2018—2020年江苏省数学中考试题分类(13)——圆(含解析)

2018—2020年江苏省数学中考试题分类（13）——圆一．选择题（共16小题） 1．（2020•镇江）如图，AB 是半圆的直径，C 、D 是半圆上的两点，106ADC ∠=︒，则CAB ∠等于( )A ．10︒B ．14︒C ．16︒D ．26︒ 2．（2020•南通）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：)cm ，则这个几何体的侧面积为( )A ．248cm π B ．224cm π C ．212cm π D ．29cm π 3．（2020•扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A 、B 、C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 、D ，则sin ADC ∠的值为( )A ．213 B ．313 C ．23 D ．324．（2020•徐州）如图，AB 是O 的弦，点C 在过点B 的切线上，OC OA ⊥，OC 交AB 于点P ．若70BPC ∠=︒，则ABC ∠的度数等于( )A ．75︒B ．70︒C ．65︒D ．60︒ 5．（2020•南京）如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，P 与x 轴、y 轴都相切，且经过矩形AOBC 的顶点C ，与BC 相交于点D ．若P 的半径为5，点A 的坐标是(0,8)．则点D 的坐标是( )A ．(9,2)B ．(9,3)C ．(10,2)D ．(10,3) 6．（2020•淮安）如图，点A 、B 、C 在O 上，54ACB ∠=︒，则ABO ∠的度数是( )A ．54︒B ．27︒C ．36︒D ．108︒7．（2020•泰州）如图，半径为10的扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 为AB 上一点，CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ．若CDE ∠为36︒，则图中阴影部分的面积为( )A ．10πB ．9πC ．8πD ．6π 8．（2020•连云港）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A 、B 、C 、D 、E 、O 均是正六边形的顶点．则点O 是下列哪个三角形的外心( )A ．AED ∆B ．ABD ∆C ．BCD ∆ D ．ACD ∆9．（2020•苏州）如图，在扇形OAB 中，已知90AOB ∠=︒，2OA =过AB 的中点C 作CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ，则图中阴影部分的面积为( )A ．1π-B ．12π- C ．12π-D ．122π- 10．（2019•宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是( )A ．63π-B ．632π-C ．63π+D ．632π+ 11．（2019•苏州）如图，AB 为O 的切线，切点为A ，连接AO 、BO ，BO 与O 交于点C ，延长BO 与O 交于点D ，连接AD ．若36ABO ∠=︒，则ADC ∠的度数为( )A ．54︒B ．36︒C ．32︒D ．27︒ 12．（2019•连云港）如图，在矩形ABCD 中，22AD AB =．将矩形ABCD 对折，得到折痕MN ；沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，ME 与BC 的交点为F ；再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，此时点B 的对应点为G ．下列结论：①CMP ∆是直角三角形；②点C 、E 、G 不在同一条直线上；③6PC MP =；④2BP AB =；⑤点F 是CMP ∆外接圆的圆心，其中正确的个数为( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个13．（2018•常州）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA 的0刻度固定在半圆的圆心O 处，刻度尺可以绕点O 旋转．从图中所示的图尺可读出sin AOB ∠的值是( )A．58B．78C．710D．4514．（2018•常州）如图，AB是O的直径，MN是O的切线，切点为N，如果52MNB∠=︒，则NOA∠的度数为()A．76︒B．56︒C．54︒D．52︒15．（2018•苏州）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是AC上的点，若40BOC∠=︒，则D∠的度数为()A．100︒B．110︒C．120︒D．130︒16．（2018•盐城）如图，AB为O的直径，CD是O的弦，35ADC∠=︒，则CAB∠的度数为()A．35︒B．45︒C．55︒D．65︒二．填空题（共17小题）17．（2020•镇江）圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于．18．（2020•宿迁）用半径为4，圆心角为90︒的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为．19．（2020•徐州）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若18ADB∠=︒，则这个正多边形的边数为．20．（2020•徐州）如图，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，4AC=，3BC=．若以AC所在直线为轴，把ABC∆旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于．21．（2020•徐州）在ABC ∆中，若6AB =，45ACB ∠=︒．则ABC ∆的面积的最大值为 ． 22．（2020•盐城）如图，在O 中，点A 在BC 上，100BOC ∠=︒．则BAC ∠= ︒．23．（2020•南京）如图，在边长为2cm 的正六边形ABCDEF 中，点P 在BC 上，则PEF ∆的面积为 2cm ．24．（2020•连云港）如图，正六边形123456A A A A A A 内部有一个正五边形12345B B B B B ，且3434//A A B B ，直线l 经过2B 、3B ，则直线l 与12A A 的夹角α= ︒．25．