第8章 微分方程
第8章常微分方程数值解法
的解为
y ( x) e
x2
x 0
e dt
t2
但要计算它的值，还需要用数值积分的方法。如果要 对许多个 x 值计算解 y(x) 的近似值，那么工作量非常大。况 且实际计算不一定要求解析表达式，而是只需求在某些点 上满足精度的解的近似值或解的近似表达式就可以了。
由于高阶常微分方程可以转化为一阶常微分方程组，因 此，为了不失一般性，本章主要介绍一类一阶常微分方程初 值问题
的解来近似微分方程初值问题(8.2)的解，其 中 h (b- a) / 2 ，式(8.3)也称为欧拉公式。
欧拉法的几何意义是用一条自点 ( x0 , y0 ) 出发的 折线去逼近积分曲线 y f (x) ，如图8.1所示。 因此，这种方法又称为折线法。显然，欧拉法 简单地取折线的端点作为数值解，精度非常差。
float euler(float x0,float xn,float y0,int N) { float x,y,h; int i; x=x0; y=y0; h=(xn-x0)/(float)N; /* 计算步长 */ for(i=1;i<=N;i++) /* 欧拉公式 */ { y=y+h*func(x,y); x=x0+i*h; } return(y); }
8.4 龙格—库塔（Runge-Kutta）法 8.4.1 龙格—库塔法的基本思想
在欧拉法 yi 1 yi h f ( xi , yi ) (i 0,1,) 中，用解函数 y f (x) 在 点 x i 处的斜率 f ( xi , y i ) 计算从 yi 到 y i 1 的增量，y i 1 的表达式 与 y( xi 1 ) 的Taylor展开式的前二项相等，使方法只有一阶精度。 改进的欧拉法用两个点 x i ，x i 1 处的斜率 f ( xi , y i )、f ( xi 1 , yi 1 ) 的平均值计算增量，使方法具有二阶精度，即 y i 1 的表达式 与 y( xi 1 ) 的Taylor展开式的前三项相等。 由此龙格和库塔提出了一种间接地运用Taylor公式的方法， y (x) 即利用 在若干个待定点上的函数值和导数值做出线性组 合式，选取适当系数使这个组合式进行Taylor展开后与 y( xi 1 ) 的Taylor展开式有较多的项达到一致，从而得出较高阶的数 值公式，这就是龙格—库塔法的基本思想。
第八章常微分方程的数值解法
y( xn1 )
15
Euler法的收敛性
称初值问题(8.1.1)的数值解法是收敛的，如:
h0 ( n )
lim yn y ( x)
其中： x xn x0 nh , x [ x0 , b]
16
例考察以下初值问题Euler法的收敛性
dy y dx y (0)＝y0 ( 0)
★
可得： h (k ) ( k 1) y y | f ( xn 1 , yn ) f ( x , y 1 n 1 n 1 ) | 2 hL ( k ) hL k 1 (1) ( k 1) (0) | yn 1 yn 1 | ( ) | yn 1 yn 1 | 2 2 hL k 1 ( k 1) 从而 : lim( ) 0 , 故有 lim yn 1 y n 1 。 k 2 k
★
由y0＝y( x0 ), 假定yn＝y( xn ), 往证：
y0 yn 1 y ( xn 1 ) xn 1； x0
14
证明
yn yn1 yn hf ( xn , yn ) yn h xn 1 1 yn (1 h ) y( xn )(1 h ) xn xn y0 y0 1 xn (1 h ) ( xn h) x0 xn x0 y0 xn 1 x0
8
局部截断误差
假设第n步在点xn的值计算没有误差,即yn y( xn ), 由单步法计算出yn1 , 则
Tn1 y( xn1 ) yn1 称为点xn1上的局部截断误差.
从初值y( x0 ) y0出发，由单步法显式或隐式 逐步计算，得xn 1的值yn 1 , 则
n1 y( xn1 ) yn1
高等数学11单元第八章常微分方程
授课11单元教案第一节微分方程的基本概念教学过程一、引入新课初等数学中就有各种各样的方程：线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。
这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后求取方程的解。
方程的定义：含有未知数的的等式。
它表达了未知量所必须满足的某种条件。
根据对未知量所施行的数学运算的不同，我们可以将方程分成许多不同的类型来研究。
引例1二、新授课1、微分方程的定义：含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程如果未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程式；如果未知函数是多元函数的微分方程式称为偏微分方程。
例如，22;d yx y x dx=+=dx 和是常微分方程dyzxy x∂=∂是偏微分方程. 微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程式的阶。
一阶微分方程的一般形式为 (,,)0F x y y '= 例如：2354()0y x y x '+-=，2()20dy dyx y x dx dx-+=都是一阶微分方程。
二阶微分方程的一般形式为 (,,,)0F x y y y '''= 例如：222sin 0d y dyyx dx dx-+=，2223()(2)y k y '''=+都是二阶微分方程。
类似可写出n 阶微分方程的一般形式 ()(,,,,)0n F x y y y y '''=。
其中F 是n +2个变量的函数。
这里必须指出，在方程()(,,,,)0n F x y y y y '''=中，()n y 必须出现，而,,,x y y '(1),n y y -''等变量可以不出现。
例如()()n y f x =也是n 阶微分方程。
