双曲线弦长公式例题
类型三：综合练习
1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为，右顶点为
（Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）若直线
A 和
B 且（其中为原点），求k 的取值范围。
2．已知直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 点。
（1）求a 的取值范围；（2）若以A B 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值；
3．(1)椭圆C:122
22=+b
y a x (a ＞b ＞0)上的点A ），（231到两焦点的距离之和为4，求椭圆的方程； (2)设K 是(1)中椭圆上的动点，F 1是左焦点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程；
对接高考（圆锥曲线）
1 、【2015高考新课标1，文5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为
12
，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( )
（A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 2、【2015高考四川，文7】过双曲线2
2
13y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝( )
()2,0)
:=l y kx 2∙>
OA OB O
(A
(B
(C )6 (D
3、【2015高考陕西，文3】已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ）
A ．(1,0)-
B ．(1,0)
C ．(0,1)-
D ．(0,1)
4、【2015高考湖南，文6】若双曲线22
221x y a b
-=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为( ) A
B 、54
C 、43
D 、53
5、设是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点，P 为直线上一点，12PF F ∆是底角为的等腰三角形，则E 的离心率为（）
()A 12()B 23()C 34 ()D 45
6、 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B
两点，AB =C 的实轴长为（）
()
A ()
B ()
C 4()
D 8
7、【2015高考北京，文20】（本小题满分14分）已知椭圆C :2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭
圆C 交于A ，
B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．
（I ）求椭圆C 的离心率；
（II ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；
8、【2015高考陕西，文20】如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -
. (I)求椭圆E 的方程；
12F F 32a x =30
(II)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点,P Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.。
专题07 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题
专题07 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题一、单选题1．过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：22x －y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则|AB |＝（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，与直线20x y +=交于A ，B 两点，若AB = ）A ．2225y x -=B ．2216y x -=C ．229y x -=D ．226y x -= 3．设1F ，2F 为双曲线2214y x -=的两个焦点，点P 在双曲线上且满足1290F PF ∠=︒，则12F PF △的面积为（ ）A ．2B C ．4 D ．4．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，过其左焦点()F 作斜率为2的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，则截得的弦长AB =（ ）A．B ．C ．10 D ．5．已知双曲线C : 22221x y a b-= (a >0，b >0)， 过点P (3，6) 的直线l 与C 相交于A ， B 两点， 且AB 的中点为N (12，15)， 则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．32D 6．已知双曲线C ：2214y x -=，经过点M (2，1)的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，则直线l 的方程为（ ）A ．8x －y －15＝0B ．8x ＋y －17＝0C ．4x ＋y －9＝0D ．4x －y －7＝07．已知双曲线222:1(3)9-=>x y C a a 左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作x 轴的垂线l 交双曲线C 的于A ，B 两点，若2ABF 的周长为25，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）． A ．340±=x y B ．430x y ±= C ．380x y ±= D ．830x y ±=8．设双曲线2222:1(>>0)x y C a b a b-=的右焦点为F,点P 在C 的一条渐近线0x =上,O 为坐标原点,若OF PF =且∆POF 的面积为则C 的方程为A ．2212x y -= B ．22142x y -= C ．22163x y -= D ．22184x y -= 二、多选题9．双曲线E 的方程为2213x y -=，12F F 、分别为左右焦点，P 为双曲线上一点，且172PF =，直线l ：()2y k x =-与E 交于A ，B 两点，则（ ）A ．272PF =+或27=2PF -B ．EC ．E 的渐近线与圆2221x y 相切D ．满足AB =l 有3条10．已知双曲线22:14x E y -=的右焦点为F ，过F 的动直线l 与E 相交于A ，B 两点，则（ ） A ．曲线E 与椭圆2216y x +=有公共焦点B ．曲线E ，渐近线方程为20x y ±=．C ．AB 的最小值为1D ．满足AB 4=的直线l 有且仅有4条11．已知双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线交于A ，B 两点，A 在第一象限，若△1ABF 为等边三角形，则下列结论一定正确的是（ ）A ．双曲线CB ．12AF F △的面积为2C ．12BF F △的内心在直线x a =±上D ．12AF F △内切圆半径为)1a12．已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30的直线分别交y 轴与双曲线右支于点,M P ，1PM MF =，下列判断正确的是（ ） A ．21π3PF F B ．2112MF PF =C ．ED ．E 的渐近线方程为y =三、填空题13．过点()1,1P 的直线l 与双曲线2212y x -=交于,M N 两点，且点P 恰好是线段MN 的中点，则直线l 的方程为___________.14．已知双曲线22143x y -=的左､右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且12PF F S =则12F PF ∠=___________.15．已知1F ，2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以1F ，2F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为M ，1210F F =，122MF MF =，则双曲线的标准方程为______．16．已知双曲线C ：22145x y -=的左､右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于P ，Q 两点，当PQ 最小时，四边形12F PF Q 的面积为___________.四、解答题17．已知点()4,0M -，()4,0N ，动点P 满足条件PM PN -=记动点P 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）过曲线C 的一个焦点作倾斜角为45°的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB ．18．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，且其顶点到其渐近线的距离为（1）求双曲线的标准方程；（2）直线l ：3y x m =+与双曲线交于A ，B 两点，若AB =，求m 的值.19．已知双曲线22:145x y C 的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点（点P 在x 轴上方）．（1）若3PF FQ =，求直线l 的方程；（2）设直线,AP BQ 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值．20．已知圆锥曲线E的两个焦点坐标是12(F F，且离心率为e = （1）求曲线E 的方程；（2）设曲线E '表示曲线E 的y 轴左边部分，若直线1y kx =-与曲线E '相交于,A B 两点，求k 的取值范围；（3）在条件（2）下，如果63AB =E '上存在点C ，使OA OB mOC +=，求m 的值．21．直线(,)y kx m k m =+∈R 与双曲线2213y x -=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥．（1）求k 与m 满足的关系；（2）求证：点O 到直线AB 的距离是定值，并求AB 的最小值．。
