“数学思想”是开启数学解题“金钥匙”
数学思想方法在数学解题中的作用
数学思想方法在数学解题中的作用在数学教学中,“问题是数学的心脏”已成为数学界的共识,而问题的解决,实际上是数学思想方法的体现．那么如何通过解题教学提炼数学思想方法？又如何运用数学思想方法指导数学解题呢？1.重视解题反思，突出数学思想方法的提炼．解题回顾是解题教学的重要环节，回顾可使经验升华和理性化，产生认识上的飞跃，因此解题教学应使学生养成反思的习惯，尤其是要从数学思想方法上进行反思.如解题体现了哪些数学思想方法？解题的宏观策略（即第一感觉应该从哪个角度去入手,比如：利用函数、建立方程、从特殊思考、图形分析、对立面等等）是什么?是如何想到的？它和数学思想有怎样的联系？解题后从数学思想方法上进行反思，就是要突出对数学思想方法的提炼，引起对数学思想方法的关注，同时为灵活运用数学思想方法打下坚实的基础.例1在等差数列中，>0，，问此数列前多少项的和最大？解法一：考虑的增减性，计算，可知，当>0时，递减．于是，取最大值的条件是：，由得，代入不等式组解得，所以当时，最大．以上分析，原则上适用于一般数列，若能考虑数列的特性，又有下面更简便的解法．解法二：∵是等差数列，∴时，它是关于的二次函数，由>0，，可得<0，所以图象开口向下，又，所以抛物线的对称轴为，从而当时，最大．解法二运用了函数思想，把数列问题转化为函数问题处理．通过反思我们看到，对于数列问题可以探索其作为函数的思想内涵，事实上数列可以看作是定义在自然数集或其子集上的函数的一列函数值，解题中我们可根据数列特征，以函数理论为线索展开进行解题思维．2.加强用数学思想方法分析寻找解题思路的指导．数学思想方法是解题的宏观策略，是我们顺利完成解题的突破口.虽然解题过程表现为条件与结论之间的一条知识链，但是知识链的串联主要是数学思想方法在发挥着提示作用，因此教师要善于引导学生用数学思想去开通解题思路．例2 方程的解所在的区间为（）A.（0，1）B. （1，2）C.（2，3）D. （3，+∞）分析：超越方程，一般无法直接求出解，所以想依据解来判定解所在区间，很难顺利实现．于是想到作草图试探解的大致范围，要作图就会想到把方程转化为两个常见的函数：设，，把方程的解的问题转化为两函数图象的交点的问题来解决．显然两图象交点的横坐标介于，所以应排除A、D，又时，，，所以只有时，才有可能使成立，从而断定∈（2，3），应选C．上述分析过程就是利用等价转化思想、函数思想、数形结合思想去开通思路的具体体现．例3 已知方程有实数解，求实数的取值范围．解法一：用方程思想指导解题，把三角方程转化为代数方程求解令，原方程化为，问题转化为“方程在内至少有一实根，求的取值范围”．由得,或，解得．解法二：用函数思想指导解题，原题转化为：求函数的值域，易得.解法三：用数形结合思想指导解题，原题转化为：直线与抛物线有交点，求的取值范围，易得．三种解法比较，解法二、解法三更为简捷、漂亮，它们分别巧妙地运用了函数思想和数形结合思想，充分体现了数学思想对解题过程的指导作用．一般说来，在遇到求参数的范围、求最值、值域等涉及到量的变化时往往用函数思想方法打开思路；在遇到求参数值、求距离、求角、求三角函数值等涉及定量时往往用方程思想解决；遇到绝对值、字母系数等往往要用到分类讨论思想方法来指导解题，其关键是找到分类的起点；遇到超越方程或者难以讨论的函数可以用数形结合思想寻找解题思路；遇到运动变化的问题往往是从函数思想、极限思想或特殊思想考虑.在遇到复杂的式子、否定的叙述、至少至多语句等往往采用等价转化思想进行突破.。
