群的特征标理论
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第1部分第3章 特征标理论(2)
hi ( χi / χE ) ------------------------ (7) ---------------------- (1) --------------------- (8) --------------------- (4) [ 提问: I I = ? ] [ 提问: I I = I ] *
(5) 以 D3 群为例, 利用类和定理求不可约表示特征标 13 1, 求一维不可约表示特征标 χE = χ1 = 1 取 i = j = 3 ( 可取不同的 i, j 值 ) 因为 C3 C3 = 2 C1 + C3 ( 可利用群表验证 ) 所以 C331 = 2, C332 = 0, C333 = 1 由(2)式 hi ( χi / χE ) hj ( χj / χE ) = ∑k Cijk hk ( χk / χE ) ---- (2) 得 2 • χ3 • 2 • χ3 = 2 • 1 • χ1 + 0 • 3 • χ2 + 1 • 2 • χ3 ( hi = hj = h3 = 2, h1 = 1, h2 = 3, χE = χ1 = 1 ) 4 χ3 2 = 2 + 2 χ3 2 χ3 2 - χ3 - 1 = 0 χ3 = - 1/2 或 + 1 [ 提问: 哪个该舍去? 为什么? ] [ 答案: - 1/2 该舍去, 因为模小于1 ] *
(3) 类和定理的证明 1, 证明(1)式 第一步: 证明类和矢量 Ci 与一切群元矢量 R 对易 Ci R = R Ci, 习题: 证明 Ci X = X Ci, 即
9
R-1 Ci R = Ci ------------- (3)
X 为群元空间中一切矢量
[ 若此题证明了, 则 (3) 式也就证明了 ] 第二步: 证明, 若群元空间中矢量 A 和一切群元矢量 R 对易 R-1 A R = A R为任一群元, 若(4)式左边A中含有某类的任一元 则(4)式右边A中必含有该类所有的元 又∵ ∴ (4)式左右两边A相同 A含完正的类 * ------------------------ (4) 则A 必由若干类和矢量 ( 完整的类 ) 构成 证: ∵ ∴
3-2 特征标表PPT课件
1群表示理论目录3群表示理论234广义正交定理35特征标表36直积群的表示37某些群的不可约表示特征标表34广义正交定理对于群g的每个操作rgm和gn是具有矩阵dmr和dnr维数分别为nm和nn的二个不等价不可约酉表示那么它们的矩阵元之间满足下列方程
群表示理论
目录
3 群表示理论（2）
3.4 广义正交定理 3.5 特征标表 3.6 直积群的表示 3.7 某些群的不可约表示（特征标表）
(A A2 ) A2 1 1 1 1 1 1
(A E) E 2 1 0 2 1 0
(A A1 ) A1 1 1 1 1 1 1 (A A2 ) A2 1 1 1 1 1 1 (A E) E 2 1 0 2 1 0
本节结束
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d 轨道函数空间下 C3v 的不等价不可约表示
现在我们把一个 g 阶的群 G 的操作分类，用符号 Ci 表示。将 第 i 类操作的数目用 gi 表示，把群中类的数目用 k 表示，因此
k
gi g
i1
例如，对于 C3v 群，我们有
C1 E Eˆ C2 2C3 Cˆ 3 Cˆ 32
如果直因子的表示是不可约的，则相应的直积群的表示也是不 可约的。
因为，直积群的类的数目等于其直因子的类的数目之积，因此， 直积群的不可约表示的数目也等于它的直因子的不可约表示的数目 的乘积。
直积群的不可约表示完全由它的直因子的不可约表示决定。
例 D3h 群的特征标表
D3h D3 Cs
D3 群是 C3v 群的同构群，其共轭类、特征标表与 C3v 相同。
E 2 1 0 (x , y);(Rx , Ry ) (xz, yz);(x2 y2 , xy)
群表示理论
目录
3 群表示理论（2）
3.4 广义正交定理 3.5 特征标表 3.6 直积群的表示 3.7 某些群的不可约表示（特征标表）
(A A2 ) A2 1 1 1 1 1 1
(A E) E 2 1 0 2 1 0
(A A1 ) A1 1 1 1 1 1 1 (A A2 ) A2 1 1 1 1 1 1 (A E) E 2 1 0 2 1 0