直线与双曲线的相交弦问题
v1.0 可编辑可修改直线与双曲线的相交弦问题直线与双曲线相交的弦长公式 ①221212()()AB x x y y =-+-②]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+= ③221121222111(1)[()4]AB y y y y y y kk=+-=+⋅+-一、已知双曲线方程和直线方程求弦长例1、 过双曲线1322=-y x 的左焦点1F ，作倾斜角为6π的弦AB ，求AB ；⑵AB F 2∆的面积（2F 为双曲线的右焦点）。
1、求直线1y x =+被双曲线2214y x -=截得的弦长；2、过双曲线14491622=-y x 的右焦点作倾斜角为3π的弦AB ，求弦长AB ；3、已知斜率为2的直线L 被双曲线22154x y -=截得的弦长为52，求直线L 的方程；4、过双曲线122=-y x 的左焦点2F ，作倾斜角为3π的直线与双曲线相交于B A ,两点，求： （1）弦长AB（2）△AB F 1∆的周长（2F 为双曲线的右焦点）二、已知弦长求双曲线方程5、 已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线2-=x y 被双曲线截得的弦长为220，求此双曲线的标准方程．6、已知倾斜角为4π的直线l 被双曲线60422=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．例2、 已知双曲线方程为3322=-y x ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可． 例3、 双曲线方程为3322=-y x .问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．7、已知中心在原点，顶点12,A A 在x 轴上，离心率为213的双曲线经过点(6,6)P （Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点,M N ，问是否存在直线l 使G 平分线段MN 。
过双曲线焦点的弦长公式
过双曲线焦点的弦长公式
双曲线是一种代数曲线，其焦点到曲线上任意一点的距离之差是一个常数。
对于双曲线的焦点到曲线上的一点P的弦长公式可以通过双曲函数来表示。
设双曲线的焦点到曲线上一点P的距离为d1和d2，那么这个距离之差就是2a，即|d1 d2| = 2a。
其中a是双曲线的半焦距。
根据双曲函数的定义，双曲线上任意一点P(x, y)到两个焦点的距离之差等于常数2a，即|PF1 PF2| = 2a。
根据距离公式，点
P(x, y)到焦点F1(x1, 0)的距离为√((x x1)^2 + y^2)，到焦点
F2(-x1, 0)的距离为√((x + x1)^2 + y^2)。
因此，双曲线焦点的弦长公式可以表示为：
|√((x x1)^2 + y^2) √((x + x1)^2 + y^2)| = 2a.
这个公式描述了双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于常数2a的关系，从而可以用来计算双曲线焦点的弦长。
这个公式在解析几何和微积分中有广泛的应用，能够帮助我们理解双曲线的性质和特点。
椭圆、双曲线的弦长公式
大罕求圆锥曲线的弦长是学习解析几何过程中常见的问题．一般用弦长公式 |AB|=(√△/|a|)√(1+k^2)．在运用上述公式之前，需要将直线方程代入到椭圆、双曲线的方程，加以化简．在整理的过程中，由于带有参数，故运算有些繁琐容易出错．作为参考材料，本文给出更具体的弦长公式．遇到选填题可直接套用，遇到解答题可供检验. 具体如下： 命题１：已知直线l：y=kx+m，椭圆C： x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)，记δ=b^2+(a·k)^2-m^2，若δ=0，则直线l与椭圆C相切若δ>0，则直线l与椭圆C相交于Ａ,Ｂ两点，且|AB|=[2ab√δ·√(1+k^2)]/[b^2＋(ak)^2]．简要的推导过程是：把y=kx+m代入 x^2/a^2+y^2/b^2=1，整理得：[(ak)^2+b^2]x^2+2a^2kmx+a^2(m^2-b^2＝０，∴=4a^4k^2m^2-4a^2(m^2-b^2)(a^2k^2+b^2)=4a^2b^2(b^2＋a^2k^2-m^2).令δ=b^2＋a^2k^2-m^2，∴当δ=0时，直线l与椭圆C相切；当δ>0时，直线l与椭圆C相交于Ａ,Ｂ两点，且|AB|=[2ab√δ√(1+k^2)]/[b^2+(ak)^2].命题2：已知直线l：y=kx+m，双曲线C： x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)，记δ=b^2-(a·k)^2+m^2，若δ=0，则直线l与椭圆C相切若δ>0，则直线l与椭圆C相交于Ａ,Ｂ两点，且|AB|=[2ab√δ·√(1+k^2)]/[b^2-(ak)^2]．证明与命题１过程类似，这里从略．例1、若直线l：y=x+m与椭圆C：x^2/4+y^2/3=1相切，求m的值.解：a^2=4，b^2=3，k=1，∴δ=4a^2b^2(a^2k^2+b^2-m^2)=4+3-m^2=0，则m=±√7．例2、求直线l：y=x+1截椭圆C：x^2/4+y^2/3=1所得的弦长|AB|．解：a^2=4，b^2=3，k=1，m=1,∴δ=4a^2b^2(a^2k^2+b^2-m^2)=4+3-1=6，∴|AB|=(4√3)(√6)(√2)]/7=24/7.例3、直线l过点P(1,1)，双曲线 ：x^2-y^2/2=1相切，求直线l的方程. 解：设直线l：y=kx+1-k，a^2=1，b^2=2，m=1-k，令δ=b^2-(a·k)^2+m^2=2-k^2+(1-k)^2=0，解得k=3/2.。
双曲线常见题型与典型方法归纳(修改版 附详解答案)
双曲线常见题型与典型方法归纳考点一 双曲线标准方程及性质1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。
（1）距离之差的绝对值.（2）当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是同一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 【典例】到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线 第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。
2双曲线的标准方程及几何性质标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x )0,0(12222>>=-b a bx a y 图形性 质焦点 F 1（-)0,c ，F 2（)0,c F 1（),0c -，F 2（),c o焦距 | F 1F 2|=2c 222c b a =+范围 R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||对称 关于x 轴，y 轴和原点对称顶点 （-a ，0）。
（a ，0） （0，-a ）（0，a ）轴 实轴长2a ，虚轴长2b离心率)1(>=e ace （离心率越大，开口越大） 准线ca x 2±=ca y 2±=通径22b d a=22b d a=渐近线x ab y ±= x bay ±=注意：等轴双曲线（1）定义：实轴长与虚轴长相等的双曲线 （2）方程：222x y a -=或222y x a -= （3）离心率e =渐近线y x =±（4）方法：若已知等轴双曲线经过一定点，则方程可设为22(0)x y λλ-=≠ 【典例】 已知等轴双曲线经过点1)-，求此双曲线方程 3双曲线中常用结论（1）两准线间的距离: 22a c （2）焦点到渐近线的距离为b （3）通径的长是ab 22考点二 双曲线标准方程一 求双曲线标准方程的方法（1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a b c 、、即可求得方程； （2）待定系数法，其步骤是①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程； ③定值：根据题目条件确定相关的系数。
高中数学《双曲线》典型例题12例(含标准答案)
