电动力学-第四章
中科大 电动力学 PPT
传播方向， 为衰减方向
《等离子体物理导论》
Copyright by Wandong LIU
复波矢求解
复波矢方程：
2 2 k k k 2i 2 0 i0
2
第八周
2 2 2 0 0
《等离子体物理导论》
电场的平行分量为零
平面边界电场垂直分量法向导数为零
E 0
1 H B
D E
nD
Copyright by Wandong LIU
矩形谐振腔电磁波模
直角坐标，电场（磁场）任一分量满足：
第九周
z
2u k 2u 0
E0 E0 2 0
1/ 2
第八周
H 0 0 0
1/ 2
E0
H 0 0 0
1/ 2
E0
H 0 0
1/ 2
ei / 4 E0
1/ 2
1 i E0 0
1/ 2 2
1 i 2 0 E0 1/ 2 E0 1 i 2 0
d X k x2 X 0 dx 2 2 d Y 2 2 k yY 0 dy d 2Z 2 k z2 Z 0 dz
2
k
2
2
L3
分离变量，令 u x, y, z X ( x)Y ( y ) Z ( z )
O
L1
y
k
《等离子体物理导论》
Copyright by Wandong LIU
矩形谐振腔驻波解
Ex x Ey Ez
电动力学复习总结第四章 电磁波的传播2012答案
第四章 电磁波的传播一、 填空题1、 色散现象是指介质的( )是频率的函数. 答案：,εμ2、 平面电磁波能流密度s 和能量密度w 的关系为( )。
答案：S wv =3、 平面电磁波在导体中传播时,其振幅为( )。
答案：0x E e α-⋅4、 电磁波只所以能够在空间传播,依靠的是( )。
答案：变化的电场和磁场相互激发5、 满足条件( )导体可看作良导体，此时其内部体电荷密度等于( ) 答案：1>>ωεσ, 0, 6、 波导管尺寸为0.7cm ×0.4cm ，频率为30×109HZ 的微波在该波导中能以( )波模传播。
答案： 10TE 波7、 线性介质中平面电磁波的电磁场的能量密度（用电场E 表示）为( )，它对时间的平均值为( )。
答案：2E ε,2021E ε 8、 平面电磁波的磁场与电场振幅关系为( )。
它们的相位( )。
答案：E vB =,相等9、 在研究导体中的电磁波传播时，引入复介电常数='ε( )，其中虚部是( )的贡献。
导体中平面电磁波的解析表达式为( )。
答案： ωσεεi +='，传导电流，)(0),(t x i x e e E t x E ωβα-⋅⋅-= ,10、 矩形波导中，能够传播的电磁波的截止频率=n m c ,,ω( )，当电磁波的频率ω满足( )时，该波不能在其中传播。
若b ＞a ，则最低截止频率为( )，该波的模式为( )。
答案： 22,,)()(b n a m n m c +=μεπω，ω＜n m c ,,ω，μεπb ，01TE11、 全反射现象发生时,折射波沿( )方向传播.答案：平行于界面 12、 自然光从介质1(11με，)入射至介质2(22με，),当入射角等于( )时,反射波是完全偏振波.答案：201n i arctgn = 13、 迅变电磁场中导体中的体电荷密度的变化规律是( ). 答案：0teσερρ-=二、 选择题1、 电磁波波动方程22222222110,0E B E B c t c t∂∂∇-=∇-=∂∂,只有在下列那种情况下成立（ ）A ．均匀介质 B.真空中 C.导体内 D. 等离子体中 答案： A2、 电磁波在金属中的穿透深度（ ）A ．电磁波频率越高,穿透深度越深 B.导体导电性能越好, 穿透深度越深 C. 电磁波频率越高,穿透深度越浅 D. 穿透深度与频率无关 答案： C3、 能够在理想波导中传播的电磁波具有下列特征（ ） A ．有一个由波导尺寸决定的最低频率,且频率具有不连续性 B. 频率是连续的 C. 最终会衰减为零 D. 低于截至频率的波才能通过. 答案：A4、 绝缘介质中，平面电磁波电场与磁场的位相差为（ ）A ．4π B.π C.0 D. 2π答案：C5、 下列那种波不能在矩形波导中存在（ ）A ． 10TE B. 11TM C. mn TEM D. 01TE 答案：C6、 平面电磁波E 、B、k 三个矢量的方向关系是（ ）A ．B E ⨯沿矢量k 方向 B. E B⨯沿矢量k 方向 C.B E ⨯的方向垂直于k D. k E ⨯的方向沿矢量B的方向答案：A7、 矩形波导管尺寸为b a ⨯ ,若b a >,则最低截止频率为（ ）A ．