（2020•苏州）如图，已知AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，连接OC 交O 于点D ，连接BD ．若40C ∠=︒，则B ∠的度数是 ︒．26．（2019•无锡）如图，AB为O的直径，点C、D在O上，若70∠的度数是．CBA∠=︒，则D27．（2019•常州）如图，半径为3的O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan OCB∠=．28．（2019•泰州）如图，O的半径为5，点P在O上，点A在O内，且3AP=，过点A作AP的垂线=，则y与x的函数表达式为．交O于点B、C．设PB x=，PC y29．（2019•连云港）如图，点A、B、C在O上，6∠=︒，则O的半径为．BC=，30BAC30．（2019•扬州）如图，AC是O的内接正六边形的一边，点B在AC上，且BC是O的内接正十边形的一边，若AB是O的内接正n边形的一边，则n=．31．（2019•连云港）一圆锥的底面半径为2，母线长3，则这个圆锥的侧面积为．32．（2019•宿迁）直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为．a<，点C是以OA为直径的B上一动点，点A关于点C 33．（2018•无锡）如图，点A的坐标是(a，0)(0)的对称点为P．当点C在B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线113y x=--有且只有一个公共点，则a的值等于．三．解答题（共12小题）34．（2020•宿迁）如图，在ABC∆中，D是边BC上一点，以BD为直径的O经过点A，且CAD ABC∠=∠．（1）请判断直线AC是否是O的切线，并说明理由；（2）若2CD=，4CA=，求弦AB的长．35．（2020•镇江）如图，ABCD中，ABC∠的平分线BO交边AD于点O，4OD=，以点O为圆心，OD 长为半径作O，分别交边DA、DC于点M、N．点E在边BC上，OE交O于点G，G为MN的中点．（1）求证：四边形ABEO为菱形；（2）已知1cos3ABC∠=，连接AE，当AE与O相切时，求AB的长．36．（2020•盐城）如图，O是ABC∆的外接圆，AB是O的直径，DCA B∠=∠．（1）求证：CD是O的切线；（2）若DE AB⊥，垂足为E，DE交AC于点F，求证：DCF∆是等腰三角形．37．（2020•常州）如图1，I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交I于P、Q两点(Q在P、H之间）．我们把点P称为I关于直线a的“远点“，把PQ PH的值称为I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为(0,4)．半径为1的O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则O关于直线m的“远点”是点（填“A”．“B”、“C”或“D”)，O 关于直线m 的“特征数”为 ；②若直线n 的函数表达式为34y x =+．求O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点(1,4)M ，点F 是坐标平面内一点，以F 为圆心，2为半径作F ．若F 与直线l 相离，点(1,0)N -是F 关于直线l 的“远点”．且F 关于直线l 的“特征数”是45，求直线l 的函数表达式．38．（2020•连云港）（1）如图1，点P 为矩形ABCD 对角线BD 上一点，过点P 作//EF BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若2BE =，6PF =，AEP ∆的面积为1S ，CFP ∆的面积为2S ，则12S S += ； （2）如图2，点P 为ABCD 内一点（点P 不在BD 上），点E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PFCG 的面积为2S （其中21)S S >，求PBD ∆的面积（用含1S 、2S 的代数式表示）；（3）如图3，点P 为ABCD 内一点（点P 不在BD 上），过点P 作//EF AD ，//HG AB ，与各边分别相交于点E 、F 、G 、H ．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PGCF 的面积为2S （其中21)S S >，求PBD ∆的面积（用含1S 、2S 的代数式表示）； （4）如图4，点A 、B 、C 、D 把O 四等分．请你在圆内选一点P （点P 不在AC 、BD 上），设PB 、PC 、BC 围成的封闭图形的面积为1S ，PA 、PD 、AD 围成的封闭图形的面积为2S ，PBD ∆的面积为3S ，PAC∆的面积为4S ，根据你选的点P 的位置，直接写出一个含有1S 、2S 、3S 、4S 的等式（写出一种情况即可）．39．（2020•扬州）如图，ABC ∆内接于O ，60B ∠=︒，点E 在直径CD 的延长线上，且AE AC =． （1）试判断AE 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若6AC =，求阴影部分的面积．40．（2020•南京）如图，在ABC ∆中，AC BC =，D 是AB 上一点，O 经过点A 、C 、D ，交BC 于点E ，过点D 作//DF BC ，交O 于点F ． 求证：（1）四边形DBCF 是平行四边形； （2）AF EF =．41．（2020•苏州）如图，已知90MON ∠=︒，OT 是MON ∠的平分线，A 是射线OM 上一点，8OA cm =．动点P 从点A 出发，以1/cm s 的速度沿AO 水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q 从点O 出发，也以1/cm s 的速度沿ON 竖直向上作匀速运动．连接PQ ，交OT 于点B ．经过O 、P 、Q 三点作圆，交OT 于点C ，连接PC 、QC ．设运动时间为()t s ，其中08t <<． （1）求OP OQ +的值；（2）是否存在实数t ，使得线段OB 的长度最大？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由． （3）求四边形OPCQ 的面积．42．（2019•镇江）【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的)O ．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩” )，尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的． 