《双曲线》典型例题12例典型例题一例1 讨论192522=-+-ky k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9<k ，259<<k ，25<k ，分别进行讨论．解：（1）当9<k 时，025>-k ，09>-k ，所给方程表示椭圆，此时k a -=252，k b -=92，16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．（2）当259<<k 时，025>-k ，09<-k ，所给方程表示双曲线，此时，k a -=252，k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．（3）25<k ，9=k ，25=k 时，所给方程没有轨迹．说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k 值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．典型例题二例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭⎫⎝⎛-5316，Q 且焦点在坐标轴上． （2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上．（3）与双曲线141622=-y x 有相同焦点，且经过点()223， 解：（1）设双曲线方程为122=+ny m x ∵ P 、Q 两点在双曲线上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12592561162259nm n m 解得⎩⎨⎧=-=916n m∴所求双曲线方程为191622=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6=c ，∴设所求双曲线方程为：1622=--λλy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴16425=--λλ∴5=λ或30=λ（舍去）∴所求双曲线方程是1522=-y x说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．（3）设所求双曲线方程为：()160141622<<=+--λλλy x ∵双曲线过点()223，，∴1441618=++-λλ ∴4=λ或14-=λ（舍）∴所求双曲线方程为181222=-y x 说明：（1）注意到了与双曲线141622=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为141622=+--λλy x 后，便有了以上巧妙的设法． （2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面．典型例题三例3 已知双曲线116922=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F∠的大小．分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形． 解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF∴362212221=-+PF PF PF PF ∴1002221=+PF PF ∵()100441222221=+==b a c F F ∴ 9021=∠PF F说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化． （2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．典型例题四例 4 已知1F 、2F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．分析：利用双曲线的定义及21PF F ∆中的勾股定理可求21PF F ∆的面积．解：∵P 为双曲线1422=-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点．∴4221==-a PF PF ,52221==c F F ∵ 9021=∠PF F∴在21F PF Rt ∆中，202212221==+F F PF PF ∵()162212221221=-+=-PF PF PF PF PF PF∴1622021=-PF PF ∴221=⋅PF PF ∴1212121=⋅=∆PF PF S PF F说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用．典型例题五例5 已知两点()051，-F 、()052，F ，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹． 解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线． ∵5=c ，3=a∴16435222222==-=-=a c b∴所求方程116922=-y x 为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线． 说明：（1）若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算．（2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解．典型例题六例6 在ABC ∆中，2=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹．分析：要求点A 的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？解：以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()01，-B ，()01，C ．设()y x A ，，由A B C sin 21sin sin =-及正弦定理可得：121==-BC AC AB ∵2=BC∴点A 在以B 、C 为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：()0012222>>=-b a b y a x ， ∴12=a ，22=c ∴21=a ，1=c ∴43222=-=a c b ∴所求双曲线方程为134422=-y x ∵01>=-AC AB ∴21>x ∴点A 的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分典型例题七例7 求下列动圆圆心M 的轨迹方程：（1）与⊙()2222=++y x C ：内切，且过点()02，A （2）与⊙()11221=-+y x C ：和⊙()41222=++y x C ：都外切．（3）与⊙()93221=++y x C ：外切，且与⊙()13222=+-y x C ：内切． 分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙1C 、⊙2C 的半径为1r 、2r 且21r r >，则当它们外切时，2121r r O O +=；当它们内切时，2121r r O O -=．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r（1）∵⊙1C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外 ∴2-=r MC ，r MA =，2=-MC MA∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有：22=a ，2=c ，27222=-=a c b ∴双曲线方程为()2172222-≤=-x y x （2）∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 都外切 ∴11+=r MC ，22+=r MC ，112=-MC MC∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，且有：21=a ，1=c ，43222=-=a c b ∴所求的双曲线的方程为：⎪⎭⎫⎝⎛≥=-43134422y x y （3）∵⊙M 与⊙1C 外切，且与⊙2C 内切 ∴31+=r MC ，12-=r MC ，421=-MC MC∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，且有：2=a ，3=c ，5222=-=a c b∴所求双曲线方程为：()215422≥=-x y x 说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量． （3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标．典型例题八例8 在周长为48的直角三角形MPN 中，︒=∠90MPN ，43tan =∠PMN ，求以M 、N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．分析：首先应建立适当的坐标系．由于M 、N 为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知a PN PM 2=-，c MN 2=，所以利用条件确定MPN ∆的边长是关键．解：∵MPN ∆的周长为48，且43tan =∠PMN ， ∴设k PN 3=，k PM 4=，则k MN 5=． 由48543=++k k k ，得4=k ． ∴12=PN ，16=PM ，20=MN ．以MN 所在直线为x 轴，以∴MN 的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程为12222=+by a x )0,0(>>b a ．