广义相对论样卷答案-USTC

广义相对论样卷答案中国科大近代物理系尤一宁2017年6月11日1问答题1.1数学准备部分1.什么是张量积？若r重线性映射f:X1×···×X r→Z同构于线性映射g:W→Z，则W为X1×···×X r 的张量积.2.什么是张量？多重线性映射/多重线性函数.3.简述拓扑对于集合的意义拓扑可在集合中引入邻域、连续性、连通性等概念.4.什么是流形？X是一个Hausdorff拓扑空间，且对X上∀一点p，都∃一个邻域N(p)同胚于R n中的一个开集，则称X为一个流形.简言之，流形是局部同胚于R n中的开集的Hausdorff拓扑空间.5.微分结构和拓扑结构的区别拓扑结构赋予集合连续、邻域的概念，使得流形可以定义，拓扑结构产生拓扑群（连续11问答题2群）；微分结构赋予流形上坐标卡之间映射的可微性，形成坐标卡集的等价类，和拓扑结构配适的微分结构产生李群.6.什么是切空间？流形上函数f在p点的方向导数v p(f)称为切矢量，流形上p点所有切矢量的集合是切空间.7.名词解释：李导数切矢量场u沿着切矢量场v的积分曲线的变化率L v u|p=limt→0(Φ−t)∗uΦt(p)−u pt称为切矢量场u沿着切矢量场v在p点的李导数.其中v在p点的邻域N(p)生成的局部单参数变换Φt所定义的推前映射将Φt(p)点的切矢量推到p点.8.微分同胚变换与坐标变换的关系微分同胚变换Φ￿X→X可以等价于X上的坐标变换；主动观点看，X上的点发生变化，张量场τ在微分同胚变换下变成X上的另外一个张量Φ∗τ；被动观点看，点不变，而微分同胚变换对张量的分量做了一个坐标变换，变换后的分量等于主动观点下Φ∗τ的分量.9.在流形上引入联络的目的是什么？产生光滑流形上两点的切空间之间的同构，以建立平行移动的概念.简言之，平行移动要求切矢量沿所走曲线方向不变，而联络赋予了流形上不同点之间切矢量的比较.10.解释什么是平行移动，什么是测地线？若v(t)沿曲线c的切矢量u的协变导数∇u v=0，则称v(t)沿曲线c平行移动；若一曲线c的切矢量u沿u本身的协变导数∇u u=0，则称曲线c是测地线.11.简述两个协变导数算子之间的关系导数算子∇和 ∇之间相差了一个（1，2）型张量场C c ab，有( ∇a−∇a)u c=−C c ab u b，( ∇a−∇a)ωb=C c abωc.12.简述流形上普通导数算子的特殊性1.由于(∂a∂b−∂b∂a)τa1···r b1···b r=0，普通导数算子对应的挠率和曲率都为0；2.普通导数算子依赖坐标卡的选取，只能在局部定义，且它与一般导数算子的差别Γc ab也依赖坐标卡的选取.13.简述度规和（无挠）联络之间的关系物理上要求度规和联络相容∇a g bc，则在流形(X,g ab)上给定挠率张量，则和度规相容的协变导数唯一；无挠情况下，取 ∇a=∂a，则和度规相容的联络与之相差Christoffel符号Γc ab=12g cd(∂a gbd+∂b g da−∂d g ab).1问答题314.简述曲率张量的几何意义曲率张量反应了一个切矢量沿曲线c平行移动一圈回到原点时的改变量的二阶近似.15.简述Killing矢量场和一般切矢量场的关系一般切矢量场都可诱导出流形之间的微分同胚，但Killing矢量场多了一个要求，即它在(X,g ab),(Y,h ab)之间诱导的微分同胚需满足等距性：φ∗h ab=g ab.16.描述一个类时线汇需要哪些几何量？分别写出这些几何量，说明它们的意义∇a u b=−u a a b+ωab+σab+1θh ab3转动张量ωab是被测粒子O相对于粒子O的瞬时转动速度，扩张标量θ是粒子O相对于粒子O的径向速率，剪切张量σab是粒子O相对于粒子O的无穷小距离发生的剪切形变（从球面变成等体积椭球面的趋势）.1.2广义相对论部分1.广义相对论中什么是时空？时空是一个二元组(M,g ab)，其中M是一个4-维的微分流形（Hausdorff、连通），而g ab 是时空上的度规，号差为(−1,1,1,1)；简言之，广义相对论中的时空是一个4-维的Lorentz 流形.2.