几何画板迭代全解谢辅炬
几何画板迭代功能真强大，不知道的来看看！
⼏何画板迭代功能真强⼤，不知道的来看看！传统时代，⼈们都是⽤笔在纸上⼀步⼀步来构造美的图案的，⽽随着计算机技术的飞速发展，出现了很多代替⼿⼯绘图的画图软件，现在已经很少有⼈完全凭靠双⼿去打造美丽的图案了，都是借助画图软件来构造，不仅省时省⼒，⽽且构造的图案⾮常标准、美观。
⽐如接下来⼩编要说的这款画图软件——⼏何画板，它是当下⽐较受欢迎的⼀款画图软件，之所以如此受追捧，那是因为它其中的功能很强⼤，就⽐如它的迭代功能，利⽤此功能可以构造很多精美图案，下⾯就以来学学具体的制作技巧。
迭代是⼏何画板中⼀个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。
通俗地讲，就是⽤⾃⾝的结构来描述⾃⾝，通过迭代可以产⽣很酷的效果。
⼏何画板迭代教程中涉及的基本术语如下：迭代：按⼀定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。
原象：产⽣迭代序列的初始对象，通常称为“种⼦”。
初象：由原象经过⼀系列变换操作⽽得到的。
迭代深度：迭代次数（带参数的迭代中的参数值，按住Shift键则“迭代”变成“带参数的迭代”）。
迭代变换使⽤的前提条件：1.选定⼀个（或⼏个）⾃由的点，即平⾯上任⼀点，或线（直线、线段、射线、圆、轨迹）上的任⼀点。
2.由选定的点产⽣的⽬标点（不要选定，出现迭代对话框后，再选），如线段的中点、或由选定点经过变化产⽣的点。
凡是和原象点或初象点相关联的对象（点、先、弧、内部等），也可作为原象点的组成部分进⾏迭代。
⼀、利⽤迭代命令制作分形树迭代是分形的基础，利⽤⼏何画板的深度迭代功能可以画出许多美妙的分形图形。
分形树的制作步骤如下：1.在垂直⽅向上画线段AB，选中线段AB，执⾏“构造”—“中点”命令，构造线段AB中点C。
2.双击B点，以B为旋转中⼼将点C旋转120度得E点，旋转-120度得D点。
构造线段BD、BE。
3.新建参数n=3，依次选点A、B和参数n，按住Shift键在“变换”菜单下选择“深度迭代”命令，在弹出的迭代对话框将A映射到B，B映射到E，选择结构下的“添加新的映射”，继续将A映射到B，B映射到D就可以了。
几何画板与分形
几何画板迭代与深度迭代迭代是几何画板中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。
通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。
递归算法的特点是书写简单，容易理解，但是运算消耗内存较大。
迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。
原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。
初象：原象经过一系列变换操作而得到的象。
与原象是相对概念。
更具体一点，在代数学中，如计算数列1，3，5，7，9......的第n 项。
我们知道12n n a a ，所以迭代的规则就是后一项等于前一项加2。
以1作为原像，3作为初像，迭代一次后得到5，再迭代一次得到7，以此类推。
在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。
上图中A 、B 、C 、D 、E 、F ，各点相距1.88cm ，那么怎么由A 点和B 点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右，每一个点相当于前面一个点向右平移了1.88cm 。
所以我们以A 点作为原像，B 点作为初像，迭代一次得到B 点，二次为C 点，以此类推。
迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数。
利用几何画板的深度迭代功能可以画出许多美妙的分形图形，并以几何画板为基础来研究分刑图形面积，周长的变化。
