含有一个量词的命题的否定优质试题附详解
含有一个量词的命题的否定
2.判断下列命题是全称命题还是特 称命题，你能写出下列命题旳否定吗？
（1）全部旳矩形都是平行四边形； （2）每一种素数都是奇数； （3）x∈R, x2－2x＋1≥0； （4）有些实数旳绝对值是正数； （5）某些平行四边形是菱形； （6） x∈R, x2＋1＜0.
分析
前三个命题都是全称命题，即具
有 “ x ∈M，p（x）”旳形式；
（2）命题“ x ∈N, x3>x2”旳否定是
___x_∈__N__,_x_3_≤__x_2__.
2. 选择题
（1）命题“原函数与反函数旳图象有关
y=x对称”旳否定是（C ）
A. 原函数与反函数旳图象有关y=-x对称 B. 原函数不与反函数旳图象有关y=x对称 C.存在一种原函数与反函数旳图象不有关 y=x对称 D. 存在原函数与反函数旳图象有关y=x对称
（2）命题“全部能被3整除旳整数都
是奇数”旳否定是（C ）
A.全部能被3整除旳整数都不是奇数 B.不存在一种奇数，它不能被3整除 C.存在一种奇数，它不能被3整除 D.不存在一种奇数，它能被3整除
3.解答题
写出下列命题旳否定，并判断 它们旳真假：
（1）正方形旳四边相等; （2）平方和为0旳两个实数都为0; （3）对任意实数x，x>0.
（1）每条直线在y轴上都有截距； （2）每个二次函数旳图像都与x轴相交.
解：（1）存在一条直线，它在y轴上没有 截距；
（2）存在一种二次函数，它旳图像 与x轴相交.
探究二：
写出下列命题旳否定：
（1）有些实数旳绝对值是正数； （2）某些平行四边形是菱形； （3） x∈R, x2＋1＜0.
经过观察，我们发觉，以上三个特称 命题旳否定都能够用全称命题表达.
高中数学-含有一个量词的命题的否定练习
高中数学-含有一个量词的命题的否定练习课时达标训练1.命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是( )A.∀x∈R,|x|+x2<0B.∀x∈R,|x|+x2≤0C.∃x0∈R,|x0|+<0D.∃x0∈R,|x0|+≥0【解析】选C.条件∀x∈R的否定是∃x0∈R,结论“|x|+x2≥0”的否定是“|x0|+<0”.2.关于命题p:“∀x∈R,x2+1≠0”的叙述,正确的是( )A.p:∃x0∈R,x2+1≠0B.p:∀x∈R,x2+1=0C.p是真命题,p是假命题D.p是假命题,p是真命题【解析】选C.命题p:“∀x∈R,x2+1≠0”的否定是“∃x0∈R,+1=0”.所以p是真命题,p 是假命题.3.下列命题中,真命题是( )A.∃m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数B.∃m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数C.∀m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数D.∀m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数【解析】选A.对于选项A,∃m∈R,即当m=0时,f(x)=x2+mx=x2是偶函数,其余均为假命题.4.命题“有一个质数含三个正因数”的否定是________.【解析】特称命题的否定是全称命题.答案:每一个质数都不含三个正因数.5.用“∀”“∃”写出下列命题的否定,并判断真假:(1)二次函数的图象是抛物线.(2)在直角坐标系中,直线是一次函数的图象.(3)有些四边形存在外接圆.(4)∃a0,b0∈R,方程a0x+b0=0无解.【解析】(1)∃f(x)∈{二次函数},f(x)的图象不是抛物线,它是假命题.(2)在直角坐标系中,∃l0∈{直线},l0不是一次函数的图象,它是真命题.(3)∀x∈{四边形},x不存在外接圆.它是假命题.(4)∀a,b∈R,方程ax+b=0至少有一解,它是假命题.。
含有一个量词的命题的否定
试卷第1页，总2页含有一个量词的命题的否定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人得分
一、选择题
1．命题“x R ，都有2log 0x 成立”的否定为（）
A ．0x R ，使20log 0x 成立
B ．0x R ，使20log 0x 成立
