§2.7规范变换
2.7 Z变换
本书只讨论第一种Z变换
பைடு நூலகம்
二、z变换的收敛域与零极点
1.收敛域：对于任意给定序列x(n)，使其z变换
X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。 用符号ROC(range of convergence)表示。 根据级数理论，级数收敛的充要条件是：
n =−∞
∑
∞
x ( n) z
−n
≤
n =−∞
其z变换：X ( z ) =
n =−∞
∑
0
x(n ) z − n + ∑ x(n) z − n
n =1
n2
前式Roc: 0 ≤ z < Rx + 后式Roc: < z ≤ ∞ 0
∴当n2 ≤ 0时，Roc : 0 ≤ z < Rx+ 当n2 > 0时，Roc : 0 < z ≤ ∞ 即左边序列的收敛域是某个圆的内部 z < Rx+
列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。
2. X(z)在收敛域内不能有极点，故：
右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有 大 右边序列 限极点所在圆之外 之外 左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有 左边序列 小 限极点所在圆之内 之内
四、Z变换的基本性质与定理 变换的基本性质与定理 1、线性 、
若
则
Z [ x(n)] = X ( z ) Rx− < z < Rx+
例1 求x(n) = −a nu (−n − 1)的z变换及其收敛域 ：
解：X(z)= ∑ x(n) z = ∑ −a u ( −n − 1) z
−n n n =−∞ n =−∞ ∞ ∞ −n
= ∑ −a z = ∑ −a z
第四章特殊变换及其矩阵
或
QT AQ = Q- 1 AQ = B
则称 A 酉相似（或正交相似）于 B 。
定义2 酉空间 V 上的线性变换 T 称为 V上的一个
正规变换，如果存在 V的标准正交基 ε1,ε2 ,L , εn 及对角矩阵 D º diag(d1,d2 ,L , dn ) 满足
U3U H U2U H (UU H )2
因此
3
2 ，即
3 i
2 i
，故 i 0 或 1.
从而 2 ，故
A2 U2U H UU H A.
课后思考
1、实正规矩阵是否正交相似于实 对角矩阵？
2、实正规矩阵是否正交相似于复 对角矩阵？
3、实正规矩阵正交相似于什么 样的“简单”矩阵？
(η1,η2 ,L , ηn ) = (ε1,ε2 ,L , εn )U
显然过渡矩阵 U 是酉矩阵（请试试自己证明一下）
因为 (η1,η2 ,L , ηn ) B
= (T (η1 ), T (η2 ),L , T (ηn )) = (T (ε1 ), T (ε2 ),L , T (εn ))U = (ε1,ε2 ,L , εn ) AU = (η1,η2 ,L , ηn )U H AU 所以 B = U H AU ，结论成立。
| ti i |2 | ti n |2 | t1i |2 | ti i |2 当 i 1 时，有 | t11 |2 | t12 |2 | t1 n |2 | t11 |2
可知 t1 j 0 ( j 2, 3, , n)
对 i 施行归纳法，可得 ti j 0 (i j) ，证毕。
线性代数—二次型的标准形和规范形PPT课件
解 二次型的矩阵
0 1 1 1
A
1 1 1
0 1 1
1 0 1
1
1 0
1 1 1
1 1 1 1
1 E A
1 1
1 1 ( 1)1
1
11
1 1
1
1 1 1
1 1 1
15
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1 1 1 1 1 11 1 1 1 1
(
1 1)
E
1 A
11
1,2 ,,n , 记C (1,2 ,,n ) ;
5. 作 正 交 变 换X CY , 则 得 f 的 标 准 形
f 1 y12 n yn2 .
