曲面及其方程1PPT课件
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2.1.曲面及其方程ppt课件
z
圆
柱
l
面
oo
y
x
注意：在空间直角坐标系，缺项方程〔不完全方程〕的 图形是柱面.
:
18
z
(1) y 2 2 x 表示抛物柱面,
母线平行于 z 轴;
准线为xoy 面上的抛物线.
o
(2) x y 0表示母线平行于
z 轴的平面.
x
z
(且 z 轴在平面上)
注意：描述柱面只须指出
其准线及母线.
o
x
准线
:
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线(即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而 了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种常见的二次曲面．
:
23
(1) 椭球面
z
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
O y
1 用坐标面z = 0 , x = 0
x
和y = 0去截割,分别得椭圆
x 2 a2
三元二次方程
椭球面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
抛物面
椭圆抛物面
双曲抛物面
(p,q同号) x 2 y 2 z 2 p 2q
x2 y2 z
2 p 2q
双曲面 单叶双曲面
双叶双曲面
椭圆锥面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
x2 a2
y2 b2
z2
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
dx2y2 |y1|
将 z z1 , y 1 x 2y2代入 f(y1,z1)0
:
10
将 z z 1 , y 1 x 2 y 2代入 f(y1,z1)0
得方程 f( x2y2, z)0.
线性代数与解析几何—曲面及其方程
F1 F2
x, x,
y, y,
z z
0, 0,
1
旋转轴为直线 l : x x0 y y0 z z0 , 2
X
Y
Z
分析： M1 x1, y1, z1 母线 M1 S M1 纬圆
＝平 球面 面 F x, y, z 0
3 方程F (y, z) =0 表示: 母线平行于 x 轴的柱面, 准线为yoz面上的曲线C: F (y, z) = 0.
椭圆柱面
z
x2 y2 1
a2 b2
o
y
x
双曲柱面 x
x2 a2
y2 b2
1
o
z
y
抛物柱面
z
y 2 2 px
o
y x
3. 旋转面及其方程
l
C
3. 旋转面及其方程
注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.
锥面的准线不
唯一，
z
和一切母线
都相交的每
准线
一条曲线都
母线
可以作为它 母线
的准线.
顶点 A
0
y
设锥面的准线为
F1 ( F2 (
x, x,
y, y,
z) z)
0 0
顶点为A(x0, y0, z0)，试建立锥面的方程.
设点M1(x1,y1,z1)为锥面准线上任一点，则锥面过
点M1的母线为： x x0 y y0 z z0
旋转曲面又可看作以轴 l 为连 心线的一族纬圆生成的曲面
l M1
当M1遍历整个母线Γ 时，得出旋转曲
面的所有纬圆，这些纬圆生成旋转曲面.
高等数学第七章：曲面及其方程
这条定直线叫旋 转曲面的轴．
4/21
旋转过程中的特征：
如图 设 M (x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 6; 7 ;
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
x
y z
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
4/21
旋转过程中的特征：
如图 设 M (x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 6; 7 ;
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
x
y z
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
第八章第3节曲面及其方程
磨璞见玉 砺剑生辉
祝同学们在新学期 取得更好的成绩
1
内容与学时
第八章 空间解析几何 6学时
第九章 多元函数微分法及其应用 20学时
第十章 重积分 12学时
第十一章 曲线积分与曲面积分 14学时
第十二章 无穷级数 18学时
第七章 微分方程 14学时
总复习 4学时
总计 88学时
2
第3节 曲面及其方程
40
习题8 3 P31
1,2，3，5，6，8（1，3）,9(1,3),10(1,4),11(3)
x
33
（三）双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
单叶双曲面
（1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.
x2 a2
y2 b2
1
z 0
34
与平面 z z1 的交线为椭圆.
x2
a
2
y2 b2
1
z12 c2
25
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球c2
1绕
z 轴旋转而成．
方程可写为
x2 y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z z1 ( | z1 | c)的交线为圆.