由4=-PN PM ，得42=a ，2=a ，42=a ． 由20=MN ，得202=c ，10=c ．由96222=-=a c b ，得所求双曲线方程为196422=-y x ． 说明：坐标系的选取不同，则又曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变．解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷．典型例题九例9 P 是双曲线1366422=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，求2PF 的值．分析：利用双曲线的定义求解．解：在双曲线1366422=-y x 中，8=a ，6=b ，故10=c ． 由P 是双曲线上一点，得1621=-PF PF ． ∴12=PF 或332=PF ． 又22=-≥a c PF ，得332=PF ．说明：本题容易忽视a c PF -≥2这一条件，而得出错误的结论12=PF 或332=PF ．典型例题十例10 若椭圆122=+n y m x )0(>>n m 和双曲线122=-ty s x )0,(>t s 有相同的焦点1F 和2F ，而P 是这两条曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值是( ) ．A ．s m -B ．)(21s m - C ．22s m - D ．s m -分析：椭圆和双曲线有共同焦点，P 在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到1PF 和2PF的关系式，再变形得结果． 解：因为P 在椭圆上，所以m PF PF 221=+． 又P 在双曲线上，所以s PF PF 221=-．两式平方相减，得)(4421s m PF PF -=⋅，故s m PF PF -=⋅21．选(A)． 说明：(1)本题的方法是根据定义找1PF 与2PF的关系．(2)注意方程的形式，m ，s 是2a ，n ，t 是2b ．典型例题十一例11 若一个动点),(y x P 到两个定点)0,1(-A 、)0,1(1A 的距离之差的绝对值为定值a )0(≥a ，讨论点P 的轨迹．分析：本题的关键在于讨论a ．因21=AA ，讨论的依据是以0和2为分界点，应讨论以下四种情况：0=a ，)2,0(∈a ，2=a ，2>a ．解：21=AA ．(1)当0=a 时，轨迹是线段1AA 的垂直平分线，即y 轴，方程为0=x ．(2)当20<<a 时，轨迹是以A 、1A 为焦点的双曲线，其方程为14142222=--a y a x ．(3)当2=a 时，轨迹是两条射线)1(0≥=x y 或)1(0-≤=x y ． (4)当2>a 时无轨迹． 说明：(1)本题容易出现的失误是对参变量a 的取值范围划分不准确，而造成讨论不全面．(2)轨迹和轨迹方程是不同的，轨迹是图形，因此应指出所求轨迹是何种曲线．典型例题十二例12 如图，圆422=+y x 与y 轴的两个交点分别为A 、B ，以A 、B 为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y 轴左方的交点分别为C 、D ，当梯形ABCD 的周长最大时，求此双曲线的方程．分析：求双曲线的方程，即需确定a 、b 的值，而42=c ，又222b a c +=，所以只需确定其中的一个量．由双曲线定义a BC AC 2=-，又BCA ∆为直角三角形，故只需在梯形ABCD 的周长最大时，确定BC 的值即可．解：设双曲线的方程为12222=-bx a y (0,0>>b a )，),(00y x C (00<x ，00>y )，t BC =(220<<t )．连结AC ，则︒=∠90ACB ．作AB CE ⊥于E ，则有AB BE BC ⋅=2．∴4)2(02⨯-=y t ，即4220t y -=．∴梯形ABCD 的周长0224y t l ++=即10)2(21822122+--=++-=t t t l ．当2=t 时，l 最大．此时，2=BC ，32=AC ．又C 在双曲线的上支上，且B 、A 分别为上、下两焦点， ∴a BC AC 2=-，即2322-=a ． ∴13-=a ，即3242-=a ． ∴32222=-=a c b ．∴所求双曲线方程为13232422=--x y ． 说明：解答本题易忽视BC 的取值范围，应引起注意．仰望天空时，什么都比你高，你会自卑; 俯视大地时，什么都比你低，你会自负; 只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底， 才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。
双曲线的弦长公式与面积(不过焦点的弦)
第 1 页 共 1 页双曲线的弦长公式与面积（不过焦点的弦）双曲线()0,01-2222>>=b a by ax 与直线m kx y l +=:相交于AB 两点，求AB 的弦长．设 设()()2211,,,y x B y x A 则()()()21221221221241x x x x k y y x x AB -++=-+-=将mkx y +=代入1-2222=by ax 得：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=⋅-=+∴=-222222221222221222222222-20-2--a k b b a m a x x a k b km a x x b a m a kmx a x a k b ()222222222122122141ka b m a k b ab kx x x x kAB -+-+=-++==∴．双曲线与直线交点的判别式：()2222224m a k b b a +-=∆用来判断是否有两个交点问题． 面积问题：双曲线与直线m kx y l +=:相交与两点，()00,y x C 为AB 外任意一点，求ABC S ∆．设C 到l 的距离为d ，则222222200200-12121a k b m a k b ab m y kx k m y kx AB d AB S ABC-+⋅+-=++-==△．直线与双曲线交点问题： （1）直线m kx y +=与双曲线()0,01-2222>>=b a by a x 有两个交点时，()04222222>+-=∆m a k b b a ；()04222222=+-=∆m a k b b a ，有仅有一个交点；()04222222<+-=∆m a k bb a ，没有交点．（2）过点()00,y x P 的直线与双曲线有一个交点情况需要分类讨论：①当a bx y ±=00时，点P 在渐近线上，当a x ±=0时，有两条直线（一条切线，一条与另一条渐近线平行的直线）；①当a x ±≠0时，且在双曲线外部，有三条直线（两条切线，一条与另一条渐近线平行的直线）；①当()0,01-220220>>>b a by a x 时（点P 在双曲线内部），一定有交点，当直线斜率a b k ±=时，有一交点，当直线斜率abk ±≠时，有两个交点．。
双曲线弦长公式例题
类型三：综合练习1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为，右顶点为（Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）若直线A 和B 且（其中为原点），求k 的取值范围。
2．已知直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 点。
（1）求a 的取值范围；（2）若以A B 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值；3．(1)椭圆C:12222=+by a x (a ＞b ＞0)上的点A ），（231到两焦点的距离之和为4，求椭圆的方程； (2)设K 是(1)中椭圆上的动点，F 1是左焦点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程；对接高考（圆锥曲线）1 、【2015高考新课标1，文5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( )（A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 2、【2015高考四川，文7】过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝( )()2,0):=l y kx 2∙>OA OB O(A(B(C )6 (D3、【2015高考陕西，文3】已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)4、【2015高考湖南，文6】若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为( ) AB 、54C 、43D 、535、设是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线上一点，12PF F ∆是底角为的等腰三角形，则E 的离心率为（）()A 12()B 23()C 34 ()D 456、 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（）()A ()B ()C 4()D 87、【2015高考北京，文20】（本小题满分14分）已知椭圆C :2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（I ）求椭圆C 的离心率；（II ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；8、【2015高考陕西，文20】如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -. (I)求椭圆E 的方程；12F F 32a x =30(II)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点,P Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.。
