(4)()0f x x x a =--<的解集为()4,a ．（2）因为(4,)x ∈+∞，由()16f x ≥-可得：164x a x --≥-，即164a x x ≤+-，因为16164441244x x x x +=-++≥+=--，当且仅当1644x x -=-，即8x =时等号成立，所以12a ≤．20．(1)0；(2)13,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据函数的奇偶性计算()()f a f a +-即可得解；（2）由()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦可推出函数()f x 单调递减，可得()()2g x f x =-单调递减，不等式可转化为()()21g x g x ->-，利用单调性求解即可.【详解】（1）因为()g x 是奇函数，所以()()0g a g a +-=，则()()()()224f a f a g a g a +-=++-+=，因为()4f a =，所以()0f a -=；（2）不妨设1222x x -<<<，则120x x -<，又因为()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，所以()()120f x f x -<，则()f x 在()2,2-上单调递增，所以()()2g x f x =-在()2,2-上单调递增；因为()()214f x f x -+>，所以()()21220f x f x --+->，所以()()210g x g x -+>，又因为()g x 为奇函数，所以()()21g x g x ->-，又因为()g x 在()2,2-上单调递增，所以221222,21x x x x -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩132213223213x x x x ⎧-<<⎪⎪⇒-<<⇒<<⎨⎪⎪>⎩，则不等式()()214f x f x -+>的解集为13,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.21．（1）8a =，24πω=，2ϕπ=，()8cos 2024f x x π=+，[]0,24x ∈（2）()8cos 682024y x π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，[]44,68x ∈（3）16天.【分析】（1）由已知图中,B D 两点的坐标求得a 与T ，进而可得ω的值，再由五点法作图的第三个点求解ϕ，即可得函数的解析式，并求得x 的范围；（2）由对称性求解DEF 段的函数表达式，以及x 的取值范围；（3）由()8cos 68202424x π⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦解得：60x =，减去44即得答案.【详解】（1）由图以及,B D 两点的纵坐标可知：20128a =-=，124T =，可得：48T =，则24824ππω==，由()3242242k k Z ππϕπ⨯+=+∈解得：()22k k Z πϕπ=+∈，所以0k =，2ϕπ=，所以ABC 段的函数表达式为()8sin 208cos 2024224f x x x πππ⎛⎫=++=+ ⎝⎭，[]0,24x ∈（2）由题意结合对称性可知：DEF 段的函数解析式为：()8cos 682024y x π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，[]44,68x ∈（3）由()8cos 68202424x π⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦解得：60x =，所以买入604416-=天后，股票至少是买入价的两倍.22．(1)3,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】（1）先对01a <<和1a >进行分类讨论，再利用题目所给的等式关系可求出a 的值，将所要求的函数换元后得到二次函数求出值域即可.（2）先得到两个函数解析式12xy m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭和2x y m =+，分别对[]1,2023上单调递增和单调递减进行分类讨论，得到关于m 的不等式组，进而求出m 的取值范围即可.【详解】（1）当01a <<时，1142a -=，解得12a =；当1a >时，()1124a a a ---=，无解，故a 的值为12．故()()()111,211242x x xh x y h x h x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．因为[]2,2x ∈-，所以令12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故2213124y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．当12t =时，min 34y =，当4t =时，max 13y =．故函数()()21y h x h x =-+在区间[]22-,上的值域为3,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）由题意，函数()12x h x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，函数()2x h x -=在R 上单调递增．由题可知函数12x y m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与函数2x y m =+在区间[]1,2023上同增或者同减．①若两函数在区间[]1,2023上均单调递增，则10220xx m m ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+≥⎩在区间[]1,2023上恒成立，故1110220m m ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+≥⎩，解得122m -≤≤-．②若两函数在区间[]1,2023上均单调递减，则10220xx m m ⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+≤⎩在区间[]1,2023上恒成立，故2023202310220m m ⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+≤⎩，该不等式组无解．综上，实数m 的取值范围是12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．。
