2013考研数学模拟卷数二3
2012考研数学模拟试卷三【数二】
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）3214lim 1
x x ax x x →---++ 具有极限l ，则l = （ ） （A ）5 （B ）10
（C ）15 （D ）20
（2）设)(x f 在0=x 的某邻域内二阶连续可导，且1cos 1)(lim ,0)0(0=-''='→x
x f x f x ，则 （ ） ;)())0(,0(,0)0()(的拐点为但x f y f f A =≠'' ;)()0(0)0()(的极小值为且x f f f B =''
;)())0(,0(,0)0()(的拐点为且x f y f f C =='' .)()0(0)0()(的极小值为且x f f f D ≠''
（3）设图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、如下：
若函数在[0，1]内可导，则)(,)(),(0x f y dt t f y x f y x
'===⎰的图形分别是： （ ）
（A ）Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、 （B ）Ⅰ、Ⅲ、Ⅱ、
（C ）Ⅱ、Ⅰ、Ⅲ、 （D ）Ⅲ、Ⅰ、Ⅱ、
（4）极限=-+⎰-+∞→dt t t e x x t x 2ln )11(lim （ ）
1)(-A ； 0)(B ； 1)(C ； 21)(-
D 。
（5）设函数(,)f x y 在全平面上都有(,)0f x y x
∂<∂，(,)0f x y y ∂>∂.则下列条件中能保证1122(,)(,)f x y f x y <的是 （ ）
(A) 1212,x x y y << (B)1212,x x y y <>
(C) 1212,x x y y >< (D)1212,x x y y >>
（6）设),(y x f 连续，且,),(),(⎰⎰+=D dudv v u f xy y x f ，其中D 是由1,,02===x x
y y 所围成区域，
则=),(y x f _______ （ ） (A) 8
1+xy . (B)xy 2. (C) xy . (D)1+xy .
（7）已知四维列向量321,,ααα线性无关，若向量)4,3,2,1(=i i β是非零向量组且与向量组321,,ααα均正交，则向量组4321,,,ββββ的秩为 （ ）
1)(A ； 2)(B ；
3)(C ； 4)(D 。
（8）已知⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x A 00110002的伴随矩阵*A 有一特征值为2-，则=x （ ）
12)(或-A ； 11)(或-B ；
12)(--或C ； 11)(-或D
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）若()arctan xf x dx x C =+⎰，则1()
dx f x ⎰= （10）求级数
21!n n n ∞=-∑ 的和= （11）方程3001()()3
x x f x t dt x f t dt -=+⎰
⎰满足(0)0f =的特解为 ._______|,)12()1,0(2)(222=∂∂∂=⎰++-x
y z du e z y x u y x 则设 (13) 设D 是由3,(0)y x y x x ==>所围成的平面区域，则 sin D
x d x σ⎰⎰= (14) 设A 是三阶矩阵，已知0,20,30A E A E A E +=+=+=，B 与A 相似，则与B 的相似对角形为 。
三、解答题：15～23小题，共94分. 请将答案写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）(本题满分10分) 设()0()0x f x e x x g x x ax b x ⎧--<⎪=⎨⎪+≥⎩，其中()f x 在0x =处二阶可导，且(0)(0)1f f '==。
（I ）a 、b 为何值时()g x 在0x =处连续？
（II ）a 、b 为何值时()g x 在0x =处可导？
（16）(本题满分10分) 计算二次积分⎰⎰∞+∞
++'y x y
x x f x y d )(d 220，其中)(x f '在),0[+∞上连续，且有 （1）1)0(-=f ；（2）在+∞→x 时，曲线)(x f y =有水平渐近线y =1.．
（17）(本题满分10分)
设)(x f 在],0[a 上非负，),(,0)(,0)0(Y X x f f >''=为),(x f y =
0=y 及a x =围成区域的形心，证明：3
2a X >。
（18）(本题满分10分) 求解微分方程⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-'=-=+21
)1(,6)1()(sin cos 222y y dx dy dx dy y dx y d y π
（19）(本题满分10分) 一个容器的内表面侧面由曲线)20(22≤≤+=x y x 绕轴旋转而成，外表面由曲线22y x +=在点)2,2(的切线位于点)2,2(与x 轴焦点之间的部分绕x 轴旋转而成，此容器材质的密度为μ。
求此容器自身的质量M 及其内表面的面积S 。
（20）(本题满分10分)
设()f x 在区间[,]a b 上可导，且满足22()cos ()cos a b a f b b f x xdx b a
+
⋅=⋅-⎰. 求证至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()tan f f ξξξ'=⋅.
（21）(本题满分10分)
如图 曲线C 的方程为()y f x =，点（3，2）是它的一个拐点，直线12,l l 分别是曲线C 在点（0，0）与（3，2）处的切线，其交点为（2，4），设函数()f x 具有三阶连续导数，计算3
20()()x x f x dx '''+⎰
（22）(本题满分11分)
设二次型222123123121323(,,)33484T f x x x x Ax x ax x x x x x x x ==++---其中2-是二次型矩阵A 的一个
特征值.
(Ⅰ)试用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用正交变换；
(Ⅱ)求f 在条件2221231x x x ++=下的最小值，并求最小值点123(,,)x x x ；
(Ⅲ)如果*
A kE +是正定矩阵，求k 的取值.
