2001考研数一真题及解析

y

O

x 2001年全国硕士研究生入学统一考试

数学一试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)

(1)设

12

(sin cos)

x

y e C x C x

=+(

12

,

C C为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.

(2)设2

2

2z

y

x

r+

+

=,则div(grad r)

)2,2

,1(-

=_____________.

(3)交换二次积分的积分次序:??

-

-

1

1

2

)

,

(

y

dx

y

x

f

dy＝_____________.

(4)设矩阵A满足240

A A E

+-=,其中E为单位矩阵,则1

()

A E-

-=_____________.

(5)设随机变量X的方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计

≤

≥

-}2

)

(

{X

E

X

P

_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)

(1)设函数)

(x

f在定义域内可导,)

(x

f

y=的图形如右图所示,

则)

(x

f

y'

=的图形为

(2)设)

,

(y

x

f在点(0,0)附近有定义,且1

)0,0(

,3

)0,0(=

'

=

'

y

x

f

f,则

(A)

(0,0)

|3

z

d dx dy

=+.

(B)曲面)

,

(y

x

f

z=在(0,0,(0,0))

f处的法向量为{3,1,1}.

(C ) 曲线??

?==0

)

,(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}.

(D ) 曲线?

??==0)

,(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}.

(3)设0)0(=f ,则)(x f 在x =0处可导的充要条件为

(A ) 2

01

lim (1cosh)h f h →-存在.

(B )

01

lim

(1)h h f e h →-存在. (C ) 201

lim (sinh)h f h h

→-存在.

(D ) 01

lim [(2)()]h f h f h h

→-存在.

(4)设11114

0001

1110000,,1111000011110

000A B ????

?????

???==????

????

????

则A 与B (A ) 合同且相似. (B ) 合同但不相似. (C ) 不合同但相似.

(D ) 不合同且不相似.

(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 的相关系数等于

(A )-1.

(B ) 0.

(C )

1

2

. (D ) 1.

三、(本题满分6分)

求dx e e x

x

?2arctan .

四、(本题满分6分)

设函数),(y x f z =在点(1,1)处可微,且(1,1)1f =,

(1,1)|2f

x

?=?,(1,1)|3f y ?=?,()(,x f x ?=

(,))f x x .求

1

3

)(=x x dx

d ?.

五、(本题满分8分)

设)(x f =2

10,arctan ,0,1,x x x x x +?≠?=?

将)(x f 展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=--12

41)1(n n

n 的和.

六、(本题满分7分) 计算dz y x dy x z dx z y I L

)3()2()(222222-+-+-=?,其中L 是平面2=++z y x 与柱

面

1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.

七、(本题满分7分)

设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且

0)(≠''x f ,试证:

(1)对于(1,1)-内的任一0x ≠,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立; (2)0

1

lim ()2

x x θ→=

.

八、(本题满分8分)

设有一高度为()h t (t 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)

()

(2)(22t h y x t h z +-=(设

长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?

九、(本题满分6分)

设s ααα,,,21 为线性方程组0Ax =的一个基础解系,11122t t βαα=+,21223,

t t βαα=+,

121s s t t βαα=+,其中21,t t 为实常数.试问21,t t 满足什么条件时,s βββ,,,21 也为0Ax =的一个

基础解系.

十、(本题满分8分) 已知3阶矩阵

A 与三维向量x ,使得向量组2,,x Ax A x 线性无关,且满足x A Ax x A 2323-=.

(1)记P =（x A Ax x 2

,,）,求3阶矩阵B ,使1-=PBP A ;

(2)计算行列式E A +.

十一、(本题满分7分)

设某班车起点站上客人数

X 服从参数为λ(0λ>)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为

p (01p <<),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数,求:

(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率; (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.

十二、(本题满分7分) 设总体

X 服从正态分布2(,)N μσ(0σ>),从该总体中抽取简单随机样本

12,X X ,

,2n X (2n ≥),其样本均值为∑==n

i i X n X 2121,求统计量∑=+-+=n

i i n i X X X Y 1

2)2(的数学期望()E Y .

2001年考研数学一试题答案与解析

一、填空题

(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为

22121212()()()220r r r r r r r r r r r r --=-++=-+=.

由此,所求微分方程为''

'

220y y y -+=.

(2)【分析】 先求grad r .

grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ???????

=?

???????

???. 再求 div grad r=

()()()x y z

x r y r z r

???++???

=2222223333

11132

()()()x y z x y z r r r r r r r r r

++-+-+-=-=.

于是

div grad r|(1,2,2)-=

(1,2,2)22|3

r -=.

(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤≤时

12y -≤.由此看出二次积分02

1

1(,)y

dy f x y dx --??

是二重积分的一个累次

积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为

02

1

1(,)(,)y

D

dy f x y dx f x y dxdy --=?

?

??.

由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :

10,12y y x -≤≤-≤≤.

见图.现可交换积分次序

原式=02

20

211

11

11

(,)(,)(,)x

y

x

dy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=?

