沪科版-数学-九年级上册-典型例题-平行线分线段成比例定理
沪科版数学九年级上册《平行线分线段成比例》教学设计1
沪科版数学九年级上册《平行线分线段成比例》教学设计1一. 教材分析《平行线分线段成比例》是沪科版数学九年级上册的一章内容。
本章主要介绍了平行线分线段成比例的定理及其应用。
通过本章的学习，学生能够掌握平行线分线段成比例的证明方法，并能够运用该定理解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固知识，提高解题能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对平行线的性质和图形的变换有一定的了解。
但是，对于证明平行线分线段成比例的定理，学生可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察和操作，发现平行线分线段成比例的规律，并能够运用数学语言进行证明。
三. 教学目标1.了解平行线分线段成比例的定理及其意义。
2.能够运用平行线分线段成比例的定理解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、操作能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.平行线分线段成比例的定理证明。
2.运用平行线分线段成比例定理解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入平行线分线段成比例的概念，激发学生的学习兴趣。
2.操作教学法：引导学生通过实际操作，发现平行线分线段成比例的规律。
3.小组合作学习：引导学生分组讨论和探究，培养学生的合作意识和团队精神。
4.引导发现法：教师引导学生发现问题，学生通过思考和探索，得出结论。
六. 教学准备1.教学PPT：制作教学PPT，展示教材中的例题和练习题。
2.教学素材：准备相关的图片和实例，用于导入和解释平行线分线段成比例的概念。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如建筑设计中的平行线分线段成比例的应用，引入平行线分线段成比例的概念。
引导学生观察和思考，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示教材中的例题和练习题，引导学生观察和分析，发现平行线分线段成比例的规律。
通过教师的讲解和引导，让学生理解并掌握平行线分线段成比例的定理。
初中数学沪科版九年级上册22.1第4课时平行线分线段成比例及其推论公开课优质课课件.ppt
A1 B1
a
A2
A3 m
图②
B2
b
B3 c n
归纳：
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
符号语言：
A1
若a∥b∥ c ， 则 A1A2 B1B2 ，A2 A3 B2B3 ，
A2 A3 B2B3 A1 A2 B1B2 A1 A2 B1B2 ， A2 A3 B2B3 … A1 A3 B1B3 A1 A3 B1B3
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第22章 相似形
22.1 比例线段
第4课时 平行线分线段成比例及其推论
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论; （重点） 2.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题. （难点）
导入新课
观察与猜想
下图是一架梯子的示意图,由生活常识可以知道:
A1 B1
A2
B2
A3 m (1) 计算 A1A2 ，B1B，2你有什么发现？
A2 A3 B2 B3
a b
B3 c n
(2(3))将根b据向前下两平问移，到你如认图为②在的平位面置上，任直意线作m三，条n平与行直线线， b用的它交们点截分两别条为直A线2，截B2得. 你的在对问应题线(段1)成中比发例现吗的？结 论还成立吗？如果将 b 平移到其他位置呢？
B.
4 cm
C. 3cm
D. 23cm
A ()
A
EF
B
C
2.填空题:
如图:DE∥BC,
已知: AE 2 AC 5
则
AD AB
新沪科版九年级数学上册课件：平行线分线段成比例定理及推论
第22章
第3课时 平行线分线段成比例定理及推论
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-10-
9.如图,l1∥l2∥l3,AB=25AC,DF=10,那么 DE= 4 .
第22章
第3课时 平行线分线段成比例定理及推论
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-11-
10.如图,AB∥CD∥EF,且AO=OD=DF,OE=6,则BE= 9 .
( 2 )如果DE∶DF=2∶5,AD=9,CF=14,求BE的长.
解:( 1 )∵AD∥BE∥CF,∴������������������������ = ������������������������, ∵AB=6,BC=8,DF=21,
∴������������
21
=
6+6 8,∴DE=9.
