用参数的迭代研究数列(几何画板)

5.1用参数的迭代研究数列 5.1.1画数列的图像例1：画d n a a n )1(1-+= 的图像 一、制作效果如图：选择表格（或者选择图像迭代得到的点），然后按小键盘上的“＋”或者“－”，可以增加或减少点的个数。

二、思路分析新建参数和函数后，计算出 和 ，然后依次选中它们绘制点，最后迭代参数n ，计算机就会自动画出其余的点。

因为这时构造数列的图像，一定要注意参数的初始值。

三、操作步骤1、新建函数和参数，结果如下图2、 计算函数值f （n+1）和参数值n+1，结果如上右图；3、 绘点（ n+1，f （n ＋1））4、 迭代：选中参数n ，单击【变换】菜单→迭代，出现对话框，单击绘图区的计算值“n ＋1＝1.00”，对话框中的“？”成为“n+1”。

（注意绘图区此时的变化）单击对话框的“迭代”按钮。

四、拓展研究1、构造结果的附属品表格如不想要，选中它，可以删除掉。

还可以在迭代时，单击迭代对话框的“结构”按钮，出现下拉菜单，把“生成迭代数据表”的“√”去掉，就不会出现表格了2、编辑函数，如（其中）可以得到任意您想要的数列的图像（不一定要求是等差数列，注意是“任意”）3、您还可以把这个课件作简单的修饰，如用圆的内部代替点，就是在操作步骤第三步绘制点后，再画一条线段，选中线段和点构造圆及圆内部，然后在迭代。

调整线段的长短可以控制圆的大小。

例2：已知递推公式画数列的图像（以数列，的图像为例）一、制作效果如图：选中参数k，改变它的值，就可以改变点的多少，同时可以看到数列第k项的值（随着k值的变化而变化）。

编辑函数可以得到不同递推数列的图像二、思路分析这里是用参数的计算值k－1控制迭代的次数，想一想为什么不用k的值来控制？数列的第k项，因为有第一项，只要迭代k－1次就行了。

想一想为什么要选用参数n和？仅用参数n的迭代行吗？数列的第k项的值实际上是迭代点的“终点”的纵坐标的值。

三、操作步骤1、新建函数和参数，（注意，初始值）结果如下图：2、计算函数值和参数值，结果如上3、绘制点（）和（）（想一想为什么要绘制两点，试试绘一个点，迭代后情形会如何）。

作一条线段并选中它和刚绘制的点做圆和圆的内部。

调整线段的长，使圆适当大小。

4、迭代依次选中“n”、“”和“k－1”，按住shift键，单击【变换】菜单→带参数的迭代，出现对话框（注意上面的提示文字），单击绘图区的“n＋1＝2”，“”后对话框变为下右图。

单击按钮“迭代”5、构造数列第k项。

选中迭代出来的点，单击菜单【变换】→终点。

（这时终点可能看不见，但处于选中状态）单击【度量】→纵坐标，得到终点的纵坐标，将其标签改为“”四、拓展研究对于一阶的递推数列（，），依样画葫芦，应该没问题。

但对两阶或两阶以上的，如，，，如何做，笔者目前不知道，欢迎您来http：//来讨论。

5.1.2数列的前n项和对于数列已知通项，我们希望不知道求和公式，而求出它前n项的和。

用电脑编程很容易实现，用几何画板也不难例数列的前n项和（以正奇数数列为例）一、制作效果：二、思路分析实现前n项和，是因为类似编程的思想构造了加法器（、），从而实现迭代数字的累加，注意其初始值为零三、操作步骤1、新建函数和参数，（注意初始值的设定）结果如下：2、计算函数值和参数，结果如上：3、绘制点（），任画一条线段并选中它及所绘的点构造圆及内部4、迭代依次选中“n”、“s”单击菜单【变换】→迭代，出现迭代对话框后，在依次单击绘图区的“”。

最后单击迭代面板上的按钮“迭代”5、构造选中迭代出来的点，单击菜单【变换】→终点。

（这时终点可能看不见，但处于选中状态）单击【度量】→纵坐标，得到终点的纵坐标，将其标签改为“”6、简单修饰按制作效果添加说明性文字适当调整对象的位置和迭代的次数。

