高考数学第一轮复习考纲《等差数列》4 文
高考数学一轮复习第五章数列第四节数列求和课件文北师大版
(3)倒序相加法： 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个 常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项和即 是用此法推导的． (4)分组求和法： 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求 和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． (5)并项求和法： 一个数列的前 n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如 an＝(－1)nf(n) 类型，可采用两项合并求解．
[基础梳理]
1．等差数列的前 n 项和公式 Sn＝n（a12＋an）＝__n_a_1＋__n_（__n_2－__1_）___d__． 2．等比数列的前 n 项和公式
3．数列求和方法 (1)公式法求和： 使用已知求和公式求和的方法，即等差、等比数列或可化为等差、等比数列的求 和方法． (2)错位相减法： 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那 么这个数列的前 n 项和即可用此法来求，如等比数列的前 n 项和就是用此法推导 的．
(2)由(1)可知 bn＝(－1)n－1an4ann＋1＝(－1)n－1·（2n－1）4n（2n＋1）＝(－1)n－1(2n1－1＋ 2n1＋1)，当 n 为偶数时，Tn＝(1＋13)－(13＋15)＋(15＋17)－…＋(2n1－3＋2n1－1)－(2n1－1
＋
1 2n＋1
)
＝
1－
1 2n＋1
＝
2an＋n， 所以 an＋1＝(12|AnBn|)2＝r2n－d2n＝2an＋n－n＝2an， 又 a1＝1，所以 an＝2n－1.
②当 n 为偶数时， Tn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn) ＝[1＋5＋…＋(2n－3)]＋(2＋23＋…＋2n－1) ＝n（n2－1）＋2（11－－42n） ＝n2－2 n＋23(2n－1)． 当 n 为奇数时，n＋1 为偶数，
2020年高考理科数学一轮总复习：等差数列及其前n项和教师版
2020年高考理科数学一轮总复习等差数列及其前n 项和[基础梳理]1．等差数列的有关概念 (1)定义：①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数． ②符号语言：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2.3．等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．1．两个重要技巧(1)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d .(2)若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 2．三个必备结论(1)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1.(2)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②S 奇S 偶＝n ＋1n .(3)在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则满足⎩⎨⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ；若a 1＜0，d ＞0，则满足⎩⎨⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .3．两个函数等差数列{a n }，当d ≠0时，a n ＝dn ＋(a 1－d )，是关于n 的一次函数； S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是无常数项的二次函数． [四基自测]1．(教材改编)已知数列{a n }中，a n ＝3n ＋4，若a n ＝13，则n 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案：A2．已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：B3．(教材改编)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝( ) A ．18 B ．36 C ．54 D ．72 答案：D4．在100以内的正整数中有________个能被6整除的数． 答案：165．已知等差数列5,427，347，…，则前n 项和S n ＝________. 答案：514(15n －n 2)考点一 等差数列的性质及基本量的运算◄考基础——练透 角度1 用等差数列的基本量a 1和d 进行计算[例1] (1)(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10D ．12解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 1＋3×(3－1)2×d ＝2a 1＋2×(2－1)2×d ＋4a 1＋4×(4－1)2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10. 故选B. 答案：B(2)已知等差数列{a n }的各项都为整数，且a 1＝－5，a 3a 4＝－1，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝( ) A ．70 B ．58 C ．51D ．40解析：设等差数列{a n }的公差为d ， 由各项都为整数得d ∈Z ，因为a 1＝－5，所以a 3a 4＝(－5＋2d )(－5＋3d )＝－1，化简得6d 2－25d ＋26＝0，解得d ＝2或d ＝136(舍去)，所以a n ＝2n －7，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋13＝9＋7×(1＋13)2＝58.故选B.答案：B角度2 用等差数列性质进行计算[例2] (1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 3＋a 10＝9，则S 9＝( ) A ．3 B ．9 C ．18D ．27 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a 2＋a 3＋a 10＝9，∴3a 1＋12d ＝9，即a 1＋4d ＝3，∴a 5＝3，∴S 9＝9×(a 1＋a 9)2＝9×2a52＝27.故选D.答案：D(2)(2019·河北唐山第二次模拟)设{a n}是任意等差数列，它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是()A．2X＋Z＝3Y B．4X＋Z＝4YC．2X＋3Z＝7Y D．8X＋Z＝6Y解析：设数列{a n}的前3n项的和为R，则由等差数列的性质得X，Y－X，R－Y，Z－R成等差数列，所以2(Y－X)＝X＋R－Y，解之得R＝3Y－3X，又因为2(R－Y)＝Y－X＋Z－R，把R＝3Y－3X代入得8X＋Z＝6Y，故选D.答案：D等差数列的计算技巧1．已知等差数列{a n}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{a n}的公差为()A．－3 B．－5 2C．－2 D．－4 解析：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，因为⎩⎨⎧a 2＝1，S 5＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，5a 1＋5×42d ＝－15，解得d ＝－4，故选D.答案：D2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝8，a 4＝7，则a 5＝( ) A ．11 B ．10 C ．7D ．3解析：∵a 1＋a 5＝2a 3＝8，∴a 3＝4， 又∵a 3＋a 5＝2a 4， ∴a 5＝2a 4－a 3＝14－4＝10. 故选B. 答案：B3．等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列的前13项和为( ) A ．13 B ．26 C ．52D ．156解析：3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，∴6a 4＋6a 10＝24，∴a 4＋a 10＝4，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝13×42＝26，故选B.答案：B考点二 等差数列的判定与证明◄考能力——知法 角度1 用等差数列定义证明[例3] (2019·南京模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．(2)求a n 的表达式．解析：(1)证明：因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，所以S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0.因此1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．故由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12n .由于当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n (n －1)，又因为a 1＝12，不适合上式． 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12(n ＝1)，－12n (n －1)(n ≥2).角度2 用等差中项法证明[例4] 已知等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n . (1)若S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列；(2)若a m ＋2是a m ＋1和a m 的等差中项，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列吗？ 解析：(1)证明：由S 3，S 9，S 6成等差数列，得S 3＋S 6＝2S 9.若q ＝1，则3a 1＋6a 1＝18a 1，解得a 1＝0，这与{a n }是等比数列矛盾，所以q ≠1， 于是有a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2a 1(1－q 9)1－q ，整理得q 3＋q 6＝2q 9.因为q ≠0且q ≠1，所以q 3＝－12，a 8＝a 2q 6＝14a 2，a 5＝a 2q 3＝－12a 2， 所以2a 8＝a 2＋a 5，即a 8－a 2＝a 5－a 8，故a 2，a 8，a 5成等差数列．(2)依题意，得2a m ＋2＝a m ＋1＋a m ，则2a 1q m ＋1＝a 1q m ＋a 1q m －1.在等比数列{a n }中，a 1≠0，q ≠0，所以2q 2＝q ＋1，解得q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，S m ＋S m ＋1＝ma 1＋(m ＋1)a 1＝(2m ＋1)a 1，S m ＋2＝(m ＋2)a 1. 因为a 1≠0，所以2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1，此时S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列． 当q ＝－12时，S m ＋2＝a 1[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋2]1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2a 13[1－(－12)m ＋2] ＝2a 13 [1－14×(－12)m ]，S m ＋S m ＋1＝a 1[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ]1－(－12)＋a 1[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋1]1－(－12)＝2a 13[1－(－12)m ＋1－(－12)m ＋1] ＝2a 13[2－12×(－12)m ]，所以2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1.故当q ＝1时，S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列；当q ＝－12时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．