2025高考数学必刷题 第70讲、弦长问题(学生版)
第70讲弦长问题知识梳理1、弦长公式的两种形式①若A ，B 是直线y kx m =+与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去y 后得到一元二次方程20++=px qx r ，则12||PQ x x p -=．②若A ，B 是直线=+x my n 与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去x 后得到一元二次方程20++=py qy r ，则||A B AB y p =-=．必考题型全归纳题型一：弦长问题例1．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知直线l 与圆22:1O x y +=相切，且交椭圆22:143x y C +=于()()1122,,,A x y B x y 两点，若1267y y =-，则||AB =．例2．（2024·全国·高三对口高考）已知椭圆2219x y +=，过左焦点F 作倾斜角为π6的直线交椭圆于A 、B 两点，则弦AB 的长为．例3．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，ADE V 的周长是13，则DE =．变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线C ：2213x y -=，若直线l 的倾斜角为60°，且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，与x 轴交于点P ，若2MN =，则点P 的坐标为.变式2．（2024·贵州·统考模拟预测）已知双曲线()22:10C x my m -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 分别在双曲线C 的左支与右支上，且点A ，B 与点2F 共线，若11::2:2:3AB AF BF =，则AB =.变式3．（2024·四川巴中·高三统考开学考试）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()5,4A 射出，经过抛物线上的点B 反射后，再经抛物线上的另一点C 射出，则BC =．变式4．（2024·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知抛物线28y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为C ，过点C 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若AFB CFB ∠=∠，则||AF =．变式5．（2024·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C 两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l 经过C 的右焦点，且与C 相交于A 、B 两点.(1)求C 的标准方程；(2)若直线l 与该双曲线的渐近线垂直，求AB 的长度.变式6．（2024·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）已知抛物线22(0)y px p =>的准线方程是12x =-.(1)求抛物线的方程；(2)设直线(2)(0)y k x k =-≠与抛物线相交于M ，N 两点，若MN =k 的值.题型二：长度和问题例4．（2024·宁夏银川·银川一中校考一模）如图所示，由半椭圆()2212:104x y C y b+=≤和两个半圆()()222:110C x y y ++=≥、()()223:110C x y y -+=≥组成曲线():,0C F x y =，其中点12,A A 依次为1C 的左、右顶点，点B 为1C 的下顶点，点12,F F 依次为1C 的左、右焦点．若点12,F F 分别为曲线23,C C 的圆心．(1)求1C 的方程；(2)若过点12,F F 作两条平行线12,l l 分别与12,C C 和13,C C 交与,M N 和,P Q ，求MN PQ +的最小值．例5．（2024·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）定义：一般地，当0λ>且1λ≠时，我们把方程()22220x y a b a b λ+=>>表示的椭圆C λ称为椭圆()222210x y a b a b +=>>的相似椭圆．已知椭圆22:14x C y +=，椭圆C λ（0λ>且1λ≠）是椭圆C 的相似椭圆，点P 为椭圆C λ上异于其左、右顶点,M N 的任意一点．(1)当2λ=时，若与椭圆C 有且只有一个公共点的直线12l l ，恰好相交于点P ，直线12l l ，的斜率分别为12,k k ，求12k k 的值；(2)当2e λ=（e 为椭圆C 的离心率）时，设直线PM 与椭圆C 交于点,A B ，直线PN 与椭圆C交于点,D E ，求AB DE +的值．例6．（2024·江西九江·统考一模）如图，已知椭圆22122:1x y C a b +=(0a b >>)的左右焦点分别为1F ，2F ，点A 为1C 上的一个动点(非左右顶点)，连接1AF 并延长交1C 于点B ，且2ABF △的周长为8，12AF F △面积的最大值为2．(1)求椭圆1C 的标准方程；(2)若椭圆2C 的长轴端点为12,F F ，且2C 与1C 的离心率相等，P 为AB 与2C 异于1F 的交点，直线2PF 交1C 于,M N 两点，证明：||||AB MN +为定值．变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆右焦点2F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ，求AB CD +的取值范围.题型三：长度差问题例7．（2024·浙江·高三校联考阶段练习）已知抛物线2:2C y px =经过点(2,-，直线1:(0)l y kx m km =+≠与C 交于A ，B 两点（异于坐标原点O ）．(1)若0OA OB ⋅=，证明：直线1l 过定点．(2)已知2k =，直线2l 在直线1l 的右侧，12//l l ，1l 与2l 之间的距离d =，2l 交C 于M ，N 两点，试问是否存在m ，使得||||10MN AB -=？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．例8．（2024·云南保山·高三统考阶段练习）已知抛物线1C ：24y x =的焦点为椭圆2C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F ，点P 为抛物线1C 与椭圆2C 在第一象限的交点，且53PF =.(1)求椭圆2C 的方程；(2)若直线l 过点F ，交抛物线1C 于A ，C 两点，交椭圆2C 于B ，D 两点（A ，B ，C ，D 依次排序），且3011AC BD -=，求直线l 的方程.题型四：长度商问题例9．（2024·重庆·校联考模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>点F是双曲线C 的一个焦点，且点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离是2.(1)求双曲线C 的标准方程.(2)设点M 在直线14x =上，过点M 作两条直线12,l l ，直线1l 与双曲线C 交于,A B 两点，直线2l 与双曲线C 交于,D E 两点.若直线AB 与直线DE 的倾斜角互补，证明：MA ME MDMB=.例10．（2024·全国·高三专题练习）已知圆A ：2229x y ++=（），圆B ：2221x y -+=（），圆C 与圆A 、圆B 外切，(1)求圆心C 的轨迹方程;E (2)若过点B 且斜率k 的直线与E 交与M N 、两点，线段MN 的垂直平分线交x 轴与点P ，证明MNPB的值是定值.例11．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为)F，过点F 与x 轴垂直的直线1l 与双曲线C 交于M ，N 两点，且4MN =.(1)求C 的方程；(2)过点()0,1A -的直线2l 与双曲线C 的左､右两支分别交于D ，E 两点，与双曲线C 的两条渐近线分别交于G ，H 两点，若GH DE λ=，求实数λ的取值范围.变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线C 的渐近线方程为y =，右焦点(c,0)F（1）求双曲线C 的方程；（2）过F 作斜率为k 的直线l 交双曲线于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于D ，求证：||||AB FD 为定值.变式9．（2024·河南郑州·郑州外国语学校校考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，且124F F =.