机械能守恒定律(二)多物体
机械能守恒的几种模型
“机械能守恒”的几种模型山东滕州五中 郝士其 （277500）“机械能守恒定律”是物理学中十分重要的物理规律，不少同学常将它与“能的转化与守恒定律”混为一谈。
在物理过程中常常伴随着能量的变化，各种能量在转化或转移的过程中，总能量是守恒的，但物体（或物体系）的机械能却不一定守恒。
现分析如下：一、机械能守恒的条件①只有重力（或弹簧的弹力）做功，其它力不做功；②虽有重力（或弹簧的弹力）之外的力做功，但它们做功的代数和为零；二、机械能守恒的判定方法①利用机械能的定义判断（直接判断）；②用做功判断：若物体或系统只有重力（或弹簧弹力）做功，其它力不做功，机械能守恒；若重力（或弹簧的弹力）之外的力做正功，机械能增大；做负功，机械能减小；做零功（不做功），机械能守恒。
③用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的转化而无机械能与其它形式的能的转化，则物体系统中机械能守恒；④对一些绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等，除非题目有特别说明，否则机械能必定不守恒。
三、机械能守恒定律的表达式① 守恒观点E K1+E P1=E K2+E P2 ；② 转化观点△E K =△E P ；③ 转移观点△E A 增=△E B 减四、机械能守恒的几种模型（一）单个物体的机械能守恒.【例1】质量为m 的小球，从离桌面H 高处由静止下落，桌面离地高度为h ，如图所示，若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能及整个过程中重力势能的变化分别是（ ）A ．mgh ，减少mg(H-h)B ． mgh ，增加mg(H+h)C ．-mgh ，增加mg(H-h)D ． -mgh ，减少mg(H+h)解析：小球下落过程只有重力做功，机械能守恒。
物体的机械能是相对于零势能面而言的；但重力势能的变化决定于重力做的功：重力做正功，重力势能减小，重力做负功，重力势能增大，答案：D【例2】如图所示的四个选项中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A 、B 、C 中的斜面是光滑的，图D 中的斜面是粗糙的，图A 、B 中的力F 为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A 、B 、D 中的木块向下运动，图C 中的木块向上运动。
机械能守恒定律(系统-多体)
机械能守恒定律(系统的机械能守恒)系统的机械能守恒由两个或两个以上的物体所构成的系统，其机械能是否守恒，就看除了重力、弹力之外，系统内的各个物体所受到的各个力做功之和是否为零，为零，则系统的机械能守恒；做正功，系统的机械能就增加，做做多少正功，系统的机械能就增加多少；做负功，系统的机械能就减少，做多少负功，系统的机械能就减少多少。
系统间的相互作用力分为三类：1）刚体产生的弹力：比方轻绳的弹力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力等2）弹簧产生的弹力：系统中包括有弹簧，弹簧的弹力在整个过程中做功，弹性势能参与机械能的转换。
3）其它力做功：比方炸药爆炸产生的冲击力，摩擦力对系统对功等。
在前两种情况中，轻绳的拉力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力做功，使机械能在相互作用的两物体间进行等量的转移，系统的机械能还是守恒的。
虽然弹簧的弹力也做功，但包括弹性势能在内的机械能也守恒。
但在第三种情况下，由于其它形式的能参与了机械能的转换，系统的机械能就不再守恒了。
归纳起来，系统的机械能守恒问题有以下四个题型：〔1〕轻绳连体类〔2〕轻杆连体类〔3〕在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类。
〔4〕悬点在水平面上可以自由移动的摆动类。
〔1〕轻绳连体类这一类题目，系统除重力以外的其它力对系统不做功，系统内部的相互作用力是轻绳的拉力，而拉力只是使系统内部的机械能在相互作用的两个物体之间进行等量的转换，并没有其它形式的能参与机械能的转换，所以系统的机械能守恒。