四、拓展研究由求和构造的加法器（、），我们不难构造乘法器（、），实现迭代数字的连乘。

试一试：用几何画板计算n！（详见范例）制作的效果如下：5.2经典的几何构造5.2.1两圆的外公切线一、制作效果如图，无论是改变两圆的大小，还是圆心距，直线和圆的关系保持不变，即直线始终是两圆的外公切线。

二、思路分析我们在寻求外公切线的作法以前，先看看下图，是否能想起过圆外一个作圆的切线的的尺规作法以PO为直径作圆（先作线段OP的中点，找到圆心）→作两圆的交点C、D（这一步可省）→作直线PC、PD。

是不是很简单？然后看右图，是不是想起外公切线的尺规作图（其实质就是把两圆的外公切线转化为内公切线），想不起试着分析一下。

如果还不行的话，就看看下图：如果还不行的话，就看下面的操作步骤吧。

三、操作步骤1、任画两圆（A,D）（B，C）；2、度量两圆的半径，并计算它们的差3、以AB为直径画圆4、画圆（A，（半径⊙AD）－（半径⊙BC＝0.94厘米）），与以AB为直径画的圆交于E（其中一个交点）。

5、作直线BE；作直线（A，E）交圆（A,D）于F；6、作平行线（F，直线BE）7、作直线FG关于线段BA的对称直线四、拓展研究1、这样尺规作图外公切线的作法，有缺点，当⊙AD的半径小于半径⊙BC时，外公切线不见了（您知道为什么吗？），如何完善？如图：只要在大圆内重复上述步骤，就搞定了，具体如下(1)、计算两圆半径的差（注意是大圆半径减小圆半径）(2)、画圆（B，（半径⊙BC）－（半径⊙AD＝0.94厘米）），与以AB为直径画的圆交于I（其中一个交点）。

(3)、作直线(A,I)；作直线（B，I）交圆（B,C）于H；(4)、作平行线（H，直线AI）(5)、作已作切线关于线段BA的对称直线，即另一条切线。

如下图就算这样作，仍不完善，当两圆半径相等时，切线会不见了。

您能继续完善吗？（见文件）2、尺规作图得分三种情况（半径之间大于、小于、等于），有没有更简单的作法，有，下面讲一种非尺规作图的方法如上图，分析一下作法。

两圆半径固定，位置固定→确定∠BAF→确定F→确定G→确定一条切线→另一条切线。

具体步骤如下(1)、度量AB即圆心距；(2)、计算(3)、B点饶A为中心以计算结果（上图所示）为旋转角旋转得到(4)、作射线（A，）交圆AD于H；(5)、作平行线（B，射线AH），交圆BC于I(6)、作直线（H，I）即两圆的一条外公切线；(7)、作直线HI关于AB对称的直线，得到另一条切线。

试一试您能否作圆的内公切线（分别用代数构造和几何构造）5.2.2 和两圆都相切的圆心的轨迹一、制作结果如图：单击“动画”按钮，D点在圆周上运动，从而圆（C，D）的大小和位置不断发生改变，但始终和圆C1和圆C2相切，圆心C的轨迹是双曲线。

圆C1和圆C2的圆心和半径都能改变，轨迹也会改变，甚至不是双曲线，您想试试？二、思路分析如果按尺规作图的思路，和已知两圆相切要分为同时外切、内切、一内一外。

几何画板号称动态几何，其构造的思路会复杂吗？我们先来看其中一种情况：已知两圆和圆C2上任一点D，求作一圆和两已知圆都外切。

看看下图，是如何确定圆心C的？分析分析作图步骤三、操作步骤1、构造两已知圆的半径画一条水平直线AB，在直线上画三点C、D、E；隐藏点A、B。

→画线段（D，C）(D，E),并把线段DC和线段DE的标签分别改为R、r（想一想为什么在直线上画点，而不直接画线段）2、构造圆心画一条水平直线FG，隐藏点F、G→在直线上画点H、I（这两点就是已知圆的圆心）3、构造已知圆画圆（H，线段R）画圆（I，线段r）4、构造辅助圆画直线（I，J），其中J为圆I上任一点J→画圆（J，线段R）→画圆J和直线IJ的交点为L。

