抽屉原理(一)
第6讲抽屉原理一-完整版
第6讲抽屉原理一内容概述理解抽屉原理的根本含义,并能利用抽屉原理对一些简单问题进行说明, 在考虑某些问题时需要利用最不利原那么进行分析典型例题兴趣篇1 .学校周末要组织4个班的同学去春游,有3个地点可供选择：游乐园、植物园和动物园,如果一个班只能去一个地点,试说明：一定有2个班要去同一个地点.答案：见解析解析：设这4个班分别为一班、二班、三班和四班.先考虑一班、二班、三班,如果他们中有2个班去了相同的地点,那么已经满足题目的要求了.如果这3个班都去了不同的地点,也就是3个地点都有一个班去,那么剩下的四班只能去这3个地点中的一个,必然与前3个班中某一个班去的地点相同.由此可见,一定有2个班要去同一个地点.2 .卡莉娅、墨莫和萱萱到小高家玩,小高拿出一些巧克力来招待他们,他们一数,共有19块巧克力.如果把这些巧克力分给他们3人,试说明：一定有人至少拿到7块巧克力,但不一定有人拿到8块.答案：见解析解析：如果每人分6块,那就只分了18块,还剩1块,这块巧克力无论给谁,都会使得这个人的巧克力变为7块,这就说明,一定有人至少拿到7块巧克力.如果让卡莉娅拿7块,墨莫和萱萱各拿6块,那么一共拿了19块.这样一来,每人拿到的巧克力就不到8块,这就说明,不一定有人拿到8块巧克力.3 .-次聚会上,大家发现,有40人都是在同一年的10月出生的,试说明：他们中一定有2个人是在同一天出生的,但不一定有3个人在同一天出生.答案：见解析解析：先从40个人里抽出31个人,如果其中有2个人是在同一天出生, 那么已经满足题目要求了.如果这31个人分别在10月的1日至31日出生,那么剩下的9个人里再抽出1个人,这个人必定会和之前的31个人中的某一个人在同一天出生,由此可见,他们甲一定有2个人是在同一天出生的.但是,可以是3 1个人分别在1日至31日出生.剩下的9个人分别在1日至9习出生,所以不一定有3个人在同一天出生.4 .任意1830人中,至少有多少人的生日在同一天？答案：5人解析：1830 366 = 5 .所以至少有5人的生日在同一天.5 .有红、黄、蓝、绿4种颜色的小珠子放在同一个口袋里,每种颜色的珠子都足够多.一次至少要取几颗珠子,才能保证其中一定有2颗颜色相同？答案：5颗解析：方法一：如果取2颗珠子,它们可以是红色、黄色的珠子各一颗；如果取3颗,它们可以是红色、黄色和蓝色的珠子各1颗；如果取4颗,它们可以是红色、黄色、蓝色、绿色各1颗,而此时再取第5颗的时候就会发现,不管怎么取都会和前4颗珠子中的1颖颜色相同,由此可见,至少要取5颗,才能保证其中一定有2颗颜色相同, ’方法二：从最不利的情况考虑一一尽量取不同颜色的珠子, 看能取几颗,因为只有4种颜色,所以可以取出4颗不同颜色的珠子.这时,再取1颗珠子就会出现2颗同色的珠子.由此可见,至少要取5颗,才能保证其中一定有2颗颜色相同.6 .某校的小学生中,年龄最小的6岁,最大的13岁,从这个学校中至少选几个学生,才能保证其中一定有3个学生的年龄相同？答案：17个解析：从6岁到13岁,可能情况有：6岁、7岁、8岁、9岁、10岁、11 岁、12岁、13岁共8种不同年龄.如果从最不利的情况考虑,就是尽量不出现3个年龄相同的学生,那么每种年龄的人数最多有2个,这样一来最多能选出2 刈=16个,使得其中没有3个学生的年龄相同,如果再多项选择1人,那么这个学生必然会与某2个学生的年龄相同.因此,至少要选出16十1=17个学生,才能保证其中有3个学生的年龄相同.7 .有红、黄、蓝、绿4种颜色的铅笔各10支,拿的时候不许看铅笔的颜色, 那么一次至少要拿多少支,才能保证其中一定有4支是同一种颜色的铅笔？答案：13支解析：要拿到4支同一颜色的铅笔,最不利的情形应该是红、黄、蓝、绿 4 种颜色的铅笔都拿,而且每种都已拿3支,一共拿了 4 M—12支.如果再多拿1支,那么这支铅笔必然会与之前拿出的某种颜色的3支铅笔同色.因此,至少要拿12+1= 13支铅笔,才能保证一定会拿到4支同色的铅笔.8 . 口袋里装有红、黄、蓝、绿4种颜色的球,且每种颜色的球都有4个.小华闭着眼睛从口袋里往外摸球,那么他至少要摸出多少个球,才能保证摸出的球中每种颜色的球都有？答案：13个解析：最不利的情猊应该是只剩1种颜色的球没有摸出.而其他3种颜色的球都被摸出来了.如果小华摸出的球中还差1种颜色,不妨假设缺红色,那么小华最多摸出了黄、蓝、绿各4个,一共有3>4=12个.如果再多摸1个球,这1个球必然是第4种颜色,那么小华就有了4种颜色的球.因此,至少要摸出12+1—13个球,才能保证摸出的球中每种颜色的球都有.9 . 一副扑克牌共54张,其中有2张王牌,还有黑桃、红桃、草花和方块4 种花色的牌各13张.那么：(1)至少从中摸出多少张牌,才能保证在摸出的牌中有黑桃？(2)至少从中摸出多少张牌,才能保证至少有3张牌是红桃？(3)至少从中摸出多少张牌,才能保证有5张牌是同一花色的？答案：(1) 42 张(2) 44 张(3) 19 张解析：(1)要使摸出的牌中没有黑桃,那么,最多能摸出其他3种花色全部的牌及2张王牌,一共13M+2===41张.此时只要再多摸出1张牌,这张牌必然是黑桃.因此,至少要摸出42张牌,才能保证在摸出的牌中有黑桃.(2)要使摸出的牌中红桃少于3张,最多只能摸l出2张红桃和其他所有的牌, 共2+13M+2=43张.因此,至少要摸出44张牌,才能保证在摸出的牌中至少有3张牌是红桃.(3)要使摸出的牌中没有5张同一花色的牌,最多只能摸出每种花色各4张牌,以及2张王牌,一共4X4+2=18张,因此,至少要摸出19张牌,才能保证在摸出的牌中至少有5张牌是同一花色的.10 .圆桌周围恰好有12把椅子,现在已经有一些人在桌边就座,当再有一人人座时,就必须和已就座的某个人相邻.