例：如图，倾角为 的光滑斜面上有一质量为M的物体，通过一根跨过定滑轮的细绳与质量为m的物体相连，开始时两物体均处于静止状态，且m离地面的高度为h，求它们开始运动后m着地时的速度？分析：对M 、m 和细绳所构成的系统，受到外界四个力的作用。
它们分别是：M 所受的重力Mg ，m 所受的重力mg ，斜面对M 的支持力N ，滑轮对细绳的作用力F 。
M 、m 的重力做功不会改变系统的机械能，支持力N 垂直于M 的运动方向对系统不做功，滑轮对细绳的作用力由于作用点没有位移也对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是细绳的拉力，拉力做功只能使机械能在系统内部进行等量的转换也不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。
多物体机械能守恒问题的分析方法(含答案)
多物体机械能守恒问题的分析方法一、基础知识1、对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒．2、注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．3、列机械能守恒方程时，一般选用ΔE k ＝－ΔE p 的形式． 二、练习1、如图是一个横截面为半圆、半径为R 的光滑柱面，一根不可伸长的 细线两端分别系物体A 、B ，且m A ＝2m B ，从图示位置由静止开始释放 A 物体，当物体B 到达半圆顶点时，求绳的张力对物体B 所做的功． 解析 物体B 到达半圆顶点时，系统势能的减少量为ΔE p ＝m A g πR2－m B gR ，系统动能的增加量为 ΔE k ＝12(m A ＋m B )v 2，由ΔE p ＝ΔE k 得v 2＝23(π－1)gR .对B 由动能定理得：W －m B gR ＝12m B v 2绳的张力对物体B 做的功 W ＝12m B v 2＋m B gR ＝π＋23m B gR .答案 π＋23m BgR2如图所示，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a 和b .a 球质量为m ，静置于地面； b 球质量为3m ，用手托住，高度为h ，此时轻绳刚好拉紧．不计 空气阻力，从静止开始释放b 后，a 可能达到的最大高度为( ) A ．hB ．1.5hC ．2hD ．2.5h答案 B解析 在b 球落地前，a 、b 球组成的系统机械能守恒，且a 、b 两球速度大小相等，根据机械能守恒定律可知：3mgh －mgh ＝12(m ＋3m )v 2，v ＝gh ，b 球落地时，a 球高度为h ，之后a 球向上做竖直上抛运动，在这个过程中机械能守恒，12m v 2＝mg Δh ，Δh ＝v 22g ＝h 2，所以a 球可能达到的最大高度为1.5h ，B 正确.3、如图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P 拴接，另一端与 物体A 相连，物体A 置于光滑水平桌面上(桌面足够大)，A 右端 连接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B 相连．开始时托住 B ，让A 处于静止且细线恰好伸直，然后由静止释放B ，直至B 获得最大速度．下列有关该过程的分析中正确的是 ( )A ．B 物体受到细线的拉力保持不变B ．B 物体机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量C ．A 物体动能的增量等于B 物体重力对B 做的功与弹簧弹力对A 做的功之和D ．A 物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量等于细线拉力对A 做的功 答案 BD解析 对A 、B 的运动分析可知，A 、B 做加速度越来越小的加速运动，直至A 和B 达到最大速度，从而可以判断细线对B 物体的拉力越来越大，A 选项错误；根据能量守恒定律知，B 的重力势能的减少转化为A 、B 的动能与弹簧的弹性势能的增加，据此可判断B 选项正确，C 选项错误；而A 物体动能的增量为细线拉力与弹簧弹力对A 做功之和，由此可知D 选项正确．