【实际应用】观测点A 在图1所示的O 上，现在利用这个工具尺在点A 处测得α为31︒，在点A 所在子午线往北的另一个观测点B ，用同样的工具尺测得α为67︒．PQ 是O 的直径，PQ ON ⊥． （1）求POB ∠的度数；（2）已知6400OP km =，求这两个观测点之间的距离即O 上AB 的长．(π取3.1)43．（2019•镇江）在三角形纸片ABC （如图1)中，78BAC ∠=︒，10AC =．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2)． （1）ABC ∠= ︒；（2）求正五边形GHMNC 的边GC 的长．参考值：sin780.98︒≈，cos780.21︒≈，tan78 4.7︒≈．44．（2019•常州）已知平面图形S ，点P 、Q 是S 上任意两点，我们把线段PQ 的长度的最大值称为平面图形S 的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度． （1）写出下列图形的宽距： ①半径为1的圆： ；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“： ；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -、(1,0)B ，C 是坐标平面内的点，连接AB 、BC 、CA 所形成的图形为S ，记S 的宽距为d ．①若2d =，用直尺和圆规画出点C 所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；②若点C 在M 上运动，M 的半径为1，圆心M 在过点(0,2)且与y 轴垂直的直线上．对于M 上任意点C ，都有58d ，直接写出圆心M 的横坐标x 的取值范围．45．（2019•扬州）如图，AB是O的弦，过点O作OC OA=．⊥，OC交AB于P，CP BC （1）求证：BC是O的切线；（2）已知25∠=︒，点Q是AmB上的一点．BAO∠的度数；①求AQB②若18OA=，求AmB的长．2018—2020年江苏省数学中考试题分类（13）——圆一．选择题（共16小题）1．（2020•镇江）如图，AB 是半圆的直径，C 、D 是半圆上的两点，106ADC ∠=︒，则CAB ∠等于( )A ．10︒B ．14︒C ．16︒D ．26︒【解答】解：连接BD ，如图，AB 是半圆的直径，90ADB ∴∠=︒，1069016BDC ADC ADB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，16CAB BDC ∴∠=∠=︒．故选：C ．2．（2020•南通）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：)cm ，则这个几何体的侧面积为( )A ．248cm πB ．224cm πC ．212cm πD ．29cm π【解答】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，所以这个几何体的侧面积216824()2cm ππ=⨯⨯⨯=． 故选：B ．3．（2020•扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A 、B 、C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 、D ，则sin ADC ∠的值为( )A 213B 313C ．23D ．32【解答】解：如图，连接AC 、BC ．ADC ∠和ABC ∠所对的弧长都是AC ，∴根据圆周角定理知，ADC ABC ∠=∠．在Rt ACB ∆中，根据锐角三角函数的定义知， sin AC ABC AB∠=， 2AC =，3BC =，2213AB AC BC ∴=+=，213sin 13ABC ∴∠==， 213sin ADC ∴∠=． 故选：A ．4．（2020•徐州）如图，AB 是O 的弦，点C 在过点B 的切线上，OC OA ⊥，OC 交AB 于点P ．若70BPC ∠=︒，则ABC ∠的度数等于( )A ．75︒B ．70︒C ．65︒D ．60︒ 【解答】解：OC OA ⊥，90AOC ∴∠=︒，70APO BPC ∠=∠=︒，907020A ∴∠=︒-︒=︒，OA OB =，20OBA A ∴∠=∠=︒，BC 为O 的切线，OB BC ∴⊥，90OBC ∴∠=︒，902070ABC ∴∠=︒-︒=︒．故选：B ．5．（2020•南京）如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，P 与x 轴、y 轴都相切，且经过矩形AOBC 的顶点C ，与BC 相交于点D ．若P 的半径为5，点A 的坐标是(0,8)．则点D 的坐标是( )A ．(9,2)B ．(9,3)C ．(10,2)D ．(10,3)【解答】解：设O 与x 、y 轴相切的切点分别是F 、E 点，连接PE 、PF 、PD ，延长EP 与CD 交于点G ，则PE y ⊥轴，PF x ⊥轴，90EOF ∠=︒，∴四边形PEOF 是矩形，PE PF =，//PE OF ，∴四边形PEOF 为正方形，5OE PF PE OF ∴====， (0,8)A ，8OA ∴=，853AE ∴=-=，四边形OACB 为矩形，8BC OA ∴==，//BC OA ，//AC OB ，//EG AC ∴，∴四边形AEGC 为平行四边形，四边形OEGB 为平行四边形，3CG AE ∴==，EG OB =，PE AO ⊥，//AO CB ，PG CD ∴⊥，26CD CG ∴==，862DB BC CD ∴=-=-=，5PD =，3DG CG ==，4PG ∴=，549OB EG ∴==+=，(9,2)D ∴．故选：A ．6．（2020•淮安）如图，点A 、B 、C 在O 上，54ACB ∠=︒，则ABO ∠的度数是( )A ．54︒B ．27︒C ．36︒D ．108︒【解答】解：54ACB ∠=︒，∴圆心角2108AOB ACB ∠=∠=︒，OB OA =，1(180)362ABO BAO AOB ∴∠=∠=⨯︒-∠=︒， 故选：C ． 7．（2020•泰州）如图，半径为10的扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 为AB 上一点，CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ．若CDE ∠为36︒，则图中阴影部分的面积为( )A ．10πB ．9πC ．8πD ．6π【解答】解：连接OC ，90AOB ∠=︒，CD OA ⊥，CE OB ⊥，∴四边形CDOE 是矩形，//CD OE ∴，36DEO CDE ∴∠=∠=︒，由矩形CDOE 易得到DOE CEO ∆≅∆，36COB DEO ∴∠=∠=︒∴图中阴影部分的面积=扇形OBC 的面积，2361010360OBC S ππ⋅⨯==扇形 ∴图中阴影部分的面积10π=，故选：A ．