开启数学之门的钥匙——思考
开启数学之门的钥匙——思考蓝田县冯家村初级中学成忠辉摘要：在数学学习中，思考至关重要，对于不同的问题要采用相应的思维方法去解决。
常见的思维方法有纵向、横向、逆向、平面和空间、多角度等思维方式。
另外，教师应引导学生在课堂上积极发挥主观能动性，培养学生思考问题、解决问题的能力。
关键词：数学、思考、思维方法、实践数学是一门智慧之学。
从古至今，数学的发展之路上凝结着无数先人绚烂的智慧之花。
从古代的《九章算术》到现代的《线性代数》，从欧几里得的《几何原本》到现在的《微分几何》，无一不是先人经过认真思考，反复推敲而凝聚的精华。
因此，思考在数学学习中举足轻重。
这里的思考并不是日常生活中单纯的想问题，而是思维的一种探究性活动，是为了解决问题而进行的一种创造性活动。
子曰：学而不思则罔。
因而，在学习过程中，思考是十分重要的。
特别是在中学阶段，培养学生的思维能力显得尤为重要。
关于思考的方法有很多种，下面介绍几种常见的：一、纵向思维方法所谓纵向思维，即利用逻辑推理直上直下的思考。
这是一种最常见的思维方法，也是一种最简单的思维方法。
例如，已知：a=b,b=c,c≠d;求证：a≠d.证明：因为a=b,b=c,所以a=c,又因为c≠d,所以a≠d.这种解题思路就是采用纵向思维的方法，使题目顺理成章的解答下来。
二、横向思维方法横向思维是接收和利用其他事物的动静、特征和性质的启发的思维方法。
它是相对与纵向思维来说的，当纵向思维受阻时大脑急转变，在横向思索中去发展富有创新性的目标或答案。
这里我们先看一个故事：有三个人一起住旅店，每人付了10元钱。
其后店主又让服务员退回5元，服务员私吞了2元，只返还给他们每人1元。
现在提出这样一个问题：开始三人共付30元钱，退钱后等于每人交了9元，合计27元，加上服务员私吞的2元，共计29元，那么剩下的一元钱哪里去了呢？有人根据问题，按照纵向思维去思考，却百思不得其解。
其实何不换一种思维方式去想呢？30元钱，店主只收了25元，剩下的5元，3元退给了顾客，2元被服务员私吞。
数学知识的力量，打开数学大门的钥匙
数学知识的力量，打开数学大门的钥匙英国哲学家培根说过两句很著名的话，第一句“知识就是力量”，第二句“数学是打开科学大门的钥匙”。
我们只要结合学习数学的情况，对这两句话多思考、多理解，就一定能拓宽思路，受到很多启发。
比如说：数学知识有哪些力量?打开数学大门的钥匙是什么？我经常思考这些问题，思考数学知识从小学到大学的发展，思考科学家和其他众多人士学数学、用数学的人生经历，思考数学优秀的关键是什么？经过反复思考与分析，得到了两条结论：第一，数学是人生的核心能力，数学强则人生强。
初中数学是科学的启蒙，深刻影响人的一生；第二，从小学到大学，数学优秀的关键是初中开窍。
打开数学大门的钥匙是初中数学。
下面，具体介绍这两条结论的情况：一、数学是人生的核心能力，数学强则人生强。
初中数学是科学的启蒙，深刻影响人的一生在初中和高中时，我们知道数学对物理、化学等课程的学习有较大影响。
到了大学以后，我们看到：无论理、工，还是农、医、经、管等很多类的专业，数学对一些专业理论课和专业技术课，都会产生较大的影响。
走向社会以后，各行各业的人会进一步发现，对于“学数学、用数学”这件事，不是愿意不愿意的问题，而是实实在在的客观需要。