μεπa B. μεπb C.b a 11+μεπ D. a2μεπ答案：A8、 亥姆霍兹方程220,(0)E k E E ∇+=∇⋅=对下列那种情况成立（ ） A ．真空中的一般电磁波 B. 自由空间中频率一定的电磁波C. 自由空间中频率一定的简谐电磁波D. 介质中的一般电磁波 答案：C9、 矩形波导管尺寸为b a ⨯ ,若b a >,则最低截止频率为（ ）A ．μεπa B. μεπb C.b a 11+μεπ D. a2μεπ答案：A三、 问答题1、 真空中的波动方程，均匀介质中的定态波动方程和亥姆霍兹方程所描述的物理过程是什么？从形式到内容上试述它们之间的区别和联系。
《电动力学》教案 第四章.docx
第四章电磁波的传播4.1有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿Z轴传播，一个沿X轴方向偏振, 另一个沿Y轴偏振，但相位比前者超前〃/2,求合成波的偏振。
反之，一个圆偏振可以分解为怎样的两个线偏振？解：两个波的波矢量均为k=ke：,IO_s设振幅均为E。
,有E? = E o e y e于是合成波是振幅为岛的圆偏振波，在迎着传播方向看来，电矢量E沿逆时针旋转，故是右旋的圆偏振波，如图4.1(a)。
若旦的相位比&滞后刀/2,则合成波E=E+^=E°0_"5是左旋的圆偏振波，如图4.1(B)。
若片和马的振幅不等，则合成波是右旋或左旋的椭圆偏振波。
反之，一个圆(或椭圆)偏振波分解为两个互相独立，相位差为±〃/2的线偏振波。
(4.1(a)和 4.1(b))4.2考虑两列振幅相同、偏振方向相同、频率分别为刃+d©和刃-d©的线偏振平面波，它们度沿Z轴方向传播。
(1)求合成波。
证明波的振幅不是一个常数，而是一个波；(2)求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。
E 、= A, sin 奴xcos«ysin k.zE : = A, sin k^xsin k v y cos k z z 再由条件(2),有x=a 处,将(7), (8), (9)三式代入上述条件，解得k v = 〃饥1 a,k 、. = n7r !b(m,n = 0,1,2,...)yk : = J.-k ： _k ： = yj(co/c)2 -(ni7r/a)2 -(n/r/b)2管内电场还应满足V.E = 0,将(7), (8), (9)三式代入这条件，得A {k ix + A 2k y + A 3k, = 0可见4勺&中只有两个是独立的，即(7), (8), (9)表示的解中，对每一组 m,n 的值，管内有两种独立的波模。
4.13写出矩形波导管内磁场H 满足的方程和边界条件。
电动力学教程 第4章 时变电磁场
A 随时间变化为动态矢量位
A E t 0
也随时间变化称为动态标量位。
A E t
(6)
2. 达朗贝方程 将(5)和(6)式分别代入麦克斯韦方程组得 到A和满足的微分方程 ρ 2 A t ε
因此上式改写为：
1 1 E H H E E J E D H B t 2 t 2 利用矢量恒等式 E H H E H E E H
麦克斯韦方程的复数形式是分别对其实部和虚部进行的并不改变其实部和虚部的性质故在复数运算中对复数的微分和积分运算rererererererere其中l是实线性算子如等因此麦氏方程所有场变量都仅仅是空间的函数反映场的空间分布方程的解剩以时间因子e与含时的麦氏方程比较其复数形式实现了时空分离因此使方程的求解更简单
利用麦氏方程组可以导出Poynting矢量和Poynting定理 的表达式。
D H J t B E t D E H E J E t B H E H t
kE0 B ˆx H dt e cos(t kz ) 0 t 0 1
(2) S (t ) E(t ) H (t )
ˆy E0 cos(t kz ) e ˆx e
ˆz e
kE0 2
0
kE0
cos(t kz )
0
cos2 (t kz )
电荷分布场(标量场)中的电荷流（即电 流）及电荷流密度（即电流密度）
dq i , dt
电动力学 4章 菲涅耳公式讲解
?
2n1 cos i1 n1 cos i1 ? n2 cos i2
?