C ．x R ，都有2log 0x 成立
D ．x R ，都有2log 0x 成立
2．命题“存在0
0,20x x R ”的否定是（）
A ．不存在0
0,20x x R B ．存在00,20
x x R C ．对任意的,20x x R D ．对任意的,20
x x R 3．命题“000(0,),ln 1x x x ”的否定是（）
A.000(0,),ln 1
x x x B.000(0,),ln =1
x x x C.(0,),ln 1
x x x D.(0,),ln =1
x x x 4．已知命题:p 所有指数函数都是单调函数，则p 为（）
A.所有指数函数都不是单调函数
B.所有单调函数都不是指数函数
C.存在一个指数函数，它不是单调函数
D.存在一个单调函数，它不是指数函数
5．已知命题00:,sin 2p x x R ；命题2:,10q x x x R ，则下列结论正确的是（）
A ．命题p q 是假命题
B ．命题p q 是真命题
C ．命题p q 是真命题
D ．命题p q 是真命题。
高中数学 1.4.3含有一个量词的命题的否定
含有一个量词的命题的否定(30分钟50分)一、选择题(每题3分,共18分)1.(2021·烟台高二检测)对以下命题的否定说法错误的选项是( ):能被2整除的数是偶数;p:存在一个能被2整除的数不是偶数:有些矩形是正方形;p:所有的矩形都不是正方形:有的三角形为正三角形;p:所有的三角形不都是正三角形:∃x0∈R,x02+x0+2≤0;p:∀x∈R,x2+x+2>0【解析】选C.“有的三角形为正三角形”为特称命题,其否定为全称命题:所有的三角形都不是正三角形,应选项C 错误.2.关于命题p:“∀x∈R,x2+1≠0”的表达正确的选项是( ):∃x0∈R,x02+1≠0:∀x∈R,x2+1=0是真命题,p是假命题是假命题,p是真命题【解析】选C.命题p:“∀x∈R,x2+1≠0”的否定是“∃x0∈R,x02+1=0”.因此p是真命题,p是假命题.3.(2021·广州高二检测)命题“∀x>0,都有x2-x≤0”的否定是( )A.∃x0>0,使得x02-x0≤0B.∃x0>0,使得x02-x0>0C.∀x>0,都有x2-x>0D.∀x≤0,都有x2-x>0【解析】选B.由含有一个量词的命题的否定易知选B.【变式训练】已知命题p:∃x0∈R,x02+1<0,那么p是( )A.∃x 0∈R,x 02+1≥0B.∀x ∈R,x 2+1≥0C.∃x 0∈R,x 02+1≠0 D.∀x ∈R,x 2+1<0 【解析】选B.命题p 是一个特称命题,其否定为全称命题,p:∀x ∈R,x 2+1≥0.4.已知命题p:“对∀x ∈R,∃m ∈R,使4x +2x ·m+1=0”.假设命题p 是假命题,那么实数m 的取值范围是( )≤m ≤2≥2 ≤-2 ≤-2或m ≥2【解题指南】依照p 与p 的真假性相反知p 是真命题,然后求m 的取值范围即可.【解析】选C.因为p 是假命题,因此p 是真命题.因此m=-(2x +12x )≤-2. 5.已知命题p:∀x ∈R,2x 2+2x+12<0;命题q:∃x 0∈R,sinx 0-cosx 0=√2,那么以下判定正确的选项是( )是真命题是假命题 是假命题 是假命题【解析】选D.因为2x 2+2x+12=12(2x+1)2≥0,因此p 是假命题.又因为sinx-cosx=√2sin (x−π4),因此∃x 0=3π4,使sinx 0-cosx 0=√2,故q 是真命题,应选D.6.(2021·衡水高二检测)已知p:存在x 0∈R,m x 02+1≤0;q:对任意x ∈R,x 2+mx+1>0,假设p 或q 为假,那么实数m 的取值范围为( )≤-2≥2 ≥2或m ≤-2≤m ≤2 【解题指南】先判定命题p,q 的真假,转化为含有一个量词的命题的否定求参数的取值范围,再求交集.【解析】选B.由p 或q 为假,得p,q 都是假命题,从而p,q 都是真命题.p:对任意x ∈R,mx 2+1>0成立,得m ≥0;q:存在x 0∈R,x 02+mx 0+1≤0成立,得Δ=m 2-4≥0,解得m≥2或m≤-2.综上所述,m≥2为所求.二、填空题(每题4分,共12分)7.(2021·深圳高二检测)命题“同位角相等”的否定为,否命题为________________________.