电动力学教程 第4章 时变电磁场
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第4章时变电磁场
位函数的定义
B 0
B Ε t
B A
A ( Ε ) 0 t
A E t
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5 结束
满足下列变换关系的两组位函数 和 能描述同 （A、 ） （A、 ） 一个电磁场问题。 A A 为任意可微函数 t
空间区域V中的电磁能量：
1 1 W w dV ( E D H B)dV V V 2 2
特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随
时间改变，从而引起电磁能量流动 电磁能量守恒关系：
进入体积V的能量＝体积V内增加的能量＋体积V内损耗的能量
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结束 12
坡印廷定理 表征电磁能量守恒关系的定理
波动方程
2 H H 2 0 t
2
电磁波动方程
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2 结束
推证
Ε H t H Ε t H 0 Ε 0
同理可得
2 E E 2 0 t
2
E H ( ) t
得到的电磁场矢量是相同的。
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10 结束
4.3
电磁能量守恒定律
讨论内容
电磁能量及守恒关系 坡印廷定理 坡印廷矢量
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结束 11
电磁能量及守恒关系 电场能量密度： 磁场能量密度：
1 we E D 2 wm 1 H B 2
dW dt
S
V
1 1 电磁能量密度： w we wm E D H B 2 2
第4章 时变电磁场
⇒ ∇× H =
B = ∇× A
E = −∇ϕ −
1 ∂E ∇×∇× A = J +ε µ ∂t ∂ ⎛ ∂A ⎞ −∇ ϕ − ⎜ ⎟ ∂t ⎝ ∂t ⎠
= J +ε
将矢量恒等式
∇ × ∇ × A = ∇ (∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A
得 即
⎛ ∂ϕ ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ A = µ J − µε ∇ ⎜ ⎝ ∂t
2
2
∂2 A ⎞ ⎟ − µε ∂t 2 ⎠
∂2 A ∂ϕ ⎞ ⎛ J A ∇ A − µε = − µ + ∇ ∇ ⋅ + µε ⎜ ⎟ ∂t 2 ∂t ⎠ ⎝
◇ 由亥姆霍兹定理：一矢量由其散度和旋度确定。 ◇ 前面定义A 的旋度等于磁感应强度B。为确定矢量位A 还需规定其散度。 ∂ϕ ◇ 令 （洛仑兹条件) ∇ ⋅ A = − µε ∂t 所以 同理
)=
−H ⋅
∂B ∂D − E ⋅J − E ⋅ ∂t ∂t
)
∂D ∂t ∂ (ε E ) = E ⋅ ∂t 1 ∂ = (ε E ⋅ E 2 ∂t ∂ ⎛1 2 ⎞ = ⎜ εE ⎟ ∂t ⎝ 2 ⎠
E ⋅
)
E ⋅ J = σ E2
于是得
H ⋅ (∇ × E ) − E ⋅ (∇ × H
)= −
∂ → jω ∂t
∂2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ −ω 2 2 ∂t
二、复数形式的麦氏方程 由麦氏第一方程 设为时谐场
∇× H = J + ∂D ∂t
i i ⎡ ⎛ i jωt ⎞⎤ ⎡ ⎡ jωt ⎤ ⇒ ∇× ⎢ Re ⎜ Hm e ⎟⎥ = Re ⎢ J m e ⎥ + Re ⎢ jω Dm e jωt ⎤ ⎥ ⎠⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎝
B = ∇× A
E = −∇ϕ −
1 ∂E ∇×∇× A = J +ε µ ∂t ∂ ⎛ ∂A ⎞ −∇ ϕ − ⎜ ⎟ ∂t ⎝ ∂t ⎠
= J +ε
将矢量恒等式
∇ × ∇ × A = ∇ (∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A
得 即
⎛ ∂ϕ ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ A = µ J − µε ∇ ⎜ ⎝ ∂t
2
2
∂2 A ⎞ ⎟ − µε ∂t 2 ⎠
∂2 A ∂ϕ ⎞ ⎛ J A ∇ A − µε = − µ + ∇ ∇ ⋅ + µε ⎜ ⎟ ∂t 2 ∂t ⎠ ⎝
◇ 由亥姆霍兹定理：一矢量由其散度和旋度确定。 ◇ 前面定义A 的旋度等于磁感应强度B。为确定矢量位A 还需规定其散度。 ∂ϕ ◇ 令 （洛仑兹条件) ∇ ⋅ A = − µε ∂t 所以 同理
)=
−H ⋅
∂B ∂D − E ⋅J − E ⋅ ∂t ∂t
)
∂D ∂t ∂ (ε E ) = E ⋅ ∂t 1 ∂ = (ε E ⋅ E 2 ∂t ∂ ⎛1 2 ⎞ = ⎜ εE ⎟ ∂t ⎝ 2 ⎠
E ⋅
)
E ⋅ J = σ E2
于是得
H ⋅ (∇ × E ) − E ⋅ (∇ × H
