达朗伯原理的应用

惯性力系的主矢 惯性力系的主矩 若O’为静点O
FIR maC
(向O’点简化) M IO '
dLO ' rO 'C maO ' dt
r
aO ' 0
若O’为质心C
rO 'C 0
M IO
dLO dt
M IC
平衡力系的平衡条件是： r r r 主矢： Fi FNi FIi 0 r r r r r r 主矩（向简化中心O）： M 0 (Fi ) M 0 (FNi ) M 0 (FIi ) 0
§2 质点系惯性力系的简化
（1）一般质点系的惯性力系简化
{F1I ,, FiI ,, FnI }
惯性力系的主矢
d FI FI i mi ai mi vi dt dp d r FI ( m vC ) m a C dt dt
i
FI i
mi ai
惯性力主矢与简化中心的选择无关
惯性力系的主矩
取任意点O’为简化中心
M IO ' rO 'i FiI
i 1 n
mi
z
r
i 1
nrO 'ix O'FI i
O 'i mi ai
rO 'C
y
C
rO 'i mi (aO ' aiO' )
n
dv iO' rO 'i mi rO'C maO' dt i 1
M IOz mi ( xi yi )
i 1
J xz mi xi zi
M IOx J xz 2 J yz M IOy J yz 2 J xz M IOz J z
J yz mi yi zi
因此一般定轴转动刚体惯性力系是空间力系，其动力学问题是空间问 题。什么情况下可简化为平面力系？
惯性力系为xoy面内的平面力系
同时外力可简化为xoy面内的平面力系
B
定轴转动刚体动力学问题简化 为xoy面内的平面问题
向转轴O的简化

O
t ac
z
MIO
n IR
FIR mac
M IOz dL d( J O ) Oz dt dt J O
F
O
t FIR
FIR
y
x
A
对称面内的 平面问题
dLCy dt
r
Fi

C
0
aC
M IC
可看作平面问题 向质心C简化，在xcy面内 主矢： 主矩：
M ICz
FIR
FIR maC
dLCz r dt
M IC J C
J C
M IC

aC
x

y
FIR
C
思考：若把定轴转动看为平面运动的特殊情况 ，则向质心简化的结果是什么？ 定轴转动刚体向质心C简化： 主矢： FIR maC 主矩：
C
a
FI
刚体作平动时，惯性力系向质心C简化，得到作用在质心上 的一个合惯性力。
2 一般定轴转动刚体惯性力系的简化 讨论一般三维定轴转动刚体:
z
Fi
向转轴上某一固定点O简化:
FIR maC m(α rC ω vC )
ai α ri ω vi

O
M Io
FIR
l P l P sin 0 dr( b r sin ) 2 r cos 0 gl 2
B
r P b
x
3g sin 3b cos l sin 2
若直接用公式，向质心C简化：
FIC
M IC
A

0
P 2 1 （sin l b) g 2
Pl 0 12g
z
mi
xi
yi
的惯量主轴之一。 2）如果刚体有质量对称面，如oxy
面。则垂直于该对称面的轴必为该 轴与对称面交点的惯量主轴。
o
yi
mi zi xi
y
x
z
o
J xz mi xi zi 0 J yz mi yi zi 0
yi
zi
zi
mi
xi
y
x
若转轴为对O点的惯性主轴
2
r r FIC
M IC
B
l l P sin FIC cos 0 2 2
r P b x
M A 0,
4 g sin 4b cos l sin 2
显然一般情况下结果是不正确的。
i 1 i 1 i 1
M IO ( mi xi zi
i 1
n
2
m y z )i ( m y z
i 1 i i i i 1 i
n
n
i i

2
m x z )j
i 1 i i i
n
mi ( xi 2 yi 2 )k
i 1
n
定轴转动刚体向转轴上某一固定点O简化:
M IOx M IOy 0
J xz 2 J yz 0 2 J xz J yz 0
J xz 0 J yz 0
如果 J xz J yz ，则称 0 z轴为O点的惯量主轴。
问题：质量满足什么分布形式时z轴为惯性主轴？ 1）如果刚体有质量对称轴，如z 轴。则对称轴是该轴上任意一点
Fy
问题： 求解该题有几种方法？
FIA F x
方法一：动静法
mg
M IA
B
方法二： 应用动量矩定理 和质心运动定理 方法三： 应用动能定理 和质心运动定理
FI m
L 1 , M IA mL2 2 3
M 0 F 0 F 0
A x y
L M IA m g 0 2 Fx 0
L J A m g 2 m aCx Fx m aCy Fy m g
1 d( J A 2 ) mg vC dt 2 m aCx Fx m aCy Fy m g
L 2
Fy m g FI 0
运动学关系： aCx 0, aCy

3g 1 , Fx 0, Fy mg 2L 4
角速度: ω k 角加速度: α k
ri xi i yi j zi k
FIR m( yC xC 2 )i m( xC yC 2 ) j
n n n
x

y
M IO ri mi a i ri mi (α ri ) ri mi (ω vi )
M IOz J O
C
a
n c
M IO
3 平面运动刚体惯性力系的简化 向质心C简化，简化为平面问题的条件： 过C点且垂直于运动平面的z轴为关于质心C的惯性 主轴。例如：刚体的质量对称面平行于运动平面。 外力可简化为运动平面内的平面力系。
M ICx dL Cx 0 dt
r
z
M ICy
达朗伯原理综合了质心运动定理和动量矩定理，在求解动力学问题 时，可以用达朗伯原理取代这两个定理，但它不能取代动能定理。
dL C dt
对于运动刚体，惯性力系主矢、主矩的具体表达式？ （2）刚体的惯性力系简化 1 平动刚体惯性力系的简化 向质心C简化 主矢： FI ma C d LC 主矩： M J C C ( FI ) dt r M C ( FI ) 0 0
n
i 1
n
aO '
在O’点建立随O’平动的动 坐标系，则 ai aO' aiO'
r d d L O' (rO 'i mi v iO' ) i 1 dt dt
M IO ' rO 'C maO '
dLO ' dt
r
惯性力主矩与简化中心的选择有关
{F1I ,, FiI ,, FnI } {FIR , M IO }
FIRx m( yC xC )
2
M IOx mi xi zi
i 1 n
n
2
m y z
i 1 n i i 1 2 i
n
i i
FIRy m( xC yC )
2
M IOy mi yi zi
i 1 n 2
2
m x z
i i
刚体对xz轴和yz轴的惯性积：
向质心C简化 向轴心O简化
FI maC FI maC
M IC J C M IO J O
M IC J C
平面运动刚体： 向质心C简化
FI maC
例4：已知 L，m，初始无初速度，试求初始时杆的角加速度和约束 力。
例5: 铅直轴以角速度转动，水平杆OA固定在轴上，在A点绞连 均质杆AB。设OA=b,AB=l，求:图示情况下的角速度值。
解:
积分法： dFI dmx 2 P dr( b r sin ) 2
gl
A r
dFI

0
x b r sin l l M A 0 P 2 sin 0 dFI r cos 0

O
t ac
n ac
M IC J C
F
n IR
C
FIR
n FIR
M t IC
向转轴O的简化：

O
t ac