1.2.1 诱导公式(一)及三角函数线 导学案
诱导公式(一)导学案
导学案年级：高一级科目：数学主备：审核：课题：诱导公式（一）课型：新授课课时：1课时【三维目标】●知识与技能: 1、理解正弦、余弦的诱导公式二、三、四的推导过程；2、掌握公式二、三、四，并会正确运用公式进行有关计算、化简；●过程与方法:让学生从已有的知识出发,引导学生通过观察，推导，学会利用数形结合解决问题；●情感态度与价值观：了解、领会把未知问题化归为已知问题的数学思想，提高分析问题、解决问题的能力，培养学生合作学习、合作探究的能力。
【学习重点】诱导公式二、三、四的推导【学习难点】诱导公式二、三、四的运用【教学资源】教师导学过程(导案) 学生学习活动(学案)【导学过程1:】复习旧知识回忆诱导公式（一）【学生学习活动1:】学生分组完成【导学过程2:】引入问题：如何求sin750°和sin930°的值？【学生学习活动2:】sin750°= sin（360 °×2+30 °） = sin 30 °=？sin930 °=sin（360 °×2+210 °）=sin210 °=？【导学过程3:】设问1、对于任意给定的一个角α，角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？2、设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），则角π＋α的终边与单位圆的交点坐标如何？结合三角函数线，分组讨论，得出结论：sin（π＋α）= cos（π＋α）= tan（π＋α）= 【学生学习活动3:】sin225=_________=____;cos225=___________=____;tan225=____________=_ ____.【导学过程4:】设问1、对于任意给定的一个角α，－α的终边与α的终边有什么关系？2、设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），则角－α的终边与单位圆的交点坐标如何？3、角α与角π-α终边具有什么关系？4、π-α的终边与单位圆的交点坐标如何？【学生学习活动4:】学生分组完成结合三角函数线，分组讨论，得出结论：公式三、四【导学过程5:】例题学习课本第24~25页例1、例2 【学生学习活动5:】巩固练习课本第27页1、2、3附件【小结】1、公式一～公式四小结：函数名不变，符号看象限2、利用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤。
1.3.1 三角函数的诱导公式(一)学案
1.3.1三角函数的诱导公式（一）课前预习学案预习目标：回顾记忆各特殊锐角三角函数值，在单位圆中正确识别三种三角函数线。
预习内容：1、背诵30度、45度、60度角的正弦、余弦、正切值；2、在平面直角坐标系中做出单位圆，并分别找出任意角的正弦线、余弦线、正切线。
提出疑惑：我们知道，任一角α都可以转化为终边在)2,0[π内的角，如何进一步求出它的三角函数值？我们对)2,0[π范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把)2,2[ππ内的角β的三角函数值转化为求锐角α的三角函数值，则问题将得到解决。
那么如何实现这种转化呢？课内探究学案一、学习目标：（1）.借助单位圆，推导出正弦、余弦和正切的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题（2）.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。
二、重点与难点：重点：四组诱导公式的记忆、理解、运用。
难点：四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断； 三、学习过程：（一）研探新知1. 诱导公式的推导由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等，即有公式一：)(tan )2tan()(cos )2cos()(sin )2sin(Z k k Z k k Z k k ∈=+∈=+∈=+απααπααπα （公式一） 诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为)2,0[π之间角的正弦、余弦、正切。
【注意】：运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成︒=+︒80sin )280sin(πk ，3cos)3603cos(ππ=︒⋅+k 是不对的【讨论】：利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到)2,0[π角后，又如何将)2,0[π角间的角转化到)2,0[π角呢？除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等。
诱导公式第一课时学案
1.2.4诱导公式第1课时导学案姓名学习目标：理解记忆三角函数的诱导公式（一）和（二）并学会正确应用。
一、复习回顾： （结合之前学习的知识完成以下各表）2、正弦、余弦、正切函数在各个象限的正负是： 。
3、三角函数线4、特殊角的三角函数值正弦线： 余弦线： 正切线：二、探究新知： 探究一：思考下列问题：（1）60°与420°角的终边 ；60°与-300°角的终边 ；2π+α与角α终边 ；4π+α与角α终边 -2π+α与角α终边 2k π+α与角α终边诱导公式一： sin （2k π+α）=______ k ∈z cos （2k π+α）=______ k ∈z tan （2k π+α）=______ k ∈z作用： 例1：求下列三角函数的值（1）213sinπ=sin( + )=sin 2π= 。
(2)319cos π=cos( + )=3c πos = 。
（3）tan 405°=tan(45°+ )=tan45°= 。
练习1:（1）29sin π (2)313cos π(3)637tanπ22,y x r p y x P +=到原点距离），点（点的终边与单位圆相交于已知任意角α._____tan _____cos ____sin .1===ααα，，的定义根据任意角的三角函数.角函数的值相等终边相同的角的同名三探究二：思考下列问题：（1）30°与（－30°）角的终边 （2）设30°与（－30°）的终边分别交单位圆于点p 、p ′，设点p （x,y ），则点p ′的坐标 （3）sin （－30°）与sin30°的值关系如何？小组合作分析：在求sin （－30°）值的过程中，我们利用（－30°）与30°角的终边及其与单位圆交点p 与p ′关于原点对称的关系，借助三角函数定义求sin （－30°）的值。
诱导公式导学案
1.2.4诱导公式 导学案（一）【学习目标】1. 知道诱导公式的推导过程；能概括诱导公式的特点。
2. 能灵活运用诱导公式熟练正确地进行求值、化简及变形。
： 【学习重难点】重点：对诱导公式的熟练应用 难点：对诱导公式的理解记忆。