2021-2022学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设集合{}{}1,2,3,12,A B x x x Z ==-<<∈，则A B ⋃=（ ） A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{－1，0，1，2，3}【答案】C【分析】首先用列举法表示集合B ，再根据并集的定义计算可得；【详解】解：因为{}{}12,0,1B x x x Z =-<<∈=，{}1,2,3A =，所以{}0,1,2,3A B ⋃= 故选：C2．若函数22,0()(),0x x f x g x x -⎧-<=⎨>⎩为奇函数，则f （g （2））＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．2【答案】D【分析】先利用奇偶性求得g （x ），再求出()2g ，然后求()()2f g 的值即可. 【详解】设x ＞0，则﹣x ＜0， 故f （﹣x ）=2x ﹣2=﹣f （x ）， 故x ＞0时，f （x ）=2﹣2x ， 由g （2）=f （2）=2﹣4=﹣2， 故f （g （2））=f （﹣2）=﹣f （2）=2， 故选：D.【点睛】本题主要考查奇偶性求对称区间上的解析式以及函数值的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．下列函数是偶函数且在区间(,0)-∞上为增函数的是 A ．2y x = B ．1y x=C ．y x =D ．2y x =-【答案】D【解析】【详解】试题分析：2y x =和1y x =均是奇函数，0{0x x y x x x ≥==-<是偶函数，但在(,0)-∞上是减函数；二次函数2y x =-是偶函数，且在(,0)-∞上是增函数，∴正确选项D ．【解析】（1）函数奇偶性的判断；（2）函数单调性判断．4．函数()1xf x x =- ） A ．[1,)+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞D ．()1,+∞【答案】D【分析】根据解析式有意义可得关于x 的不等式组，其解集为函数的定义域.【详解】由解析式有意义可得1010x x -≥⎧⎨-≠⎩，故1x >，故函数的定义域为(1,)+∞ 故选：D.5．函数()()cos f x x θ=+在[]0,π上为增函数，则θ的值可以是（ ） A ．0 B ．2π C ．πD ．32π 【答案】C【分析】将选项代入分别验证单调性即可求解【详解】对A , ()cos f x x =,由余弦函数的性质可知()f x 在[]0,π上为减函数，舍去；对B ，()cos 2=-sin f x x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭=+，在[]0,π上先减后增，舍去对C ,()()cos cos f x x x π=+=-，由余弦函数的性质可知()f x 在[]0,π上为增函数.成立； 对D , ()=sin 3cos 2f x x x π⎛⎫⎪⎝⎭=+,在[]0,π上先增后减，舍去 故选：C ．【点睛】本题通过三角函数的图象与性质，熟记单调性是关键，考查了学生的直观想象． 6．如果关于x 的不等式2x ax b <-的解集是{24}x x -<<，那么3ab 等于（ ） A ．4- B ．4C ．14-D ．14【答案】B【分析】根据三个二次的关系确定参数，结合指数运算可得结果. 【详解】∵不等式2x ax b <-的解集是{24}x x -<<， ∴2,4-是方程20x ax b -+=的两个实根，∴2424a b -+=⎧⎨-⨯=⎩，∴2,8a b ==-，∴()()2233824a b =-=-=. 故选：B.7．若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65-B ．25-C ．25D ．56【答案】C【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果．【详解】解：因为tan 2θ=-，所以将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ． 8．已知12p a a =+-（2a >），223q b b =--+（b ∈R ），则p ，q 的大小关系为（ ）A ．p q ≥B ．p q ≤C ．p q >D ．p q <【答案】A【分析】利用基本不等式，求得4p ≥，结合二次函数的性质，求得4q ≤，即可求解.【详解】因为2a >，可得11(2)22422p a a a a =+=-++≥=--， 当且仅当122a a -=-时，即3a =时，等号成立，即4p ≥， 又由2223(1)4q b b q =--+=-++，所以4q ≤， 所以p q ≥. 故选：A.9．已知函数()2f x ax x a =-+，“函数()f x 在()0,2上有两个不相等的零点”是“1142a <<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据函数()f x 在(0,2)上有两个不相等的零点可得出关于实数a 的不等式组，解出a 的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】由于函数()2f x ax x a =-+在()0,2上有两个不等的实根，则0a ≠.若0a <，对任意的()0,2x ∈，可知()20f x ax x a =-+<，不合乎题意；若0a >，则()()21401022002520a a f a f a ⎧∆=->⎪⎪<<⎪⎨⎪=>⎪=->⎪⎩，解得2512a <<，因为2152a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭1142a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭， 因此，“函数()f x 在()0,2上有两个不相等的零点”是“1142a <<”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素：（1）二次项系数的符号； （2）判别式； （3）对称轴的位置； （4）区间端点函数值的符号.