-7-
6.( 恩施中考 )如图,在△ABC中,DE∥BC,∠ADE=∠EFC,AD∶BD=5∶3,CF=6,则DE的长为( C )
A.6 B.8 C.10 D.12
第22章
第3课时 平行线分线段成比例定理及推论
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-8-
7.如图,P 是▱ABCD 的对角线 AC 上的一点,过点 P 分别作 PE∥
( 2 )过点 D 作 DG∥AC,交 BE 于点 H,交 CF 于点 G,
则 CG=BH=AD=9,∴GF=14-9=5. ∵HE∥GF,∴������������������������ = ������������������������. ∵DE∶DF=2∶5,GF=5,∴������5������ = 25,∴HE=2, ∴BE=9+2=11.
沪科版九年级上册数学第23章 解直角三角形 平行线分线段成比例
课堂小结
平行线分线段成比例定理推论： 平行于三角形一边的直线截其 他两边（或两边延长线），截 得的对应线段成比例.
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得 的对应线段的比相等. (对应线段成比例）
课后作业
作业1 必做:请完成教材课后习题 补充:
作业2
导引：平行线分线段成比例定理除基本图形外，主要 知1－讲 还有“A”型和“X”型两种类型的图形，图中包含这三种图 形，从每种图形中找出比例线段即可判断错误的选项．根据 AB∥CD∥EF，结合平行线分线段成比例定 理可得解．∵AB∥CD∥EF， ∴故选项A，B，D正确； ∵CD∥EF,∴,故选项C错误.
B.CADB＝BECC D.CBEE＝AADF
感悟新知
知识点 2 平行线分线段成比例的推论
知2－导
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)， 所得的对应线段成比例． 数学表达式： 如图，∵DE∥BC， ∴
AD AE , AD AE , BD CE , DB EC AB AC AB AC
感悟新知
归纳
知1－讲
利用平行线分线段成比例定理求线段长的方法：先确定 图中的平行线，由此联想到线段间的比例关系，结合待 求线段和已知线段写出一个含有它们的比例式，构造出 方程，解方程求出待求线段长．
感悟新知
知1－练
1．如图，已知 AB∥CD∥EF，那么下列结论中
正确的是( C )
A.CEDF＝AADF C.AADF＝BBCE
线上的线段无关；
(3)当上比下的值为1时，说明这组平行线间的距离相等．
感悟新知
知1－练
例1 如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列 结论中错误的是( ) C
平行线分线段成比例定理的_典型例题
平行线分线段成比例的一些学习技巧平行线分线段成比例是相似三角形学习的基础，但学习的策略是相同的，我认为需要掌握一定数量的基本图形，需要有学习者个单独的独特的解答策略。
而很多同学往往都只是用原有的方法解决后来学习的内容，这对几何学习，尤其是相似三角形的学习是相当不利的。
下面介绍一些平行线分线段成比例的基本习题。
例1（1）已知，则=（2）如果，那么的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10分析本考题主要考查比与代数式比的互换.第（1）小题可将代数式比的形式转化成积的形式：，整理后再转化成比的形式，便有对于第（2）小题，可连续运用两次等比定理，得出，即，其比的比值为9，故选C，但这里需要注意的是：第一，等比定理本身隐含着一个约束条件——分母为零；第二，“比”与“比值”是两个不同的概念，比是一种运算，而比的比值是运算的结果.例2、已知：1、、2三个数，请你再添上个数，写出一个比例式 .分析这是一道开放型试题，旨在考查学生的发散思维能力，由于题中没有明确告知求1、、2的第四比例项，因此，所添的数可能是前三数的第四比例项，也可能不是前三数的第四比例项，这样本考题便有多种确定方法，如从可求出，便有比例式或，从，又能求出，也得到比例式等等.例3如下图，BD=5：3，E为AD的中点，求BE：EF的值.分析应设法在已知比例式BD：DC与未知比例式BE：EF之间架设桥梁，即添平行线辅助线.解过D作DG∥CA交BF于G，则中点，DG∥AF，例 4如下图，AC∥BD，AD、BC相交于E，EF∥BD，求证：分析待证式可变形为.依AC∥EF∥BD，可将线段的比例式与化归为同一直线AB上的线段比而证得.证明AC∥EF∥BD，.说明证明线段倒数和的关系的常见方法是先变形为证线段比的和为一定值，然后化归为同一直线上的线段比.例5、已知a、b、c均为非零的实数，且满足求的值.解设则三式相加，得当时，有时，则，这时原式=例6如下图，中，D是AB上一点，E是内一点，DE∥BC，过D作AC的平行线交CE的处长线于F，CF与AB交于P，求证BF∥AE.证明DE∥AC，∥，..BF∥AE.。