例1 ．指出下列方程中哪些是微分方程，并说明它们的阶数：122222222(1) 0; (2) 2;(3) sin 0; (4) 3;(5) '''3; (6) ;(7) '''(')0. t dy y dx y y x d yxdy y xdx y e dt yy y x dy dx x y xy y -==++=+=+==+-=2、微分方程的解能够满足微分方程的函数都称为微分方程的解 求微分方程的解的过程，称为解微分方程例如，函数3x 16是微分方程22d y x dx =的解。
第八章 常微分方程的初值问题
梯形法
yn 1 yn
h 2
[ f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 )]
从n=0开始计算，每步都要求解一个关于yn+1的方程
（一般是一个非线性方程），可用如下的迭代法计算：
( 0) yn1 yn hf ( xn , yn ) ( k 0,1, 2,) ( k 1) h (k ) yn1 yn [ f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 )] 2
向前Euler法： y n 1 y n h f ( x n , y n ), n 0 ,1, 2 , 此处，y (xn)表示 xn 处的理论解，yn表示y (xn)的近似解
推导2： 一阶ODE
y '( x ) f ( x , y ( x )) y( x0 ) y0
2、如果 f 是 y 的函数 ，积分过程将不同于前者。 若 f 是 y 的线性函数，如：f=ay+b 其中a,b是常数或是 t 的函数， 此时原方程称为线性ODE 若 f 不是线性函数，方程就称为非线性ODE。
一、求ODE的解析解
dsolve
[输出变量列表]=dsolve(‘eq1’,‘eq2’, ... , ‘eqn’, ‘cond1’,‘cond2’, ... , ‘condn’, ‘v1,v2,…vn') 其中 eq1、eq2、...、eqn为微分方程，cond1、 cond2、...、condn为初值条件，v1,v2,…,vn 为自变量。 注1： 微分方程中用 D 表示对 自变量 的导数，如： Dy y'； D2y y''； D3y y'''
例 求解
第八章_常微分方程初值问题的单步法
为使局部截断误差为O(h ) ,应取
则
k j f ( xi c j h, y( xi c j h)) f ( xi c j h, y( xi ) hc j y( xi )) f ( xi c j h, y( xi ) hc j f ( xi , y( xi )))
f ( xi c j h, yi h a jm km )
f xx f xx ( xi , yi ), f yy f yy ( xi , yi ), f xy f xy ( xi , yi ),
由此得
k1 f , k2 f ( xi c2 h, yi c2 hk1 ) f ( xi , yi ) c2 h( f x k1 f y ) O(h ),
一. Euler方法
a x0 x1 x2 xN 1 xN b, ba x j x0 jh, h , j 1, 2, , N . N
y0 y ( x0 ), yi 1 yi hf ( xi , yi ), i 0,1, , N 1
一阶常微分方程初值问题的数值方法
------单步法
武汉大学数学与统计学院
一阶常微分方程初值问题的一般形式是:
y f ( x, y ), a x b (1) y(a) y0 D {( x, y ) a x b, c y d }
称f(x,y)在区域D上对y满足Lipschitz 条件是指:
定理显然得证.
8.1.2 一阶常微分方程初值问题的 Runge-Kutta方法
考虑一阶常微分方程初值问题
y f ( x, y ), a x b, y (a ) y0 ,
经济数学第8章 常微分方程
8.1 微分方程的基本概念 定义8.1 含有未知函数的导数(或微分)的方 程，叫做微分方程． 定义8.2 微分方程中未知函数的最高阶导数( 或微分)的阶数，叫做微分方程的阶．
定义8.3 如果将某个已知函数代入微分方程 中，能使该方程成为恒等式，则称此函数为该微 分方程的解．
2
定义8.4 如果n阶微分方程的解中含有n个独 立的任意常数，则称这样的解为微分方程的通解． 而确定了通解中任意常数的值的解，则被称为方程 的特解． 通常，为了确定微分方程的某个特解，先要求 出其通解后再代入确定任意常数的条件(称为初始 条件)，从而求出满足初始条件的特解．
第8章 常微分方程
微分方程是微积分学联系实际的重要渠道之 一，因为用数学工具来解决实际问题或研究各种 自然现象时，第一步就是要寻求函数关系．但在 很多情况下，我们不能直接得到所需要的函数关 系，而是由实际问题所提供的信息及相关学科的 知识可得到关于所求函数的导数或微分的关系式 ，这样的关系式就是微分方程．建立了微分方程 后，再通过求解微分方程可得到我们寻找的所需 要的函数关系．
21
例8.13 某公司2008年招聘新员工100名，预 计从现在开始，第t年招聘人员增加速度为t的2倍， 求到2018 . 例8.14 已知某厂的纯利润L对广告费x的变化 率dLdx与常数A和纯利润L之差成正比．当x=0时， L=L0，试求纯利润L与广告费x之间的函数关系
22
③将所设的解及其导数代入非齐次线性微分方 程，解出
然后写出非齐次线性微分方程的通解
13
8.3 二阶常系数线性齐次微分方程
8.3.1
二阶常系数线性齐次微分方程的概念
定义8.7 方程：y″+py′+qy=f(x)
称为二阶常系数线性齐次微分方程，其中p,q 为常数，f(x)是x的连续函数. 当f(x)≡0时， 方程：y″+py′+qy=0称为二阶常 系数线性齐次微分方程.当f(x)≠0时，方程称为二阶 常系数线性非齐次微分方程.
第八章 常微分方程
=C1(y1″+py1′+qy1)+C2(y2″+py2′+qy2)，
由y1，y2是方程(8-19)的两个解，有 y1″+py1′+qy1=0，y2″+py2′+qy2=0，
所以 C1y1″+C2y2″+C1py1′+C2py2′+C1qy1+C2qy2=0，
(Y″+y*″)+p(Y′+y*′)+q(Y+y*)
=(Y″+pY′+qY)+(y*″+py*′+qy*)
=0+f(x)=f(x), 所以,y=Y+y*是方程(8 18)的解.