)= −
∂ → jω ∂t
∂2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ −ω 2 2 ∂t
二、复数形式的麦氏方程 由麦氏第一方程 设为时谐场
∇× H = J + ∂D ∂t
i i ⎡ ⎛ i jωt ⎞⎤ ⎡ ⎡ jωt ⎤ ⇒ ∇× ⎢ Re ⎜ Hm e ⎟⎥ = Re ⎢ J m e ⎥ + Re ⎢ jω Dm e jωt ⎤ ⎥ ⎠⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎝
第四章时变电磁场-工程电磁场导论-冯慈章课件
电磁感应定律 磁通连续性原理：表明磁场是无源场 , 磁力线总是闭 合曲线。 磁通连续性原理
高斯定律：表明电荷以发散的方式产生电场 (变化的 磁场以涡旋的形式产生电场)。 高斯定律
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D l H dl S (J t ) dS B l E dl S t dS
ห้องสมุดไป่ตู้ 0
矢量恒等式
( H ) 0
所以
Stokes’ theorem
H J
l H dl S J dS
D l H dl S (J t ) dS
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( H ) 0 D 所以 H J t
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A, 称为动态位，是时间和空间坐标的函数。
由 H J 由
经 整 理 后 ，
D t
A A J ( ) t t 1
得
A ( ) t 2A 2 A J ( A) （1） 2 t t 2 （2） A t 定义A 的散度 A 洛仑兹条件 t 2A 2 A J 2 t 达朗贝尔方程 2 A (Dalangbaier Eguation) t
电磁感应定律
Maxwell方程组
全电流定律
坡印廷定理与坡印廷矢量 正弦电磁场 分界面上衔接条件 动态位A ,
达朗贝尔方程
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电磁辐射、传输线及波导
4.1 电磁感应定律和全电流定律
Faraday’s Law and Ampere’s Circuital Law 4.1.1 电磁感应定律（Faraday’s Law）
高斯定律：表明电荷以发散的方式产生电场 (变化的 磁场以涡旋的形式产生电场)。 高斯定律
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D l H dl S (J t ) dS B l E dl S t dS
ห้องสมุดไป่ตู้ 0
矢量恒等式
( H ) 0
所以
Stokes’ theorem
H J
l H dl S J dS
D l H dl S (J t ) dS
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( H ) 0 D 所以 H J t
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A, 称为动态位，是时间和空间坐标的函数。
由 H J 由
经 整 理 后 ，
D t
A A J ( ) t t 1
得
A ( ) t 2A 2 A J ( A) （1） 2 t t 2 （2） A t 定义A 的散度 A 洛仑兹条件 t 2A 2 A J 2 t 达朗贝尔方程 2 A (Dalangbaier Eguation) t
电磁感应定律
Maxwell方程组
全电流定律
坡印廷定理与坡印廷矢量 正弦电磁场 分界面上衔接条件 动态位A ,
达朗贝尔方程
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电磁辐射、传输线及波导
4.1 电磁感应定律和全电流定律
Faraday’s Law and Ampere’s Circuital Law 4.1.1 电磁感应定律（Faraday’s Law）
电动力学教程 第4章 时变电磁场
A 随时间变化为动态矢量位
A E t 0
也随时间变化称为动态标量位。
A E t
(6)
2. 达朗贝方程 将(5)和(6)式分别代入麦克斯韦方程组得 到A和满足的微分方程 ρ 2 A t ε
因此上式改写为：
1 1 E H H E E J E D H B t 2 t 2 利用矢量恒等式 E H H E H E E H
麦克斯韦方程的复数形式是分别对其实部和虚部进行的并不改变其实部和虚部的性质故在复数运算中对复数的微分和积分运算rererererererere其中l是实线性算子如等因此麦氏方程所有场变量都仅仅是空间的函数反映场的空间分布方程的解剩以时间因子e与含时的麦氏方程比较其复数形式实现了时空分离因此使方程的求解更简单
利用麦氏方程组可以导出Poynting矢量和Poynting定理 的表达式。
D H J t B E t D E H E J E t B H E H t
kE0 B ˆx H dt e cos(t kz ) 0 t 0 1
(2) S (t ) E(t ) H (t )
ˆy E0 cos(t kz ) e ˆx e
