第12讲 三角函数性质求参数范围
三角函数的基本性质
三角函数的基本性质三角函数是数学中非常重要的一类函数，它们在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
要深入理解三角函数，掌握它们的基本性质是关键。
首先，我们来认识一下三角函数家族中的主要成员：正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）。
正弦函数 sin(x) 的定义是：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。
其定义域为整个实数集，值域在-1, 1之间。
正弦函数是一个周期函数，其最小正周期是2π。
这意味着每隔2π 的距离，函数的图像就会重复出现。
正弦函数的图像是一个波浪形的曲线，它在 x ＝ 0 处的值为 0，在 x ＝π/2 处达到最大值 1，在 x ＝3π/2 处达到最小值－1。
余弦函数 cos(x) 呢，同样在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。
余弦函数的定义域也是整个实数集，值域同样在-1, 1之间。
它也是周期函数，最小正周期同样是2π。
余弦函数的图像与正弦函数的形状相似，但在 x ＝ 0 处的值为 1，在 x ＝π 处达到最小值－1，在 x ＝2π 处又回到 1。
正切函数 tan(x) 则是正弦函数与余弦函数的比值，即 tan(x) ＝ sin(x) ／ cos(x)。
需要注意的是，余弦函数不能为 0，所以正切函数的定义域是x ≠ π/2 ＋kπ（k 为整数）。
正切函数的值域是整个实数集。
它的周期是π，图像是一些不连续的曲线。
接下来，我们看看三角函数的奇偶性。
正弦函数是奇函数，这意味着 sin(x) ＝ sin(x)。
简单来说，就是函数的图像关于原点对称。
而余弦函数是偶函数，cos(x) ＝ cos(x)，其图像关于 y 轴对称。
再说说三角函数的单调性。
正弦函数在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ（k 为整数）上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ上单调递减。
余弦函数在2kπ, π ＋2kπ上单调递减，在π ＋2kπ, 2π ＋2kπ上单调递增。
三角函数的解析式与值域
三角函数的解析式与值域三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
本文将介绍三角函数的解析式以及它们的值域。
一、正弦函数sin(x)正弦函数是最基本的三角函数之一，它的解析式为sin(x)，其中x 为自变量。
正弦函数的值域是[-1, 1]，即sin(x)的取值范围在-1到1之间。
二、余弦函数cos(x)余弦函数是正弦函数的补函数，它的解析式为cos(x)，其中x为自变量。
余弦函数的值域也是[-1, 1]，与正弦函数的值域相同。
三、正切函数tan(x)正切函数的解析式为tan(x)，其中x为自变量。
然而，正切函数的值域却是无界的，也就是说正切函数的取值可以是任意的实数。
四、其他三角函数除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还存在其他的三角函数，如反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
这些函数的解析式分别为asin(x)，acos(x)和atan(x)，其中x为自变量。
对于反正弦函数和反余弦函数，它们的值域是[-π/2, π/2]，即函数值在这个区间内取值。
反正切函数的值域是(-π/2, π/2)，也就是说函数值在开区间(-π/2, π/2)内取值。
五、三角函数的周期性值得注意的是，正弦函数和余弦函数都是周期函数，周期为2π。
也就是说，当x增加2π或减少2π时，正弦函数和余弦函数的取值会重复。
正切函数的周期为π，当x增加π或减少π时，正切函数的取值会重复。
六、三角函数的图像三角函数的图像通常用单位圆来表示。
单位圆是以原点为中心、半径为1的圆。
正弦函数的图像在单位圆上表示为点的纵坐标，而余弦函数的图像在单位圆上表示为点的横坐标。
七、三角函数的应用三角函数在数学和物理等领域有广泛的应用。
它们可以用于描述周期性现象，如电流的变化和音波的波动等。
另外，三角函数还被应用于三角恒等式的证明和解三角方程等问题。
总结：三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的解析式和值域有所不同。
- 正弦函数的解析式为sin(x)，值域为[-1, 1]；- 余弦函数的解析式为cos(x)，值域为[-1, 1]；- 正切函数的解析式为tan(x)，值域为实数集。
应用三角函数的性质求解参数