10
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例3
用正交变换将二次型
f 17x12 14x22 14x32 4x1 x2 4x1x3 8x2 x3
化为标准形，并求所作的正交变换。
再配方，得
f 2( y1 y3 )2 2( y2 2 y3 )2 6 y32 ,
令
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
y3 z3
即
y1 1 0 1 z1 y2 0 1 2 z2
y3
0
0
1
z3
,
1
1
1
2
1
00
,3
0
1 0
, 4
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17
1
1
1
2
1 0 0
,
3
0 1 0
,
4
0 0 1
,
正交化，
1 1 1
《电磁场规范变换》课件
相对论性电磁场中的规范变换
01
相对论性电磁场是描述光子和带电粒子相互作用的经
典场论。
02
规范变换在相对论性电磁场中用于消除场方程中的源
项，使得场方程在任何参考系下都具有协变形式。
03
通过选择适当的规范条件，可以确定电磁场的物理状
态，如无源或有源。
广义相对论中的规范变换
广义相对论是描述引力与物质相互作用的经典场论。
《电磁场规范变换》 PPT课件
目 录
• 引言 • 电磁场基础 • 规范变换理论 • 电磁场中的规范变换应用 • 实验与实践 • 总结与展望
01
引言
课程背景
电磁场理论在物理学中的重要地位
电磁场理论是物理学的重要组成部分，对理解电磁波传播、电磁力作用等方面 具有重要意义。
规范变换在电磁场理论中的重要性
规范变换是电磁场理论中的重要概念，它涉及到电磁场在不同参考系或不同坐 标系下的表现形式和性质。
课程目标
掌握规范变换的基本概念和原理
通过本课程的学习，学生应能理解规范变换的基本原理和方法，了解其在电磁场理论中 的应用。
学习如何应用规范变换解决实际问题
本课程将通过具体例子的讲解，培养学生运用规范变换解决实际问题的能力，提高其理 论联系实际的能力。
规范变换在广义相对论中用于消除场方程中的源项，使得场方程在任何参 考系下都具有协变形式。
通过选择适当的规范条件，可以确定引力场的物理状态，如无源或有源。
05
实验与实践
电磁场测量实验
总结词
通过实验测量电磁场强度、方向 等参数，验证电磁场理论。
详细描述
介绍实验设备、测量方法、数据 处理等，以及实验结果与理论预 测的对比分析。
合同变换法化规范型
合同变换法化规范型合同是市场经济活动的法律规范。
合同关系是市场经济主体之间通过买卖、租赁、承包、经济技术合作等方式而形成的民事法律关系，是市场经济主体之间的主要协商、约定和交易方式。
因此，合同变更是民事法律关系的一个重要环节。
在市场经济活动中，由于各种原因合同变更事项是比较普遍的。
然而，对于合同变更行为的法律规范性问题，一直是一个亟待解决的问题。
本文试从合同变更的法律规范性问题入手，分析合同变更的法律规范性问题，探讨提高合同变更的法律规范性。
一、合同变更的法律规范性问题合同变更是合同关系的重要组成部分，但是合同变更行为的法律规范性问题时常被人们诟病。
在实践中，由于缺乏法律规范性和缺乏必要的审查程序，合同变更时常出现以下问题：1.无形式规范。
一些当事人在变更合同时，没有按照法定程序进行，变更行为没有经过必要的形式规范，法律规范性问题十分突出。
在合同变更中，倘若当事人不按程序进行，无正当理由，合同变更将会丧失法律效力，导致无法履行。
2.欠缺财产规范。
在合同变更时，一些当事人没有进行财产规范的审查，导致合同变更引起一方经济利益激剧变化，带来损失。
这样的例子经常在房地产合同变更中出现。
在一些房地产开发商提出变更房屋价格时，没有进行财产规范审查，结果使购房者经济利益受损。
3.无主体规范。
在合同变更时，有时候没有对相关当事人的法律主体进行必要的规范审查，在合同变更中，经常会出现没有权利的一方变更合同的情况。
在这种情况下，合同变更导致违法。
总之，合同变更时常出现“冒犯”法治的情况。
这种不规范的合同变更导致市场经济主体的合法权益受到损失，严重影响市场秩序的正常运行。
二、提高合同变更的法律规范性当前，为了促进合同变更的法律规范，提高合同变更的法律规范性显得尤为重要。
只要我们充分认识合同变更的法律规范性，认真研究出合适的法律规范措施，合同变更的法律规范性不断提高。
以下是提高合同变更的法律规范性的具体措施：1.建立严格的程序规范。
1.3 电磁场的规范变换
1.3 电磁场的规范变换在时变场中，用辅助函数动态位A和ϕ可以唯一地确定矢量场B和E⎪⎩⎪⎨⎧∇-∂∂-=⨯∇=ϕt A E A B而反过来，根据已知场量B和E却不能唯一地确定ϕ和A。
如令：ψ∇+='A At∂∂-='ψϕϕ其中ψ为任意标量函数。
这样()B A A A A=⨯∇=∇⨯∇+⨯∇=∇+⨯∇='⨯∇ψψ()()E tAt t A t A tt t A =∂∂--∇=∇∂∂-∂∂-∇∂∂+-∇=∇+∂∂-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂--∇=∂'∂-'∇-ϕψψϕψψϕϕ)( 可知：由A '、ϕ'仍能唯一地确定B 和E 。