4、如图所示，细绳跨过定滑轮悬挂两物体M 和m ，且M >m ，不计摩擦， 系统由静止开始运动的过程中( ) A ．M 、m 各自的机械能分别守恒B ．B ．M 减少的机械能等于m 增加的机械能C ．M 减少的重力势能等于m 增加的重力势能D ．M 和m 组成的系统机械能守恒 答案 BD解析 M 下落过程，绳的拉力对M 做负功，M 的机械能减少，A 错误；m 上升过程，绳的拉力对m 做正功，m 的机械能增加；对M 、m 组成的系统，机械能守恒，易得B 、D 正确；M 减少的重力势能并没有全部用于m 重力势能的增加，还有一部分转变成M 、m 的动能，所以C 错误．5、如图所示，A 、B 两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A 放在固定的光滑斜面上，B 、C 两小球在竖直方向上通过 劲度系数为k 的轻质弹簧相连，C 球放在水平地面上．现用 手控制住A ，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知A 的质量为4m ，B 、C 的质量均为m ，重力加速度为g ，细线与滑轮之间的摩擦不计．开始时整个系统处于静止状态；释放A 后，A 沿斜面下滑至速度最大时，C 恰好离开地面．下列说法正确的是( )A ．斜面倾角α＝30°B ．A 获得的最大速度为g2m5kC ．C 刚离开地面时，B 的加速度为零D ．从释放A 到C 刚离开地面的过程中，A 、B 两小球组成的系统机械能守恒 答案 AC解析 当A 沿斜面下滑的速度最大时，其所受合外力为零，有m A g sin α＝(m B ＋m C )g .解得sin α＝12，所以α＝30°，A 、C 项正确；A 、B 用细线相连，速度大小一样．当A 的速度最大时，对C 有：mg ＝kx ，对A 、B 、弹簧组成的系统应用机械能守恒定律有： 4mgx ·sin α＝mg ·x ＋12kx 2＋12(m A ＋m B )v 2，解得v ＝gm5k，B 项错误．在D 项中，应是A 、B 、弹簧组成的系统机械能守恒，D 项错误．6、如图所示，质量分别为m 和2m 的两个小球A 和B ，中间用轻质杆相连，在杆的中点O 处有一固定 转动轴，把杆置于水平位置后释放，在B 球顺时针摆动 到最低位置的过程中(不计一切摩擦)( )A ．B 球的重力势能减少，动能增加，B 球和地球组成的系统机械能守恒B ．A 球的重力势能增加，动能也增加，A 球和地球组成的系统机械能不守恒C ．A 球、B 球和地球组成的系统机械能守恒D ．A 球、B 球和地球组成的系统机械能不守恒 答案 BC解析 A 球在上摆过程中，重力势能增加，动能也增加，机械能增加，B 项正确．由于A 球、B 球和地球组成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒，C 项正确，D 项错误．所以B 球和地球组成系统的机械能一定减少，A 项错误．7、如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长h时，让圆环由静止开始沿杆滑下，滑到杆的底端时速度恰好为零．若以地面为参考面，则在圆环下滑过程中()A．圆环的机械能保持为mghB．弹簧的弹性势能先增大后减小C．弹簧弹力做的功为－mghD．弹簧的弹性势能最大时，圆环的动能和重力势能之和最小答案CD解析圆环受到重力、支持力和弹簧的弹力作用，支持力不做功，故圆环的机械能与弹簧的弹性势能总和保持不变，故全过程弹簧的弹性势能变化量等于圆环的机械能变化量，C正确．圆环的机械能不守恒，A错误．弹簧垂直杆时弹簧的压缩量最大，此时圆环有向下的速度，故此时弹性势能比末状态的弹性势能小．即：圆环滑到杆的底端时弹簧被拉长，且弹性势能达到最大，此时圆环的动能为零，所以在圆环下滑过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小最后又增大，B错误．弹簧和圆环的总机械能守恒，即E p弹＋E k m＋E p m＝0，当E p弹最大时，E k m＋E p m必最小，故D项正确．。