并且，越是优秀的人越需要数学，应用数学越好的人越优秀。
物理学家爱因斯坦伟大成就的取得，与他初中数学开窍，与他特别能够钻研数学、数学能力特别强，有着紧密的联系。
爱因斯坦说：“纯粹数学，就其本质而言，是逻辑思想的诗篇”。
所以，爱因斯坦对数学的学习与钻研，把知识上升到了思想的高度。
正因为有这样的上升，为爱因斯坦发现相对论打下了良好的数学基础。
爱因斯坦从小就爱思考，但真正走上科学思考的正轨，是从初中时期钻研勾股定理的证明开始的。
他花了半个月的时间，独立地把勾股定理证明的一清二楚。
千万不要小瞧这件事，证明勾股定理的过程，就是符合逻辑、非常严密的分析推理的过程，这是科学思想方法的训练与掌握，这与研究相对论的思想方法是一脉相承的，这为提出相对论埋下了科学研究的种子!。
巧用四把“金钥匙”打开学生数学思维
课题撷英巧用四把“金钥匙”打开学生数学思维■胡容本文系湖南省教育科学“十三五”规划2019年度立项课题《小学数学思维可视化教学的实践研究》（XJK19CJC081）的研究成果。
摘要：数学是思维的体操。
教学过程中，教师要抓住学生的思维特征，以学生为主体，以思维能力培养为核心，激发学生思维兴趣，让学生的思维真正“动”起来，通过“说一说”、“辨一辩”，让学生学会思考，学会学习，找到打开学生数学思维的“金钥匙”。
关键词：数学思维；兴趣；实践数学是思维的体操。
教育家裴斯泰洛齐认为：教育的主要任务，不是积累知识，而是发展思维。
所以，在素质教育全面实施的过程中，我们要充分认识到思维训练对人的一生的重要影响。
教学过程中，教师要抓住学生的思维特点，以学生为主体，以思维能力培养为核心，最大限度地激发和调动起学生思维的主体性、自觉性与独创性。
让学生学会思考，学会学习，找到打开学生数学思维的“金钥匙”。
一、第一把金钥匙：感兴趣从心理学角度看，兴趣是人对客观事物的一种积极的认知倾向，是一种复杂的个性品质，它推动人去探索新的知识，发展新的能力。
孔子曰：“知之者不如好知者，好知者不如乐知者。
”爱因斯坦也曾说过：“兴趣是最好的老师。
”根据小学生思维的基本特点，认识和掌握知识的规律，利用数学知识的魅力，凭借实物、模型、操作和鼓励性的语言激发学生的思维情趣，有着举足轻重的作用。
教学中应努力做到活泼多样、动静结合，采用学生喜闻乐见、易于操作的教学方式，如“对口令”“抢答数”“开火车”“猜谜语”“讲故事”“拼一拼”“摆一摆”“画一画”等，使学生乐于思、勤于思、自主于思。
例如，在教学“认识面积”一课时，先出示两个面积相差不多而对应的长和宽各不相同的长方形，让学生试着比较它们的大小。
这种导入，有利于激发学生强烈的求知“面积”的欲望。
接着再通过比一比、量一量、摸一摸、说一说等数学活动，使学生自觉地动起来，帮助他们活跃思维。
二、第二把金钥匙：动起来教学中，以“动”促思就是：让学生在做中学，让学生的手、眼、口、脑协同参与学习，通过具体的操作，在展现知识的形成过程中，充分凸现学生思维的过程，让学生真正成为学习的主人。
浅谈数学思想对解题的重要意义
浅谈数学思想对解题的重要意义作者：刘苏锐来源：《赢未来》2018年第20期摘要：在解题中，离不开数学思想的运用。
不管是建立数学概念、发现数学规律，还是解决数学问题，乃至构造整个数学大厦，都离开不了数学思想方法。
培养和掌握一定的数学思想，对解决数学试题有着极为重要的意义，既可以保证解题的正确性，又能提高数学解题效率。