简述相对论性时空和经典时空的区别时空是一个流形，经典和相对论时空的区别在于度规的构造：经典时空中时间和空间先验地存在且被分别对待，需引入时间度规和空间度规，而相对论性时空只引入一个度规，不先验地区分时间和空间.3.相对论性的时空中什么是观测者？什么是参考系？观测者是一条类时世界线和观测者决定的固有坐标系；参考系是一个光滑的切矢量场，这个切矢量场的每一条积分曲线都是观测者的世界线，简言之，参考系是观测者的集合.4.相对论性时空中参考系和坐标系的区别和联系参考系是类时线汇，即观测者的集合；坐标系是一条类时世界线上观测者选取的坐标架.对于一个参考系，可以由它构造出一个适配的坐标系，但不是所有的坐标系都可与参考系适配.5.简述相对论中“相对”的理解等效原理是狭义相对论的基础，因此参考系之间有Lorentz变换；但广义相对论的基础，潮汐力实验证实不包含等效原理（1912），因此广义相对论的基础只有一个流形及其度规，没有参考系之间相对性的概念.1问答题46.简述物质场的能动量张量需满足的条件狭义相对论的能动量张量T ab 满足(i)T ab 是一个对称张量，对于时空上任意p 点处未来指向的单位类时矢量u a ，P a =−T a b u b 是4-动量密度(ii)若T ab 在R n 的某个开集为0当且仅当在这个开集上物质场为0；(iii)对称张量满足方程∇a T ab =0，其中∇a 与度规ηab 相容；广义相对论的能动量张量要求相同，只是度规为g ab .7.简述狭义相对论中的Einstein-Poincare 同时性观测者O (τ)在其固有时τ1向O ′(τ′)发出光线，经O ′(τ′)镜面反射回，观测者O (τ)在其固有时τ2收到返回的信号；若O ′(τ′)接收到信号的时间τ′=12(τ1+τ2)，则称两个观测者的时钟是对准的.8.画出闵氏时空中惯性系和匀加速观测者的世界线惯性观测者世界线为直线，可洛伦兹变换为x =const.,t =τ，即垂直于x 轴的直线；匀加速观测者世界线为双曲线g −1=√−t 2+(x 1)2，加速度g 越大越弯曲靠近原点.1问答题59.简述测地偏离方程的物理含义测地线汇(a a=0)的测地偏离方程A a=−R cbd a u c z b u d体现了两个邻近的、“自由运动”的粒子的相对加速度正比于曲率张量.这是广义相对论中的潮汐力，描述了时空的弯曲程度与粒子运动的关系，因此潮汐力能够体现“引力”.10.简述费米沃克移动的含义一个矢量场v沿粒子世界线（切矢量为u）的运动若满足D F Wv a=u b∇b v a+(a a u b−dτu a a b)v b=0，则矢量场v a在基底{(e i)a}上的分量的变化率完全由基底的转动产生，换言之，v a沿着世界线不发生转动.11.什么是惯性观测者若观测者（类时世界线）的加速度a a=0，则称观测者为惯性（测地）观测者.12.简述费米法坐标系和黎曼法坐标系的区别和联系黎曼法坐标系：世界线上p点切矢量的正交基底，被指数映射到黎曼坐标系；引入一条测地线来定标，则其黎曼法坐标正比于p点基底下的分量.费米法坐标系：直接引入过p点的类空测地线来定标，且其切矢量与p点世界线切矢量正交，则在p点足够小邻域内可定义唯一的一条测地线的费米法坐标，其x0为观测者在p点的固有时.黎曼法坐标系的建立只用到指数映射和观测者的正交基底的选取，因此黎曼法坐标系上的Christoffel符号只能在世界线上的一点为0；但费米法坐标系可在世界线整体或一段上为0，只要观测者的4-加速度和自转为0.13.简述何谓惯性参考系、刚性参考系、超曲正交参考系对矢量场u a定义的参考系，若a a=0，则为惯性参考系；若ωab=0，则为超曲正交参考系；若θab=0,ωab=0，则为刚性参考系.1问答题614.简述等效原理弯曲时空上任意一点处的局部Lorentz系或测地无自转观测者的固有Lorentz系中的物理规律和狭义相对论中整体Lorentz系中的物理规律一样.15.