北师大版(2019)高中数学必修第二册 第六章 1.1构成空间几何体的基本元素-学案
构成空间几何体的基本元素
【学习过程】
一、初试身手
1．下列说法：
①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；
②一个几何体可以没有顶点；
③一个几何体可以没有棱；
④一个几何体可以没有面．
其中正确的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
2．下列关于长方体的叙述不正确的是（）
A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体
B．长方体中相对的面都相互平行
C．长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离
D．两底面之间的棱互相平行且等长
3．下列说法正确的是________．
（1）长方体是由六个平面围成的几何体；
（2）长方体可以看作一个矩形ABCD上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形A′B′C′D′所围成的几何体；
（3）长方体一个面上的任一点到对面的距离相等．
二、新知探究
1.平面概念的理解
【例1】下列判断正确的是________．
①平面是无限延展的；
②一个平面长3 cm ，宽4 cm ；
③两个平面重叠在一起，比一个平面厚；
④通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内．
2.长方体中基本元素之间的关系
[探究问题]
（1）射线运动后的轨迹是什么？
（2）如图所示，该几何体是某同学课桌的大致轮廓，请你从这个几何体里面寻找一些点、线、面，并将它们列举出来．
【例3】在长方体ABCD A B C D ''''-中，把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，
（1）与直线B C ''平行的平面有哪几个？
（2）与平面BC '平行的平面有哪几个？
【学习小结】
1．几何体
如果只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．
2．长方体
长方体可以看作由六个矩形(包括它的内部)所围成的几何体．
（1）长方体的面：围成长方体的各个矩形，叫做长方体的面，它共有6个面．
（2）长方体的棱：相邻两个面的公共边，叫做长方体的棱，它共有12条棱．（3）长方体的顶点：棱和棱的公共点，叫做长方体的顶点，它共有8个顶点．
3．构成空间几何体的基本元素
点、线、面是构成空间几何体的基本元素．
4．平面及其表示方法
（1）平面的概念：
平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的．
【精炼反馈】
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起的内部部分．（）（2）直线的移动只能形成平面．（）
（3）平静的太平洋就是一个平面．（）
2．下列结论正确的个数有（）
①曲面上可以存在直线；②平面上可存在曲线；③曲线运动的轨迹可形成平面；④直线运动的轨迹可形成曲面；⑤曲面上不能画出直线．
A．3个B．4个C．5个D．2个
3．线段AB长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂
线方向向下移动3 cm 后记为C D ''，再将C D ''沿水平方向向左移动4 cm 后记为A B ''，依次连接构成长方体ABCD A B C D ''''-.
（1）该长方体的高为________cm ；
（2）平面A B BA ''与平面CDD C ''间的距离为________cm ；
（3）点A 到平面BCC B ''的距离为________cm .。
北师大版必修第二册第六章立体几何初步(立体几何中的数学文化)课件
他提出.取每边为1寸(旧制，约为3.33cm)的正方体棋子八枚，拼成
一个边长为2寸的正方体，在正方体内画内切圆柱体(以正方体两个
底面的内切圆面为底面的圆柱)，再在横向画一个同样的内切圆柱
体，这样两个圆柱所包含的立体共同部分像两把上下对称的伞，对
32.
长方体与圆柱
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如
下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几
何?”其意思为：有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装
粟一万斛.已知1斛粟的体积为2.7立方尺，1丈为10尺，则该粮
仓的高是 20
尺.若将这些粟装入一个圆柱形粮仓内，且使
微将其取名为“牟合方盖”(古时人称命为“盖”，“车”同伴，意即相
合)，计算得出球体积是车合方盖体的体积的四分之三，可是固柱
体又比牟合方盖大.而《九章算术》中得出球的体积是圆柱体体积
的四分之三，显然《九章算术》中的球体积计算公式是错误的.刘
徽认为只要求出牟合方盖的体积，就可以求出球的体积，可怎么也
找不出求牟合方盖体积的途径，
如图，将羨除补成三棱柱。 1 1 − 1 1 ,则 1 = 1 =
1
2, 1 = 1 = 1.四棱锥 − 1 1 的体积为 −11 = ×
1
2
3
× 1 + 2 × 10 × 3 = 15,同理 −11 = 15.
1
2
又三棱柱， 1 1 − 1 1 的体积为 11−11 = × 3 × 10 ×
4
2
3
=
4
3
× 12 × 3 = 4.
高中数学北师大版2019必修第二册空间图形基本位置关系的认识
[证明] (1)如图，连接AC，在△ACD中，
∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
∴MN∥AC，MN＝12AC．
由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1.
∴MN∥A1C1，且MN＝
1 2
A1C1，即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1
是梯形．
(2)由(1)可知MN∥A1C1. 又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM 与∠D1A1C1均为锐角， ∴∠DNM＝∠D1A1C1.