关键词：数学思想解题重要意义一、数学思想方法概述数学思想在对数学的学习中拥有举足轻重的作用，它是打开数学大门的钥匙。
数学思想不仅是一种理论知识，在不断学习和实践中，更是归纳出的规律和策略。
这和人们对知识的掌握程度，解题中的感悟，解题的经验等密切相关。
几乎所有数学试题的求解都要用到数学思想，掌握了数学思想不仅可以提高解题速度还可以提高解题的正确率。
同时，数学思想是不断发展与补充的，只有通过培养数学思想，才能大程度的提高数学能力，掌握数学的精髓，达到事半功倍的效果。
二、常见的数学解题思想数学思想对解决数学问题的巨大作用不言而喻。
可以说只有掌握了数学思想方法，才是真正意义上掌握了数学。
因此，制定相应的培养数学解题思想的策略就很重要。
下面主要从数形结合、分类讨论、转化等思想方法的培养方法简述数学解题思想的培养策略。
（一）培养树形结合的思想方法在解决数学问题时，数与形的灵活转化不可或缺。
培养数形结合的数学思想，可以使解题者从多方面认识和理解问题，并提高把数学问题转化为实际问题的能力。
例如：求平面外一点p（x，y，z），到平面∏Ax+By+Cz+D=0的距离。
分析：这道题看似简单，但是如果不建立相应的图像，仅靠想象是很难解决的。
可以建立如图一所示的图像，所求目标就一目了然，即点P到平面的距离就是线段PN的长度。
结合图像加以推理还可得出此类问题的解题策略。
（二）培养分类讨论的思想方法在解题时，分类讨论即是一种逻辑方式还是一种数学思想，运用此方法可以培养学生的概括性和条理性。
运用分类讨论的思想方法需要挖掘出潜在的简单性与特殊性，进而灵活的使用解题方法，解决各类问题。
数学思想方法 解题金钥匙(数学思想方法总复习ppt)
七、整体思想
所谓整体思想，就是把问题中的某一 部分看成一个整体，这样做往往能使问题 的解答简捷、明快. 例8 已知2a-3b² =5,则10-2a+3b² 的值是___. 解析：10-2a+3b² =10-(2a-3b² ), 将2a-3b=5代入得10-2a+3b² =10-5=5, 故填5. 评注：根据已知条件和我们现有的知识，无 法求出a、b的值，我们另想办法，可以发现 若将2a-3b² 视为一个整体，将式子10-2a+3b² 适当变形，就可以求出该式子的值.
八、方程思想
方程思想就是从分析问题的数量关系入 手，适当设定未知数，运用定义、公式、 性质、定理和已知条件，隐含条件，把所 研究的数学问题中的已知量和未知量之间 的数量关系，转化为方程或方程组等数学 模型，从而使问题得到解决的思想方法.
例9 通信市场竞争日益激烈,某通信公司 的手机市话标准按原标准每分钟降低a元后， 再次下调了20%，现在收费标准是每分钟b 元，则原收费标准是每分钟______元.
解析：设原收费标准是每分钟x元, 则(x-a)(1-20%)=b. 所以x-a=1.25b 所以x=a+1.25b.即原收费标准是每分钟(a+ 1.25b)元. 故填(a+1.25b).
可见，数学思想是数学知识的基础和精 髓，而数学方法则使数学思想得以具体实 施，两者相辅相成.同学们要运用数学思想 方法武装自己，使自己真正成为数学的主 人.
六、从特殊到一般的思想
“从特殊到一般”就是从特殊、个别的 事例推出一般规律的过程，是一个归纳的 过程、创新的过程.从“特殊到一般”是解 决数学问题的一种思想方法.特殊情形有时 掩盖了问题的实质，从一般情形入手，容 易发现解题思路.用字母表示数、归纳猜想 规律等都是运用了从特殊到一般的数学思 想.