问：已就座的最少有多少人？答案：4人解析：由题意,每人最多闿$制〞自己的椅子和旁边的2杷椅子,所以最少需要12R1+2)=4 人.把12把椅子按顺时针方向标上1号,2号,…,12号.当1、4、7、10号这四把椅子上坐人,即可满足.题意,因此已就座的最少有4人.拓展篇11 红领巾小学今年入学的一年级新生中有370人是在同一年出生的.试说明：他们中一定有2个人是在同一天出生的,答案：见解析解析：考虑这一些人,他们中要么有2人的生日相同,要么生日都不相同,如果所有人的生日都不相同,那么一年366天最多能选出366个人生日不同, 他们正好在366天中每天都有一个人生日.那么,这时还剩下370-366=4个人, 他们的生日只能与前面某个1人的生日相同.所以这370个人中一定有2个人的生日相同.12 某公司决定派95名员工去8个不同的城市进行市场调查,是不是一定有12人会去同一个城市？〞一定有13人去同一个城市〞这个说法正确吗？答案：是；不正确解析：方法一：假设每个城市不到12人去,那么每个.城市最多去11人.8 X11= 88人,还不到95人,这不可能.因此,一定会有12人去同一个城市.类似地,假设没有13人去同一个城市,那每个城市最多去12人.8X12=96人,比95人还多1人,这说明没有矛盾,只要往其中的7个城市派12人.最后；一个城市派11人,就正好派出95人.所以不一定有13人去同一个城市.方法二：派95人去8个不同的城市,平均一下应该是95 3=11……7.这说明即使每个城市派11人还不够,还得再派出7人,无论把这7人怎么派出去, 都会使得某个城市的人数多于11人,因此一定可以‘找到12人被派往同一个城市.至于是否一定有13人去同一个城市,同样由95^8=11……7可知,只要先给每个城市派出11人,然后把剩下的7人再派到7个不同城市,就只有12人被派往同一个城市了.这样就找不到13人去同一个城市了,所以不一定有13 人去同一个城市.13 任意40个人中,至少有几个人属于同一个生肖？答案：4个解析：生肖有12种,为了不至于让某种生肖的人太多,应该让每一种生肖的人数比拟接近,也就是尽量让这40个人平均分配到12个生肖中去.把生肖相同的人归为同一类,40个人分成12类,40勺2=334,这说明每一类至少有3个人,还剩,4个人再分,就一定会有某一类至少增加1个人.因此一定会有3+1=4个人被归为同一类,也就是说至少有4个人属于同一个生肖.14 -个盒子内有4个格子,现在我们闭着眼睛,把棋子往格子里“瞎放〞〔没有放到格子外的〕,那么至少要放多少枚棋子,才能保证一定有2枚棋子放在同一格内？答案：5枚解析：方法一：放2枚显然不能保证,3枚也不行,如果放4枚,恰好一个格子1枚,同样没有2枚棋子放在同一格内.但如果此时放入第5枚棋子,那就一定,会与其他4枚中的某一枚同一格.这就说明,放5枚棋子可以保证有2 枚棋子在同一格内.方法二：如果不存在2枚棋子同一格,那么每个格子最多放1枚.由于只有4个格子,所以最多只能放4枚.此时只要再多放1枚,无论放在哪一格, 都将.出现2枚棋子在同一格内.因此至少要放4+1=5枚棋子才能满足要求.15 一个鱼缸里有很多条鱼,共有5个品种,至少要捞出多少条鱼,才能保证其中有5条相同品种的鱼？答案：21条解析：“至少要捞出多少条鱼,才能保证其中有5条相同品种酌鱼〞,就是说如果少捞1条鱼,可能所有品种的鱼都不到5条,那么最不利的情况是捞了5种鱼,但每种鱼都只捞了4条,这时共捞出5必=20条鱼.在最不利情形下,只要再捞1条就能满足有5条相同品种的鱼,因此捞出20+1= 21条鱼即可.16 小高把一副围棋子混装在一个盒子中,然后每次从盒子中摸出4枚棋子, 那么他至少要摸几次,才能保证其中有3次摸出棋子的颜色情况是相同的？〔围棋子有黑、白两种颜色〕答案：11次解析：每次摸出4枚棋子,这4枚棋子的颜色有以下5种情况：4枚全白, 1黑3白,2黑2白,3黑1白,4枚全黑.如下图：I Q ♦♦叩要求有3次摸出的情况相同,那最不利的情形就是每种情况只摸出过2次,这样正好摸10次.只要再摸1次就可以满足题意.由此可见,至少要摸11次.17 在一个盒子里装着形状相同的3种口味的果冻,分别是苹果口味的、草莓口味的和牛奶口味的,每种果冻都有20个.现在闭着眼睛从盒子里拿果冻, 请问：(1)至少要从中拿出多少个,才能保证拿出的果冻中有牛奶口味的？(2)至少要从中拿出多少个,才能保证拿出的果冻中至少有两种口味？答案：(1) 41个(2) 21个解析：(1)要保证拿出的果冻中有牛奶口味的,最不利的情况应该是：拿完了其他口味的果冻,但是始终没有牛奶口味的,此时共拿了20+20=40个.在这种最不利的情况下,只要再多拿1个,这个果冻必然是牛奶口味的.因此至少需要拿41个果冻,才能保证一定有牛奶口味的.(2)拿出的果冻至少有两种口味,反面情况是：所有的果冻口味都相同,那么最不利的情况是：把某一种口味的果冻拿完,还没有出现其他的口味,那么最多能拿20个.利用最不利原刚,至少要拿出20+1=21个果冻,才能保证有两种口味.18 一个布袋里有大小相同、颜色不同的一些木球,其中红色的有10个,黄色的有8个,蓝色的有3个,绿色的有1个.请问：(1)-次至步要取出多少个球,才能保证取出的球至少有3种颜色？(2)-次至少要取出多少个球,才能保证其中必有红色球和黄色球？答案：(1)19个(2)15个解析：(1)要使取出的球至少有3种颜色,最不利的情况是尽量多地取出其中某2种颜色的球,且这2种颜色的球数量最多.显然红球和黄球最多,全都取出共有10+8=18个球,此时只要再多取1个球,就可保证至少有3种颜色, 因此取19个球即可.