爱因斯坦场方程及其含义时空的几何和物质场的能动量张量是联系在一起的：G ab=8πGT ab，其中G ab=R ab−12Rg ab是爱因斯坦张量，G是牛顿常数.16.Weyl张量的物理意义Weyl张量描述了时空弯曲程度中不是由物质场的能动量张量局部确定的“整体的”部分.17.简述什么是稳态时空、静态时空、稳态轴对称时空存在一个类时的Killing矢量场的时空，是稳态时空；存在一个类时的超曲面正交的Killing 矢量场的时空，是静态时空；存在一个类时Killing矢量场t a，和一个具有闭合轨道的类空Killing矢量场φa，且满足[t a,φa]=0，此时空是稳态轴对称时空.18.简述光线在太阳附近的偏折太阳这样巨大的星体，施瓦西半径2m很小，因此可以用围绕法求解光子轨道方程d2µdφ2+µ=3mµ2，可以得到若光子从φ=φ0的无穷远入射，则到无穷远出射时φ=π+φ0+4GmLc2，也就是说光线绕太阳行进时发生角度为4GmLc2的偏折.19.简述水星进动太阳这样巨大的星体，施瓦西半径2m很小，因此可以用围绕法求解有质量星体轨道方程d2µdφ2+µ−ml2+3mµ2=0，得到一阶近似µ1(φ)≈ml2{1+σcos[(1−δ)φ]}，得到近日点为φ=0，但近日点2π近似为2π(1+δ)，因此近日点每周期进动2πδ.20.什么是一点的编时过去、编时未来、因果过去、因果未来？p点的编时未来：集合I+(p)={q∈M|存在未来定向的类时曲线γ(τ)使得γ(0)=p,γ(1)= q}.编时过去：集合I−(p)={q∈M|存在过去定向的类时曲线γ(τ)使得γ(0)=p,γ(1)=q}.因果未来：集合J+(p)={q∈M|存在未来定向的因果曲线γ(τ)使得γ(0)=p,γ(1)=q}.因果过去：集合J−(p)={q∈M|存在过去定向的因果曲线γ(τ)使得γ(0)=p,γ(1)=q}.21.简述一个未来不可延者的事件视界其世界线为γ，则他的未来事件视界是其编时过去的边界，他的过去事件视界是其编时未来的边界.22.什么是黑洞？黑洞是一个区域，它的事件视界是渐进无限远平坦区域中所有寿命足够长的观测者所共有的未来事件视界，即B=M−I−(R).1问答题723.Penrose图的基本特征是什么？Penrose时空图是Kruskal时空图的共形等度规映射，将无限远可视化.类时无限远为点，记为i+,i−；类空无限远为点，i0，类光无限远为线，记为I+,I−.闵氏时空中，类时测地线从i−出发，到i+终止，类空测地线的起终点为i0，；类光测地线起终点在I+,I−上，且仍为和竖直方向成45度的直线（可以进行Weyl重新标度）.24.简述Birkhoff定理真空爱因斯坦场方程Rµν=0的球对称解必为静态的，且具有施瓦西解的形式.25.简述星体中可能存在的抗衡引力塌缩的机制高温高压的星体内部存在大量的电子，由于泡利不相容原理，电子气体会产生很强的排斥压力，即简并压，可以远大于热运动产生的压力，是与引力抗衡的主要压强.26.简述Buchdahl定理在广义相对论中，只要ρ(r)≥0,ρ′(r)≤0，任何半径为R的球对称星体的质量都不能超过4R.927.简述Penrose奇异性定理的内容如果时空(M,g ab)包含一个非紧的柯西面和一个闭合的未来俘获面，且对任意的因果矢量场ξa满足R abξaξb≥0，则时空中存在未来不完备的类空测地线.28.线性引力理论中，平面引力波有哪些基本特征？线性引力近似在闵氏时空中描述自由无质量点粒子的运动，自旋为2，以光速传播；用洛伦兹规范、横向无迹规范后极化为2种，为+和-极化模式.2证明题829.简述爱因斯坦引力理论在弱场、低速、弱场且低速等极限下可得到什么样的理论时空度规退化到闵氏度规时，退化为狭义相对论；弱场近似，但不需要低速近似时，退化为线性引力理论；弱场、低速、物质低压强近似下，退化为牛顿引力理论；在牛顿近似下，引入广义相对论一阶修正，称为后牛顿引力理论.30.引力波源中产生引力波的主要部分是什么？质量4-极矩31.简述宇宙学原理每一时刻宇宙的空间在大尺度上是均匀各向同性的.32.简述宇宙奇点的存在性问题由Fridman方程˙H−ka2=−4πGρ，有3¨a=−4πa(ρ+3p)；若物质满足强能量条件ρ+3p≥0，则˙θ≤0，可证明宇宙必然过去存在θ→∞的奇点.2证明题1.