二次函数分类讨论习题

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二次函数求最值参数分类讨论的方法

二次函数求最值参数分类讨论的方法题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值例１、求函数2()23f x x ax =−+在[0,4]x ∈上的最值。

分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。

解：222()23()3f x x ax x a a =−+=−+− ∴此函数图像开口向上，对称轴x=a①、当a ＜0时，0距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远，∴x=0时，min y =3，x=4时，max y =19-8a②、当0≤a＜2时，a 距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远，∴x=a 时，min y =3-a2，x=4时，max y =19-8a③、当2≤a＜4时，a 距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远，∴x=a 时，min y =3-a2，x=0时，max y =3④、当4≤a 时，4距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远，∴x=4时，min y =19-8a ，x=0时，max y =3例2、已知函数2()(21)3f x ax a x =+−−在区间3[,2]2−上最大值为1,数a 的值分析:取a=0,a ≠0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分类讨论.解:1)若a=0,则f(x)=-x-3,而f(x)在3[,2]2−上取不到最大值为1,∴a ≠0 2)若a ≠0,则2()(21)3f x ax a x =+−−的对称轴为0122a x a−= (Ⅰ)若3()12f −=，解得103a =−，此时0233[,2]202x =−∈− a<0, 0()f x 为最大值，但23()120f −≠ (Ⅱ) 若(2)1f =解得34a =此时013[,2]32x =−∈− 0310,43a x =>=−距右端点2较远，(2)f 最大值符合条件(Ⅲ) 若0()1f x =解得a =当0a<时034[,2]2x =−∉−当0a <时034[,2]2x =∈−综收所述34a =或a = 评注：此类题属于“动轴定区间”型的二次函数最值，解决此类问题的关键是讨论对称轴相对于定义域区间的位置，讨论时做到不重不漏。

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（完整版）二次函数综合题分类讨论带答案.doc二次函数综合题分类讨论一、直角三角形分类讨论：11、已知点 A(1 ，0),B（ -5,0），在直线y 2 x 2 上存在点C，使得 ABC 为直角三角形，这样的 C 点你能找到个2、如图 1，已知抛物线C1：y a x 2 2 5 的顶点为 P，与 x 轴相较于 A 、 B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1.（1）求P 点坐标及a的值；（ 2）如图 1，抛物线C2与抛物线C1关于x 轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后得到抛物线C3， C,3的顶点为 M ，当点 P、 M 关于点 B 成中心对称时，求C,3的解析式；（ 3）如图 2，点 Q 是 x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q 旋转180 后得到抛物线C,4，抛物线 C,4的顶点为N，与 x 轴相交于 E、 F 两点（点 E 在点 F 的左边），当以点 P、N、 F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标。

（2013 汇编 P56+P147）3、如图，矩形A’BC’O’是矩形 OABC( 边 OA 在 x 轴正半轴上，边 OC 在 y 轴正半轴上 )绕 B 点逆时针旋转得到的．O’点在 x 轴的正半轴上， B 点的坐标为 (1，3)．(1)如果二次函数 y＝ ax2＋ bx＋c(a≠0)的图象经过 O、O’两点且图象顶点 M 的纵坐标为—1．求这个二次函数的解析式；(2) 在 (1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得POM 为直角三角形若存在，请求出P 点的坐标和POM 的面积；若不存在，请说明理由；(3)求边C’O’所在直线的解析式．练习（ 09 成都 28）已知抛物线与x 轴交于 A 、 B 两点 (点 A 在点 B 的左侧 )，与 y 轴交于点C，其顶点为 M ，若直线 MC 的函数表达式为 y=kx-3 ，与 x 轴的交点为N，且cos∠BCO ＝(3 √ (10) /10)．（ 1）求此抛物线的解析式；（ 2）在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P，使以 N 、 P、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；（ 3）过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 MC 于点 Q. 若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度5 ?4A 二、4321N2 B 2 4 6 8 10 12 14 16 18123P4M56等腰三角形分类讨论1、如图，已知 Rt Rt ABC , ACB 90 , BAC 30 , 在直线BC或直线AC上取一点P，使得 PAB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有个2 A的坐标为(12)，，点B的坐标为(31)，，二次函数 y x2、①，在平面直角坐标系中，点的图象记为抛物线l1．（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：（任写一个即可）．（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过A，B两点，记为抛物线l2，如图②，求抛物线l2 的函数表达式．（3）设抛物线l2 △△，求点 K 的坐标．的顶点为 C ， K 为 y 轴上一点．若S ABK SABC（ 4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线l 2上是否存在点P ，使△ ABP 为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．yyyl 2l 1l 2AAA1B1CBx1BO xOO 111图①图②图③解：（ 1 ）有多种答案，符合条件即可．例如yx 2 1， y x 2 x ， y( x 1)22 或y x 2 2x 3 ， y (x2 1)2 ， y (x 12) 2 ．（2）设抛物线 l 2 的函数表达式为 y x 2bxc ，yl 2Q 点 A(12)，， B(31)，在抛物线 l 2 上，KGA1 b c ，b9 ，2 29 3b c 解得111c.抛物线 l 2 的函数表达式为y x 2 9 x 11 ．2 29 x 119 27 ，9，7（3） yx 2 xC 点的坐标为．2 2 4 164 16 过 A ， B ， C 三点分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 D ，E ，F ，则 AD 2 ， CF7 ， BE1， DE5 ， FE316 2 ， DF．44 S △ ABCS 梯形ADEBS梯形 ADFCS梯形 CFEB1(2 1) 2 1 2 75 1 1 73 15 ．2 2 164 2 164 16延长 BA 交 y 轴于点 G ，设直线 AB 的函数表达式为 y mx n ，2 m ，m1 ，Q 点 A(12)，， B(31)，在直线 AB 上， n21 3m 解得5n.n.2直线 AB 的函数表达式为 y1x 5 G 点的坐标为52 ．0，．22BCO D F E图②设 K 点坐标为(0，h)，分两种情况：若 K 点位于 G 点的上方，则KG h 5 ．连结AK ，BK ．2S△ABK S△BKG S△AKG 1 3 h 5 1 1 h 5 h 5 ．2 2 2 2 2Q S△ABK15 5 15，解得 h55K 点的坐标为55 S△ABC ，h16 16．0，．16 2 16若 K 点位于 G 点的下方，则KG 5h ．同理可得， h25．2 16 yK 点的坐标为25．l 2 0，16 A（4）作图痕迹如图③所示． B由图③可知，点P 共有3个可能的位置．O图③2、如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，y点 A 、 C 的坐标分别为A(10 ， 0)、 C（ 0,4），点 D 是 OA 的中点，点 P 在PCBC 边上运动，当是腰长为 5 的等腰三角形时，点P 的坐标为O D 3、在菱形 ABCD 中，对角线AC ， BD 相交于点 O，以 O 为坐标原点，以 BD 所在直线为 x 轴， CA 所在直线为 y 轴建立如图所示的坐标系，且AC=12 ，BD=16 ，E 为 AD 的中点，点 P 在线段 BD 上移动，若为等腰三角形，则所有符合条件的点P 的坐标为三、最值问题 B类型一：两点之间线段最短 C 1、请写出2m 3 2 1 8 2m 2 4 的最小值为 A2、如图，四边形ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，对角线BD 上60 ，得到BN，连EN任一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转EN、 AM 、CM ，求证：（ 1）AMB ENB ，(2)M点在何处时，AM+CM值最小，（3）AM+BM+CN 最小值为3 1 时，求正方形的边长（2012 汇编P52+P137） B xBxAyAExDDMC3、（ 2010 年天津 25）在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A 、B 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，OA=3 ，OB=4 ，D 为边 OB 的中点。