结合图象得出关于参数的不等式组求解.10．已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移6π个单位长度后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法错误的是（ ） A ．函数()y f x =在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B ．函数()y f x =的图象关于直线6x π=对称C ．函数()y f x =的图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．函数()y f x =的图象关于直线12x π=对称【答案】D【分析】根据图象变换的性质及周期求得函数解析式，然后根据正弦函数性质判断各选项．【详解】由已知22πωπ==，向左平移6π后得()sin[2()]sin(2)63g x x x ππϕϕ=++=++，它是偶函数， 则,32k k Z ππϕπ+=+∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()sin(2)6f x x π=+．2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,622x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因此A 正确； 2662πππ⨯+=，因此函数图象关于点6x π=对称，B 正确；52126πππ⨯+=，函数图象关于直线5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，C 正确； 21263πππ⨯+=，1sin()62π-=-不是最值，D 错误．故选：D ．11．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足()()00f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”.已知()4x f x ae =--在R 上为“局部奇函数”，则a 的取值范围是（ ） A ．[)4,-+∞ B ．[)4,0- C ．(],4-∞- D ．(],4-∞【答案】B【分析】由()()f x f x -=-得出a （用x 表示），方程有解，转化为求新函数的取值范围即得参数范围．【详解】因为()4x f x ae =--，所以()4x f x ae --=--，所以44x x ae ae ---=+，则8e e x x a -=-+.因为2x xe e -+≥（当且仅当0x =时，等号成立），所以84e e x x--≥-+，即40a -≤<.故选：B ．12．已知函数()()2ln ,0,41,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩.若1x ，2x ，3x ，4x 是方程()f x t =的四个互不相等的解，则1234x x x x +++的取值范围是（ ） A ．[)6,+∞ B ．(],2-∞C ．14,2e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．14e ,2e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】根据给定函数画出其图象，结合图象可得1234|ln()||ln()|,4x x x x -=-+=，再借助对勾函数的单调性即可计算判断作答.【详解】作出函数()f x 的图象，如图，()f x 的递减区间是(,1)-∞-和[0,2]，递增区间是(1,0)-和(2,)+∞因1x ，2x ，3x ，4x 是方程()f x t =的四个互不相等的解，则01t <≤，不妨令1234x x x x <<<，则有3x ，4x 是方程241,0x x t x -+=≥的两个根，必有344x x +=， 1x ，2x 是方程()ln ,0x t x -=<的两个不等根，则12|ln()||ln()|x x -=-，12ln()ln()0x x -+-=，整理得121=x x ，即121x x =，由|ln()|1x -=得：e x =-或1ex =-，因此有121x x =，211e x -<≤-，则有12221x x x x +=+，211e x -<≤-，而函数1y x x =+在1(1,]e--上单调递减，从而得2211e 2e x x --≤+<-，于是得123422114[4e ,2)ex x x x x x +++=++∈--， 所以1234x x x x +++的取值范围是1[4e ,2)e --.故选：D 二、多选题133 ） A ．tan 25tan 35325tan 35+︒︒︒︒ B ．()2sin35cos25sin55cos65︒︒+︒︒C ．2πtan 6π1tan6-D ．1tan151tan15+︒-︒【答案】ABD【分析】利用两角和的正切公式化简AD ，利用诱导公式和两角和的正弦公式化简B ，利用二倍角公式化简C ，即得答案． 【详解】对于A ：tan 25tan 35tan(2535)1tan 25tan 35︒+︒︒+︒=-︒︒tan 25tan 35tan 60(1tan 25tan 35)25tan 35∴︒+︒=︒-︒︒=︒︒tan 25tan 3525tan 35∴︒+︒︒︒对于B ：原式＝ ()2sin35cos25cos35sin 252sin(3525)2sin 60︒︒+︒︒=︒+︒=︒=对于C：原式＝2π2tan116tan π2231tan 6π⋅==- 对于D：原式＝tan 45tan15tan(4515)tan 601tan 45tan15︒+︒=︒+︒=︒-︒⋅︒故选：ABD【点睛】本题考查了两角和的正弦公式，正切公式，以及二倍角公式的应用，属于中档题．14．已知函数()2sin 2x x f x =+ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．