高考数学2013年高考天津卷(文)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
文 科 数 学
第Ⅰ卷
一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, B = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] 2．设变量x , y 满足约束条件360,
20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪
⎨⎪⎩
则目标函数2z y x =-的最小值为
(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2
3．阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为
(A) 7
(B) 6
(C) 5
(D) 4
4．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
5．已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =
(A) 12
-
(B) 1 (C) 2 (D)
12
6．函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值是
(A) 1-
(B)
(C) (D) 0 7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足
212
(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是
(A) [1,2]
(B) 10,2⎛⎤
⎥⎝⎦
(C) 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
(D) (0,2]
8．设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 (A) ()0()g a f b << (B) ()0()f b g a <<
(C) 0()()g a f b << (D) ()()0f b g a <<
二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. 9．i 是虚数单位. 复数(3 + i )(1－2i ) = .
10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为
92
π
, 则正方体的棱长为 . 11．已知抛物线2
8y x =的准线过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该
双曲线的方程为 .
12．在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·
1AC BE =, 则AB 的长为 . 13．如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB //DC , 过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E . 若AB = AD = 5, BE =
4, 则弦BD 的长为 .
14．设a + b = 2, b >0, 则
1||2||a a b
+的最小值为 . 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分13分)
某产品的三个质量指标分别为x , y , z , 用综合指标S = x + y + z 评价该产品的等级. 若S ≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中
(Ⅰ) (Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,
(⒈) 用产品编号列出所有可能的结果;
(⒉) 设事件B 为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S 都等于4”, 求事件B 发生的概率.
16．(本小题满分13分)
在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知sin 3sin b A c B =, a = 3, 2cos 3
B =. (Ⅰ) 求b 的值;
(Ⅱ) 求sin 23B π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值.
17． (本小题满分13分)
如图, 三棱柱ABC －A 1B 1C 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等. D , E , F 分别为棱AB , BC , A 1C 1的中点. (Ⅰ) 证明EF //平面A 1CD ;
(Ⅱ) 证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1;
(Ⅲ) 求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值.
18．(本小题满分13分)
设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.
19． (本小题满分14分) 已知首项为
3
2
的等比数列{}n a 的前n 项和为(*)n S n ∈N , 且234,2,4S S S -成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 证明13
*)6
1(n n S n S +≤∈N .
20．(本小题满分14分)
设[2,0]a ∈-, 已知函数332(5),03,0(,).2
x f a x x a x x x x x a -+≤+-
+>⎧⎪
=⎨⎪⎩
(Ⅰ) 证明()f x 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;
(Ⅱ) 设曲线()y f x =在点(,())(1,2,3)i i i x f x i P =处的切线相互平行, 且1230,x x x ≠ 证明1231
3
x x x ++>.
参考答案
一、选择题 1．D 2．A 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．A 9．55i - 10
11．2
2
13
y x -=
12．12 13．152
14．3
4
15．
16．
17．
18．
19．
20．。