?

??

??

.

(4)【分析】 矩阵A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用

定义法.

因为

2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,

故

()(2)2A E A E E -+=,即 2()2

A E

A E E +-?

=. 按定义知

11

()(2)2

A E A E --=+.

(5)【分析】 根据切比雪夫不等式

2

()

{()}D x P X E X εε

-≥≤,

于是

2

()1

{()2}22

D x P X

E X -≥≤

=.

二、选择题

(1)【分析】 当0x <时,()f x 单调增'

()0f x ?≥,(A ),(C )不对;

当0x >时,()f x :增——减——增'()f x ?:正——负——正,(B )不对,(D )对. 应选(D ).

(2)【分析】 我们逐一分析.

关于(A ),涉及可微与可偏导的关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数?(,)f x y 在(0,0)处可

微.因此(A )不一定成立.

关于(B )只能假设(,)f x y 在(0,0)存在偏导数

(0,0)(0,0)

,f f x y

????,不保证曲面(,)z f x y =在 (0,0,(0,0))f 存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)

1f f x y ????±-=±??????

，，{3,1,-1}与{3,1,1}不

共线,因而(B )不成立.

关于(C ),该曲线的参数方程为,

0,(,0),x t y z f t =??

=??=?

它在点(0,0,(0,0))f 处的切向量为

'0{',0,

(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x d

t f t f dt

===. 因此,(C )成立.

(3)【分析】 当(0)0f =时,

'0()(0)lim

x f x f x →=?00()()

lim lim x x f x f x x x

→+→-?=?.

关于(A ):220001(1cos )1cos 1()

lim (1cos )lim 1cos lim

1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t

→→→+---=?=--, 由此可知 201

lim (1cos )h f h h

→-? ? '(0)f + ?.

若()f x 在0x =可导?(A )成立,反之若(A )成立?'

(0)f + ??'(0)f ?.如()||f x x =满

足(A ),但'

(0)f 不?. 关于(D ):若()f x 在0x =可导,?

''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h

→→-=-=-. ?(D )成立.反之(D )成立0

lim((2)())0h f h f h →?-=?()f x 在0x =连续,?()f x 在0x =可

导.如21,0

()0,0x x f x x +≠?=?

=? 满足(D ),但()f x 在0x =处不连续,因而'

(0)f 也不?.

再看(C ):

2220001sin (sin )sin ()

lim

(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t

→→→----=?=?

-(当它们都?时).

注意,易求得20sin lim

0h h h h →-=.因而,若'

(0)f ?

?(C )成立.反之若(C )成立?0()lim t f t t

→(即 '(0)f ?).因为只要()f t t

有界,任有(C )成立,如()||f x x =满足(C ),但'

(0)f 不?.

因此,只能选(B ).

(4)【分析】 由 43

||40E A λλλ-=-=,知矩阵A 的特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A 必能相似对角化,所以A 与对角矩阵B 相似.

作为实对称矩阵,当A

B 时,知A 与B 有相同的特征值,从而二次型T x Ax 与T x Bx 有相同的

正负惯性指数,因此

A 与

B 合同.

所以本题应当选(A ).

注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如

1002A ??=????与1003B ??

=????

, 它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.

(5)【分析】 解本题的关键是明确X 和Y 的关系:X Y n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:相关系数XY ρ的绝对值等于1的充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即Y

aX b =+(其

中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A ).

事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定

义式有

1

XY ρ=

=

=-.

三、【解】

原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)

x x x x x

x

x de e d e e e e e ---=--+??

=2221(arctan )21x x x x

x x

de de e e e e ---++??

=21(arctan arctan )2

x

x x x e e e e C ---

+++.

四、【解】 先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ?===.

求 3

2''1()|3(1)(1)3(1)x d x dx

????===,归结为求'(1)?.由复合函数求导法 '''12()(,(,))(,(,))(,)d

x f x f x x f x f x x f x x dx

?=+,

'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ?=++.

注意

'1(1,1)

(1,1)2f f x

?=

=?,'2(1,1)(1,1)3f f y ?==?. 因此

'(1)23(23)17

?=++=,

3

1()|31751x d x dx

?==?=.

五、【分析与求解】 关键是将arctan x 展成幂级数,然后约去因子x ,再乘上2

1x +并化简即可.

直接将arctan x 展开办不到,但'

(arctan )x 易展开,即

'

22

1

(arctan )(1),||11n n n x x x x ∞

===-<+∑, ①

积分得 '

221

00

00(1)arctan (arctan )(1)21

n x

x n

n

n n n x t dt t dt x n ∞

∞

+==-==-=+∑∑??,[1,1]x ∈-. ② 因为右端积分在

1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点

1x =±成立.