【预习案：】1.求下列三角函数的值，你都能解决吗？是否有必要研究新的公式？7sin____,cos_____33ππ==第一组： sin1110°= 8105sin_____,cos _____,t n()_____.333a πππ===第二组： 2.回顾单位圆与三角函数线1234______.______.______.______.P P P P x P P y P P y x P =3.设点的坐标为(x,y),则点关于原点的对称点的坐标为点关于轴的对称点的坐标为点关于轴的对称点的坐标为点关于直线的对称点的坐标为【探究案】探究一：角α与)(2Z k k ∈+πα的三角函数间的关系sin(2)_____,cos(2)_____,tan(2)_____.k k k k z απαπαπ+=+=+=∈（）小结：诱导公式（一）的作用：例1：求下列各三角函数的值： （1）313sinπ （2）4103cos π （3）417tan π （4）247cos π探究二：角α与α-的三角函数间的关系4.如图,设α为一任意角，α的终边与单位圆的交点为P (x,y), 角πα+的终边与单位圆的交点为P 0, 由于角πα+的终边与角α的终边关于原点成中心对称,所以点P 0与点P关于原点成中心对称,因此点P 0的坐标是(-x,-y),于是,我们有:诱导公式二： 用弧度制可表示如下：类比公式二的得来，得：探究三：角α与)()12(Z k k ∈++πα的三角函数间的关系α与απ+α与απ-小结：上述公式的作用：课堂训练：1、将下列三角函数转化为锐角三角函数，并求值（1）cos210º； (2))1665cos(︒- （3）11sin6π； （4）17sin()3π-． 2、化简：)4(tan )3sin()2(cos )2tan()5cos()(sin 333παπαπααπαπα-----++-3、化简 )180sin()180cos()1080cos()1440sin(︒--⋅-︒-︒-⋅+︒αααα能力训练：1、化简：（1）sin(α+180º)cos(—α)sin(—α—180º)（2）sin 3(—α)cos(2π+α)tan(—α—π)2、化简：790cos 250sin 430cos 290sin 21++3、已知cos(π+α)=－21，23π<α<2π，则sin(2π－α)的值是（ ）．（A ）23 (B)21 (C)－23 (D)±23【课后案】 一、选择题1、4255sincos tan364πππ的值是 （ ） A ．－43 B ．43 C ．－43D ．43 2、若A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，则下列等式成立的是（ ）A 、A CB sin )sin(=+ B 、AC B cos )cos(=+ C 、A C B tan )tan(=+D 、A C B cot )cot(=+3、在△ABC 中，若最大角的正弦值是22，则△ABC 必是（ ） A 、等边三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 4、下列不等式中，不成立的是 （ ）A 、︒︒>140sin 130sinB 、︒︒>140cos 130cos C 、︒︒>140tan 130tan D 、︒︒>140cot 130cot 5、已知函数2cos)(xx f =，则下列等式成立的是 （ ） A 、)()2(x f x f =-π B 、)()2(x f x f =+π C 、)()(x f x f -=- D 、)()(x f x f =-6、已知,,,a b αβ均为非零常数，函数4)cos()sin()(++++=βπαπx b x a x f ，若5)2001(=f ，则)2002(f 的值是 （ ）A 、5B 、3C 、8D 、不能确定二、填空题7、若12sin(125)13α︒-=,则sin(55)α+︒= ．8、23456coscoscos cos cos cos 777777ππππππ+++++= ．9、已知 3)tan(=+απ, 求)2sin()cos(4)sin(3)cos(2a a a a -+-+--πππ的值．三、解答题10、化简())cos(])1sin[(])1cos[(sin απαπαπαπ+⋅++--⋅-k k k k （Z k ∈）解：11、设sin ,(0)()(1)1,(0)x x f x f x x π<⎧=⎨-+≥⎩和1cos ,()2()1(1)1,()2x x g x g x x π⎧<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩求)43()65()31()41(f g f g +++的值. 解：12、若关于x 的方程22cos ()sin 0x x a π+-+= 有实根，求实数a 的取值范围。
三角函数的诱导公式教学设计
三角函数的诱导公式学案【学习目标】（1）能够理解借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式。
（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。
【课前预习】1、 若角α的终边和单位圆交于点P ，则点P 的坐标可表示为2、 若角α和角β的终边相同，则β=3、 求0390的三角函数值 【课堂导学】问题1：若角α和角β的终边相同，则它们的同名三角函数值有何关系？ 公式一：问题2：（1）设6πα=，如果β的终边与α的终边关于x 轴对称，你能用α表示β吗？这时sin β与sin α，cos β与cos α有什么关系？（2）请你自己举出类似的例子，看看有没有同样的结论？（3）一般地，设α为任意角，β的终边与α的终边关于x 轴对称，用α表示β，并求sin β与sin α，cos β与cos α的关系。
公式二： 问题3：（1）设6πα=，将α的终边逆时针旋转2π得β，你能用α表示β吗？这时sin β与cos α，cos β与sin α有什么关系？（2）一般地，设α为任意角，将α的终边逆时针旋转2π得β，用α表示β，并求sin β与cos α，cos β与sin α的关系。
公式六：归纳总结：从联系的观点看，上述问题可以归结为两类变换：（1）关于x 轴对称的轴对称变换1T ：θθ→-，单位圆上的点(,)x y 经1T 变为 ， 也就是cos()α-= ，sin()α-= 。
（2）将α的终边逆时针旋转2π的旋转变换2T ：2πθθ→+，单位圆上的点(,)x y 经2T 变为 ，也就是cos()2πα+= ，sin()2πα+= 。
问题4：经过两次2T 变换，就有α→ ，探求这个角的三角函数值 公式四：问题5：经过一次1T 变换，再经过一次2T 变换，就有α→ → ，探求这个角的三角函数值。
公式五：问题6：利用已有的公式，你能推导出33,,22παπαπα--+的三角函数值与α的三角函数值的关系吗？公式三：问题7：怎样求这些角的正切值？归纳总结：公式一、二、三、四、五都叫做三角函数的诱导公式。
高中数学_1.2.4 诱导公式教学设计学情分析教材分析课后反思
1.3三角函数的诱导公式（1）一、教学内容分析本节教学内容在本章“任意角的三角函数”一节及全章中起着承上启下的作用。
求三角函数值是三角函数中的重要内容，诱导公式是求三角函数值的基本方法。
诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求“00～900”角的三角函数值问题。
诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维方式。
这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。
二．学生学习情况分析：本节是在学生基本掌握了三角函数线的基础上进行研究的。
由于学生素质参差不齐，又存在能力差异，不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距很大。
因此进行本堂课的教学，我采用多媒体直观动态演示引导学生联想，进行问题类比，构建知识系统，从而激发学生学习数学的兴趣和欲望。
三、设计思想教育以人为本，学生是学习的主体，在课堂教学中应该让学生带着自己的问题去探究以体现学生的主体性。
四、教学目标1、知识技能借助三角函数线推导出正弦、余弦的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题。
3、情感态度与价值观通过诱导公式的学习，体会“探究学习”在学习过程中的作用，使学生体验成功，增强学习数学的自信心五、教学重点、难点重点：将任意角的三角函数化为锐角三角函数.难点：推导、记忆诱导公式.六、教学方法与教学手段教学方法：结合多媒体，创设问题情境，启发引导学生自主学习，自我构建，突出学生的主体地位.学习方法：类比发现，合作交流，自主构建、引申升华.教学手段：直尺，多媒体辅助教学.七、教学过程学情分析学情分析：学生在前面第一类诱导公式学习中感受了数形结合思想、对称变换思想在研究数学问题中的应用，初步形成用对称变换思想思考问题的习惯，对于两次对称变换思想的应用是上一节课的深化；学生对高中数学知识有了一定了解和掌握，也形成了自己的学习方法和习惯，对学习高中数学有了一定兴趣和信心，且具有了一定的分析、判断、理解能力和交流沟通能力。
三角函数诱导公式(1)学案
预学案三角函数的周期性一．预习目标了解周期函数的概念，会用定义判断函数的周期 二．预习内容1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？2．通过前面三角函数线的学习，我们知道每当角增加或减少2k π时，所得角的终边与原来角的终边相同，因而两角的正弦函数值也相同，正弦函数的这种性质叫周期性．不但正弦函数具有这种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质，这就是今天研究的课题：函数的周期性．3.如何用数学语言刻画函数的周期性？4.（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636πππ+=，能否说23π是它的周期？ （2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠）（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？5.一般地，函数)cos()sin(ϕωϕω+=+=x A y x A y 及（其中ϕω,,A 为常数，且A 0,0 ω≠）的周期T=三．预习检测1.已知函数f (x )是周期为6的奇函数，且f (－1)＝1，则f (－5)＝________.2.若函数f (x )，对任意x 都有f (x ＋2)＝－)(1x f ，则函数y ＝f (x )的一个正周期为________．3.求下列函数的周期：（1）sin3y x =，x R ∈； （2）cos 3xy =，x R ∈；（3）3sin 4x y =，x R ∈； （4）sin()10y x π=+，x R ∈；（5）cos(2)3y x π=+，x R ∈； （6）1sin()24y x π=-，x R ∈4.已知函数f (x )＝5cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为2π3，则ω＝________.5．若函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为6．一机械振动中，某质点离开平衡位置的位移x (cm)与时间t (s)之间的函数关系，如图所示：(1)求该函数的周期；(2)求t ＝25.5 s 时，该质点离开平衡位置的位移．四.预习质疑导、固学案性三角函数的周期一．学习目标1.了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，并会求一些简单三角函数的周期。
高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 第一课时 三角函数的定义与公式一学案 新人教A版必修4-新人
第一课时三角函数的定义与公式一预习课本P11～15，思考并完成以下问题(1)任意角的三角函数的定义是什么？(2)三角函数值的大小与其终边上的点P的位置是否有关？(3)如何求三角函数的定义域？(4)如何判断三角函数值在各象限内的符号？(5)诱导公式一是什么？[新知初探]1．任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y 余弦x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x正切yx叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x≠0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数[点睛] 三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定．2．三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．诱导公式一即终边相同的角的同一三角函数值相等．[点睛] 诱导公式一的实质是：终边相同的角，其同名三角函数的值相等．因为这些角的终边都是同一条射线，根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α＝β＋720°，则cos α＝cos β.( )(2)若sin α＝sin β，则α＝β.( )(3)已知α是三角形的内角，则必有sin α>0.( )答案：(1)√(2)×(3)√2．若sin α<0，tan α>0，则α在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C3．已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎪⎫55，－255，则sin α＋cos α＝( )A ．55B ．－55C ．255D ．－255答案：B4．sin π3＝________，cos 3π4＝________.答案：32 －22三角函数的定义及应用[典例] 设a <0，角α的终边与单位圆的交点为P (－3a,4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( )A ．25 B ．－25C ．15D ．－15[解析] ∵点P 在单位圆上，则|OP |＝1. 即－3a2＋4a2＝1，解得a ＝±15.∵a <0，∴a ＝－15.∴P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.