(2)要保证取出的球中必有红球和黄球,最不利的情况首先是蓝色和绿色的球都取出,并且红色和黄色的其中一种颜色的球都取出.要尽可能多地取出球,就要选择多的那种球.因此在红色和黄色中,应选择将红色球全部取出,因此最不利的情况是取出所有的蓝色、绿色以及红色球,此时共取出3+1 + 10=14个球.从而至少要取出15个球,才能保证其中必有红色球和黄色球.19 一副扑克牌共54张,其中有2张王牌,还有黑桃、红桃、草花和方块4 种花色的牌各13张,现在要从中随意取出一些牌,如果要保证在取出来的牌中至少包含3种花色,并且这3种花色的牌至少都有3张,那么最少要取出多少张牌？答案：33张解析：扑克牌中的2张王牌是不算花色的,所以最不利的情况首先要取出这2张,这时还剩下4种花色各13张,此时问题相当于要求“至少有3种花色的牌都不少于3张：反过来考虑,就是“最多只有2种花色的牌不少于3张,其余花色都不到3张：最不利的情况是使取的牌尽量多,应将其中2种花色尽量多取〔取完为止〕,剩下2种花色都取2张,包括2张大小王牌,最多能取13X2+2X2+2=32张牌,因此至少应取出33张扑克牌才能保证满足条件.20 .黑色、白色、黄色、红色的筷子各有8根,混放在一起,在黑暗中取出一些筷子,要使得这些筷子能够搭配出两双筷子〔两根筷子颜色相同即为一双〕, 那么最少要取多少根才能保证到达要求？答案：7根解析：“最少有两双〞的反义是最多只有一双,所以最不利的情况是：取出了一双筷子,再从4种颜色的筷子中各取1根,最多可以取2+1必=6根.因此最少要取出7根筷子才能保证到达要求.21 .将1只白袜子、2只黑袜子、3只红袜子、8只黄袜子和9只绿袜子放入一个布袋里,请问：(1)-次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？(2)-次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？(两只袜子颜色相同即为一双)答案：(1) 13只(2) 14只|解析：(1)题目不仅要求有两双袜子,并这两双的颜色要一样,也就是至少有4只同色的袜.如果每种袜子都足够多,最不利情况就是：每种颜色都只摸出3只,但现在白色和黑色都不是3只,而红色只有3只,因此最不利情况为：白色、黑色和红色全取出,其他两种颜色各3只,一共有1+2+3+2 M=12只.因此至少要摸出13只袜子才能保证有颜色相同的两双袜子.(2)题目不仅要求有两双袜子,并且这两双的颜｛色还必须不同,那么最不利情况就是：尽可能多地摸出袜子,但是能够配成一双的都是同一种颜色.绿色的袜子最多,所以把色的9只袜子全部摸出,这样能配成双的袜子全是绿色的.接下来,在剩下的四种颜色中还能各取1只袜子,共取了9+1 X4=13只.因此至少要摸出14只袜子才能保证有颜色不同的两双袜子.22 .如图,把40块巧克力放入A、B、C、D四个盒子内,A盒中放的最多, 放了13块,且四个盒子内装的巧克力的数量依次减少.那么：(I)D 盒最少可以装几块？(2)D 盒最多可以装几块？答案：(1)4块(2)8块解析：要使得D盒装的巧克力最少,那么其它三个个盒子里的巧克力应该尽可能多.A盒中放了13块,且A盒放的最多,所以B盒最多可以装12 块,C盒最多可以装11块,那么D盒最少要装40-13-12-11=4块.(2)A盒内装有13块巧克力,剩下27块,要使得D盒装的巧克力最多,B、C两盒装的应该尽可能少,但是B盒装的巧克力比C盒多,C盒又比D盒多, 因此,要使D盒装韵巧克力最多,最好是C盒比D盒多1块,B盒比D盒多2块.由于B、C、D盒一共有27块,从而D盒最多能有(27-1-2)3=8块,此时A、B 和C盒分别有13、10和9块.23 . 31个同学围成一个圆圈,坐好后发现任何2个男生之间至少有2个女生,那么最多有多少个男生？答案：10个解析：将31个位置按顺时针编为1号至31号,从1号男同学开始坐起(如图所示起点为1号).此时右边的2、3号,左边的31、30号都必须安排女生入座.沿顺时针方向看过去,要使得男生尽量多,接下来的4号位置可以安排男生.于是5、6号又必须安排女生.然后7号位置可以安排男生,8、9号仍然要安排女生……如此继续坐下云,可以发现：每个男生后面至少要有2个位置安排女生,如下图：最后,28号位置安排男生,29号和30号安排女生,此时第31号也必须安排女生,否那么如果安排男生,那他将与1号男生相邻,这不符合题目要求.因此,除了1号、4号、7号、10号、13号、16号、19号、22号、25号、28号之外,其他位置都必须安排女生,并E这样是女生最少的情况,此时男生是最多的,为10个男生.24 .现有10把钥匙分别能开10把锁,但是不知道哪把钥匙能开哪把锁, 那么最少要试验多少次才能保证使全部的钥匙和锁相匹配？答案：45次解析：第1把钥匙最不利的情况是：试验了9把锁都不匹配,但这把钥匙一定和最后一把锁匹配,不用试验第10次,因此第1把钥匙最多只需要试验9 次就够了,此时还剩9把钥匙和9把锁,同样地,试验第2把钥匙时,运气最坏时可能连试8把锁都打不开,那么最后剩下的锁一定匹配,所以第2把钥匙最多只需要试验8次就可以确定它和哪把锁匹配.同理,第3把钥匙最多只需要试验7次.第4把钥匙最多只需要试验6次……最后只剩1把钥匙和1把锁时,不需要试验,它们一定匹配.因此,要试验9+8+7+•••+1+0=45次才能使全部的锁和钥匙匹配.超越篇25 体育馆里有足球、篮球和排球3种球,一个班的50名学生去借球,每人最少借1个,最多可以借2个.请问：最少有多少名学生借到球的数量和种类完全一样？答案：6名解析：根据题意,由于每名学生只能借1个或2个球,那么所有学生借到球的可能情况分为以下9种,如下图:这9种情况可看作9个抽屉,而50名学生可看作50个苹果,学生借球即相当于将苹果放入抽屉里.