2cos i1 sin i2 sin( i1 ? i2 )
关于菲涅耳公式的讨论
一、菲涅耳公式中的能量守恒
既然 E02 表示光的能量流动，为什么
2
2
2
E1s ? E1s ' ? E 2s ?
平面电磁波的能流密度：
S? 1 2
? ?
E02
这就是著名的反射定律和折射定律（Snell定律），它包 括两个内容：
（1）入射、反射和折射光线在同一个面内。
（2）反射角等于入射角；以及， n1 sin i1 ? n2 sin i2
再由磁矢量在界面（即z=0）处的条件： H1s ? H1s ' ? H 2s
并利用在非铁磁质中的关系： ? r ? 1, n ? ?r ? r ? ?r
? 根据叠加原理：可以只研究入射波电场仅含s 分量和仅含p分量这两种特殊情况；当两种 分量同时存在时，则只要先分别计算由单个 分量所造成的折、反射波电场，然后再作矢 量相加即可得到结果。
把电矢量分成两个分量 :
E1 p
p分量—— 平行于入射面
E1s
（光线方向与界面法线所确定的平面，
E1?p
i1 i1?
E1?s
如图中 xy面为界面，z轴为法线。） s分量—— 垂直于入射面。
图中的y轴方向。
规定s 分量的正方向为沿y 轴正方
O i2
x
E2 p
E2 s
z
向，p 分量的正方向为与s 分量和传播 方向构成右手螺旋关系：
p? ? s? ? k?
对于s分量，设:
? ? E 1s
?
电动力学第四章电磁波的传播
第四章电磁波的传播讨论电磁场产生后在空间传播的情形和特性。
分三类情形讨论：一：平面电磁波在无界空间的传播问题二. 平面电磁波在分界面上的反射与透射问题；三.在有界空间传播 -导行电磁波第一部分平面电磁波在无界空间的传播问题讨论一般均匀平面电磁波和时谐电磁波在无界空间的传播问题1时变电磁场以电磁波的形式存在于时间和空间这个统一的物理世界。
2 研究某一具体情况下电磁波的激发和传播规律，从数学上讲就是求解在这具体条件下Maxwell equations 或 wave equations 的解。
3 在某些特定条件下，Maxwell equations或wave equations可以简化，从而导出简化的模型，如传输线模型、集中参数等效电路模型等等。
4最简单的电磁波是平面波。
等相面（波阵面）为无限大平面电磁波称为平面波。
如果平面波等相面上场强的幅度均匀不变，则称为均匀平面波。
5许多复杂的电磁波，如柱面波、球面波，可以分解为许多均匀平面波的叠加；反之亦然。
故均匀平面波是最简单最基本的电磁波模式，因此我们从均匀平面波开始电磁波的学习。
§4.1波动方程 (1)§4.2无界空间理想介质中的均匀平面电磁波 (4)§4.3 正弦均匀平面波在无限大均匀媒质中的传播 (7)4.1-4.3 总结 (13)§4.4电磁波的极化 (14)§4.5电磁波的色散与波速 (16)4.4-4.5 总结 (18)§4.1 波动方程本节主要容：研究各种介质情形下的电磁波波动方程。
学习要求： 1. 明确介质分类； 2. 理解和掌握波动方程推到思路 3. 分清楚、记清楚无界无源区理想介质和导电介质区波动方程和时谐场情形下理想介质和导电介质区波动方程4.1.1介质分类：电磁波在介质中传播，所以其波动方程一定要知道介质的电磁性质方程。
一般情况下，皆知的电磁性质方程很复杂，因为反应介质电磁性质的介电参数是量。
电动力学第四章
电动力学A 刘克新第四章电磁波的传播本章主要内容§1、波动方程和平面电磁波§2、电磁波在介质表面的反射和折射§3. 导体中的电磁波§4、波导与谐振腔§5*电磁波在等离子体中的传播§1、波动方程和平面电磁波¾1、波动方程及其解¾2、平面电磁波的能量密度和能流密度¾1、波动方程及其解变化的电磁场以波的方式传播,变化的电流是电磁波源。
电磁波一经产生，离开源后就按自身规律运动。
需要研究两个问题：(1) 电磁波的激发问题(下一章)。
(2) 电磁波自身的运动规律，即电磁波的传输。
讨论限于某一区域，其内为线性、均匀、各向同性介质，即ε(ω)、μ(ω)、σ都不随空间位置变化，并且区域内没有自由电荷分布。
如果把ε、μ、σ分别用真空中的对应量ε0、μ0 、0代替，就得到真空中的结果。
比值为1）。
这种等相位面为平面，电场（磁场）沿固定方向，并且振幅不随时间和位置变化的波称为平面波。