一、 谢尔宾斯基三角形利用几何画板画法流程：（1）先任意画好一个三角形ABC ，接着构造线段AB ，BC ，CA 的中点D ，E ，F ，选择点D ，E ，F ，再选择菜单“构造”、“三角形内部”。
(2)在“图表”中“新建参数”为n=3．依次选择点A ，8，C 和参数n ，按住shift 键不放后选择“变换”中的“深度迭代”。
(3)在初象中依次选A ，D 和F 点，再添加新的映射(按Ctrl+A)，映像2中依次选D ，B 和EFEDCA点，再按Ctrl+A ，依次选F ，E 和C 点。
最后选“迭代”，得到谢尔宾斯基三角形。
选择n 按“+”或“一”，三角形就进行了迭代变化。
n=1n=2AAn=3n=4n=5随着有色三角形越来越多，空白三角形越来越少。
精编几何画板迭代图案图文版
精编几何画板迭代图案图文版一、中点三角形图案．下图是通过三角形的中点三角形迭代而成的图案，制作过程为：任意作△ABC ，构造三边中点得△DEF ，用同样方法得△MNP ，如下图．度量AD 的距离给线段MN 、MP 、NP 作颜色参数着上色彩，然后隐藏线段AB 、BC 、AC 、DE 、DF 、EF ，选择点A 、B 、C 进行迭代(迭代次数先设为1次，构造10次映射)，结果为“最终迭代”．隐藏点D 、E 、F 、M 、N 、P ，选择点A 、B 、C 和迭代象，创建自定义工具，名称为“三角形图案”．制作一个水平放置的矩形(可随意改变大小)，打开【自定义工具】，选择“三角形图案”，依次点击矩形相邻三个顶点就得到上图．你还可以将这个“三角形图案”放进正方形、菱形、正三角形等里面，如图．二、迭代函数图案．利用函数2221)1()(xx a ax x f +-+=(a 为参数)绘制点进行迭代构图．新建参数(精确到十万分之一)09799.0=a ，00000.1=b ，新建函数2221)1()(x x a ax x f +-+=．在画板任意作一点A ，度量其横坐标A x 和纵坐标A y ，构造两个算式，标签分别设为1x ，1y ：)(1A A x f by x +=，)(11x f x y A +-=． 依次选择点1x ，1y ，打开【图表】，选择“绘制点”命令作出点，用1y 这个度量值给这个点作颜色参数着上色彩，设上色后的点为B ，构造A 到B 的迭代，迭代次数取最大值4000，拖动点A 或横轴上的单位点，可以得到不同的图案，如图．如果把参数值改为39861=b，则可以得到下面图案．.0a，99800.0=如果把参数值改为45=b，则可以得到下面图案．.0a，95-=.0。
几何画板迭代全解谢辅炬
几何画板迭代全解佛山市南海区石门中学谢辅炬目录✧迭代的基本概念以及迭代的基本操作◆迭代的概念◆迭代在代数、几何中的应用◆画正多边形◆数列的图像、前n项和与积✧迭代与分形几何◆Sierpinski 三角形◆Sierpinski 地毯◆摇曳的Pythagorean Tree毕达哥拉斯树◆分形树◆KOCH 曲线◆KOCH Snowflake柯克雪花◆数学之美◆H迭代◆蜂巢◆其它分形欣赏✧函数迭代：函数映射，M集，朱丽亚集◆迭代法求方程解◆MIRA◆Henon-Attractor◆Mandelbrot集合◆Julia Sets集合◆牛顿迭代法✧下期预告第一章：迭代的概念和操作迭代是几何画板中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。
通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。
最典型的例子就是对阶乘运算可看作一下的定义：!(1)!(1)!(1)(2)!n n n n n n =⨯--=-⨯- 。
递归算法的特点是书写简单，容易理解，但是运算消耗内存较大。
我们先来了解下面这几个最基本的概念。
迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。
原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。
初象：原象经过一系列变换操作而得到的象。
与原象是相对概念。
更具体一点，在代数学中，如计算数列1，3，5，7，9......的第n 项。