问题5应用三角函数的性质求解参数问题一、考情分析利用三角函数的性质求参数取值或范围是往往是高考中的亮点,这类问题一般涉及到值域、单调性及周期性等性质,三角函数因为其函数性质的特殊性,如正弦函数和余弦函数的有界性,往往在确定变量范围,或者最大值最小值有关问题上起着特殊的作用.如果试题本身对自变量的取值范围还有限制,则更应该充分注意. 二、经验分享(1) 三角函数值域的不同求法 ①利用sin x 和cos x 的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； ③通过换元,转换成二次函数求值域．(2)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时,要视“ωx ＋φ”为一个整体,通过解不等式求解．但如果ω＜0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错．(3)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．(4)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f (x 0)的值进行判断． (5)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|,y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(6)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象,有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(8)求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0,ω>0)解析式的步骤①求A ,B ,确定函数的最大值M 和最小值m ,则A ＝M －m2,B ＝M ＋m2.②求ω,确定函数的周期T ,则ω＝2πT .③求φ,常用方法如下：i.代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．ii.五点法：确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.三、知识拓展 1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ,ω≠0),则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )； (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．3．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2,k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π,k ∈Z 确定其横坐标． 四、题型分析(一) 与函数最值相关的问题 【例1】已知函数．（1）求函数()f x 的最小正周期与单调递增区间； （2）若时,函数()f x 的最大值为0,求实数m 的值．【分析】（1）()f x 化为,可得周期22T ππ==,由可得单调递增区间；（2）因为,所以,进而()f x 的最大值为,解得12m =. 【解析】（1）,则函数()f x 的最小正周期T π=, 根据,k Z ∈,得,k Z ∈,所以函数()f x 的单调递增区间为,k Z ∈．（2）因为,所以,则当262x ππ-=,3x π=时,函数取得最大值0,即,解得12m =． 【点评】三角函数的最值问题,大多是含有三角函数的复合函数最值问题,常用的方法为：化为代数函数的最值,也可以通过三角恒等变形化为求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的最值；或化为关于sin x (或cos x )的二次函数式,再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的最值. 【小试牛刀】【江苏省启东中学2018届高三上学期第二次月考】若方程在[)0,2π上有且只有两解，则实数m 的取值范围_____． 【答案】【解析】所以当时， y m = 与22y t t =+ 只有一个交点，当3m =时1t =，方程解所以要使方程在[)0,2π上有且只有两解，实数m 的取值范围(二) 根据函数单调性求参数取值范围如果解析式中含有参数,要求根据函数单调性求参数取值范围,通常先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．或转化为使得某个等式或不等式(可以、恒)成立,通常分离参数,求出解析式的范围或最值,进而求出参数的范围即可.【例2】已知ω＞0,函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减,则ω的取值范围是________．【分析】根据y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上递减,列出关于ω的不等式组【解析】 由π2＜x ＜π,ω＞0得,ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4,又y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上递减,所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54【点评】求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时,要视“ωx ＋φ”为一个整体,通过解不等式求解．但如果ω＜0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错；已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．