【解析】全称命题的否定是特称命题,“假设p,那么q”的否命题是“若p,那么q”.故否定为:有的同位角不相等.否命题为:假设两个角不是同位角,那么它们不相等.答案:有的同位角不相等假设两个角不是同位角,那么它们不相等【误区警示】解答此题易混淆命题的否定与否命题的概念,命题的否定只否定结论,而否命题既否定条件又否定结论.8.(2021·长春高二检测)设命题p:∀x∈R,x2+ax+2<0,假设p为真,那么实数a的取值范围是___________________.【解析】因为p为真,又p:∃x0∈R,x02+ax0+2≥0,而函数f(x)=x2+ax+2开口向上,因此a∈R.答案:a∈R9.命题“∃x0,y0<0,x02+y02≥2x0y0”的否定为______________________.【解析】命题是特称命题,其否定是全称命题,否定为:∀x,y<0,x2+y2<2xy.答案:∀x,y<0,x2+y2<2xy三、解答题(每题10分,共20分)10.(2021·日照高二检测)已知p:∀x∈R,2x>m(x2+1),q:∃x0∈R,x02+2x0-m-1=0,且p∧q为真,求实数m 的取值范围.【解析】2x>m(x2+1)可化为mx2-2x+m<0.假设p:∀x∈R,2x>m(x2+1)为真,那么mx2-2x+m<0对任意的x∈R恒成立.当m=0时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立;当m ≠0时,有m<0,Δ=4-4m 2<0,因此m<-1.假设q:∃x 0∈R,x 02+2x 0-m-1=0为真,那么方程x 02+2x 0-m-1=0有实根,因此Δ=4+4(m+1)≥0,因此m ≥-2.又p ∧q 为真,故p,q 均为真命题.因此m<-1且m ≥-2,因此-2≤m<-1.11.写出以下命题的否定,判定其真假并给出证明.命题:已知a =(1,2),存在b =(x,1)使a +2b 与2a -b 平行.【解题指南】先写出否定,再判真假,最后给出证明.【解析】命题的否定:已知a =(1,2),那么对任意的b =(x,1),a +2b 与2a -b 都不平行,是一个假命题. 证明如下:假设存在b =(x,1)使a +2b 与2a -b 平行,那么a +2b =(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4).2a -b =2(1,2)-(x,1)=(2-x,3).因为a +2b 与2a -b 平行,因此存在λ∈R,使得a +2b =λ(2a -b ).即(2x+1,4)=λ(2-x,3). 因此{2x +1=λ(2−x ),4=3λ⇔2x+1=43(2-x). 解得x=12. 这确实是说存在b =(12,1)使a +2b 与2a -b 平行,故已知命题为真命题,其否定为假命题.(30分钟 50分)一、选择题(每题4分,共16分)1.(2021·湖北高考)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )A.任意一个有理数,它的平方是有理数B.任意一个无理数,它的平方不是有理数C.存在一个有理数,它的平方是有理数D.存在一个无理数,它的平方不是有理数【解析】选B.特称命题的否定是全称命题,将存在量词改成全称量词,然后再否定结论即可.2.已知命题p:∀n∈N,2n>1000,那么p为( )A.∀n∈N,2n≤1000B.∀n∈N,2n<1000C.∃n0∈N,2n0≤1000D.∃n0∈N,2n0<1000【解析】选C.全称命题的否定是特称命题,故p:∃n0∈N,2n0≤1000.【触类旁通】假设此题中的命题p换为“∃n0∈N,2n0>1000”,其他条件不变,结论又如何呢?【解析】选A.将存在量词“∃”改成全称量词“∀”,然后否定结论即可,p:∀n∈N,2n≤1000.3.(2021·大连高二检测)命题p:x=2且y=3,那么p为( )≠2或y≠3 ≠2且y≠3=2或y≠3 ≠2或y=3【解题指南】“且”的否定为“或”,然后否定结论即可.【解析】选A.将“且”改成“或”,将x=2与y=3都否定即为原命题的否定,p为:x≠2或y≠3.4.以下关于命题p:“∃x0∈R,√1−cos2x0=sinx0”的表达正确的选项是( ):∃x0∈R,√1−cos2x0≠sinx0:∀x∈R,√1−cos2x=sinx是真命题,p是假命题是假命题,p是真命题【解析】选C.