（23）(本题满分11分) 设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=11111b b a a A 的秩为1，且T )1,1,0(-是A 的一个特征向量。
（1）求b a ,；（2）求可逆阵P 及对角阵D ，使得D AP P =-1。
2013考研模考测试卷答案(数学二)
2013考研模考测试卷数学二答案答题注意事项1. 考试要求考试时间：180分钟满分：150分.2. 基本信息学员姓名:____________ 分数: ___________一、选择题(1～8小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 设)(x f 在0=x 的某邻域内连续,且当0→x 时,)(x f 与m x 为同阶无穷小.又设0→x 时，dt t f x F nx ∫=)()(与k x 为同阶无穷小,其中m 与n 为正整数.则k = ( )(A) .n m + (B) .2m n + (C) .n mn + (D) .1−+n mn 【答案】(C).【解析】由0→x 时)(x f 与m x 为同阶无穷小,知存在常数0≠A ,当0→x 时mAx x f ~)(,从而nmnAx x f ~)(.于是.0lim )(lim )(lim 01100≠=⋅→−−→→k nnm x k n n x k x xx x k An kx nx x f x x F 洛 故.n nm k +=所以选(C).(2) 设()()f x g x 在0x 处可导,且00()()0f x g x ==,0000()()0,(),()f x g x f x g x ′′′′′′=>存在,则 ( )(A)0x 不是()()f x g x 的驻点. (B)0x 是()()f x g x 的驻点,但不是它的极值点. (C)0x 是()()f x g x 的驻点,且是它的极大值点. (D)0x 是()()f x g x 的驻点,且是它的极小值点. 【答案】(D).【解析】设()()()x f x g x ϕ=,则()()()()()x f x g x f x g x ϕ′′′=+,()()()2()()()()x f x g x f x g x f x g x ϕ′′′′′′′′=++,所以0()0x ϕ′=,0x 是()x ϕ的驻点.又由000()2()()0x f x g x ϕ′′′=>,知()x ϕ在0x 点取得极小值.故答案为(D). (3) 函数222sin y x x π=−的不可导点个数为 ( )(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.【答案】(A).【解析】函数可能的不可导点为x π=±,因为222()sin ()lim 0,x x xy x ππππ−−→−′==− 222()sin ()lim 0,x x xy x ππππ++→−−′==−所以y 在π处可导.又 222()sin ()lim 0,x x xy x ππππ−−→−−−′−==+222()sin ()lim 0,x x xy x ππππ++→−−′−==+所以y 在π−处可导.故y 处处可导.故正确答案为(A). (4) 在下列微分方程中,以xx x x C C y 22221e 21e )(−−++=（其中21,C C 为任意常数）为通解的是 ( ) (A) 244e xy y y −″−′+=. (B) 244e .xy y y −″+′+=(C) 244e x y y y −″+′−=. (D) 244exy y y −″−′−=.【答案】(B).【解析】设所求微分方程为)(x f qy py y =+′+″,其对应齐次微分方程的特征方程的根为221−==r r ,因而特征方程为0)2(2=+r ,即0442=++r r ,故对应的齐次微分方程为044=+′+″y y y ．非齐次微分方程对应的特解为xx 22e 21−,代入微分方程)(44x f y y y =+′+″的左边,得 x x x x x x x x x x x x y y y 2222222222***e e 2)e 4e 4(e 2e 4e 44"−−−−−−−=+−++−=+′+,即得x x f 2e )(−=,所以所求微分方程为x y y y 2e 44−=+′+″．所以选(B).(5) 设),(y x f 有连续的偏导数,且))(,(xdy ydx y x f +−−为函数),(y x u 的全微分,则 ( )(A) 21(,)(,)xf x y yf x y ′′−−=−−. (B) 21(,)(,).xf x y yf x y ′′−−−=−−(C) 21(,)(,).yf x y xf x y ′′−−=−− (D) 21(,)(,)yf x y xf x y ′′−−−=−−. 【答案】(C).【解析】由于dy y x xf dx y x yf du ),(),(−−+−−=,即),,(),,(y x xf y u y x yf x u −−=∂∂−−=∂∂所以222(,)(,)(1)(,)(,),uf x y yf x y f x y yf x y x y∂′′=−−+−−−=−−−−−∂∂ 211(,)(,)(1)(,)(,).uf x y xf x y f x y xf x y y x ∂′′=−−+−−−=−−−−−∂∂由于x y u y x u ∂∂∂∂∂∂22,连续,所以xy u y x u ∂∂∂=∂∂∂22,于是得21(,)(,).yf x y xf x y ′′−−=−−故应选(C). (6) 设222{(,)|,0}D x y x y R R =+≤>,常数0λ≠.则二重积分cos sin ()r r De e rdrd λθλθθ−−∫∫的值 ( ) (A) 为零.(B) 为正. (C) 为负.(D) 当0λ>时为正,当0λ<时为负.【答案】(A).【解析】由极坐标化为直角坐标，及轮换对称性,知()()x y y x DDI e e d e e d λλλλσσ−−=−=−∫∫∫∫, 所以 2()()2()x x y y x xDDDI e e d e e d e e d λλλλλλσσσ−−−=−+−=−∫∫∫∫∫∫. 又因为被积函数是x 的奇函数,区域D 关于y 轴对称,所以()0xx Dee d λλσ−−=∫∫.从而知0I =,故答案为(A).(7) 下列叙述正确的是 ( )(A) 若两个向量组的秩相等，则此两个向量组等价.(B) 若齐次线性方程组0Ax =与0Bx =同解，则矩阵A 与B 的行向量组等价. (C) 若向量组12,,,s ααα"可由向量组12,,,t βββ"线性表示，则必有s t <.(D)若向量组12,,,s ααα"与向量组2,,s αα"均线性相关，则1α必不可由2,,s αα"线性表示. 【答案】(B) .