平行线分线段成比例定理 (2)
平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理是在平行线和交叉线段的关系中发现的一条重要定理。
它揭示了平行线和它们所夹直线上的线段之间的比例关系。
本文将详细介绍平行线分线段成比例定理的定义、证明及应用。
定理定义平行线分线段成比例定理，又称为柯拉斯定理，是指在平行线AB与CD之间，若由交线EF将这两条平行线分别切成m个等分点，则相应的等分点之间连线所形成的线段的比例相等。
更具体地说，若EF将AB切割成了m个等分点，将CD切割成了n个等分点，则有$\\frac{AC}{BD}=\\frac{m}{n}$。
定理证明现将平行线AB与CD之间由交线EF切分为m个等分点和n个等分点，分别记为A1，A2，…，Am和C1，C2，…，Cn。
根据平行线的性质，可以得到以下四组相似三角形：EAB与ECD、EA1B与ECnD、EA2B与EC(n1)D以及EAmB与ECD。
通过这些相似三角形的比例关系，可以进行证明。
证明步骤：1.利用三角形EAB与ECD的相似性，可以得到$\\frac{EA1}{EC1}=\\frac{AB}{CD}$；2.同理，利用相似三角形EA2B与EC(n1)D的关系可以得到$\\frac{EA2}{EC2}=\\frac{AB}{CD}$；3.以此类推，可得到$\\frac{EAm}{EC(nm)}=\\frac{AB}{CD}$；，将上述等式两边乘以CD，得到$EAm \\cdot CD = EC(nm) \\cdot AB$；4.再将等式两边分别加上ECm和EAn，得到$EAm\\cdot CD + ECm \\cdot DE = EC(nm) \\cdot AB + EAn\\cdot AB$；5.将等式左边的各项合并，得到$AC \\cdot CD = BD\\cdot AB$；，将等式两边除以$BD \\cdot CD$，得到$\\frac{AC}{BD}=\\frac{AB}{CD}$。
【最新】沪科版九年级数学上册《22-1 平行线分线段成比例定理》课件4
B F
D
G
C
例题 3
已知：AB=AC=6，BC=4，DE//BC，若△ADE和梯形 DBCE的周长相等，求：DE的长. x+x+DE=DE+6-x+6-x+4 x=4 4 x
A
4 x
D
2 6-x
8 3
E
2 6-x
B
4
C
例题 4
已知：梯形ABCD，DC//AB, E为DC的中点，BE交AC
于F，交AD的延长线于G.
求：CF的长度.
A 3k D
N
13k
O F 3k B
10
C
3
E
例题 5
已知：EF//BC
AG EF 求证： . AD BC
A
E
G
F
B
D
C
拓展1
已知：AD为△ABC的中线，EF//BC, EF交AD于G.
求证：EG=FG .
A
E
G
F
B
D
C
例题 6
已知：DE//BC，S△ADE=3， S△BEC=18 . 则S△BDE=（
）
A
D
E
B
C
例7 — 建立函数关系式
1. 已知：如图，BE 平分∠ABC，DE//BC，若BC=5，
BD= x，AD= y. 求y关于x的函数关系式，并写出定义域.
y x x 5
例8 — 建立函数关系式
2. 已知：如图，BC = 4, AC = 2 3 ∠C=60°，P为BC上 一点，DP//AB，设BP = x，S△APD= y.
补充 2
如图，C是线段AE上一点，△ABC 和△CDE是等边三角
数学沪科版九年级(上册)22.1.5平行线分线段成比例及推论
复习回顾
直线l1//l2//l3,l4、l5被l1、l2、l3所截且AB=BC 则图中还有哪些线段相等？
A
D
l1
B
E l2
C
F l3
l4
l5
复习回顾
平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直
线上截得的线段相等，那么
AA
在其他直线上截得的线段也
相等.
