2019-2020学年广西桂林市高二(上)期末数学试卷(文科)

2019-2020学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的．1．下列所给的点中，在不等式10x y --<表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0)B ．(0,3)-C ．(3,1)D ．(2,0)2．等差数列{}n a 中，15a =，37a =，则{}n a 的公差为( ) A ．0B ．1C ．2D ．33．抛物线24y x =的焦点坐标是( ) A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(2,0)D ．(0,2)4．命题“若1x <，则22x <”的逆否命题是( ) A ．“若1x <，则22x >” B ．“若1x ，则22x ” C ．“若22x ，则1x ”D ．“若22x <，则1x <”5．若x y >，a R ∈，则下列不等式正确的是( ) A ．x a y a +>+B ．a x a y ->-C ．ax ay >D ．a ax y> 6．下列命题为真命题的是( )A ．0x R ∃∈，使20x < B ．x R ∀∈，有20xC ．x R ∀∈，有20x >D ．x R ∀∈，有20x <7．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a =，7b =，1cos 2B =-，则(c = ) A ．4B ．5C ．8D ．108．“2x >”是“1x >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．若x ，y 满足约束条件0010x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩，则2z x y =-的最大值为( )A ．2-B ．1-C ．0D ．110．记n S 是等比数列{}n a 的前n 项和已知11a =，334S =，则4(S = ) A ．58B ．158C ．178 D ．172411．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 到一条渐近线的距离大于实轴长，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2)B ．(1,5)C ．(2,)+∞D ．(5,)+∞12．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，不过F 的直线与C 的交点为A ，B ，与C 的准线的交点为D ．若||2BF =，BDF ∆与ADF ∆的面积之比为45，则||(AF = ) A ．52B ．52C ．3D ．32二、填空题：本大题共4小题．13．若三个正数1，b ，16成等比数列，则b = ． 14．若0x >，则82x x+的最小值为 ． 15．在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD = ，cos ABD ∠= ．16．如图，1F ，2F 为椭圆22143x y +=的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆交于其中一点P ，与y 轴交于M 点，且22F P PM =．直线1F P 与12F MF ∠的外角平分线交于Q 点，则MPQ ∆的周长为 ．三、解答题：本大题共6小题，解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤． 17．设命题:(3)(2)0p m m +-<，命题q ：关于x 的方程244(2)10x m x +-+=无实根． （1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围．18．某工厂要建造一个长方体无益贮水池，其容积为31200m ，深3m ．如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为150元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？19．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知34a =，43a S =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．20．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 0a C c A +=． （1）求A ；（2）若a =c =，求ABC ∆的面积． 21．已知数列{}n a 的前n 项和122n n S n +=--． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：1n T <．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为1(F ．（1）求C 的方程；（2）设C 的右顶点为A ，不过C 左、右顶点的直线:l y kx m =+与C 相交于M ，N 两点，且AM AN ⊥．请问：直线l 是否过定点？如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由．2019-2020学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的．1．下列所给的点中，在不等式10x y --<表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0)B ．(0,3)-C ．(3,1)D ．(2,0)【解答】解：当0x =，0y =时，00110--=-<， 即点(0,0)A 位于不等式对应的平面区域内， 故选：A ．2．等差数列{}n a 中，15a =，37a =，则{}n a 的公差为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：设{}n a 的公差为d ， 由527d +=，解得1d =． 故选：B ．3．抛物线24y x =的焦点坐标是( ) A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(2,0)D ．(0,2)【解答】解：由抛物线22y px =的焦点坐标为(2p，0)，即有抛物线24y x =的24p =，即2p =， 则焦点坐标为(1,0)， 故选：A ．4．