【解析】本题可用排除法，对于(A)选项，例如110α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，101β⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，1α与1β秩相等，但1α与1β并不等价，可排除A 选项；又如111α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠， 212α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，321α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，可由110β⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，201β⎛⎞=⎜⎟⎝⎠线性表示，但32>，可排除(C)选项；又如111α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠， 201α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，310α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，422α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，则1234,,,αααα与234,,ααα均线性相关，且1α可由234,,ααα线性表示，可排除(D)选项，只有(B)选项为正确答案．事实上，易证方程组0Ax =与0A x B ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠同解，则()A r A r B ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，因此B 的行向量组可由A 的行向量组线性表示，同理可证A 的行向量组可由B 的行向量组线性表示，因此A 与B 的行向量组等价．故选(B)(8) 已知210200120,021001010A B ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠，则A 与B ( ) (A) 等价、相似、合同. (B) 不等价、不相似、不合同.(C) 等价、相似、不合同. (D) 等价、不相似、合同. 【答案】(D).【解析】由于()3,()3r A r B ==，所以A 与B 等价.A 与B 均为实对称矩阵，若特征值相同，则A 与B 相似，否则A 与B 不相似.由于()()()()()()()()2102112011311212002102122(1(1101E A E B −−−−−=−−=+=+−−−−+−−−−=−−=−=−−+−−−−λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ所以A 的特征值为1,3,1A =−λ，B的特征值为2,1B =λ，因此A 与B 不相似.由于A 与B 的正负惯性指数是相同的，正惯性指数为2，负惯性指数为1，所以A 与B 合同. 所以选择 (D).二、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分. 请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 设四次曲线432y ax bx cx dx f =++++经过点(0,0),并且点(3,2)是它的一个拐点. 过该曲线上点(0,0)与点(3,2)的切线交于点(2,4).则该四次曲线的方程为y = .【答案】4324284227273x x x x −++. 【解析】曲线432y ax bx cx dx f =++++经过点(0,0),所以0.f = (1)又因为经过点(3,2),所以 3812793 2.|x ya b c d f ==++++= (2)又因为点(3,2)是拐点,所以 233(1262)1081820.||x x y ax bx c a b c ==′′=++=++=(3)又因为经过点(0,0)的切线斜率为422=,所以 320(432)2;||x x y ax bx cx d d ==′=+++== (4)经过点(3,2)的切线斜率为42223−=−−,所以 3233(432)108276 2.||x x y ax bx cx d a b c d ==′=+++=+++=−(5)联立(1)-(5),解得0f =,2d =,43c =,2827b =−,427a =.即求得4324284227273y x x x x =−++. (10) 曲线x x x x y −++=sin 22的斜渐近线方程为 .【答案】.12−−=x y【解析】因为lim limx x y xx x →−∞→−∞=xx x x x x x −++−=−∞→2sin 21lim,2−=lim (2)lim )x x y x x →−∞→−∞+=+limx =limx =,1−=所以斜渐近线方程为：.12−−=x y (11)2225x dx x x −=++∫ .【答案】2131ln(25)arctan 222x x x C +++−+.【解析】222221313ln(25)25252(1)2x dx dx x x dx x x x x x +=−=++−++++++∫∫∫原式2131ln(25)arctan 222x x x C +=++−+. (12) 曲线322y x x x =−++与x 轴所围成的图形的面积A = . 【答案】3712. 【解析】令3220y x x x =−++=,得1,0,2x =−. 当10x −<<时,0y <；当02x <<时,0y >,于是021037(0)12A y dx ydx −=−+=∫∫. (13) 设函数()f u 具有连续导数,且函数(,)z z x y =由方程22()y z xf z y +=−确定,则z zx z x y∂∂+=∂∂ . 【答案】y .【解析】对两边求全微分,得2222()()(22).dy dz f z y dx xf z y zdz ydy ′+=−+−−为书写方便,设22u z y =−,并解出dz 得 ()12().12()12()f u xyf u dz dx dy xzf u xzf u ′+=−′′−− 于是()12()z f u x xzf u ∂=′∂− ,12().12()z xyf u y xzf u ′∂+=−′∂− 从而 .z zxz y x y∂∂+=∂∂(14) 设A 是54×矩阵，B 是四阶矩阵，满足2AB A =，*B 是B 的伴随矩阵．若A 的列向量线性无关，则()*r B= ．【答案】4.【解析】由2AB A =可得(2)A B E O −=，故()(2)4r A r B E +−≤． 