第四周 星期二

以 E 为原点，分别以 EB，EF，EA1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立 如图 3 所示的空间直角坐标系．
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图3 则 A1(0，0，1)，B(2，0，0)，F(0， 3，0)，P(1， 3，0)． → → ∴A 1B＝(2，0，－1)，A1P＝(1， 3，－1)， → A 1F＝(0， 3，－1)． 设 m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面 A1BP 和平面 A1PF 的法向量， → m· A 1B＝0， 2x1－z1＝0， 由 得 → x1＋ 3y1－z1＝0. m · A P ＝ 0. 1 取 y1＝1，得 m＝( 3，1，2 3)． → n· A 1F＝0， 3y2－z2＝0， 由 得 → x2＋ 3y2－z2＝0. A1P＝0. n· 取 y2＝1，得 n＝(0，1， 3)． m· n 7 所以 cos〈m，n〉＝|m||n|＝8. 因为二面角 B-A1P-F 为钝角， 7 所以二面角 B-A1P-F 的余弦值为－8.
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(1)求证：A1E⊥平面 BEP； (2)求二面角 B-A1P-F 的余弦值的大小．
Hale Waihona Puke (1)证明：不妨设正三角形 ABC 的边长为 3.在图 1 中，取 BE 的中点 D，连接 DF. ∵AE∶EB＝ CF∶FA＝1∶2， ∴AF＝AD＝2.而∠A＝60° ， ∴△ADF 是正三角形． 又 AE＝DE＝1，∴EF⊥AD. 在图 2 中，A1E⊥EF，BE⊥EF， ∴∠A1EB 为二面角 A1-EF-B 的平面角． 由题设条件知此二面角为直二面角， ∴A1E⊥BE. 又 BE∩EF＝E， ∴A1E⊥平面 BEF， 即 A1E⊥平面 BEP. (2)解 由(1)知，即 A1E⊥平面 BEP，BE⊥EF.
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星期二
(概率统计与立体几何) 2016 年____月____日
1．概率统计知识(命题意图：考查运用排列、组合知识求解离散型随机变量的分 布列、数学期望等．) 有编号为 1，2，3，…，n 的 n 个学生，入坐编号为 1，2，3，…，n 的 n 个座位， 每个学生规定坐一个座位， 设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 ξ.已知 ξ＝2 时，共有 6 种坐法． (1)求 n 的值； (2)求随机变量 ξ 的数学期望． 解 (1)∵当 ξ＝2 时，有 C2 n种坐法， ∴C2 n＝6，即 n（n－1） ＝6， 2
∴n2－n－12＝0， 解得 n＝4 或 n＝－3(舍去)． (2)∵ξ 的可能取值是 0，2，3，4. 1 1 ∴P(ξ＝0)＝A4＝24，
4 2 C4 ×1 6 1 P(ξ＝2)＝ A4 ＝24＝4， 4 3 C4 ×2 8 1 P(ξ＝3)＝ A4 ＝24＝3， 4 9 3 P(ξ＝4)＝24＝8，
∴ξ 的概率分布列为： ξ P 0 1 24 2 1 4 3 1 3 4 3 8
1 1 1 3 则 E(ξ)＝0×24＋2×4＋3×3＋4×8＝3. 2．立体几何知识(命题意图：以平面图形翻折成空间几何体为载体，考查线线、 线面垂直关系的转化，考查用空间向量法求二面角的大小等．) 在正三角形 ABC 中，E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点，满足 AE∶EB＝ CF∶FA＝CP∶PB＝1∶2(如图 1)．将△AEF 沿 EF 折起到△A1EF 的位置，使二 面角 A1-EF－B 成直二面角，连接 A1B，A1P(如图 2)