又由Y中含有两个独立的任意常数,从而y中含有两 个独立的任意常数,即y=Y+y*是方程(8-18)的通解. 显然,求非齐次方程(8-18)的通解的关键是先求出对应的齐 次方程的通解,再求它本身的一个特解. 为了便于求非齐次方程(8-18)的特解，给出如下定理：
定理4 (线性非齐次方程解的叠加性)设二阶常系数非齐次 线性方程(8-18)的右端f(x)是几个函数之和，如 y″+py′+qy=f1(x)+f2(x)，(8-20) 而y1*(x)与y2*(x)分别是 方程
y″+py′+qy=f1(x)(8-21) 与y″+py′+qy=f2(x)(8-22)
的特解，则y*(x)=y1*(x)+y2*(x)是微分方程(8-20)的特解.
第8章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
第8章 偏微分方程数值解
u ( x j,t k 1 ) u ( x j,t k ) a u ( x j 1 t k ) 2 u ( h x 2 j,t k ) u ( x j 1 ,t k )
[ U]kj o( h2)
(5)
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令
fjk f(xj,tk)
，u
k j
视为 u (xj, tk) 的近似值。
U
u t
a
2u x2
f(x,t)
a 为正常数
（3）
u(x,0)(x)
u(0,t)u(1,t)0
0x1 0tT
(4)
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于结点（j, k）处偏导数与差商之间有如下近似的关系：
u(xj,tk1)u(xj,tk)u tkj o()
u (xj 1tk) 2 u (h x 2j,tk)u (xj 1,tk) x 2 u 2 k j o (h 2) 利用上述表达式得到 LU 在 (j, k) 处的关系式：
在结点上采用离散化方法（数值微分、数 值积分、泰勒展开等）将微分方程的初边值 问题化成关于离散变量的相应问题，这个相 应问题的解就是方程在点xi上的数值解f(x)， 或在点（xi , ti）上的数值解U( xi , ti)。
一般来说，不同的离散化导致不同的方法。
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例：取一边长为1的正方形均匀薄板，上下侧面绝热， 四周保持恒温，求板内各点的稳定温定分布。
u 2u 2u 0 x2 y2
泊松方程
u2u2uf(x,y) x2 y2
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考虑泊松方程第一边值问题：
ux2u2 y2u2 f(x,y), (x,y)
u(x,y), (x,y)面上一有界区域，为其边界，
第8章--常微分方程边值问题的数值解法
第8章 常微分方程边值问题的数值解法8.1 引 言推论 若线性边值问题()()()()()(),,(),()y x p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ'''=++≤≤⎧⎨==⎩ (8.1.2) 满足(1) (),()p x q x 和()f x 在[,]a b 上连续； (2) 在[,]a b 上, ()0q x >, 则边值问题(8.1.1)有唯一解。
求边值问题的近似解，有三类基本方法：(1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解；(2) 有限元法(finite element method)；(3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。
8.2 差分法8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法设二阶线性常微分方程的边值问题为(8.2.1)(8.2.2)()()()(),,(),(),y x q x y x f x a x b y a y b αβ''-=<<⎧⎨==⎩其中(),()q x f x 在[,]a b 上连续，且()0q x ≥.用差分法解微分方程边值问题的过程是：(i) 把求解区间[,]a b 分成若干个等距或不等距的小区间，称之为单元；(ii) 构造逼近微分方程边值问题的差分格式. 构造差分格式的方法有差分法, 积分插值法及变分插值法；本节采用差分法构造差分格式；(iii) 讨论差分解存在的唯一性、收敛性及稳定性；最后求解差分方程. 现在来建立相应于二阶线性常微分方程的边值问题(8.2.1), (8.2.2)的差分方程. ( i ) 把区间[,]I a b =N 等分，即得到区间[,]I a b =的一个网格剖分：011N N a x x x x b -=<<<<=,其中分点(0,1,,)i x a ih i N =+=，并称之为网格节点(grid nodes)；步长b a Nh -=. ( ii ) 将二阶常微分方程(8.2.2)在节点i x 处离散化：在内部节点(1,2,,1)i x i N =-处用数值微分公式2(4)1112()2()()()(),12i i i i i i i i y x y x y x h y x y x x h ξξ+---+''=-<< (8.2.3)代替方程(8.2.2)中()i y x ''，得112()2()()()()()()i i i i i i i y x y x y x q x y x f x R x h +--+-=+,(8.2.4) 其中2(4)()()12i i h R x y ξ=. 当h 充分小时，略去式(8.2.4)中的()i R x ，便得到方程(8.2.1)的近似方程1122i i i i i i y y y q y f h +--+-=,(8.2.5)其中(),()i i i i q q x f f x ==, 11,,i i i y y y +-分别是11(),(),()i i i y x y x y x +-的近似值, 称式(8.2.5)为差分方程(difference equation)，而()i R x 称为差分方程(8.2.5)逼近方程(8.2.2)的截断误差(truncation error). 