直线 a，b 所成的角(或夹角)
范围 记异面直线 a 与 b 所成的角为 θ，则 0°<θ≤90°
特殊情况 当 θ＝ 90° 时，a 与 b 互相垂直，记作： a⊥b
思考：1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ 提示：不一定．可能相交、平行或异面．
2.如图，在长方体A1B1C1D1－ABCD中，BC1∥AD1，则“直线 BC1与直线BC所成的角”，与“直线AD1与直线BC所成的角”是否 相等？
[思路点拨]
利用中点平移直线
→
作出两异面 直线所成的角
→ 在三角形内求角的大小
[解] 如图，取BD的中点G，连接EG，FG. 因为E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD，
所以EG∥CD，GF∥AB，且EG＝12CD，GF＝12AB．
所以∠GFE就是EF与AB所成的角或其补角，EG＝GF. 因为AB⊥CD，所以EG⊥GF.所以∠EGF＝90°. 所以△EFG为等腰直角三角形． 所以∠GFE＝45°，即EF与AB所成的角为45°.
(2)要特别注意平移所得的角可能是异面直线所成的角的补角， 这是由异面直线所成角的范围是0°，90°决定的．
6.1 基本立体图形 (教学课件)-高中数学北师大版(2019)必修第二册
结构框图
棱柱
棱锥
多面体
基
本
立
体
图
形
棱台
球
圆柱
旋转体
圆锥
圆台
教材第198页练习第2，3题．
再见
D.棱台各侧棱的延长线不一定交于一点
解：A.斜棱柱的侧面中也可以有矩形,所以A正确;
B.有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥，
所以B错误;
C.直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，所以C错误；
D.棱台是用平行于底面的平面截棱锥所得的几何体，它的侧棱延长后交于一点，所以D错误.
(2)
(3)
(4)
(5)
三棱柱
四棱柱
六棱柱
四棱柱
五棱柱
底面多边形的边数不同
定义
侧面平行四边形都是矩形的棱柱称为直棱柱，其他的棱柱称为斜棱柱．底面
是正多边形的直棱柱称为正棱柱．
斜棱柱
底
面
是
平
行
四
边
形
(1)
侧面为矩形
底面为正多边形
直棱柱
(2)
正棱柱
(3)
棱柱
(4)
棱长都相等
平行 侧棱与底面垂直 直平行 底面为矩形
在平面几何中，构成图形的基本元素有哪些呢？
A
A
B
C
点和线
D
B
C
以长方体为例，思考构成立体图形的基本元素有哪些？ 点、线、面
D1
C1
A1
棱
A
6个面，
B1
C
D 面
北师版高中数学必修第二册课后习题第6章 构成空间几何体的基本元素-- 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
第六章立体几何初步§1基本立体图形1.1 构成空间几何体的基本元素1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台课后训练巩固提升1.下列说法错误的是( ).A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形解析:多面体至少应由四个顶点组成(否则至多3个顶点,而3个顶点只围成一个平面图形),而四个顶点可以围成四个面,所以A正确;棱柱侧面为平行四边形,其侧棱和侧面的个数与底面多边形的边数相等,所以B正确;长方体、正方体都是棱柱,所以C正确;三棱柱的侧面是平行四边形,不是三角形,所以D错误.答案:D2.一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面( ).A.至多有一个是直角三角形B.至多有两个是直角三角形C.可能都是直角三角形D.一定不是直角三角形解析:如答图所示,三棱锥A1-ABC的三个侧面都是直角三角形.(第2题答图)故选C.答案:C3.(多选题)下列图形中,是三棱柱展开图的是( ).答案:ABD4.在下面四个平面图形中,各侧棱都相等的四面体的展开图是.(填序号)(第4题)解析:折叠后,易知①②均可围成三棱锥,即四面体,且各侧棱长都相等,而③④折叠后只能围成无底的四棱锥.答案:①②5.如图,该组合体的结构特征有以下几种说法:(第5题)①由一个长方体割去一个四棱柱构成;②由一个长方体与两个四棱柱组合而成;③由一个长方体挖去一个四棱台构成;④由一个长方体与两个四棱台组合而成.其中正确的是.(填序号)解析:本题中的组合体可以看成是由一个大的长方体割去一个四棱柱构成的,也可以看成是由一个小的长方体在上底面两侧各加一个四棱柱组合而成的.答案:①②6.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1,与AA1的交点记为M.求:(第6题)(1)三棱柱侧面展开图的对角线长;(2)从点B经过点M到点C1的最短路线长及此时A1M的值.AM解:沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开,得到一个矩形BB1B1'B',如答图所示.(第6题答图)(1)矩形BB1B'1B'的长BB'=3×2=6,宽BB1=2,所以三棱柱侧面展开图的对角线长为BB1'=√62+22=2√10.(2)由侧面展开图可知,当B,M,C1三点共线时,由点B经点M到点C1的路线最短,所以最短路线长为BC1=√42+22=2√5.显然Rt△ABM≌Rt△A1C1M,所=1.以A1M=AM,即A1MAM。