二次函数基础分类练习题含答案

二次函数基础分类练习题含答案二次函数基础分类练习题含答案二次函数基础分类练习题(含答案)练一二次函数y=y=x2-x(1+x)；③y=x2(x2+x)-4；④y=1+x；x2，b⑤y=x(1-x)，其中是二次函数的是，其中a==，c=3、当m时，函数y5、当m=(m-2)x2+3x-5（m为常数）是关于x的二次函数=____时，函数y时，函数y=(m2+m)xm=(m-4)xm22-2m-1是关于x的二次函数=____-5m+6+3x是关于x的二次函数6、若点a(2,2m)在函数y=x-1的图像上，则a点的座标就是＿＿＿＿.10、已知二次函数y=ax2+c(a≠0),当x=1时，y=-1；当x=2时，y=2，求该函数解析式.练五y=a(x-h)+k的图象与性质21、请写出一个二次函数以（2,3）为顶点，且开口向上.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.2、二次函数y＝(x－1)2＋2，当x＝＿＿＿＿时，y存有最小值.3、函数y＝(x－1)2＋3，当x＿＿＿＿时，函数值y随x的增大而增大.17、未知函数y=-3(x-2)+9.2（1）确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当x=时，抛物线存有最值，就是.（3）当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小.2、抛物线y=ax2+bx+c的图象和性质y=x2+4x+9的对称轴就是.y=2x2-12x+25的开口方向就是3、先行写下一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2，且与y轴的交点座标为（0，3）的抛物线的解析式.4、将y＝x2－2x＋3化成y＝a(x－h)2＋k的形式，则y＝＿＿＿＿.5、把二次函数y=-125x-3x-的图象向上位移3个单位，再向右位移4个单位，则两次位移后22的函数图象的关系式是7、函数y=x2-6x-16与x轴交点的座标为_________；y=-2x2+x存有最____值，最值_______；1、函数yy=ax2+bx+c的性质=x2+px+q的图象是以(3,2)为顶点的一条抛物线，这个二次函数的表达式为=mx2+2x+m-4m2的图象经过原点，则此抛物线的顶点座标就是=ax2+bx+c与y轴交于点a2、二次函数y3、如果抛物线y(0,2)，它的对称轴是x=-1，那么ac=b4、抛物线y=x2+bx+c与x轴的也已半轴处设点a、b两点，与y轴处设点c，且线段ab的短为1，△abc的面积为1，则b的值______.5、已知二次函数10、函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a___0，b___0，c___0，b2-4ac____0；y=ax2+bx+c的图象例如图，则直线y=ax+bc的图象不经过第象y=ax+b与y=ax2+bx+c的图象如图所示，则以下选项中恰当的就是（）0,c>0b、ab00,cc、ab>11、已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y=ax+b的图象就是（）练习八二次函数解析式1、抛物线y=ax2+bx+c经过a(-1,0),b(3,0),c(0,1)三点，则a=,b=,c=2、把抛物线y=x2+2x-3向左位移3个单位，然后向上位移2个单位，则税金的抛物线的解析式为.1、二次函数有最小值为-1、未知二次函数1，当x=0时，y=1，它的图象的对称轴为x=1，则函数的关系式y=kx2-7x-7与x轴存有交点，则k的值域范围就是.22、关于x的一元二次方程x3、抛物线2-x-n=0没实数根，则抛物线y=x-x-n的顶点在第_____象限；y=-x2+2kx+2与x轴交点的个数为（）a、0b、1c、2d、以上都不对5、y=ax2+bx+c对于x的任何值都恒为负值的条件就是（）>0,∆>0b、a>0,∆0d、a4a、0b、-1c、2d、6、若方程ax2+bx+c=0的两个根就是－3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴就是直线（）a、x＝－3b、x＝－2c、x＝－1d、x＝11．方程x2-2mx+9=0存有两个成正比的实数根，则m=________；2．设124，且m≠2，方程(m-2)x-(2m-1)x+m=0的根的情况是3．如果方程x2+2x=m-1没实数根，则关于x的方程x2+mx+2m-1=0的根的情况就是；2x+3x-k=0没有实数根，则k的最大整数值是；4．若方程2xxx-5x+6=0的两个根，那么x1⋅x2＝；125．如果、就是方程22xxxx⋅x2x(a-1)x+x+a-1=0的两个实数根，x126．已知、是关于的方程且1＋2＝3，则17．未知一元二次方程x8．一元二次方程x9．如果22-3x-1=0的两个根就是x1，x2，则x1+x2=，-ax-3a=0的两根之和为2a-1，则两根之四维_________；x1，x2就是方程x2-5x+6=0的两个根，那么x1⋅x2＝；m,n是方程x2+2021x-1=0的两个实数根，则m2n+mn2-mn的值是10．若1．函数12x-3的自变量x的值域范围就是；2．函数xx-1中自变量x的取值范围是；3．点a（–3，4）和点b（3，4）的关于___________轴对称；3m-22m+1,3-2）在第三象限，则m的取值范围是_____________；4．若点（5．在第一象限至x轴距离为4，至6．若点m(1–x，x+2)在第二象限内，则x的取值范围为；7．如果点p1(-1，3)和p2(1，b)关于y轴距离为7的点的座标就是______________；y轴对称，则b=；222m+4m+m+6)在第一象限的角平分线上，则m=；8．已知点q(，9．点q(3–a，5–a)在第二象限，则a2-4a+4+a2-10a+25=；10．无论x为何实数值，点p(x+1，x–1)都不在第象限；11．未知点p(2a–8，2–a)就是第三象限的整点，则p点的座标就是；12．已知a13．函数y=2-x中，自变量x的值域范围；1-x的值是；y轴的距离为；至原点的距离为；14．未知x=2，函数15．点a（－5，3）至x轴的距离为；至16．点nm2+3m,-m-3()的横纵坐标互为相反数，则m=_____；y=-1、函数x2y=2和函数xx的图象有个交点；2、反比例函数3的图象经过（－2，5）点、（a,-3）及（10,b）点，则k＝，a＝，3ky=(2k-1)x3、若反比例函数2-2k-1的图象经过二、四象限，则k=_______4、未知y-2与x成反比例，当x=3时，y=1，则y与x间的函数关系式为；5、已知正比例函数y=kx与反比例函数y=3x的图象都过a（m，1），则m＝，正比例函数与反比例函数的解析式分别是、；。