∴sin α＝－45，cos α＝35.∴sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25.[答案] A利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．法二：在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)．则sin α＝yr，cosα＝xr.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[活学活用]1．如果α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α的值等于( ) A ．12 B ．－12C ．－32D ．－33解析：选C 由题意知P (1，－3)， 所以r ＝ 12＋－32＝2，所以sin α＝－32. 2．已知角α的终边过点P (12，a )，且tan α＝512，求sin α＋cos α的值．解：根据三角函数的定义，tan α＝a 12＝512，∴a ＝5，∴P (12,5)．这时r ＝13，∴sin α＝513，cos α＝1213，从而sin α＋cos α＝1713.三角函数值符号的运用[典例] (1)( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)设α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．(2)∵α是第三象限角，∴2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z.∴k π＋π2<α2<k π＋3π4.∴α2在第二、四象限． 又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2<0.∴α2在第二象限．[答案] (1)D (2)B对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．[活学活用]1．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，则下列各组数中有意义且均为正值的是( ) A ．tan A 与cos B B ．cos B 与sin C C ．sin C 与tan AD ．tan A2与sin C解析：选D ∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴tan A2＞0；又∵0＜C ＜π，∴sin C ＞0.2．若角α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在第________象限． 解析：∵α为第二象限角， ∴sin α＞0，cos α＜0.∴P (sin α，cos α)位于第四象限． 答案：四诱导公式一的应用[典例] 计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. [解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝22×32＋12×12 ＝64＋14 ＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤[活学活用] 求下列各式的值：(1)sin 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4；(2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°. 解：(1)sin 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝sin π3＋tan π4＝32＋1. (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°＝sin(2×360°＋90°)＋cos(360°＋0°)－tan(3×360°＋45°) ＝sin 90°＋cos 0°－tan 45° ＝1＋1－1 ＝1.层级一 学业水平达标1．若α＝2π3，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32解析：选B 设P (x ，y )，∵角α＝2π3在第二象限，∴x ＝－12，y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝32， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.2．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α为( ) A ．1 B ．－1 C ．22D ．－22解析：选C ∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r ＝12＋－12＝2，∴cos α＝xr＝12＝22. 3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上三种情况都可能解析：选B ∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)， ∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角．4．代数式sin 120°cos 210°的值为( ) A ．－34B ．34C ．－32D ．14解析：选A 利用三角函数定义易得sin 120°＝32， cos 210°＝－32，∴s in 120°cos 210°＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－34，故选A. 5．若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于( ) A ．±15B ．±55C ．±255D ．±12解析：选C 在α的终边上任取一点(－1,2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝yr＝25＝25 5.或者取P (1，－2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝－25＝－25 5. 6．tan ⎝⎛⎭⎪⎫－17π3＝________. 解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案： 37．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，则sin α＋cos α＝________.解析：∵tan α＝a 5＝－125，∴a ＝－12.∴r ＝ 25＋a 2＝13.∴sin α＝－1213，cos α＝513.∴sin α＋cos α＝－713.答案：－7138．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________.