机械能守恒定律多物体
在天体运动中，行星、卫星等天体在万有引力的作用下绕中心天体做圆周运动或椭圆运动。在运动过 程中，天体的势能和动能相互转化，总机械能保持不变。这一规律在天文学、航天学等领域有广泛应 用。
06 结论
机械能守恒定律的意义与价值
意义
机械能守恒定律是物理学中的基本定律 之一，它揭示了机械能（动能和势能） 在封闭系统中的守恒性质。这个定律在 理论研究和实际应用中都具有非常重要 的意义，因为它提供了一种理解和预测 物体运动规律的有效方法。
探索机械能守恒定律在不同条件下的 适用性：目前我们对于机械能守恒定 律的理解主要是在理想条件下进行的 ，但是在实际应用中，物体往往受到 各种复杂因素的影响。因此，我们需 要进一步探索在不同条件下（例如非 惯性参考系、存在电磁场等），机械 能守恒定律的适用性和应用范围。
结合其他物理定律研究复杂系统的运 动规律：在实际应用中，物体的运动 往往受到多种物理定律的共同作用。 因此，我们需要进一步研究如何将机 械能守恒定律与其他物理定律（如牛 顿第三定律、动量守恒定律等）结合 起来，以更好地描述和理解复杂系统 的运动规律。
弹簧振子
一个简单的弹簧振子系统由一个质量块和一根弹性弹簧组成 。当质量块在弹簧的弹力作用下做往复运动时，系统的机械 能守恒。这是因为只有保守力（弹力）作用在系统上，而没 有外力作用。
04 机械能守恒定律的推论
动量守恒定律
01
总结词
动量守恒定律是描述系统在不受外力作用或外力作用相互抵消时，系统
总动量保持不变的规律。
02 03
详细描述
动量守恒定律适用于封闭系统，即系统与外界没有物质交换和能量交换。 当系统受到的外力相互抵消时，系统总动量保持不变，即系统的初始动 量和末动量相等。
多体机械能守恒问题
一.必备知识精讲1.多物体组成的系统机械能守恒是否守恒的判断方法看是否有其他形式的能与机械能相互转化。
2．三种守恒表达式的比拟角度公式意义考前须知守恒观点E k1＋E p1＝E k2＋E p2系统的初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等初、末状态必须用同一零势能面计算势能转化观点ΔE k＝－ΔE p系统减少(或增加)的势能等于系统增加(或减少)的动能应用时关键在于分清势能的增加量或减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差转移观点ΔE A增＝ΔE B减假设系统由A、B两物体组成，那么A物体机械能的增加量与B物体机械能的减少量相等常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题3．几种常见类型类型一：质量均匀的链条或柔软的绳索类型二：轻绳连接的物体系统(1)常见情景(2)三点提醒①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
(易错点)②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能那么可能守恒。
类型三：轻杆连接的物体系统(1)常见情景(2)三大特点①用杆连接的两个物体，其线速度大小一般有以下两种情况：a．假设两物体绕某一固定点做圆周运动，根据角速度ω相等确定线速度v的大小。
b．“关联速度法〞：两物体沿杆方向速度大小相等。
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，那么系统机械能守恒。
类型四：几个接触的物体组成的连接体类型五：轻绳、物体轻弹簧组成的连接体〔下一节具体探讨〕二.典型例题精讲题型一：质量均匀的链条模型例1：一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图a所示。
假设将一个质量也为m的小球分别拴在链条左端或右端，如图b、图c所示，约束链条的挡板光滑，三种情况下链条均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，设它们的速度分别为v a、v b、v c，那么关于v a、v b、v c的关系，以下判断中正确的选项是( )A ．v a ＝v b ＝v c B.v a <v b <v c C ．v c >v a >v b D.v a >v b >v c答案 C解析 设桌面下方L 处为零势能面。