(完整版)二次函数综合题型分类训练

专题一二次函数之面积、周长最值问题y- 1 x2bx c1、如图，抛物线2与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OA=2 ，OC=3 ． (1)求抛物线的剖析式。

(2)假设点 D(2 ， 2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，可否存在一点 P，使得△ BDP 的周长最小，假设存在，央求出点P的坐标，假设不存在，请说明原由．22、如图，抛物线y= － x +bx+c 与素来线订交于 A 〔－ 1，（1〕抛物线及直线 AC 的函数关系式；（2〕设点 M 在对称轴上一点，求使 MN+MD 的值最小时的 M的坐标；〔3〕假设 P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△ APC 的面积的最大值．3、如图，抛物线 y=ax 2+bx﹣ 2〔 a≠ 0〕与 x 轴交于 A 、B两点，与 y 轴交于 C 点，直线 BD 交抛物线于点 D，并且 D〔 2，3〕， tan∠ DBA= 1 2．（1〕求抛物线的剖析式；（2〕点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，按次连接点B 、M 、C、 A ，求四边形 BMCA 面积的最大值；4、如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是〔 4，0〕，并且 OA=OC=4OB ，动点 P 在过 A ，B ，C 三点的抛物线上．（1〕求抛物线的剖析式；（2〕可否存在点 P，使得△ ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？假设存在，求出所有吻合条件的点 P 的坐标；假设不存在，说明原由；（3〕过动点 P 作 PE 垂直于 y 轴于点 E，交直线 AC 于点 D，过点 D 作 y 轴的垂线．垂足为 F，连接 EF，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标．y-1x2bx c5、如图 12，二次函数2的图象与 x 轴的正半轴订交于点 A 、 B，与 y 轴订交于点C，且 OC2=OA · OB ．(1)求 c 的值；(2)假设△ ABC 的面积为3，求该二次函数的剖析式；(3)设 D 是 (2)中所确定的二次函数图象的极点，试问在直线 AC 上可否存在一点P 使△ PBD 的周长最小 ?假设存在，求出点P 的坐标；假设不存在，请说明原由．6、如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为〔－ 2， 0〕，连接 OA ，将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 120°，获取线段 OB.（1〕求点 B 的坐标；（2〕求经过 A 、 O、B 三点的抛物线的剖析式；〔 3〕在〔 2〕中抛物线的对称轴上可否存在点C，使△ BOC的周长最小？假设存在，求出点 C 的坐标；假设不存在，请说明原由.〔 4〕若是点P 是〔 2〕中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB面积？假设有，求出此时P 点的坐标及△ PAB 的最大面积；假设没有，请说明原由.可否有最大专题二二次函数之等腰三角形问题1、如图，抛物线 y=ax2-5ax+4 经过 ABC △的三个极点， BC∥ x 轴，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，且 AC=BC ．〔 1〕求抛物线的对称轴；（2〕写出 A 、B 、 C 三点的坐标并求抛物线的剖析式；（3〕研究：假设点 P 是抛物线对称轴上且在 x 轴下方的动点，可否存在 PAB 是等腰三角形．假设存在，求出所有吻合条件的点P 坐标；不存在，请说明原由．2、如图，抛物线与x 轴交于A〔 -1，0〕，B〔 3，0〕两点，与y 轴交于点C〔 0，3〕．〔 1〕求抛物线的剖析式；〔 2〕设抛物线的极点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上可否存在点P，使得△ PDC是等腰三角形？假设存在，求出吻合条件的点P 的坐标；假设不存在，请说明原由；M 〔 3〕点 M 是抛物线上一点，以 B ，C， D， M 为极点的四边形是直角梯形，试求出点的坐标．3、在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x 2﹣〔 m+n〕x+mn〔 m＞ n〕与 x 轴订交于 A 、B两点〔点 A 位于点 B 的右侧〕，与 y 轴订交于点 C．（1〕假设 m=2， n=1，求 A 、 B 两点的坐标；（2〕假设 A、 B 两点分别位于 y 轴的两侧， C 点坐标是〔 0，﹣ 1〕，求∠ ACB 的大小；〔3〕假设 m=2，△ ABC 是等腰三角形，求n 的值．4、如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与 x 轴的一个交点为A〔 3，0〕，与 y 轴的交点为 B〔 0，3〕，其极点为 C，对称轴为 x=1 ．〔 1〕求抛物线的剖析式；（2〕点 M 为 y 轴上的一个动点，当△ ABM 为等腰三角形时，求点M 的坐标；（3〕将△ AOB 沿 x 轴向右平移 m 个单位长度〔 0＜ m＜ 3〕获取另一个三角形，将所得的三角形与△ABC 重叠局部的面积记为S，用 m 的代数式表示S．5、如图，抛物线经过 A 〔 1，0〕， B〔 0，3〕两点，对称轴是x= ﹣1．（1〕求抛物线对应的函数关系式；（2〕动点 Q 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度在线段 OA 上运动，同时动点 M 从 M 从 O 点出发以每秒 3 个单位长度的速度在线段 OB 上运动，过点 Q 作 x 轴的垂线交线段 AB 于点 N，交抛物线于点 P，设运动的时间为 t 秒．①当 t 为何值时，四边形 OMPQ 为矩形；②△ AON 可否为等腰三角形？假设能，求出t 的值；假设不能够，请说明原由．6、如图，抛物线y= ﹣14 x2+bx+4 与 x 轴订交于 A 、B 两点，与 y 轴订交于点C，假设 A 点的坐标为A〔﹣2， 0〕．（1〕求抛物线的剖析式及它的对称轴方程；（2〕求点 C 的坐标，连接 AC 、BC 并求线段 BC 所在直线的剖析式；（3〕试判断△ AOC 与△ COB 可否相似？并说明原由；〔4〕在抛物线的对称轴上可否存在点 Q，使△ ACQ 为等腰三角形？假设不存在，求出吻合条件的 Q 点坐标；假设不存在，请说明原由．7、 Rt△ ABC 的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系内，使其斜边AB 与 x 轴重合〔其中OA ＜ OB〕，直角极点在y 轴正半轴上。