ˆz e
kE0 2
0
kE0
cos(t kz )
0
cos2 (t kz )
电荷分布场(标量场)中的电荷流（即电 流）及电荷流密度（即电流密度）
dq i , dt
第4章 时变电磁场
(2)
对方程（2）两边取旋度有 E H t 2 2 E H E E ( E ) E
E t
2
对于各向同性的介质，得
2 E 2 E 2 0 t (5)
E 0 t
t
同理可得
2 H 2 H 2 0 t (6)
第四章 时 变 电 磁 场
从上方程可以看出：时变电磁场的电场场量和磁场场量在 空间中是以波动形式变化的，因此称时变电磁场为电磁波。 上两式为关于场量 E、H 的矢量波动方程，表示时变电磁场 以波的形式在空间存在和传播，其波速为
A E ex Am cos(t kz ) t
第四章 时 变 电 磁 场
§4.3 电磁能量守恒定律
能量守恒定律是一切物质运动过程遵守的普遍规律，作为特殊形态的物 质，电磁场及其运动过程也遵守这一规律。 下面讨论电磁场的能量和能量守恒定律，引入重要的坡印廷矢量和坡印廷 定理，分析讨论电磁场能量、电荷电流运动及电磁场做功之间的相互联系。
其中Am、k是常数，求电场强度、磁场强度。
解：
Ax B A ey ey kAm cos(t kz ) z k H ey Am cos(t kz )
A 0 t
C
如果假设过去某一时刻，场还没有建立，则C=0。
量位只决定于ρ，这对求解方程特别有利。只需解出A，无需
解出 就可得到待求的电场和磁场。 电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应 用不同的规范条件，矢量位A和标量位 的解也不相同，但最终 得到的电磁场矢量是相同的。
第4章 时变电磁场 1PPT课件
电的磁磁场H 感都应J能定产律D 生：t 电麦场克lH 。斯d 韦l第二S(方J 程，D t)表d明S电全荷电和流定变律化
磁通连E续性原B理：表E明d磁l 场是无B 源场dS, 磁电力磁线感总应是定律闭
合曲线。 t
l
S t
：旋表的明形B 电式 荷 产0以 生发 电散 场的)。方SB式d产S生电0场 (变磁化通的连磁续场性以原涡理
2 t A
（2）
定义A 的散度 A 洛仑兹条件
t
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第四章
2 A
2A t 2
J
2
2
t 2
时变电磁场
达朗贝尔方程 (Dalangbaier Equation)
说明 确定了 A的值，与 BA共同确定 A；
简化了动态位与场源之间的关系;
若场量不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程
2AJ
2/
洛仑兹条件是电流连续性原理的体现。
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第四章
时变电磁场
若激励源是时变电流源时
A(x,y,z,t)
J(x,y,z,tr) vdV （无反射）
4πV
r
达朗贝尔方程解的形式表明：t 时刻的响应取
决于 (tr/v) 时刻的激励源。又称 A， 为滞后
位（Retarded Potential）。
电磁波是以有限速度 v 1 传播的， 光
也是一种电磁波。
当场源不随时间变化时， A， 蜕变为恒定
场中的位函数（拉普拉斯方程或泊松方程）。
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第四章
时变电磁场
4.4 坡印廷定理和坡印廷矢量
Poynting Theorem and Poynting Vector
电磁场与电磁波课件ppt(电子科技大学)第四章 时变电磁场解析
A A J ( ) t t A ( A) 2 A 2 A 2 A 2 J ( A ) t t A 0 t 2 A 2 A 2 J t
除了利用洛伦兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即 A 0
（洛仑兹条件是个定解条件。）
电子科技大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
D E H B
E B J t
8
位函数的微分方程 （达朗贝尔方程） D H J t A B A E t
电子科技大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
7
位函数的规范条件
造成位函数的不确定性的原因就是没有规定 A 的散度。利用 位函数的不确定性，可通过规定 A 的散度使位函数满足的方程得
以简化。 在电磁理论中，通常采用洛伦兹条件，即 A 0 t
第4章 时变电磁场
19
电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源向负 载，如图所示。
同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （理想导体情况）
穿过任意横截面的功率为
P S ez dS
S
b
教育出版社出版
电子科技大学编写
电磁场与电磁波
得到的电磁场矢量是相同的。
问题 若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程? 具有什么特点?