命题“若1x <，则22x <”的逆否命题是( ) A ．“若1x <，则22x >” B ．“若1x ，则22x ” C ．“若22x ，则1x ”D ．“若22x <，则1x <”【解答】解：命题“若1x <，则22x <”的逆否命题是“若22x ，则1x ”； 故选：C ．5．若x y >，a R ∈，则下列不等式正确的是( )A ．x a y a +>+B ．a x a y ->-C ．ax ay >D ．a a x y> 【解答】解：x y >，a R ∈，x a y a ∴+>+，故A 正确； 根据x y >，a R ∈，取1x =，1y =-，0a =可排除BCD ． 故选：A ．6．下列命题为真命题的是( )A ．0x R ∃∈，使20x < B ．x R ∀∈，有20xC ．x R ∀∈，有20x >D ．x R ∀∈，有20x <【解答】解：因为x R ∈，所以20x ，所以x R ∀∈，有20x ， 故选：B ．7．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a =，7b =，1cos 2B =-，则(c = ) A ．4B ．5C ．8D ．10【解答】解：3a =，7b =，1cos 2B =-．由余弦定理：2222cos b a c ca B =+-．即214996()2c c =+-⨯-．解得：5c =． 故选：B ．8．“2x >”是“1x >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由1x >，我们不一定能得出2x >，比如 1.5x =，所以1x >不是2x >的充分条件；21x >>，∴由2x >，能得出1x >，1x ∴>是2x >的必要条件 2x ∴>是1x >的充分不必要条件 故选：A ．9．若x ，y 满足约束条件0010x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩，则2z x y =-的最大值为( )A ．2-B ．1-C ．0D ．1【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，由2z x y =-得1122y x z =-， 平移直线1122y x z =-， 则当直线1122y x z =-经过点(1,0)B 时，直线的截距最小，此时z 最大， 此时1z =， 故选：D ．10．记n S 是等比数列{}n a 的前n 项和已知11a =，334S =，则4(S = ) A ．58B ．158C ．178D ．1724【解答】解：n S 是等比数列{}n a 的前n 项和已知11a =，334S =， ∴331314q S q -==-，解得12q =-，4411()52181()2S --∴==--． 故选：A ．11．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 到一条渐近线的距离大于实轴长，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．2)B ．5)C ．(2,)+∞D ．(5,)+∞【解答】解：双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(,0)c ，一条渐近线方程为0bx ay +=，∴双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>b =，焦点F 到它的一条渐近线距离x 满足a x ，2a b ∴，22224a b c a ∴<=-，ce a=． 故选：D ．12．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，不过F 的直线与C 的交点为A ，B ，与C 的准线的交点为D ．若||2BF =，BDF ∆与ADF ∆的面积之比为45，则||(AF = )A ．52B C D 【解答】解：抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，不过F 的直线与C 的交点为A ，B ，与C 的准线的交点为D ．若||2BF =，BDF ∆与ADF ∆的面积之比为45， 可得：45BD AB =， 即45BF AF =， 所以52AF =． 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题．13．若三个正数1，b ，16成等比数列，则b = 4 ． 【解答】解：三个正数1，b ，16成等比数列，4b ∴==．故答案为：4． 14．若0x >，则82x x+的最小值为 8 ．【解答】解：根据题意，若0x >，则88222248x x x x+⨯⨯=⨯=， 当且仅当2x =时，等号成立， 即82x x+的最小值为8； 故答案为：815．在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =1225，cos ABD ∠= ． 【解答】解：在直角三角形ABC 中，4AB =，3BC =，5AC =，4sin 5C =， 在BCD ∆中，可得3sin 22BDC=，可得1225BD =；135CBD C ∠=︒-，224372sin sin(135)(cos sin )()225510CBD C C C ∠=︒-=+=⨯+=， 即有72cos cos(90)sin 10ABD CBD CBD ∠=︒-∠=∠=， 故答案为：1225，7210，16．如图，1F ，2F 为椭圆22143x y +=的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆交于其中一点P ，与y 轴交于M 点，且22F P PM =．直线1F P 与12F MF ∠的外角平分线交于Q 点，则MPQ ∆的周长为 3 ．【解答】解：易得2a =，1c =，△12PF F 的周长为226a c +=，由于MQ 为12F MF ∠的外角平分线，且y 轴为12F MF ∠的角平分线，所以，22122119022OMQ OMF QMF F MF yMF ∠=∠+∠=∠+∠=︒，所以，MQ y ⊥轴，所以，//MQ x 轴，易得MPQ ∆∽△21F PF ，设MPQ ∆的周长为m ，则2||16||2m MP F P ==， 所以，3m =．因此，MPQ ∆的周长为3． 故答案为：3．三、解答题：本大题共6小题，解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤． 17．