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d 轨道函数空间下 C3v 的不等价不可约表示
现在我们把一个 g 阶的群 G 的操作分类，用符号 Ci 表示。将 第 i 类操作的数目用 gi 表示，把群中类的数目用 k 表示，因此
k
gi g
i1
例如，对于 C3v 群，我们有
C1 E Eˆ C2 2C3 Cˆ 3 Cˆ 32
如果直因子的表示是不可约的，则相应的直积群的表示也是不 可约的。
因为，直积群的类的数目等于其直因子的类的数目之积，因此， 直积群的不可约表示的数目也等于它的直因子的不可约表示的数目 的乘积。
直积群的不可约表示完全由它的直因子的不可约表示决定。
例 D3h 群的特征标表
D3h D3 Cs
D3 群是 C3v 群的同构群，其共轭类、特征标表与 C3v 相同。
E 2 1 0 (x , y);(Rx , Ry ) (xz, yz);(x2 y2 , xy)
三 群论基本知识
C2v群特征表表：
C2v
E C2
A1
11
A2
11
B1
1 -1
B2
Г2φ
1 -1 20
(xz) (yz ) 基
11
z
x2, y2, z2
-1 -1 1 -1 -1 1
Rz xy x, Ry xz y, Rx yz
02
C3v群特征表表：
C2v
E
2C3
A1
1
1
A2
1
1
E
2
-1
3v 1 -1 0
基
z
x2 + y2, z2
x、y、z
分别代表原子的三个坐标以及在轴上的平移运动，由 于px、py、pz轨道的变换性质和偶极矩向量的变换性
质相似，故也可用x、y、z表示
Rq
代表绕q轴进行旋转的转动向量
xy，xz，yz，x2- y2 ，z2
分别代表各个d轨道和判断拉曼光谱活性的极化率的不 可约表示
将原子轨道作为表示的基,并与C2v群的特征标表相对照，可看出Pz轨道在C2v群中按A1 变换，px轨道按B1变换，Py轨道按B2变换，但以点（x、y、z）为基的Г1(xyz)表示在C2v 群的特征标表中并没有出现，说明它是个可约表示。将它转化为不可约表示，需借助约化 公式，即确定第i个不可约表示在可约表示中出现的次数ai的公式
A(BC)=(AB)C，A(B+C)=AB+AC
几种矩阵：
a1
a2
列矢量 {A}= a3
在n维空间中，一个矢量可由一个n×1阶的列矢量所决定。这 个矢量矩阵元素的几何意义和实际空间中的相同，也就是假定 它的一端位于坐标原点，则另一端就给出了矢量的正交坐标（ 例如直角坐标系）。
第一部分第三章 特征标理论(1)
类 群元 C2
D4
χ4
D5
χ5
D6
χ6
C2
C2
┌0 1 0┐ ┌1 0 0┐ ┌ 0 -1 ┐ A ∣ 1 0 0 ∣ 1 ∣0 1 0 ∣ 1 ∣ ∣ 0 └0 0 1┘ └ 0 0 -1 ┘ └ -1 0 ┘ ┌1 0 0┐ ┌1/4, 3/4, -W┐ ┌-31/2/2, 1/2 ┐ B ∣ 0 0 1∣ 1 ∣3/4, 1/4, W ∣ 1 ∣ ∣ 0 └ 0 1 0 ┘ └ -W W, 1/2 ┘ └ 1/2, 31/2/2 ┘ ┌0 0 1┐ ┌1/4, 3/4, -W ┐ ┌ 31/2/2, 1/2 ┐ C ∣ 0 1 0 ∣ 1 ∣3/4, 1/4, -W∣ 1 ∣ ∣ 0 └1 0 0┘ └ W, -W, 1/2 ┘ └ 1/2, -31/2/2 ┘
3C2 1 –1 0 1 1 0
2C3 1 1 -1 0 0 -1
6
[答案1: D4和D5是可约表示, 因与所有不可约表示的特征标不同] [提问: 约化的结果是什么? 为什么?] [答案: 约化为 D1 和 D3, 因为特征标是其和] [提问: D6 呢?] [答案2: D6 和 D3 是彼此等价的不可约表示, 因其特征标相同] 下面的任务是寻求获得约化系数 ai 的规范化程序 *
第一部分
群论基础
第三章 群表示特征标理论 (1)
(一) 群表示的特征标及其性质 一, 特征标的定义 群表示的特征标是群表示矩阵的迹 ( 对角矩阵元之和 ) χ ( R ) = tr D ( R ) = ∑α Dαα ( R ) 二, 特征标的性质 (1) 同类群元的特征标相同 证明: R 和 S 同类, 则有 T 使 S = T-1 R T 因此, χ ( S ) = tr D ( S ) = tr D ( T-1 R T ) = tr [ D ( T-1 ) D ( R ) D ( T ) ] = tr [ D -1( T ) D ( R ) D ( T ) ] = tr D ( R ) = χ ( R ) 即特征标是类的函数 * ------------(1)