边界条件(8.7.2)写成0,.N y y αβ==(8.2.6)于是方程(8.2.5), (8.2.6)合在一起就是关于1N +个未知量01,,,N y y y ，以及1N +个方程式的线性方程组：2211212211222111(2),(2),1,2,,1,(2).i i i i i N N N N q h y y h f y q h y y h f i N y q h y h f αβ-+----⎧-++=-⎪-++==-⎨⎪-+=-⎩(8.2.7)这个方程组就称为逼近边值问题(8.2.1), (8.2.2)的差分方程组(system of difference equations)或差分格式(difference scheme)，写成矩阵形式2211122222223332222222111(2)11(2)11(2)11(2)11(2)N N N N N N y q h h f y q h h f y q h h f y q h h f y q h h f αβ------⎡⎤⎡⎤-+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. (8.2.8)用第2章介绍的解三对角方程组的追赶法求解差分方程组(8.2.7)或(8.2.8), 其解01,,,N y y y 称为边值问题(8.2.1), (8.2.2)的差分解(difference solution). 由于(8.2.5)是用二阶中心差商代替方程(8.2.1)中的二阶微商得到的，所以也称式(8.2.7)为中心差分格式(centered-difference scheme).( iii ) 讨论差分方程组(8.2.7)或(8.2.8)的解是否收敛到边值问题(8.2.1), (8.2.2)的解，估计误差.对于差分方程组(8.2.7)，我们自然关心它是否有唯一解；此外，当网格无限加密，或当0h →时，差分解i y 是否收敛到微分方程的解()i y x . 为此介绍下列极值原理：定理8.2.1 (极值原理) 设01,,,N y y y 是给定的一组不全相等的数，设1122(),0,1,2,,i i i i i i i y y y l y q y q i N h +--+=-≥=.(8.2.9)(1) 若()0,1,2,,i l y i N ≥=, 则{}0Ni i y =中非负的最大值只能是0y 或N y ； (2) 若()0,1,2,,i l y i N ≤=, 则{}0Ni i y =中非正的最小值只能是0y 或N y .证 只证(1) ()0i l y ≥的情形，而(2) ()0i l y ≤的情形可类似证明. 用反证法. 记{}0max i i NM y ≤≤=，假设0M ≥, 且在121,,,N y y y -中达到. 因为i y 不全相等，所以总可以找到某个00(11)i i N ≤≤-，使0i y M =，而01i y -和01i y +中至少有一个是小于M 的. 此时0000000011222()2.i i i i i i i i y y y l y q y h M M M q M q M h +--+=--+<-=-因为00,0i q M ≥≥，所以0()0i l y <, 这与假设矛盾，故M 只能是0y 或N y . 证毕！推论 差分方程组(8.2.7)或(8.2.8)的解存在且唯一. 证明 只要证明齐次方程组11202()0,0,1,2,,1,0,0i i i i i i i N y y y l y q y q i N h y y +--+⎧=-=≥=-⎪⎨⎪==⎩ (8.2.10)只有零解就可以了. 由定理8.7.1知，上述齐次方程组的解01,,,N y y y 的非负的最大值和非正的最小值只能是0y 或N y . 而00,0N y y ==，于是0,1,2,,.i y i N == 证毕！利用定理8.2.1还可以证明差分解的收敛性及误差估计. 这里只给出结果： 定理8.2.2 设i y 是差分方程组(8.2.7)的解，而()i y x 是边值问题(8.2.1), (8.2.2)的解()y x 在i x 上的值，其中0,1,,i N =. 则有224()(),96i i i M h y x y b a ε=-≤-(8.2.11)其中(4)4max ()a x bM yx ≤≤=.显然当0h →时，()0i i i y x y ε=-→. 这表明当0h →时，差分方程组(8.2.7)或(8.2.8)的解收敛到原边值问题(8.7.1), (8.7.2)的解.例8.2.1 取步长0.1h =，用差分法解边值问题43,01,(0)(1)0,y y x x y y ''-=≤≤⎧⎨==⎩并将结果与精确解()()2222()3434x xy x e e ee x --=---进行比较.解 因为110N h ==，()4,()3q x f x x ==, 由式(8.2.7)得差分格式221222112289(240.1)30.10.1,(240.1)30.1,2,3,,8,(240.1)30.10.9,i i i i y y y y y x i y y -+⎧-+⨯+=⨯⨯⎪-+⨯+=⨯=⎨⎪-+⨯=⨯⨯⎩0100y y ==, 00.1,1,2,,9i x ih i i =+==, 其结果列于表8.2.1.从表8.2.1可以看出, 差分方法的计算结果的精度还是比较高的. 若要得到更精确的数值解，可用缩小步长h 的方法来实现.8.2.2 一般二阶线性常微分方程边值问题的差分法对一般的二阶微分方程边值问题1212()()()()()(),,()(),()(),y x p x y x q x y x f x a x b y a y a y b y b αααβββ'''++=<<⎧⎪'+=⎨⎪'+=⎩ (8.2.12) 假定其解存在唯一.为求解的近似值，类似于前面的做法，( i ) 把区间[,]I a b =N 等分，即得到区间[,]I a b =的一个网格剖分：011N N a x x x x b -=<<<<=,其中分点(0,1,,)i x a ih i N =+=，步长b a Nh -=. ( ii ) 对式(8.2.12)中的二阶导数仍用数值微分公式2(4)1112()2()()()(),12i i i i i i i iy x y x y x h y x y x x h ξξ+---+''=-<<代替，而对一阶导数，为了保证略去的逼近误差为2()O h ，则用3点数值微分公式；另外为了保证内插，在2个端点所用的3点数值微分公式与内网格点所用的公式不同，即21112012000022212()()()(),,1,2,,1,263()4()()()(),,23()4()3()()(),.23i i i i i i i N N N N N N N N y x y x h y x y x x i N h y x y x y x h y x y x x h y x y x y x h y x y x x h ξξξξξξ+-----⎧-''''=-<<=-⎪⎪-+-⎪''''=+<<⎨⎪⎪-+''''=+<<⎪⎩(8.2.13) 略去误差，并用()i y x 的近似值i y 代替()i y x ，(),(),()i i i i i i p p x q q x f f x ===，便得到差分方程组1111221001221211(2)(),1,2,,1,2(34),2(43),2i i i i i i i i i N N N N p y y y y y q y f i N h hy y y y h y y y y h αααβββ-++---⎧-++-+==-⎪⎪⎪+-+-=⎨⎪⎪+-+=⎪⎩(8.2.14)其中(),(),(),1,2,,1i i i i i i q q x p p x f f x i N ====-, i y 是()i y x 的近似值. 