5、构造所求圆作线段（H，L）→作线段HL的中垂线→作直线IJ和中垂线的交点K→作圆（K，J）6、作轨迹（K，J）；7、作J点的动画8、隐藏辅助线，修饰课件。

四、拓展研究通过移动点C、E、H、I，改变两已知圆的大小和位置，我们惊喜的发现，这种构造方法，竟是一箭三雕－同外切；同内切；一外一内，尽在其中。

5.2.3 等长线段在坐标轴上的运动一、制作结果如图，单击“动画”按钮，线段的端点始终在坐标轴上运动，运动过程中线段保持等长。

二、思路分析我们先思考，构造哪一点运动，从而带动线段运动？如图，线段和坐标轴围成的是直角三角形，线段的长不变，即斜边的长不变，则斜边上的中线保持不变。

所以线段运动，其中点的轨迹是圆。

您不难想到下面的构造：画圆（A,H）→画半径（AG）→画圆（G,A）→画线段（E,F）。

（这实际上就是就是尺规作图：已知直角和中线作直角三角形）拖动G点到二、三、四象限，线段没有了。

此种构造不成功，我们换个思路构造直角三角形EAF，如上左图，只要能构造等腰三角形AGF，就能构造出直角三角形AEF。

想想如何构造△AGF？作垂线j（G,x轴）→点（A关于直线j的反射点）→射线（，G）→线段（，I）再拖动G点试试，成功！换个思路我们再思考，当我们看到直角三角形及斜边上中线的图形，熟悉初中几何教学的你不难想到“中线加倍”，如下图：当线段BD运动时，AC也运动且长度不变，则点C的轨迹是圆（点，线段AC）。

并且四边形ABCD 是矩形（为什么？），现在您知道如何构造等长线段在坐标轴上的运动了吗？如不明白，请看操作步骤。

三、操作步骤1、建立直角坐标系；2、画圆（A,E）3、画点C C为圆上任意一点；4、作垂线（点C，x轴，y轴）5、画线段（点B，点D）；6、作点C动画7、隐藏不必要对象。

四、拓展研究1）制作等长线段在坐标轴上的运动，这里讲了两种方法，可能还有其它方法，但几乎都不如这两种方法简洁。

2）坐标轴可用两条垂直的直线代替。

更妙的是第二种构造，坐标轴甚至可用两条相交直线代替。

第二种构造称为“刘天翼构造”，他是东北育才中学的学生的杰作。

用这个课件，可以进行很多研究，详见“求师德构造”。

5.2.4 动滑轮一、制作效果如图：是动滑轮的一个简化模型，绳长固定为L，绳的一端A固定，C点代表动滑轮，B点是绳子的另一端，可以自由移动，但只能在圆内移动（想一想，为什么？）移动过程中，线段AC和线段CB的长度和不变，即绳子的长不变，竖直线CD始终是∠ACB的平分线二、思路分析您不难想到这个思路：取点A（x1y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由AC+CB=L，得竖直线CD始终是∠ACB的平分线，则AC、BC的斜率互为相反数，可得因为为已知条件，您大概以为联立这两个方程，解出x3，y3，绘制点（x3，y3），就搞定了。

要解这样的方程组可不容易至今我没有解出来，不信您试试？我们换个思路，把这个图形当着光路图，AC当作入射光线，CB是反射光线，把这个图形补全，如下图：您现在知道如何构造这个图形吗？三、操作步骤：1）绘制控制绳长的线段画水平射线AC→画线段AB，点B为射线上一点2）画点G，点G是任一点→画圆（G，线段AB）3）画点D，点D是圆内任一点→画垂线（D，线段AB），与圆交于E点4）画线段（D，E）→画线段DE的中垂线；5）画线段（F，E）→线段FE与中垂线交于G点6）画线段（F，G）和（G，D）；7）隐藏不必要对象，修改标签和作简单修饰。