命题p:“∃x0∈R,√1−cos2x0=sinx0”的否定是p:∀x∈R,√1−cos2x≠sinx.当x=0时,√1−cos2x=sinx,因此p是真命题,p是假命题.二、填空题(每题5分,共10分)5.命题“对任意x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是.【解析】依照全称命题的否定形式写.答案:存在x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤36.(2021·兰州高二检测)已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x0∈R,x02+2ax0+2-a=0”,假设命题“p且q”是真命题,那么实数a的取值范围是_______.【解析】命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”为真,那么a≤x2,x∈[1,2]恒成立,因此a≤1;命题q:“∃x0∈R,x02+2ax0+2-a=0”为真,那么“4a2-4(2-a)≥0,即a2+a-2≥0”,解得a≤-2或a≥1.假设命题“p且q”是真命题,那么实数a的取值范围是{a|a≤-2或a=1}.答案:{a|a≤-2或a=1}【变式训练】已知命题p:∃x0∈R,x02+2ax0+a=0.假设命题p是假命题,那么实数a的取值范围是.【解析】方式一:假设命题p:∃x0∈R,x02+2ax0+a=0是真命题,那么Δ=(2a)2-4a≥0,即a(a-1)≥0.因为命题p是假命题,因此a(a-1)<0,解得0<a<1.方法二:依题意,命题p:∀x∈R,x2+2ax+a≠0是真命题,那么Δ=(2a)2-4a<0,即a(a-1)<0,解得0<a<1.答案:(0,1)三、解答题(每题12分,共24分)7.写出以下命题的否定,并判定其真假.(1)p:不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根.(2)q:存在一个实数x,使得x2+x+1≤0.(3)r:等圆的面积相等,周长相等.(4)s:对任意角α,都有sin 2α+cos 2α=1.【解析】(1)这一命题能够表述为p:“对所有的实数m,方程x 2+x-m=0有实数根”,其否定形式是p:“存在实数m 0,使得x 2+x-m 0=0没有实数根”.注意到当Δ=1+4m 0<0时,即m 0<-14时,一元二次方程没有实数根,因此p 是真命题. (2)这一命题的否定形式是q:“对所有实数x,都有x 2+x+1>0”;利用配方式能够证得q 是一个真命题. (3)这一命题的否定形式是r:“存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等”,由平面几何知识知r 是一个假命题.(4)这一命题的否定形式是s:“存在α0∈R,有sin 2α0+cos 2α0≠1”.由于命题s 是真命题,因此s 是假命题.8.(2021·汕头高二检测)设p:“∃x 0∈R,x 02-ax 0+1=0”,q:“函数y=x 2-2ax+a 2+1在x ∈[0,+∞)上的值域为[1,+∞)”,假设“p ∨q ”是假命题,求实数a 的取值范围.【解析】由x 02-ax 0+1=0有实根,得Δ=a 2-4≥0⇒a ≥2或a ≤-2.因此命题p 为真命题的范围是a ≥2或a ≤-2.由函数y=x 2-2ax+a 2+1在x ∈[0,+∞)的值域为[1,+∞),得a ≥0.因此命题q 为真命题的范围是a ≥0.依照p ∨q 为假命题知:p,q 均是假命题,p 为假命题对应的范围是-2<a<2,q 为假命题对应的范围是a<0. 如此取得二者均为假命题的范围确实是{−2<a <2,a <0⇒-2<a<0.。
含有一个量词的命题的否定练习题
含有一个量词的命题的否定例1写出下列全称命题的否定：(1)p:所有人都晨练；—2(2)p：- x R, x + x+1>0;(3)p：平行四边形的对边相等；- 2(4)p：x€ R, x —x+1 = 0;分析：(1)「P :有的人不晨练；(2) m x€ R, x2+ x+1< 0; (3)存在平行四边形，它的的对边不相等；(4) - x R, x2—X+1M 0; 例2写出下列命题的否定。