8．（2020•连云港）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A 、B 、C 、D 、E 、O 均是正六边形的顶点．则点O 是下列哪个三角形的外心( )A ．AED ∆B ．ABD ∆C ．BCD ∆ D ．ACD ∆【解答】解：从O 点出发，确定点O 分别到A ，B ，C ，D ，E 的距离，只有OA OC OD ==， 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，∴点O 是ACD ∆的外心，故选：D ．9．（2020•苏州）如图，在扇形OAB 中，已知90AOB ∠=︒，2OA =，过AB 的中点C 作CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ，则图中阴影部分的面积为( )A ．1π-B ．12π- C ．12π- D ．122π- 【解答】解：CD OA ⊥，CE OB ⊥，90CDO CEO AOB ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形CDOE 是矩形，连接OC ， 点C 是AB 的中点，AOC BOC ∴∠=∠，OC OC =，()COD COE AAS ∴∆≅∆，OD OE ∴=，∴矩形CDOE 是正方形，2OC OA ==，1OE ∴=，∴图中阴影部分的面积9021113602ππ⨯=-⨯=-， 故选：B ．10．（2019•宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是( )A ．63π-B ．632π-C ．63π+D ．632π+【解答】解：6个月牙形的面积之和213(2623)632πππ=--⨯⨯⨯=-， 故选：A ．11．（2019•苏州）如图，AB 为O 的切线，切点为A ，连接AO 、BO ，BO 与O 交于点C ，延长BO 与O 交于点D ，连接AD ．若36ABO ∠=︒，则ADC ∠的度数为( )A ．54︒B ．36︒C ．32︒D ．27︒【解答】解：AB 为O 的切线，90OAB ∴∠=︒，36ABO ∠=︒，9054AOB ABO ∴∠=︒-∠=︒，OA OD =，ADC OAD ∴∠=∠，AOB ADC OAD ∠=∠+∠，1272ADC AOB ∴∠=∠=︒； 故选：D ．12．（2019•连云港）如图，在矩形ABCD 中，22AD AB =．将矩形ABCD 对折，得到折痕MN ；沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，ME 与BC 的交点为F ；再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，此时点B 的对应点为G ．下列结论：①CMP ∆是直角三角形；②点C 、E 、G 不在同一条直线上；③6PC MP =；④2BP AB =；⑤点F 是CMP ∆外接圆的圆心，其中正确的个数为( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解答】解：沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，DMC EMC ∴∠=∠，再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，AMP EMP ∴∠=∠，180AMD ∠=︒，1180902PME CME ∴∠+∠=⨯︒=︒， CMP ∴∆是直角三角形；故①正确；沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，90D MEC ∴∠=∠=︒，再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，90MEG A ∴∠=∠=︒，180GEC ∴∠=︒，∴点C 、E 、G 在同一条直线上，故②错误；2AD=，∴设AB x =，则AD =，将矩形ABCD 对折，得到折痕MN ；12DMAD ∴==， CM ∴=，90PMC ∠=︒，MN PC⊥，2CM CN CP∴=，2CP ∴=，2PN CP CNx ∴=-=， PM ∴==，∴PC PM == PC ∴=，故③错误；2PC =，PBx ∴==，∴AB PB = PB AB ∴=，故④正确， CD CE =，EG AB =，AB CD =，CE EG ∴=，90CEM G ∠=∠=︒，//FE PG ∴，CF PF ∴=，90PMC ∠=︒，CF PF MF ∴==，∴点F 是CMP ∆外接圆的圆心，故⑤正确；故选：B ．13．（2018•常州）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA 的0刻度固定在半圆的圆心O 处，刻度尺可以绕点O 旋转．从图中所示的图尺可读出sin AOB ∠的值是( )A ．58B ．78C ．710D ．45【解答】解：如图，把刻度尺与圆的另一个交点记作D ，连接AD ．OD 是直径，90OAD ∴∠=︒，90AOB AOD ∠+∠=︒，90AOD ADO ∠+∠=︒，AOB ADO ∴∠=∠，由刻度尺可知，0.8OA =，84sin sin 105AOB ADO ∴∠=∠==， 故选：D ．14．（2018•常州）如图，AB 是O 的直径，MN 是O 的切线，切点为N ，如果52MNB ∠=︒，则NOA ∠的度数为( )A ．76︒B ．56︒C ．54︒D ．52︒【解答】解：MN 是O 的切线，ON NM ∴⊥，90ONM ∴∠=︒，90905238ONB MNB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，ON OB =，38B ONB ∴∠=∠=︒，276NOA B ∴∠=∠=︒．故选：A ． 15．（2018•苏州）如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是AC 上的点，若40BOC ∠=︒，则D ∠的度数为( )A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒【解答】解：40BOC ∠=︒，18040140AOC ∴∠=︒-︒=︒，1(360140)1102D ∴∠=⨯︒-︒=︒， 故选：B ．16．（2018•盐城）如图，AB 为O 的直径，CD 是O 的弦，35ADC ∠=︒，则CAB ∠的度数为( )A ．35︒B ．45︒C ．55︒D ．