判定数列{a n }是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n ∈N *，a n ＋1－a n 是同一个常数．(证明用) (2)等差中项法：对任意n ≥2，n ∈N *，满足2a n ＝a n ＋1＋a n －1.(证明用) (3)通项公式法：数列的通项公式a n 是n 的一次函数．(4)前n 项和公式法：数列的前n 项和公式S n 是n 的二次函数，且常数项为0.提醒：判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断．将本例1条件变为“数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，2S n －na n ＝n ，”求证：{a n }为等差数列．证明：因为2S n －na n ＝n ，①所以当n ≥2时，2S n －1－(n －1)a n －1＝n －1，② 所以①－②得：(2－n )a n ＋(n －1)a n －1＝1， (1－n )a n ＋1＋na n ＝1，所以2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)， 所以数列{a n }为等差数列．考点三 等差数列前n 项和及综合问题◄考素养——懂理[例5] (1)(2018·高考全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.①求{a n }的通项公式； ②求S n ，并求S n 的最小值．解析：①设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15. 由a 1＝－7得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －9. ②由①得S n ＝a 1＋a n2·n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16. 所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.(2)已知数列{a n }满足a 1＝2，n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *)．①求证数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求其通项公式；②设b n ＝2a n －15，求数列{|b n |}的前n 项和T n . 解析：①∵n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *)， ∴na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)，∴a n ＋1n ＋1－a nn ＝2， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，其公差为2，首项为2，∴a nn ＝2＋2(n －1)＝2n .②由①知a n ＝2n 2，∴b n ＝2a n －15＝2n －15， 则数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－13＋2n －15)2＝n 2－14n .令b n ＝2n －15≤0，解得n ≤7.∴n ≤7时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b n ＝－S n ＝－n 2＋14n . n ≥8时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b 7＋b 8＋…＋b n ＝－2S 7＋S n ＝－2×(72－14×7)＋n 2－14n ＝n 2－14n ＋98.∴T n ＝⎩⎨⎧14n －n 2，n ≤7，n 2－14n ＋98，n ≥8.关于等差数列前n 项和问题，主要是求和方法及性质的应用，其关键点为： (1)定性质，根据已知条件判断出数列具有哪些特性．(2)定方法，根据已知条件或具有的性质，确定解决问题的方法． ①_x0001_求和：用哪个公式，需要哪些量．②求S n 最值：(ⅰ)借助S n 的二次函数法； (ⅱ)借用通项的邻项变号法a 1>0，d <0，满足⎩⎨⎧ a m ≥0a m ＋1≤0S n 取得最大值S m ；a 1<0，d >0，满足⎩⎨⎧a m ≤0a m ＋1≥0，S n 取得最小值S m .1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n 是( ) A ．21 B ．20 C ．19D ．18解析：由a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝105，∴a 3＝35. a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99，∴a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝－2. ∴a n ＝a 4＋(n －4)×d ＝33＋(n －4)×(－2)＝－2n ＋41. ∴a 20＞0，a 21＜0，∴当n ＝20时，S 20最大，故选B. 答案：B2．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值． 解析：∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1， 故数列{a n }为等差数列．设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎨⎧a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4.故a n ＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31， 令⎩⎨⎧ b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎨⎧2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0， 解得292≤n ≤312， ∵n ∈N *，∴n ＝15，即数列{b n }的前15项均为负值，∴T 15最小． ∵数列{b n }的首项是－29，公差为2， ∴T 15＝15×(－29＋2×15－31)2＝－225，∴数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－225.数学建模——传统文化中的数列的学科素养在传统文化中，涉及很多等差数列的模型，经过转化用等差数列的知识求解，体现了数学建模，数学运算的素养.[例1] 《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( ) A.47尺 B.1629尺 C.815尺 D.1631尺解析：设该女子织布每天增加d 尺，由题意知S 30＝30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝1629.故该女子织布每天增加1629尺．故选B. 答案：B[例2] 中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( ) A.174斤B ．184斤C.191斤 D ．201斤解析：用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65.∴a 8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤，故选B.答案：B课时规范练1．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( )A ．－1B ．0 C.14 D.12解析：由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，∴a 2＝12，a 4＝32.∴公差d ＝a 4－a 22＝12.∴a 1＝a 2－d ＝0.答案：B2．等差数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝100(n ≥3)．若{a n }的公差为某一自然数，则n 的所有可能取值为( )A ．3,7,9,15,100B ．4,10,12,34,100C ．5,11,16,30,100D ．4,10,13,43,100解析：由等差数列的通项公式得，公差d ＝a n －a 1n －1＝99n －1.又因为d ∈N ，n ≥3，所以n －1可能为3,9,11,33,99，n 的所有可能取值为4,10,12,34,100，故选B. 答案：B3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( )A ．5B ．7C ．9D ．11解析：因为{a n }是等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3，即a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，∴a 3＝1，∴S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5，故选A. 答案：A4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8－S 4＝36，a 6＝2a 4，则a 1＝( )A ．－2B ．0C ．2D ．4解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 8－S 4＝36，a 6＝2a 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 1＋8×72d －⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋4×32d ＝36，a 1＋5d ＝2a 1＋6d ，解得⎩⎨⎧a 1＝－2，d ＝2.故选A. 答案：A5．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( )A ．12B ．13C ．14D ．15 解析：由S 5＝(a 2＋a 4)·52，得25＝(3＋a 4)·52，解得a 4＝7，所以7＝3＋2d ，即d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.答案：B6．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97解析：由题意可知，⎩⎨⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，解得a 1＝－1，d ＝1，所以a 100＝－1＋99×1＝98.答案：C7．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于__________．解析：∵{a n }是等差数列，∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1，又∵a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，∴2a n－a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0.∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝(2n －1)a n ＝2(2n －1)＝38， 解得n ＝10.答案：108．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．解析：设数列首项为a 1，则a 1＋2 0152＝1 010，故a 1＝5. 答案：59．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.(1)求a 及k 的值．(2)已知数列{b n }满足b n ＝S n n ，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .解析：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2)由(1)得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)， 则b n ＝S n n ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2. 10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)证明：∵b n ＝1a n，且a n ＝a n －12a n －1＋1，∴b n＋1＝1a n＋1＝1a n2a n＋1＝2a n＋1a n，∴b n＋1－b n＝2a n＋1a n－1a n＝2.又∵b1＝1a1＝1，∴数列{b n}是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知数列{b n}的通项公式为b n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又b n＝1a n，∴a n＝1b n＝12n－1.∴数列{a n}的通项公式为a n＝12n－1.。