设命题:(3)(2)0p m m +-<，命题q ：关于x 的方程244(2)10x m x +-+=无实根． （1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）当p 为真命题时，32m -<<；（2）当q 为真命题时，由△216(2)160m =--<，可得：13m <<，p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，p ∴，q 两命题一真一假，所以3213m m m -⎧⎨<<⎩或或3231m m m -<<⎧⎨⎩或，解得23m <或31m -<，m ∴的取值范围是(3-，1][2，3)．18．某工厂要建造一个长方体无益贮水池，其容积为31200m ，深3m ．如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为150元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？【解答】解：设底面的长为xm ，宽为ym ，水池总造价为z 元， 根据题意，有200150(2323)200900()z xy x y xy x y =+⨯+⨯=++， 容积为32001m ，可得31200xy =， 因此400xy =，由基本不等式及不等式性质，可得80000900()80000900z x y =+++⨯即80000900116000z +⨯， 当且仅当20x y ==时，等号成立．所以，将水池的底面设计成边长为20m 的正方形时，总造价最低，最低总造价是116000元． 19．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知34a =，43a S =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．【解答】解：（1）由题意，设数列{}n a 的公差为d ，则 11124333a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得102a d =⎧⎨=⎩． 2(1)n a n ∴=-，*n N ∈；（2）由（1）知，12(1)2n n n n b a n +==-，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则12n n T b b b =++⋯+， 即2310212(1)2n n T n +=⨯+⨯+⋯+-⨯①， 34220212(1)2n n T n +=⨯+⨯+⋯+-⨯②，①-②，得3412222(1)2n n n T n ++-=++⋯+--⨯，∴31222(12)(1)2(2)2812n n n n T n n -++⨯--=--⨯=-⨯--，∴2(2)28n n T n +=-⨯+．20．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 0a C c A +=． （1）求A ；（2）若a =c =，求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）由正弦定理及已知得sin sin sin cos 0A C C A +=，0C π<<， sin 0C ∴≠， sin cos 0A A ∴+=， tan 1A ∴=-，0A π<<， ∴34A π=； （2）根据已知及余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得221522(b b b =+-⨯， 即23b =，解出b =c = ∴13sin 22ABC S bc A ∆==． 21．已知数列{}n a 的前n 项和122n n S n +=--．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：1n T <． 【解答】（1）解：由题意，当1n =时，2112121a S ==--=， 当2n 时，1122[2(1)2]21n n n n n n a S S n n +-=-=------=-， 当1n =时，也符合上式，∴21n n a =-，*n N ∈．（2）证明：由（1）知，1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----， ∴2231111111()()()212121212121n n n T +=-+-+⋯+------- 111121n +=-<-． 22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为1(F ． （1）求C 的方程；（2）设C 的右顶点为A ，不过C 左、右顶点的直线:l y kx m =+与C 相交于M ，N 两点，且AM AN ⊥．请问：直线l 是否过定点？如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由．【解答】解：（1）由题意，2222a b c a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得：2a =，1b =，所以椭圆的方程为：2214x y +=； （2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立直线与椭圆的方程：2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理可得：222(14)84(1)0k x kmx m +++-= △22226416(14)(1)0m k k m =-+->， 化简得2214k m +>①，122814mk x x k -+=+，21224(1)14m x x k -=+， 又AM AN ⊥，(2,0)A，2222a b c a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，1AM AN k k ∴=-， ∴1212122y y x x =---， 1212122()40y y x x x x ∴+-++=， 121212()()2()40kx m kx m x x x x ∴+++-++=， 即221212(1)(2)()40k x x km x x m ++-+++=，∴222224(1)8(1)(2)401414m mk k km m k k --++-++=++， 化简为22516120m km k ++=，解得165m k =-，22m k -且满足①， 当2m k =-时，:2(2)l y kx k k x =-=-，直线l 过点(2,0)A ，舍去；当65m k =-时，66:()55l y kx k k x =-=-，直线l 过点6(,0)5． 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为6(,0)5．。