高二空间几何体练习题

立体几何练习题1 -在直四棱住ABCD A i B i C i D i中，AA,2 ,底面是边长为1的正方形，E、F、G分别是棱B1B、D1D、DA的中点•( I )求证：平面AD1E //平面BGF ; ( n )求证:D1E 面AEC .2•如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2, E为AB的中点.(1)求证：AC 平面BDD1(2)求点B到平面A1EC的距离•3.如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1 中，AA 平面ABC, ACB 90°, AB 2 BC 1 AA '3 .(I)求三棱锥A1 AB1C1的体积；(n)若D是棱CG的中点，棱AB的中点为E ,证明：DE //平面AB1C1C1B1CC14.如图，在棱长均为2的三棱柱ABC DEF 中，设侧面四边形FEBC 的两对角线相交于 0，若BF 丄平面AEC ，AB AE .(1)求证：A0丄平面FEBC ; (2)求三棱锥B DEF 的体积•5.如图，在体积为1的三棱柱ABC ABQ ,中，侧棱AA , 底面ABC , AC AB , AC AA , 1 , E 为线段AB 上的动点•(I) 求证：C A i CE ;7.如图，在底面 为平行四 边形的 四棱锥 P ABCD 中，AB AC ,PA 面ABCD ，点E 是PD 的中点。

(I)求证：AC PB (n)求证：PB//平面 AEC如图，在四棱锥 P ABCD 中，ABCD 是矩形，PA 平面ABCD , PA AD点F 是PD 的中点，点E 在CD 上移动。

(1) 求三棱锥E PAB 体积；(2) 当点E 为CD 的中点时，试判断 EF 与 平面PAC 的关系，并说明理由； (3)求证：PE AF1(2)线段AB 上是否存在一点 E ，使四面体E-AB 1C 的体积为1?若存在, 6存在，请说明理由.6.已知三棱柱 ABC-ABG 的直观图和三视图如图所示，其主视图 其中(1) (2) (3) BBAAAA=4。

俯视图厶 ABQ 中，BQ 1=4, AG=3, AB 1=5, D 是 AB 的 求证：AC 丄BG ;求证：AC //平面CDB ;求异面直线 AG 与BQ 所成角的余弦值。

【勺位置；若不A iA ACC 均为矩形, 中占 n I八、、B 11, ABFA、E C9•如图所示，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为正方形，PD F ,G分别为PC、PD、BC的中点.(1)求证：PA平面EFG ；(2)求证：GC 平面PEF ；(3)求三棱锥P EFG的体积.10.如图6，已知四棱锥P ABCD中，PA丄平面ABCD , ABCD是直角梯形, BAD=90o , BC 2AD .(1)求证：AB丄PD ;(2)在线段PB上是否存在一点E ,使AE //平面PCD ,若存在，指出点E的位置并加以证明；若不存在，请说明理由.11.如图(1), ABC是等腰直角三角形，AC BC 4, ACB 90 ,E,F分别是AC, AB的中点，将AEF折起,使点A到达A位置，且A在平面BCEF上的射影恰为点E,如图(2).(1) 求证EF AC; (2)求点F到平面ABC的距离.12.如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图和侧视图如图所示)。

(I)求四棱锥P ABCD的体积；(n)若G为BC上的动点，求证：AE PG 。

13.如图，四边形ABCD为矩形，DA 平面ABE,AE EB BC 2 , BF 平面ACE 于点F ,平面ABCD，PD AB 2，E ,AD // BC ,C尺寸且点F 在CE 上. (I)求证：AE BE ;(n)求三棱锥D AEC 的体积；(川)设点 M 在线段AB 上，且满足 AM 2MB , 试在线段CE 上确定一点N ，使得MN II 平面DAE .14•已知四棱柱 ABCD A 1B 1C 1D 1的三视图如图所示(1 )画出此四棱柱的直观图，并求出四棱柱的 体积；(2)若E 为AA 上一点，EBII 平面A ,CD ,AB AD a , BF DH b .(I)证明：截面四边形 EFGH 是菱形; (n)求三棱锥 F ABH 的体积.16.正方形 ABCD 中, AB=2 E 是AB 边的中点，F 是BC 边上一点，将△ AED 及 △ DCF 折起(如下图)，使A C 点重合于A '点.1(1)证明：A D EF ; (2)当BF=’BC 时，求三棱锥 A' — EFD 的体积.417、已知四棱锥 P ABCD 的三视图如下图所示， E 是侧棱PC 上的动点•试确定E 点位置，并证明 EB 平面AB 1C 1D15.如图是以正方形 ABCD 为底面的正四棱柱被正视图侧视图AD2,21B 1;C俯视图平面所截得的几何体,四边形EFGH 为截面，且B1A 1D 1⑴求四棱锥P ABCD 的体积;19、如图，四棱锥 P —ABCD 中，底面四边形 ABCD 是正方形，侧面 PDC 是边长为a 的正三角形, PDCL 底面 ABCD E 为PC 的中点。

(I )求异面直线PA 与DE 所成的角; (II )求点D 到面PAB 的距离•20.如图，在三棱锥 A - BCD 中,侧面ABD ACD 是全等的直角三角形， AD 是公共的斜边， 且AD-J 3 , BD- CD- 1,另一个侧面是正三角形 (1) 求证：AD 八BC(2) 在直线AC 上是否存在一点 E ,使ED 与面BCD 成 30角？若存在确定 E 的位置；若不存在，说明 理由。