由于A 的列向量线性无关，所以()4r A =． 由此可得(2)0r B E −=，即2B E O −=，2E B =． 故()4r B =．由矩阵秩和伴随矩阵秩之间的关系，可得()*4r B=．三、解答题(本题共9小题,满分94分. 请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分10分)已知1,0,(),01,1arctan ,1,1x x f x ax b x x x −<⎪⎪⎪=+≤≤⎨⎪⎪>−⎪⎩在它的定义域上连续,求常数a 和b .【解析】000112lim ()lim lim 2x x x axa f x x x−−−→→→−−===−, …… 3分0lim ()x f x b +→=,1lim ()x f x a b −→=+, …… 5分111lim ()lim arctan 12x x f x x π++→→==−,…… 6分(0)f b =,(1)f a b =+.…… 8分所以()f x 在0x =处连续⇔2a b −=；()f x 在1x =处连续2a b π⇔=+. 解之,a π=,2b π=−.…… 10分(16) (本题满分10分)设()f x 是[],a a −上的连续偶函数(0)a >，且()0f x >，()()d aaF x x t f t t −=−∫，求()F x 在[],a a −上的最小值. 【解析】()()()()()d d x aax F x x t f t t t x f t t −=−+−∫∫ ()()()()()()d d d x x aax x x t f t t x t f t t t x f t t −−−=−+−+−∫∫∫ ()()()()()()d d d d xxxaax x x x t f t t x f t t tf t t t x f t t −−−−=−+−+−∫∫∫∫令t u =−，则()()()()()()d ()d d x x xaa a x t f t t x u f u u x u f u u −−−=+−−=−+∫∫∫ ()()()()()()0d 2d d x xxaaF x x t f t t x f t t t x f t t ∴=−++−−∫∫∫()()02d 2d xxax f t t tf t t =−∫∫…… 4分()()()()()02d 222d x xF x f t t xf x xf x f t t ′=+−=∫∫ …… 6分令()0F x ′=得0x =()()0f x >因又()()()()20200F x f x F f ′′′′==>， …… 8分 故()F x 在0x =处取得极小值. 由于()F x 在()a a −，内可导，且只有一个驻点，所以()F x 在0x =处的极小值即函数的最小值. 此最小值为()() 002d aF tf t t =∫． …… 10分(17) (本题满分10分)求微分方程2xy y x ′′′+=满足初始条件(1)1y =,1(1)2y ′=的特解. 【解析】令p y ′=,则有dp y dx ′′=,原方程化为2dpx p x dx+=再化为21,dp p dx x +=…… …… 3分 解得,2221112211.3dx dx x xC x p e dx C e x dx C x x −⎡⎤∫∫⎡⎤=⋅+⋅=+⋅=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦∫∫ …… 6分 于是12.3C dy x dx x=+ 再分离变量积分得通解,212.6C x y C x=−+ …… 8分 由(1)1y =,1(1),2y ′=得2121211166|x C x C C C x =⎛⎞=−+=−+⎜⎟⎝⎠,且112111.233|x C x C x =⎛⎞=+=+⎜⎟⎝⎠ 解得116C =,21C =.所以满足初始条件(1)1y =,1(1)2y ′=的特解为21*166x y x =−+. …… 10分(18) (本题满分10分)已知(42)(42),(0,0)0dz x dx y dy z =−−+=，求(z z x y =，）在区域2218D x y +≤：上的最大值与最小值.【解析】 由(42)(42),(0,0)0dz x dx y dy z =−−+=,知242,4()zx z x x y xϕ∂=−=−+∂, 又2()(42),()4zy y y y y C yϕϕ∂′==−+=−−+∂，所以2244z x x y y C =−−−+ 又由(0,0)0,0z C ==，所以2244z x x y y =−−− ……4分420420x yz x z y =−=⎧⎨=−−=⎩得驻点(2,2)−. ……6分 设22(,,)4418(18)F x y x y x y λλ=−−++−，由22()420420180x y F x x F y F x y λλλ=+=⎧⎪=−+=⎨⎪=+−=⎩ 得驻点(3,3),(3,3)−−. ……8分 而(2,2)8,(3,3)6,(3,3)42f f f −=−=−=−，则(,)z z x y =在区域22:18D x y +≤上的最大值为8，最小值为-42. ……10分 (19) (本题满分10分)设()22,,u f x y xyz =,函数(),z g x y =由方程()xyzxy ee z t dt z ϕ+−=∫确定,其中f 可微,ϕ连续,且1ϕ≠.求u u xy x y∂∂−∂∂. 【解析】 因132,u z xf y z x f x x ∂∂⎛⎞′′=++⎜⎟∂∂⎝⎠ 232,u z yf x z y f y y ⎛⎞∂∂′′=++⎜⎟∂∂⎝⎠…… 4分在方程()xyzxy ee z t dt z ϕ+−=∫中,令,xy v e z t =+−则,dv dt =−且当t z =时,;xy v e =当xy t e =时,,v z =则上述方程化为().xyze v dv z ϕ=∫……5分 两边对x 求偏导,得()(),xy xyz z z e e y x x ϕϕ∂∂⋅−⋅=∂∂ ()(),1xy xye e y z x z ϕϕ⋅∂=∂− …… 6分同理可得()().1xy xye e xz y z ϕϕ⋅∂=∂− …… 8分将z x ∂∂,z y ∂∂代入u x ∂∂,u y ∂∂的表达式,得()22122.u u x y x f y f x y∂∂′′−=−∂∂ …… 10分 (20) (本题满分11分)设平面区域{}(,)0,0D x y x y ππ=≤≤≤≤,计算积分cos()DI x y d σ=+∫∫.【解析】积分区域关于x y π+=对称,被积函数cos()x y +对于u x y =+满足cos()cos()u u ππ+=−, 所以,1cos()2cos()DD I x y d x y d σσ=+=+∫∫∫∫,其中{}1(,)|,0,0D x y x y x y π=+≤≥≥.