过右焦点2F 的直线l 与C 交于,A B 两点，1ABF 的周长为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过原点O 作一条垂直于l 的直线11,l l 交C 于,P Q 两点，求ABPQ的取值范围.变式10．（2024·陕西·统考一模）在椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，2c =，过点()0,b 与(),0a的直线的斜率为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的右焦点，P 为直线3x =上任意一点，过F 作PF 的垂线交椭圆C 于M ，N 两点，当MNPF取最大值时，求直线MN 的方程．变式11．（2024·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>）中，2c =，过点()0,b 与(),0a 的直线的斜率为-3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的右焦点，P 为直线3x =上任意一点，过F 作PF 的垂线交椭圆C 于,M N 两点，求||||MN PF 的最大值.变式12．（2024·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）平面直角坐标系xOy 中，P 为动点，PA与直线x =垂直，垂足A 位于第一象限，PB与直线x =垂直，垂足B 位于第四象限，90APB ∠>︒且34AP BP =，记动点P 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)已知点()2,0M -，()2,0N ，设点T 与点P 关于原点O 对称，MTN ∠的角平分线为直线l ，过点P 作l 的垂线，垂足为H ，交C 于另一点Q ，求PHQH的最大值.变式13．（2024·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知1F ，2F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点．且124F F =，P为椭圆上一点，12PF PF +=(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过右焦点2F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 的中点为,M O 为坐标原点，直线OM 交直线3x =于点N ．求2ABNF 的最大值．变式14．（2024·海南海口·高三统考期中）设O 为坐标原点，点M ，N 在抛物线2:4C x y =上，且4OM ON ⋅=-.(1)证明：直线MN 过定点；(2)设C 在点M ，N 处的切线相交于点P ，求2MN OP的取值范围.变式15．（2024·四川绵阳·统考三模）过点()2,0A 的直线l 与拋物线()2:20C y px p =>交于点M ，N （M 在第一象限），且当直线l 的倾斜角为π4时，MN =.(1)求抛物线的方程；(2)若()3,0B ，延长MB 交抛物线C 于点P ，延长PN 交x 轴于点Q ，求QNQP的值.变式16．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：()220x py p =>上的点()02,y 到其焦点F 的距离为2．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知点D 在直线l ：=3y -上，过点D 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与直线l 交于点M ，过抛物线C 的焦点F 作直线AB 的垂线交直线l 于点N ，当|MN |最小时，求AB MN的值．变式17．（2024·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知抛物线()2:20E y px p =>的焦点为F ，点F 关于直线1324y x =+的对称点恰好在y 轴上．(1)求抛物线E 的标准方程；(2)直线()(:2l y k x k =-≥与抛物线E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，若()6,0D ，求ABCD的最大值．变式18．（2024·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知椭圆与抛物线()220y px p =>有一个相同的焦点()21,0F ，椭圆的长轴长为2p ．(1)求椭圆与抛物线的方程；(2)P 为抛物线上一点，1F 为椭圆的左焦点，直线1PF 交椭圆于A ，B 两点，直线2PF 与抛物线交于P ，Q 两点，求ABPQ的最大值．题型五：长度积问题例12．（2024·山东·高三校联考阶段练习）已知抛物线2:2(0)C x py p =>，F 为C 的焦点，过点F 的直线l 与C 交于H ，I 两点，且在H ，I 两点处的切线交于点T ，当l 与y 轴垂直时，||4HI =．(1)求C 的方程；(2)证明：2||||||FI FH FT ⋅=．例13．（2024·浙江·校考模拟预测）已知抛物线：()220y px p =>，过其焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，与椭圆()22211x y a a+=>交于C 、D 两点，其中3OA OB ⋅=- ．(1)求抛物线方程；(2)是否存在直线AB ，使得CD 是FA 与FB 的等比中项，若存在，请求出AB 的方程及a ；若不存在，请说明理由．例14．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且直线1:1x yl a b+=被椭圆1C ．(1)求椭圆1C 的方程；(2)以椭圆1C 的长轴为直径作圆2C ，过直线2:4l y =上的动点M 作圆2C 的两条切线，设切点为,A B ，若直线AB 与椭圆1C 交于不同的两点C ，D ，求||||CD AB ⋅的取值范围．变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆222:1(0)8x y C a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，且当1PF x ⊥轴时，2103PF =.(1)求C 的方程；(2)设C 在点P 处的切线交x 轴于点Q ，证明：1221PF QF PF QF ⋅=⋅.变式20．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，过点()1,0P 作x 轴的垂线，与C 交于,A B 两点，且22bAB a=．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线1l 与椭圆C 交于D ，E 两点，直线2l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且12l l ⊥，1l ，2l 交于点P ，求DE MN ⋅的取值范围．变式21．（2024·湖南岳阳·高三校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点23P ⎛ ⎝⎭，左，右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，且124PF PF +=．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A 为椭圆C 的右顶点，直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆过点A ，求AM AN ⋅的最大值．变式22．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2，且经过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求椭圆C 的方程；(2)经过椭圆右焦点F 且斜率为()0k k ≠的动直线l 与椭圆交于A 、B 两点，试问x 轴上是否存在异于点F 的定点T ，使AF BT BF AT ⋅=⋅恒成立？若存在，求出T 点坐标，若不存在，说明理由．题型六：长度的范围与最值问题例15．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线21:4C y x =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为3．(1)求椭圆2C 的方程；(2)过椭圆2C 的右焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆2C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为P ，过点P 作垂直于AB 的直线交x 轴于点D ，试求||||DP AB 的取值范围．例16．（2024·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点1F ，2F ，动点P 在椭圆上，且使得1290F PF ∠=︒的点P 恰有两个，动点P 到焦点1F 的距离的最大值为2(1)求椭圆1C 的方程；(2)如图，以椭圆1C 的长轴为直径作圆2C ，过直线x =-T 作圆2C 的两条切线，设切点分别为A ，B ，若直线AB 与椭圆1C 交于不同的两点C ，D ，求弦||CD 长的取值范围．例17．