二次函数中分类讨论思想

二次函数中的分类讨论思想一、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1. 轴定区间定例1. （2008年陕西卷）22．本小题满分14分）设函数3222()1,()21,f x x ax a x g x ax x =+-+=-+其中实数0a ≠．（Ⅰ）若0a >，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点且()g x 存在最小值时，记()g x 的最小值为()h a ，求()h a 的值域；（Ⅲ）若()f x 与()g x 在区间(,2)a a +内均为增函数，求a 的取值范围．2. 轴定区间动例2. （全国卷）设a 为实数，函数2()||1,,f x x x a a R =+-+∈，求f(x)的最小值。

3. 轴动区间定评注：已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，按对称轴与定义域区间的位置关系，由数形结合可得()f x 在[,]m n 上的最大值或最小值。

例3．求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。

4. 轴变区间变例4. 已知24()(0),y a x a a =->，求22(3)u x y =-+的最小值。

（二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值。

例5. 已知函数2()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。

例6. 已知函数2()2x f x x =-+在区间[,]m n 上的值域是[3,3]m n ，求m ，n 的值。

练习：1、（2008江西卷21）．已知函数4322411()(0)43f x x ax a x a a =+-+> （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）若函数()y f x =的图像与直线1y =恰有两个交点，求a 的取值范围．2、已知二次函数2()(21)1f x ax a x =+-+在区间3[,2]2-上的最大值为3，求实数a 的值。