我们知道12n n a a -=+，所以迭代的规则就是后一项等于前一项加2。
以1作为原像，3作为初像，迭代一次后得到5，再迭代一次得到7，如此下去得到以下数值序列7 , 9，11, 13, 15......如图1.1所示。
在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。
图1.2中A 、B 、C 、D 、E 、F 、G ，各点相距1cm ，那么怎么由A 点和B 点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右，每一个点相当于前面一个点向右平移了1cm 。
所以我们以A 点作为原像，B 点作为初像，迭代一次得到B 点，二次为C 点，以此类推。
几何画板迭代全解
第二章：迭代与分形几何
分形作为现代数学的一个分支，从诞生的那天起，就有着独特的魅力。分形的特点是整体 与部分之间存在某种自相似性， 整体具有多种层次结构。 分形图片具有无可争议的美学感召力， 特别是对于从事分形研究的科学家来说。欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识， 但相对而言，分形美是通俗易懂的。分形就在我们身边，我们身体中的血液循环管道系统、肺 脏气管分岔过程、大脑皮层、消化道小肠绒毛等等都是分形，参天大树、连绵的山脉、奔涌的 河水、漂浮的云朵等等，也都是分形。人们对这些东西太熟悉了，当然熟悉不等于真正理解。 分形的确贴近人们的生活， 因而由分形而来的分形艺术也并不遥远， 普通人也能体验分形之美。 因为分形几何的迭代的原像一般不止一个，而且均为多映射迭代，为了叙述的方便，我们 先作以下两个约定。 1.用(A,B,C)表示有顺序的三点 A、B 和 C。 2.(A,B,C)(D,E,F,)，(G,H,I)表示 A 映射到 D，B 映射到 E，C 映射到 F,然后添加映射 A 映射到 G，B 映射到 H，C 映射到 I,以此类推。
例 2.1 Sierpinski 三角形
波兰著名数学家谢尔宾斯基在 1915-1916 年期间， 为实变函数理论构造了几个典型的例子， 这些怪物常称作“谢氏三角” 、 “谢氏地毯” 、 “谢氏海绵” 、 “谢氏墓垛” 。如今，几乎任何一本讲
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《几何画板迭代全解》
图 1.1
图 1.2 在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。图 1.2 中 A、B、C、D、E、F、G，各点 相距 1cm，那么怎么由 A 点和 B 点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右， 每一个点相当于前面一个点向右平移了 1cm。所以我们以 A 点作为原像，B 点作为初像，迭代一 次得到 B 点，二次为 C 点，以此类推。 所以，迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数，迭代的终点就 是最后的那个像。那么下面我们通过例子来进一步地了解迭代以及相关的概念。 几何画板中迭代的控制方式分为两种，一种是没有参数的迭代，另一种是带参数的迭代， 后者我们称之为深度迭代。两者没有本质的不同，但前者需要手动改变迭代的深度，后者可通 过修改参数的值来改变迭代深度。我们先通过画圆的正 n 边形这个例子来看一下它们的区别。
例析用几何画板深度迭代功能制作数学课件.docx
例析用几何画板深度迭代功能制作数学课件摘要：在教学极限的概念和定积分的定义等涉及图形的无限分割或与操作次数有关的数学内容时，借助几何画板的深度迭代功能，能快速制作出集动态性、交互性、实用性于一体的辅助教学课件，有效突破了教学难点。
关键词：几何画板；深度迭代；数学课件几何画板操作简单、功能强大，是广大数学教师的首选教育软件。
笔者在用几何画板辅助教学的实践中，深感几何画板的深度迭代功能十分强大。
现将有关辅助教学课件的设计思想和制作步骤与大家分享，以期抛砖引玉，共同提高。