12阶群的特征标表
12阶群的特征标表12阶群是指具有12个元素的群。
接下来，我将介绍12阶群的特征标表。
首先，我们需要确定12阶群的不可约表示。
根据群论的定理，任何有限群的特征标表的行数等于其共轭类的个数，因此我们需要找到12阶群的所有共轭类。
12阶群共有五个共轭类，它们分别是:1.单位元素类：{e}2.阶为2的元素类：{a,a^-1}，其中a是12阶群中阶为2的元素。
3.阶为3的元素类：{b,b^4,b^7}，其中b是12阶群中阶为3的元素。
4.阶为4的元素类：{c,c^3,c^9}，其中c是12阶群中阶为4的元素。
5.阶为6的元素类：{d,d^5}，其中d是12阶群中阶为6的元素。
接下来，我们需要计算这些共轭类的特征标。
特征标是将群的元素映射为一个复数的函数，满足以下性质:1.对于单位元素，特征标为12.对于非单位元素，则特征标的绝对值等于其共轭类大小的平方根。
下面是12阶群的特征标表:12阶群，{e}，{a,a^-1}，{b,b^4,b^7}，{c,c^3,c^9}，{d,d^5}--------，-----，-----------，--------------，---------------，---------χ1，1，1，1，1，1χ2，1，1，1，1，-1χ3，1，1，1，-1，1χ4，1，1，1，-1，-1χ5，1，1，-1，1，1χ6，1，1，-1，1，-1χ7，1，1，-1，-1，1χ8，1，1，-1，-1，-1χ9，2，-1，0，2，0χ10，2，-1，0，-2，0χ11，2，-1，0，0，2χ12，2，-1，0，0，-2在特征标表中，χ1至χ8都是行对称的，而χ9至χ12则是列对称的。
这就是12阶群的特征标表。
特征标是研究群表示论中非常重要的工具，它们不仅可以帮助我们确定一个群的结构，还可以在许多数学和物理学领域中找到应用。
绪论-群论的起源与发展
Galois在方程论中引出→群的概念
Baron Augustin Galois Caucky（1789－1857 ）继研究，首创了置换群理论。
Arthur Cayley (1821-1895) 定义了广义抽象论， 发展了矩阵理论
George Ferdinand Frobenius(1849-1917) 发 展了群表示理论和群的特征标概念
绪 论
一、群论的起源与发展
群是数学中一个重要概念，有关群的性质及 结构的理论称群论，是抽象代数重要组成部分之 一. 群论是法国传奇式人物伽罗瓦（Galois）的发 明。他用该理论，具体来说是伽罗瓦群，解决了 五次方程问题。在此之后柯西（Cauchy)，阿贝 尔（Abel）等人也对群论作出了发展。
Evariste Galois
Louis Philipple国王而被捕。起初被释放，但又因非 法穿军装和携带武器，再一次被捕六个月监禁。
在20岁（1831年）时，因与情敌争风吃醋而决斗 受伤，于次年逝世。据说是君主主义者一派的奸细 怂恿的。
决斗前夕，Galois带着死亡的预兆为后代写 出了他当时未发表的最重要的手稿。全部著作不 到60页。
五、考试与考查方式
初定:
平时讲课（20分）
报告（20分） 课程论文（60分）
群论是法国 Evariste Galois 伽罗华 (18111832)提出的，伽罗华一生短暂，但是当时作出重大 发现的最年轻的数学家。 1811年生于巴黎近郊 Bourg-La-Reine 16岁已通晓大数学家的著作 尽管是数学方面的天才，但两次都未考取Ecole工 艺学院(法国数学家的圣地)
1830年终于被该校录取了，但因在同一年一份涉 及校长在七月革命中活动的通讯稿而被开除。 Galois 是一位坚定的共和主义者,并强烈憎恨暴政。 在1831年，因提议向国王敬酒而被解释为威胁
群论-3群的表示理论
i
利用基矢的正交归一条件(ei,ej来自 = δij（也可写为<ei|ej> = δij）， 可得：
Aij = <ei|Â|ej> ≡ (ei, Âej)，i,j = 1, 2, …,n
n×n阶的矩阵A ——算符Â在基{e1, e2, …,en}中的矩阵表示。
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
，将Hd写成
H
2 d
H
2 d
并代入前式，两边
同时左乘和右乘
1
Hd 2
，可得：
E
H
d
1 2
D'
g
D'
†
g
Hd
1 2
1
Hd 2 D'
gi g
D' †
gi g
1
Hd 2