【小试牛刀】【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟】若函数sin y x ω=在区间[]0,2π上单调递增，则实数ω的取值范围是________． 【答案】10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】由题意得，所以5．(三) 根据函数图象的对称性求参数取值范围【例3】已知函数．(1)若函数)(x f y =的图像关于直线对称,求a 的最小值;(2)若存在使成立,求实数m 的取值范围.【分析】(1)先利用降幂公式进行化简,然后利用辅助角公式将)(x f 化为,最后根据正弦函数的对称性求出对称轴,求出a 的最小值即可； (2)根据的范围求出320π+x 的范围,再结合正弦函数单调性求出函数f(x 0)的值域,从而可求出m＝00021)20()sin(2)3x m f x x π-=⇒==+的取值范围．【解析】(1)首先将函数)(x f y =的解析式化简为：,又因为函数)(x f y =的图像关于直线对称,所以,即,又因为0>a ,所以a 的最小值为12π． (2)故．【点评】对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f (x 0)的值进行判断． 【小试牛刀】【2018届安徽省亳州市蒙城高三第五次月考】若将函数的图象向左平移()0ϕϕ>个单位,所得的图象关于y 轴对称,则ϕ的最小值是 【答案】8π【解析】函数的图象向左平移()0ϕϕ>个单位,得到图象关于y 轴对称,即,解得,又0ϕ>,当0k =时, ϕ的最小值为8π. (四) 等式或不等式恒成立问题在等式或不等式恒成立问题中,通常含有参数,而与三角函数相关的恒成立问题,一定要注意三角函数自身的有界性,结合自变量的取值范围,才能准确求出参数的取值或范围. 【例4】已知不等式对于,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立,则实数m 的取值范围是【答案】22m ≤【解析】因为＝,所以原不等式等价于在,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立．因为,所以∈2[,2]2,所以22m ≤,故选B ． 【点评】解决恒成立问题的关键是将其进行等价转化,使之转化为函数的最值问题,或者区间上的最值问题,使问题得到解决．具体转化思路为：若不等式()f x A >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()f x 的最小值大于A ；若不等式()f x B <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()f x 最大值小于B ．【小试牛刀】【2018届江苏省常熟市高三上学期期中】已知函数,若对任意的实数,都存在唯一的实数[]0,m β∈,使,则实数m 的最小值是__________．【答案】2π【解析】函数,若对任意的实数,则：f （α）∈[﹣32,0],由于使f （α）+f （β）=0,则：f （β）∈[0, 32]．,,β=2π,所以：实数m 的最小值是2π．故答案为： 2π(五) 利用三角代换解决范围或最值问题由于三角函数的有界性,往往可以用它们来替换一些有范围限制的变量,再利用三角函数的公式进行变换,得到新的范围,达到解决问题的目的.【例5】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是他们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为__________．A .43 B .23C .3D .2 【解析】设椭圆方程为22221x y a b+=(a ＞b ＞0),双曲线方程为222211x y a b -=(a ＞0,b ＞0),其中a ＞a 1,半焦距为c ,于是|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,|PF 1|－|PF 2|＝2a 1,即|PF 1|＝a ＋a 1,|PF 2|＝a －a 1, 因为,由余弦定理：4c 2＝(a ＋a 1)2＋(a －a 1)2－2(a ＋a 1)(a －a 1)即4c 2＝a 2＋3a 12,即令ac ＝2cosθ,13a c＝2sinθ 所以【点评】合理使用三角代换,可以使得运算步骤(特别是与求最值相关的运算)变得非常简洁. 【小试牛刀】已知实数,x y 满足221x y +=,则的最小值为【答案】43【解析】由221x y +=,可设,则=.五、迁移运用1.【江苏省常州市2019届高三上学期期末】已知函数是偶函数，点是函数图象的对称中心，则最小值为________.【答案】【解析】∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）是偶函数，∴φ＝,∵点（1，0）是函数y＝f（x）图象的对称中心∴sin（ω+φ）＝0，可得ω+φ＝k2π，k2∈Z，∴ω＝k2π﹣φ＝（k2﹣k1）π﹣．又ω＞0，所以当k2﹣k1＝1时，ω的最小值为．故答案为：．2．【江苏省盐城市、南京市2019届高三年级第一次模拟】设函数，其中．若函数在上恰有个零点，则的取值范围是________．【答案】【解析】取零点时满足条件，当时的零点从小到大依次为，所以满足，解得：3.