•深度迭代功能在数学上，迭代是指把某些数学结构、计算或其他操作的过程重复应用于先前的相同操作的结果。
这些操作必须根据某些输入来定义输出，迭代则是用每一步的输出作为下一步的输入。
几何画板中的迭代是按一定的迭代规则，从原象到初象反复映射的过程。
原象是产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。
初象是原象经过一定规则变换操作而得到的第一个象。
几何画板中的深度迭代是一种带参数的迭代，通过改变参数的值可改变迭代深度，从而使我们能对某些数学对象反复进行相同操作的工作变得简单易行，可实现人机交互、动态变换。
•课件制作案例1.动态演示圆的内接与外切正多边形(1)设计思想在高中数学极限的概念教学或选修课《数学史选讲》中，一般都会讲到我国古代数学家刘徽的“割圆术"，其体现了朴素的极限思想。
在教学中我们若用几何画板动态演示圆的分割过程(如图1),随着分割的份数n的值越来越大，圆的内接和外切正多边形越来越接近于圆，并动态计算圆周率的精确度也越来越高，这有助于提高学生的学习兴趣和对极限概念的理解。
(2)制作步骤①画一个圆，在圆上取一点A,圆心标记为0。
将角度、距离和其他的精确度设为“十万分之一”，新建参数n,参数值为6,计算和的值。
②双击圆心0,将点A按标记角度旋转得点，构造线段、，过作线段的垂线a,将点A按标记角度旋转得点B,构造射线0B,与直线a交于点C。
利用几何画板深度迭代解决数列问题
利⽤⼏何画板深度迭代解决数列问题已知a∈R，f(x)＝ax(1－x)，数列{a n}的递推公式是a n+1＝f(a n)，n∈N*。
求当a和a1取以下特殊值时，lim a n(n→∞)，并得到其中的规律。
(1) a＝1，a1＝0.1； (2) a＝1，0＜a1＜1； (3) a＝1.6，a1＝0.3；(4) a＝2，0＜a1＜1； (5) a＝3，a1＝0.5； (6) a＝4，a1＝0.1；(7) a＝0.5，a1＝0.1； (8) a＝﹣2，a1＝0.1； (9) a＝1，a1＝2；下⾯，我们利⽤⼏何画板探究这个问题：1. 创建参数a＝1，a1＝0.1，m＝100000（m为迭代次数）。
2. 新建函数f(x)＝ax(1－x)，计算得到f(a1)＝0.09。
3. 选中参数a1、m，然后按住<Shift>键，选择“迭代→深度迭代”命令，在迭代数据框中设置a1→f(a1)，即可得到数据表(1)。
由此可以推测，a＝1，a1＝0.1时，lim a n(n→∞)＝0。
4. 画任意直线AB和直线上⼀点C，依次选中点A、B、C，选择“测量→⽐”命令，得到AC/AB的⽐值。
编辑参数a1，使其等于这个⽐值。
5. 拖动点C，可以发现a1的值随之⽽改变。
观察表中的数据，可以发现：对所有的0＜a1＜1，lim a n(n→∞)＝0。
由此可以推测，a＝1，0＜a1＜1时，lim a n(n→∞)＝0。
6. 取a＝1.6，a1＝0.3，得到数据表(3)，这时lim a n(n→∞)＝0.375。
7. 取a＝2，拖动点C改变a1的值。
可以发现，对所有的0＜a1＜1，lim a n(n→∞)＝0.5。
8. 改变参数，分别取(5)(6)(7)(8)组对应值，对应的极限值如下：a＝3，a1＝0.5时，lim a n(n→∞)≈0.66741； a＝4，a1＝0.1时，lim a n(n→∞)≈0.79635；a＝0.5，a1＝0.1时，lim a n(n→∞)≈0.00000；a＝﹣2，a1＝0.1时，lim a n(n→∞)≈﹣0.475569. 取a＝1，a1＝2，发现lim a n(n→∞)＝﹣∞。
(完整word版)几何画板迭代详解之迭代与分形几何
几何画板迭代详解之:迭代与分形几何佛山市南海区石门中学谢辅炬分形的特点是,整体与部分之间存在某种自相似性，整体具有多种层次结构。
分形图片具有无可争议的美学感召力，特别是对于从事分形研究的科学家来说。
欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识，但相对而言，分形美是通俗易懂的.分形就在我们身边，我们身体中的血液循环管道系统、肺脏气管分岔过程、大脑皮层、消化道小肠绒毛等等都是分形，参天大树、连绵的山脉、奔涌的河水、漂浮的云朵等等,也都是分形。