gG
gG
H
d
1 2
D'
gi
D'
g
D'
†
g
D'
†
gi
H
d
1 2
gG
H
1 2
d
D'
gi
D'
g
D'
†
g
D'
†
gi
H
d
Dij (g) ei Dˆ g e j
群论-群的表示理论-群的线性表示
如果一个表示存在不变子空间：
设Vn是群G的表示空间，Vm是其不变子空间 {e1, e2,…,em, em+1,…,en}是Vn的一组正交归一基矢
其中前m个基矢是子空间Vm的基矢， 则当j = 1，2，…m，i = m+1，…，n时，Dij (g) = 0。
利用基矢的正交归一条件(ei,ej来自 = δij（也可写为<ei|ej> = δij）， 可得：
Aij = <ei|Â|ej> ≡ (ei, Âej)，i,j = 1, 2, …,n
n×n阶的矩阵A ——算符Â在基{e1, e2, …,en}中的矩阵表示。
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
，将Hd写成
H
2 d
H
2 d
并代入前式，两边
同时左乘和右乘
1
Hd 2
，可得：
E
H
d
1 2
D'
g
D'
†
g
Hd
1 2
1
Hd 2 D'
gi g
D' †
gi g
1
Hd 2
gG
gG
H
d
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D'
gi
D'
g
D'
†
g
D'
†
gi
H
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1 2
gG
H
1 2
d
D'
gi
D'
g
D'
†
g
D'
†
gi
H
d
Dij (g) ei Dˆ g e j
群论-群的表示理论-群的线性表示
如果一个表示存在不变子空间：
设Vn是群G的表示空间，Vm是其不变子空间 {e1, e2,…,em, em+1,…,en}是Vn的一组正交归一基矢
其中前m个基矢是子空间Vm的基矢， 则当j = 1，2，…m，i = m+1，…，n时，Dij (g) = 0。
群论-3 群的表示理论
Dij (g) ei Dˆ g e j
群论-群的表示理论-群的线性表示
如果一个表示存在不变子空间：
设Vn是群G的表示空间，Vm是其不变子空间 {e1, e2,…,em, em+1,…,en}是Vn的一组正交归一基矢
其中前m个基矢是子空间Vm的基矢， 则当j = 1，2，…m，i = m+1，…，n时，Dij (g) = 0。
内积，内积空间
线性空间Vn上的任一矢量x，当选择{e1, e2, …,en}为基矢组 时，也可展开为
x = x1e1 + x2e2 + …+ xnen x1, x2,…, xn即为矢量x在基矢e1, e2, …,en上的坐标
x可以用它的坐标来表示： x = (x1, x2,…, xn)
常把(x1, x2,…, xn)写成单列矩阵，称之为 矢量x的列向量表示
且F中存在单位元1，k(lx)=(kl)x； 加法与数乘满足分配律；
那么V称为数域F上的线性空间
F中元素称为标量或数量，V中元素称为向量
当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。当F为复数域时， V称为复线性空间。
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
基矢 线性空间Vn上的任意n个线性无关的矢量都可以构成Vn的一 组基矢 一般取e1, e2, …,en为空间Vn上的一组正交归一基矢
3 / 2 1/ 2
2 等价表示
群论-群的表示理论-群的线性表示
矩阵的相似变换： M' = S -1MS
等价表示：两个以相似变换联系起来的表示称为等价表示 记作D(G) ~ D'(G) 。
相似变换实际上可认为是坐标系的变换（基矢变换）
——故可认为一切等价表示都是相同的表示。
群论-群的表示理论-群的线性表示
如果一个表示存在不变子空间：
设Vn是群G的表示空间，Vm是其不变子空间 {e1, e2,…,em, em+1,…,en}是Vn的一组正交归一基矢
其中前m个基矢是子空间Vm的基矢， 则当j = 1，2，…m，i = m+1，…，n时，Dij (g) = 0。
内积，内积空间
线性空间Vn上的任一矢量x，当选择{e1, e2, …,en}为基矢组 时，也可展开为
x = x1e1 + x2e2 + …+ xnen x1, x2,…, xn即为矢量x在基矢e1, e2, …,en上的坐标