整理得12021222211222121(23)42,(2)2(2)(2)2,1,2,,1,4(32)2.i i i i i i i N N N h y y y h hp y h q y hp y h f i N y y h y h αααααβββββ-+---+-=⎧⎪---++==-⎨⎪-++=⎩ (8.2.15)解差分方程组(8.2.15)，便得边值问题(8.2.12)的差分解01,,,N y y y .特别地, 若12121,0,1,0ααββ====，则式(8.2.12)中的边界条件是第一类边值条件：(),();y a y b αβ==此时方程组(7.7.16)为221112112211221211112(2)(2)2(2),(2)2(2)(2)2,2,3,,2,(2)2(2)2(2).i i i i i i i N N N N N N h q y hp y h f hp hp y h q y hp y h f i N hp y h q y h f hp αβ-+------⎧--++=--⎪---++==-⎨⎪---=-+⎩(8.2.16) 方程组(8.2.16)是三对角方程组，用第2章介绍的解三对角方程组的追赶法求解差分方程组(8.2.16)，便得边值问题(8.2.12)的差分解01,,,N y y y .( iii ) 讨论差分方程组(8.2.16)的解是否收敛到微分方程的解，估计误差. 这里就不再详细介绍.例8.2.2取步长/16h π=，用差分法求下列边值问题的近似解，并将结果与精确解进行比较.精确解是1()(sin 3cos )10y x x x =-+. 解 因为(20)8N h π=-=，()1,()2,()cos p x q x f x x =-=-=, 由式(8.2.17)得差分格式()()()()()()()()()()()()()2122211222122216(2)216(1)216cos 16216(1)(0.3),216(1)2216(2)216(1)216cos 16,2,3,,6,216(1)2216(2)216cos 7i i i N N y yy y y i i y y πππππππππππππ-+--⎡⎤--⨯-++⨯-⎡⎤⎣⎦⎣⎦=--⨯-⨯-⎡⎤⎣⎦⎡⎤-⨯---⨯-++⨯-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦==⎡⎤-⨯---⨯-⎡⎤⎣⎦⎣⎦=()()16216(1)(0.1),ππ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪-+⨯-⨯-⎡⎤⎣⎦⎩080.3,0.1y y =-=-, 00.1,1,2,,9i x ih i i =+==, 其结果列于表8.2.2.8.3 有限元法有限元法(finite element method)是求解微分方程定解问题的有效方法之一，它特别适用在几何、物理上比较复杂的问题. 有限元法首先成功地应用于结构力学和固体力学，以后又应用于流体力学、物理学和其他工程科学. 为简明起见，本节以线性两点边值问题为例介绍有限元法.考虑线性两点边值问题()(8.3.1)(8.3.2)()()()()(),,(),(),Ly p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ⎧''⎪=-+=≤≤⎨==⎪⎩其中1()0,()0,C [,]p x q x p a b >≥∈, ,C[,]q f a b ∈.此微分方程描述了长度为b a -的可变交叉截面(表示为()q x )的横梁在应力()p x 和()f x 下的偏差()y x .8.3.1 等价性定理记{}221C [,]()C [,],(),()a b y y y x a b y a y b αβ==∈==, 引进积分()22()()[()]()()2()()d baI y p x y x q x y x f x y x x '=+-⎰. (8.3.3)任取21()C [,]y y x a b =∈，就有一个积分值()I y 与之对应，因此()I y 是一个泛函(functional)，即函数的函数. 因为这里是,y y '的二次函数，因此称()I y 为二次泛函.对泛函(8.3.3)有如下变分问题(variation problem)：求函数21C [,]y a b ∈，使得对任意21C [,]y a b ∈, 均有()()I y I y ≥, (8.3.4)即()I y 在y 处达到极小, 并称y 为变分问题(8.3.4)的解.可以证明：定理8.3.1(等价性定理) y 是边值问题(8.3.1), (8.3.2)的解的充分必要条件是y 使泛函()I y 在21C [,]a b 上达到极小，即y 是变分问题(8.3.4)在21C [,]a b 上的解. 证 (充分性) 设21C [,]y a b ∈是变分问题()I y 的解；即y 使泛函()I y 在21C [,]a b 上达到极小，证明y 必是边值问题(8.3.1), (8.3.2)的解.设()x η是2C [,]a b 任意一个满足()()0a b ηη==的函数，则函数21()()()C [,]y x y x x a b αη=+∈，其中α为参数. 