【江苏省苏北四市2019届高三第一学期期末】将函数（）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于直线对称，则的最小值为______.【答案】【解析】将函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0）的图象向左平移个单位后，可得函数y＝sin（ωx）的图象，再根据所得图象关于直线x＝π对称，可得ωπkπ，k∈Z，∴当k＝0时，ω取得最小值为，故答案为：．4．【江苏省徐州市2019届高三上学期期中】已知函数，若，且，则的最大值为______．【答案】【解析】令＝1，，则，＝＝＝，m ，n ，k 都是整数，因为，所以，所以，的最大值为.5．【江苏省常州2018届高三上学期期末】如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数的图像与x 轴的交点A ， B ， C 满足，则ϕ=________.【答案】34π【解析】不妨设0x ωϕ+=， πx ωϕ+=，，得，由，得，解得3π4ϕ=. 6．【江苏省淮安市等四市2018届高三上学期第一次模拟】若函数的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π， 3π， 23π，则实数ω的值为____． 【答案】4 【解析】，所以4ω=。
九年级数学三角函数定义及三角函数公式大全
三角函数是数学中的重要概念之一，它在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的定义、性质及常用公式，希望能够帮助九年级的同学们更好地理解和掌握三角函数。
一、三角函数的定义在直角三角形中，我们定义了三个基本三角函数：正弦、余弦和正切。
它们分别表示一个角的正弦值、余弦值和正切值。
角的正弦值等于对边与斜边的比值，余弦值等于邻边与斜边的比值，而正切值等于对边与邻边的比值。
二、三角函数的性质1.正弦函数的定义域是实数集，值域在[-1,1]之间；余弦函数的定义域是实数集，值域在[-1,1]之间；正切函数的定义域是所有不等于90度的实数集，值域是所有的实数。
2.正弦函数和余弦函数是周期函数，周期为360度或2π弧度；正切函数也是周期函数，周期为180度或π弧度。
3.正弦函数和余弦函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)；而正切函数是奇函数。
4.正弦函数是周期为2π的函数，图像是一条连续的正弦曲线；余弦函数也是周期为2π的函数，图像是一条连续的余弦曲线；正切函数的图像有水平渐进线，当角趋近于90度时，正切的值趋近于正无穷或负无穷。
1.三角函数的诱导公式正弦函数和余弦函数之间有一个重要的关系：sin(α ± β) =sinαcosβ ± cosαsinβ。
通过这一关系，我们可以推导出其他的三角函数公式，例如：- cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ- cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)等等。
2.三角函数的和差化积公式正弦函数和余弦函数的和差化积公式是：- sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ- sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ- cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ- cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ这些公式可以用于将一个角的三角函数表示为两个角的三角函数的乘积或差。
三角函数的基本性质
三角函数的基本性质三角函数是数学中的一类重要函数，它们的定义和性质在数学和物理学的各个分支应用广泛。
本文将介绍三角函数的基本性质，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
1. 正弦函数的基本性质正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，用符号sin(x)表示。
其定义域为实数集，值域为闭区间[-1,1]。
正弦函数具有以下基本性质： - 奇函数性质：sin(-x)=-sin(x)，即关于原点对称；- 周期性质：sin(x+2π)=sin(x)，其中π为圆周率，即每2π个单位长度周期性重复；- 正负性质：在第一、二象限，sin(x)的值为正数；在第三、四象限，sin(x)的值为负数；- 极值性质：在定义域内，sin(x)的最大值为1，最小值为-1；- 奇偶性质：sin(-x)=-sin(x)，即关于原点对称。
2. 余弦函数的基本性质余弦函数是三角函数中另一个常用的函数，用符号cos(x)表示。
其定义域为实数集，值域为闭区间[-1,1]。
余弦函数具有以下基本性质： - 偶函数性质：cos(-x)=cos(x)，即关于y轴对称；- 周期性质：cos(x+2π)=cos(x)，其中π为圆周率，即每2π个单位长度周期性重复；- 正负性质：在第一、四象限，cos(x)的值为正数；在第二、三象限，cos(x)的值为负数；- 极值性质：在定义域内，cos(x)的最大值为1，最小值为-1；- 奇偶性质：cos(-x)=cos(x)，即关于y轴对称。