(1)所有自然数的平方是正数。
(2)任何实数x都是方程5x-12=0的根。
(3)对任意实数x,存在实数y,使x+y>0.(4)有些质数是奇数。
解：(1)的否定：有些自然数的平方不是正数。
(2)的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。
(3)的否定：存在实数x,对所有实数y,有x+y w0。
(4)的否定：所有的质数都不是奇数。
解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x>3,则x2>9”。
在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。
例3写出下列命题的否定。
(1)若x2>4 则x>2.。
(2)若0,则x2+x-m=0有实数根。
(3)可以被5整除的整数，末位是0。
(4)被8整除的数能被4整除。
(5)若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。
解(1)否定：存在实数X0，虽然满足x2> 4,但X0 < 2。
或者说：存在小于或等于2的数x o，满足x2 >4。
(完整表达为对任意的实数x,若x2>4 则x>2)(2)否定：虽然实数m>0,但存在一个x o，使x2+ x o-m=O无实数根。
(原意表达：对任意实数m若mi>0,则x2+x-m=0有实数根。
)(3)否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。
(4)否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)(5)否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。
高中数学配套作业：含有个量词的命题的否定课堂含解析
第一章1。
4 1.4.3
1．下列全称命题是真命题的是( B )
A．所有的质数都是奇数
B．∀x∈R,x2＋1≥1
C．对每一个无理数x，x2也是无理数
D．所有的平行向量均相等
2．命题“∃x0∈R，e x0≤0”的否定是( A ）
A．∀x∈R，e x>0
B．∀x∉R，e x>0
C．∃x0∈R,e x0>0
D．∃x0∉R,e x0>0
3．下列命题的否定为假命题的是（ D )
A．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0
B．任意一个四边形的四个顶点共圆
C．所有能被3整除的整数都是奇数
D．∀x∈R,sin2x＋cos2x＝1
[解析］∀x∈R，x2＋2x＋2＝（x＋1）2＋1≥1＞0,所以A中命题的否定是真命题；B中，由平面几何的知识可知该命题是假命题，
所以其否定是真命题；C中,由于6能被3整除，但6是偶数，不是奇数，所以C中的命题是假命题,该命题的否定是真命题;D中,由同角三角函数基本关系式可知该命题是真命题，其否定是假命题．故选D．
4．下列特称命题是假命题的是（ B ）
A．存在x∈Q，使2x－x3＝0
B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0
C．有的素数是偶数
D．有的有理数没有倒数
5．命题“∀x∈R，cos x≤1”的否定是__∃x0∈R，cos x0>1__。
1.4.3含有一个量词的命题的否定(李用2)
假 假
（2） ㄱq：存在一个正方形不是矩形;
例题
例2 :写出下列全称命题的否定：
（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数;
（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆;
（3）p：对任意x∈Z, x² 的个位数字不等于3.
答:（1）ㄱp：存在一个能被3整除的整数不是奇数;
（2）ㄱp：存在一个四边形,它的四个顶点不共圆; （3）ㄱp： ∃x0∈Z, x0² 的个位数字等于3.
探究二:特称命题的否定
课本25页：写出下列命题的否定:
(1)有些实数的绝对值是正数;
(2)有些平行四边形是菱形;
(3) ∃x0∈R, x0² +1<0.
这些命题和它们的否定在形式上
有什么变化?