由于50r=5…与,即50=5X9+5,贝4至少有5+1=6 名学生借到球的种类和数量完全一样.26 .把31个桃子分给假设干只猴子,每只猴子分得的桃子不超过3个.那么至少有几只猴子分得的桃子一样多？答案：6只解析：方法一：把这31个桃子分下去,尽量使得每只猴子分得的桃子数量不同,那分的方法自然应该是1, 2, 3, 1, 2, 3…循环下去,让每种数量尽量均匀.每组1, 2, 3〞共有6个桃子,只需5组就分完30个,还剩1个.把这个桃子分给最后一只猴子,这样就有5只猴子分得的桃子数量相同.由此可见至少有6只猴子分得的桃子数量相同.方法二：假设桃子数量相同的猴子没有6只,就意味着分得1个桃子的猴子最多5只,分得2个桃子的猴子最多5只,分得3个桃子的猴子最多5只, 这些猴子最多分到了〔1+2+3〕>5=30只桃子,不到31只,这与条件矛盾,因此必有6只猴子分得的桃子数量相同.27 有37个数,每个数为0或1.要求：当把这些数以任意的方式排列在圆周上时,总能找到6个1连排在一起,问：其中最少有多少个数是17答案：31个解析：考虑最不利的情况：最多有5个连续的1.把37个数顺时针编为1至37号,其中第1、7、13、19、25、31、37号为O,其他均为1,这时圆周上的30个1中没有6个连续的1.当放入31个1时,只有37-31=6个O,它们把31个1在圆周上分成了6 段,31毋=5……1 ,因此一定有-段至少有5+1=6个1 .所以最少要放入31个1.28 有一个大口袋,里面装着许多球,每个球上写着一个数字,其中写O的有1个,写1的有2个,写2的有3个……写9的有10个.如果闭着眼睛从袋中取球,那么至少要取出多少个球,才能保证取出的球中必有3个球上面的数字恰好组成6787 〔考虑" 9〞倒过来看是“6〞〕答案：48个解析：根据题意,袋中共有1+2+3+-+10=55个球.从反面分析,“保证有3个球上面的数字恰好组成678〞的反面是“任意3个球上的数字都不会刚好是678 7也就是说这3个球不能同时写了“678〞必89；那么这些球的可能情况有以下几种：①没有7;②没有8;③没有6、9.①不取写有数字7的球,但写着其饱数字的球全部取出,那么此时共取出55-8=47个球.②不取写有数字S的球,但写着其他数字的球全部取出,那么此时共取出55-9=46个球.③不取写有数字6和9的球,但写着其他数字的球全部取出,那么此时共取出55-7-10=38 个球.由于问题的最不利情况是取出最多的球,使得取出的3个球不能同时写有678〞或789 7比拟三种情况取出的球数,可知情况①是最不利的情况,因此至少要取出47+1= 48个球,才能保证取出的球中必有3个球上面的数字恰好组成678.29 一个袋子里有3种不同颜色的球共20个,其中有红球7个,黄球5个, 绿千^8个.现在墨莫闭着眼睛从中取球, 要保证有一种颜色的球不少于4个,那么至少要取出多少个球才能满足要求？如果还要保证另一种颜色的球不少于3个, 那么至少要取出多少个球？答案：10个；13个解析：〔l〕利用抽屉原理来计算,从3种不同颜色的球中选取,要保证有一种颜色的球不少于4个,那么至少需要取出〔4-1〕刈+1=10个球.〔2〕从这个袋子中取球,要使得有一种颜色的球不少于4个,另一种颜色的球不少于3个.它的反面可以分为以下两和情况：①如果每一种颜色的球都不到4个,那么每种颜.色的球最多取3个,一共最多能取9个球.②有一种颜色的球取出了4个以上,那么其他所有颜色的球都不到3个.那么要尽量多地取球,取出球数最多的是绿球,再从其他两种颜色的球中各取2个.此时最多能取8+2X2=12个球.比拟这两种情况,显然②比①更不利,所以至少要取出12+1=13个球才能满足要求.30 50个苹果分给8个小朋友,那么分到苹果最多的小朋友至少分到几个？如果1号小朋友最多给2个,2号最多给4个,3号最多给6个……8号最多给16个,那么得到苹果最多的小朋友至少分到几个？答案：7个,8个解析：(1)由抽屉原理：50 3=6…2,可以知道必有人得到了至少6+1=7个苹果.所以,分到苹果最多的小朋友至少分到了7个.(2)1号至8号分别拿2、4、6、7、7、7、7、7个苹果时,共拿了2+4+6+7+7+7+7+7=47个,不到50个,所以得到苹果最多的小朋友分到的苹果多于7个.1号至8号分别拿2、4、6、7、7、8、8、8个苹果时,共拿了50 个苹果,满足题意.所以得到苹果最多的小朋友至少分到8个.31 888名学生站成一个圆圈,如果任意连续32人中,至多有9名男生, 那么男生最多有多少人？答案：249人解析：任意连续32个人中,至多有9名男生,可以根据男生出现的频率估算男生大致的人数：88832 X9=249.75 .因此男生人数最多为249人.另一方面,是否确实存在这样一种排队方式,确实存在249个男生？答案是肯定的,构造方法如下：〔A 表示男生,a 表示女生〕AaaaAaaAaaaAaaAaaaAaaAaaaAaaAaaa 〞 这个32 人序列循环 27 次,再接上 AaaaAaaaAaaaAaaaAaaaAaaa 〞这个24人序列,最后围成环形？就是满足条 件的排队方式. 32 新春佳节,商场举办抽奖活动,抽奖箱中有 5种不同颜色的奖券,分别 有32、30、28、26、24张.每次可以抽出任意多张,但每抽出一张就要付 2元 钱.奖励方式如下：用15张同色的奖券换一架相同颜色的飞机模型, 用11张同 色的奖券换一架相同颜色的坦克模型,用4张同色的奖券换一架相同颜色的摩托 车模型,请问：至少要付多少元钱,才能保证可以换到三种模型,且三种模型的 颜色互不相同？答案：156元解析：考虑最不利原那么：如果抽不中15张同色的奖券,最不利情况下可以 取到14X5=70张奖券；综合起来,要想保证可以换到三种不同颜色的模型,至少要买 奖券才行,因此至少要付146元 如果抽到了 15张同色的奖券和另一种颜色的 10张同色奖券,但抽不中11 张另一种颜色的同色奖券,最不利情况下可以取到 32+10必=72张奖券; 如果抽到了 15张同色的奖券和另一种颜色的 11张同色奖券,但抽不中第三种颜色的4张同色奖券,最不利情况下可以取到32+30+3 M=71 张奖券. 72+1=73 张。