26
截面上圆的方程
（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
10
祝同学们在新学期 取得更好的成绩
1
内容与学时
第八章 空间解析几何 6学时
第九章 多元函数微分法及其应用 20学时
第十章 重积分 12学时
第十一章 曲线积分与曲面积分 14学时
第十二章 无穷级数 18学时
第七章 微分方程 14学时
总复习 4学时
总计 88学时
2
第3节 曲面及其方程
40
习题8 3 P31
1,2，3，5，6，8（1，3）,9(1,3),10(1,4),11(3)
x
33
（三）双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
单叶双曲面
（1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.
x2 a2
y2 b2
1
z 0
34
与平面 z z1 的交线为椭圆.
x2
a
2
y2 b2
1
z12 c2
25
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球c2
1绕
z 轴旋转而成．
方程可写为
x2 y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z z1 ( | z1 | c)的交线为圆.
26
截面上圆的方程
（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
10
曲面及其方程
解 设M(x,y,z)是曲面上任一点，根据题意有
，即
一、曲面方程的概念
整理得 这就是所求曲面上的点的坐标满足的方程，而不在该
曲面上的点的坐标不满足此方程，所以它就是所求曲面的 方程.
以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐 标间的方程来表示.反之，变量x,y和z间的方程通常表示一 个曲面.下面将以旋转曲面为例讨论问题：已知一曲面作为 点的几何轨迹时，如何建立该曲面的方程？以柱面和二次 曲面为例讨论问题：已知坐标x,y,z间的一个方程时，研究 这方程所表示的曲面的形状.
由于旋转轴为z轴，将方程(7-11)中的y改成 到圆锥面的方程
整理得 z2=a2(x2+y2),
其中a=cot α.
,便得
二、旋转曲面
事实上，以前学习过的椭圆、抛物线及双曲 线都是由圆锥面得来的.用一个平面截圆锥面，当截 面与其所有母线都相交，截线为椭圆；当截面与任 一条母线平行，截线为抛物线；当截面与轴线平行， 截线为双曲线的一支.
图 7-30
三、柱面
【例5】
试讨论方程
表示什么样的曲面？
解 方程
在平面解析几何中表示xOy
面上以原点O为中心的椭圆曲线.但在空间直角坐标系中,此
方程表示的应为一个曲面.
三、柱面
事实上，由于此方程不含竖坐标z,则对动点M(x,y,z)，无 论z取何值,只要其横坐标x和纵坐标y满足比方程,那么这些点 就在这曲面上.从而可知，过xOy面上的椭圆
求此曲线C绕z轴旋转一周所形成的旋转曲面（见图7-27转曲面
设M10,y1,z1为曲线C上的任一点，于是M1的坐标必满
足f(y1,z1)=0.当曲线C绕z轴旋转时，点M1绕z轴转到另一点
M（x,y,z），此时，点M与z轴的距离等于点M1到z轴的距
，即
一、曲面方程的概念
整理得 这就是所求曲面上的点的坐标满足的方程，而不在该
曲面上的点的坐标不满足此方程，所以它就是所求曲面的 方程.
以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐 标间的方程来表示.反之，变量x,y和z间的方程通常表示一 个曲面.下面将以旋转曲面为例讨论问题：已知一曲面作为 点的几何轨迹时，如何建立该曲面的方程？以柱面和二次 曲面为例讨论问题：已知坐标x,y,z间的一个方程时，研究 这方程所表示的曲面的形状.
由于旋转轴为z轴，将方程(7-11)中的y改成 到圆锥面的方程
整理得 z2=a2(x2+y2),
其中a=cot α.
,便得
二、旋转曲面
事实上，以前学习过的椭圆、抛物线及双曲 线都是由圆锥面得来的.用一个平面截圆锥面，当截 面与其所有母线都相交，截线为椭圆；当截面与任 一条母线平行，截线为抛物线；当截面与轴线平行， 截线为双曲线的一支.
图 7-30
三、柱面
【例5】
试讨论方程
表示什么样的曲面？
解 方程
在平面解析几何中表示xOy
面上以原点O为中心的椭圆曲线.但在空间直角坐标系中,此
方程表示的应为一个曲面.