人们对这些东西太熟悉了，当然熟悉不等于真正理解。
分形的确贴近人们的生活,因而由分形而来的分形艺术也并不遥远，普通人也能体验分形之美。
因为分形几何的迭代的原像一般不止一个，而且均为多映射迭代，为了叙述的方便，我们先作以下两个约定。
1.用（A，B，C）表示有顺序的两点A、B和C.2.(A,B,C)(D,E,F,),(G,H,I)表示A映射到D，B映射到D，C映射到F,然后添加映射A映射到G,B映射到H,C映射到I，如此类推。
【Sierpinski三角形】波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916年期间，为实变函数理论构造了几个典型的例子，这些怪物常称作“谢氏地毯"、“谢氏三角”、“谢氏海绵”、“谢氏墓垛"。
如今，几乎任何一本讲分形的书都要提到这些例子。
它们不但有趣,而且有助于形象地理解分形。
著名的Sierpinski三角形，它是很有代表性的线性分形，具有严格的自相似特点。
不断连接等边三角形的中点，挖去中间新的小三角形进行分割——-随着分割不断进行Sierpinski三角形总面积趋于零，总长度趋于无穷。
Sierpinski三角形在力学上也有实用价值，Sierpinski 三角形结构节省材料，强度高，例如埃菲尔铁塔的结构与它就很相似。
【步骤】1.在平面上任意画一个三角形ABC,取三边中点为D、E、F，连接DEF.2.新建参数n＝33.顺次选择B，C,A三点和参数n，作深度迭代,(B,C,A)(D,F,A)⇒。
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【分析】由数列的表达式可知，(n,an)是直线y=1+0.5x上面的点。我们要产生两个数列，
一个是作为横坐标的数列1,2,3……，一个是作为纵坐标的满足上述通项公式的数列。
【步骤】
1.新建函数y=1+0.5x。
2.新建参数a=1,计算a+1,a+1-1,f(a),f(a+1)。
(计算a+1-1是为了得到f(a)对应的横坐标a。因为迭代次数为0的时候，f(a)=1.5,a的 值在迭代数据表中是不会显示出来的。)
【例1】画圆的内接正7边形。
【分析】由正7边形的特征，我们知道，每一个点都相当于前面的点逆时针旋转色0，抓住
7这个规律，我们可以用迭代功能来解决。
【步骤】
1.新建圆0,在圆0上任取一点A。
2.双击圆心O作为旋转中心。选中A点，单击菜单【变换】【缩放】，旋转参数选为选择固定 角度，然后在框中输入360/7，得到B点。连接线段AB
3.选择A点，单击【变换】【迭代】，点击B点作为初像。屏幕上显示出迭代的像是正7边形 的4条边（因为系统默认非深度迭代的迭代次数是3次）。
4.单击迭代框的【显示】按钮，选择【增加迭代】。（或者按键盘的‘ + '或‘—’）。增加三 次迭代后，我们可以看到一个完整的正7边形。此时的迭代次数为6次，正7边形制作完 成。
上述方法在增加后减少迭代次数时比较麻烦，而且迭代规则限定了，即每次都是旋转同样的 角度。迭代次数和迭代规则能不能用带参数来控制呢？可以的，这就是深度迭代。
【例2】画圆的任意n边形
【步骤】
1.新建圆0并在圆上任取一点A。双击圆心0作为旋转中心。
2.新建参数n=7,计算360,注意这时要带单位‘度’。
n
所以，迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而 迭代深度是指迭代的次数。那么下面我们通 过例子来进一步地了解迭代以及相关的概念。
几何画板中迭代的控制方式分为两种，一种是没有参数的迭代，另一种是带参数的迭代，我 们称为深度迭代。两者没有本质的不同，但前者需要手动改变迭代的深度，后者可通过修改参数的 值来改变迭代深度。我们先通过画圆的正n边形这个例子来看一下它们的区别。
数学之美
H迭代
蜂巢
其它分形欣赏
函数迭代：函数映射，M集，朱丽亚集
迭代法求方程解
MIRA
Henon-Attractor
Mandelbrot集合
JuliaSets集合
牛顿迭代法
下期预告