专题：多物体机械能守恒
一、绳连接模型
练习1：（多选）如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的
一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直
杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d，杆上的A点与定滑轮
等高，杆上的B点在A点下方距离为d处。现将环从A处由静止释放，
不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是(
)
A.环到达B处时，重物上升的高度d
块A、B分别套在水平杆与竖
直杆上，A、B用一不可伸长
的轻质细绳相连，A的质量是
B质量的6倍，A、B均可看成
质点，如图所示，开始时细
绳水平伸直，A、B静止.由静
止释放B后，已知当细绳与竖
直方向的夹角为60°时，滑
块B沿着竖直杆下滑的速度为
v,则连接A、B的绳长为？
Q1:A、B两个物体受到了哪些力的作用？这
EK+EPG+EP弹=定值
些力对物体做功吗？A、B物体机械能守恒吗？
绳子拉力和物体重力都做功
A、B物体机械能不守恒
A
60°
B
一、绳连接模型
例题1：有一竖直放置
的“T”形架，表面光滑，滑
块A、B分别套在水平杆与竖
直杆上，A、B用一不可伸长
的轻质细绳相连，A的质量是
B质量的6倍，A、B均可看成
质点，如图所示，开始时细
绳水平伸直，A、B静止.由静
B.环到达B处时，环的速度大小是重物的 2倍
关联速度：
C.环从A运动到B过程中减少的机械能大于重物
增加的机械能
一、绳连接模型
练习1：（多选）如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另
一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆
机械能守恒二
机械能守恒（二）【典型例题1】如图34-1所示，密度为ρ的液体置于截面积为S 的均匀U 形管内，液柱长为4h ，两管内液柱高度差为h ，静止起释放液柱，阻力不计，求液柱运动的最大速度。
解答：当液柱运动到两边液面高度相同时速度最大，设整个液柱的质量为m ，对于势能的变化，我们可以认为是图中左管虚线以上的一块液柱移到了右管中虚线以下空缺部分，这块液柱的质量为m /8，重心高度改变量为h /2，则由机械能守恒定律得：m 8 ⨯g ⨯h 2 ＝12mv 2， 所以v ＝gh / 8 。
分析：大物体相当于物体系，物体系的机械能守恒通常用表达式∆E k ＝－∆E P 来解，另外大物体的势能改变量应看其重心位置的高度差。
【典型例题2】如图34-2所示，两小球A 、B 用细线相连后挂在半径为R 的光滑固定半柱面上，两小球恰在其水平直径两端，已知A 、B 两小球的质量关系是m B ＞m A ，静止起释放它们，当A 球运动到最高点时恰离开柱面，求：A 、B 两小球的质量之比m A ／m B 。
解答：在此过程中A 球上升高度为R ，B 球下降高度为πR2，设A 球经过最高点时的速度大小为v ，由A 球运动到最高点时恰离开柱面得：m A g ＝m v 2R ，则v ＝gR 。
又由机械能守恒定律得：m B g πR2 －m A gR ＝12（m A ＋m B ）v 2， 所以m B gπR2 －m A gR ＝12Rg （m A ＋m B ），即πm B －2m A ＝m A ＋m B ， 所以：m A m B ＝π－13。
【典型例题3】如图34-3所示，已知A 、B 、C 三小球质量均为m ，用长均为L 的细线相连后放于高为h 的光滑桌面上，已知L ＞h ，C 球恰在桌边外，且桌边有光滑挡板，使小球离开桌面后只能向下运动，静止起释放它们，求小球A 落地时的速度大小。