以上三个命题都是特称命题,即具有形式 “∃x ∈M, p(x )”其中命题(1)的否定是“不 存在一个实数,它的绝对值是正数”,也就是说,
解析： (1)为全称命题． (2)为特称命题． (3)不是命题． (4)为全称命题． (5)为特称命题．
将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表 示，并判断真假． (1)实数的平方是非负数； (2)整数中1最小； (3) 方程 ax2 ＋ 2x ＋ 1 ＝ 0(a<1) 至少存在一个负根； (4)对于某些实数x，有2x＋1>0； (5)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.
[解题过程]
π (1)特称命题． α＝2时， tan α 不存在， 所以，
特称命题“有一个实数 α，tan α 无意义”是真命题． (2)不是命题． (3)含有全称量词，所以该命题是全称命题，又任何一个 圆的圆心到切线的距离都等于半径， 所以，全称命题“所有圆的圆心到其切线的距离都等于 半径”是真命题．
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八含有一个量词的命题的否定基础全面练(15分钟30分)1．(2021·南宁高二检测)命题“∀x∈(0，1)，x2－x<0”的否定是() A．∃x0∉(0，1)，x20－x0≥0B．∃x0∈(0，1)，x20－x0≥0C．∀x∉(0，1)，x2－x<0D．∀x∈(0，1)，x2－x≥0【解析】选B.因为“全称命题”的否定一定是“特称命题”，所以命题“∀x∈(0，1)，x2－x<0”的否定是∃x0∈(0，1)，x2－x0≥0.2．下列说法正确的是()A．命题p：对任意a>1，f(x)＝log a x在(0，＋∞)上为增函数，则p 是假命题B．命题“∃x0∈R使得x20＋2x0＋3<0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋3>0”C．“∃x0∈R，x20＋2x0＋3＝0”是真命题D ．命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x≤ 2 ”，则p 是真命题【解析】选A.命题p ：对任意a>1，f(x)＝log a x 在(0，＋∞)上为增函数，是真命题，所以p 是假命题，所以A 正确；“<”的否定为“≥”，故B 错误；x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2>0，所以x 2＋2x ＋3＝0时，x 无解，故C 错误；因为sin x ＋cos x ＝ 2 sin (x ＋π4 )≤ 2 恒成立，所以p 为真命题，从而p 为假命题，所以D 错误．3．已知命题p ：“∀x ∈R ，e x ＞0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 0－2＞x 20 ”，则( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(q)是真命题D ．命题p ∨(q)是假命题【解析】选C.命题p ：“∀x ∈R ，e x ＞0”是真命题，命题q ：“∃x 0∈R ，x 0－2＞x 20 ”，即x 20 －x 0＋2＜0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－12 2 ＋74 ＜0，显然是假命题，所以p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，p ∧(q)是真命题，p ∨(q)是真命题．4．记D ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫x ，y ⎪⎪||x ＋|y|≤1 ，命题p ：∃(x ，y)∈D ，2x －y≤2，命题q：∀⎝⎛⎭⎫x，y∈D，x2＋y2≤1，下面给出四个命题：①p∨q，②p∨q，③p∧q，④p∧q，其中真命题的个数是________．【解析】D＝{(x，y)||x|＋|y|≤1}表示图中的正方形的内部及边上，2x－y≤2表示直线2x－y＝2左上部分和直线上(即图中阴影部分)，x2＋y2≤1表示圆的内部和圆上，结合图形，可知命题p是真命题，命题q也是真命题，所以①②是真命题，③④是假命题．答案：25．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)有些质数是奇数．(2)所有二次函数的图象都是开口向上．(3)∃x0∈Q，x20＝5.(4)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．【解析】(1)“有些质数是奇数”是特称命题，其否定为“所有质数都不是奇数”，是假命题．(2)“所有二次函数的图象都是开口向上”是全称命题，其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”，是真命题．(3)“∃x0∈Q，x20＝5”是特称命题，其否定为“∀x∈Q，x2≠5”，是真命题．(4)“不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根”是全称命题，其否定为“存在实数m0，使得方程x2＋2x－m0＝0没有实数根”，是真命题．