…… 3分又因为区域1D 被直线2x y π+=分为12σσ和,1(,)|,0,02x y x y x y πσ⎧⎫=+≤≥≥⎨⎬⎩⎭,2(,)|,0,02x y x y x y πσπ⎧⎫=≤+≤≥≥⎨⎬⎩⎭, 在1σ内cos()0x y +>；在2σ内cos()0x y +<.故122[cos()cos()]I x y d x y d σσσσ=+−+∫∫∫∫…… 6分 1122[2cos()cos()]x y d x y d σσσσσ+=+−+∫∫∫∫…… 8分202[2(1sin )sin ]2.x dx xdx πππ=−+=∫∫…… 11分(21) (本题满分11分)(I) 设k为正整数,42()xkxt e F x dt e −=+∫∫,证明()F x 存在唯一的零点,记为k x ；(II) 证明21limnkn k x→∞=∑存在,且其极限值小于2.【解析】(I)(0)0,F =<∫ (1)分41021()0,t k F dt ke −=+>∫∫ …… 2分故至少存在一个零点记为k x ,10k x k<<.…… 3分又4()0,x kx F x eke −′=> …… 4分故至多存在一个零点.所以正好存在唯一零点k x ,且10k x k<<.…… 5分(II)222112211111,(1)nnn nkk k k k x k k k k ====<=+<+−∑∑∑∑ …… 7分所以2211111((1)1nnk k k k k k ==+=+−−−∑∑111 2.n =+−< …… 9分又因为21n k k x =⎧⎫⎨⎬⎩⎭∑随n 而单调增加,由单调有界定理知,21lim nk n k x →∞=∑存在,其极限值小于2. …… 10分(22) (本题满分11分)线性方程组(a)12341234123420233035240x x x x x x x x x x x x ++−=⎧⎪++−=⎨⎪++−=⎩，(b)124123020x x mx x nx x ++=⎧⎨++=⎩(I)求线性方程组(a)的通解；(II),m n 取何值时，方程组(a)与(b)有非零公共解； (III),m n 取何值时，方程组(a)与(b)同解. 【解析】(I)对(a)的系数矩阵做初等行变换：121112112313011135240000−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠令341,0x x ==，解得121,1x x ==−，()11,1,1,0,Tξ=− 令340,1x x ==，解得123,1x x ==−，()23,1,0,1T ξ=−， 基础解系为：()11,1,1,0,Tξ=−()23,1,0,1Tξ=−.则(a)的通解为112212,,x k k k k ξξ=+为任意常数. …… 3分(Ⅱ)对(a)和(b)的联合方程组的系数矩阵做初等行变换：1211121123130111352401111100111120021112111211011101110000003300200020033000m m n n n n m m nn −−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟→−−−−⎜⎟⎜⎟−−+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟→→−−⎜⎟⎜⎟++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠所以当3n =或2m =−时，联合方程组有非零解，该非零解既满足方程组(a)，又满足方程组(b)，所以该非零解就是方程组(a)与方程组(b)的公共解. …… 7分(Ⅲ)若方程组(a)与(b)同解，则将方程组(a)的基础解系代入(b)中，应该满足(b)中的方程，即110310,2,312030m m n n n −=−+=⎧⎧⇒=−=⎨⎨−+=−=⎩⎩. 因为两方程组系数矩阵秩相等，当2,3m n =−=时，所以方程组(a)与(b)同解. …… 11分 (23) (本题满分11分)设A 为3阶方阵，123,,λλλ是A 的三个不同特征值，对应的特征向量分别为123,,ααα，令123.βααα=++(I)证明2,,A Aβββ线性无关；(II)若3232,AA A βββ=−求A 的特征值，并计算行列式.A E +【解析】(I)令21230k k A k A βββ++=，由22,,1,2,3,i i i i i i A Ai ===αλααλα知()()()2221123211223331122330,k k k ++++++++=αααλαλαλαλαλαλα…… 2分即 ()()()2221213111223221233330,k k k k k k k k k ++++++++=λλαλλαλλα由题设123,,ααα分别是三个不同特征值123,,λλλ的对应特征向量，则必线性无关，即有2121312122322123330,0,0,k k k k k k k k k ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩λλλλλλ…… 4分因其行列式211222233110,1≠λλλλλλ所以1230,k k k ===故2,,A A βββ线性无关. …… 5分 (II) 由()()()()223222,,,,,,32000,,103,012A A A A A A A A A A A A ==−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠βββββββββββββ令()2,,P A A βββ=，则P 可逆，且1000103,012P AP B −⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟−⎝⎠即~.A B ……8分因()()()200132331,012E B −=−−=+−=+−−+λλλλλλλλλλ得B 的三个特征值为1230,3, 1.λλλ==−=由~A B 知，A 的三个特征值也为1230,3, 1.λλλ==−=……10分再由()11,PA E P P AP EB E −−+=+=+知100113 4.011A EB E +=+==−−…… 11分。
2013考研数学模拟卷数三2答案
2013考研数学模拟卷数三2答案2013考研数学模拟试卷二【数三】解析一、选择题 （1）C解：由⎰⎰+=-+='xxduu g x dt t x g x x f 0)(cos ln )(cos ln )(得)(cos sin )(x g xxx f +-=''于是321])(sin cos 1[lim )(lim 0-=--=+⋅-=''→→xx g x x x x x f x x 03)0()(lim)0(,0)0(0≠-=''-''='''=''⇒→xf x f f f x可见))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点，故选（C ） （2）B解：由一阶导数判断函数单调性，二阶导数判断凹凸性，选B 。