65︒【解答】解：由圆周角定理得，35ABC ADC ∠=∠=︒，AB 为O 的直径，90ACB ∴∠=︒，9055CAB ABC ∴∠=︒-∠=︒，故选：C ．二．填空题（共17小题）17．（2020•镇江）圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于 30π ．【解答】解：圆锥侧面积1256302ππ=⨯⨯⨯=． 故答案为30π．18．（2020•宿迁）用半径为4，圆心角为90︒的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 1 ．【解答】解：设这个圆锥的底面圆半径为r ，根据题意得9042180r ππ=， 解得1r =，所以这个圆锥的底面圆半径为1．故答案为1．19．（2020•徐州）如图，A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心，若18ADB ∠=︒，则这个正多边形的边数为 10 ．【解答】解：连接OA ，OB ，A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心，∴点A 、B 、C 、D 在以点O 为圆心，OA 为半径的同一个圆上，18ADB ∠=︒，236AOB ADB ∴∠=∠=︒，∴这个正多边形的边数3601036︒==︒，故答案为：10．20．（2020•徐州）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =．若以AC 所在直线为轴，把ABC ∆旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 15π ．【解答】解：由已知得，母线长5l =，底面圆的半径r 为3， ∴圆锥的侧面积是5315s lr πππ==⨯⨯=． 故答案为：15π． 21．（2020•徐州）在ABC ∆中，若6AB =，45ACB ∠=︒．则ABC ∆的面积的最大值为 929+ ． 【解答】解：作ABC ∆的外接圆O ，过C 作CM AB ⊥于M ，弦AB 已确定，∴要使ABC ∆的面积最大，只要CM 取最大值即可， 如图所示，当CM 过圆心O 时，CM 最大， CM AB ⊥，CM 过O ，AM BM ∴=（垂径定理）， AC BC ∴=，224590AOB ACB ∠=∠=⨯︒=︒，116322OM AM AB ∴===⨯=，2232OA OM AM ∴=+=， 323CM OC OM ∴=+=+，116(323)92922ABC S AB CM ∆∴==⨯⨯+=+．故答案为：929+． 22．（2020•盐城）如图，在O 中，点A 在BC 上，100BOC ∠=︒．则BAC ∠= 130 ︒．【解答】解：如图，在优弧BC 上取一点D ，且异于B ，C ，连接BD ，CD ， 则四边形ABDC 是O 的内接四边形， 180D BAC ∴∠+∠=︒． 100BOC ∠=︒， 50D ∴∠=︒，18050130BAC ∴∠=︒-︒=︒， 故答案为：130．23．（2020•南京）如图，在边长为2cm 的正六边形ABCDEF 中，点P 在BC 上，则PEF ∆的面积为 23 2cm ．【解答】解：连接BF ，BE ，过点A 作AT BF ⊥于TABCDEF是正六边形， //CB EF ∴，AB AF =，120BAF ∠=︒， PEF BEF S S ∆∆∴=，AT BF ⊥，AB AF =，BT FT ∴=，60BAT FAT ∠=∠=︒， sin 603BT FT AB ∴==︒=223BF BT ∴==，120AFE ∠=︒，30AFB ABF ∠=∠=︒， 90BFE ∴∠=︒，112232322PEF BEF S S EF BF ∆∆∴===⨯⨯=，故答案为23． 24．（2020•连云港）如图，正六边形123456A A A A A A 内部有一个正五边形12345B B B B B ，且3434//A A B B ，直线l经过2B 、3B ，则直线l 与12A A 的夹角α= 48 ︒．【解答】解：设l 交12A A 于E 、交43A A 于D ，如图所示：六边形123456A A A A A A 是正六边形，六边形的内角和(62)180720=-⨯︒=︒，1232347201206A A A A A A ︒∴∠=∠==︒，五边形12345B B B B B 是正五边形，五边形的内角和(52)180540=-⨯︒=︒，2345401085B B B ︒∴∠==︒，4318010872B B D ∴∠=︒-︒=︒， 3434//A A B B ，34372EDA B B D ∴∠=∠=︒，212323433603601201207248A ED A A A A A A EDA α∴=∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒， 故答案为：48．25．（2020•苏州）如图，已知AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，连接OC 交O 于点D ，连接BD ．若40C ∠=︒，则B ∠的度数是 25 ︒．【解答】解：AC 是O 的切线， OA AC ∴⊥， 90OAC ∴∠=︒，90904050AOC C ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， OB OD =，OBD ODB ∴∠=∠，而AOC OBD ODB ∠=∠+∠，1252OBD AOC ∴∠=∠=︒，即ABD ∠的度数为25︒， 故答案为：25． 26．（2019•无锡）如图，AB 为O 的直径，点C 、D 在O 上，若70CBA ∠=︒，则D ∠的度数是 20︒ ．【解答】解：AB 为O 的直径， 90ACB ∴∠=︒， 70CBA ∠=︒， 20A ∴∠=︒，20D A ∴∠=∠=︒． 故答案为20︒． 27．（2019•常州）如图，半径为3的O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，连接OC ，则tan OCB ∠= 3．【解答】解：连接OB ，作OD BC ⊥于D ，O 与等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，1302OBC OBA ABC ∴∠=∠=∠=︒，tan ODOBC BD ∴∠=， 33tan 303OD BD ∴===︒，835CD BC BD ∴=-=-=，3tan OD OCB CD ∴∠==3．28．（2019•泰州）如图，O 的半径为5，点P 在O 上，点A 在O 内，且3AP =，过点A 作AP 的垂线交O 于点B 、C ．设PB x =，PC y =，则y 与x 的函数表达式为 30y x= ．