解答：第一个过程是三个小球一起运动，设小球C 到达地面时速度为v 1，由机械能守恒得：mgh ＝3⨯12 mv 12，则v 12＝2gh3，第二个过程是A 、B 两个小球一起运动，设小球B 到达地面时速度为v 2，由机械能守图34-1恒得：mgh ＝2⨯12 mv 22－2⨯12 mv 12，则v 22＝v 12＋gh ＝2gh 3 ＋gh ＝5gh3，第三个过程是A 小球运动，设小球A 到达地面时速度为v 3，由机械能守恒得：mgh ＝12mv 32－12 mv 22，则v 32＝v 22＋2gh ＝5gh 3 ＋2gh ＝11gh 3，分析：本题B 、C 分别落地时都有机械能损失，所以只能分成三个过程列机械能守恒方程。
多物体机械能守恒问题
多物体机械能守恒问题多物体机械能守恒问题是物理学中一个重要的概念。
根据能量守恒定律，对于一个孤立系统，机械能守恒，即系统中所有物体的机械能总和在时间上保持不变。
这个理论在解决各种实际问题中非常有用，尤其是在涉及多个物体之间相互作用的情况下。
在多物体的机械能守恒问题中，我们通常需要考虑物体之间的相对运动、动能和势能的转化以及可能存在的外力等因素。
通过对这些因素的仔细分析，我们可以确定系统中每个物体的运动情况，并且可以预测未来的运动状态。
首先，我们必须考虑每个物体的动能和势能的贡献。
动能是由物体的质量和速度决定的，而势能则取决于物体所处的位置。
在考虑动能和势能的转化时，我们必须考虑物体之间可能存在的弹性碰撞或摩擦等相互作用。
这些相互作用可能导致动能和势能的转移，从而影响系统的机械能总和。
其次，外力也是多物体机械能守恒问题中的一个关键因素。
外力可以改变物体的运动状态，从而影响机械能的守恒。
例如，当存在摩擦力时，物体会受到额外的耗散力，从而导致机械能的减小。
通过确定系统中每个物体的动能和势能以及考虑外力的影响，我们可以使用机械能守恒定律来解决多物体机械能守恒问题。
我们可以建立方程来表示系统中各个物体的机械能总和，并通过求解这些方程来确定系统的未来运动状态。
通过应用这个方法，我们可以预测多物体系统在任意时间点的位置和速度。
总而言之，多物体机械能守恒问题是一个涉及多个物体相互作用的复杂问题。
通过分析各个物体的动能和势能，考虑可能的相互作用和外力的影响，应用能量守恒定律，我们可以解决这些问题并预测多物体系统的运动状态。
这个概念在物理学的研究和应用中具有重要的意义和广泛的适用性。
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多物体系统问题
知识回顾
机械能守恒定律
1.内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动 能和势能可以相互转化，而总的机械能保持不变 2.守恒条件：①只有重力或系统内弹力做功 ②只有动能和势能之间的转化 3.表达式： EK 2 EP 2 EK1 EP1 4.解题步骤： ①确定研究对象，及其运动过程 ②分析：判断机械能是否守恒 ③确定参考平面，明确初、末机械能 ④由机械能守恒定律列方程，求解
多物体组成的系统机械能守恒问题
1、守恒条件： 没有摩擦造成的系统机械能损失而减少； 没有人、发动机等输入系统能量造成增加 2、表达式： （1）系统初状态的总机械能等于末状态的总机械能: 设有A、B两个物体机械能守恒，则
邋EA初 +
EB初 = 邋EA末 +
EB末
1 1 1 1 2 2 2 mAvA1 + mA ghA1 + mB vB1 + mB ghB1 = mAvA 2 + mA ghA 2 + mB vB 2 2 + mB ghB 2 2 2 2 2
1 2 1 2 即： mv (2m)v 2mgh 2 2
解得： v =
4 gh 3
（3）以组成系统的物体A、B为研究对象： A减少的机械能等于B增加的机械能
EA EB
转移角度
解析： 对木块和砝码组成的系统机械能守恒
H
4 gh 3
1 2 1 mv 2mgh- (2m)v 2 2 2
d
37°
例题3.如图，质量为m的砝码用 轻绳绕过光滑的定滑轮与质量为 7m的砝码相连，让绳拉直后使砝 码从静止开始下降h时,7m恰落地 ，求：m继续上升的高度多大？
7m
m 解析：两个砝码组成的系统， m上升过程，m的 由机械能守恒定律得： 机械能守恒： 1 2 1 1 2 mv 7mv 2 mgh 7mgh mv mghx 2 2 2 3 3 v= gh hx = h 2 4
为
v gL/2
.