高考数学第一轮复习：《等差数列》
高考数学第一轮复习：《等差数列》最新考纲1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等差数列与一次函数的关系.【教材导读】1．“a ，A ，b 是等差数列”是“A ＝a ＋b2”的什么条件？ 提示：充分必要条件．2．如何推导等差数列的通项公式？ 提示：可用累加法．3．如何推导等差数列的前n 项和公式？ 提示：利用倒序相加法推导．1．等差数列的相关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n －a n －1＝d (n ≥2，n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b2. 2．等差数列的通项公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差为d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)通项的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d . 3．等差数列的前n 项和公式(1)已知等差数列{a n }的首项a 1和第n 项a n ，则其前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2.(2)已知等差数列{a n }的首项a 1与公差d ，则其前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d .4．等差数列{a n }的性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (其中m ，n ，p ，q ∈N *)，特别地，若p ＋q ＝2m ，则a p ＋a q ＝2a m (p ，q ，m ∈N *)．(2)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列． (3)若下标成等差数列，则相应的项也成等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)成等差数列．(4)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2n －1＝(2n －1)a n . 5．等差数列的增减性与最值公差d >0时为递增数列，且当a 1<0时，前n 项和S n 有最小值；d <0时为递减数列，且当a 1>0时，前n 项和S n 有最大值．6．等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可得a n ＝dn ＋(a 1－d )，如果设p ＝d ，q ＝a 1－d ，那么a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 是常数．当p ≠0时，(n ，a n )在一次函数y ＝px ＋q 的图象上，即公差不为零的等差数列的图象是直线y ＝px ＋q 上的均匀排开的一群孤立的点．当p ＝0时，a n ＝q ，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x 轴的直线(或x 轴)上的均匀排开的一群孤立的点．【重要结论】1．等差数列{a n }中，若a m ＝n ，a n ＝m ，则a m ＋n ＝0. 2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m ＝S n (m ≠n )， 则S m ＋n ＝0.3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m ＝n ，S n ＝m ， 则S m ＋n ＝－(m ＋n )．1．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，若⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋1为等差数列，则a 11等于( )(A)0 (B)12 (C)23(D)2B 解析：由已知可得1a 3＋1＝13，1a 7＋1＝12分别是等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1 的第3项和第7项，其公差d ＝12－137－3＝124，由此可得1a 11＋1＝1a 7＋1＋(11－7)d ＝12＋4×124＝23.解之得a 11＝12. 2．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) (A)1 (B)2 (C)4(D)8C解析：设等差数列{an }的公差为d ，∴⎩⎨⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，∴d ＝4，故选C.3．首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差d 的取值范围是( ) (A)(－3，＋∞) (B)－∞，－83 (C)－3，－83(D)－3，－83D 解析：由题意知a 9≥0，a 10<0， ∴a 9＝a 1＋8d ＝24＋8d ≥0，d ≥－3. a 10＝a 1＋9d ＝24＋9d <0，d <－83. 综上知－3≤d <－83.故选D.4．设等差数列{a n }的前10项和为20，且a 5＝1，则{a n }的公差为( ) (A)1 (B)2 (C)3(D)4B 解析：等差数列{a n }的前10项和为20，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 1＋a 10)＝5(a 5＋a 6)＝20.所以a 6＝4－a 5＝3.则{a n }的公差为a 6－a 5＝3－1＝2.故选B.5．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝3，S 5＝25，则a 8＝( ) (A)16(B)15(C)14 (D)13B 解析：设公差为d ，由a 2＝3，S 5＝25可得a 1＋d ＝3,5a 1＋5×42d ＝25 ∴a 1＝1，d ＝2，则a 8＝a 1＋7d ＝15.考点一 等差数列的基本量运算(1)已知等差数列{a n }中，a 1010＝3，S 2017＝2017，则S 2018＝( ) (A)2018 (B)－2018 (C)－4036(D)4036(2)已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n ＞3)，S n ＝100，则n 的值为( ) (A)8 (B)9 (C)10(D)11(3)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则S n ＋64a n的最小值为( ) (A)7 (B)152 (C)172(D)8解析：(1)由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得： S 2017＝a 1＋a 20172×2017＝2a 10092×2017＝2017a 1009＝2017，则a 1009＝1，据此可得：S 2018＝a 1＋a 20182×2018＝1009(a 1009＋a 2010)＝1009×4＝4036.故选D.(2)由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51， 所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n (a 2＋a n －1)2＝100，解得n ＝10.(3)设{a n }的公差为d ，由a 2＝4，S 10＝110得⎩⎨⎧a 1＋d ＝4，10a 1＋10×92d ＝110，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，故a n ＝2＋2(n －1)＝2n ， S n ＝2n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋n . 所以S n ＋64a n＝n 2＋n ＋642n＝n 2＋32n ＋12≥2n 2·32n ＋12＝172，当且仅当n 2＝32n ，即n ＝8时取等号．故选C.【反思归纳】 等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a 1，d ，n ，a n ，S n 五个量，可知三求二．解决这些问题一般设基本量a 1，d ，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解，体现方程思想．(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题，一般是等差数列的性质和等差数列求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2结合使用，体现整体代入的思想．【即时训练】 (1)若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) (A)12 (B)13 (C)14(D)15(2)已知在等差数列{a n }中，a 1＝20，a n ＝54，S n ＝3 700，则数列的公差d ，项数n 分别为( )(A)d ＝0.34，n ＝100 (B)d ＝0.34，n ＝99 (C)d ＝3499，n ＝100(D)d ＝3499，n ＝99(3)《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份的量为( )(A)52(B)54(C)53 (D)56解析：(1)B 由题意得S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝25，a 3＝5，公差d ＝a 3－a 2＝2，a 7＝a 2＋5d＝3＋5×2＝13.故选B.(2)C由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋(n －1)d S n ＝na 1＋n (n －1)d 2，得⎩⎪⎨⎪⎧54＝20＋(n －1)d ，3700＝20n ＋n (n －1)d 2，解得d ＝3499，n ＝100.故选C.(3)C 易得中间的那份为20个面包，设最小的一份为a 1，公差为d ，根据题意，有[20＋(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )]×17＝a 1＋(a 1＋d )，解得a 1＝53.故选C.考点二 等差数列的判断与证明已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，b n ＝S nn (n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列． 证明：设等差数列{a n }的公差为d ， 则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ， ∴b n ＝S n n ＝a 1＋12(n －1)d .法一：b n ＋1－b n ＝a 1＋12nd －a 1－12(n －1)d ＝d2(常数)， ∴数列{b n }是等差数列．法二：b n ＋1＝a 1＋12nd ，b n ＋2＝a 1＋12(n ＋1)d ， ∴b n ＋2＋b n ＝a 1＋12(n ＋1)d ＋a 1＋12(n －1)d ＝2a 1＋nd ＝2b n ＋1. ∴数列{b n }是等差数列．【反思归纳】 判定数列{a n }是等差数列的常用方法 (1)定义法：对任意n ∈N *，a n ＋1－a n 是同一个常数；(2)等差中项法：对任意n ≥2，n ∈N *，满足2a n ＝a n ＋1＋a n －1； (3)通项公式法：数列的通项公式a n 是n 的一次函数；(4)前n 项和公式法：数列的前n 项和公式S n 是n 的二次函数，且常数项为0.【即时训练】 已知数列{a n }的首项a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x4x ＋1的图象上，b n ＝1a n(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)试问数列{a n }中a k ·a k ＋1(k ∈N *)是否仍是{a n }中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．解：(1)证明：由已知得a n ＋1＝a n 4a n ＋1，1a n ＋1＝4＋1a n，∴1a n ＋1－1a n＝4，即b n ＋1－b n ＝4， ∴数列{b n }是以1为首项，4为公差的等差数列， ∴数列{b n }的通项公式为b n ＝1＋4(n －1)＝4n －3. 又b n ＝1a n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝14n －3.