§2、电磁波在电介质表面的反射和折射¾1、反射定律和折射定律¾2、Fresnel公式¾3、全反射根据Fresnel公式，我们可以得出以下结论：(1)入射波只有垂直分量，则反射波和透射波也只有垂直分量；对平行分量也一样。
(2)自然光可以看作各种频率和振动方向的平面波的叠加，因此一般地，反射或透射后的电磁波的这2个方向的振幅不再相等，即为部分偏振光。
00,i iE E ⊥= (3) 当入射角与透射角之和为π /2 时，该入射角记为θB ，,B iθθ=/2,t B θθπ+=由Fresnel公式[3] 知道，这时00,r E = 即反射电波完全变成⊥方向的偏振波。
这个规律在1812年由D. Brewster 发现，被称为Brewster 定律。
00,r r E E ⊥=∴sin sin B ti t n n θθ=发生这种现象的入射角称为Brewster 角，即θB 。
南京航空航天大学电动力学 第4章
对复数 Z
Re( Z 2 ) ≠ (Re Z ) 2
Re( Z1 Z 2 ) ≠ Re Z1 ⋅ Re Z 2
vv i ( k ⋅ x −ωt )
ε v v v E × ( ek × E ) = μ
ε 2v E ek μ
v v v 对复数描述的场量 E ( x, t ) = E e v v v 1 1 w = [ε (Re E)2 + (Re B)2 ]= ε (ReE)2 2 μ v v 二次式 2 2 = ε E0 cos (k ⋅ x −ω t)
g ( t ) = g 0 e − i ω t + iφ
可证 fg = Re( f ∗ g )
v v 1 1 2 1 2 B0 ∴ w = ε Re(E∗ ⋅ E) = ε E0 或 w = 2 2μ 2 v 1 v v v 1 εv v S = Re(E∗ × H ) = Re[E∗ × ( ek × E)] μ 2 2 v v v 1 ε 2v 1 ε = Re( E * ⋅ E )ek = E 0 ek 2 μ 2 μ v 1 v= = v w ek
∇ × E = iωB
v ∇⋅E = v 0 v
一定频率下，麦氏方程组可表示为 v v v v ∇2 B + k 2 B = 0 ∇2 E + k 2 E = 0 ⎧ v ⎧ v ⎨ ∇⋅ B = 0 v ⎨∇⋅ E = 0 v v v i ⎩ E = i ∇× B ⎩ B = − ∇× E ωμε ω
ω
v v ∴∇2 E + k 2 E = 0 ——亥姆霍兹方程 v v ∇ × (∇ × E) = k E 同理可得 v v ∇× (∇× E) = −∇ E v v ∇2 B + k 2 B = 0
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.
5
§4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射
一、反射和折射定律
1．电磁场 的边值关系
nˆ
(
E
2
nˆ
(
H
2
nˆ ( D2
nˆ ( B 2
E1 )
H
1
)
0
D1 )
B1) 0
对＝于 0,绝 ＝缘 0 介质nˆnˆ((HE22 H E11))00
2．反射、折射定律的导出过程
H2E
k i
2
E0
E
（E 2(）x ,平t)面 波E 解0e 可i(写k 作x t)
k
ki
.
13
§4.3 有导体存在时电磁波的传播
（3衰1．减）常平、数面电的磁--意波-- 义描解述改及波写表振为示幅：式E 在 (导x )体 内E 的0e 衰 减 程x 度 ei( x )
c2 1
00
22BE (())(())(())22BEtt((22))
0 0
2、时谐电磁波（单色、定态电磁波）
以一定频率作正弦振荡的波称为时谐电磁波（单色电磁波）。
E(xt)E(x)eit B(xt)B(x)eit
2Ek2E 0
2Bk2B0
2E k 2E 0
E
0
B
i
E
.
第四章 电磁波的传播
1
第四章 电磁波的传播
平面电磁波 单色平面电磁波在介质界面上的反射和折射 有导体存在时电磁波的传播 谐振腔 波导
.
2
§4.1 平面电磁波
1、电磁的场波动方程(自由空间)
E
H
B
J
t
D
t
D
B
0
0,
J 0
2Ec12 2Bc12
2tE20 2tB2 0
.