曲线()f x 关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．曲线()f x 关于6x π=对称【答案】ABC【分析】化简得到()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，计算函数周期得到A 正确，将BCD 选项带入函数判断函数单调性和对称性得到答案.【详解】())2sin 2sin 21cos2sin 2x x x x f x x x =++π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，A 正确； ,03x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π2,333x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，函数单调递增，B 正确；π2ππ2sin 0333f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 关于,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，C 正确；πππ2sin 2633f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错误. 故选：ABC.15．下列结论正确的是（ ）A ．函数()121x f x a +=-（0a >，1a ≠）的图象过定点（1-，1）B ．0m <是方程20x m -+=有两个实数根的充分不必要条件C ．lg y x =的反函数是()y f x =，则()10f =D ．已知()()212log 3f x x ax a =-+在区间（2，+∞）上为减函数，则实数a 的取值范围是[]4,4-【答案】AD【分析】根据01a =或通过图像平移判断选项A 正确；利用m 范围的包含关系可判断B 错误；由同底的对数函数与指数函数互为反函数，然后求值可知C 错误；根据复合函数同增异减结合定义域可知D 正确.【详解】对于函数1()21x f x a +=-，令1x =-，可得0(1)211f a -=-=， 故函数()f x 的图象过定，点(1,1)-，故A 正确；根据方程||2x m -=-有两个实数根，可得01m <-<，即10m -<<， 故0m <是方程||20x m -+=有两个实数根的必要不充分条件，故B 错误； ∵lg y x =的反函数是()10x y f x ==，∴1(1)0f =，故C 错误； 若()21()log32f x x ax a =-+在区间(2,)+∞上为减函数， 则23t x ax a =-+在区间(2,)+∞上大于零，且22a≤， 即4230a a -+≥且4a ≤，求得44a -≤≤，故D 正确， 故选：AD. 三、填空题16．命题“0x ∀>，210x +≥”的否定是___________. 【答案】0,210x x ∃>+<【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】因为命题“0x ∀>，210x +≥”是全称量词命题， 所以其否定是存在量词命题，即为0,210x x ∃>+<， 故答案为：0,210x x ∃>+<17．若lg 2a =，103b =，则5log 24=___________．（用a 、b 表示） 【答案】31a ba+- 【分析】先转化指数式103b =为对数式，再利用换底公式即可求解. 【详解】因为103b =，所以lg3b =因此5lg 24lg8lg 33lg 2lg 3log 24lg 51lg 21lg 231a ba++====+---. 故答案为：31a ba+- 18．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定∶100mL 血液中酒精含量达到20~79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到1mg/mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过_____小时才能驾驶．（注∶不足1小时，按1小时计算，如计算结果为7.3，就答8小时）参考数据∶取lg0.2=-0.699，lg0.3=-0.523，lg0.6=-0.229，lg0.7=-0.155 【答案】5【分析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型0.70.2x < 求解.【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg /mL , x 小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg /mL 的，由题意知100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车， 所以()3002%1.x-<，0.70.2x <两边取对数得，lg 0.7lg 0.2x < ，x lg 0.24.5lg 0.7>≈ ， 所以至少经过5个小时才能驾驶汽车. 故答案为：5 19．设102m <<，若2212k m m +≥-恒成立，则k 的最大值为___________.【答案】6+【分析】由基本不等式求得不等式左边的最小值即可得参数范围． 【详解】因为102m <<， 所以222112112223*********m m m m m m m m m m m m⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎡⎤-⎛⎫+=+=+-+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭236⎛⎫⎪≥=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当1212mmm m -=-，即222m -=时等号成立． 所以642k ≤+． 故答案为：642+．20．()()2πcos 10,0,02f x A x A ωφωφ⎛⎫=++>><< ⎪⎝⎭的最大值是3，()f x 的图像与y 轴的交点坐标为()0,2，其相邻两个对称中心的距离为2，则()()()122015f f f +++=______．