(2)由(1)可得a k ·a k ＋1＝14k －3·14(k ＋1)－3＝116k 2－8k －3＝14(4k 2－2k )－3， ∵4k 2－2k ＝2k (2k －1)∈N *，∴a k ·a k ＋1∈{a n }，所以a k ·a k ＋1是数列{a n }中的项，是第4k 2－2k 项． 考点三 等差数列的性质(1)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( )(A)0(B)37(C)100 (D)－37(2)等差数列{a n}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是()(A)20 (B)22(C)24 (D)－8(3)等差数列{a n}的前m项和为30，前3m项和为90，则它的前2m项和为________．解析：(1)设{a n}，{b n}的公差分别为d1，d2，则(a n＋1＋b n＋1)－(a n＋b n)＝(a n＋1－a n)＋(b n＋1－b n)＝d1＋d2，所以{a n＋b n}为等差数列．又a1＋b1＝a2＋b2＝100，所以{a n＋b n}为常数列．所以a37＋b37＝100.(2)因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.(3)由S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列，可得2(S2m－S m)＝S m＋S3m－S2m，即S2m＝3S m＋S3m3＝3×30＋903＝60.答案：(1)C(2)C(3)60【反思归纳】一般地，运用等差数列性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q(m，m，p，q∈N*)．【即时训练】(1)等差数列{a n}中，a1＋a7＝26，a3＋a9＝18，则数列{a n}的前9项和为()(A)66 (B)99(C)144 (D)297(2)设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，且a1>0，若S5＝S9，则当S n最大时，n等于()(A)6 (B)7(C)8 (D)9(3)在等差数列{a n}中，S n为前n项和，2a7＝a8＋5，则S11＝()(A)55 (B)11(C)50 (D)60解析：(1)由a1＋a7＝2a4＝26，得a4＝13.由a3＋a9＝2a6＝18，得a6＝9.S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝99.故选B.(2)因为S 5＝S 9， 所以a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0. 又a 6＋a 9＝a 7＋a 8， 所以a 7＋a 8＝0， 又a 1>0， 所以a 7>0，a 8<0.所以当n ＝7时S n 最大．故选B.(3)由2a 7＝a 8＋5，a 6＝5，S 11＝(a 1＋a 11)·112＝11a 6＝55.故选A.答案：(1)B (2)B (3)A等差数列的最值问题教材源题：已知等差数列5,427，347，…的前n 项和为S n ，求使得S n 最大的序号n 的值． 解：由题意知，等差数列5,427，347，…的公差为－57， 所以S n ＝n 22×5＋(n －1)－57 ＝75n －5n 214＝－514n －1522＋1 12556.于是，当n 取与152最接近的整数即7或8时，S n 取最大值．【规律总结】 求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件．若对称轴取不到，需考虑最接近对称轴的自变量n (n 为正整数)；若对称轴对应两个正整数的中间，此时应有两个符合题意的n 值．【源题变式】 等差数列{a n }的首项a 1>0，设其前n 项和为S n ，且S 5＝S 12，则当n 为何值时，S n 有最大值？解：法一 设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 5＝S 12得5a 1＋10d ＝12a 1＋66d ，d ＝－18a 1<0. 所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝na 1＋n (n －1)2·－18a 1 ＝－116a 1(n 2－17n ) ＝－116a 1n －1722＋28964a 1，因为a 1>0，n ∈N *，所以n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值． 法二 设等差数列{a n }的公差为d ，同法一得 d ＝－18a 1<0.设此数列的前n 项和最大，则⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋(n －1)·－18a 1≥0，a n ＋1＝a 1＋n ·－18a 1≤0，解得⎩⎨⎧n ≤9，n ≥8，即8≤n ≤9，又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值．课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若6a 3＋2a 4－3a 2＝5，则S 7＝( ) (A)28 (B)21 (C)14(D)7D 解析：解法一 由6a 3＋2a 4－3a 2＝5，得6(a 1＋2d )＋2(a 1＋3d )－3(a 1＋d )＝5a 1＋15d ＝5(a 1＋3d )＝5，即5a 4＝5，所以a 4＝1，所以S 7＝7×(a 1＋a 7)2＝7×2a 42＝7a 4＝7，故选D.解法二 由6a 3＋2a 4－3a 2＝5，得6(a 4－d )＋2a 4－3(a 4－2d )＝5， 即5a 4＝5，所以a 4＝1，所以S 7＝7×(a 1＋a 7)2＝7×2a 42＝7a 4＝7，故选D.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8＝( ) (A)18 (B)12 (C)9(D)6D 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(2a 1＋10d )2＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝6，故选D.3．等差数列{a n }中，已知a 5＞0，a 4＋a 7＜0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) (A)S 7 (B)S 6 (C)S 5(D)S 4C 解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6＜0，a 5＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＞0，a 6＜0，∴S n 的最大值为S 5.故选C.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，如果当n ＝m 时，S n 最小，那么m 的值为( )(A)10 (B)9 (C)5(D)4C 解析：解法一 设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎨⎧11a 1＋11×102d ＝22，a 1＋3d ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－33，d ＝7.所以S n ＝－33n ＋n (n －1)2×7＝72n 2－73n 2＝72⎝ ⎛⎭⎪⎫n －73142－72×⎝ ⎛⎭⎪⎫73142，因为n ∈N *，所以当n ＝5时，S n 取得最小值，故选C.解法二 设等差数列{a n }的公差为d .由已知得11(a 1＋a 11)2＝22，所以11a 6＝22，解得a 6＝2，所以d ＝a 6－a 42＝7，所以a n ＝a 4＋(n －4)d ＝7n －40，所以数列{a n }是单调递增数列，又a 5＝－5＜0，a 6＝2＞0，所以当n ＝5时，S n 取得最小值，故选C.5．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )(A)54钱 (B)43钱 (C)32钱(D)53钱B 解析：依题意，设甲所得为a 1，公差为d ，则a 1＋a 2＝a 3＋a 4＋a 5＝52，即2a 1＋d ＝3a 1＋9d ＝52，解得a 1＝43，∴甲得43钱．故选B.6．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝3a 4，且S 10＝λa 4，则λ的值为( ) (A)15 (B)21 (C)23(D)25D 解析：由题意有：a 1＋5d ＝3(a 1＋3d )⇒a 1＝－2d ，λ＝S 10a 4＝10a 1＋10×92d a 1＋3d＝25，故选D.7．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________. 解析：∵a n ＋1－a n ＝2(n ≥1)，∴{a n }为等差数列，∴a n ＝1＋(n －1)×2，即a n ＝2n －1. 答案：2n －1.8．(2019苏北四市一模)在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 8＝11，则3a 3＋a 11的值为________． 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得a 2＋a 8＝11＝2a 5，则a 5＝112，所以3a 3＋a 11＝3(a 5－2d )＋a 5＋6d ＝4×112＝22.答案：229．由正数组成的等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且a n b n ＝2n －13n －1，则S 5T 5＝________.解析：由S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3，T 5＝5(b 1＋b 5)2＝5b 3，得S 5T 5＝a 3b 3＝2×3－13×3－1＝58.答案：5810．在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3.因此，a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (b 1＋b n )2＝n 2－n 2.能力提升练(时间：15分钟)11．今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几何日相逢？( )(A)12日 (B)16日 (C)8日(D)9日D 解析：由题易知良马每日所行里数构成一等差数列，其通项公式为a n ＝103＋13(n －1)＝13n ＋90，驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为b n ＝97－12(n －1)＝－12n ＋1952，二马相逢时所走路程之和为2×1 125＝2 250，所以n (a 1＋a n )2＋n (b 1＋b n )2＝2 250，即n (103＋13n ＋90)2＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫97－12n ＋19522＝2 250，化简得n 2＋31n －360＝0，解得n ＝9或n ＝－40(舍去)，故选D.12．已知数列{a n ＋1－a n }是公差为2的等差数列，且a 1＝1，a 3＝9，则a n ＝________. 解析：数列{a n ＋1－a n }是公差为2的等差数列，且a 1＝1，a 3＝9，∴a n ＋1－a n ＝(a 2 －1)＋2(n －1)， a 3－a 2 ＝(a 2－1)＋2，∴3－a 2＝(a 2－1)＋2，∴a 2＝1. ∴a n ＋1－a n ＝2n －2，∴a n ＝2(n －1)－2＋2(n －2)－2＋……＋2－2＋1＝2×(n －1)n2－2(n －1)＋1＝n 2－3n ＋3. ∴a n ＝(n 2－3n ＋3)2.n ＝1时也成立． 则a n ＝(n 2－3n ＋3)2. 答案：(n 2－3n ＋3)2.13．等差数列{a n }中，a 1＝12 015，a m ＝1n ，a n ＝1m (m ≠n )，则数列{a n }的公差d ＝________. 解析：因为a m ＝12 015＋(m －1)d ＝1n ，a n ＝12 015＋(n －1)d ＝1m ，所以(m －n )d ＝1n －1m ，所以d ＝1mn ，所以a m ＝12 015＋(m －1)1mn ＝1n ，解得1mn ＝12015，即d ＝12015.答案：1201514．设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≤b n ＋1(n ∈N ＋)；②b n ≤M (n ∈N ＋，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界”数列．(1)若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和：a 3＝4，S 3＝18，求S n ； (2)判断(1)中的数列{S n }是否为“特界”数列，并说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝18， 解得a 1＝8，d ＝－2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋9n .(2){S n }是“特界”数列，理由如下：由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝(S n ＋2－S n ＋1)－(S n ＋1－S n )2＝a n ＋2－a n ＋12＝d 2＝－1＜0，得S n ＋S n ＋22＜S n ＋1，故数列{S n }适合条件①.而S n ＝－n 2＋9n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922＋814(n ∈N ＋)，则当n ＝4或5时，S n 有最大值20，即S n ≤20，故数列{S n }适合条件②.综上，数列{S n }是“特界”数列．15．(2019南昌模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)证明：因为b n ＝1a n，且a n ＝a n －12a n －1＋1，所以b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n 2a n ＋1＝2a n ＋1a n .所以b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n－1a n＝2.又b 1＝1a 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)解：由(1)知数列{b n }的通项公式为 b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 又b n ＝1a n，所以a n ＝1b n＝12n －1.所以数列{a n}的通项公式为a n＝1.2n－1。