数学思想是数学的精髓
数学思想是数学的精髓，是解决数学问题的金钥匙，是将知识转化为能力的桥梁。
而在我们初中阶段数学的学习中数学思想越来越有所体现，下面我就初中阶段常用到的数学思想来谈谈我对它们的认识。
首先来说一说方程思想。
方程是在等式的基础上定义的，而方程思想是对于一个问题用方程解决的应用，也是对方程概念的本质的认识，是分析数学问题中的变量间的等量关系，构建方程或方程组或利用方程的性质去分析、转换、解决问题。
方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。
如用一次函数解决实际问题这类题目与方程的关系极其紧密，只有灵活运用它们之间的关系，才能迅速正确地解决问题。
其次是转化思想。
转化思想又可以说为是化归思想，它是一种最基本的数学思想，解决问题的基本思路就是化未知为已知，把复杂的问题简单化，把生疏的问题熟悉化，把实际问题数学化，不同的数学问题相互转化，也体现了把不易解决的问题转化为有章可循、容易解决的问题的思想。
例如在沪科版八年级上册第十三章求两条直线的交点的问题，就是转化为解二元一次方程组的解，还有一次函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法）之间的相互转化，通过方程与函数的联系解决问题，这些都使学生学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般问题的方法，培养学生把文字语言转化为数学符号的能力。
再次是分类讨论思想。
分类讨论思想是指被研究的问题包含多种可能的情况，而又不能一概而论时，必须按照可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论。
在涉及到分类讨论时必须要遵循两个原则：（1）不重、不漏任何一种情况（2）每种可能的情况按照同一标准进行讨论。
例如，在沪科版八年级上册第十四章《三角形的三边关系》中，已知三角形是等腰三角形，其中两边为已知，求三角形的周长。
这一类题目必须分类讨论，才能把问题充分解决。
如一次函数的图象过哪些象限，需对k、b的取值范围分情况进行讨论。
最后一个是数形结合思想。
数形结合思想就是根据数学问题的假设和结论之间的内在联系，既分析数量关系又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，进行数与形的相互转化，使问题得以解决的思想方法。
初中数学转化思想是解题的一把金钥匙学法指导
初中数学转化思想是解题的一把金钥匙学法指导吕永红转化思想是一种重要的数学思想，它蕴涵着极其丰富的内容，应用非常广泛。
在解数学题时，运用转化思想，可化繁为简，把握解题的关键，突破解题的难点，探明解题的思路，获得新颖、独特的解题方法，从而提高解题的能力。
可见转化思想，确实是解题的一把灵巧的金钥匙，现举例说明如下。
一、一般问题特殊化例1. 方程018mx 2x )3m 3(x )1m (234=+-+-+对任何实数m 都有一个共同的实数解，试求这个实数解。
分析：本题应抓住两个关键词：一是“任何实数”，二是“一个共同的解”，这样就可以把一般问题转化成特殊问题来解。
解：因为m 为任何实数，不妨取1m -=和m ＝0两种情形，将1m -=代入原方程得,018x 22=-解这个方程得：;3x ±=将m ＝0代入原方程，得0x 3x 34=-，解这个方程得：;3x 0x ==或因为这两个方程只有公共解x ＝3，所以方程共同的实数解是x ＝3。
二、不等问题相等化例2. 已知不等式,c 2b 3ab 4c b a 222++≤+++求满足不等式的实数a 、b 、c 的值。
分析：一个不等式，三个待定未知量，不免令人困惑，但仔细揣摩条件，变换思考角度，不难想到向相等方面转化。
解：因为c 2b 3ab 4c b a 222++≤+++可变形为：,0)1c ()12b (3)2b a (222≤-+-+-又因为,0)1c ()12b (3)2b a (222≥-+-+- 所以,01c 12b 2b a =-=-=- 所以.1c ,2b ,1a ===三、方程问题不等式化例3. 一个边数是奇数的凸多边形中，除两个内角外，其余内角和为2390°，求这个多边形的边数。
分析：此题如用方程解，却难于下手，如根据多边形内角和定理及内角的取值范围，求边数的取值范围，可迎刃而解。
解：设这个多边形的边数为n ，由于多边形每个内角大于0°且小于180°，根据多边形内角和定理得：,21802390180)2n (2390⨯︒+︒<︒⨯-<︒ 解这个不等式得：,18517n 8515<< 又因为n 是奇数，故n ＝17，这个多边形是17边形。
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“数学思想”是开启数学解题的“金钥匙”
摘要：数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果.常见的数学思想有以下几种：化归思想；数形结合思想；方程思想；分类讨论思想.数学思想是数学的精髓.