【答案】4030【解析】【详解】试题分析：，最大值，解得，周期，因此，得，，由于过点，，即，，，在一个周期内，(1)(2)(2015)f f f +++8503(21)(20)(21)=4030=⨯+-+-++.【解析】1、三角函数的化简；2、函数的周期性的应用. 四、解答题21．已知()()()()3sin cos tan 222tan sin f ππααπαααππα⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--+. (1)若α是第三象限角，1sin 5α=-，求()f α的值；(2)若343πα=-，求()f α的值. 【答案】26(2)12【分析】（1）由三角函数的诱导公式化简得到()cos f αα=-，结合三角函数的基本关系式，求得sin ,cos αα的值，即可求解.（2）将343πα=-代入()f x 的解析式，结合诱导公式，即可求解. (1) 解：由三角函数的诱导公式，可得cos (sin )(tan )()cos tan (sin )f ααααααα-⋅-⋅-==--⋅-， 因为α是第三象限角，且1sin 5α=-，所以cos α=，所以()cos f αα=-=. (2) 解：将343πα=-代入得3434cos cos 11333f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1cos cos 332πππ⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭. 22．已知全集U =R ，集合{}15A x x =<<，集合(){}11,B x a x a a R =-≤≤+∈.(1)当5a =时，求()U A B ；(2)若集合207x C x x -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，当B C =∅时，求实数a 的取值范围. 【答案】(1){1x x ≤或4}x ≥(2)[3,6]【分析】（1）先求出集合B 和集合A 的补集，再求()U A B ，（2）由已知可得集合{7C x x =>或2}x <，则由题意可得12,17,11,a a a a -≥⎧⎪+≤⎨⎪-<+⎩从而可求出实数a 的取值范围(1)当5a =时，集合{}46B x x =≤≤， 而{5U A x x =≥或1}x ≤，所以(){1U A B x x ⋃=≤或4}x ≥.(2)由已知可得集合{7C x x =>或2}x <，由题意可得B ≠∅，所以要满足B C =∅，只需12,17,11,a a a a -≥⎧⎪+≤⎨⎪-<+⎩解得36a ≤≤，综上实数a 的取值范围为[3,6].23．观察以下各等式：2020003sin 30cos 60sin 30cos604++=，2020003sin 20cos 50sin 20cos504++= 2020003sin 15cos 45sin15cos 454++=， 分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．【答案】【详解】本试题主要是考查了合情推理的运用，根据已知的关系式观察发现了角的关系，然后将特殊问题一般化 思想，是一种归纳推理的运用．并运用二倍角公式加以证明猜想的正确性．证明：220002sin cos (30)sin cos(30)1cos 21cos(602)31sin cos sin 222211331cos 231cos 2cos 2sin 2sin 2244444αααααααααααααα++++-++=++--=-+-+-= 24．设矩形ABCD （AB >AD ）的周长为24，把△ABC 沿AC 向△ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，设AB=x ，求△ADP 的最大面积及相应x 的值.【答案】62x =ADP △取最大面积为108722-【分析】由AB x =可得12AD x =-，设PC a =，则,DP x a AP a =-=，则在直角ADP △中由勾股定理可得7212a x x =+-，则7212DP x =-，所以1172(12)1222ADP S AD DP x x ⎛⎫=⨯⨯=⨯-⨯- ⎪⎝⎭，化简利用基本不等式可求得答案 【详解】由题意可知，矩形()ABCD AB CD >的周长为24，AB x =，即12AD x =-，设PC a =，则,DP x a AP a =-=，而ADP △为直角三角形，∴222(12)()x x a a -+-=，∴7212a x x=+-，∴7212DP x =-， ∴1172(12)1222ADP S AD DP x x ⎛⎫=⨯⨯=⨯-⨯- ⎪⎝⎭43210861082108x x =---=-.当且仅当4326x x=，即x =12AD =-AB AD >，即x =ADP △取最大面积为108-25．已知函数()221(0)g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值1.（1）求a ､b 的值；（2）设()().g x f x x = ①若[]1,1x ∈-时，()220x x f k -⋅，求实数k 的取值范围；②若方程()2213021x x f k k -+⋅-=-∣∣有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）1,0a b ==；（2）①(],0-∞；② ()0,+∞.【分析】（1）由二次函数的单调性求得最大值和最小值，从而可求得,a b ； （2）① 不等式分离参数得2121(2)2x x k ≤+-，可换元设12xt =，然后由二次函数性质求得最小值，进而得k 的范围；② 化简方程，换元设21x t =-和，转化关于t 的二次方程2(23)(12)0(0)t k t k t -+++=≠，由根的分布知识求解．【详解】（1）2()21g x ax ax b =-++，对称轴是1x =，又0a >，所以()g x 在[]2,3上单调递增，则(2)11(3)314g b g a b =+=⎧⎨=++=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩． （2）由（1）2()21g x x x =-+，()1()2g x f x x x x==+-， ①(2)20x x f k -⋅≥即12222x x x k +-≥⋅，2121(2)2x x k ≤+-， 令11,222x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，记2()21F t t t =-+，min ()(1)0F t F ∴==，0k ∴≤， 即k 的取值范围是(],0-∞.