高考数学一轮复习知识点与练习等差数列.docx
1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d__表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{ a n} 的首项为a1，公差为 d，那么它的通项公式是a n＝a1＋(n－ 1)d.3．等差中项a＋ b如果 A＝2，那么A叫做a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广： a n＝ a m＋ (n－ m)d(n， m∈N* )．(2)若 { a n} 为等差数列，且 k＋ l ＝ m＋ n(k， l ， m，n∈N* )，则 a k＋a l＝ a m＋ a n.(3)若 { a n} 是等差数列，公差为d，则 { a2n} 也是等差数列，公差为 2d.(4)若 { a n} ， { b n} 是等差数列，则{ pa n＋qb n} 也是等差数列．(5)若 { a n} 是等差数列，公差为 d，则 a k， a k＋m，a k＋2m，, ( k，m∈N* )是公差为 md 的等差数列．5．等差数列的前n 项和公式n a1＋ a n或 S n＝ na1＋n n－ 1d.设等差数列 { a n} 的公差为 d，其前 n 项和 S n＝226．等差数列的前n 项和公式与函数的关系d 2dS n＝ n ＋a1n.22数列 { a n} 是等差数列 ? S n＝An2＋ Bn(A、 B 为常数 )．7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列 { a n} 中， a1>0， d<0，则 S n存在最大值；若a1<0，d>0，则 S n存在最小值．判断下面结论是否正确 (请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)数列 { a n} 为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有 2a n＋1＝ a n＋ a n＋2.()(3)等差数列 { a n} 的单调性是由公差 d 决定的． ()(4)数列 { a n} 为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数． ()(5)数列 { a n} 满足 a n＋1－a n＝ n，则数列 { a n} 是等差数列． ()(6)已知数列 { a n} 的通项公式是 a n＝pn＋ q(其中 p， q 为常数 )，则数列 { a n} 一定是等差数列． ()1．设等差数列{ a n } 的前 n 项和为 S n.若 a1＝－ 11， a4＋ a6＝－ 6，则当 S n取最小值时，n＝ ________.2．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前 6 项均为正数，从第7 项起为负数，则它的公差为________．3．在等差数列{ a n } 中，已知 a4＋ a8＝ 16，则该数列前11 项和 S11＝________.4．设数列 { a n} 是等差数列，若a3＋ a4＋ a5＝12，则 a1＋a2＋, ＋a7＝ ________.5． (2014 ·京北 )若等差数列 { a n} 满足 a7＋ a8＋ a9>0， a7＋ a10<0，则当 n＝ ________时， { a n} 的前 n 项和最大．题型一等差数列基本量的运算例 1 (1)在数列 { a n} 中，若 a1＝－ 2，且对任意的n∈N*有 2a n＋1＝ 1＋ 2a n，则数列 { a n} 前 10 项的和为________．(2) 已知在等差数列{ a n} 中， a2＝ 7，a4＝15，则前 10 项和 S10＝ ________.思维升华(1) 等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差 d，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程 (组 )求解． (2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．(1) 设 S n是等差数列 { a n} 的前 n 项和，若 a1＋ a3＋a5＝ 3，则 S5＝ ______.(2) 已知等差数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且满足S3－S2＝ 1，则数列 { a n} 的公差是 ________．32题型二等差数列的判定与证明例 2已知数列 { a n} 中， a1＝3， a n＝ 2－1( n≥ 2， n∈N* )，数列 { b n} 满足 b n＝1(n∈N* )．5n－1n－ 1a a(1)求证：数列 { b n} 是等差数列；(2)求数列 { a n} 中的最大项和最小项，并说明理由．引申探究例2 中，若条件变为 a1＝3， na n＋1＝ (n＋ 1)a n＋ n(n＋ 1)，探求数列 { a n} 的通项公式．5思维升华等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有 a n＋1－ a n等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有 2a n＋1＝ a n＋ a n＋2后，可递推得出 a n＋2－a n＋1＝ a n＋1－a n＝ a n－a n－1＝ a n－1－ a n－2＝ ,＝ a2－ a1，根据定义得出数列{ a n} 为等差数列．(3)通项公式法：得出a n＝ pn＋ q 后，得 a n＋1－ a n＝ p 对任意正整数 n 恒成立，根据定义判定数列{ a n } 为等差数列．(4)前 n 项和公式法：得出S n＝ An2＋ Bn 后，根据 S n， a n的关系，得出 a n，再使用定义法证明数列{ a n}为等差数列．(1) 若 { a n} 是公差为 1 的等差数列，则 { a2n－1＋2a2n} 是 ________．①公差为 3 的等差数列②公差为4的等差数列③公差为 6 的等差数列④公差为9的等差数列(2)在数列 { a n} 中，若 a1＝1， a2＝1， 2 ＝ 1 ＋ 1( n∈N* )，则该数列的通项为 ______________．2a n＋1a n a n＋2题型三等差数列的性质及应用命题点 1等差数列的性质例3 (1)(2015 广·东 )在等差数列 { a n} 中，若 a3＋ a4＋ a5＋ a6＋ a7＝ 25，则 a2＋ a8＝ ________. (2) 已知等差数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且 S10＝ 10， S20＝30，则 S30＝ ________.命题点 2等差数列前n 项和的最值例4 在等差数列 { a n} 中，已知 a1＝ 20，前 n 项和为 S n，且 S10＝S15，求当 n 取何值时， S n取得最大值，并求出它的最大值．引申探究例 4 中，若条件“ a1＝20”改为 a1＝－ 20，其他条件不变，求当 n 取何值时， S n取得最小值，并求出最小值．思维升华(1) 等差数列的性质：① 项的性质：在等差数列{an} 中，a m a na m a nd (m≠n)，其几何意义是点(n，a n)，(m n)dnm(m，a m)所在直线的斜率等于等差数列的公差．② 和的性质：在等差数列{ a n} 中， S n为其前 n 项和，则a． S2n＝ n(a1＋ a2n)＝ , ＝ n(a n＋ a n＋1)；b． S2n－1＝ (2n－ 1)a n.(2)求等差数列前 n 项和 S n最值的两种方法：①函数法：利用等差数列前 n 项和的函数表达式 S n＝ an2＋ bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．② 邻项变号法：a．当 a1＞ 0， d＜ 0 时，满足a m≥ 0，的项数 m 使得 S n取得最大值 S m；a m＋1≤ 0b．当 a1＜ 0， d＞ 0 时，满足a m≤ 0，的项数 m 使得 S n取得最小值 S m.(1)等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n，已知 a5＋ a7＝ 4， a6＋ a8＝－ 2，则当 S n取最大值时， n 的值是 ________．(2)设数列 { a n} 是公差 d＜ 0 的等差数列， S n为前 n 项和，若 S6＝5a1＋ 10d，则 S n取最大值时， n 的值为________．(3)已知等差数列 { a n} 的首项 a1＝ 20，公差 d＝－ 2，则前 n 项和 S n的最大值为 ________．6．等差数列的前n 项和及其最值典例(1) 在等差数列 { a n } 中， 2(a1＋ a3＋ a5)＋ 3(a7＋ a9)＝ 54，则此数列前 10 项的和 S10＝ ________.(2)在等差数列 { a n} 中， S10＝ 100， S100＝10，则 S110＝ ________.(3)等差数列 { a n} 中，已知 a5>0， a4＋ a7<0，则 { a n} 的前 n 项和 S n的最大值为 ________．思维点拨 (1) 求等差数列前 n 项和，可以通过求解基本量 a1， d，代入前 n 项和公式计算，也可以利用等差数列的性质： a1＋ a n＝ a2＋ a n－1＝ , ；(2)求等差数列前 n 项和的最值，可以将 S n化为关于 n 的二次函数，求二次函数的最值，也可以观察等差数列的符号变化趋势，找最后的非负项或非正项．温馨提醒(1) 利用函数思想求等差数列前n 项和 S n的最值时，要注意到n∈N*；(2) 利用等差数列的性质求S n，突出了整体思想，减少了运算量．[方法与技巧 ]1．在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a1，d 的方程组进行求解．2．证明等差数列要用定义；另外还可以用等差中项法，通项公式法，前n 项和公式法判定一个数列是否为等差数列．3．等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量．4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a， a＋ d， a＋ 2d；(2) a－d， a， a＋ d； (3)a－ d，a＋ d， a＋3d 等，可视具体情况而定．[失误与防范 ]1．当公差 d≠ 0 时，等差数列的通项公式是n 的一次函数，当公差d＝ 0 时， a n为常数．2．公差不为0 的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n 项和公式是常数项不为0 的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．A 组专项基础训练( 时间： 40 分钟 )1． (2015 ·标全国课Ⅰ改编 )已知 { a n} 是公差为 1 的等差数列，S n为 { a n} 的前 n 项和，若S8＝4S4，则 a10＝____________.2． (2015 ·京改编北 )设 { a n} 是等差数列，下列结论中正确的是________．①若 a1＋ a2＞ 0，则 a2＋ a3＞ 0；②若 a1＋ a3＜ 0，则 a1＋ a2＜ 0；③若 0＜ a1＜a2，则 a2＞a1a3；④若 a1＜ 0，则 (a2－a1)( a2－ a3)＞ 0.3．设等差数列{ a n } 的前 n 项和为 S n，若 S m－1＝－ 2， S m＝0， S m＋1＝ 3，则 m＝ ________.4．