综合突破练(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2021·遵义高二检测)下列四个命题：①“∀x∈R，2x＋5>0”是全称命题；②命题“∀x∈R，x2＋5x＝6”的否定是“∃x0∉R，使x2＋5x0≠6”；③若||x＝||y，则x＝y；④若p∨q为假命题，则p，q均为假命题．其中真命题的序号是()A．①②B．①④C．②④D．①②③④【解析】选B.①因为命题中含有全称量词∀，所以①是全称命题，所以①正确．②全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2＋5x＝6”的否定是“∃x0∈R，x2＋5x0≠6”，所以②错误．③根据绝对值的意义可知，若||x ＝||y ，则x ＝±y ，所以③错误．④根据复合命题的真假关系可知，若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题，所以④正确．故真命题是①④.2．“若a≥12 ，则∀x≥0，都有f(x)≥0成立”的逆否命题是( )A ．∃x 0<0，有f(x 0)<0成立，则a<12B ．∃x 0<0，有f(x 0)≥0成立，则a<12C ．∀x≥0，有f(x)<0成立，则a<12D ．∃x 0≥0，有f(x 0)<0成立，则a<12【解析】选D.“若a≥12 ，则∀x≥0，都有f(x)≥0成立”的逆否命题是∃x 0≥0，有f(x 0)<0成立，则a<12 .3．若函数f(x)，g(x)的定义域和值域都是R ，恒有f(x)<g(x)，则下列不正确的是( )A ．∃x 0∈R ，使f(x 0)<g(x 0)B ．存在无数多个实数x ，使得f(x)<g(x)C ．∀x ∈R ，都有f(x)＋12 <g(x)D ．不存在实数x ，使得f(x)≥g (x)【解析】选C.若函数f(x)，g(x)的定义域和值域都是R ，恒有f(x)<g(x)，即对任意实数x，都有f(x)<g(x)，A，B，D成立，而C不确定．4．已知命题p：∃x0∈R，2－x0>ex0，命题q：∀a∈R＋，且a≠1，log a(a2＋1)>0，则()A．命题p∧q是真命题B．命题p∨q是假命题C．命题p∨q是假命题D．命题p∧q是真命题【解析】选A.令f(x)＝e x＋x，则易知f(x)＝e x＋x在R上单调递增，所以当x<0时，f(x)＝e x＋x<1<2，即e x<2－x；因此命题p：∃x0∈R，2－x0>ex0为真命题；由a>0得a2＋1>1；所以，当a>1时，log a(a2＋1)>0；当0<a<1时，log a(a2＋1)<0；因此，命题q：∀a∈R＋，且a≠1，log a(a2＋1)>0为假命题；所以命题p∧q是真命题．二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题“奇函数的图象关于原点中心对称”的否定是______________________________．【解析】题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有奇函数的图象关于原点中心对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于原点中心对称”改为“关于原点不中心对称”，所以该命题的否定是“有些奇函数的图象关于原点不中心对称”．答案：有些奇函数的图象关于原点不中心对称6．已知命题p：∃x0∈R，x20＋ax0＋a<0，若p是真命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】因为命题p：∃x0∈R，x2＋ax0＋a<0，所以p：∀x∈R，x2＋ax＋a≥0，因为p是真命题，所以Δ≤0，即a2－4a≤0，解得0≤a≤4.答案：⎣⎡⎦⎤0，4三、解答题7．(10分)已知命题p：∀m∈[－1，1]，不等式a2－5a－3≥m2＋8 ；命题q：∃x0，使不等式x2＋ax0＋2＜0.若p或q是真命题，q是真命题，求a的取值范围．【解析】根据p或q是真命题，q是真命题，得p是真命题，q是假命题．因为m∈[－1，1]，所以m2＋8 ∈[2 2 ，3]，因为∀m∈[－1，1]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8 ，所以a 2－5a －3≥3，所以a≥6或a≤－1.故命题p 为真命题时，a≥6或a≤－1.又命题q ：∃x 0，使不等式x 20 ＋ax 0＋2＜0， 所以Δ＝a 2－8＞0，所以a ＞2 2 或a ＜－2 2 ，从而命题q 为假命题时，－2 2 ≤a≤2 2 ， 所以命题p 为真命题，q 为假命题时，a 的取值范围为－2 2 ≤a≤－1.【补偿训练】已知p ：不等式2x －x 2<m 对一切实数x 恒成立，q ：m 2－2m －3≥0，如果“p”与“p ∧q”同时为假，求实数m 的取值范围．【解析】2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，所以p 真时，m>1.由m 2－2m －3≥0得m≤－1或m≥3，所以q 真时，m≤－1或m≥3.因为“p”与“p ∧q”同时为假，所以p 为真，q 为假，所以⎩⎨⎧m>1，－1<m<3，即1<m<3.故m的取值范围为(1，3).关闭Word文档返回原板块。
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1.3.2 含有一个量词的命题的否定
一、基础过关
1． 已知命题p ：∀x ∈R ，cos x ≤1，则命题p ：____________________________________.