② 由2(21)(3)021x x f k -+-=-得1221(23)021x x k k +-+-+=-，即221(23)21(12)0x x k k --+-++=，且210x -≠，令21x t =-，则方程化为2(23)(12)0(0)t k t k t -+++=≠，又方程2(21)(3)021x x f k -+-=-有三个不同的实数解，由21x t =-的图象可知，2(23)(12)0(0)t k t k t -+++=≠有两个根12,t t 且1201t t <<<或1201,1t t <<=， 记2()(23)(12)t t k t k ϕ=-+++，则(0)120(1)0k k ϕϕ=+>⎧⎨=-<⎩或(0)120(1)023012k k k ϕϕ⎧⎪=+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩，解得0k >． 故k 的取值范围是(0,)+∞．。
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2014年必修一期末试卷一、选择题。
（共10小题，每题4分） 1、设集合A={x ∈Q|x>-1}，则（ ）A 、A ∅∉B 、2A ∉C 、2A ∈D 、{}2 ⊆A2、设A={a ，b}，集合B={a+1，5}，若A∩B={2}，则A∪B=（ ）A 、{1，2}B 、{1，5}C 、{2，5}D 、{1，2，5} 3、函数21)(--=x x x f 的定义域为（ ） A 、[1，2)∪(2，+∞） B 、(1，+∞） C 、[1，2) D 、[1，+∞)4、设集合M={x|-2≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）5、三个数70。
3，0.37，㏑0.3，的大小顺序是（ ）A 、 70。
3，0.37，㏑0.3,B 、70。
3，，㏑0.3, 0.37C 、 0.37, , 70。
3，，㏑0.3,D 、㏑0.3, 70。
3，0.376、若函数f(x)=x 3+x 2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260 f(1.438)=0.165f(1.4065)=-0.052那么方程x 3+x 2-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（ ） A 、1.2 B 、1.3 C 、1.4 D 、1.57、函数2,02,0x x x y x -⎧⎪⎨⎪⎩≥=< 的图像为（ ）8、设()log a f x x =（a>0，a ≠1），对于任意的正实数x ，y ，都有（ ）A 、f(xy)=f(x)f(y)B 、f(xy)=f(x)+f(y)C 、f(x+y)=f(x)f(y)D 、f(x+y)=f(x)+f(y)9、函数y=ax 2+bx+3在（-∞，-1]上是增函数，在[-1，+∞)上是减函数，则（ ） A 、b>0且a<0 B 、b=2a<0 C 、b=2a>0 D 、a ，b 的符号不定 10、某企业近几年的年产值如图，则年增长率最高的是 （ ）（年增长率=年增长值/年产值）A 、97年B 、98年C 、99年D 、00年二、填空题（共4题，每题4分）11、f(x)的图像如下图，则f(x)的值域为 ；12、计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低1/3，现在价格为8100元的计算机，则9年后价格可降为 ；13、若f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)=x,则当x<0时，f(x)= ；14、老师给出一个函数，请三位同学各说出了这个函数的一条性质： ①此函数为偶函数； ②定义域为{|0}x R x ∈≠； ③在(0,)+∞上为增函数.老师评价说其中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正确。
请你写出一个(或几个)这样的函数三、解答题（本大题共6小题，满分44分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤。
）15、（本题6分）设全集为R ，{}73|<≤=x x A ，{}102|<<=x x B ，求()R C AB 及()R C A B16、（每题3分，共6分）不用计算器求下列各式的值 ⑴ ()()1223021329.63 1.548--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭---+⑵7log 23log lg 25lg 47+++17、（本题8分）设22 (1)() (12)2 (2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，(1)在下列直角坐标系中画出()f x 的图象；(2)若()3g t =，求t 值；(3)用单调性定义证明在[)2,+∞时单调递增。
18、（本题8分）某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后各月的产量，以这三个月产品数为依据，用一个函数模拟此产品的月产量y （万件）与月份数x 的关系，模拟函数可以选取二次函数y=px 2+qx+r 或函数y=ab x+c （其中p 、q 、r 、a 、b 、c 均为常数），已知4月份该新产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？求出此函数。
19、（本题8分）已知函数f(x)=㏒a 12-x, ,0(>a 且）1≠a , （1）求f(x)函数的定义域。
（2）求使f(x)>0的x 的取值范围。