三、柱面
事实上，由于此方程不含竖坐标z,则对动点M(x,y,z)，无 论z取何值,只要其横坐标x和纵坐标y满足比方程,那么这些点 就在这曲面上.从而可知，过xOy面上的椭圆
求此曲线C绕z轴旋转一周所形成的旋转曲面（见图7-27转曲面
设M10,y1,z1为曲线C上的任一点，于是M1的坐标必满
足f(y1,z1)=0.当曲线C绕z轴旋转时，点M1绕z轴转到另一点
M（x,y,z），此时，点M与z轴的距离等于点M1到z轴的距
曲面及其方程 1
(1)
yoz面上的双曲线
y2 z2 b2 c2 1
分别绕 y 轴和 z 轴;
绕 y轴:
y2 b2
z2 x2 c2
1
旋转双叶双曲面
绕 z 轴:
x2 y2 z2 b2 c2 1
旋转单叶双曲面
(2) yoz面上的椭圆
y2 b2
z2 c2
1
分别绕
y 轴和 z 轴;
绕 y轴:
y2 b2
z2 x2 c2
第三节 曲面及其方程-1 一、曲面方程的概念 ◆曲面的实例：水桶的表面、地球的表面等等． ◆在空间解析几何中,曲面被看成 空间点的几何轨迹． ◆曲面方程的定义：
如果曲面S与三元方程F ( x, y, z) 0有如下关系 : (1)曲面S上的点的坐标 都满足方程; (2)不在曲面S上的点的坐标 都不满足方程,
展开 x2 y2 z2 Ax By Cz D 0; 反之, 任给 x2 y2 z2 Ax By Cz D 0 的图形 ?
( x A)2 ( y B)2 (z C )2 1 ( A2 B2 C 2 4D),
2
2
24
若 A2 B2 C 2 4D 0, 方程的图形是球面; 若 A2 B2 C 2 4D 0, 方程的图形是一个点; 若 A2 B2 C 2 4D 0, 方程的图形不存在.
例2 已知A(1,2,3), B(2,1,4),求线段AB的中垂面方程. 解 设M ( x, y, z)是中垂面上的任意一点, | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32 x 22 y 12 z 42 ,
化简,得 : 2x 6 y 2z 7 0, 又因为不在曲面上的点的坐标不满足上述方程, 所以, 上述方程即为所求的中垂面方程.
8.5 曲面及其方程
1 1 0
椭圆柱面
双曲柱面 抛物柱面
x 2 2 py 0
F( x 2 y 2 , z ) 0
或者
F ( x 2 y 2 , z ) 0
同理 绕 y 轴旋转所成曲面方程为
F( y, x 2 z 2 ) 0
或者
F ( y, x 2 z 2 ) 0
例 把双曲线
y2 b
2
z2 c
2
1 分别绕 z 轴 , y 轴旋转 ,
求所得旋转面的方程 解 绕 z 轴 , S1:
x2 y2 b
2
z2 c
2
1
S1 称为旋转单叶双曲面 绕 y 轴 , S2 :
y b
2 2
x z
2
2
c
2
1
S2 称为旋转双叶双曲面
3º 柱面
柱面 一直线沿着给定的曲线 C 平行移动形成
的曲面称为柱面 , 移动的直线称为此柱面的母线 , z 曲线 C 称为此柱面的准线 若 S 的母线平行于 z 轴 , 则对于柱面上的点 P(x , y , z) 若将 P = (x , y , z) 平行于 z 轴上下
2º 旋转曲面 旋转曲面: 由一条平面曲线绕着一平面上的
一条定直线旋转而产生的曲面称为旋转面 , 定直
线称为此曲面的轴 , 曲线称为此曲面的母线 z 设在 yz 平面上给定一条曲线 S F ( y, z ) 0 : x0 o 绕 z 轴旋转所成曲面 S
y
x
任取 P(x , y , z) S
§8.5 曲面及其方程
1º 曲面方程的概念
曲面是具有某种几何特征的空间点的轨迹 如果曲面 S 与三元方程 F ( x, y, z ) 0 具有以下关系： （1）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程 F ( x, y, z ) 0 （2）不在曲面 S 上任一点的坐标都不满足方程
高等数学6(6)曲面及其方程
p 0,q 0
21
特殊地 当p q时, 方程变为
x2 y2 z ( p 0)
旋转抛物面
2p 2p
x2 y2 z 2 p 2q
(由 xOz面上的抛物线 x2 2 pz 绕z轴旋转
而成的)
用平面 z z1 (z1 0)去截这曲面,截痕为圆.