因为y 使得()I y 达到极小，所以()()I y I y αη+≥，即积分()22()()[()()]()[()()]2()[()()]baI y p x y x x q x y x x f x y x x dxαηαηαηαη''+=+++-+⎰作为α的函数，在0α=处取极小值()I y ，故d()0d I y ααηα=+=. (8.3.5) 计算上式，得()()()()()022(8.d()d d ()[()()]()[()()]2()[()()]d d 2()[()()]()2()[()()]()2()()d 2()()()()()()()()d .bab abaI y p x y x x q x y x x f x y x x x p x y x x x q x y x x x f x x x p x y x x q x y x x f x x x ααααηααηαηαηααηηαηηηηηη===+''=+++-+'''=+++-''=+-⎰⎰⎰3.6)利用分部积分法计算积分[][]()()()d ()()d ()()()()()()()d ()()()d ,bbaab ba abap x y x x x p x y x x p x y x x x p x y x x x p x y x x ηηηηη'''='''=-''=-⎰⎰⎰⎰代入式(8.3.6)，得()0(8.3.7)d()2()()()()()()d 0.d b a I y p x y x q x y x f x x x ααηηα'=⎡⎤⎣⎦'+=-+-=⎰因为()x η是任意函数，所以必有()()()()()()0p x y x q x y x f x ''-+-≡. (8.3.8)否则，若在[,]a b 上某点0x 处有()00000()()()()()0p x y x q x y x f x ''-+-≠，不妨设()00000()()()()()0p x y x q x y x f x ''-+->，则由函数的连续性知，在包含0x 的某一区间00[,]a b 上有()()()()()()0p x y x q x y x f x ''-+->.作002200000,[,]\[,],()()(),.x a b a b x x a x b a x b η∈⎧⎪=⎨--≤≤⎪⎩ 显然2()C [,]x a b η∈，且()()0a b ηη==，但()()()()()()()d ba p x y x q x y x f x x x η⎡⎤''-+-⎢⎥⎣⎦⎰ ()00()()()()()()d 0b a p x y x q x y x f x x x η⎡⎤''=-+->⎢⎥⎣⎦⎰，这与式(8.3.7)矛盾. 于是式(8.3.8)成立，即变分问题(8.3.4)的解y 满足微分方程(8.3.1), 且(),()y a y b αβ==故它是边值问题(8.3.1), (8.3.2)的解.(必要性) 设()y y x =是边值问题(8.3.1), (8.3.2)的解，证明y 是变分问题(8.3.4)的解；即：y 使泛函()I y 在21C [,]a b 上达到极小.因为()y y x =满足方程(8.3.1)，所以()()()()()()0p x y x q x y x f x ''-+≡.设任意21()C [,]y y x a b =∈，则函数()()()x y x y x η=-满足条件()()0a b ηη==，且2()C [,]x a b η∈. 于是()()[]()222222()()()()()[()()]()[()()]2()[()()]d ()[()]()[()]2()()d 2()()()()()()()()d ()[()]()[()]d baba baaI y I y I y I y p x y x x q x y x x f x y x x x p x y x q x y x f x y x xp x y x x q x y x x f x x x p x x q x x xηηηηηηηηη-=+-''=+++-+'-+-''=+-++⎰⎰⎰()()()22222()()()()()()d ()[()]()[()]d ()[()]()[()]d .bb ba a bap x y x q x y x f x x x p x x q x x xp x x q x x x ηηηηη⎡⎤'''=--+++⎢⎥⎣⎦'=+⎰⎰⎰⎰因为()0,()0p x q x >≥，所以当()0x η≠时，()22()[()]()[()]d 0bap x x q x x x ηη'+>⎰, 即()()0I y I y ->.只有当()0x η≡时，()()0I y I y -=. 这说明y 使泛函()I y 在21C [,]a b 上达到极小. 证毕！定理8.3.2 边值问题(8.3.1), (8.3.2)存在唯一解.证明 用反证法. 若12(),()y x y x 都是边值问题(8.3.1), (8.3.2)的解，且不相等，则由定理8.3.1知，它们都使泛函()I y 在21C [,]a b 上达到极小，因而12()()I y I y > 且 21()()I y I y >，矛盾！因此边值问题(8.3.1), (8.3.2)的解是唯一的.由边值问题解的唯一性，不难推出边值问题(8.3.1), (8.3.2)解的存在性(留给读者自行推导).8.3.2 有限元法等价性定理说明，边值问题(8.3.1), (8.3.2)的解可化为变分问题(8.3.4)的求解问题. 有限元法就是求变分问题近似解的一种有效方法. 下面给出其解题过程：第1步 对求解区间进行网格剖分01,i n a x x x x b =<<<<<=区间1[,]i i i I x x -=称为单元，长度1(1,2,,)i i i h x x i n -=-=称为步长，1max i i nh h ≤≤=. 若(1,2,,)i h h i n ==，则称上述网格剖分为均匀剖分.给定剖分后，泛函(8.3.3)可以写成()22()()[()]()()2()()d baI y p x y x q x y x f x y x x '=+-⎰()12211()[()]()()2()()d i i nnx i x i i p x y x q x y x f x y x xS -=='=+-∑∑⎰记. (8.3.9)第2步 构造试探函数空间。
第8章 常微分方程—8-7(简单应用)
4t 2
[4t 2 1].
例7 已知f (u)具有二阶连续偏导数 , 且z f (e x sin y)满足方程
2z 2z 2x e z, 2 2 x y
求f ( x )。
解 这是一个偏微分方程，可通过多元函数微分法 因为
化为常微分方程来解。
z z x f ( u)e si n y , f ( u)e x cos y, x y
f ( x) g ( x) 2 e x .
(1) 求 F ( x )所满足的一阶微分方程 ;
(2) 求出 F ( x )的表达式 . (2003考研)
例5 已知 ( ) 1, 试确定 ( x)使曲线积分
y L [sin x ( x )] x dx ( x )dy与路径无关。
2 0
x
上式两端再对x求导，得
x f ( x ) (1 3 x ) f ( x ).
2
x 2 f ( x ) (1 3 x ) f ( x ).