解析：当α在第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝－sin αcos α＋sin αcos α＝0；当α在第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α－sin αcos α＝0.综上，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.答案：09．求下列三角函数值：(1)cos(－1 050°)；(2)tan 19π3；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4.解：(1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°，∴cos(－1 050°)＝cos(－3×360°＋30°)＝cos 30°＝32. (2)∵19π3＝3×2π＋π3，∴tan 19π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×2π＋π3＝tan π3＝ 3.(3)∵－31π4＝－4×2π＋π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－4×2π＋π4＝sin π4＝22. 10．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)． 由题意，可知sin α＝－22，即y 1＝－22. ∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上， ∴x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝1， 解得x 1＝22或x 2＝－22. ∴cos α＝22或cos α＝－22， ∴tan α＝－1或tan α＝1.层级二 应试能力达标1．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3.2．给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4；③tan 2，其中符号为负的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B ∵－1 000°＝－3×360°＋80°， ∴－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)>0； ∵－π4是第四象限角，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4>0； ∵2 rad ＝2×57°18′＝114°36′是第二象限角，∴tan 2<0.故选B. 3．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限，又sin x －cos x <0，∴角x的终边在第四象限．4．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝( ) A ．8B ．－8C ．4D ．－4 解析：选B 由题意r ＝|OP |＝m 2＋－62＝m 2＋36，故cos α＝mm 2＋36＝－45，解得m ＝－8. 5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. 解析：|OP |＝42＋y 2.根据任意角三角函数的定义得，y42＋y 2＝－ 255，解得y ＝±8.又∵sin θ＝－255＜0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y ＝－8. 答案：－86．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________.解析：原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 答案：327．判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4. 解：(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin 340°<0，cos 265°<0，∴sin 340°cos 265°>0.(2)∵π<4<3π2，∴4是第三象限角， ∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角． ∴sin 4<0，tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4>0， ∴sin 4tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4<0.8．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限． (2)若角α的终边上一点是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，所以sin α<0， 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1， 得m ＝±45. 又α为第四象限角，故m <0，从而m ＝－45， sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.。
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鸡西市第十九中学学案
问题1：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）
是一个数量概念（比值）
表示三角函数呢？
【归纳】设角α的终边与单位圆交点P(x，y作x轴的垂线，垂足为段MP为正弦线，为余弦线.
试试2：画出各象限终边角的正弦线、余弦线，并分析符号.
思考： 若α为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律可得：sin α的范围是 ；cos α的范围是 思考：当α终边在坐标轴上时，正弦线、余弦线、正切线又是怎样的情形呢？例2 在单位圆中画出满足sin α＝1的角的终边，并求角α的取值集合．小结 作已知角的正弦线、余弦线、正切线时，要确定已知角的终边，再画线，同时要分清所画线的方向，对于以后研究三角函数很有用处．训练1 根据下列三角函数值，作角(1) cos α＝1； 例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角(1) sin α≥32；(2)cos α≤－12
.
例4 求下列函数的定义域．小结 求三角函数定义域时，数线是解三角不等式常用的方法．解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，再取公共部分．训练4 求函数f (【当堂训练】
1. 下列大小关系正确的是（ A. sin cos 5π>
2. 利用余弦线，比较。