【解答】解：连接PO 并延长交O 于D ，连接BD ， 则C D ∠=∠，90PBD ∠=︒， PA BC ⊥， 90PAC ∴∠=︒， PAC PBD ∴∠=∠， PAC PBD ∴∆∆∽， ∴PB PD PA PC=， O 的半径为5，3AP =，PB x =，PC y =， ∴103x y =， 30xy ∴=，30y x∴=， 故答案为：30y x=．29．（2019•连云港）如图，点A 、B 、C 在O 上，6BC =，30BAC ∠=︒，则O 的半径为 6 ．【解答】解：260BOC BAC ∠=∠=︒，又OB OC =， BOC ∴∆是等边三角形 6OB BC ∴==， 故答案为6．30．（2019•扬州）如图，AC 是O 的内接正六边形的一边，点B 在AC 上，且BC 是O 的内接正十边形的一边，若AB 是O 的内接正n 边形的一边，则n = 15 ．【解答】解：连接BO ，AC 是O 内接正六边形的一边， 360660AOC ∴∠=︒÷=︒，BC 是O 内接正十边形的一边， 3601036BOC ∴∠=︒÷=︒，603624AOB AOC BOC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒， 3602415n ∴=︒÷︒=； 故答案为：15．31．（2019•连云港）一圆锥的底面半径为2，母线长3，则这个圆锥的侧面积为 6π ．【解答】解：该圆锥的侧面积122362ππ=⨯⨯⨯=．故答案为6π． 32．（2019•宿迁）直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为 2 ．【解答】解：直角三角形的斜边2251213=+=，所以它的内切圆半径5121322+-==．故答案为2． 33．（2018•无锡）如图，点A 的坐标是(a ，0)(0)a <，点C 是以OA 为直径的B 上一动点，点A 关于点C的对称点为P ．当点C 在B 上运动时，所有这样的点P 组成的图形与直线113y x =--有且只有一个公共点，则a 的值等于 31010- ．【解答】解：如图，连接BC ，OD ，设直线113y x =--交x 轴于点(3,0)E -，交y 轴于点(0,1)F -，AC CD =，AB OB =， 2OD BC a ∴==-，∴点D 的运动轨迹是以O 为圆心a -为半径的圆，当O 与直线113y x =--相切时，点P 组成的图形与直线113y x =--有且只有一个公共点，设切点为G ，连接OG ．在Rt EOF ∆中，OG EF ⊥，221310EF =+=，1122OE OF EF OG =，310OG ∴=， 310a ∴=-， 故答案为：310-．三．解答题（共12小题） 34．（2020•宿迁）如图，在ABC ∆中，D 是边BC 上一点，以BD 为直径的O 经过点A ，且CAD ABC ∠=∠． （1）请判断直线AC 是否是O 的切线，并说明理由； （2）若2CD =，4CA =，求弦AB 的长．【解答】解：（1）直线AC 是O 的切线， 理由如下：如图，连接OA ，BD 为O 的直径，90BAD OAB OAD ∴∠=︒=∠+∠， OA OB =，OAB ABC ∴∠=∠， 又CAD ABC ∠=∠，OAB CAD ABC ∴∠=∠=∠，90OAD CAD OAC ∴∠+∠=︒=∠， AC OA ∴⊥， 又OA 是半径，∴直线AC 是O 的切线；（2）过点A 作AE BD ⊥于E ， 222OC AC AO =+， 22(2)16OA OA ∴+=+， 3OA ∴=，5OC ∴=，8BC =，1122OAC S OA AC OC AE ∆=⨯⨯=⨯⨯，341255AE ⨯∴==，2214499255OE AO AE ∴=-=-=，245BE BO OE ∴=+=， 225761441252525AB BE AE ∴=+=+=． 35．（2020•镇江）如图，ABCD 中，ABC ∠的平分线BO 交边AD 于点O ，4OD =，以点O 为圆心，OD 长为半径作O ，分别交边DA 、DC 于点M 、N ．点E 在边BC 上，OE 交O 于点G ，G 为MN 的中点． （1）求证：四边形ABEO 为菱形；（2）已知1cos 3ABC ∠=，连接AE ，当AE 与O 相切时，求AB 的长．【解答】解：（1）证明：G 为MN 的中点， MOG MDN ∴∠=∠．四边形ABCD 是平行四边形． //AO BE ∴，180MDN A ∠+∠=︒， 180MOG A ∴∠+∠=︒， //AB OE ∴，∴四边形ABEO 是平行四边形． BO 平分ABE ∠， ABO OBE ∴∠=∠， 又OBE AOB ∠=∠， ABO AOB ∴∠=∠， AB AO ∴=，∴四边形ABEO 为菱形；（2）如图，过点O 作OP BA ⊥，交BA 的延长线于点P ，过点O 作OQ BC ⊥于点Q ，设AE 交OB 于点F ，则PAO ABC ∠=∠，设AB AO OE x ===，则1cos 3ABC ∠=，1cos 3PAO ∴∠=，∴13PA AO =， 13PA x ∴=，22OP OQ x ∴==当AE 与O 相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知F 为切点，∴在Rt OBQ ∆中，由勾股定理得：222422()()833x x +=，解得：26x =（舍负）． AB ∴的长为26． 36．（2020•盐城）如图，O 是ABC ∆的外接圆，AB 是O 的直径，DCA B ∠=∠． （1）求证：CD 是O 的切线；（2）若DE AB ⊥，垂足为E ，DE 交AC 于点F ，求证：DCF ∆是等腰三角形．【解答】证明：（1）连接OC ， OC OA =， OCA A ∴∠=∠，AB 是O 的直径， 90BCA ∴∠=︒， 90A B ∴∠+∠=︒， DCA B ∠=∠，90OCA DCA OCD ∴∠+∠=∠=︒， OC CD ∴⊥，CD ∴是O 的切线；（2）90OCA DCA ∠+∠=︒，OCA A ∠=∠， 90A DCA ∴∠+∠=︒， DE AB ⊥，90A EFA ∴∠+∠=︒， DCA EFA ∴∠=∠，EFA DFC∠=∠，∴∠=∠，DCA DFC∴∆是等腰三角形．DCF37．（2020•常州）如图1，I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交I于P、Q两点(Q在P、H之间）．我们把点P称为I关于直线a的“远点“，把PQ PH的值称为I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为(0,4)．半径为1的O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则O关于直线m的“远点”是点D（填“A”．