（2024·陕西咸阳·校考三模）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>过双曲线C 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线l 与双曲线交于,A B 两点，且||2AB =.(1)求双曲线C 的标准方程;(2)若直线m ：1y kx =-与双曲线C 的左、右两支分别交于,P Q 两点，与双曲线的渐近线分别交于,M N 两点，求||||PQ MN 的取值范围.变式23．（2024·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左右焦点1F ，2F 分别是双曲线2214xy -=的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为5.(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且OA OB ⊥若存在，写出该圆的方程，并求AB 的取值范围，若不存在，说明理由.变式24．（2024·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为2，过左焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点（,A B不在x 轴上），2ABF △的周长为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点P 在椭圆C 上，且(OP AB O ⊥为坐标原点），求2||OP AB的取值范围.变式25．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为2，焦距为2，过E 的左焦点F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，与直线2x =-相交于点M ．(1)若()2,1M --，求证：MA BF MB AF ⋅=⋅；(2)过点F 作直线l 的垂线m 与E 相交于C 、D 两点，与直线2x =-相交于点N ．求1111MA MB NC ND+++的最大值．变式26．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆221:184x y Γ+=的两个焦点为1F ，2F ，且1F ，2F 的双曲线2Γ的顶点，双曲线2Γ的一条渐近线方程为y x =-，设P 为该双曲线2Γ上异于顶点的任意一点，直线1PF ，2PF 的斜率分别为1k ，2k ，且直线1PF 和2PF 与椭圆1Γ的交点分别为A ，B 和C ，D ．(1)求双曲线2Γ的标准方程；(2)证明：直线1PF ，2PF 的斜率之积1k ·2k 为定值；(3)求AB CD的取值范围．变式27．（2024·江苏南京·校考二模）在平面直角坐标系中，已知点P 到点F 的距离与到直线x =2．(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)过点(0,1)且斜率为122k k ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的直线l 与C 交于A ，B 两点，与x 轴交于点M ，线段AB的垂直平分线与x 轴交于点N ，求||||AB MN 的取值范围．变式28．（2024·江苏南通·统考模拟预测）已知椭圆22112x C y +=：的左、右顶点是双曲线22222100x y C a b a b -=>>：（，）的顶点，1C 的焦点到2C 的渐近线的距离为3.直线l y kx t =+：与2C 相交于A ，B 两点，3OA OB ⋅=-.(1)求证：2281k t +=(2)若直线l 与1C 相交于P ，Q 两点，求PQ 的取值范围.变式29．（2024·广东深圳·高三校联考期中）已知点(),M x y 在运动过程中，总满足关系式：4=.(1)点M 的轨迹是什么曲线？写出它的方程；(2)设圆:O 221x y +=，直线:l y kx m =+与圆O 相切且与点M 的轨迹交于不同两点,A B ，当OA OB λ=⋅ 且1,12λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，求弦长AB 的取值范围.变式30．（2024·四川遂宁·统考三模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右顶点为12,A A ，点G 是椭圆C 的上顶点，直线2A G 与圆2283x y +=相切，且椭圆C (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点Q 在椭圆C 上，过左焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点（,A B 不在x 轴上）且0,OQ AB ⋅=(O 为坐标原点)2OQ变式31．（2024·江西宜春·校联考模拟预测）已知椭圆C :()222210x y a b a b+=>>过点(，且离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()1,1P -且互相垂直的直线1l ,2l 分别交椭圆C 于M ,N 两点及,S T 两点.求PM PN PS PT的取值范围.变式32．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，动点(,)M x y 到定点F 的距离与动点(,)M x y 到定直线0:l x =的距离的比值为2，记动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的标准方程.(2)若动直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），求弦长||AB 的取值范围.变式33．（2024·湖北·校联考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点A ⎛ ⎝⎭.(1)若椭圆E 的离心率10,2e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求b 的取值范围；(2)已知椭圆E 的离心率e =M ，N 为椭圆E 上不同两点，若经过M ，N 两点的直线与圆222x y b +=相切，求线段MN 的最大值.变式34．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，点P 在椭圆E 上，212PF F F ⊥，且213PF PF =．(1)求椭圆的标准方程；(2)直线():1R l x my m =+∈与椭圆E 相交于A ，B 两点，与圆222x y +=相交于C ，D 两点，求2AB CD ⋅的取值范围．变式35．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的短轴长为4，P 为圆M ：2216x y +=上任意一点，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)记线段OP 与椭圆C 交点为Q ，求PQ 的取值范围．题型七：长度的定值问题例18．（2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习）如图，已知椭圆221:13+=x C y ，1C 的左右焦点12,F F 是双曲线2C 的左右顶点，2C 点E 在2C 上（异于12,F F 两点），过点E 和12,F F 分别作直线交椭圆1C 于,F G 和,M N 点．(1)求证：FG MN k k ⋅为定值；(2)求证：11FG MN+为定值．例19．（2024·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）椭圆22:14x y Γ+=．(1)点C 是椭圆Γ上任意一点，求点C 与点()0,2D 两点之间距离d 的最大值和最小值；(2)A 和B 分别为椭圆Γ的右顶点和上顶点．P 为椭圆Γ上第三象限点．直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求22PM PN MA NB ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．例20．（2024·吉林松原·高三前郭尔罗斯县第五中学校考期末）已知椭圆C 的右焦点与抛物线E ：28y x =的焦点F 重合，且椭圆C 的离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)过点F 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，交抛物线E 于P ，Q 两点，是否存在实数λ，使得2MN PQλ-为定值？若存在，求出这个定值和λ的值；若不存在，说明理由．变式36．（2024·河南·校联考模拟预测）已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点关于其准线的对称点为()3,0P -，椭圆C ：()222210x ya b ab+=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，且与E有一个共同的焦点，线段1PF 的中点是C 的左顶点．过点1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ．(1)求C 的方程；(2)证明：114F M AB =．变式37．