外代数的基本关系有：dx∧dy=−dy∧dxdx∧dx=0d(ω∧θ)=dω∧θ+(−1)deg(ω)ω∧dθ微分操作为（例如）：ω=f(x1,x2,x3,x4)dx1∧dx2dω=∂f∂x3dx3∧dx1∧dx2+∂f∂x4dx4∧dx1∧dx22证明题9因此对此题，闭形式为dω=0:ω=xdxx2+y2+ydyx2+y2dω=−2yx(x2+y2)2dy∧dx+−2xy(x2+y2)2dx∧dy=0恰当形式及凑全微分：ω=d[12ln(x2+y2)]，只用到复合函数，无需考虑外代数.2.2-阶的KroneckerDelta张量为：δa,cδb,d−δa,dδb,c和曲率进行缩并，考虑对称性化简，得到结果：2R ab ab=2R4-阶的KroneckerDelta张量为：δa1,d2δa2,d1δb1,c2δb2,c1−δa1,d1δa2,d2δb1,c2δb2,c1−δa1,d2δa2,c2δb1,d1δb2,c1+δa1,c2δa2,d2δb1,d1δb2,c1 +δa1,d1δa2,c2δb1,d2δb2,c1−δa1,c2δa2,d1δb1,d2δb2,c1−δa1,d2δa2,d1δb1,c1δb2,c2+δa1,d1δa2,d2δb1,c1δb2,c2 +δa1,d2δa2,c1δb1,d1δb2,c2−δa1,c1δa2,d2δb1,d1δb2,c2−δa1,d1δa2,c1δb1,d2δb2,c2+δa1,c1δa2,d1δb1,d2δb2,c2 +δa1,d2δa2,c2δb1,c1δb2,d1−δa1,c2δa2,d2δb1,c1δb2,d1−δa1,d2δa2,c1δb1,c2δb2,d1+δa1,c1δa2,d2δb1,c2δb2,d1 +δa1,c2δa2,c1δb1,d2δb2,d1−δa1,c1δa2,c2δb1,d2δb2,d1−δa1,d1δa2,c2δb1,c1δb2,d2+δa1,c2δa2,d1δb1,c1δb2,d2 +δa1,d1δa2,c1δb1,c2δb2,d2−δa1,c1δa2,d1δb1,c2δb2,d2−δa1,c2δa2,c1δb1,d1δb2,d2+δa1,c1δa2,c2δb1,d1δb2,d2和曲率进行缩并，考虑对称性化简，得到结果.其中分别有独立的曲率项带2个不同指标、3个不同指标、4个不同指标：4R ac ac R bd db+16R ac cb R bd ad+4R ab cd R dc ba=4R2−16R a b R b a+4R ab cd R dc ba3.(1)度规相容联络、无挠导数算子满足：∇a g bc=0(∇a∇b−∇b∇a)f=01-阶Ricci恒等式为：R abc d v d=(∇a∇b−∇b∇a)v c2证明题10应用以上各式：(∇a − ∇a)f=[(∇a g bc)∇b∇c+g bc∇a∇b∇c−g bc∇b∇c∇a]f=g bc(∇a∇b∇c−∇b∇c∇a)f=g bc[∇a∇b∇c−∇b∇a∇c+∇b(∇a∇c−∇c∇a)]f=g bc(∇a∇b∇c−∇b∇a∇c)f=g bc(∇a∇b−∇b∇a)∇c f=g bc R abc d∇d f=R ab bd∇d f=−R ab db∇d f=−R ab∇b f(2)对∇c v d的2-阶Ricci恒等式:(∇a∇b−∇b∇a)∇c v d=R abc e∇e v d+R abd e∇c v e应用以上各式：(∇a − ∇a)v d=g bc(∇a∇b∇c−∇b∇c∇a)v d=g bc[∇a∇b∇c−∇b∇a∇c+∇b(∇a∇c−∇c∇a)]v d=g bc(∇a∇b−∇b∇a)∇c v d+g bc∇b(R acd e v e)第一项为：g bc R abd e∇c v e+g bc R abc e∇e v d=R acd e∇c v e+R ab be∇e v d=R acd e∇c v e−R ae∇e v d第二项为：g bc∇b R acd e v e+g bc R acd e∇b v e=∇b R abd e v e+R acd e∇c v e相加得：(∇a − ∇a)v d=2R acd e∇c v e−R ae∇e v d+∇b R abd e v e，将指标替换为答案中的顺序d→c,c→b,e→d.2证明题114.