（3）A解：正项级数∑∞=+1)1ln(n na 收敛，所以0>na且)(0∞→→n an又1)1ln(lim =+∞→nn n a a ，于是正项级数∑∞=1n na 与∑∞=+1)1ln(n na 有相同的敛散性，即∑∞=1n na 收敛，且∑∞=+11n n a 也收敛。
又)(21)1(111++++≤=-n n n n n n na a a a a a ，级数∑∞=++11)(n n na a收敛，所以，由比较判别法，级数11)1(+∞=∑-n n n na a 绝对收敛。
（4）B 解：x x x 1arctan124-有三个间断点，其中1±=x 为无穷间断点，曲线有两条铅直渐近线（0=x 非无穷间断点）。
21,10,00,1)(λλλ==⇒⎩⎨⎧≤>-=-DX EX x x e x F x ，所以C B A ,,都不对。
因为0)(,2)(=-=+Y X E Y X E λ，而),max(Y X 的分布函数不是⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(22x x e x F x λ，所以D 对。
2013考研数二真题答案完整版
x→0 axn
axn
axn
1 x2 + o(x2 ) 1 (2x)2 + o(x2 ) 1 (3x)2 + o(x2 )
= lim( 2
+2
+2
)
x→0
axn
axn
axn
所以 n = 2 且 1 + 4 + 9 = 1 ⇒ a = 7 2a 2a 2a
（16）解析：由题意可得：
∫ Vx = π
a
1
(x3 )2
即 lim 1− cos x ⋅ cos 2x ⋅ cos 3x = lim 1− cos x + cos x(1− cos 2x) + cos x ⋅ cos 2x(1− cos 3x)
x→0
axn
x→0
axn
= lim(1− cos x + cos x(1− cos 2x) + cos x ⋅ cos 2x(1− cos 3x))
又由于 f (x) 为奇函数，故 f '(x) 为偶函数，可知 G(−ξ ) = 0 ,
则 ∃η ∈(−ξ ,ξ ) ⊂ (−1,1) 使 G '(ξ ) = 0,
即 eη[ f '(η) −1] + eη f ''(η) = 0 ，即 f ''(η) + f '(η) = 1
2
2
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（16）（本题满分 10 分）
2
2
鲤鱼网（）
1
设 D 是由曲线 y = x3 ，直线 x = a(a > 0) 及 x 轴所围成的平面图形，Vx ,Vy 分别是 D 绕 x 轴， y 轴旋转一
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题-推荐下载
（C）与 x 同阶但不等价无穷小
（A）2
f
(x)
f x是由方程 cosxy ln y x
sin x, x [0, )
2,
（B）1 （C）-1
，
x [ ,2 ]
３．设
４．设函数
F ( x)
（B）比 x 低阶的无穷小
（D）与 x 等价无穷小
1
确定，则
x
f (t)dt 则（
x
x
e
（B） a 2
５．设函数 z y f xy，其中 f 可微，则 x z z （ ）
x
e
，且反常积分
（A） 2 yf '(xy) （B） 2 yf '(xy) （C） 2 f (xy) （D） 2 f (xy)
y x y
6．设 Dk 是圆域 D (x, y) | x2 y 2 1的第 k 象限的部分，记 I k ( y x)dxdy ，则（ ）
1 a 1
（A） a 0,b 2
（C） a 2,b 0
0 0 0
（B） a 0 ， b 为任意常数
（D） a 2 ， b 为任意常数
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
9． lim 2 ln(1 x) x
Aij aij 0(i, j 1,2,3) ，则 A =
三、解答题
15．（本题满分 10 分）
当 x 0 时，1 cos x cos 2x cos 3x 与 ax n 是等价无穷小，求常数 a, n ．
2013考研数学一数学二数学三(真题及答案)完美打印word版
2013考研数学（一、二、三）真题及答案解析第一部分：数一真题及答案解析1.已知极限arctan limkx x xc x →-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（） A.12,2k c ==-B. 12,2k c ==C. 13,3k c ==-D. 13,3k c ==答案:D解析：用洛必达法则221121000011arctan 1111lim lim lim lim (1)k k k k x x x x x x x x x cx kx kx x k x ---→→→→--+-+====+因此112,k c k -==，即13,3k c ==2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ） A. 2x y z -+=- B. 0x y z ++= C. 23x y z -+=- D. 0x y z --= 答案:A 解析：法向量(0,1,1)(,,)(2sin()1,sin(),),|(1,1,1)x y z n F F F x y xy x xy z y n -==-+-+=-切平面的方程是：1(0)1(1)1(1)0x y z ---++=，即2x y z -+=-。
3.设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==⎰ ，令1()s i n n n S x b n x π∞==∑，则（ ）A .34 B. 14 C. 14- D. 34-答案:C解析：根据题意，将函数在[1,1]-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：1||,(0,1)2()1||,(1,0)2x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-+∈-⎪⎩，它的傅里叶级数为()s x ，它是以2为周期的，则当(1,1)x ∈-且()f x 在x 处连续时，()()s x f x =。
91111()()()()44444s s s f -=-=-=-=-。
2013考研 数学二 真题