BB
如图a//b//c，若AB=BC，则
练习:
A
1.判断题: 如图:DE∥BC, 下列各式是否正确 D
E
A: —AA—DB ＝ —AAEC— ( ) B: —ABDD— ＝ —ACE—E ( )
C: —AA—DC ＝ —AAEB— ( ) D: —AA—DE ＝ —AABC—( )
B
E
C
D
2.填空题: 如图:DE∥BC,
A
已知: —AA—EC ＝—25
CC
DE=EF.
D
Da
EE
b
FF
c
探究
如图，一组平行线截直线AB、直线CD,已知AE=EF
A
C
=FG=GH=BH,那么有哪些 线段相等？
E
P
F
Q
擦除一些直线还相等吗？
G H
B
M 截得的线段有其他的 N 关系吗？
AF CQ 2 D FB QD 3
证明：
l
设线段AB的中点为P1，线段
A
BC的三等分点为P2、P3.
成比例. （关键要能熟练地找出对应线段）
二、要熟悉该定理的几种基本图形
A
D
DA
B
E
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典型例题：平行线分线段成比例定理 平行线分线段成比例是相似三角形学习的基础，但学习的策略是相同的，我认为需要掌握一定数量的基本图形，需要有学习者个单独的独特的解答策略。
而很多同学往往都只是用原有的方法解决后来学习的内容，这对几何学习，尤其是相似三角形的学习是相当不利的。
下面介绍一些平行线分线段成比例的基本习题。
例1（1）已知2922=-+b a b a ，则 =
（2）如果04
32≠==z y x ，那么z y x z y x -+++的值是（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10
分析 本考题主要考查比与代数式比的互换.
第（1）小题可将代数式比的形式转化成积的形式：
，整理后再转化
成比的形式，便有 对于第（2）小题，可连续运用两次等比定理，得出4
32432-+-+=++++z y x z y x ，即19=-+++z y x z y x ，其比的比值为9，故选C ，但这里需要注意的是：第一，等比定理本身隐含着一个约束条件——分母为零；第二，“比”与“比值”是两个不同的概念，比是一种运算，而比的比值是运算的结果.
例2、已知：1、 2、2三个数，请你再添上个数，写出一个比例式 .
分析 这是一道开放型试题，旨在考查学生的发散思维能力，由于题中没有明确告知求1、 2、2的第四比例项，因此，所添的数可能是前三数的第四比例项，也可能不是前三数的第四比例项，这样本考题便有多种确定方法，如从 可求出 ，便有比
例式
或 ，从 ，又能求出 ，也得到比
例式 等等. 例3 如下图，BD=5：3，E 为AD 的中点，求BE ：EF 的值.
分析 应设法在已知比例式BD ：DC 与未知比例式BE ：EF 之间架设桥梁，即添平行线辅助线.
解 过D 作DG ∥CA 交BF 于G ，
则 中点，DG ∥AF ，
例 4 如下图，AC ∥BD ，AD 、BC 相交 于E ，EF ∥BD ，求证：EF
BD AC 111=+
分析 待证式可变形为1=+BD
EF AC EF .依AC ∥EF ∥BD ，可将线段的比例式AC EF 与 BD EF 化归为同一直线AB 上的线段比而证得.
证明 AC ∥EF ∥BD ，
.
说明 证明线段倒数和的关系的常见方法是先变形为证线段比的和为一定值，然后化归为同一直线上的线段比.
例5 、已知a 、b 、c 均为非零的实数，且满足a
c b a b c b a c c b a ++-=+-=-+求 abc
a c c
b b a ))()((+++的值. 解 设 a
c b a b c b a c c b a ++-=+-=-+=k 则
三式相加，得
当 时，
有
时，则 ，这时
原式=⎩⎨⎧≠++=++-)
0(,8)
0(,1c b a c b a 例6 如下图， 中，D 是AB 上一点，E 是 内一点，DE ∥BC ，过D 作AC 的平行线交CE 的处长线于F ，CF 与AB 交于P ，求证BF ∥AE.
证明 DE ∥AC ， PC
PE PB PD = ∥ ， PA
PD PC PF =∴ . .PB
PA PF PF =∴ BF ∥AE.。