人教新课标数学六年级下册《抽屉原理(一)》课件
（人教新课标）六年级数学下册
抽屉原理
教学目标
• 1.初步理解“抽屉原理”的一般形式，会 用假设法解决抽屉问题，通过分析，推理 解决这类抽屉问题。
• 2.通过实验、观察、分析、推理等数学活 动，经历“抽屉原理”的探究过程，提高 同学们推理的能力。
至少
老师任意点13位同学 就可以肯定，至少有2 个同学的生日是在同 一个月，你们信吗？
总有 至少
★先猜一猜， 再动手放一放， 看看有哪些不同 放法？
★你的猜想对 吗？和组内同学 说一说你的理由。
2
四 三 二一 总结假设增加
我把情况记 录下来.
0
0 （4，4 0，0）
我把情况记 录下来.
（3，3 1，0）
0
我把情况记 录下记 录下来.
（2，1，1）
共四种情况：
（4，0，0） （3，1，0） （2，2，0） （2，1，1）
不管怎么放总有一个文具盒 里至少放进2枝铅笔 。
（2，1，1）
（4，0，0） （3，1，0） （2，2，0）
4÷3= 1……1
至少数：1+1=2
数学小知识：抽屉原理的由来。 最先发现这些规律的人是谁
呢？最先是由19世纪的德国数学 家狄里克雷运用于解决数学问题 的，后人们为了纪念他从这么平 凡的事情中发现的规律，就把这 个规律用他的名字命名，叫“狄 里克雷原理”，又把它叫做“鸽 巢原理”，还把它叫做 “抽屉原 理”。
抽屉原理(一)
一副扑克牌(除去大小王)52张中有四种花 色，从中随意抽5张牌，无论怎么抽,为什么总 有两张牌是同一花色的？
四种花色
抽 牌
在数学的天地里，重要的不 是我们知道什么，而是我们怎么 知道什么。
——1个物体，放到n个抽屉里，不管怎么 放，则总有一个抽屉中至少有2个物体。
“抽屉原理”又称“鸽巢原 理”，
狄里克雷 （1805～1859）
最先是由19世纪的德国数学家 狄里克雷提出来的，所以又称
“狄里克雷原理”。
• 把5根小棒放到3个杯子里，不管怎么放， 总有一个杯子里至少有2根小棒，为什么？
• 把n+1或多于n+1个物体，放到n个抽屉里， 不管怎么放，则总有一个抽屉中至少有2个 物体。
做一做
7只鸽子飞回5个鸽舍，至少有2只鸽子要飞进同 一个鸽舍里。为什么？
做一做
7只鸽子飞回5个鸽舍，至少有2只鸽子要飞进同 一个鸽舍里。为什么？
做一做 . 六.三班13名同学中，至少有2位同学是 同一个月的生日，为什么？
小学奥林匹克数学 竞赛数学 第6讲-抽屉原理(一)
抽屉原理（一）第六讲知识点回顾一，抽屉原理Ⅰ：把一些苹果随意放入若干个抽屉，如果苹果个数多于抽屉个数，那么一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果二，抽屉原理Ⅱ：把m个苹果放入n个抽屉（m大于n），结果有两种可能：（1）如果m÷n没有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m÷n”个苹果；（2）如果m÷n有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m÷n的商再加1”个苹果知识点回顾三、在抽屉原理问题中常常会用到“最不利原则”的思想。
四、需要自己构造抽屉的问题。
【1】红领巾小学今年入学的一年级新生中有370人是在同一年出生的. 试说明：他们中一定有两个人是在同一天出生的.【2】某公司决定派95名员工去8个不同的城市进行市场调查，是不是一定有12个人会去同一城市？“一定有13个人去同一城市”这个说法正确吗？【3】任意40个人中，至少有几个人属于同一生肖？【4】一个盒子内有四个格子，现在我们闭着眼睛，把棋子往格子里“瞎放”（没有放到格子外的），那么至少要放多少枚棋子，才能保证一定有两枚棋子放在同一格内？【5】一个鱼缸里有很多条鱼，共有5个品种，至少要捞出多少条鱼，才能保证其中有5条相同品种的鱼？【6】小高把一副围棋子混装在一个盒子中，然后每次从盒子中摸出4枚棋子，那么他至少要摸几次，才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？（围棋子有黑、白两种颜色）【7】在一个盒子里装着形状相同的3种口味的果冻，分别是苹果口味的、草莓口味的和牛奶口味的，每种果冻都有20个，现在闭着眼睛从盒子里拿果冻. 请问：（1）至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中有牛奶口味的？（2）至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中至少有两种口味？【8】一个布袋里有大小相同颜色不同的一些木球，其中红色的有10个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个，请问：（1）一次至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有三种颜色？（2）一次至少要取出多少个球，才能保证其中必有红球和黄球？