10
§4.3 有导体存在时电磁波的传播
一、导体内的自由电荷分布
设导体是均匀各向同性的，其性质由一组物质常数ε、
μ、σ确定
D E
(t) (t)
J E t
t
t
(t)e e
0
0
良导体条件
T
T 1
1
良导体内 (t) 0，电荷仅. 分布在导体表面薄层内。11
§4.3 有导体存在时电磁波的传播
k，则 k (0)
v0
，并
设
k (0)
在
xz平面，即ky(0) 0 ；则
kx(0) kx，ky(0) ky 0
由 kx x ix kx(0)
ky y iy 0
x 0
y 0，y 0
. x kx(0) k(0) sin0
15
§4.3 有导体存在时电磁波的传播
三、穿透深2度z2和1212(趋(22肤效xx应22))x1212[v[0((s22inxx22))22222222]]11//22
2B
k
2B
0
B
0
E
i
B
3
§4.1 平面电磁波
3、平面电磁波
研究平面波解的意义： ①简单、直观、物理意义
E
明显；②一般形式的波都
可以视为不同频率平面波
的线性叠加。
B
k
4、电磁波的能量和能流(平面电磁波)
w1(E2 1 B2)
2
Swnˆ
E 2 1 B 2
.
4
§4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射
（1）假设入射波为单色 平面电磁波，反射、折 射电磁波也为平面电磁 波
E
E E
E0 e E0 e E0e
i i i
( ( (
k
x
t
)
k
x
t
)
k
x
t
)
.
6
§4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射
（2）频率间的关系
（3）波矢量分量间的关系
②
nˆ
z
k E
y
x
①
E k
E
k
kx kx kx
ky ky ky
且k , k 和 k在一个平面内
（4）入射、反射、折射波矢与z轴夹角之间的关系
n1sinn2sin
.
7
§4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射
二、菲涅耳公式(）
振幅关系
E sin( ) E sin( ) E 2 cos sin E sin( )
电磁波入射到介质界面上，会发生反射、折射 现象(如光入射到水面、玻璃面)。
反射、折射定律有两个方面的问题：
（1）入射角、反射角和折射角之间的关系问题；
（2）入射波、反射波和折射波振幅和相位的变化 关系。
反射、折射既然发生在界面上，就属于边值问 题。从电磁场理论可以导出反射和折射定律，也从 一个侧面证明麦氏方程的正确性。
②
nˆ
z
k
E H①EkHHE
k
x
EEE//////∥ ∥ ∥
tg( tg(
) ) 2cos
sin
E//∥ sin( )cos( )
E在任意方向，可以分解为. EEE//
8
§4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射
偏振问题
（1）入射为自然光（两种偏振光的等量混合，在各
个方向上 E均相同，即
1．穿透深度 波幅降至原值1/ e 的传播距离
在导体中的平面波为（在 y 0 情况下）
E (x ,t) E 0 e z e i(x x zzt)
z 1
E
0
e
1
良导体
.
2
16
§4.3 有导体存在时电磁波的传播
2．趋肤效应：
对于良导体，当电磁波频率为交变频率时，电磁 场及交频电流集中在导体表面薄层。
二、导体内的电磁波
1．基本方程（导体内部）
E
B
H
J
t
D
t
D 0
B 0
E i H
H
(i
E 0
H 0
)
E
引入复介电场数
i
i i [ i ] i
.
H i E
12
§4.3 有导体存在时电磁波的传播
2．导体中的平面波解
（1）亥姆霍兹方程
E E∥
）
这样，反射和折射波就被变为部分偏振光（各
个方向上 E大小不完全相同）。
（2）布儒斯特定律：若
则反 射 波
，
2
即反E射∥波只0有 分量；若自然E光 入射，则反射波为完全线偏
振波。
三、全反射(略)
.
9
§4.3 有导体存在时电磁波的传播
由于导体内有自由电荷存在，在电磁 波的电场作用下，自由电荷运动形成传导 电流，而传导电流要产生焦耳热，使电磁 波能量有损耗。由此可见，在导体内部的 电磁场（波）是一种衰减波，在传播过程 中，电磁能量转化为热量。
传播常数 ---- 描述波空间传播的相位关系
（2）、与 、 、 、 间的关系式
v
k
i
由
k
2
2
i
2 2
1
2
2
.
？
14
§4.3 有导体存在时电磁波的传播
（3）求解（平面波从介质入射到导体表面）
z
k
,,0
0,0,0 k (0)
θ0
x
k(
0
)
设介质中波矢为 k(0)，导体中为
3．导体内磁场与电场的关系
E iH H i E k E i E