数列 { a n} 的首项为3，{ b n} 为等差数列，且 b n＝ a n＋1－ a n(n∈N* )，若 b3＝－ 2，b10＝ 12，则 a8＝ ________.5．已知数列 { a n} 满足 a n＋1＝ a n－5，且 a1＝5，设 { a n} 的前 n 项和为 S n，则使得 S n取得最大值的序号n7的值为 ________．6．已知数列 { a n} 中， a1＝ 1 且1＝11*)，则 a10＝ ________. n＋1a n＋ ( n∈N3a7．已知递增的等差数列{ a n} 满足 a1＝ 1， a3＝ a22－ 4，则 a n＝ ________.9．在等差数列{ a n } 中， a1＝ 1， a3＝－ 3.(1)求数列 { a n} 的通项公式；(2)若数列 { a n} 的前 k 项和 S k＝－ 35，求 k 的值．10． (2015 ·南模拟济 )等差数列 { a n} 中，设 S n为其前 n 项和，且a1＞ 0， S3＝ S11，则当 n 为多少时， S n 最大？B 组专项能力提升( 时间： 20 分钟 )11．已知正项等差数列{ a n} 的前 n 项和为 S n，若 S12＝ 24，则 a6·a7的最大值为 ________．12．设等差数列{ a n} 的前 n 项和为 S n，若 a1＝－ 3， a k＋1＝3， S k＝－ 12，则正整数k＝ ________. 213．设等差数列 { a n} ，{ b n} 的前 n 项和分别为 S n，T n，若对任意自然数n 2n－ 3a9＋a3n 都有S＝，则T n4n－ 3b5＋b7b8＋ b4的值为 ________．14．已知数列 { a n} 是首项为 a，公差为 1 的等差数列， b n＝1＋a n，若对任意的 n∈N*，都有 b n≥ b8成立，a n则实数 a 的取值范围为 ________．15．已知公差大于零的等差数列{ a n} 的前 n 项和为 S n，且满足 a3·a4＝ 117， a2＋ a5＝ 22.(1)求通项 a n；(2)求 S n的最小值；(3)若数列 { b n} 是等差数列，且b n＝S n，求非零常数 c.n＋ c。
2021届高三数学总复习第一轮——等差数列
等差数列高考大纲思维导图讲义导航知识梳理一、等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示二、等差数列的通项公式等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为a n＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为a m，则第n项为a n＝a m+（n﹣m）d．三、等差数列的性质（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则a m＝a n+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则a s+a t＝a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有a s+a t＝2a p；（5）若数列{a n}，{b n}均是等差数列，则数列{ma n+kb n}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）a n，a n﹣1，a n﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2a n+1＝a n+a n+2，2a n＝a n﹣m+a n+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）a m，a m+k，a m+2k，a m+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．四、等差数列的求和公式等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和的公式：①()12nnn a aS+=；②()112nn nS na d-=+．五、等差数列最值求解等差数列前n项和的最值问题可转化为项的正负问题，也可转化为二次函数最值问题.例题讲解一、等差数列定义的理解例1．下面数列中，是等差数列的有( ) ①4,5,6,7,8…②3,0，－3,0，－6，…③0,0,0,0…④110，210，310，410，… A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个例2．下列数列中不是等差数列的为（ ） A.0，0，0，0，0 B.0，1-，2-，3-，4- C.2，3，4，5，6 D.0，1，2，1，0二、等差数列通项公式例1．在等差数列{}n a 中，已知32a =，5815a a +=，则10(a = ) A ．64 B ．26C ．18D ．13例2．在等差数列{}n a 中，214a =，55a =，则公差(d = )A ．2-B ．3-C ．2D ．3例3．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则公差等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8三、等差数列的性质例1．等差数列{}n a 中，已知21016a a +=，则468(a a a ++= ) A ．16 B ．20 C ．24 D ．28例2．等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值是( )A ．14B ．15C ．16D ．17例3．已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=，则8a 的取值范围是( )A ．(2,4)B ．(,2)-∞C ．(2,)+∞D ．(4,)+∞四、等差数列的求和公式例1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S a =，且30a ≠，则43(S S = ) A ．1B ．53C ．83D ．3例2．等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 前9项的和9S 等于( ) A ．99 B ．66C ．144D ．297例3．设{}n a 是任意等差数列，它的前n 项和、前2n 项和与前4n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )A ．23X Z Y +=B ．44X Z Y +=C ．237X Z Y +=D ．86X Z Y +=六、等差数列最值求解例1．已知等差数列{}n a 中，39a a =，公差0d <，则使其前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是（ ）． A.4或5 B.5或6 C.6或7 D.不存在例2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值_______．例3．在各项均为正数的等比数列{a n }中，214a =，且a 4+a 5=6a 3．练习A1．下列说法中正确的是（ ）A.若a ，b ，c 成等差数列，则222,,a b c 成等差数列B.若a ，b ，c 成等差数列，则222log ,log ,log a b c 成等差数列C.若a ，b ，c 成等差数列，则a+2，b+2，c+2成等差数列D.若a ，b ，c 成等差数列，则2,2,2a b c 成等差数列2．已知下列各数列，其中为等差数列的个数为（ ） 1 4，5，6，7，8，... 2 3，0，-3，0，-6，... 3 0，0，0，0， (4)1234,,,,10101010… A.1 B.2C.3D.43．已若{}n a 是等差数列，则由下列关系确定的数列{}n b 也一定是等差数列的是（ ）A. 2n n b a =B. 2n n b a n =+C. 1n n n b a a +=+D. n n b na =4．已知数列{}n a 为等差数列，且39a =，53a =，则9a 等于( )A ．9-B ．6-C ．3-D ．275．已知等差数列{}n a 中，1232a a a ++=，3456a a a ++=，则91011a a a ++的值为( ) A ．18 B ．16 C ．14 D ．126．等差数列{}n a 中，若46101290a a a a +++=，则10141(3a a -= )A ．15B ．30C ．45D ．607．等差数列{}n a 中，31a =-，1117a =-，则7a 等于( )A ．9-B ．8-C ．92-D ．4-8．在等差数列{}n a 中，公差为12，1359960a a a a +++⋯+=，则246100(a a a a +++⋯+= ) A ．60 B ．70 C ．75 D ．859．已知等差数列{}n a 满足12910a a a ++⋯+=，则有( )A ．3890a a +=B ．2900a a +<C ．1910a a +>D ．4646a =10．已知数列{}n a 为等差数列，且17132a a a π++=，则7tan (a = )A．BC． D．11．已知0a >，0b >，并且1a ，12，1b成等差数列，则9a b +的最小值为( ) A ．16 B ．9C ．5D ．412．等差数列{}n a 中，已知21016a a +=，则468(a a a ++= ) A ．16 B ．20C ．24D ．2813．在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则10122a a -的值为( ) A ．20 B ．22C ．24D ．2814．等差数列{}n a 中，156a a +=，65a =，那么9a 的值是( ) A ．7- B ．7 C ．113-D ．11315．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则8967a a a a ++等于( )A．1+B．1-C．3+D．3-16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S a =，且30a ≠，则43(S S = ) A ．1B ．53C ．83D ．317．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若4104a a +=，则13(S = ) A ．13 B ．14C ．26D ．5218．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5(S = ) A ．5 B ．7C ．9D ．1019．在等差数列{}n a 中，若351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于( ) A ．8 B ．13C ．16D ．2620．在等差数列{}n a 中，若14739a a a ++=，36927a a a ++=，则9(S = ) A ．66 B ．99C ．144D ．29721．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若312S =，244a a +=，则6(S = ) A ．6 B ．12C ．15D ．1822．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，111a =-，466a a +=-．则当n S 取最小值时，(n = ) A ．6 B ．7C ．8D ．923．数列{}n a 的通项公式为2328n a n n =-，则数列{}n a 各项中最小项是( )A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第7项24．已知数列{}n a 是等差数列，若91130a a +<，10110a a <，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 得最小正值时，n 等于( ) A ．20 B ．17 C ．19 D ．2125．已知n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且564S S S >>，以下有四个命题：①数列{}n a 中的最大项为10S ②数列{}n a 的公差0d < ③100S >④110S <其中正确的序号是( )A ．②③B ．②③④C ．②④D ．①③④26．在等差数列{}n a 中，128a =-，公差4d =，若前n 项和n S 取得最小值，则n 的值为( ) A ．7 B ．8C ．7或8D ．8或927．数列{}n a 是首项为111a =，公差为2d =-的等差数列，那么使前n 项和n S 最大的n 值为( ) A ．4 B ．5C ．6D ．7练习B1．设{}n a 为等差数列，则下列数列中，成等差数列的个数为( )①2{}na ②{}n pa ③{}n pa q + ④{}(n na p 、q 为非零常数） A ．1 B ．2C ．3D ．42．等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，则对2n >时有( ) A ．1nn S a a n<< B ．