3. 正切函数的基本性质正切函数是三角函数中的另一个重要函数，用符号tan(x)表示。
其定义域为实数集，值域为全体实数。
正切函数具有以下基本性质： - 奇函数性质：tan(-x)=-tan(x)，即关于原点对称；- 周期性质：tan(x+π)=tan(x)，其中π为圆周率，即每π个单位长度周期性重复；- 正负性质：在第一、三象限，tan(x)的值为正数；在第二、四象限，tan(x)的值为负数；- 极值性质：tan(x)在定义域内无最大值和最小值；- 奇偶性质：tan(-x)=-tan(x)，即关于原点对称。
初中三角函数函数值
初中三角函数函数值在初中数学中，学生通常会接触到三角函数的概念。
三角函数是一类描述角度与直角三角形之间关系的函数，其中最常见的三个三角函数是正弦函数、余弦函数和正切函数。
在学习三角函数时，我们经常需要计算不同角度的函数值，这对理解三角函数的性质和应用非常重要。
正弦函数的函数值正弦函数在数学中常用符号为sin，它描述的是一个角对应的直角三角形中的斜边与斜边对应的斜边之比。
正弦函数的取值范围在-1到1之间，对于不同角度的正弦函数值我们可以通过计算来得到。
在计算正弦函数值时，我们需要记住一些特殊角度的正弦函数值： - 当角度为0度时，sin(0) = 0； - 当角度为30度时，sin(30) = 1/2； - 当角度为45度时，sin(45) = √2 / 2； - 当角度为60度时，sin(60) = √3 / 2； - 当角度为90度时，sin(90) = 1。
我们可以通过这些特殊角度的正弦函数值和三角函数的性质，来计算其他角度的正弦函数值。
余弦函数的函数值余弦函数在数学中常用符号为cos，它描述的是一个角对应的直角三角形中的底边与直角三角形的斜边之比。
余弦函数的取值范围也在-1到1之间，对于不同角度的余弦函数值我们同样可以通过计算来得到。
与正弦函数类似，我们也有一些特殊角度的余弦函数值： - 当角度为0度时，cos(0) = 1； - 当角度为30度时，cos(30) =√3 / 2； - 当角度为45度时，cos(45) = √2 / 2； - 当角度为60度时，cos(60) = 1/2； - 当角度为90度时，cos(90) = 0。
利用这些特殊角度的余弦函数值和余弦函数的性质，我们可以计算其他角度的余弦函数值。
正切函数的函数值正切函数在数学中常用符号为tan，它描述的是一个角对应的直角三角形中的斜边与底边之比。
正切函数的取值范围并无限制，只有在底边为0的情况下，tan函数的值无限大。
正切函数也有一些特殊角度的函数值：- 当角度为0度时，tan(0) = 0； - 当角度为30度时，tan(30) = √3； - 当角度为45度时，tan(45) = 1； - 当角度为60度时，tan(60) = 1 / √3；- 当角度为90度时，tan(90) 不存在。
三角函数的定义及基本性质
三角函数的定义及基本性质三角函数是解析几何与三角学中的重要概念，它们使用角度的概念来描述三角形的各种属性和关系。
本文将介绍三角函数的定义及其基本性质，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、正弦函数（Sine Function）正弦函数是最基本的三角函数之一，它的定义如下：对于任意角度θ（单位为弧度或角度），正弦函数的值等于对边与斜边的比值，即sinθ = opposite/hypotenuse。
正弦函数的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]。
正弦函数的基本性质包括：1. 周期性：对于任意角度θ，sin(θ+2π) = sinθ。
正弦函数的周期为2π。
2. 对称性：sin(-θ) = -sinθ。
即正弦函数关于原点对称。
3. 奇偶性：sin(π-θ) = sinθ。
正弦函数为奇函数。
二、余弦函数（Cosine Function）余弦函数是与正弦函数密切相关的三角函数，它的定义如下：对于任意角度θ，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值，即cosθ =adjacent/hypotenuse。
余弦函数的定义域是整个实数集，值域也是[-1,1]。
余弦函数的基本性质包括：1. 周期性：对于任意角度θ，cos(θ+2π) = cosθ。
余弦函数的周期为2π。
2. 对称性：cos(-θ) = cosθ。
余弦函数关于y轴对称。
3. 奇偶性：cos(π-θ) = -cosθ。
余弦函数为偶函数。
三、正切函数（Tangent Function）正切函数是正弦函数和余弦函数的比值，它的定义如下：对于任意角度θ，正切函数的值等于对边与邻边的比值，即tanθ = sinθ/cosθ。
正切函数的定义域是整个实数集，但是在一些特殊角度（例如90度的整数倍）处无定义。
正切函数的基本性质包括：1. 周期性：对于任意角度θ，tan(θ+π) = tanθ。
正切函数的周期为π。
2. 对称性：tan(-θ) = -tanθ。
正切函数关于原点对称。
三角函数的定义与性质及应用
三角函数的定义与性质及应用三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何学、物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的定义与性质以及它们在实际问题中的应用。