这是变量可分离方程，分离变量并积分得
f ( x ) 1 3x f ( x ) dx x 2 dx, 1 3 l n f ( x ) ( 2 )dx, x x 1 l n f ( x ) 3 l n x c1 x
2z x 2x 2 f ( u ) e si n y f ( u ) e si n y, 2 x
2z x 2x 2 f ( u ) e sin y f ( u ) e cos y, 2 y 2z 2z 2x e z, 代入原方程，得 2 2 x y x 2x 2 [ f (u)e sin y f (u)e sin y]
f ( x) e
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第八章 常微分方程在科学研究和生产实践中，经常需要寻求表示客观事物的变量之间的函数关系，进而可以对事物的规律进行研究。
在大量的实际问题中，往往难以用直接的方式得到所需要的函数关系，但是跟据实际问题所提供的情况可以得到含有未知函数、未知函数的导数或微分的关系式，这些关系式就是所谓的微分方程。
因此可以说微分方程是描述客观事物的数量关系的一种重要的数学模型，本章主要介绍微分方程的一些基本概念以及一些简单微分方程的求解方法。
例如安全问题是各大汽车制造商首要考虑的问题，车辆制动系统，在行车安全性能方面起着举足轻重的作用。
通过本章的学习我们对汽车制动系统会有更深入的了解。
第一节 常微分方程的基本概念一、两个实例下面我们通过两个具体实例来说明微分方程的基本概念。
情境1 [列车制动]列车在直线轨道上以20m/s 的速度行驶，制动列车获得负加速度2-0.4/m s ，问列车制动多久后才能刹住？在这段时间内列车行驶了多远的路程？分析 记列车制动的时刻为t=0，设制动t 秒后列车行驶了s 米 。
由题意知，制动后列车行驶的加速度即 （1）当t=0时，s=0，20dsv dt== 方程的两端对t 积分，得速度方程1()0.4dsv t t c dt==-+ （2） 上式两端对t 再进行一次积分，得2120.2s t c t c =-++ （3）其中1c 、2c 为任意常数。
此外，未知函数还应满足条件t=0时，20dsv dt== （4） 把式（4）分别代入式（2）、（3），得1c =20，2c =0 于是列车制动后的方程为20.220s t t =-+ （5）速度方程为()0.420dsv t t dt==-+ （6） 因为列车刹住时的速度为零，在（1）中令0dsv dt==，得00.420t =-+，解之得列车从开始完全制动到完全刹车所需要的时间为 2050()0.4t s == 把t=50代入（5）式中，得列车制动后的行驶路程20.2502050500()s m =-⨯+⨯=情境2 一曲线通过点（1，3），且在该曲线上任意点(,)M x y 处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程.分析 设所求曲线的方程为()y f x =. 根据导数的几何意义，可知所求函数()y f x =应满足关系式x dxdy2=， （1）把（1）式两边积分，得2y x c =+，（2）其中C 为任意常数.此外，未知函数还应满足条件：x =1时，y =3， （3） 将（3）式代入式（2），得2C =，所以22y x =+（4）为所求的曲线方程.二、常微分方程的基本概念定义 含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。
特别当微分方程中所含的未知函数是一元函数时，这时的微分方程就称为常微分方程。
由于本章只讨论常微分方程，所以以后把常微分方程简称为微分方程或方程。
在微分方程中，所含未知函数的导数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。
例如，上述两个例子中的关系式（1）和（5）都含有未知函数的导数，方程（1）是一阶微分方程，方程（5）是二阶微分方程。
又如，方程cos xy y xy x ''''-+= 是三阶微分方程。
如果将函数y ＝y(x)带入微分方程后能使方程成为恒等式，这个函数就称为该微分方程的一个解。
例如，函数（2）和（4）都是方程（1）的解。
微分方程的解有两种形式：通解和特解 如果微分方程的解中包含任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称此解为微分方程的通解。
如果微分方程的解中不含任意常数，称此解为微分方程的特解。
例如，函数（2）是是方程（1）的通解，函数（4）是是方程（1）的特解。
要确定微分方程的特解，必须根据要求对微分方程附加一定的条件，如例1中的条件（3），用来确定微分方程通解中任意常数的条件称为初始条件.。
三、知识拓展一、实例例1 一曲线过点（0,1），曲线上各点处的切线斜率等于该点横坐标的平方，求此曲线方程。
解 设所求曲线的方程为(),y f x =M （x ，y ）为曲线上的任意一点，曲线在该点处的切线的斜率为'y ，依题意有'2y x =， （1） 两边积分，得313y x C =+（C 为任意常数） （2） 上式表示的是曲线上任意一点处的切线的斜率为2x 的所有曲线。
但本题要求的是过点（0,1）的曲线，即01,x y ==时， （3） 将（3）式代入（2）式，得C=1，所以 3113y x =+ （4） 为所求的曲线方程例2 以初速度0v 垂直下抛一物体，设该物体运动只受重力影响，试求物体下落距离s 与时间t 的函数关系。
解 如图8-1，设物体的质量为m ，由于下抛后只受重力作用，故物体所受之力为F=mg ，又根据牛顿第二定律F=ma 及加速度22d sa dt=，所以22d sm mg dt=，即 22d sg dt = （5） 对（5）式两端积分得1dsgt C dt=+ （6） 对（6）式两端再积分，得 21212s gt C t C =++ （7） 这里12,C C 都是任意常数。
由题意知t=0时，00,dss v v dt===。
（8） 把（8）式分别代入（6）式，（7）式，得102,0.C v C ==故（7）式为201.2s gt v t =+ （9） 这就是初速度为0v 的物体垂直下抛时距离s 与时间t 之间图8-1 的函数关系。