中考二次函数分类讨论存在性问题---菱形

1．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）根据图象，直接写出不等式x2+bx+c＞0的解集：x＜1或x＞3（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为：（2，﹣1）【分析】（1）根据抛物线对称轴的定义易求A（1，0），B（3，0）．代入抛物线的解析式列方程组，解出即可求b、c的值；（2）由图象得：即y＞0时，x＜1或x＞3；（3）如图，点D是抛物线的顶点，所以根据抛物线解析式利用顶点坐标公式即可求得点D的坐标．【解答】解：（1）如图，∵AB＝2，对称轴为直线x＝2．∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．把A、B两点的坐标代入得：，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）由图象得：不等式x2+bx+c＞0，即y＞0时，x＜1或x＞3；故答案为：x＜1或x＞3；（3）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点坐标为（2，﹣1），当E、D点在x轴的上方，即DE∥AB，AE＝AB＝BD＝DE＝2，此时不合题意，如图，根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D 是抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点坐标，即（2，﹣1），故答案是：（2，﹣1）．【点评】本题考查了二次函数综合题．解题过程中用到的知识点有：待定系数法求二次函数的解析式，菱形的性质．解（1）题时，把点A、B的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组来求它们的值，解（2）时运用数形结合的思想是关键，解（3）时，正确画图是关键．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝﹣x+6．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为线段BC上方抛物线上的任意一点，连接MB，MC，点N为抛物线对称轴上任意一点，当M到直线BC的距离最大时，求点M的坐标及MN+NB 的最小值；（3）在（2）中，点M到直线BC的距离最大时，连接OM交BC于点E，将原抛物线沿射线OM平移，平移后的抛物线记为y′，当y′经过点M时，它的对称轴与x轴的交点记为H．将△BOE绕点B逆时针旋转60°至△BO1E1，再将△BO1E1沿着直线O1H平移，得到△B1O2E2，在平面内是否存在点F，使以点C，H，B1，F为顶点的四边形是以B1H为边的菱形．若存在，直接写出点B1的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）直线BC的解析式为y＝﹣x+6，则B（6，0）、C（0，6），把B、C坐标代入二次函数表达式，解得：y＝﹣x2+2x+6；（2）设M横坐标为t，则M到直线BC的距离为d＝＝（﹣t2+3t）；点B关于对称轴的对称点为A，则AM为MN+NB的最小值，即可求解；（3）OM所在直线方程为：y＝x，当抛物线沿OM直线平移时，设顶点向右平移2m，则向上平移了5m，新顶点坐标为（2+2m，8+5m），则y′＝﹣（x﹣2﹣2m）2+（8+5m），把点M（3，）代入上式，解得：m＝，则H （9，0）．①假设：平行四边形处于CF′HB′1位置时，该四边形为菱形，则B′1的y坐标为6，则其x坐标为9+2，而B′1C＝9+2，B′1H＝4，即：B′1C≠B′1H，CF′HB′1不是菱形；②假设：平行四边形处于CHB1F位置时，该四边形为菱形，则B1的横坐标为2OH＝18．【解答】解：（1）直线BC的解析式为y＝﹣x+6，则B（6，0）、C（0，6），把点B、C坐标代入二次函数表达式，解得：y＝﹣x2+2x+6，此时，顶点坐标为（2，8），A（﹣2，0）；（2）设M横坐标为t，则M到直线BC的距离为d＝＝（﹣t2+3t），∴当t＝3时，d最大，则M（3，），点B关于对称轴的对称点为A，则AM为MN+NB的最小值，AM＝＝；∴点M的坐标及MN+NB的最小值分别为：（3，），；（3）OM所在直线方程为：y＝x，当抛物线沿OM直线平移时，设顶点向右平移2m，则向上平移了5m，新顶点坐标为（2+2m，8+5m），则y′＝﹣（x﹣2﹣2m）2+（8+5m），把点M（3，）代入上式，解得：m＝，（m＝0舍去），则H（9，0），△BOE绕点B逆时针旋转60°至△BO1E1，此时，直线BO1的k值为，再将△BO1E1沿着直线O1H平移，得到△B1O2E2，直线B1H的k也为，则B1H所在的直线方程为：y＝x﹣9，①假设：平行四边形处于CF′HB′1位置时，该四边形为菱形，则B′1的y坐标为6，则其x坐标为9+2，而B′1C＝9+2，B′1H＝4，即：B′1C≠B′1H，CF′HB′1不是菱形；②假设：平行四边形处于CHB1F位置时，该四边形为菱形，则B1的横坐标为2OH＝18．故：存在，此时，点B1的横坐标为18．【点评】本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．3．如图，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于两点B、C（点B在点C的左边），点A与点E关于抛物线的对称轴对称，点B、E在直线y＝kx+b（k，b为常数）上．（1）求k，b的值；（2）点P为直线AE上方抛物线上的任意一点，过点P作AE的垂线交AE于点F，点G为y轴上任意一点，当△PBE的面积最大时，求PF+FG+OG的最小值；（3）在（2）中，当PF+FG+OG取得最小值时，将△AFG绕点A按顺时方向旋转30°后得到△AF1G1，过点G1作AE的垂线与AE交于点M．点D向上平移个单位长度后能与点N重合，点Q为直线DN上任意一点，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使以S、Q、M、N为顶点且MN为边的四边形为菱形？若存在，直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意得：A（0，4）、B（﹣2，0）、D（3，）、C（8，0）、E（6，4），则：过BE的直线为：y＝x+1；（2）设：P横坐标为m，则P（m，﹣m2++4），H（m，m+1），则：PH＝﹣m2++4﹣（m+1）＝﹣（x﹣2）2+4，当x＝2时，PH取得最大值，此时△PEB的面积也取得最大值；构造与y轴夹角为45度的直线OR，如图所示，过点G作OR的垂线交OR于点R，则：RG＝，则：PF+FG+OG＝PF+FG+GR，当F、G、R三点共线时，FG+GR有最小值，即可求解；（3）存在．当四边形为菱形，分在MNQ1S1的位置时、在MNQ2S2的位置时、在MNQ3S3的位置时三种情况分别求解．【解答】解：（1）由题意得：A（0，4）、B（﹣2，0）、D（3，）、C（8，0）、E（6，4），则：过BE的直线为：y＝x+1；（2）延长PF交BE于点H，设：P横坐标为m，则P（m，﹣m2++4），H（m，m+1），则：PH＝﹣m2++4﹣（m+1）＝﹣（x﹣2）2+4，当x＝2时，PH取得最大值，此时△PEB的面积也取得最大值，此时，P（2，6）、F（2，4），PF＝2，构造与y轴夹角为45度的直线OR，如图所示，过点G作OR的垂线交OR于点R，则：RG＝，∴PF+FG+OG＝PF+FG+GR，当F、G、R三点共线时，FG+GR有最小值，在Rt△AGF中，AF＝AG＝2，则：GF＝2，在Rt△ROG中，RO＝RG，OG＝2，则：RG＝，FG+GR＝2+＝3，故：PF+FG+OG的最小值2+3；（3）存在．如图所示：△AFG绕点A按顺时方向旋转30°后得到△AF1G1，在Rt△G1AM中，AG1＝2，∠AG1M＝30°，则：AM＝1，∴M（﹣1，4），点D向上平移个单位长度后能与点N重合，则：N（3，7），则：MN＝＝5，当四边形为菱形，在MNQ1S1的位置时，MS1＝MN＝5，则点S1（﹣1，﹣1），当四边形为菱形，在MNQ2S2的位置时，MS2＝MN＝5，则点S2（﹣1，9），当四边形为菱形，在MNQ3S3的位置时，点S3与点M关于对称轴对称，则点S3（7，4），故：所求点S的坐标为：（﹣1，﹣1），（﹣1，9），（7，4）．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来求解．4．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y＝x2+bx+c经过B点，且顶点在直线x＝上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由．（3）在（2）的条件下，若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为s，求s与t之间的函数关系式，写出自变量t的取值范围，并求s取大值时，点M的坐标．【分析】（1）已知抛物线上A、B点的坐标以及抛物线的对称轴方程，可用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出AB的长，将A、B的坐标向右平移AB个单位，即可得出C、D 的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可；（3）根据C、D的坐标，易求得直线CD的解析式；那么线段MN的长实际是直线CD与抛物线的函数值的差，可将x＝t代入两个函数的解析式中，得出的两函数值的差即为s的表达式，由此可求出s、t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出m取最大值时，点M的坐标．