一、三角函数的定义与性质三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）、正切函数（tangent）等，在平面直角坐标系中定义如下：正弦函数：在直角三角形中，正弦函数表示斜边与对应的直角边的比值，记作sinθ，其中θ为对应的角度。
正弦函数的取值范围为[-1,1]。
余弦函数：在直角三角形中，余弦函数表示斜边与斜边所在直角边的比值，记作cosθ，其中θ为对应的角度。
余弦函数的取值范围为[-1,1]。
正切函数：在直角三角形中，正切函数表示对边与邻边的比值，记作tanθ，其中θ为对应的角度。
正切函数的取值范围是整个实数集。
三角函数具有一些基本性质：1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期为2π，即sin(θ+2π)=sinθ，cos(θ+2π)=cosθ。
正切函数的周期为π，即tan(θ+π)=tanθ。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ)=-sinθ；余弦函数是偶函数，即cos(-θ)=cosθ；正切函数是奇函数，即tan(-θ)=-tanθ。
3. 相关性质：正弦函数与余弦函数有如下关系：sin^2θ + cos^2θ = 1。
这被称为三角恒等式，它是三角函数最基本的性质之一。
二、三角函数的应用三角函数在几何学、物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
下面分别介绍它们的应用。
1. 几何学应用：三角函数在几何学中经常用于解决直角三角形的问题。
通过利用正弦函数、余弦函数和正切函数，可以求解三角形的边长、角度等信息。
例如，通过已知一个角度和一个边长，可以利用正弦函数求解另一个角度或边长。
2. 物理学应用：三角函数在物理学中的应用广泛，尤其是在描述周期性运动中。
例如，物体做简谐振动时，其位移随时间的变化可以用正弦函数或余弦函数表示。
三角函数给定区间求值域
三角函数给定区间求值域三角函数是数学中常见的一类函数，它们以弧度作为自变量，返回一个特定角度的正弦值、余弦值或正切值。
在本文中，我们将探讨三角函数在给定区间的值域。
让我们从定义开始。
正弦函数（sin）是一个周期函数，其图像在一个周期内在-1和1之间取值。
因此，我们可以说正弦函数的值域为[-1, 1]。
在给定区间内，正弦函数的值域取决于该区间的长度和起始点。
例如，在区间[0, π/2]内，正弦函数的值域为[0, 1]，因为在这个区间内，正弦函数的值从0逐渐增加到1。
类似地，在区间[π/2, π]内，正弦函数的值域为[0, -1]，因为在这个区间内，正弦函数的值从1逐渐减小到-1。
接下来，我们来讨论余弦函数（cos）。
余弦函数也是一个周期函数，其图像在一个周期内同样在-1和1之间取值。
因此，余弦函数的值域也是[-1, 1]。
在给定区间内，余弦函数的值域也取决于该区间的长度和起始点。
例如，在区间[0, π/2]内，余弦函数的值域为[1, 0]，因为在这个区间内，余弦函数的值从1逐渐减小到0。
类似地，在区间[π/2, π]内，余弦函数的值域为[0, -1]，因为在这个区间内，余弦函数的值从0逐渐减小到-1。
我们来讨论正切函数（tan）。
正切函数在一些特殊点上没有定义，例如在π/2的整数倍点上。
在其他点上，正切函数的值域是整个实数集。
在给定区间内，正切函数的值域同样取决于该区间的长度和起始点。
例如，在区间[0, π/4]内，正切函数的值域为[0, +∞)，因为在这个区间内，正切函数的值从0逐渐增加到+∞。
类似地，在区间[π/4, π/2]内，正切函数的值域为(-∞, 0]，因为在这个区间内，正切函数的值从0逐渐减小到-∞。
三角函数在给定区间的值域可以通过观察函数的周期性和起始点来确定。
对于正弦函数和余弦函数，它们的值域都是[-1, 1]，而对于正切函数，它的值域是整个实数集，但在一些特殊点上没有定义。
在实际问题中，我们可以利用三角函数的值域来求解各种与角度有关的问题，如力学中的物体运动、电工中的交流电信号等。
三角函数的基本性质
三角函数的基本性质三角函数是数学中非常重要的一类函数，它们在数学、物理、工程等多个领域都有着广泛的应用。
接下来，让我们一起来深入了解一下三角函数的基本性质。
首先，我们来认识一下常见的三角函数，包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
正弦函数 sin(x) 的定义是：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。
其定义域为全体实数，值域为-1, 1。
正弦函数是一个周期函数，其最小正周期为2π。
这意味着 sin(x ＋2π) ＝ sin(x) 对于任意实数 x 都成立。
余弦函数 cos(x) 则是这个锐角的邻边与斜边的比值。
它的定义域也是全体实数，值域同样为-1, 1，最小正周期也是2π。
正切函数 tan(x) 定义为正弦函数与余弦函数的比值，即 tan(x) ＝sin(x) ／ cos(x) ，但要注意，cos(x) 不能为 0，所以正切函数的定义域是x ≠ （2k ＋1)π/2 ，其中 k 为整数。
正切函数的周期为π。
从图象上来看，正弦函数的图象是一个波浪形，它在 x ＝kπ ＋π/2 （k 为整数）处取得最大值 1 和最小值－1 。
余弦函数的图象与正弦函数类似，只是相位不同，它在 x ＝kπ （k 为整数）处取得最大值 1 和最小值－1 。