考虑ψ的任意性，唯一的B 和E场量值却对应无穷多组动态位A 和ϕ的值，要使A、ϕ确定下来，必须加约束条件。
1.3.1规范变换和规范不变性 在矢量位A加上任意标量函数ψ的梯度，同时在标量ϕ中减去该函数ψ对时间的微商，能够保持B和E不变，即是说能描述同一个电磁场。
将上述作法称之为变换，位函数的这种变换称之为规范变换。
规范变换中保持了场矢量B和E的不变性，称之为规范不变性。
所用的标量函数ψ称之为规范函数。
按照Helmholtz 定理，对A的散度加以限制，称之为施加约束条件。
如在恒定磁场中，选择0=⋅∇A，则2=∇=∇⋅∇+⋅∇='⋅∇ψψA A限定了ψ必须是调和函数，使A的偏微分方程得以简化，并取得确定的解。
对A⋅∇的选定，称之为选择规范或选择规范条件(或规范约束)。
1.3.2 选择规范设在各向同性线性均匀媒质中，有自由电流J '(即源电流)，传导电流EJγ=、位移电流tD ∂∂ 以及分布电荷ρ。
由Maxwell 方程有tE E J B ∂∂++'=⨯∇μεμγμερ=⋅∇E将动态位 B A=⨯∇、EtA=∇-∂∂-ϕ代入方程⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∇-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∇-+'=⨯∇⨯∇t A t t A J Aϕμεϕμγμ∵ ()A A A2∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇有J t A t A t A A'-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+⋅∇∇-∂∂-∂∂-∇μμγϕϕμεμεμγ222同理ερϕ-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⋅∇+∇t A2上式改写为ερμγϕϕμεϕμεϕμγϕ-=⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂+⋅∇∂∂+∂∂-∂∂-∇t A t tt222令μγϕϕμε-∂∂-=⋅∇tA则 J tAtA A'-=∂∂-∂∂-∇μμεμγ222ερϕμεϕμγϕ-=∂∂-∂∂-∇222tt得到了两个完全相似的非齐次波动方程，在已知场源J '()t r , '和()t r ,'ρ和定解条件情况下，联立求解以上3个方程，就可以得到A和ϕ的解答。
状态空间模型的线性变换和约旦规范形
p11 p P 21 ... p n1
p12 p22 ... pn 2
... ... ... ...
p1n p2 n ... p nn
状态空间的线性变换(5/14)—计算伴随矩阵法
则其伴随矩阵为:
* p11 p* adj( P) 12 ... p* 1n * p21 * p22 ... * p2 n
坐标则相当于作了一次相似变换。
如,在如右图所示的平面直角坐标系中,A点在两个坐标系 下的坐标存在如下变化关系(其中P为非奇异的变换矩阵)
xa xa y P y a a
状态空间模型的线性变换和约旦规范形(5/8)
n维空间中的旋转变换、极坐标变换, 线性空间中的相 似变换,都属于空间变换。 其中旋转变换和相似变换还属于线性变换。 状态空间中由于状态变量的不同选择类似于线性空间 中的坐标架的不同选择， 同一个系统不同选择状态变量组之间存在类似于线 性空间不同坐标架之间的线性变换, 因此我们将在状态空间中坐标变换称为状态空间的 线性变换。
Ch.2 控制系统的状态空 间模型
目录(1/1)
目
概述 2.1 状态和状态空间模型
录
2.2 根据系统机理建立状态空间模型
2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型
2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范型 2.5 传递函数阵
2.6 线性离散系统的状态空间描述
2.7 Matlab问题 本章小结
p1n p2 n ... p nn
p21 ... pn1
p22 ... pn 2 ...
状态空间的线性变换(6/14) —计算伴随矩阵法
电磁场规范变换
研究展望
未来研究可以进一步拓展电磁场规范变换的应用范围， 探索其在更多领域的应用前景，如生物医学、环境保
护、新能源等领域。
输标02入题
需要深入研究电磁波在不同介质中的传播规律和机制， 探索更精确的数值计算方法和模型，以提高对电磁波 传播和散射的预测和控制能力。
境保护和公共安全提供数据支持。
06 结论与展望
研究结论
电磁场规范变换在理论和应用上具有重要意义， 为电磁波传播、散射和辐射等领域提供了重要的 理论支撑。
在研究中，我们发现了一些新的现象和规律，如 电磁波在不同介质中的传播规律、散射和辐射机 制等，这些发现有助于深入理解电磁波的本质和 传播规律。
通过深入研究和探索，我们发现电磁场规范变换 在不同场景和条件下具有广泛的应用前景，如电 磁波传播、散射、辐射、电磁兼容等领域。
01
03
需要加强国际合作和交流，共同推动电磁场规范变换 的研究和应用，促进相关领域的发展和进步。
04