1nn S a a n <<C ．1n n Sa a n<<D ．1,,n n Sa a n的大小不确定3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，在同一个坐标系中，()n a f n =及()n S g n =的部分图象如图所示，则( )A ．当4n =时，n S 取得最大值B ．当3n =时，n S 取得最大值C ．当4n =时，n S 取得最小值D ．当3n =时，n S 取得最小值4．已知数列{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和．若3916S S =，则612(S S = )A ．110B ．310C ．510D ．7105．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足100S >，110S <，则下列数值最大的是( )A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S6．等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，若3221n n S n T n -=+，则77(ab = ) A ．3727B ．3828C ．3929D ．40307．一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为( ) A ．10 B ．12 C ．14 D ．168．已知点(n ，*)()n a n N ∈都在直线3240x y --=上，那么在数列n a 中有79(a a += )A ．790a a +>B ．790a a +<C ．790a a +=D ．790a a =9．已知等差数列{}n a 满足3243a a =，则{}n a 中一定为零的项是( )A ．6aB ．8aC ．10aD ．12a10．在等差数列{}n a 中，15a =，470a a +=，则数列{}n a 中为正数的项的个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．711．已知数列{}n a 中，132(3n n a a ++= *)n N ∈，且356820a a a a +++=，那么10a 等于( ) A ．8 B ．5 C ．263D ．712．若等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，记nn S b n=，则( ) A ．数列{}n b 是等差数列，{}n b 的公差也为dB ．数列{}n b 是等差数列，{}n b 的公差为2dC ．数列{}n n a b +是等差数列，{}n n a b +的公差为dD ．数列{}n n a b -是等差数列，{}n n a b -的公差为2d13．等差数列{}n a 中，已知113a =，254a a +=，33n a =，则n 为( )A ．48B ．49C ．50D ．5114．若等差数列的首项是24-，且从第10项开始大于零，则公差d 的取值范围是( )A ．83d > B ．3d < C ．833d < D ．833d <15．在数列{}n a 中，若1332()n n a a n N +=+∈，且247920a a a a +++=，则10a 为( ) A ．5 B ．7C ．8D ．1016．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，111a =-，466a a +=-．则当n S 取最小值时，(n = ) A ．6 B ．7C ．8D ．917．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，63a =，则48(a a += )A ．有最小值6B ．有最大值6C ．有最大值9D ．有最小值318．已知实数序列1a ，2a ，⋯，n a 满足：任何连续3项之和均为负数，且任何4项之和均为正数，则n 的最大值是( ) A ．4 B ．5C ．6D ．719．已知n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且564S S S >>，以下有四个命题：①数列{}n a 中的最大项为10S ②数列{}n a 的公差0d < ③100S >④110S <其中正确的序号是( )A ．②③B ．②③④C ．②④D ．①③④20．已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，如果21a =，那么这个数列前3项的和3S 的取值范围是( )A ．(-∞，1]-B ．[1，)+∞C ．[2，)+∞D ．[3，)+∞21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ，下列四个命题中，假命题是( )A ．公差d 的最大值为2-B ．70S <C ．记n S 的最大值为K ，K 的最大值为30D ．20162017a a >练习C1．已知||0x y >>．将四个数,,x x y x y -+( )A ．当0x >时，存在满足已知条件的x ，y ，四个数构成等比数列B ．当0x >时，存在满足已知条件的x ，y ，四个数构成等差数列C ．当0x <时，存在满足已知条件的x ，y ，四个数构成等比数列D ．当0x <时，存在满足已知条件的x ，y ，四个数构成等差数列2．等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，则对2n >时有( )A ．1nn S a a n<< B ．1nn S a a n<<C ．1nn S a a n<< D ．1,,nn S a a n的大小不确定3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，在同一个坐标系中，()n a f n =及()n S g n =的部分图象如图所示，则( )A ．当4n =时，n S 取得最大值B ．当3n =时，n S 取得最大值C ．当4n =时，n S 取得最小值D ．当3n =时，n S 取得最小值4．等差数列，的前项和分别为，，若，则 A ． B ．C ．D ．5．在等差数列中，，其前项和为，若，则 A ． B ．C ．2008D ．20096．设为等差数列，则下列数列中，成等差数列的个数为① ② ③ ④、为非零常数） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．设表示等差数列的前项和，已知，那么等于 A ．B ．C ．D ．8．等差数列中，，，则该数列前项之和为{}n a {}n b n n S n T 231n n S n T n =+(n na b =)232131n n --2131n n ++2134n n -+{}n a 12007a =-n n S 20082006220082006S S -=2009(S =)2009-2008-{}n a ()2{}na {}n pa {}n pa q +{}(n na p q n S {}n a n 51013S S =1020SS ()193101813{}n a 1m a k =1()k a m k m=≠mk ()A ．B ．C ．D ．9．设数列为等差数列，其前项和为，已知，，若对任意，都有成立，则的值为A ．22B ．21C ．20D ．1910．设等差数列的公差为，前项和为．若，则的最小值为 A ．10 B ．C ．D ．二．填空题（共2小题） 11．在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则使取得最小正数的 19 ．12．已知两个等差数列、的前项和分别为和，若，则使为整数的正整数的个数是 5个 ．课后练习1．等差数列中，若，则 ．2．设等差数列的前项和为，若，，则 0 ，的最小值为 ．3．等差数列中，，，则取最大值时， 6或7 ．4．已知等差数列的前项和为，能够说明“若数列是递减数列，则数列是递减数列”是假命题的数列的一个通项公式为 （答案不唯一） ．5．设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差等于 ．6．若等差数列满足，则12mk-2mk12mk +12mk+{}n a n n S 14799a a a ++=25893a a a ++=*n N ∈n k S S k (){}n a d n n S 11a d ==8n nS a +()927212+{}n a 11101a a <-n n S n S n ={}n a {}n b n n A n B 7453n n A n B n +=+n na b {}n a 31110a a +=678a a a ++={}n a n n S 23a =-510S =-5a =n S {}n a 10a >49S S =n S n ={}n a n n S {}n a {}n S {}n a 27n a n =-+{}n a n n S 1122S =71a ={}n a 1-{}n a 1461,52a a a =+=2019a =20192二．解答题（共3小题）7．在等差数列中，已知，，． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）求．8．设等差数列满足，． （1）求的通项公式；（2）求的前项和及使得最大的序号的值．9．已知为等差数列，，． ( I ) 求数列的通项公式以及前项和． （Ⅱ）求使得的最小正整数的值．{}n a 1312a a +=2418a a +=*n N ∈{}n a 3693n a a a a +++⋯+{}n a 35a =109a =-{}n a {}n a n n S n S n {}n a 112a =-562a a ={}n a n n S 14n S >n。
高考数学等差数列必考知识点
高考数学等差数列必考知识点高考数学等差数列必考知识点高考数学等差数列是高考数学的必考知识点，你对等差数列了解多少，下面由店铺为大家介绍一下高考数学等差数列知识点，感兴趣的朋友们来看一下吧!高考数学等差数列知识点高中数学知识点一：等差数列公式等差数列公式an=a1+(n-1)da1为首项，an为第n项的通项公式，d为公差前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2Sn=(a1+an)n/2若m+n=p+q则：存在am+an=ap+aq若m+n=2p则：am+an=2ap以上n.m.p.q均为正整数解析：第n项的值an=首项+(项数-1)×公差前n项的和Sn=首项×n+项数(项数-1)公差/2公差d=(an-a1)÷(n-1)项数=(末项-首项)÷公差+1数列为奇数项时，前n项的和=中间项×项数数列为偶数项，求首尾项相加，用它的和除以2等差中项公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差数列通项公式：公差×项数+首项-公差高中数学知识点二：等差数列求和公式若一个等差数列的首项为a1，末项为an那么该等差数列和表达式为：S=(a1+an)n÷2即(首项+末项)×项数÷2前n项和公式注意：n是正整数(相当于n个等差中项之和)等差数列前N项求和，实际就是梯形公式的妙用：上底为：a1首项，下底为a1+(n-1)d，高为n。
即[a1+a1+(n-1)d]* n/2={a1n+n(n-1)d}/2。
高中数学知识点三：推理过程设首项为 , 末项为 , 项数为 , 公差为 , 前项和为 , 则有:当d≠0时，Sn是n的'二次函数，(n，Sn)是二次函数的图象上一群孤立的点。
利用其几何意义可求前n项和Sn的最值。
注意：公式一二三事实上是等价的，在公式一中不必要求公差等于一。
求和推导证明：由题意得：Sn=a1+a2+a3+。
高三数学第一轮复习(等差数列)
基础知识点
3.等差中项:若a,b,c 成等差数列,则b c 称a与c的等差中项,且 b a 2 a,b,c 成等差数列2b=a+c n ( a an) 1 4.前n项和公式:Sn na1 n(n1) d 2 2
基础知识点
3.等差中项:若a,b,c 成等差数列,则b c 称a与c的等差中项,且 b a 2 a,b,c 成等差数列2b=a+c n ( a an) 1 4.前n项和公式:Sn na1 n(n1) d 2 2
基础知识点
5.等差数列的判定方法: 定义法:an+1-an=d(常数)(nN*){an} 是等差数列 中项公式法:2an+1=an+an+2(nN*) {an}是等式法:an=kn+b(k,b是常数) (nN*){an}是等差数列 前n项和公式法:Sn=An2 +Bn(A,B常 数)(nN*){an}是等差数列,首项 为A+B,公差为d=2A.
关于基本量的题型
例1.在等差数列{an}中 (1)已知a15=33,a45=153,求a61; (2)已知S8=48,S12=168,求a1和d; (3)已知a6=10,S5=5,求a8和S8; (4)已知a16=3,求S31;
等差数列前n项和的应用
例2.在数列{an}的前n项和Sn=100n-n2 (nN*) (1){an}是什么数列? (2)设bn=|an|,求数列{bn}的前n项和Tn
高三数学第一轮复习
等差数列
考纲要求
• 理解等差数列的概念,掌握等差数列 的通项公式和前n项和公式,并能运 用这些知识解决一些问题.
重点与难点
• 重点:理解等差数列的概念;掌握等 差数列的通项公式和前n项和公式. • 难点:通项公式和前n项和公式的变 形运用.