高一下学期数学北师大版必修第二册《6.1基本立体图形》课件
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
解析：根据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，②④正确，①③错误．
目标检测
2
如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF，PQ，
则在长方体被分成的三个几何体中，棱柱的个数是（ D ）
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：该长方体被分成的三个几何体都是棱柱，
分别为三棱柱AA1P－DD1Q，三棱柱BB1E－CC1F和四棱柱ABEP－DCFQ．
目标检测
3
4
若一个正棱锥有6个顶点，所有侧棱长的和为20cm，则每条侧棱的长为________
cm．
解析：依题意，正棱锥有6个顶点，则该正棱锥为正五棱锥，
1
又S轴截面＝ (6x＋2x)·2x＝392，∴x＝7，
2
则圆台的高OO1＝14cm，母线长l＝ 2OO1＝14 2cm．
两底面的半径分别为7cm，21cm．
何体？
O′
O
圆台．
新知探究
追问2 你能写出球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征吗？
名称
定义
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，
将半圆旋转所形成的曲面叫作球
球
面．球面所围成的几何体叫作球体，
简称球．
圆柱
圆锥
圆台
图形表示
相关概念
球心：半圆的圆心；
球的半径：连接球心和球面上任意一点的线
段；
球的直径：连接球面上两点并且过球心的线
段．
分别以矩形的一边、直角三角形的
高：在旋转轴上这条边的长度；
一条直角边、直角梯形垂直于底边
高一数学同步课件6.1基本立体图形(北师大版2019必修第二册)(课件)
（2）、（3）正确。
课文精讲
基本立体图形
课文精讲
请同学们观察下面这些图片, 怎样对它们进行分类？
课文精讲
观察这些图片,它们具有什么几何结构特征，怎样 分类？
课文精讲
1.空间几何体：如果我们只考虑物体的 形状 和 大小 ， 而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫 做空间几何体.
D1
A1 D
C1 B1
C
A
B
典型例题
例1．下列不属于构成几何体的基本元素的是（ D ） （A）点 （B）线段 （C）曲面 （D）多边形（不含内部的点）
典型例题
解：由于一个几何体是由点、线、面组成的，而线有直线和曲 线之分，面有平面和曲面之分，故而只有D不属于构成几何体 的基本元素。
课典文型精例讲题
D1
C1
A1 D
B1 C
A
B
异面直线a，b
b
a
课文精讲
2．直线和平面平行：
如果直线和平面没有公共点，我们就说直线和平面平行。
如直线A1B1平行于平面ABCD。
记作A1B1//平面ABCD.
D1
A1 D
C1 B1
C
A
B
课文精讲
3．直线与平面垂直：
观察直线AA1和平面ABCD，我们看到直线AA1和平面内的两条相交直AB、 AD 都垂直，容易想象，当直线AD在平面AC内绕点A旋转到任何位置时，
C不正确； 平面是无限延展的，我们仅仅是用平行四边形来表 示平面；
D正确； 它符合平面表示方法的规定。
典型例题
基本立体图形课件-2022-2023学年高一下学期数学北师大(2019)必修第二册
2
2
+ 2 2 ＝20.即圆台的母线长为20.
高中数学
必修第二册
北师大版
反思
感悟
反思感悟
求解圆柱、圆锥、圆台问题的技巧
1.在求解与圆柱、圆锥、圆台有关的计算问题时，常需将空间问题转化为平面问题，这时作出轴截面是至
关重要的.在轴截面中寻求各个量之间的关系是基本方法.圆柱、圆锥、圆台的轴截面形状分别是矩形、等
必修第二册
北师大版
新知学习
一、构成空间几何体的基本元素
空间几何体的基本几何元素是点、线（直线和曲线）、面（平面和曲面）等.
一般地，用平行四边形表示平面（如图）.当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45°，横边
长画成邻边长的两倍.平面通常用希腊字母，，等来表示，如平面、平面、平面等（如图
1.棱柱
每个多面体都有两个面是边数相同的多边形，且它们所在平面平行；其余各面都是四边形，并且每相
邻两个四边形的公共边都相互平行.像这样的几何体称为棱柱.
棱柱中，两个互相平行的面称为棱柱的底面，简称底；其余各面称为棱柱的侧面；相邻侧面的公共边
称为棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点称为棱柱的顶点；既不在同一底面上也不在同一个侧面上的
圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的.
圆柱、圆锥、圆台用表示它的旋转轴的字母来表示，如圆柱1、圆锥、圆台1.
圆柱、圆锥、圆台具有下面的性质：
（1）平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是圆；
（2）过圆柱、圆锥、圆台旋转轴的截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形.
高中数学
以看作1垂直于平面；平面和平面1111没有公共点，我们说这两个平面是平行的；平
面和平面11反映了两个平面相交.