需要加强电磁兼容和电磁防护方面的研究，为电子设 备和系统的可靠性和安全性提供保障。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
电磁波的传播遵循波动方程，该方程描述了电场和磁场随时间和空间 的变化规律。通过求解波动方程，可以得到电磁波的传播特性。
03 规范变换理论
规范变换的定义与性质
规范变换的定义
规范变换是一种数学工具，用于描述物理系统在不同参考系或不同观察者之间的变换关系。在电磁场理论中，规 范变换通常用于描述电磁场在不同参考系或不同观察者之间的变换关系。
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此外，如上所述，x，Π不变， p p e
c
6. 阿哈罗诺夫-玻姆效应
电子处于中空圆柱体内，仅在中空圆柱内通均匀磁场，则圆柱
体内无磁场但有矢势：
2 B 2 a ˆ A d l 2 A ( A ) d S B ; A ( ) a 2
在
变换下不变(规范不变)
为简便,只讨论不含时情形：
经典H：
量子H
1. 力学动量
由海森堡运动方程：
可见正则动量 pi 与 mdxi/dt 不同
称
为运动学或力学动量
c c c xi x j c
对易关系： [ , ] [ p eAi , p eAj ] i e ( Aj Ai ) i e B i j i j ijk k 哈密顿算符： Lorentz力算符：
6. 阿哈罗诺夫-玻姆效应
相位差：
e xN e xN e A dl ]上 A dl ]下 A dl x x c 1 c 1 c e e B B dS c c
2c 4.135107 gauss cm2 ，相位变化2π 磁通量每变化 B e
2. 薛定谔方程
相当于
连续性方程仍成立：
但 或 且
3. 规范变换
由于 B A，对给定B，可选不同的A
如
，
或
A的选取不应改变物理现实
dx/dt=Π/m, Π必须是规范不变的，而p=Π+eA/c会变
量子：力学量观测结果（期望值）不变
物理限制对态变换的要求：
干涉效应得到实验验证
7. 磁单极
类比B和E， E 4, B 4M ，有 eM ˆ, B d 4 eM （ B 2 r A)dv r 封闭曲面 曲面内体积
知A不可能无奇异性
( I ) eM (1 cos ) ( II ) e (1 cos ) ˆ ˆ A [ ] ( ); A [ M ] ( ) r sin r sin ( II ) ( I ) 2eM ˆ A A ; 2eM r sin
变换前： 变换后 考虑到 得: 即薛定谔方程满足规范不变性 对含时Ʌ，考虑到 1 ，薛定谔方程仍然满足规范 c t 不变性
5. 规范变换下其他物理量的变换
波函数： 几密度不变相位 几率流量
eA j (S ) m c
规范不变
经典对应于h0的结果 不过该量子干涉很难观测到
二、量子力学中的重力场
经典运动： 量子力学：
仅与几何有关 与h/m有关 可产生量子效应
重力诱导的量子干涉
实验结果
引力不是纯几何性的 量子力学适用于万有引 力作用体系
三、电磁场的规范变换
电动力学里
1 , A A c t
§2.7 规范变换
一、常数势的效应
V(x)
牛顿力学的力不变，量子力学呢？
取t0时两态同相位， 则t时两态有相位差：
势的零点选取与相应的态矢相位变化就是一种（最简单） 的规范变换
对于整个系统，观察量随时间的变化：
<B>
只与能级差有关，V0无影响。
但量子力学可观测经典所没有的效应：量子干涉
i e ijk ( j Bk Bk j ) c i e i e [ x , 2 ] [( y Bz Bz y ) ( z By By z )] [( B) x ( B ) x ] c c i e [ , 2 ] [( B) ( B )] c [ i , 2j ]
xN x1
x1到xN的跃迁振幅：
iS ( 0) ( N ,1) ie x N iS ( 0) ( N ,1) ie x N D [ x ( t )] exp[ ]{exp[ A d l ] } D [ x ( t )] exp[ ]{exp[ A dl ]下} 上 x x c 1 c 1 上 下 iS ( 0) ( N ,1) iS ( 0) ( N ,1) D[ x (t )]exp[ ] exp[i ( )] D[ x (t )]exp[ ] exp(i ) 上 下
( II ) 波函数单值性要求： exp(
矢势导致的（路径）作用量变化：e
c t1
tN
dx e xN dt A A dl dt c x1
tN L x, x D x t exp i t1 dt
该积分对所有不包围磁通量的不同路径相同
xN t N x1t1
e 因 p p c A ，导致电子能级变化（AB效应）
6. 阿哈罗诺夫-玻姆效应
不同路径包围磁通量情况，经典拉格朗日量： m v2 e e d x L( x , v , t ) e ( x , t ) v A( x , t ) L( 0) ( x , v , t ) A( x , t ) 2 c c dt
对 要求：
即求合适的幺正变换 使得
幺正 ~ exp(i f(x,p)); 与x对易 ~ exp(iF(x)) [p, exp(iF(x))]=-iħ exp(iF(x)) [i▽F(x)] F(x)=eɅ(x)/ħc
结果：
1）幺正 2）与x对易 3）由于
故：
4. 规范变换下的薛定谔方程