【解答】解：（1）∵y＝x2+bx+c的顶点在直线x＝上，∴可设所求抛物线对应的函数关系式为y＝（x﹣）2+m，∵点B（0，4）在此抛物线上，∴4＝（0﹣）2+m，∴m＝﹣，∴所求函数关系式为：y＝（x﹣）2﹣＝x2﹣x+4；（2）在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5．∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝DA＝AB＝5，∵A、B两点的坐标分别为（﹣3，0））、（0，4），∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）；当x＝5时，y＝×52﹣×5+4＝4，当x＝2时，y＝×22﹣×2+4＝0，∴点C和点D在所求抛物线上；（3）设直线CD对应的函数关系式为y＝kx+n，则，解得：；∴y＝x﹣．∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，∴N点的横坐标也为t；则y M＝t2﹣t+4，y N＝t﹣，∴s＝y N﹣y M＝（t﹣）﹣（t2﹣t+4）＝﹣（t﹣）2+，∵﹣＜0，＝，此时y M＝×（）2﹣×+4＝．∴当t＝时，s最大此时点M的坐标为（，）．【点评】此题是二次函数综合题，其中涉及到待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，图象的平移变换，二次函数最值的求法等知识，难度适中．应用方程思想与数形结合是解题的关键．5．如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点C坐标为（0．﹣6），连接BC，点C关于x轴的对称点D，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l 交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求二次函数解析式；（2）点P在x轴上运动，若﹣6≤m≤2时，求线段MQ长度的最大值．（3）点P在x轴上运动时，N为平面内一点，使得点B、C、M、N为顶点的四边形为菱形？如果存在，请直接写出点N坐标；不存在，说明理由．【分析】（1）把A点坐标为（﹣3，0）、点C坐标为（0，﹣6）代入二次函数表达式，解得：a＝1，c＝﹣6，故：二次函数解析式为y＝x2+x﹣6；（2）点C关于x轴的对称点D（0，6），MQ＝y M﹣y Q＝﹣3m+6﹣（m2+m﹣6）＝﹣（m+2）2+16，即可求解；（3）①当BC边为菱形的边时，N点应该在x轴，关于B点对称，即点N坐标为（﹣2，0）；②当BC边为菱形的对角线时，作BC的垂直平分线MH，直线BD与直线MH交点即为M坐标为，即可求解．【解答】解：（1）把A点坐标为（﹣3，0）、点C坐标为（0，﹣6）代入二次函数表达式，解得：a＝1，c＝﹣6，故：二次函数解析式为y＝x2+x﹣6；（2）点C关于x轴的对称点D（0，6），点B、D坐标所在的直线方程为：y＝﹣3x+6，则：点M坐标为（m，﹣3m+6），点Q为（m，m2+m﹣6），∴MQ＝y M﹣y Q＝﹣3m+6﹣（m2+m﹣6）＝﹣（m+2）2+16，在﹣6≤m≤2时，函数顶点处，取得最大值，即MQ的最大值为16；（3）①当BC边为菱形的边时，情况一：N点应该在x轴，关于B点对称，即点N坐标为（﹣2，0），情况二：BC、MB是菱形两条邻边，且BC＝BM，则点N坐标为（2，﹣12），情况三：BC、CM为邻边时，则点N坐标为（7.2﹣3.6）；②当BC边为菱形的对角线时，作BC的垂直平分线MH，则直线DB与MH的交点为M，M关于BC的对称点为N，H为BC的中点，∴H坐标为（1，﹣3），直线BD的方程为：y＝﹣3x+6，直线MH的方程为：y＝﹣x﹣，联立以上两个方程，解得：M坐标为（，﹣），同理得N坐标为（﹣，﹣），故：N坐标为（﹣，﹣）或（﹣2，0）或（7.2﹣3.6）或（2，﹣12）；．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．6．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0），B（1，0），C（0，3），点P在抛物线y＝ax2+bx+c上，且在x轴的上方，点P的横坐标记为t．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点P作y轴的平行线交直线AC于点M，交x轴于点N，若MC 平分∠PMO，求t的值；（3）点D在直线AC上，点E在y轴上，且位于点C的上方，那么在抛物线上是否存在点P，使得以点C，D，E，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的面积；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+4）（x﹣1），把（0，3）代入得到a＝﹣；（2）由题意直线AC的解析式为y＝x+3，因为P的横坐标为t，所以M（t，t+3），根据OM＝OC＝3，可得t2+（t+3）2＝9，解方程即可解决问题；（3）分两种情形①当CE为对角线时，四边形CPED为菱形，如图3，则点P 和D关于y轴对称；②当CE为菱形的边时，四边形CEPD为菱形，如图4，则PD∥y轴，CD＝PD，分别构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图1，设抛物线的解析式为y＝a（x+4）（x﹣1），把（0，3）代入得到a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+4）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣x+3．（2）如图2中，∵A（﹣4，0），C（0，3），∴直线AC的解析式为y＝x+3，∵P的横坐标为t，∴M（t，t+3），∵CM平分∠PMO，∴∠CMO＝∠CMP，∵PM∥OC，∴∠CMP＝∠MCO，∴∠CMO＝∠MCO，∴OM＝OC＝3，∴t2+（t+3）2＝9，解得t＝﹣或0（舍弃）．∴t的值为﹣．（3）设P（t，﹣t2﹣t+3），①当CE为对角线时，四边形CPED为菱形，如图3，则点P和D关于y轴对称，∴D（﹣t，﹣t2﹣t+3），把D（﹣t，﹣t2﹣t+3）代入y＝x+3得﹣t+3＝﹣t2﹣t+3，解得t1＝0（舍去），t2＝﹣2，此时PD＝4，CE＝3，此时，菱形的面积＝PD•CE＝6；②当CE为菱形的边时，四边形CEPD为菱形，如图4，则PD∥y轴，CD＝PD，∴D（t，t+3），∴PD＝﹣t2﹣t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，而CD2＝t2+（t+3﹣3）2＝t2，即CD＝﹣t，∴﹣t2﹣3t＝﹣t，解得t1＝0（舍去），t2＝﹣，∴PD＝，此时菱形的面积＝×＝．综上所述，菱形的面积是6或．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会运用分类讨论的思想解决数学问题．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+过点A（1，0），B（5，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离．如：点O到二次函数图象的垂直距离是线段OC的长．已知点E为抛物线对称轴上的一点，且在x轴上方，点F为平面内一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点F到二次函数图象的垂直距离．（3）在（2）中，当点F到二次函数图象的垂直距离最小时，在以A，B，E，F 为顶点的菱形内部是否存在点Q，使得AQ，BQ，FQ之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A，B两点代入可求解析式．（2）分类讨论，以AB为边的菱形和以AB为对角线的菱形，抓住菱形边长为4和E的横坐标为3，可解F点坐标，即可求点F到二次函数图象的垂直距离．（3）构造三角形，根据两点之间线段最短，可得最短距离为AN，根据勾股定理求AN．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+过点A（1，0），B（5，0），∴0＝a+b+0＝25a+5b+∴a＝，b＝﹣3∴解析式y＝x2﹣3x+（2）当y＝0，则0＝x2﹣3x+∴x1＝5，x2＝1∴A（1，0），B（5，0）∴对称轴直线x＝3，顶点坐标（3，﹣2），AB＝4∵抛物线与y轴相交于点C．∴C（0，）如图1①如AB为菱形的边，则EF∥AB，EF＝AB＝4，且E的横坐标为3∴F的横坐标为7或﹣1∵AE＝AB＝4，AM＝2，EM⊥AB∴EM＝2∴F（7，2），或（﹣1，2）∴当x＝7，y＝×49﹣7×3+＝6∴点F到二次函数图象的垂直距离6﹣2②如AB为对角线，如图2∵AEBF是菱形，AF＝BF＝4∴AB⊥EF，EM＝MF＝2∴F（3，﹣2）∴点F到二次函数图象的垂直距离﹣2+2（3）当F（3，﹣2）时，点F到二次函数图象的垂直距离最小如图3，以BQ为边作等边三角形BQD，将△BQF绕B逆时针旋转60°到△BDN 位置，连接AN，作PN⊥AB于P∵等边三角形BQD∴QD＝QB＝BD，∵将△BQF绕B逆时针旋转60°到△BDN位置∴NB＝BF＝4，∠FBN＝60°，DN＝FQ∵AQ+BQ+FQ＝AQ+QD+DN∴当AQ，QD，DN共线时AQ+BQ+FQ的和最短，即最短值为AN的长．∵AF＝BF＝4＝AB，∴∠ABF＝60°∴∠NBP＝60°且BN＝4，∴BP＝2，PN＝2∴AP＝6在Rt△ANP中，AN＝＝4∴AQ+BQ+FQ的和最短值为4．【点评】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法，菱形的性质，勾股定理等有关知识，关键是构造三角形转化BQ，和BQ的长．。