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α−=，其中()2x πα<，则当时，0x →()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小（2）设函数由方程()y f x =cos()ln 1xy y x +−=确定，则2lim ()1n f n→∞⎡⎤−=⎢⎥⎣⎦（ ） （A ） （B ）1 （C ） （D ）21−2−（3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，，则（ ）0()()x F x f t dt =∫（A ）x π= 是函数的跳跃间断点 （B ）()F x x π= 是函数的可去间断点()F x （C ）在()F x x π=处连续但不可导 （D ）在()F x x π=处可导（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x xαα−+⎧<<⎪−⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞∫收敛，则（ ）（A ）2α<− （B ）2α> （C ）20α−<< （D ）02α<< （5）设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+=∂∂（ ） （A ） （B ）2(yf xy ′))2(yf xy ′− （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x− （6）设是圆域k D {}22(,)|1D x y x y =+≤在第象限的部分，记，则（ ）k ()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =−=∫∫（A ） （B ） （C ） （D ） 10I >20I >30I >40I >（7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价（D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（8）矩阵与相似的充分必要条件为1111a a b a a ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠2000b 0000⎛⎞⎜⎟⎜⎜⎟⎝⎠⎟（A ）a 0 ,b 2==（B ） 为任意常数b a ,0=（C ）0,2==b a （D ）为任意常数b a ,2=二、填空题：9−14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+−= ． (10) 设函数()xf x −=∫，则()y f x =的反函数1()x f y −=在处的导数0y =0y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos 3()66r ππθθ=−≤≤，则L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线arctan ln x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩上对应于的点处的法线方程为 1t =．(13)已知321x x y e xe =−，22x x y e xe =−，23x y xe =−是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y =′=的解为y = ．（14）设是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，为的代数余子式，若ij A (a )=ij A ij a ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当时，1c 0x →os cos 2cos3x x x −⋅⋅与为等价无穷小，求与的值。
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案解析
2013考研数学二真题ঞㄨḜ解析ZZZ ZHQGXHGX FRP一、选择题1.设cos x -1=x sin ()x α，其中｜()x α｜<2π，则当x →0时，()x α是（）而()0lim 0x F x πππ−−→′==−∫∫，()()()0lim 2xx f t dt f t dtF x ππππ++→−′==−∫∫，()()(),F F F x ππ−+′′≠∴∵在x π=处不可导。
故()F x 在x π=处连续但不可导。
4.设函数f (x )=1,1,(1)11,.ln(1)x e x x e x xαα⎧<<⎪−−⎪⎨⎪≥⎪+⎩若反常积分∫∞+1f (x )d x 收敛，则（）解：[]21320,0,()0,(()0),D I I I y x d y x σ===+−>+−>∫∫∵[]44()0,(()0),D I y x d y x σ=+−<+−<∫∫∵所以选（B ）。
7.设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则(A)矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价(B)矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价(C)矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价(D)矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价答案：（B ）解：1212(,,,)(,,,),(1)n n i i A A i n βββγγγβγ==≤≤⋯⋯，即C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示。
⎪⎪⎩⎭10.设函数(),xf x −=∫则y =f (x )的反函数)(1y f x −=在0=y 处的导数______|0==y dydx解：=0y 即=-1x，=0y dy dx dx dy。
故32xxx y e exe =−+−。
14.设A=()ij a 是3阶非零矩阵，｜A ｜为A 的行列式，Aij 为ij a 的代数余子式，若0(,1,2,3)ij ij a A i j +==,则｜A ｜=______________答案：-1解：2*3*=-,=(-1)=-=0=-1T ij ij A a A A A A A A A =−⇒⇒或。
跨考教育：2013考研数学命题人8套卷(数二)卷3试题
本卷得分
题型 总分 得分 选择题
$ #
设 则必有 ! # 7# , . "# +8% , . 3# +0% , . "# +0$ 2! !! !! 2!