20、（本题8分）已知函数f(x)= 2x（1）写出函数f(x)的反函数()g x 及定义域；（2）借助计算器用二分法求()g x =4-x 的近似解（精确度0.1）一、 填空题（共4题，每题4分）11、[-4，3] 12、300 13、-x 14、2x y = 或0,10,1{<+≥-=x x x x y 或xy 2-=二、 解答题（共44分） 15、 解：}102|{)(≥≤=⋃x x x B A C R 或}10732|{)(<≤<<=⋂x x x BC R 或16、解（1）原式＝23221)23()827(1)49(--+-- =2323212)23()23(1)23(-⨯-⨯+-- =22)23()23(123--+--=21（2）原式＝2)425lg(33log 433+⨯+＝210lg 3log 2413++-＝4152241=++- 17、略 18、 解：若y ＝c bx ax x f ++=2)( 则由题设⎪⎩⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++==++==++=7.035.005.03.139)3(2.124)2(1)1(r q p r q p f r q p f r q p f)(3.17.0435.0405.0)4(2万件=+⨯+⨯-=∴f若c ab x g y x +==)( 则⎪⎩⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+==+==+=4.15.08.03.1)3(2.1)2(1)1(32c b a c ab g c ab g c ab g )(35.14.15.08.0)4(4万件=+⨯-=∴g∴选用函数c ab y x +=作为模拟函数较好19、解：（1）12-x >0且2x -1），这个函数的定义域是（∞+⇒>⇒≥000x （2）㏒a 12-x >0,当a>1时，12-x >1;1>⇒x 当0<a<1时，12-x <1且x>010<<⇒x一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的4个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知集合M={0,2,4,6},集合Q={0,1,3,5},则M∪Q 等于( ). A.{0} B.{0,1,2,3,4,5,6} C.{1,2,3,4,5,6} D.{0,3,4,5,6} 答案:B2(2011·北京东城期末)设全集U=R,集合A={x|x≥1},B={x|0≤x<5},则集合(∁U A)∩B=( ).A.{x|0<x<1}B.{x|0≤x<1}C.{x|0<x≤1}D.{x|0≤x≤1}解析:∁U A={x|x<1},则(∁U A)∩B={x|0≤x<1}. 答案:B3(2010·湖北卷)已知函数f(x)=则f=( ). A.4 B. C.-4D.-解析:f=log 3=-2,f=f(-2)=2-2=. 答案:B4设f:x→x 2是集合A 到集合B 的映射,如果B={1,2},则A∩B 一定是( ).A.1B.⌀或{1}C.{1}D.⌀解析:由题意,当y=1时,即x2=1,则x=±1;当y=2时,即x2=2,则x=±,则±1中至少有一个属于集合A,±中至少有一个属于集合A,则A∩B=⌀或{1}.答案:B5已知log23=a,log25=b,则log2等于( ).A.a2-bB.2a-bC. D.解析:log2=log29-log25=2log23-log25=2a-b.答案:B6已知方程lg x=2-x的解为x0,则下列说法正确的是( ).A.x0∈(0,1)B.x0∈(1,2)C.x0∈(2,3)D.x0∈[0,1]解析:设函数f(x)=lg x+x-2,则f(1)=lg 1+1-2=-1<0,f(2)=lg 2+2-2=lg 2>lg 1=0,则f(1)f(2)<0,则方程lg x=2-x的解为x0∈(1,2).答案:B7已知集合M={x|x<1},N={x|2x>1},则M∩N等于( ).A.⌀B.{x|x<0}C.{x|x<1}D.{x|0<x<1}解析:2x>1⇔2x>20,由于函数y=2x是R上的增函数,所以x>0.所以N={x|x>0}.所以M∩N={x|0<x<1}.答案:D8(2010·山东卷)设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)等于( ).A.-3B.-1C.1D.3解析:因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3.答案:A9下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(-∞,0),当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)”的函数是( ).A.f(x)=-x+1B.f(x)=x2-1C.f(x)=2xD.f(x)=ln(-x)解析:满足“对任意x1,x2∈(-∞,0),当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)”的函数在(-∞,0)上是增函数,函数f(x)=-x+1、f(x)=x2-1、f(x)=ln(-x)在(-∞,0)上均是减函数,函数f(x)=2x在(-∞,0)上是增函数.答案:C10已知定义在R上的函数f(x)=m+为奇函数,则m的值是( ).A.0B.-C.D.2解析:f(-x)=m+=m+,-f(x)=-m-.由于函数f(x)是奇函数,所以对任意x∈R,都有m+=-m-, 即2m++=0,所以2m+1=0,即m=-.答案:B11已知函数f(x)=(x2-3x+2)ln x+2 009x-2 010,则方程f(x)=0在下面哪个区间内必有实根( ).A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(2,4)解析:f(1)=-1<0,f(2)=2 008>0,f(3)=2ln 3+4 017>0,f(4)=6ln 4+6 022>0,所以f(1)f(2)<0,则方程f(x)=0在区间(1,2)内必有实根.答案:B12若函数f(x)=a-x(a>0,且a≠1)是定义域为R的增函数,则函数f(x)=log a(x+1)的图象大致是( ).解析:因为f(x)=(a>0,且a≠1),则>1,所以0<a<1.所以函数f(x)=log a(x+1)是减函数,其图象是下降的,排除选项A,C;又当log a(x+1)=0时,x=0,则函数f(x)=log a(x+1)的图象过原点(0,0),排除选项B.