x2
y2
2 pz1
z z1
当 z1变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
特点是: 平方项有一个取负号,另两个取正号.
z z
O
x
yx
O
y
炼油厂、炼焦厂的冷却塔就是单叶双曲面
的形状.
24
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
单叶双曲面
z
类似地, 方程
x 2 a2
y2 b2
z2 c2
1
O
ax22
y2 b2
z2 c2
1
x
y
亦表示 单叶双曲面.
想一想 以上两方程的图形是与此图形 一样吗?
f ( y, x2 z2 ) 0
4
例3 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周
所得旋转曲面称为圆锥面. 两直线的交点称为
圆锥面的顶点, 两直线的夹角 (0 )称为
2 圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点O, 旋
转轴为z轴,半顶角为 的圆锥面的方程.
解 yOz面上直线方程为 z
z
z y cot
z z1
当z1 0时,截痕退缩为原点;当z1 0时, 截痕不存在. 原点叫做椭圆抛物面的顶点.
19
x2 y2 z 2 p 2q
(2) 用坐标面 xOz( y 0)去截这曲面, 截痕为抛物线.
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球面方程.
解 设 M(x,y,z)是球面上任一点, |M0M |R
(x x 0 ) 2 (y y 0 ) 2 ( z z 0 ) 2 R
所求方程为
( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 ( z z 0 ) 2 R 2
特殊 球心在原点的球面方程 x2y2z2R2
2009.2.6
作设平 点行M z1轴(x的,y直,0)线在L圆, 对C上任,意过z点,点M M 1((xx,,yy,0 ,z)x)
•
OM1
• •
• • •
y
L
的坐标也满足方程 x2y2 R2, 沿曲线C,
平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点 的坐标都满足此方程,此曲面称为圆柱面.
在空间,x2y2R2就是圆柱面方程.
选择题
方程 (za)2x2y2表示( B ). (A) xOz平面上曲线 (za)2x2绕y轴旋转所得曲面; (B) xOz平面上直线zax绕z轴旋转所得曲面； (C) yOz平面上直线 zay绕y轴旋转所得曲面；
(D) yOz平面上曲线(za)2y2绕x轴旋转所得曲面.
2009.2.6
北京工商大学
北京工商大学
7-3-3
曲面及其方程
例 求与 O 及 原 M 0(2点 ,3,4)的距离 1 ： 2的 之点 比 的全体所组成的曲面方程.
解 设 M(x,y,z)是曲面上任一点, | MO | 1 | MM0 | 2
x2y2z2
1
x22y32z42 2
所求方程
x22y12z42116
3
3 9
2009.2.6
因此,该方程的图形是以xOy面上圆为准线,
母线平行于z轴的柱面.
2009.2.6
北柱 面
z
举
例
O
x
y2 2x
y
抛物柱面
z
O
x
平面
y
yx
y2 2x表示母线平行于z yx表示母线平行于z轴
轴的柱面, 其准线是xOy面 的柱面, 其准线是xOy面上
上的抛物线 y2 2x.
y2 b2
1
双曲柱面
母线平行于z轴
x2 2pz 抛物柱面 母线平行于y轴
2009.2.6
北京工商大学
7-3-14
曲面及其方程
四、二次曲面
二次曲面的定义 三元二次方程所表示的曲面称为 二次曲面.