"# " % 3 #8 "# " %
设!! 为! 上的连续函数% 则下述积分为 " 的偶函数 ! # ' 3# 28% : 8# ) 为常数$ 填空题
! 4# ! $ ! 6# $ $ ! # 5 # $ ! 7# ' $ ! !!# ! 7# " $ ! !!#
"# " % "# " %
! !!#
考生注意事项
考生须在答题纸指定位置上填写考生姓名& 报考单位和考生编号' ! & 答题前% 写在其他地方无效' # & 答案必须写在答题纸指定位置上% 书# 写必须使用蓝! 黑# 色字迹钢笔& 圆珠笔或签字笔' $ & 填! 将答题纸和试题一并装入试题袋中交回' ' & 考试结束%
考研数学命题人终极预测卷 三
科目代码" ! # $ % # 考试时间 上午" " $ " $ % ! ! $ %
在! 上为正值的连续函数% 则 ! 在! 上也 "# 28% : 8# 2 8% :8# 设!! "# !! 是正值的连续函数$ 在! 上为正值的有界函数% 则 ! 在! 上也 "# 28% : 8# 2 8% :8# 设!! "# !! 是正值的有界函数$ 其中正确的个数为
#
,!
! # ! 本题满分! ! " % 分#
2013考研数学二真题
2013考研数学二真题2013年考研数学二真题是考研数学考试中的一道经典题目。
这道题目涉及到了概率统计和线性代数等多个数学领域的知识，考察了考生对于这些知识的理解和应用能力。
本文将对这道题目进行详细解析，并介绍一些解题的思路和方法。
首先，让我们来看一下这道题目的具体内容。
题目要求我们求解一个二次型的最大值，并给出最大值对应的向量。
对于这类题目，我们首先需要确定二次型的标准形式，即将二次型化为对角矩阵的形式。
在这道题目中，我们可以通过合同变换将二次型化为对角矩阵的形式。
具体的步骤如下：首先，我们需要求解二次型的矩阵表示。
根据题目给出的信息，我们可以得到二次型的矩阵表示为：A = 1/2 * [1 2; 2 4]接下来，我们需要求解矩阵A的特征值和特征向量。
通过计算矩阵A的特征多项式，我们可以得到矩阵A的特征值为λ1 = 0和λ2 = 5/2。
然后，我们可以通过求解矩阵A与特征值λ1和λ2对应的特征向量方程，得到特征向量v1 = [1 -1]和v2 = [2 1]。
接下来，我们需要进行合同变换，将二次型化为对角矩阵的形式。
合同变换的步骤如下：首先，我们需要求解合同变换矩阵P。
根据特征向量的定义，我们可以得到矩阵P的列向量为特征向量v1和v2。
即P = [1 -1; 2 1]。
然后，我们可以通过合同变换的公式，将二次型进行合同变换。
合同变换的公式为：Q = P^T * A * P。
将矩阵A和矩阵P代入公式中，我们可以得到合同变换后的对角矩阵Q为：Q = [0 0; 0 5/2]最后，我们可以得到二次型的最大值为Q的最大特征值，即最大特征值为5/2。
同时，最大特征值对应的特征向量即为二次型的最大值对应的向量，即v2 = [2 1]。
通过以上的步骤，我们成功地求解了这道题目。
这道题目考察了考生对于二次型的理解和应用能力，同时也考察了考生对于概率统计和线性代数等数学知识的掌握程度。
解题的关键在于熟练掌握合同变换的方法和特征值特征向量的求解方法。
2013考研数学模拟卷数三3
2013考研数学模拟试卷三【数三】一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）设)(x f 在0=x 的某邻域内二阶连续可导，且1cos 1)(lim,0)0(0=-''='→xx f x f x ，则 （ ）;)())0(,0(,0)0()(的拐点为但x f y f f A =≠'' ;)()0(0)0()(的极小值为且x f f f B ='' ;)())0(,0(,0)0()(的拐点为且x f y f f C =='' .)()0(0)0()(的极小值为且x f f f D ≠''（2若函数在[0，1]内可导，则)(,)(),(0x f y dt t f y x f y x'===⎰的图形分别是： （ ）（A ）Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、 （B ）Ⅰ、Ⅲ、Ⅱ、 （C ）Ⅱ、Ⅰ、Ⅲ、 （D ）Ⅲ、Ⅰ、Ⅱ、(3)设),(y x f 连续，且,),(),(⎰⎰+=Ddudv v u f xy y x f ，其中D 是由1,,02===x x y y 所围成区域，则=),(y x f _______ （ ）(A) 81+xy . (B)xy 2. (C) xy . (D)1+xy . （4）极限=-+⎰-+∞→dt tte xxt x 2ln )11(lim（ ）1)(-A 0)(B 1)(C 21)(-D(5)设B A ,为n 阶可逆矩阵，且B A ,相似，则 ____ （ ） （A ）B E A E -=-λλ.（Ⅰ） （Ⅱ）（B ）B A ,的特征值与特征向量分别相同. （C ）B A ,都相似于一个对角矩阵. （D ）对任意常数B tE A tE t --,,相似.（6）已知四维列向量321,,ααα线性无关，若向量)4,3,2,1(=i i β是非零向量组且与向量组321,,ααα均正交，则向量组4321,,,ββββ的秩为 （ ）1)(A ； 2)(B ； 3)(C ； 4)(D 。