习题8.11. 判断下列各微分方程的阶数. （1）290x y yy xy ''+-=； （2）3()4y x y xy x '''+-=；（3）3e 1x y xy ''-=； （4）(9)d ln d x y x x y +=2.验证x xC C x C y --+=e e21为微分方程0'2''=++y y y 的解，并说明是该方程的通解.3. 验证函数2e x y c =是方程d 2d yxy x=的通解，并确定满足初始条件(0)1y =的特解.图8-3第二节 常微分方程的分离变量法一、实例情境 1 设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零. 求降落伞下落速度与时间的函数关系.分析 由牛顿第二运动定律ma F =，如右图所示 降落伞所受外力为kv mg F -= (k 为比例系数).设降落伞下落速度为)(t v .根据题意有 图8-2⎪⎩⎪⎨⎧=-==0|0t v kvmg dtdv m .解微分方程得解.而上述方程是一个可分离变量的微分方程.下面就这类微分方程的解法给大家做一个介绍.二、可分离变量微分的概念定义 形如d ()()d yh x g y x= （1） 的方程称为可分离变量的微分方程，当g(y )≠0时，方程（1）可变形为dx x h y g dy)()(=. （2） 对方程（2）两端积分得()()dyh x dx g y =⎰⎰ （3）即可求得微分方程的通解。
注：以上这种求解微分方程的方法称为分离变量法。
求解步骤：1）分离变量； 2）两边分别积分；3）对积分的结果进行整理、简化，得到方程的通解.例1 一物体的质量为m ，初速度为v 0，在一个与初速度同向的恒力F 作用下在光滑水平面上作直线运动，如图8-3所示，求该物体运动的位移时间函数。
解 设该物体运动的位移时间函数为()s s t =， 根据牛顿第二定律有22d d s Ft m=， （1）对式（1）两边积分，得1d d s Ft c t m=+， （2）再两边积分，得21212F s t c t c m=++， （3）其中c 1、c 2都是任意常数.此外，未知函数还应满足条件0t =时，0s =，0d d sv v t== （4）把式（4）分别代入式（2）、（3），得10c v =，20c =，从而有2012F s t v t m=+， （5）此式即为所求的位移时间函数。
例2 求微分方程21d d xyx y -=的通解 解 原方程为可分离变量的方程，分离变量后得21d d xxy y -=, 两边积分得⎰⎰-=x x y y d 11d 12,求积分得 1arcsin ||ln C x y +=, 即 )e (e ee 11arcsin arcsin C x xCC C y ±==±=令,从而通解为 xC y arcsin e =，其中C 为任意常数.例3 求微分方程xydx dy -=满足条件11==x y 的特解。
解 原方程为可分离变量的方程，分离变量后得xdxy dy -=两端积分⎰⎰-=x dx y dy得 1ln ln y x c =-+从而 11c y ex=± 令C=1ce ±,故原方程的通解为cy x=，由已知初始条件1x =代入得1c =，即特解为 1y x=例4 求微分方程2(1)0x dy xydx ++=的通解 解 原方程为可分离变量的方程，分离变量后得21dy x dx y x =-+ 两端积分21dy x dx y x =-+⎰⎰得 21lny ln(1+x )lnc 2=-+从而通解为y =三、知识拓展例5 指数增长模型(马尔萨斯(Malthus)人口模型)英国人口学家马尔萨斯(Malthus ，1766-1834)根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了著名的人口指数增长模型.这个模型的基本假设是：人口的增长率是常数，或者说，单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比.记时刻t 的人口为)(t x ，当考察一个国家或一个很大地区的人口时，)(t x 是很大的整数.为了利用微积分这一数学工具，将)(t x 视为连续、可微函数.记初始时刻0=t 的人口为0x ,人口增长率为r ,r 是单位时间内)(t x 的增量与)(t x 的比例系数. 于是)(t x 满足如下的微分方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(x x rxdt dx这个微分方程的解是rt e x t x 0)(=表明人口将按指数规律无限增长（0>r ）. 例6 阻滞增长模型（Logistic 模型）例5中的指数增长模型在十九世纪前比较符合人口增长情况，但从十九世纪之后，就与人口事实上的增长情况产生了较大的差异.产生上述现象的主要原因是，随着人口的增加，自然资源，环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著.如果当人口较少时（相对于资源而言）人口增长率还可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量后，增长率就会随着人口的继续增加而逐渐减少.为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设.将增长率r 表示为人口)(t x 的函数)(x r ,按照前面的分析，)(x r 应是x 的减函数.一个最简单的假定是设)(x r 为x 的线性函数)0,(,)(>-=s r sx r x r这里r 相当于0=x 时的增长率，称固有增长率.它与指数模型中的增长率r 不同（虽然用了相同的符号）.显然对于任意的0>x ，增长率r x r <)(,为了确定系数s 的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ,称最大人口容量.当m x x =时增长率应为零，即0)(=m x r ,由此确定出s .人口增长率函数可以表为)1()(mx xr x r -= (5) 其中r 、m x 是根据人口统计数据或经验确定的常数.因子)1(mx x-体现了对人口增长的阻滞作用.(5)式的另一种解释是，增长率)(x r 与人口尚未实现部分(对最大容量m x 而言)的比例mm x xx -成正比，比例系数为固有增长率r . 在(5)式的假设下指数增长模型应修改为⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(xx x x x r dtdxm 称为阻滞增长模型.此模型在很多领域有着较广泛的应用，关于这一问题，我们将在以后的学习中继续予以讨论.习题8.21. 用分离变量法求解下列微分方程: （1）22dy x y dx = （2）21d d xy x y -=（3）dy dx y x =- （4）e x y dydx-=1= （6）y x y x e d d = 2. 求微分方程0=+xdyy dx 满足条件y |x =3=4的特解.第三节 一阶线性微分方程一、实例情景一．某商品的需求函数与供给函数分别为d Q a bP =-,s Q c dP =-+（其中a b c d 均为正常数）。