电子科技大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
11
4.3
电磁能量守恒定律 （重点）
电磁场与电磁波第四章时变电磁场
第 4 章 时变电磁场
30
例4.5.4 已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量
为 E(z) ey E0e jkz ，其中k 和 E0 为常数。求：（1）磁场强度的复 矢量 H；（2）瞬时坡印廷矢量 S ；（3）平均坡印廷矢量 Sav。
解：（1）由 E j0H 得
H (z)
1
j0
E(z)
电介质
tan
，磁介质
tan
，导电媒质
tan
材料按其导电性能的分类
不同材料的导电性能不同，同种材料在不同频率下的导电性 能也有所不同。一般根据材料导电性能的差异做如下分类：
1—— 弱导电媒质和绝缘体 1 —— 一般导电媒质 1—— 良导体
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
简谐场量的复数表示形式 简谐电磁场的麦克斯韦方程 复电容率和复磁导率 场复矢量的亥姆霍兹方程 简谐电磁场位函数的复矢量方程 平均能量密度和平均能流密度
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
18
4.5.1 简谐电磁场的复数表示
简谐场量的复数表示形式
设 A(r , t )是一个以角频率 随时间t 作余弦变化的场量，它
t
H
0
Ε 0
同理可得
2E
2E
0
t 2
H
(
E )
t
( H )
2H
2H t 2
2H
2H t 2
0
问题：
在有源空间，电磁场波动方程的形式怎样？
真空无源区域中电磁场波动方程：
2E
1 c2
2E t 2
0
c 1
0 0
注意：该方程适用于真空中的一切电磁波，而不 只适用于“简谐波”，也不只适用于“平面波”。
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上两式相减
D B E H H E E J E H t t
若介质是线性、均匀且各向同性的，则介质参数(、、)均 为常数，那么上式右边各项：
B H 1 H H 1 H H H B t t 2 t t 2 D E 1 E E 1 E E E D t t 2 t t 2
4.3 Poynting矢量和Poynting定理
1. Poynting矢量的定义
电磁场中电能密度和磁能密度 1 ωe E D 2 1 ωm B H 2 时变场中的能量密度
1 1 ω ωe ωm E D B H 2 2
由于场随时间变化，故空间各点的电磁能量密度也随时间变 化，从而引起能量的流动。为了描述能量的流动情况，引入
电荷分布场(标量场)中的电荷流（即电 流）及电荷流密度（即电流密度）
dq i , dt
v dq ˆj j e dtdA
dN dtdA
（q是电荷量）
粒子流和粒子流密度
dN , dt
（N是粒子数）
动量场中的动量流和动量流密度 v v dp dp （p是动量） , dt dtdA
4.4 时谐电磁场
S
另一方面，根据Poynting矢量的定义，单 位时间流过任意曲面A的能量(i.e.功率)为 P S dA
A
S
流入闭合曲面A的功率 P S dA
A
A
b
对比(a)、(b)两式，可得Poynting矢量 S的表达式
S EH
说明：
① 该式给出的是Poynting矢量S的瞬时值表达式。
物理量的某种“流”显然是个和时间有关的概念。比如 能量的流动(“能流”)、动量的流动(“动量流”)、电荷的流动 (“电荷流”，即电流)、粒子的流动(“粒子流”)。流的概念反 映了物理量的时空上的动态变化。 流 物理场T中物理量T的流定义为单位时间内垂直流过面 积dA上的T的值，或者单位时间内面元dA上物理量T的变化 量， i.e. dT/dt。 流密度 为单位时间内垂直流过单位面积的T的值，或者 单位时间内单位面积上物理量T的变化量， i.e. dT/dt/dA。
上式写为：
1 1 - E H E J E D H B t 2 2
两端体积分，并利用散度定理
d 1 1 - E H dS E JdV E D H B dV S V dt V 2 2
实振幅 初相
利用复数来描述时谐电磁场场量，可使数学 运算简化：
E x ( x, y , z, t ) Re[ E xm ( x, y , z )e j [t x ( x , y , z )] ] Re[ E xme jx e jt ] e jt ] Re[ E
xm
e jωt ] Ey ( x,y,z,t) Re[ E ym
一个新的矢量--能流密度矢量，即Poynting矢量(符号S)。
其大小定义为：
单位时间流过与能量流动方向垂直的单位面积的能量。
W P i.e. t S S
故又称为功率密度矢量。
其方向规定为：
能量的流动方向 (=波的传播方向)。
2. Poynting定理--电磁能量守恒定律
利用麦氏方程组可以导出Poynting矢量和Poynting定理 的表达式。