第一章：迭代的概念和操作
迭代是几何画板中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。通俗的讲就是用自身
的结构来描述自身。最典型的例子就是对阶乘运算可看作一下的定义：n! n (n1)!。递
是单击参数n,按键盘的‘ + '、‘-’，系统默认变化量为1。右键单击可以修改变化量的 大小。
注意：迭代时，作为迭代深度的参数n—定要在最后面选择，这是系统的规定。
上面讲的都是迭代在几何方面的应用，下面我们来看看用迭代在画数列图像和数列求和方 面的应用。
【例3】求数列an1"(n=1,2……)的图前8项，并在平面上画出散点(n,an)。
3.新建参数n=7作为迭代深度。
4.选择a和n，做深度迭代，原像是a,初像是a+1。
5.右键点击数据表，选择’绘制表中记录’，设置x列变量为(a+1)-1，y列为f(a)。坐标系 为直角坐标系。
第5步第6步
6.点击绘图，得到散点。这些点是可以度量的。但是当参数n改变的时候，这些点不与数据
表同步，所以是不会改变的。
几何画板迭代全解
佛山市南海区石门中学谢辅炬
迭代的基本概念以及迭代的基本操作
迭代的概念
迭代在代数、几何中的应用
画正多边形
数列的图像、前n项和与积
迭代与分形几何
Sierpi nski三角形
Sierpi nski地毯
摇曳的PythagoreanTree毕达哥拉斯树
分形树
KOC曲线
KOCHS nowflake可克雪花
5.单击迭代框的【显示】按钮【最终迭代】，得到的图像仅是最后一条边。
6.点击迭代框【结构】按钮，我们可以设置创建的对象，选择“仅没有点的对象”则迭代的
像只有正多边形的各条边，而没有顶点，反之则有
HR
选择迭代像，我们可以修改他们的属性，比如颜色和粗细等，但是细心的你会发现，线段的 迭代像是不能够度量其长度的，当然也就不能取中点之类的操作。迭代的点是不能够度量他们的横 纵坐标，但是我们可以得到 迭代的终点，方法是选择迭代的点，然后单击【变换】【终点】，可以发 现最后的那个点变成实点了，这个功能在函数映射里面会用到。
(n1)!(n1)(n2)!
归算法的特点是书写简单，容易理解，但是运算消耗内存较大。我们先来了解下面这几个最基本的 概念。
迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。
原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。
初象：原象经过一系列变换操作而得到的象。与原象是相对概念。
更具体一点，在代数学中，如计算数列1,3,5,7,9……的第n项。我们知道anam2， 所以迭代的规则就是后一项等于前一项加2。以1作为原像，3作为初像，迭代一次后得到5,再 迭代一次得到7,如此下去得到以下数值序列7,9,11,13,15……如图1.1所示。
图1.1图1.2
在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。图1.2中A、B、C、D E、F、G,各点相
距1cm那么怎么由A点和B点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右，每一个 点相当于前面一个点向右平移了1cm所以我们以A点作为原像，B点作为初像，迭代一次得到B点，二次为C点，以此类推。
3.选择A点，单击菜单【变换】【旋转】，出现旋转对话框，单击计算结果‘型’作为标记
n
角度，得到B点。连接线段AB
4.顺次选择点A和参数n,按住“shift”键不放，单击【变换】【深度迭代11，出现迭代对
话框。单击BBiblioteka 作为初像，屏幕上显示出完整的正7边形。按【迭代】完成操作
5.如何改变参数n呢？有两种方法，第一种是双击参数n,然后在对话框中输入值。第二种
【例4】求数列1,3，5，7,9(n=1,2……)的前n项和。
【分析】公差为d,假设前n项和为Sn,SnSn1anSn 1a1(n 1)* d，在平面上描出
(n,Sn)。
【步骤】
1.新建参数x=1,计算x+1。
2.新建参数a=1,d=2。分别表示数列首项和公差。