专题07 二次函数中基于对称轴进行分类讨论及求解函数最值题型(原卷版)

专题07 二次函数中基于对称轴进行分类讨论及求解函数最值题型 ·. 二次函数222424b ac b y ax bx c a x a a -⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭的最值问题为：（1）当a >0时，当x =2b a-时有最小值，最小值为：244ac b a -；（2）当a <0时，当x =2b a-时有最大值，最大值为：244ac b a -. ·. 当二次函数的自变量取值范围不是全体实数时，需要考虑取值范围与对称轴的关系，再进行求解. 题型一、二次函数函数值的取值范围与一元二次方程的解的关系1.（2019·山东潍坊中考）抛物线y ＝x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝1．若关于x 的一元二次方程x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有实数根，则t 的取值范围是（） A ．2≤t ＜11B ．t ≥2C ．6＜t ＜11D ．2≤t ＜6 二、二次函数对称轴位置不同产生的不同最值问题2. （2019·浙江台州中考）已知函数y ＝x 2+bx +c （b ，c 为常数）的图象经过点（﹣2，4）．（1）求b ，c 满足的关系式；（2）设该函数图象的顶点坐标是（m ，n ），当b 的值变化时，求n 关于m 的函数解析式；（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x ≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b 的值．题型三、二次函数增减性与对称轴的关系3. （2019·山东临沂中考）在平面直角坐标系中，直线y =x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2(0)y ax bx c a ＜经过点A 、B .（1）求a 、b 满足的关系式及c 的值.（2）当x <0时，若2(0)yax bx c a ＜的函数值随x 的增大而增大，求a 的取值范围. （3）如图，当1a 时，在抛物线上是否存在点P ，使△PAB 的面积为1，若存在，请求出符合条件的所有点P 的坐标，若不存在，请说明理由.题型四、二次函数图象与直线公共点个数的判别4. （2019·北京中考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线21y ax bxa与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P 11,2a，Q(2,2)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．5. （2019·湖北仙桃中考）在平面直角坐标系中，已知抛物线C ：y =ax 2+2x －1(a ≠0)和直线l ：y =kx +b ，点A (－3，－3)，B (1，－1)均在直线l 上．(1)若抛物线C 与直线l 有交点，求a 的取值范围；(2)当a =－1，二次函数y =ax 2+2x －1的自变量x 满足m ≤x ≤m +2时，函数y 的最大值为－4，求m 的值；(3)若抛物线C 与线段．．AB 有两个不同的交点，请直接写出a 的取值范围．题型五、一些综合题型（含参数的二次函数等）6. （2019·广东广州中考）已知抛物线G ：32y 2--=mx mx 有最低点.（1）求二次函数32y 2--=mx mx 的最小值（用含m 的式子表示）；（2）将抛物线G 向右平移m 个单位得到抛物线G 1。