2． 命题“一次函数都是单调函数”的否定是____________________________________．
3． 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是______________________．
4． 命题“某些平行四边形是矩形”的否定是____________________．
5． 命题p ：“存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根”，则“非
p ”形式的命题为____________________________________．
6． 已知命题p ：“∃x ∈R ＋，x >1x ”，命题p 的否定为命题q ，则q
是“__________”；q 的真假为________(填“真”或“假”)．
7． 已知命题q ：“三角形有且仅有一个外接圆”，则命题q 为“_________________”．
8． 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)三角形的内角和为180°；
(2)每个二次函数的图象都开口向下；
(3)存在一个四边形不是平行四边形．
二、能力提升
9． 已知命题p ：“a ＝1”是“∀x >0，x ＋a x ≥2”的充要条件，命题
q ：∃x 0∈R ，x 2＋x －1>0.则下列结论中正确的序号为________． ①命题“p ∧q ”是真命题；
②命题“p ∧命题q ”是真命题；
③命题“命题p ∧q ”是真命题；
④命题“命题p ∨命题q ”是假命题．
10．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则
实数m 的取值范围是________________________________________________________________________．
11．命题p 是“对某些实数x ，有x －a >0或x －b ≤0”，其中a 、b 是常数．
(1)写出命题p 的否定；
(2)当a、b满足什么条件时，命题p的否定为真？
12．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax ＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．
三、探究与拓展
13．已知命题p：∀m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥m2＋8；命题q：∃x，使不等式x2＋ax＋2<0.若p或q是真命题，命题q是真命题，求a的取值范围．
答案
1． ∃x ∈R ，cos x >1
2． 有些一次函数不是单调函数
3． 存在一个能被2整除的数不是偶数
4． 每一个平行四边形都不是矩形
5． 对任意实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实数根
6． ∀x ∈R ＋，x ≤1x 假
7． 存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆
8． 解 (1)是全称命题且为真命题．
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.
(2)是全称命题且为假命题．
命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．
(3)是存在性命题且为真命题．
命题的否定：任意一个四边形都是平行四边形．
9． ③
10．3≤m <8
11．解 (1)命题p 的否定：对任意实数x ，有x －a ≤0且x －b >0.
(2)要使命题p 的否定为真，需要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －a ≤0，x －b >0
的解集不为空集，
通过画数轴可看出，a 、b 应满足的条件是b <a .
12．解 由已知得命题p ：∀x ∈[1,2]，
x 2＋2ax ＋2－a ≤0成立．
∴设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，
则⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0f (2)≤0，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
1＋2a ＋2－a ≤04＋4a ＋2－a ≤0， 解得a ≤－3，∵命题p 为假，
∴a >－3，即a 的取值范围是(－3，＋∞)．
13．解 根据p 或q 是真命题，命题q 是真命题，得p 是真命题，q 是假命题．
∵m ∈[－1,1]，∴m 2＋8∈[22，3]．
因为∀m ∈[－1,1]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8，
所以a 2－5a －3≥3，∴a ≥6或a ≤－1.
故命题p 为真命题时，a ≥6或a ≤－1.
又命题q ：∃x ，使不等式x 2＋ax ＋2<0，
∴Δ＝a2－8>0，∴a>22或a<－22，
从而命题q为假命题时，－22≤a≤22，所以命题p为真命题，q为假命题时，
a的取值范围为－22≤a≤－1.。