立体几何参考答案1. 证明：(I ) E, F 分别是棱BB 1,DD 1中点BE//D 1F 且BE D 1F 四边形BED j F 为平行四边形18、如图，已知AB 平面ACD ， F 为CD 的中点.求证：AF//平面BCE ； 求证：平面BCE 平面CDEDE 平面ACD ，求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值•是否不论点E 在何位置，都有 若点E 为PC 的中点，求二面角EEF 且平面ACD 1E// BF 又 D 1E 平面 AD 1E, BF 平面 AD 1EBF // 平面 AD i E................ 3 分又G 是棱DA 的中点 GF // AD 1 又AD 1 平面AD 1E , GF 平面AD 1EAECV c AEB , 设点B 到平面A -EC 的距离为晁76CB ，有 6 h 2 , h ——,所以点B 到平面 A EC 的距离为—— 3 31，二 AC -.3 . ••• AA 、、3 , •••四边形 ACC -A• EF P AB 1.••• AB 1 平面 AB 1C 1 , EF 平面 AB 1C 1 ,• EF P 平面 AB 1C 1 . ------10 分又 BFI GF F 平面AD 1E //平面BGF ...............6分 (n )QAA 2AD1...AA 2ADj5,同理AE .2, D 1E 、、3AD 12 D 1E 2 AE 2 D 1E AE ...................9 分Q ACBD,ACD 1DAC 面 BD - 又D -E 平面 BD 1 , ACD 1E又ACI AE A , AC 面 AEC , AE 面 AEC D 1E 面AEC …… •- 12 分2. (1) 连接BD, 由已知有 D 1D 平面 ABCD 、得AC D 1D又由ABCD 是正方形，得： AC BD 、 ••• D 1D 与 BD 相交，• AC 平面 BDD -(2) •/ A -AECBE• A ,E CE■■ 5又 •/ A 1C2.3•••点 E 到A -CGF // 平面 AD 1E ................. 5 分-EB A i A 1，2S AEB的距离d 5 3,2，有:1 ,—S A -EC — AC d \ 62又由V B3S A I EB则-S hAEC II33.【解】在Rt ABC 中，AB 2，BC 为正方形.]1 1V A AB -C -V A ABC _VABC AB -C-_-3 3 2(n)当点E 为棱AB 的中点时， 证明如下： 如图，取BB -的中点F ，连 •/D 、E 、F 分别为 CC 1、EF 、 送1扁丄—6分 2DE P 平面 AB -C - ------8 分FD 、DE ,AB 、BB -的中点,同理可证FD P 平面AB1C1.••• EF I FD F ,•••平面EFD P 平面ABQ . •/ DE 平面EFD , DE P 平面AB1C1.——12分4. (1)证明：••• BF丄平面AEC，而AO 平面SEC • BF丄AO ................ 2分••• AE AB , AB AC • AE AC ,而BCFE为菱形，贝V O 为EC 中点，• AO 丄EC,且BF EC O • AO 丄平面BCFE. .................. 6 分(2) Q DA // BE, BE BCFE DA //平面BCFE•••点D、A到面BCFE的距离相等 .... 8分VB DEF VD BEFVA BEF -AE AB, AO=AOAOE^ AOB得OE=OB,艮卩EC=FB而BCFE为菱形，则BCFE是正方形,计算得AO=、,2 , EFB的面积等于正方形BCFE的一半2 , 因此V BDEF 3 2…2[J25.解：（I）证明：连结AC1, Q侧棱AA1底面ABC 12分14分AA AB 又Q AB AC.AB 平面A1ACC1又QCA平面AACG , AB CA ..... ............ （3分）Q AC AA1 1, 四边形A1ACC1为正方形，AC1 CA[.Q AC1AB A, CA W.fEn D1 面AC〔B .又C1P平面AG B , CA C1P ....................... 5分) 6分)QV ABC A C[ 1-AB 1 12使V P1, AB (7 分)又Q AC AB, AA AC 且GA 平面ABB1 A, BB1 AB ,由V p AB1C1V C1 PAB1 1知3S VPAB1C1A 161PA BB12PA解得PA 1 , 存在AB的中点P，使V P 1丄,6 166.解：（1）证明：因为主视图和侧视图均为矩形，所以该三柱为直三棱柱……1分又•••俯视图中AQ1=3, BiG=4, A1B1=52 2 2•A1C1 +BG =AB•••/ ACB=/ACB=90•AC丄BC 又T AC丄CC, CG Q BC=C ( (AB上存在一点P ,（n）设在线段AB1C112 分)Aqc’棱A1••• AC 丄平面BCGB 又T BG 平面BCGB i••• AC 丄 BC .............................................. 4 分 A(2)证明：设CB 与GB 的交点为E ,连结DE•/ D 是AB 的中点，E 是BC 的中点 • DE// AC 又T DE 平面CDB , AG 平面CDB• AC // 平面 CDB ...................................................................................... 8 分 (3)TDE// AG CED 为 AG 与 B i C 所成的角15 i 5 i_在△ CED 中 ED=_AC= _ ,CD=_ AB= _ CE=_ CB= 2^2• cos /22 2 2 2CED= 82 22 2 罷-52•••异面直线AG 与B i C 所成角的余弦值为 勿2 。