初三数学二次函数分类题型及解析[整理版]-12页文档资料

初三数学二次函数分类题型及解析一．解答题（共10小题）1．如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．3．如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB对应的函数解析式．4．如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E（1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．5．已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C（0，﹣6），与x轴的一个交点坐标是A（﹣2，0）．（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，当 y＜0时，求x的取值范围．6．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？7．某果园有100颗橙子树，平均每颗树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？8．2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x ≤30）；（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？9．草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y 与x的函数关系图象．（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．10．襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y（万件）关于售价x（元/件）的函数解析式为：y=．（1）若企业销售该产品获得的年利润为W（万元），请直接写出年利润W（万元）关于售价x（元/件）的函数解析式；（2）当该产品的售价x（元/件）为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？（3）若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x（元/件）的取值范围．2016年12月09日天津优胜教育二次函数组卷参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2016•宁波）如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．【解答】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，解得：m=2，∴y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，∴顶点坐标为：（1，4）．（2）连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA+PC 的值最小，设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，∵点C （0，3），点B （3，0），解得：， ∴直线BC 的解析式为：y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴当PA+PC 的值最小时，点P 的坐标为：（1，2）．2．（2016•菏泽）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+2过B （﹣2，6），C （2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D ，求△BCD 的面积；（3）若直线y=﹣x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC （包括端点B 、C ）部分有两个交点，求b 的取值范围．【解答】解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y=x 2﹣x+2．（2）∵y=x 2﹣x+2=（x ﹣1）2+．∴顶点坐标（1，），∵直线BC 为y=﹣x+4，∴对称轴与BC 的交点H （1，3），∴S △BDC =S △BDH +S △DHC =•3+•1=3．（3）由消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0，当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0，∴b=，当直线y=﹣x+b经过点C时，b=3，当直线y=﹣x+b经过点B时，b=5，∵直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，∴＜b≤3．3．（2016•淄博）如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB对应的函数解析式．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，∴△=4a2﹣4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1，∴抛物线解析式为y=x2+2x+1；（2）∵y=（x+1）2，∴顶点A的坐标为（﹣1，0），∵点C是线段AB的中点，即点A与点B关于C点对称，∴B点的横坐标为1，当x=1时，y=x2+2x+1=1+2+1=4，则B（1，4），设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（﹣1，0），B（1，4）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y=2x+2．4．（2016•大连）如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E （1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，∴令y=0，可得x=或x=，∴A（，0），B（，0）；令x=0，则y=，∴C点坐标为（0，），设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有，解得：，∴直线BC的解析式为：y=x；（2）设点D的横坐标为m，则坐标为（m，），∴E点的坐标为（m，m），设DE的长度为d，∵点D是直线BC下方抛物线上一点，则d=m+﹣（m2﹣3m+），整理得，d=﹣m2+m，∵a=﹣1＜0，∴当m==时，d 最大===，∴D 点的坐标为（，）． 5．（2016•黔南州）已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象与y 轴交于点C （0，﹣6），与x 轴的一个交点坐标是A （﹣2，0）．（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）将二次函数的图象沿x 轴向左平移个单位长度，当 y ＜0时，求x 的取值范围．【解答】解：（1）∵把C （0，﹣6）代入抛物线的解析式得：C=﹣6，把A （﹣2，0）代入y=x 2+bx ﹣6得：b=﹣1，∴抛物线的解析式为y=x 2﹣x ﹣6．∴y=（x ﹣）2﹣．∴抛物线的顶点坐标D （，﹣）．（2）二次函数的图形沿x 轴向左平移个单位长度得：y=（x+2）2﹣．令y=0得：（x+2）2﹣=0，解得：x 1=，x 2=﹣．∵a ＞0，∴当y ＜0时，x 的取值范围是﹣＜x ＜． 6．（2016•咸宁）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x 元，每星期的销售量为y 件．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？【解答】解：（1）y=300+30（60﹣x）=﹣30x+2100．（2）设每星期利润为W元，W=（x﹣40）（﹣30x+2100）=﹣30（x﹣55）2+6750．∴x=55时，W最大值=6750．∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元．（3）由题意（x﹣40）（﹣30x+2100）≥6480，解得52≤x≤58，当x=52时，销售300+30×8=540，当x=58时，销售300+30×2=360，∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．7．（2016•成都）某果园有100颗橙子树，平均每颗树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？【解答】解：（1）平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系为：y=600﹣5x（0≤x＜120）；（2）设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w，则w=（600﹣5x）（100+x）=﹣5x2+100x+60000=﹣5（x﹣10）2+60500，则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个．8．（2016•铜仁市）2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y （个）与售价x （元）之间的函数关系（12≤x ≤30）；（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？【解答】解：（1）设蝙蝠型风筝售价为x 元时，销售量为y 个，根据题意可知：y=180﹣10（x ﹣12）=﹣10x+300（12≤x ≤30）．（2）设王大伯获得的利润为W ，则W=（x ﹣10）y=﹣10x 2+400x ﹣3000，令W=840，则﹣10x 2+400x ﹣3000=840，解得：x 1=16，x 2=24，答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元．（3）∵W=﹣10x 2+400x ﹣3000=﹣10（x ﹣20）2+1000，∵a=﹣10＜0，∴当x=20时，W 取最大值，最大值为1000．答：当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元．9．（2016•云南）草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y （千克）与销售单价x （元）符合一次函数关系，如图是y 与x 的函数关系图象．（1）求y 与x 的函数解析式（也称关系式）；（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W 元，求W 的最大值．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，根据题意，得：，解得：，∴y与x的函数解析式为y=﹣2x+340，（20≤x≤40）．（2）由已知得：W=（x﹣20）（﹣2x+340）=﹣2x2+380x﹣6800=﹣2（x﹣95）2+11250，∵﹣2＜0，∴当x≤95时，W随x的增大而增大，∵20≤x≤40，∴当x=40时，W最大，最大值为﹣2（40﹣95）2+11250=5200元．10．（2016•湖北襄阳）襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y（万件）关于售价x（元/件）的函数解析式为：y=．（1）若企业销售该产品获得的年利润为W（万元），请直接写出年利润W（万元）关于售价x（元/件）的函数解析式；（2）当该产品的售价x（元/件）为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？（3）若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x（元/件）的取值范围．【解答】解：（1）当40≤x＜60时，W=（x﹣30）（﹣2x+140）=﹣2x2+200x﹣4200，当60≤x≤70时，W=（x﹣30）（﹣x+80）=﹣x2+110x﹣2400；（2）当40≤x＜60时，W=﹣2x2+200x﹣4200=﹣2（x﹣50）2+800，∴当x=50时，W取得最大值，最大值为800万元；当60≤x≤70时，W=﹣x2+110x﹣2400=﹣（x﹣55）2+625，∴当x＞55时，W随x的增大而减小，∴当x=60时，W取得最大值，最大值为：﹣（60﹣55）2+625=600，∵800＞600，∴当x=50时，W取得最大值800，答：该产品的售价x为50元/件时，企业销售该产品获得的年利润最大，最大年利润是800万元；（3）当40≤x＜60时，由W≥750得：﹣2（x﹣50）2+800≥750，解得：45≤x≤55，当60≤x≤70时，W的最大值为600＜750，∴要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的售价x（元/件）的取值范围为45≤x≤55．希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、常自认为是福薄的人，任何不好的事情发生都合情合理，有这样平常心态，将会战胜很多困难。

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1．已知函数f(x)＝－4x 2＋4ax －4a －a 2(a ＞0)在区间[0,1]内有一个最大值－5，则a 的值为________．
2．已知函数f(x)＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m 的取值范围是________．
3．一元二次方程02)12(2=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则
实数a 的取值范围是.
4．函数2()2f x x x a =-+在区间)0,2(-和(2,3)内各有一个零点，则实数a 的
取值范围是_________．
5．已知关于x 的方程11()()2042x x a -+=在区间
[]1,0-上有实数根，则实数a 的取值范围是
6．函数
12)(2++=x ax x f 在区间)0,(-∞上至少有一个零点，则实数a 的取值范围是．
7．已知函数g(x)＝ax 2－2ax ＋1＋b(a ≠0，b<1)在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，则a ＝________，b ＝________.
8．已知函数f(x)＝ax 2－|x|＋2a －1(a 为实常数)．
(1)若a ＝1，作出函数f(x)的图象；
(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．。