【9】一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张，现在要从中随意取出一些牌，如果要保证在取出来的牌中至少包含三种花色，并且这三种花色的牌至少都有3张，那么最少要取出多少张牌？【10】黑色、白色、黄色、红色的筷子各有8根，混杂放在一起，在黑暗中取出一些筷子. 要使得这些筷子能够搭配出两双筷子（两根筷子颜色相同即为一双），那么最少要取多少根才能保证达到要求？【11】将1只白袜子、2只黑袜子、3只红袜子、8只黄袜子和9只绿袜子放入一个布袋里，请问：（1）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？（2）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？（两只袜子颜色相同即为一双）【12】把40块巧克力放入A、B、C、D四个盒子内，如图8-1，A盒中放的最多，放了13块，且四个盒子内装的巧克力的数量依次减少，那么：（1）D盒最少可以装几块？（2）D盒最多可以装几块？【13】31个同学围成一个圆圈，坐好后发现任何两个男生之间至少有两个女生，那么男生最多有多少人？【14】现有10 把钥匙分别能开10把锁，但是不知道哪把钥匙能开哪把锁. 最少要试验多少次才能保证使全部的钥匙和锁相匹配？下节课见！。
六年级上册奥数第29讲 抽屉原理(1)
第29讲抽屉原理（1）讲义专题简析如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。
如果把4封信投到3个邮箱中，那么背定有一个邮箱中至少有2封信。
如果把3本练习册分给两名同学，那么肯定其中有一名同学至少分到2本练习册。
这些事例中蕴含着数学中的“抽屉原理”。
基本的抽屉原理有两条：(1)如果把x＋k(k≥1)个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。
(2)如果把m×x＋k(k≥1)个元素放到x个抽屜里，那么至少有一个抽屉里含有(m+1)个或(m+1)个以上的元素。
利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”，哪些是“元素”。
然后按以下步骤解答：a.构造抽屉，指出元素；b.把元素放入(或取出)抽屉。
C.说明理由，得出结论。
本周我们先来学习第一条原理及其应用。
例1、某校六年级有367名学生，请问有没有2名学生的生日是在同一天?为什么?练习：1、某校有370名1992年出生的学生，其中至少有2名学生的生日是在同一天，为什么?2、某校有30名学生是2月份出生的。
能否至少有2名学生的生日是在同一天?3、15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生?例2、某班学生去买语文书、数学书、英语书。
买书的情况是：有买一本的、两本的，也有买三本的，问至少要去几名学生才能保证一定有2名学生买到相同的书?(每种书最多买一本)练习：1、某班学生去买数学书、语文书、美术书、自然书。
买书的情况是：有买一本、两本、三本或四本的。
问至少去几名学生才能保证一定有2名学生买到相同的书?(每种书最多买一本)2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。
每名学生从中任意借两本，那么至少要几名学生才能保证一定有2名学生所借的图书属于同一种？3、一个布袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄三种。
问最少要取出多少个珠子才能保证有2个是同色的?例3、一个布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。
小学奥数专题—抽屉原理（一）
⼩学奥数专题—抽屉原理（⼀）⼩学奥数专题—抽屉原理(⼀)[专题介绍] 把4只苹果放到3个抽屉⾥去，共有4种放法（请⼩朋友们⾃⼰列举），不论如何放，必有⼀个抽屉⾥⾄少放进两个苹果。
同样，把5只苹果放到4个抽屉⾥去，必有⼀个抽屉⾥⾄少放进两个苹果。
……更进⼀步，我们能够得出这样的结论：把n＋1只苹果放到n个抽屉⾥去，那么必定有⼀个抽屉⾥⾄少放进两个苹果。
这个结论，通常被称为抽屉原理。
利⽤抽屉原理，可以说明（证明）许多有趣的现象或结论。
不过，抽屉原理不是拿来就能⽤的，关键是要应⽤所学的数学知识去寻找“抽屉”，制造“抽屉”，弄清应当把什么看作“抽屉”，把什么看作“苹果”。
[经典例题]【例1】⼀个⼩组共有13名同学，其中⾄少有2名同学同⼀个⽉过⽣⽇。
为什么？【分析与解答】每年⾥共有12个⽉，任何⼀个⼈的⽣⽇，⼀定在其中的某⼀个⽉。
如果把这12个⽉看成12个“抽屉”，把13名同学的⽣⽇看成13只“苹果”，把13只苹果放进12个抽屉⾥，⼀定有⼀个抽屉⾥⾄少放2个苹果，也就是说，⾄少有2名同学在同⼀个⽉过⽣⽇。
【例 2】任意4个⾃然数，其中⾄少有两个数的差是3的倍数。
这是为什么？【分析与解答】⾸先我们要弄清这样⼀条规律：如果两个⾃然数除以3的余数相同，那么这两个⾃然数的差是3的倍数。
⽽任何⼀个⾃然数被3除的余数，或者是0，或者是1，或者是2，根据这三种情况，可以把⾃然数分成3类，这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。
我们把4个数看作“苹果”，根据抽屉原理，必定有⼀个抽屉⾥⾄少有2个数。
换句话说，4个⾃然数分成3类，⾄少有两个是同⼀类。
既然是同⼀类，那么这两个数被3除的余数就⼀定相同。
所以，任意4个⾃然数，⾄少有2个⾃然数的差是3的倍数。