D H J t B E t D E H E J E t B H E H t
2 A A 2 J A t t
2
引入 2 ρ 2 2 t ε
2 2
A A 2 J t
---达朗贝方程
的三维函数，即
( x, y , z ) e e e ˆx E ˆ ˆ E ( x, y , z , t ) E E E xm y ym z zm
若要得出瞬时值，只要将其复振幅矢量乘以 ejωt并取实部，便得到其相应的瞬时值：
jt E ( x, y, z, t ) Re[Em ( x, y, z )e ]
2
证明：和无源空间的波动方程的证明类似，差别在于算 子对源变量、J作用时不为0，要保留。 (作业)
4.2 时变场中的位函数
1. 动态矢量位和标量矢量位 对于磁感应强度：
B 0
B A (5)
代入麦氏方程 E B ，有 t A E A t t A 故可令 E t
第四章 时变电磁场
4.1 波动方程
在时变得情况下，电场和磁场相互激励，在空间形成 电磁波，其能量以波的形式向前传播，电磁波的传播规律 服从波动方程。由麦氏方程可以推导出电磁场的波动方程。
下面建立无源空间 ρ 0, J 0 的波动方程。
取限定形式的麦氏方程: E 1 H ε t 3 H 0 (1)式两边取旋度
e jωt ] Ez ( x,y,z,t) Re[ E zm
Exm Exm e j x 复 j y 振 E ym E ym e 幅 j z E E e zm zm
场矢量的复数表示 j ˆx E xme jx e ˆ y E yme y e ˆz Ezm e jz )e jt ] E ( x, y, z, t ) Re[(e
H E μ t 4 E 0
2
E H ε t
H 代入(2)式 H με 2 0 t 再利用矢量恒等式和 (3)式 2 2 H H H H 可得到 2 H 2 的无 H με 2 0 t 波源 动空 同样地，(2)式两边取旋度后可得 方间 程电 2 磁 E 2 E με 2 0 场 t
A 随时间变化为动态矢量位
A E t 0
也随时间变化称为动态标量位。
A E t
(6)
2. 达朗贝方程 将(5)和(6)式分别代入麦克斯韦方程组得 到A和满足的微分方程 ρ 2 A t ε
时谐场： 电磁场变量随时间正弦或余弦式地变化。 1. 时谐场的复数表示
时变电磁场的任一坐标分量随时间作正弦变化时，其 振幅和初相也都是空间坐标的函数。 以电场强度为例， 在直角坐标系中，
E x ( x, y, z, t ) E xm ( x, y, z ) cos[t x ( x, y, z )] E y ( x, y, z, t ) E ym ( x, y, z ) cos[t y ( x, y, z )] Ez ( x, y, z, t ) Ezm ( x, y, z ) cos[t z ( x, y, z )]
e e )e jt ] ˆx E ˆ ˆ Re[e E E xm y ym z zm e jt ] E ( x, y, z, t ) Re[E 时间因子 m
其中 E e ˆx Exm e ˆy Eym e ˆz Ezm 称为电场强度复矢量。 m 它只是空间坐标的函数，与时间t无关。这样我们就把时间t 和空间x、y、z的四维(x, y, z, t)矢量函数简化成了空间(x, y, z)
kE0 B ˆx H dt e cos(t kz ) 0 t 0 1
(2) S (t ) E(t ) H (t )
ˆy E0 cos(t kz ) e ˆx e
ˆz e
kE0 2
0
kE0
cos(t kz )
0
cos2 (t kz )
因此上式改写为：
1 1 E H H E E J E D H B t 2 t 2 利用矢量恒等式 E H H E H E E H
时谐场复数场矢量的时间导数： 一阶导数
E Re Em eit Re Em eit Re i Em eit t t t i t
二阶导数
2 2 t 2
其它场变量的复数形式可 依照写出：
电磁能量的增加率与体积V内损耗的电磁功率之和。
例题： 已知无源的自由空间中，时变电磁场
的电场强度 E e ˆy E0 cos(t kz ) (V/m) 求：(1)磁场强度；(2)瞬时坡印廷矢量；(3)平均坡印廷矢量。 解: (1)
B E t
E y E y B ˆz ˆx ˆx kE0 sin(t kz ) e e e t x z
T kE0 2 1 (3) S av ˆz E (t ) H (t )dt e T 0 0T
T
0
cos2 (t kz )dt
kE0 2 ˆz e 0T
T
0
cos(2t 2kz ) 1 dt 2
kE0 2 ˆz e (W / m2 ) 20
物理量的“流”及“流密度”
*
式中右边第一项就是焦耳定理的积分式，代表体积Ｖ的介质 中所消耗的功率，即单位时间体积Ｖ中消耗的电磁能量；第
二项中的积分是体积Ｖ中的电磁能量，因此该项代表单位时
间体积Ｖ中增加的电磁能量。故等式右边实际上代表单位时 间内，经边界Ｓ流入体积Ｖ的总的电磁能量，即流入功率 a P in - E H dS