正切函数的图象则有一些不同，它在每个周期内都有垂直渐近线 x ＝（2k ＋1)π/2 ，并且在区间（π/2 ＋kπ, π/2 ＋kπ) 内单调递增。
三角函数还有一些重要的性质。
比如，正弦函数和余弦函数是偶函数，即 sin(x) ＝ sin(x) ，cos(x) ＝ cos(x) 。
在三角函数的运算中，有着许多重要的公式。
比如两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(A ＋ B) ＝ sinAcosB ＋ cosAsinBsin(A B) ＝ sinAcosB cosAsinBcos(A ＋ B) ＝ cosAcosB sinAsinBcos(A B) ＝ cosAcosB ＋ sinAsinBtan(A ＋ B) ＝（tanA ＋ tanB) ／（1 tanAtanB)tan(A B) ＝（tanA tanB) ／（1 ＋ tanAtanB)这些公式在解决许多数学问题时都非常有用。
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例18已知函数 ,若存在 满足 ,且 ,则 的最小值为__________．
例19已知函数
(1)求证： ；
(2)若对任意的 ,使得 有解,求实数 的取值范围；
(3)若 时,函数 有四个不同零点,求实数 的取值范围；
例22已知 ,其中 ,若函数 ,且它的最小正周期为 ．
（1）求 的值,并求出函数 的单调递增区间；
（2）当 （其中 ）时,记函数 的最大值与最小值分别为 与 ,设 ,求函数 的解析式；
（3）在第（2）问的前提下,已知函数 , ,若对于任意 , ,总存在 ,使得 成立,求实数t的取值范围.
例20已知 , ,函数 ,
(1)若 , ,求 的值；
(2)若不等式 对任意 恒成立,求 的取值范围.
例21函数 在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点,B、C为图象与x轴的交点,且△ABC为正三角形.
（1）求 的值及函数 的值域；
（2）若 ,且 ,求 的值；
（3）将函数 的图象上各点的纵坐标变为原来的 倍,横坐标不变,再将所得图象各点的横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变,最后将所得图象向右平移 个单位,得到 的图象,若关于 的方程 在区间 上有两个不同解,求实数 的取值范围.
例4【广西南宁市第二中学2018届高三2月月考】函数 ，（ ， ， 是常数， ， ， ）的部分图像如图所示，若方程 在 上有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
例5【四川省绵阳市江油中学2019届高三9月月考】已知 ，函数 在 上单调递减，则 的取值范围是()
A． B． C． D．(0,2)
A. B. C. D.
例14已知函数 ,其中 ,若 在区间 上单调递减,则 的最大值为__________．
例15已知函数 , , ,且 在 上单调,则 的最大值为_________.
例16已知函数 的图象关于点 对称，记 在区间 上的最大值为 ，且 在 上单调递增，则实数 的最小值是__பைடு நூலகம்_______．
A． B．
C． D．
例11函数y＝sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现20个最小值,则ω的最小值是( )
A. 38π B. 38.5π C. 39.5π D. 40π
例12函数 ( )在[0, ]内值域为 ,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
例13若函数 在 与直线 有两个交点,则 的取值范围为( )
专题利用三角函数性质求参数范围
例1若方程 在区间 上有两个实根,则实数 取值范围为( )
A. B. C. D.
例2已知函数 )的图象在区间 上恰有3个最高点,则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
例3【2018江西省南昌二轮复习测试】若函数 在区间 上单调递增，则正数 的最大值为（）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
例8【广东省深圳外国语学校2019届考试】设函数 ，若存在 的极值点 满足 ，则 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
例9【江西省景德镇市第一中学等盟校2018届高三第二次联考】若函数 在 内有且仅有一个最大值，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
例10已知向量 ，函数 ，且 ，若 的任何一条对称轴与 轴交点的横坐标都不属于区间 ，则 的取值范围是（）
例6【重庆市中山外国语学校2019届高三上学期开学考试】将函数 的图象向右平移 个单位长度得到 的图象．若函数 在区间 上单调递增，且 的最大负零点在区间 上，则 的取值范围是( )
A． B． C． D．
例7【山西省运城市康杰中学2018届高考模拟】将函数 的图象向左平移 个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数 的图象，且 的图象与直线 相邻两个交点的距离为 ，若 对任意 恒成立，则 的取值范围是( )