（2024·天津红桥·统考一模）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，离心率12e =，长轴为4，且过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆C 交于M N 、两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若2OM ON ⋅=-，其中O 为坐标原点，求直线l 的斜率；(3)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且//MN AB ，判断2||||AB MN 是否为定值？若是定值，请求出，若不是定值，请说明理由．变式38．（2024·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线5y =与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于,P Q 两点（P 在x 轴上方），且65PQ a =，设点P 在x 轴上的射影为点N ，PQN V ，抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点与椭圆C 的焦点重合，斜率为k 的直线l 过抛物线E 的焦点与椭圆C 交于,A B 两，点，与抛物线E 交于,C D 两点.(1)求椭圆C 及抛物线E 的标准方程；(2)是否存在常数λ，使||||AB CD λ+为常数？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.变式39．（2024·河南·校联考模拟预测）已知双曲线()2222:10x y C a a a-=>的左、右焦点分别为1F ，2F .过2F 的直线l 交C 的右支于M ，N 两点，当l 垂直于x 轴时，M ，N 到C 的一条渐近线的距离之和为(1)求C 的方程；(2)证明：1122MF NF MF NF +为定值.变式40．（2024·安徽淮北·统考二模）已知抛物线1:C 22y px =(0)p >的焦点和椭圆2:C 22221x y a b+=(0)a b >>的右焦点F 重合，过点F 任意作直线l 分别交抛物线1C 于,M N ，交椭圆2C 于,P Q .当l 垂直于x 轴时4MN =，3PQ =.(1)求1C 和2C 的方程；(2)是否存在常数m ，使1m MN PQ+为定值？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.变式41．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1212,,2F F F F =，连接椭圆C 的四个顶点所成的四边形的周长为.(1)求椭圆C 的方程和离心率；(2)已知过点1F 的直线1l 与椭圆交于,P Q 两点，过点2F 且与直线1l 垂直的直线2l 与椭圆交于,M N 两点，求PQ MNPQ MN+⋅的值.变式42．（2024·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考期中）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的长轴长为4，且离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点()1,0F 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D .求证：ABDF为定值.变式43．（2024·天津河北·高三统考期末）已知椭圆2222:1x y C a b+=点(B ，且离心率e F 为椭圆C 的左焦点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点()3,T m -，过点F 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，TF l ⊥，连接OT 与PQ 交于点H .①若m =PQ ；②求PH HQ的值.变式44．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆E ：22221x y a b +=(0)a b >>．焦距为2c ，2c a =，左、右焦点分别为1F ，2F ．在椭圆E 上任取一点P ，12F PF △的周长为1)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点P 关于原点的对称点为Q ．过右焦点2F 作与直线PQ 垂直的直线交椭圆E 于A ，B 两点，求|||||AB PQ 的取值范围；(3)若过点(1,0)R -的直线10x y ++=与椭圆E 交于C ，D 两点，求11||||+RC RD 的值．变式45．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的长轴是短轴的2倍，且右焦点为F ，点B 在椭圆上，且点C 为点B 关于x 轴的对称点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点B 在第一象限且OBC △为等边三角形，求该等边三角形的边长；(3)设P 为椭圆E 上异于B ，C 的任意一点，直线,PB PC 与x 轴分别交于点M ，N ，判断OM ON ⋅是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.变式46．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线C 以20x =为渐近线，其上焦点F 坐标为()0,3.(1)求双曲线C 的方程；(2)不平行于坐标轴的直线l 过F 与双曲线C 交于,P Q 两点，PQ 的中垂线交y 轴于点T ，问TFPQ是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.变式47．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:11x y C a b a b+=>>长轴的顶点与双曲线222:14x y D b -=实轴的顶点相同，且C 的右焦点F 到D 的渐近线的距离为7．(1)求C 与D 的方程；(2)若直线l 的倾斜角是直线)2y x =的倾斜角的2倍，且l 经过点F ，l 与C 交于A 、B两点，与D 交于M 、N 两点，求ABMN．变式48．（2024·山东青岛·高三统考期末）已知椭圆()22122:10x y E a b a b+=>>的左，右顶点分别为12,A A ，上，下顶点分别为12,B B ，四边形1122A B A B 的内切圆的面积为5π6，其离心率5e =；抛物线()22:20E y px p =>的焦点与椭圆1E 的右焦点重合.斜率为k 的直线l 过抛物线2E 的焦点且与椭圆1E 交于A ，B 两点，与抛物线2E 交于C ，D 两点.(1)求椭圆1E 及抛物线2E 的方程；(2)是否存在常数λ，使得1AB CDλ+为一个与k 无关的常数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.变式49．（2024·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）如图，A ，B ，C ，D 是抛物线E ：24y x =上的四个点（A ，B 在x 轴上方，C ，D 在x 轴下方），已知直线AC 与BD 的斜率分别为3-和2，且直线AC 与BD 相交于点P ．(1)若点A 的横坐标为6，则当ADC △的面积取得最大值时，求点D 的坐标．(2)试问PA PC PB PD⋅⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。
双曲线知识点总结及练习题
双曲线知识点总结及练习题Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。
这两个定点叫双曲线的焦点。
要注意两点：（1）距离之差的绝对值。
（2）2a ＜|F 1F 2|。
当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。
2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l （准线2ca ）的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。
这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程（222a c b -=，其中|1F 2F |=2c ）焦点在x 轴上：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）焦点在y 轴上：12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）（1）如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上。
a 不一定大于b 。
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上（2）与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x （3）双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 三、双曲线的性质四、双曲线的参数方程：sec tan x a y b θθ=⋅⎛ =⋅⎝ 椭圆为cos sin x a y b θθ=⋅⎛=⋅⎝五、 弦长公式[提醒]解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的思想方法。