河源市中考数学压轴题总复习题解析版

2021年广东省河源市中考数学压轴题总复习解析版1．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，0），B（0，m）两点，且线段AB＝2√5，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．

（1）求点B的坐标．

（2）在x轴上是否存在点Q，使△QAB是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如果在坐标平面内有一点P（a，3），使得△ABP的面积与正方形ABCD的面积相等，求a的值．

【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），

∴OA＝2，

∵AB＝2√5，

由勾股定理得：OB=√(2√5)2−22=4，

∴B（0，4）；

（2）分两种情况：

①以AB为腰，∠BAQ为顶角时，如图1，

AB＝AQ＝2√5，

∴Q 1（﹣2﹣2√5，0），Q 2（2√5−2，0）， ②以AB 为腰，∠ABQ 为顶角时，如图1， A 与Q 3关于y 轴对称，

∴Q 3（2，0）；

综上，点Q 的坐标是（﹣2﹣2√5，0）或（2√5−2，0）或（2，0），

（3）分两种情况：

①当P 在y 轴的右边时，如图2，

作直线l ：y ＝3，直线l 交AB 于H ，交y 轴于E ， ∵P （a ，3），

∴点P 在直线l 上，

过P 作PG ⊥AB 于G ，

∵S △ABP ＝S 正方形ABCD ，

∴12•AB •PG ＝AB 2， PG ＝2AB ＝4√5，

∵l ∥x 轴，

∴∠PHG ＝∠OAB ，

∴sin ∠PHG ＝sin ∠OAB ，即

PG PH =OB AB ，

∴4√5PH =2√5，PH ＝10， ∵EH ∥OA ，

∴EH OA =BE OB ，即EH 2=1

4， ∴EH =12，