需证明Bianchi 恒等式∇[a R bc ]de ，由Ricci 恒等式：(∇a ∇b −∇b ∇a )∇c ωd =R abc e ∇e ωd +R abd e ∇c ωe∇a [(∇b ∇c −∇c ∇b )ωd ]=∇a (R bcd e ωe )=ωe ∇a R bcd e +R bcd e ∇a ωe 对两式各做[a,b,c]的轮换，显然(∇[a ∇b ∇c ]−∇[b ∇a ∇c ])ωd =(∇[a ∇b ∇c ]−∇[a ∇c ∇b ])ωd ，因此上面右式的两个轮换也相等：R [abc ]e ∇e ωd +R [ab |d |e ∇c ]ωe =ωe ∇[a R bc ]d e +R [bc |d |e ∇a ]ωe由外微分d 2ω=0，可得∇[a ∇b ωc ]=0，故对∀ωd 有：2∇[a ∇b ωc ]=∇[a ∇b ωc ]−∇[b ∇a ωc ]=R [abc ]d ωd =0因此前面式子的左边第一项为0，而两边第二项因为轮换而相等，于是剩下：∀ωe ωe ∇[a R bc ]d e =0再降下e 指标，得到Bianchi 恒等式∇[a R bc ]de =0.展开恒等式有：∇a R bcde +∇b R cade +∇c R abde =0乘上g bd 做缩并，有：0=∇a R bc b e +∇b R cabe +∇c R ab b e=∇a R cbe b +∇b R cabe −∇c R abe b=∇a R ce −∇c R ae +∇b R ca b e再乘上g ce 做缩并，有：0=∇a R −∇e R ae +∇b R ca be=∇a R −∇e R a e −∇b R a b=∇a R −2∇b R a b于是有：∇b R a b −12∇a R =∇b (R ab −12Rg ab )=∇b G ab =05.由于v c ∇c (g ab v a v b )=g ab v a v c ∇c v b +g ab v b v c ∇c v a +v a v b v c ∇c g ab ，度规满足∇c g ab =0，测地线满足v c ∇c v a =0，因此显然v c ∇c ∥v ∥2=0.弧长定义为L =∫λq λp ds ∥v ∥，∥v ∥沿测地线为常数，得证.3计算题126.(1)Killing场满足L K g ab=∇a K b+∇b K a=0，能动量张量是对称张量，且满足∇a T ab=0，因此：∇a P a=∇a(T ab K b)=K b∇a T ab+T ab∇a K b=12(T ab+T ba)∇a K b=12T ab(∇a K b+∇b K a)=0(2)共形Killing场L K g ab=∇a K b+∇b K a=λg ab，因此：∇a P a=T ab∇a K b=12T ab(∇a K b+∇b K a)=λ2T ab g ab=0故有T ab g ab=0.7.能动张量为T ab=(ε+P)U a U b+P g ab，由于度规相容，缩并后仍有∇c g ca=0，有：0=∇c T ca=∇c[(ε+P)U c U a+P g ca]=U c∇c(ε+P)U a+(ε+P)∇c U c U a+(ε+P)a a+∇a P 使用U a U a=−1,a a U a=0，投影到U a；0=∇c T ca U a=−U c∇c(ε+P)−(ε+P)∇c U c+U a∇a P=−U c∇cε−(ε+P)∇c U c故L Uε+(ε+P)∇c U c=0使用h a b=g a b+U a U b,U a h a b=0，投影到h a b：0=∇c T ca h a b=(ε+P)a a(g a b+U a U b)+∇a P(g a b+U a U b)=(ε+P)a b+∇b P+U a∇a P U b降指标即为：(ε+P)a b+∇b P+(L U P)U b=03计算题1.