x可以用它的坐标来表示： x = (x1, x2,…, xn)
常把(x1, x2,…, xn)写成单列矩阵，称之为 矢量x的列向量表示
且F中存在单位元1，k(lx)=(kl)x； 加法与数乘满足分配律；
那么V称为数域F上的线性空间
F中元素称为标量或数量，V中元素称为向量
当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。当F为复数域时， V称为复线性空间。
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
基矢 线性空间Vn上的任意n个线性无关的矢量都可以构成Vn的一 组基矢 一般取e1, e2, …,en为空间Vn上的一组正交归一基矢
3 / 2 1/ 2
2 等价表示
群论-群的表示理论-群的线性表示
矩阵的相似变换： M' = S -1MS
等价表示：两个以相似变换联系起来的表示称为等价表示 记作D(G) ~ D'(G) 。
相似变换实际上可认为是坐标系的变换（基矢变换）
——故可认为一切等价表示都是相同的表示。
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群表示特征标理论
迹
(一) 群表示的特征标数学定义及其性质 一、特征标的定义
群表示的特征标是群表示矩阵的迹 ( 对角矩阵元之和 )
( R ) = tr D ( R ) = D ( R ) 二、特征标的性质 (1)同类群元的特征标相同 (2) 等价表示的特征标相同
三、对特征标的评价 以3 3 的表示矩阵为例, 一个特征标比九个矩阵元简单得 多, 况下, 利用特征标就能解决问题。与表示矩阵相比, 特征 标丢掉了一些信息
到操作的总数（群的阶）。
任何不可约操作对应的在矩阵中ij特征标的积和此类的阶想乘，其值为 0。
H2S的可约表示
我们对A、B1、B2做一个“直和”(类似于直积的一种运算)。
则可以得到（3，-1，1，1）作为A、B1、B2的一个不可约表示的线性组合。
（四）可约表示的约化
可约表示在不可约中出现的次数a可以使用如下公式计算出：
(二)特征标表及特征标的实际实体定义
我们以H2 S为例，来简明阐述一下特征标表的构成
H2 S分子中的S原子的轨道在C2点群中的操作变化。
对称操作前面的
数字代表操作数 每一行的特征标 一个具体的物理操作
定义：每一个特征标表示一个不可 约表示
所以群特征标表的简单定义： 一个物理量在对应的对称变换中，可以用特定的一套数字来
表示。
每个数字，就是对应的一个特征标。
1 1 1 1
-1 -1 1 1
1 -1 1 -1
-1 1 1 -1
以上十六个数字所组成的，就是一个典型的特征标表。
（三）不可约表示的性质
点群中不可约表示的数目与群中对称操作的数目相等。
对于每个不可约表示，我们可以使用每个特征标的平方再乘以操作数， 然后能得
迹
(一) 群表示的特征标数学定义及其性质 一、特征标的定义
群表示的特征标是群表示矩阵的迹 ( 对角矩阵元之和 )
( R ) = tr D ( R ) = D ( R ) 二、特征标的性质 (1)同类群元的特征标相同 (2) 等价表示的特征标相同
三、对特征标的评价 以3 3 的表示矩阵为例, 一个特征标比九个矩阵元简单得 多, 况下, 利用特征标就能解决问题。与表示矩阵相比, 特征 标丢掉了一些信息
到操作的总数（群的阶）。
任何不可约操作对应的在矩阵中ij特征标的积和此类的阶想乘，其值为 0。
H2S的可约表示
我们对A、B1、B2做一个“直和”(类似于直积的一种运算)。
则可以得到（3，-1，1，1）作为A、B1、B2的一个不可约表示的线性组合。
（四）可约表示的约化
可约表示在不可约中出现的次数a可以使用如下公式计算出：
(二)特征标表及特征标的实际实体定义
我们以H2 S为例，来简明阐述一下特征标表的构成
H2 S分子中的S原子的轨道在C2点群中的操作变化。
对称操作前面的
数字代表操作数 每一行的特征标 一个具体的物理操作
定义：每一个特征标表示一个不可 约表示
所以群特征标表的简单定义： 一个物理量在对应的对称变换中，可以用特定的一套数字来
表示。
每个数字，就是对应的一个特征标。
1 1 1 1
-1 -1 1 1
1 -1 1 -1
-1 1 1 -1
以上十六个数字所组成的，就是一个典型的特征标表。
（三）不可约表示的性质
点群中不可约表示的数目与群中对称操作的数目相等。
对于每个不可约表示，我们可以使用每个特征标的平方再乘以操作数， 然后能得