答案:D第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13已知函数f(x)的图象是连续不断的,x,f(x)的对应值如下表:x…012345…f(x)…-6-23102140…用二分法求函数f(x)的唯一零点的近似解时,初始区间最好选为.解析:由于f(0)f(2)<0,f(0)f(3)<0,f(1)f(2)<0,f(1)f(3)<0,…,则f(x)的零点属于区间(0,2)或(0,3)或(1,2)或(1,3)或….但是区间(1,2)较小,则选区间(1,2).答案:(1,2)14已知a=,函数f(x)=a x,若实数m,n满足f(m)>f(n),则m,n的大小关系为.解析:由于a=∈(0,1),则函数f(x)=a x在R上是减函数.由f(m)>f(n),得m<n.答案:m<n15幂函数y=f(x)的图象过点,则f(x)的解析式是y= .解析:设y=xα,则=2α,则2α=,则α=-,则y=.答案:16已知函数f(x)=且f(a)<,则实数a的取值范围是.(用区间的形式表示)解析:当a>0时,log2a<,即log2a<log2,又函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,则有0<a<;当a<0时,2a<,即2a<2-1,又函数y=2x在R上是增函数,则有a<-1.综上可得实数a的取值范围是0<a<或a<-1,即(-∞,-1)∪(0,).答案:(-∞,-1)∪(0,)三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)证明函数f(x)=在[-2,+∞)上是增函数.证明:任取x1,x2∈[-2,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-==,由于x1<x2,则x1-x2<0,又x1≥-2,x2>-2,则x1+2≥0,x2+2>0.则+>0,所以f(x1)<f(x2),故函数f(x)=在[-2,+∞)上是增函数.18(12分)设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},其中x∈R,如果A∩B=B,求实数a的取值范围.解:A={-4,0}.∵A∩B=B,∴B⊆A.关于x的一元二次方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根的判别式Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8,当Δ=8a+8<0,即a<-1时,B=⌀,符合B⊆A;当Δ=8a+8=0,即a=-1时,B={0},符合B⊆A;当Δ=8a+8>0,即a>-1时,B中有两个元素,而B⊆A={-4,0},∴B={-4,0}.由根与系数的关系,得解得a=1.∴a=1或a≤-1.19(12分)某西部山区的某种特产由于运输的原因,长期只能在当地销售,当地政府对该项特产的销售投资收益为:每投入x万元,可获得利润P=-(x-40)2+100万元.当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售,其规划方案为:在规划前后对该项目每年都投入60万元的销售投资,在未来10年的前5年中,每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路,5年修成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的5年中,该特产既在本地销售,也在外地销售,在外地销售的投资收益为:每投入x万元,可获利润Q=-(60-x)2+(60-x)万元.问从10年的累积利润看,该规划方案是否可行?解:在实施规划前,由题设P=-(x-40)2+100(万元),知每年只需投入40万元,即可获得最大利润为100万元.则10年的总利润为W1=100×10=1 000(万元).实施规划后的前5年中,由题设P=-(x-40)2+100(万元),知每年投入30万元时,有最大利润P max=(万元).前5年的利润和为×5=(万元).设在公路通车的后5年中,每年用x万元投资于本地的销售,而用剩下的(60-x)万元于外地的销售投资,则其总利润为W2=×5+×5=-5(x-30)2+4 950.当x=30万元时,(W2)max=4 950(万元).从而10年的总利润为万元.∵+4 950>1 000,故该规划方案有极大的实施价值.20(12分)化简:(1)-(π-1)0-+;(2)lg 2lg 50+lg 25-lg 5lg 20.解:(1)原式=-1-[+(4-3=-1-+16=16.(2)原式=lg 2(1+lg 5)+2lg 5-lg 5(1+lg 2)=lg 2+lg 5=1.21(12分)求函数f(x)=x2-5的负零点(精确度为0.1).解:由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0,故取区间(-3,-2)作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如下:区间中点中点函数值(-3,-2)-2.5 1.25(-2.5,-2)-2.250.062 5(-2.25,-2)-2.125-0.484 375(-2.25,-2.125)-2.187 5-0.214 843 75∵1-2.187 5+2.251=0.062 5<0.1,∴f(x)的负零点为-2.187 5.22(14分)(2010·辽宁锦州期末)某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润与投资单位是万元)(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式;(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?(精确到1万元)图1图2解:(1)设投资为x万元,A产品的利润为f(x)万元,B产品的利润为g(x)万元,由题设f(x)=k1x,g(x)=k2,由图知f(1)=,∴k1=.又g(4)=,∴k2=,∴f(x)=x,x≥0,g(x)=,x≥0.(2)设A产品投入x万元,则B产品投入(10-x)万元,此时企业的总利润为y万元,则y=f(x)+g(10-x)=+,0≤x≤10,令=t,则x=10-t2,则y=+t=-+,0≤t≤,当t=时,y max=≈4,此时x=10-=3.75.即当A产品投入3.75万元,B产品投入6.25万元时,企业获得最大利润约为4万元.。