想⼀想，例2中4改为7，3改为6，结论成⽴吗？【例3】有规格尺⼨相同的5种颜⾊的袜⼦各15只混装在箱内，试问不论如何取，从箱中⾄少取出多少只就能保证有3双袜⼦（袜⼦⽆左、右之分）？【分析与解答】试想⼀下，从箱中取出6只、9只袜⼦，能配成3双袜⼦吗？回答是否定的。
第6讲 抽屉原理一-完整版
第6讲抽屉原理一内容概述理解抽屉原理的基本含义，并能利用抽屉原理对一些简单问题进行说明，在考虑某些问题时需要利用最不利原则进行分析典型例题兴趣篇1．学校周末要组织4个班的同学去春游，有3个地点可供选择：游乐园、植物园和动物园，如果一个班只能去一个地点，试说明：一定有2个班要去同一个地点．答案：见解析解析：设这4个班分别为一班、二班、三班和四班．先考虑一班、二班、三班，如果他们中有2个班去了相同的地点，那么已经满足题目的要求了．如果这3个班都去了不同的地点，也就是3个地点都有一个班去，那么剩下的四班只能去这3个地点中的一个，必然与前3个班中某一个班去的地点相同．由此可见，一定有2个班要去同一个地点．2．卡莉娅、墨莫和萱萱到小高家玩，小高拿出一些巧克力来招待他们，他们一数，共有19块巧克力．如果把这些巧克力分给他们3人，试说明：一定有人至少拿到7块巧克力，但不一定有人拿到8块．答案：见解析解析：如果每人分6块，那就只分了18块，还剩1块，这块巧克力无论给谁，都会使得这个人的巧克力变为7块，这就说明，一定有人至少拿到7块巧克力.如果让卡莉娅拿7块，墨莫和萱萱各拿6块，那么一共拿了19块．这样一来，每人拿到的巧克力就不到8块，这就说明，不一定有人拿到8块巧克力．3． -次聚会上，大家发现，有40人都是在同一年的10月出生的，试说明：他们中一定有2个人是在同一天出生的，但不一定有3个人在同一天出生．答案：见解析解析：先从40个人里抽出31个人，如果其中有2个人是在同一天出生，那么已经满足题目要求了．如果这31个人分别在10月的1日至31日出生，那么剩下的9个人里再抽出1个人，这个人必定会和之前的31个人中的某一个人在同一天出生，由此可见，他们甲一定有2个人是在同一天出生的．但是，可以是3 1个人分别在1日至31日出生．剩下的9个人分别在1日至9习出生，所以不一定有3个人在同一天出生。
4．任意1830人中，至少有多少人的生日在同一天？答案：5人解析：1830÷366 = 5．所以至少有5人的生日在同一天．5．有红、黄、蓝、绿4种颜色的小珠子放在同一个口袋里，每种颜色的珠子都足够多．一次至少要取几颗珠子，才能保证其中一定有2颗颜色相同？答案：5颗解析：方法一：如果取2颗珠子，它们可以是红色、黄色的珠子各一颗；如果取3颗，它们可以是红色、黄色和蓝色的珠子各1颗；如果取4颗，它们可以是红色、黄色、蓝色、绿色各1颗，而此时再取第5颗的时候就会发现，不管怎么取都会和前4颗珠子中的1颖颜色相同，由此可见，至少要取5颗，才能保证其中一定有2颗颜色相同，’方法二：从最不利的情况考虑——尽量取不同颜色的珠子，看能取几颗，因为只有4种颜色，所以可以取出4颗不同颜色的珠子．这时，再取1颗珠子就会出现2颗同色的珠子．由此可见，至少要取5颗，才能保证其中一定有2颗颜色相同．6．某校的小学生中，年龄最小的6岁，最大的13岁，从这个学校中至少选几个学生，才能保证其中一定有3个学生的年龄相同？答案：17个解析：从6岁到13岁，可能情况有：6岁、7岁、8岁、9岁、10岁、11岁、12岁、13岁共8种不同年龄．如果从最不利的情况考虑，就是尽量不出现3个年龄相同的学生，那么每种年龄的人数最多有2个，这样一来最多能选出2×8 =16个，使得其中没有3个学生的年龄相同，如果再多选1人，那么这个学生必然会与某2个学生的年龄相同．因此，至少要选出16十1=17个学生，才能保证其中有3个学生的年龄相同．7．有红、黄、蓝、绿4种颜色的铅笔各10支，拿的时候不许看铅笔的颜色，那么一次至少要拿多少支，才能保证其中一定有4支是同一种颜色的铅笔？答案：l3支解析：要拿到4支同一颜色的铅笔，最不利的情形应该是红、黄、蓝、绿4种颜色的铅笔都拿，而且每种都已拿3支，一共拿了4×3—12支．如果再多拿1支，那么这支铅笔必然会与之前拿出的某种颜色的3支铅笔同色．因此，至少要拿12+1= 13支铅笔，才能保证一定会拿到4支同色的铅笔．8．口袋里装有红、黄、蓝、绿4种颜色的球，且每种颜色的球都有4个．小华闭着眼睛从口袋里往外摸球，那么他至少要摸出多少个球，才能保证摸出的球中每种颜色的球都有？答案：13个解析：最不利的情猊应该是只剩1种颜色的球没有摸出．而其他3种颜色的球都被摸出来了．如果小华摸出的球中还差1种颜色，不妨假设缺红色，那么小华最多摸出了黄、蓝、绿各4个，一共有3×4=12个．如果再多摸1个球，这1个球必然是第4种颜色，那么小华就有了4种颜色的球。
小学六年级奥数第29讲 抽屉原理(一)(含答案分析)
第29讲抽屉原理（一）一、知识要点如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。
如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。
如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。
这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。
基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x+k（k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。