“B”、“C”或“D”)，O关于直线m的“特征数”为；②若直线n的函数表达式为34y x=+．求O关于直线n的“特征数”；M，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，2为半径（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点(1,4)N-是F关于直线l的“远点”．且F关于直线l的“特征数”是45，作F．若F与直线l相离，点(1,0)求直线l的函数表达式．【解答】解：（1）①由题意，点D是O关于直线m的“远点”，O关于直线m的特征数2510==⨯=，DB DE故答案为：D，10．②如图1中，过点O作OH⊥直线n于H，交O于Q，P．设直线34y x=+交x轴于43(F-，0)，交y轴于(0,4)E，4OE∴=，43OF=3tanOFFEOOE∴∠==，30FEO∴∠=︒，122OH OE∴==，3PH OH OP∴=+=，O∴关于直线n的“特征数”236PQ PH==⨯=．（2）如图2中，设直线l的解析式为y kx b=+．当0k>时，过点F作FH⊥直线l于H，交F于E，N．由题意，22EN=45EN NH=10NH∴=，(1,0)N-，(1,4)M，222425MN∴+=22201010HM MN NH∴--=MNH∴∆是等腰直角三角形，MN的中点(0,2)K，5KN HK KM∴==(2,3)H∴-，把(2,3)H-，(1,4)M代入y kx b=+，则有423k bk b+=⎧⎨-+=⎩，解得13113kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线l的解析式为11133y x=+，当0k <时，同法可知直线l '经过(2,1)H '，可得直线l '的解析式为37y x =-+．综上所述，满足条件的直线l 的解析式为11133y x =+或37y x =-+．38．（2020•连云港）（1）如图1，点P 为矩形ABCD 对角线BD 上一点，过点P 作//EF BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若2BE =，6PF =，AEP ∆的面积为1S ，CFP ∆的面积为2S ，则12S S += 12 ； （2）如图2，点P 为ABCD 内一点（点P 不在BD 上），点E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PFCG 的面积为2S （其中21)S S >，求PBD ∆的面积（用含1S 、2S 的代数式表示）；（3）如图3，点P 为ABCD 内一点（点P 不在BD 上），过点P 作//EF AD ，//HG AB ，与各边分别相交于点E 、F 、G 、H ．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PGCF 的面积为2S （其中21)S S >，求PBD ∆的面积（用含1S 、2S 的代数式表示）； （4）如图4，点A 、B 、C 、D 把O 四等分．请你在圆内选一点P （点P 不在AC 、BD 上），设PB 、PC 、BC 围成的封闭图形的面积为1S ，PA 、PD 、AD 围成的封闭图形的面积为2S ，PBD ∆的面积为3S ，PAC∆的面积为4S ，根据你选的点P 的位置，直接写出一个含有1S 、2S 、3S 、4S 的等式（写出一种情况即可）．【解答】解：（1）如图1中，过点P 作PM AD ⊥于M ，交BC 于N ． 四边形ABCD 是矩形，//EF BC ，∴四边形AEPM ，四边形MPFD ，四边形BNPE ，四边形PNCF 都是矩形，2BE PN CF ∴===，162PFC S PF CF ∆=⨯⨯=，AEP APM S S ∆∆=，PEB PBN S S ∆∆=，PDM PFD S S ∆∆=，PCN PCF S S ∆∆=，ABD BCD S S ∆∆=，AEPM PNCF S S ∴=矩形矩形， 126S S ∴==， 1212S S ∴+=，故答案为12．（2）如图2中，连接PA ，PC ，在APB ∆中，点E 是AB 的中点，∴可设APE PBE S S a ∆∆==，同理，APH PDH S S b ∆∆==，PDG PGC S S c ∆∆==，PFC PBF S S d ∆∆==，AEPH PFCG S S a b c d ∴+=+++四边形四边形，PEBF PHDG S S a b c d +=+++四边形四边形， 12AEPH PFCG PEBF PHDG S S S S S S ∴+=+=+四边形四边形四边形四边形， 1212ABD ABCD S S S S ∆∴==+平行四边形， 1121121()()PBDABD PBE PHD S S S S S S S S a S a S S ∆∆∆∆∴=-++=+-++-=-．（3）如图3中，由题意四边形EBGP ，四边形HPFD 都是平行四边形， 2EBP EBGP S S ∆∴=四边形，2HPD HPFD S S ∆=四边形， ()()121211122222ABD EBP HPD EBP HPD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∴==+++=+++平行四边形， 1211()()2PBDABD EBP HPD S S S S S S S ∆∆∆∆∴=-++=-．（4）如图41-中，结论：2134S S S S -=+．理由：设线段PB ，线段PA ，弧AB 围成的封闭图形的面积为x ，线段PC ，线段PD ，弧CD 的封闭图形的面积为y ．由题意：1413S x S S y S ++=++， 34x y S S ∴-=-，12142()S S x y S x S +++=++， 214342S S x y S S S ∴-=-+=+．同法可证：图42-中，有结论：1234S S S S -=+． 图43-中和图44-中，有结论：1234||||S S S S -=-．39．（2020•扬州）如图，ABC ∆内接于O ，60B ∠=︒，点E 在直径CD 的延长线上，且AE AC =． （1）试判断AE 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若6AC =，求阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OA、AD，如图，CD为O的直径，90DAC∴∠=︒，又60ADC B∠=∠=︒，30ACE∴∠=︒，又AE AC=，OA OD=，ADO∴∆为等边三角形，30AEC∴∠=︒，60ADO DAO∠=∠=︒，30EAD∴∠=︒，90EAD DAO∴∠+∠=︒，90EAO∴∠=︒，即OA AE⊥，AE∴为O的切线；（2）解：由（1）可知AEO∆为直角三角形，且30E∠=︒，23OA∴=，6AE=，∴阴影部分的面积为2160(23)6236322ππ⨯⨯⨯-=-．