高考等差数列知识点
高考等差数列知识点在高考数学考试中，等差数列是一个经常出现的重要知识点。
掌握等差数列可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，同时也是解决实际问题的一种有效工具。
本文将介绍等差数列的基本概念、性质以及应用，帮助读者更好地掌握和理解高考涉及的等差数列知识点。
一、等差数列的定义和性质等差数列是一种特殊的数列，它的每一项与前一项之差都相等。
如果一个数列满足这个条件，那么我们就称其为等差数列。
等差数列通常用字母a, d来表示，其中a是首项，d是公差。
数列的通项公式可以表示为：an = a + (n-1)d在等差数列中，首项a是指数列的第一项，公差d是相邻两项之间的差值。
等差数列的一个重要性质是，任意两项之和等于首项和末项之和的一半乘以项数。
这一性质在高考中经常被用于求和问题的解答过程中。
二、等差数列的求和在高考数学中，等差数列的求和问题经常被考察。
当给定等差数列的首项、末项和项数时，我们可以利用等差数列的求和公式来求解。
等差数列的求和公式可以表示为：Sn = n/2 * (a + l)其中，Sn表示等差数列的前n项和，a表示首项，l表示末项。
利用等差数列的求和公式，我们可以迅速求得数列的和。
在高考数学中，这种技巧经常用于求解复杂的数学题，其中需要快速计算等差数列的和。
三、等差数列的应用等差数列在实际生活和科学研究中有广泛的应用。
例如，它可以用于描述人口增长、物种数量的变化、财富的积累等。
等差数列还常常用于建模和解决实际问题。
例如，在金融领域中，我们可以利用等差数列的知识来分析贷款的还款计划。
在计算机科学中，等差数列的知识也被应用于算法设计、数据结构等领域。
除了在实际应用中的广泛应用外，等差数列还是高中数学的基础知识，对于理解和学习更高阶数学概念起到了重要的作用。
学好等差数列不仅可以提高数学素养，还可以培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
总结：等差数列是高考数学中的重要基础知识，它常常出现在考试中。
掌握等差数列的定义、性质以及求和公式是必不可少的。
2024届高考数学一轮总复习第四章数列第二讲等差数列及其前n项和课件
(2)解：由已知有 a72＝a4·a9，设等差数列{an}的首项为 x，由(1) 知其公差为 1，
证明：由题意可知，数列{ Sn}的首项为 a1，设等差数列{ Sn} 的公差为 d，
则 d＝ S2－ S1＝ a1＋a2－ a1＝ a1， 所以 Sn＝ S1＋( S2－ S1)＋( S3－ S2)＋…＋( Sn－ Sn－1) ＝ a1＋(n－1) a1＝n a1， 即 Sn＝a1·n2，
所以 an＝aS1n，－nS＝ n－11＝，(2n－1)a1，n≥2， 当 n＝1 时，(2×1－1)a1＝a1， 所以 an＝(2n－1)a1， 所以 an＋1－an＝2a1，所以数列{an}是以 a1 为首项，2a1 为公差 的等差数列.
①当
a1>0，d<0
am≥0， 时，满足am＋1≤0
的项数 m 使得 Sn 取得最
大值为 Sm(当 am＋1＝0 时，Sm＋1 也为最大值)；
a8＋a10＝80，则 a7－12a8＝(
)
A.4
B.6
C.8
D.10
解析：∵a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80， ∴a6＝16，又 a6＋a8＝2a7，∴a7＝21a6＋12a8，即 a7－12a8＝
12a6＝8，故选 C. 答案：C
【题后反思】等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)， 则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列， 公差为2d.
2025届高考数学一轮总复习第六章数列第四节数列求和
41 + 2 ×
= 32,
1 = 5,
S4=32,T3=16,得
解得
所以
= 2.
(1 -6) + 2(1 + ) + (1 + 2-6) = 16,
an=a1+(n-1)d=2n+3.
(2)证明 由(1)可得
[5+(2+3)]
Sn=
=n2+4n.
2
当 n 为奇数时,Tn=a1-6+2a2+a3-6+2a4+a5-6+2a6+…+an-2-6+2an-1+an-6
×…× ×a2= × ×…× ×1=n-1.
-2
2
1
-2 -3
显然 a1=0 满足,∴an=n-1(n∈N*).
(2)由(1)可知 an=n-1(n∈N*),
+1
1
1 1
1 2
1 3
1
∴an+1=n,∴ =n· ,∴Tn=1×
+2×
+3×
+…+n· ,
2
2
2
2
2
2
1
1 2
1 3
1
2
2
+(
1
2
2
−
1
2 )+…+
3
1
1
1
2 - 2 =1-81
8 9
=
80
.
81
=
1
2
−
1
(+1)
2,
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【互动探究】
3．一个等差数列的前 4 项之和是 40，最后 4 项之和为 80， 所有项之和是 210，则项数 n 是( B )
A．12
B．14
C．16
D．18
错源：忽略对n进行分类讨论
例 4：已知一个等差数列{an}的通项公式 an＝25－5n，求数 列{ |an|} 的前 n 项和 Sn.
误解分析：解本题易出现的错误就是：(1)由an≥0 得，n≤5 理解为n＝5，得出结论：Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝50(n≤5)，
所有项的和为 780，则这个数列的项数 n＝________.
解题思路：(1)利用等差数列的有关性质求解．(2)利用等差 数列的前4项和及后4项和求出a1＋an，代入Sn 可求项数n.
解析：(1)S11＝11a12＋a11＝11×2 2a6＝11a6＝1 100.
(2)∵a1＋a2＋a3＋a4＝36，an＋an-1＋an-2＋an-3＝124， a1＋an＝a2＋an-1＝a3＋an-2＝a4＋an-3， ∴4(a1＋an)＝160⇒a1＋an＝40， ∴Sn＝ na1＋2 an＝780⇒20n＝780⇒n＝39.
Sn＝20－5n2n－5.(2)把“前 n 项和”认为“从 n≥6 起”的和．
，
∴S110＝1102A＋110B＝－110. 方法三：∵S100－S10＝90a112＋a100＝－90⇒a11＋a100＝－2， ∴S110＝110a12＋a110＝110a112＋a100＝－110.
方法四：∵{an}为等差数列，∴Snn为等差数列， ∴10，S1100，100，1S01000，110，S111100三点共线， ∴1S10100000－－S111000＝1S11111000－ －11S0010000⇒110－ 9010＝S1111001－0 110 ⇒S110＝－110.
∴d＝2，由已知an＝55－46＝9，即－5＋(n－1)×2＝9，解得 n ＝8.
考点 2 求等差数列的前 n 项和
例 2：已知Sn为等差数列{an}的前 n 项和，S10＝100，S100 ＝10，求 S110.
解题思路：利用方程的思想将Sn表示成关于a1、d 的方程， 或利用等差数列的性质．
解析：方法一：设等差数列的公差为 d，
第 2 讲 等差数列
1．等差数列的概念 如果一个数列从第二项起，__每__一__项__与_它__前__一__项__的__差___等于同 一个常数 d，这个数列叫做等差数列，常数 d 称为等差数列的_公__ _差__． 2．通项公式与前 n 项和公式
3．(1)通项公式 __a_n_＝_a_1_＋__(_n_－__1_)d__，a1 为首项，d 为公差．
4．已知数列{an}为等差数列，且 a1＋a7＋a13＝π4，则 tan(a2 3
＋a12)＝__3___.
5．已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，a1＝1，a4＝7，Sn ＝100，则 n＝__1_0_.
考点 1 等差数列的基本量运算
例 1：等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知 a10＝20，S10 ＝155.
{an}是等差数列．
1．设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，已知a2＝3，a6＝11， 则 S7 等于( C )
A．13
B．35
C．49
D. 63
2．已知{an}为等差数列，a1＋a3＝8，S4＝10，则a6 等于( C )
A．4
B．－8
C．12
D．16
3．已知Sn为等差数列{an}的前 n 项和，a4＝9，a9＝－6， Sn＝63，则 n＝_6__或__7__.
⇒n2＋21n－820＝0，解得：n＝20 或n＝－41(舍去)．
【互动探究】
1．等差数列{an}的首项a1＝－5，它的前 11 项的平均值为 5，若从中抽去一项，余下的 10 项的平均值为 4.6，则抽去的是
( B) A．a6
B．a8
C．a10
D．a11
解析：已知S11＝55，即11a1＋ 11×2 10d＝55，又a1＝－5，
4．等差数列的判定方法 (1)定义法：_a_n＋__1－__a_n_＝__d_(n∈N*，d 是常数)⇔{an}是等差数 列． (2)中项法：_2_a_n＋__1＝__a_n_＋__a_n_＋_2 (n∈N*)⇔{an}是等差数列． (3)通项公式法：a_n_＝__k_n_＋__b_(k、b 是常数)⇔{an}是等差数列． (4)前 n 项和公式法：__S_n＝__A_n_2_＋__B_n_(A、B 是常数，A≠0)⇔
则11000a1a＋1＋445d9＝501d0＝0 10 ⇒ad1＝＝－11510010909
∴S110＝110a1＋12×110×109d＝－110. 方法二：∵{an}为等差数列，∴可设 Sn＝An2＋Bn，
则1100002AA＋＋1100B0＝B＝10100 ⇒AB＝ ＝1－110111010
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若 Sn＝410，求 n.
解析：(1)由S10＝
a1＋a10×n＝a1＋20×10＝155，
2
2
得：a1＝11，a10＝a1＋9d⇒20＝11＋9d⇒d＝1，
an＝a1＋(n－1)d＝10＋n. (2)Sn＝na1＋nn－2 1d＝11n＋nn2－1＝410
(2)前 n 项和公式_S_n＝__n__a_1_2＋__a_n_或__S_n_＝__n_a_1_＋__12_n_(n_－__1_)_d___.
3．等差中项 如果_a_,A__,b____成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项． 即：A 是 a 与 b 的等差中项⇔_2_A_＝__a_＋__b_⇔a、A、b 成等差n 等差数列的性质或基本量法．
【互动探究】 1 2．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 6S5－5S3＝5，则a4=
__3__.
考点 3 等差数列性质的应用 例 3：(1)已知Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，a6＝100，则 S11＝________； (2)若一个等差数列的前 4 项和为 36，后 4 项和为 124，且