具体形式为：
a 2 b x 2 c y 2 e z f x y g y z h z m x x n q y z 0
那么,方F (程 x,y,z)0就叫做曲面S的方程,
而曲面S就叫做方程的图形.
2009.2.6
北京工商大学
7-3-2
曲面及其方程
M 1 M 2 ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2
例 建立球 M 0(x 心 0,y0,在 z0)、 点 半 R 的 径为
7-3-10
曲面及其方程
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的曲面称为 柱面.
这条定曲线C 称为柱面的 准线,
动直线L称为柱面的 母线.
母
准线
线
LC
2009.2.6
北京工商大学
7-3-11
曲面及其方程
z
例 讨论方程 x2y2 R2的图形.
M•
解 在xOy面上, x2y2 R2表一个圆C. C
2009.2.6
北京工商大学
7-3-7
曲面及其方程
例 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成
的旋转曲面的方程.
(1)
双曲线
x2 a2
z2 c2
1 分别绕x轴和z轴;
绕x轴旋转
x2 a2
y2 z2 c2
1
旋 转
双
绕z轴旋转
x2 y2 a2
z2 c2
1
曲 面
2009.2.6
北京工商大学
7-3-8
得方程 f(x2y2,z)0
2009.2.6
北京工商大学
7-3-6
曲面及其方程
由上面的分析得： yO坐 z 标面上的已f知 (y,z曲 )线 0 绕z轴旋转一周的 旋转曲面方程为 f(x2y2, z)0 同理, yO坐 z 标面上的已f(知 y,z曲 )0线 绕y轴旋转一周的 旋转曲面方程为 f(y , x2z2 ) 0
其中a,b,c,e,f,g,l,m ,n ,q均为常数.
如 球面、某些柱面(圆柱面、抛物柱面、双曲柱面等) 都是二次曲面.
2009.2.6
北京工商大学
7-3-15
曲面及其方程
研究二次曲面的方法是采用截痕法. 即用 坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线(即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而了解曲面的全貌.
在yO坐 z 标面上设有f曲 ( y,线 zz)： 0
任取曲面上M 的(x点, y,z), M1(0,y1,z1), f(y1,z1)0
d M 1(0,y1,z1)
M(x, y,z) C:f(y,z)0
(1) z1z
O
y
(2)点M到z轴的距d离 x2xy2| y1 | 将 z1 z, y1x2y2代入 f(y1,z1)0
北京工商大学
7-3-4
曲面及其方程
二、旋转曲面
1.定义 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转
一周所成的曲面, 称此曲面为旋转曲面.
此定直线叫旋转曲面的轴. 此曲线称母线. 轴
为方便, 常把曲线所在平面
取作坐标面, 旋转轴取作坐标轴.
母线
2009.2.6
北京工商大学
7-3-5
曲面及其方程
2. 旋转曲面方程
§7.3 曲面及其方程
曲面方程的概念 旋转曲面 柱面 二次曲面 小结 思考题 作业
2009.2.6
北京工商大学
7-3-1
曲面及其方程
一、曲面方程的概念
F (x,y,z)0
定义 如果曲面S 与三元方程F (x,y,z)0z
有下述关系:
S
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程;
O
y
x
(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程;
的直线 yx.
2009.2.6
北京工商大学
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曲面及其方程
总结：柱面的特征：
只 x ,y 而 含 z 的 缺 F 方 (x ,y ) 0 程 ,在空间 直角坐标系中表示平行于z轴的柱面, 其准线 为xOy面上的曲线C. （其他类推）
实
y2 b2
z2 c2
1
椭圆柱面
母线平行于x轴
例
x2 a2
曲面(及2)其方y程O坐 z 标面上a的 y22椭 cz22 圆 1绕y轴和z轴;
绕 y轴 旋 转y2
a2
x2c2 z2
1
旋 转
椭
绕 z轴 旋 转x2 y2
a2
cz22
1
球 面
(3) yO坐 z 标面上的抛y2物 2线 pz绕z轴.
x2y22pz 旋转抛物面
2009.2.6
北京工商大学
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曲面及其方程