解：由机械能守恒定律，取 小滑轮处为零势能面.
1 L L 1 2 2 mg mg mv 2 4 2 2 1 v gL 2
例题8．质量均为1kg的物体A和B，通过跨过倾角为 30°的光滑斜面顶端的定滑轮连接。B在斜面底端， A离地h=0.8 m，从静止开始放手让它们运动.求： (1)物体A着地时的速度； (2)物体A着地后物体B沿斜面上滑的最大距离.
D Em增 =D E2m减
解得： v =
E增=E增-E减 E减=轻绳绕过光滑的定滑轮与质量为M （M>m)的砝码相连，让绳拉直后 使砝码从静止开始下降h的距离时 砝码未落地,求：这时砝码的速率 为多少？ 研究能量之间相互转化的方法：
M
m
解析：两个砝码组成的系统，由机械能守恒定律得：
1 2 1 2 即：（ mv mgH） (2m)v mgH 2mgh 2 2
解得： v =
4 gh 3
（2）以系统内各种机械能为研究对象： 减少的等于增加的
E增 E减
1. |∆Ep| =|WG|=mgh 2.Ek增=EK末-EK初 3.Ek减=EK初-EK末
转化角度
m o 2m
例题4.如图所示，在光滑水平桌面上 有一质量为M的小车，小车跟绳一端 相连，绳子另一端通过小滑轮吊一个 质量为m的套在竖直杆上的铁套筒， 由静止释放m后，牵引小车运动。当 m运动到绳与竖直方向成37°时，车 的速度多大？（车没有运动到滑轮处。 滑轮到竖直杆距离为d。释放时，绳恰 水平拉直。）
缺点是不方便，要选择共同的零势能参考面！！
例题1.如图，质量为m的木块放在光 滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边光 滑的定滑轮与质量为2m的砝码相连， 让绳拉直后使砝码从静止开始下降h 的距离时砝码未落地，木块仍在桌面 上，这时砝码的速率为多少？
H
解析：对木块和砝码组成的系统内只有重力势能和动能的 转化，故机械能守恒，以砝码末位置所在平面为参考平 面，由机械能守恒定律得：
动能、势能的改变量的计算方法：
例题1.如图，质量为m的木块放 在光滑的水平桌面上，用轻绳绕 过桌边光滑的定滑轮与质量为2m 的砝码相连，让绳拉直后使砝码 从静止开始下降h的距离时砝码未 落地，木块仍在桌面上，这时砝 码的速率为多少？
H
解析：对木块和砝码组成的系统，由机械能守恒定律得：
Emk增 +E2mk增 =E2mp减
Emk增 +EMk增 +Emp增 =EMp减
1 2 1 即： mv Mv 2 mgh Mgh 2 2
v= M- m 2 gh M+m
例：如图，o为光滑的固定水平转轴，直杆质量 忽略，两端固定质量分别为m、2m的两个小球，可 视为质点。杆长为L,轴o距离m球为L/3，现两球从水 平位置由静止释放，求：杆转到竖直位置时，两球 的速度大小。
例题 5. 一条长为 L 的均匀链条，放在光滑水平桌 面上，链条的一半垂于桌边， 止开始使链条自由滑落，当它全部脱离桌面时的 速度为多大?
例题6．如图小球AB质量分别是m 、2m.通过轻绳跨在半径为R光滑 的半圆曲面上。由静止释放。求 小球A刚到半圆顶端时的速度？
A
B
例 7. 长为 L 质量分布均匀的绳子，对称地悬挂 在轻小的定滑轮上，如图所示.轻轻地推动一下，让绳 子滑下，那么当绳子离开滑轮的瞬间 ，绳子的速度