关键词：数学思想化归数形结合方程分类讨论
所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果.数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识，它是解题的灵魂，是解题的金钥匙.常见的数学思想有以下几种。
一、化归思想
《新课标》要求：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上.”学生学习数学的实质是：将生疏问题转化熟悉问题的过程，教师要深刻挖掘新教学内容的量变因素，将学生要掌握的新知识，加工到使学生通过努力能够接受的水平上，降低学生接触新内容时的陌生度，避免因研究对象的变化而产生的心理障碍，这样做可达到事半功倍的效果.在解决数学问题时，若对当前的问题感到困惑，则可运用化归思想，把它进行变换，使之化简，从而使问题得以解决.解下面方程的过程，就是把“复杂”化为“简单”，把“未知”化为“已知”的过程.
例如：在学习解一元一次方程后，学习解二元一次方程组和解一元二次方程，师生可共同探究得到：解二元一次方程组，就是通过
加减消元或代入消元的方法将二元一次转化为一元一次方程，该转化称为“消元”；解一元二次方程就是，就是通过因式分解将一元二次方程转化为两个一元一次方程，该转化称为“降次”.学生只要理解、掌握解一元一次方程和因式分解方法，对解二元一次方程组和解一元二次方程的方法就容易理解和掌握.
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=进价销×售量）
二、数形结合思想
利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简.数形结合思想和其他各种数学思想一样，渗透在整个教学内容之中.如：①数轴的引入为七年级的学生形象地研究有理数，进而研究实数提供了工具.②“平面直角坐标系”这章中，明确了平面直角坐标系内的点与有序实数对之间的一一对应关系，并且研究了坐标符号与点的位置的关系及平面内两点间的距离.③利用函数图像直观地解决一些实际问题，拓展了数形结合的教学.④动态问题是今后数学经常研究的问题，用函数解决一些简单的动态问题是常用的方法.
“数无形时少直观，形无数时难入微”，这是我国数学家华罗庚对数学结合思想的精辟论述.数形结合的思想是通过数形间的对应与互助来研究并解决问题的思想，是最基本的数学思想之一，应用范围较广泛，为解决实际问题提供了巧妙的思想方法.数形结合的思想方法，是研究数学问题的一个基本方法.深刻理解这一观点，有利于提高发现问题、分析问题和解决问题的能力.
三、方程思想
把未知数看成已知数，让代替未知数的字母和已知数一样参加运算，这就是方程思想，列方程解实际问题就充分体现了这一思想. 例3：有一位牧师问一个男孩：“你们家兄弟有几个？姊妹有几个？”他回答：“我有几个兄弟就有几个姊妹.”同一个问题这位牧师又问男孩的姐姐，她回答说：“我的兄弟数是我姊妹数的2倍.”聪明的你知道他们家兄弟、姊妹各有几个人吗？
分析：把其中的一个未知量作为未知数，并用该未知数表示其它未知量，然后根据题中的数量关系，列出等式.
四、分类讨论思想
数学分类讨论思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想.在初中数学教学中使用分类讨论的思想研究和解决问题，有助于让学生发现解题思路和掌握技能技巧，做到举一反三，触类旁通；有助于培养学生学习数学的兴趣；有助于学生数学思维的发展，为学生今后的学习奠定坚实的基础.
以上几种是最常见的数学思想，我们要善于把数学思想灵活应用于解题过程中，使之简单化.总之，掌握了数学思想，就是掌握了数学的精髓；掌握了数学思想，就找到了开启数学解题大门的金钥匙.。