现将②式两边同乘以2

1x x

+得

2222

22000

1(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞

∞∞===+---=+=++++∑∑∑

=12200

(1)(1)2121n n n n

n n x x n n -∞

∞==--++-∑∑

=2111

1(1)(

)2121

n n n x n n ∞

=+

--+-∑

22

1

(1)2114n n

n x n ∞

=-=+-∑ ,

[1,1]x ∈-,0x ≠

上式右端当0x =时取值为1,于是

22

1(1)2()1,[1,1]14n n

n f x x x n

∞

=-=+∈--∑. 上式中令1x =2

1

(1)111

[(1)1](21)1422442n n f n ππ∞

=-?=-=?-=--∑.

六、【解】

用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z ++=上L 所

为围部分.由L 的定向,按右手法则S 取上侧,S 的单位法向量

(cos ,cos ,cos )3

n αβγ==

. 于是由斯托克斯公式得

22

22

22

cos cos cos 23S

I dS x y z y z z x x y αβ

γ???=???---??

=

[(24(26(22]333

S

y z z x x y dS ------??

=(423)(2)(6)33S S

x y z dS x y z x y dS ++++=+-利用. 于是

'2'2

11113x y Z Z ++=++=

按第一类曲面积分化为二重积分得

(6)32(6)3D D

I x y dxdy x y dxdy =+-=-+-??, 其中D 围S 在xy 平面上的投影区域||||1x y +≤(图）.由D 关于,x y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得

()0D

x y dxdy -=??

?

21212(2)24D

I dxdy =-=-=-??.

七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ?∈-,0,(0,1)x θ≠?∈,使

'()(0)()f x f xf x θ=+

(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单

调,θ唯一. (2)对'

()f x θ使用''

(0)f 的定义.由题(1)中的式子先解出'

()f x θ,则有

'()(0)

()f x f f x x

θ-=

.

再改写成

''

'

()(0)(0)

()(0)f x f xf f x f x θ---=.

'''2

()(0)()(0)(0)

f x f f x f xf x x

θθθ---?=, 解出θ,令0x →取极限得

''

'

'

'

2''0001(0)

()(0)(0)()(0)1

2lim lim /lim (0)2

x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===.

八、【解】 (1)设t 时刻雪堆的体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状如图所示

先求()S t 与()V t .

侧面方程是22222

2()()()((,):)()2

xy x y h t z h t x y D x y h t +=-

∈+≤. ?

44,()()

z x z y

x h t y h t ??=-=-??. ?

()xy

xy

D D S t dxdy ==??.

作极坐标变换:cos ,sin x r y r θθ==,则

:02,0()xy D r t θπ≤≤≤≤

.

?

2(003()2

22

2

1()()

2113[()16]().()48

12

t t S t d h t h t r h t h t πθππ==

?+=

?

用先二后一的积分顺序求三重积分

()

()

()h t D x V t dz

dxdy =?

??,

其中222()():

()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221

[()()]2

x y h t h t z +≤-. ?

()

23330

1()[()()][()()]()2

224

h t V t h t h t z dz h t h t h t π

π

π

=-=

-=?

. (2)按题意列出微分方程与初始条件.

体积减少的速度是dV dt -

,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即 0.9dV

S dt

=- 将()V t 与()S t 的表达式代入得 22

133()0.9()412

dh h t h t dt ππ=-,即

13

10

dh dt =-.

①

(0)130h =.

②

(3)解①得13

()10

h t t C =-

+. 由②得

130C =,即13

()13010

h t t =-

+. 令()0h t =,得100t =.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时.

九、【解】

由于(1,2

)i i s β=是12,,s ααα线性组合,又12,,s ααα是0Ax =的解,所以根

据齐次线性方程组解的性质知(1,2)i i s β=均为0Ax =的解.

从12,,

s ααα是0Ax =的基础解系,知()s n r A =-.

下面来分析12,,s βββ线性无关的条件.设11220s s k k k βββ++

=,即

11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++

++=.

由于 12,,s ααα线性无关,因此有

112211222132110,0,0,0.

s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=??+=??

+=???+=??

(*)

因为系数行列式

122112112

21

0000

00

000(1)000

s s s

t t t t t t t t t t +=+-, 所以当112

(1)0s

s s

t t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ==

==.

从而12,,s βββ线性无关.

十、【解】 (1)由于AP PB = ,即

22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-

2000(,,)103012x Ax A x ??

??=??

??-??

,

所以000103012B ??

??=??

??-??

.

(2)由(1)知A

B ,那么A E B E ++,从而

100

||||1134011

A E

B E +=+==--.

十一、【解】 (1){|}(1)

,0,0,1,2,

m

m

n m

n P Y m X n C p p m n n -===-≤≤=.

(2){,}P X n Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ===

=

(1),0,0,1,2,

.!

n

m m

n m n e C p p m n n n λλ--?-≤≤=

十二、【解】 易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X +相互独立都服从正态分布

2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体2(2,2)N μσ的一个容量为n 的简单随机样本.其样

本均值为

21111()2n n

i n i i i i X X X X n n +==+==∑∑, 样本方差为

2

111(2)11

n i n i

i X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差的无偏估计,故21

(

)21

E Y n σ=-,即2()2(1)E Y n σ=-.