（2）如果把m×x×k（x＞k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。
利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按以下步骤解答：a、构造抽屉，指出元素。
b、把元素放入（或取出）抽屉。
C、说明理由，得出结论。
本周我们先来学习第（1）条原理及其应用。
二、精讲精练【例题1】某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？把一年中的天数看成是抽屉，把学生人数看成是元素。
把367个元素放到366个抽屉中，至少有一个抽屉中有2个元素，即至少有两个学生的生日是同一天。
平年一年有365天，闰年一年有366天。
把天数看做抽屉，共366个抽屉。
把367个人分别放入366个抽屉中，至少在一个抽屉里有两个人，因此，肯定有两个学生的生日是同一天。
练习1：1、某校有370名1992年出生的学生，其中至少有2个学生的生日是同一天，为什么？2、某校有30名学生是2月份出生的，能否至少有两个学生生日是在同一天？3、15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？【例题2】某班学生去买语文书、数学书、外语书。
买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？首先考虑买书的几种可能性，买一本、二半、三本共有7种类型，把7种类型看成7个抽屉，去的人数看成元素。
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抽屉原理
抽屉原理（1）
把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。
1.游泳队有13名队员，教练说你们当中至少有两个人在同一个月过生日，为什
么？
2.某校的小学生年龄最小的6岁，最大的13岁，从这个学校中至少任选几位同学
就一定保证其中有两位同学的年龄相同？
3.布袋中装有红、黄、蓝三色小木棒若干根，至少摸出多少根，就一定保证有两
根小木棒的颜色相同？
4.布袋中装有红、黄、蓝三色小木棒若干根，每次取出两根，至少摸出多少次，
就一定保证有两次摸出的两根小木棒的颜色组合相同？
5.布袋中装有红、黄、蓝三色小木棒若干根，每人取出三根，至少需要多少人，
就一定保证有两人摸出的小木棒的颜色组合相同？
6.为了欢迎来宾，学校准备了红、黄、蓝三色小旗，每个同学两手各拿一面小旗
列队欢迎，试证明：任意8名同学中，至少有两人不但所拿小旗的颜色一样，而且左右顺序也相同。
7.体育器材室里有许多足球、排球和篮球，体育课学生来拿球。
如果每人至少拿
1个球，至多拿2个球，至少来多少名学生，就能保证一定有两名学生所拿的球种类完全一样。
8.学校食堂中午有6种不同的菜和5种不同的主食。
每人只能买一种菜和一种主
食，请你证明32名同学中，一定至少有两名学生所买的菜和主食是一样的。
9.证明：任取7个自然数，必有两个数的差是6的倍数。
10.从2、4、6、8……、24、26这13个偶数中，任取8个数，证明其中一定有两个数
之和是28。
11.求证：任意互异的8个整数中，一定存在6个整数A
、A2、A3、A4、A5、A6，使
1
得（A1－A2）×（A3－A4）×（A5－A6）恰是105的倍数。
12.从1到20这20个数中，任取11个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍
数。
抽屉原理（2）
把多于m×n个苹果随意放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有（m+1）个或（m＋1）个以上的苹果。
13.布袋中装有红、黄、蓝三色小木棒若干根，至少摸出多少根，就一定保证有5
根小木棒的颜色相同？
14.五年一班有63人，试证明：至少有6个人在同一个月过生日。
15.五年级一共165名学生，他们都订阅了甲、乙、丙三种报刊中的若干种，那么
订阅报刊种类相同的至少有多少人？
16.求证：①任意25个人中，至少有3个人的属相相同.②要想保证至少有5个人的属
相相同，但不能保证有6个人属相相同，那么人的总数应在什么范围内？
17.一副扑克牌，共54张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证①至少有5张牌的
花色相同；②四种花色的牌都有；③至少有3张牌是红桃。
18.52张扑克牌有红桃、黑桃、方块、梅花4种花色各13张，问：
①至少从中取出多少张牌，才能保证有花色相同的牌至少2张。
②至少从中取出几张牌，才能保证有花色相同的牌至少5张。
③至少从中取出几张牌，才能保证有4种花色的牌。
④至少从中取出几张牌，才能保证至少有2张梅花牌和3张红桃。
⑤至少从中取出几张牌，才能保证至少有2张牌的数码（或字母）相同。
19.在边长为4的正方形中，任意点9个点，试证明：至少存在3个点，以这三个点
为顶点的三角形面积不超过2。
20.在边长为3米的正方形内，任意放入28个点，求证：必有4个点，以它们为顶点
的四边形的面积不超过1平方米。
21.把1、2、3、…、10这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有
相邻的三个数之和不小于17。
22.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
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