故阴影部分的面积为632π-．40．（2020•南京）如图，在ABC∆中，AC BC=，D是AB上一点，O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作//DF BC，交O于点F．求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；（2）AF EF=．【解答】证明：（1）AC BC=，BAC B∴∠=∠，//DF BC，ADF B∴∠=∠，BAC CFD ∠=∠， ADF CFD ∴∠=∠， //BD CF ∴， //DF BC ，∴四边形DBCF 是平行四边形；（2）连接AE ， ADF B ∠=∠，ADF AEF ∠=∠， AEF B ∴∠=∠，四边形AECF 是O 的内接四边形， 180ECF EAF ∴∠+∠=︒， //BD CF ，180ECF B ∴∠+∠=︒， EAF B ∴∠=∠， AEF EAF ∴∠=∠， AF EF ∴=． 41．（2020•苏州）如图，已知90MON ∠=︒，OT 是MON ∠的平分线，A 是射线OM 上一点，8OA cm =．动点P 从点A 出发，以1/cm s 的速度沿AO 水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q 从点O 出发，也以1/cm s 的速度沿ON 竖直向上作匀速运动．连接PQ ，交OT 于点B ．经过O 、P 、Q 三点作圆，交OT 于点C ，连接PC 、QC ．设运动时间为()t s ，其中08t <<． （1）求OP OQ +的值；（2）是否存在实数t ，使得线段OB 的长度最大？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由． （3）求四边形OPCQ 的面积．【解答】解：（1）由题意可得，8OP t =-，OQ t =， 88()OP OQ t t cm ∴+=-+=．（2）当4t =时，线段OB 的长度最大．如图，过点B 作BD OP ⊥，垂足为D ，则//BD OQ ．OT 平分MON ∠，45BOD OBD ∴∠=∠=︒， BD OD ∴=，2OB BD =．设线段BD 的长为x ，则BD OD x ==，22OB BD x ==，8PD t x =--， //BD OQ ， ∴PD BD OP OQ =， ∴88t x x t t--=-，288t tx -∴=． 228224)228t t OB t -∴==-+二次项系数小于0．∴当4t =时，线段OB 的长度最大，最大为22cm ． （3）90POQ ∠=︒， PQ ∴是圆的直径． 90PCQ ∴∠=︒．45PQC POC ∠=∠=︒， PCQ ∴∆是等腰直角三角形．211221224PCQ S PC QC PQ PQ PQ ∆∴==⨯=． 在Rt POQ ∆中，22222(8)PQ OP OQ t t =+=-+．∴四边形OPCQ 的面积21124POQ PCQ S S S OP OQ PQ ∆∆=+=+，2211(8)[(8)]24t t t t =-+-+， 221141641622t t t t =-++-=．∴四边形OPCQ 的面积为216cm ． 42．（2019•镇江）【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的)O ．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩” )，尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的． 【实际应用】观测点A 在图1所示的O 上，现在利用这个工具尺在点A 处测得α为31︒，在点A 所在子午线往北的另一个观测点B ，用同样的工具尺测得α为67︒．PQ 是O 的直径，PQ ON ⊥． （1）求POB ∠的度数；（2）已知6400OP km=，求这两个观测点之间的距离即O上AB的长．(π取3.1)【解答】解：（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD BC⊥于D，CH BH⊥交BC于点C，如图所示：则67DHC∠=︒，90HBD BHD BHD DHC∠+∠=∠+∠=︒，67HBD DHC∴∠=∠=︒，//ON BH，67BEO HBD∴∠=∠=︒，906723BOE∴∠=︒-︒=︒，PQ ON⊥，90POE∴∠=︒，902367POB∴∠=︒-︒=︒；（2）同（1）可证31POA∠=︒，673136AOB POB POA∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴3664003968()180AB kmπ⨯⨯==．43．（2019•镇江）在三角形纸片ABC（如图1)中，78BAC∠=︒，10AC=．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2)．（1）ABC ∠= 30 ︒；（2）求正五边形GHMNC 的边GC 的长．参考值：sin780.98︒≈，cos780.21︒≈，tan78 4.7︒≈．【解答】解：（1）五边形ABDEF 是正五边形，(52)1801085BAF -⨯︒∴∠==︒，30ABC BAF BAC ∴∠=∠-∠=︒， 故答案为：30；（2）作CQ AB ⊥于Q ，在Rt AQC ∆中，sin QCQAC AC∠=，sin 100.989.8QC AC QAC ∴=∠≈⨯=， 在Rt BQC ∆中，30ABC ∠=︒， 219.6BC QC ∴==， 9.6GC BC BG ∴=-=．44．（2019•常州）已知平面图形S ，点P 、Q 是S 上任意两点，我们把线段PQ 的长度的最大值称为平面图形S 的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度． （1）写出下列图形的宽距： ①半径为1的圆： 2 ；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“： ；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -、(1,0)B ，C 是坐标平面内的点，连接AB 、BC 、CA 所形成的图形为S ，记S 的宽距为d ．①若2d =，用直尺和圆规画出点C 所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；②若点C 在M 上运动，M 的半径为1，圆心M 在过点(0,2)且与y 轴垂直的直线上．对于M 上任意点C ，都有58d ，直接写出圆心M 的横坐标x 的取值范围．。