完全用Mathematica计算，广义相对论常用程序包的代码如下(其中Weyl张量的代码里需改为DownRiemannCurvature)：3计算题13此题度规只有非对角分量，对半分成两个非对角元.使用此程序包，输入变量：({0,−12e 2ϕ(u,v )}{−12e 2ϕ(u,v ),0}u v)使用ChrisoffelSym (z )，得到Christoffel 符号；使用RiemannCurvature (z )，得到R abc d 的结果：3计算题14使用DownRiemanncurvature(z)，得到全下指标R abcd的结果；使用RicciT(z)，得到Ricci 张量的结果；使用RicciS(z)，得到Ricci标量的结果：2.使用MMA计算引力辐射(等质量双星系统)：星体1x=Rcos(Ωt),y=Rsin(Ωt),z=0星体2x=−Rcos(Ωt),y=−Rsin(Ωt),z=0(1)计算4-极矩†ij的代码如下：PolarmomentI[z_]:=Module[{m,x,r,l},{m,x,r}=z;l=Length[m];res=Table[Sum[m[[a]]∗(x[[a,i]]∗x[[a,j]]−(1/3)∗(r[[a]])∧2∗KroneckerDelta[i,j]),{a,1,l}],{i,1,3},{j,1,3}];FullSimplify[res]]代入参数{{M,M},{{R Cos[tω],R Sin[tω],0},{−R Cos[tω],−R Sin[tω],0}},{R,R}}，得到结3计算题15果：13MR2(3cos(2tω)+1)MR2sin(2tω)0MR2sin(2tω)13MR2(1−3cos(2tω))000−2MR23(2)计算†T T ij分量的代码如下：PolarmomentP[z_]:=Module[{x,dr,res},{x,dr}=z;res=Table[KroneckerDelta[i,j]−(x[[i]]∗x[[j]]/(dr)∧2),{i,1,3},{j,1,3}];FullSimplify[res]] PolarmomentITT[z_]:=Module[{x,xr,m,r,dr,P,I,res},{x,xr,m,r,dr}=z;I=PolarmomentI[{m,x,r}];P=PolarmomentP[{xr,dr}];res=Table[Sum[(P[[i,l]]∗P[[j,m]]−(1/2)∗P[[i,j]]∗P[[l,m]])∗I[[l,m]],{l,1,3},{m,1,3}],{i,1,3},{j,1,3}];FullSimplify[res]]代入参数z={{{R Cos[tω],R Sin[tω],0},{−R Cos[tω],−R Sin[tω],0}},{x1,x2,x3},{M,M},{R,R},r}，做中间计算：y=PolarmomentITT[z]F ullSimplify[D[y,t,2]]得到¨†T T ij，里面含场矢量的分量的项特别多，现在只取一阶量：¨†T Txx=−¨†T T yy=−4MR2Ω2cos(2Ωt)¨†T Txy=−¨†T T yx=−4MR2Ω2sin(2Ωt)h T T xx =−h T Tyy=−8MR2rΩ2cos(2Ωt)h T T xy =−h T Tyx=−8MR2rΩ2sin(2Ωt)(3)计算辐射功率的代码为：p={{M,M},{{R Cos[tω],R Sin[tω],0},{−R Cos[tω],−R Sin[tω],0}},{R,R}}u=PolarmomentI[p]Intin=Sum[D[u,{t,3}][[i,j]]∗D[u,{t,3}][[i,j]],{i,1,3},{j,1,3}]Int=(1/(5∗τ))Integrate[Intin,{t,0,τ}]得到辐射功率为1285M2R4Ω6。