电动力学复习题
电动力学习题
电动力学复习题一．填空1．a 、k 及0E 为常矢量，则)]sin([0r k E ⋅⋅∇= , )]sin([0r k E ⋅⨯∇= 。
2．真空中一点电荷电量)sin(0t q q ω=，它在空间激发的电磁标势ϕ为 。
3. 电磁场能流密度的意义是 ，其表达式为 。
4．波矢量αβ i k +=,其中相位常数是 ，衰减常数是 。
5．电容率ε'=ε+i ωσ,其中实数部分ε代表 电流的贡献，它不能引起电磁波功率的耗散，而虚数部分是______电流的贡献，它引起能量耗散。
6. 矩形波导中，能够传播的电磁波的截止频率22,,⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=b n a m n m c μεπω，当电磁波的频率ω满足 时，该波不能在其中传播。
若b >a ，则最低截止频率为 。
7．频率为91030⨯Hz 的微波，在0.7cm ⨯0.4cm 的矩形波导管中，能以 波模传播。
8．爱因斯坦质能关系为 。
如果两事件只能用大于光速的信号进行联系，则这两事件 （填：一定不存在/一定存在/可能存在）因果关系，原因是 是一切相互作用传播的极限速度。
9．电荷守恒定律的微分形式为 ，其物理意义为 ；积分形式为 ，其物理意义为 。
10．a 为常矢量，则=⋅∇)(r a , r a )(∇⋅= 。
12. 磁偶极子的矢势)1(A 等于 ；标势)1(ϕ等于 。
13．B =▽⨯A ,若B 确定，则A ____（填确定或不确定），A 的物理意义是 。
14. 变化电磁场的场量E 和B 与势),(ϕA 的关系是E = ，B = 。
15．库仑规范的条件是 ，在此规范下，真空中变化电磁场的标势ϕ满足的微分方程是 。
16．静电场方程的微分形式为 、 _。
电四极矩有 个独立分量。
17. 半径为0R 、电容率为ε的介质球置于均匀外电场中，则球内外电势1ϕ和2ϕ在介质球面上的边界条件可以表示为 和 。
18．金属内电磁波的能量主要是 能量19．良导体条件为 ；它是由 和 两方面决定的。
电动力学复习题
第一章一、选择题1、 下面的函数中能描述静电场电场强度的是（D ）A 2x x e +3y y e +x z eB 8cos θφeC 6xy x e +32y y e D a z e(a 为非零常数)2、下面的矢量函数中不能表示磁场的磁感应强度（其中a 为非零常数）的是（A ） A ar r e （柱坐标系） B -ay x e +ax y e C ax x e -ay y e D ar φe3、变化的磁场激发的感应电场满足（C ） A 0E ∇⋅=,0E ∇⨯= B ⋅∇E=ερ,E ∇⨯=0 C E ∇⋅=0,E ∇⨯=-B t∂∂ D E ∇⋅=ερ,E ∇⨯=-B t∂∂ 4、非稳恒电流的电流线起自于（C ）A 正电荷增加的地方B 负电荷减少的地方C 正电荷减少的地方D 电荷不发生变化的地方5、在电路中，负载消耗的能量是（B ）A 通过导线内的电场传递B 通过导线外周围的电磁场传递C 通过导体内载流子传递 6. 静电场是__B________ 。
A) 无源场； B) 无旋场；C) 涡旋场；D) 调和场。
7.静电场的电势是___B______ 。
A) 电场强弱的量度； B) 电场力对正单位电荷做功的量度； C) 电场能量的量度； D) 电场电力线疏密的量度。
8.学习电动力学课程的主要目的有下面的几条,其中错误的是( D )A. 掌握电磁场的基本规律，加深对电磁场性质和时空概念的理解B. 获得本课程领域内分析和处理一些基本问题的初步能力，为以后解决实际问题打下基础C. 更深刻领会电磁场的物质性，加深辩证唯物主义的世界观D. 物理理论是否定之否定，没有绝对的真理，世界是不可知的9.=⨯⋅∇)(B A（ C ）A. )()(A B B A ⨯∇⋅+⨯∇⋅B. )()(A B B A⨯∇⋅-⨯∇⋅C. )()(B A A B⨯∇⋅-⨯∇⋅ D.B A ⨯⋅∇)( 10.下列不是恒等式的为（C ）。
电动力学试题题库
电动力学试题题库一、填空题：1. 一个半径为a的带电球，电荷在球内均匀分布，总电荷为Q ,则球内电场满足____________,球外电场满足____________。
2. 一个半径为a的带电球，电荷在球内均匀分布，总电荷为Q ,则球内电场满足____________,球外电场满足____________。
3. 一根无限长直圆柱形导体，横截面半径为a，沿轴向通有均匀分布的稳恒电流，电流强度为.设导体的磁导率为，导体外为真空，则柱内磁场的旋度为_______，柱外磁场的旋度为_______。
4. 一根无限长直圆柱形导体，横截面半径为a，沿轴向通有均匀分布的稳恒电流，电流强度为.设导体的磁导率为，导体外为真空，则柱内磁场的散度为_______，柱外磁场的散度为_______。
5. 静电场中导体的边界条件有两种给法，一种是给定____________，另一种是给定____________。
6. 静电场中半径为a导体球，若将它与电动势为的电池的正极相连，而电池的负极接地，则其边界条件可表示为______________；若给它充电，使它带电，则其边界条件可表示为______________________________________。
7. 复电容率的实部代表______________的贡献，虚部代表______________的贡献。
8. 良导体的条件是_________________，理想导体的条件是_________________。
9. 复波矢的实部描述_________________，复波矢的实部描述_________________。
10. 库仑规范条件是__________________________，洛伦兹规范条件是__________________________。
11. 静电场方程的微分形式为___________、__________。
12. 恒定磁场方程的微分形式为___________________、___________________。
电动力学期末复习
第一章一、选择题1、位移电流实质上是电场的变化率，它是（D ）首先引入的。
A). 赫兹 B). 牛顿 C). 爱因斯坦 D). 麦克斯韦3、两个闭合恒定电流圈之间的相互作用力，两个电流元之间的相互作用力，上述两个相互作用力，哪个满足牛顿第三定律（ C ）。
A). 都满足 B). 都不满足 C). 前者满足 D). 后者满足二、填空题1. 麦克斯韦 在理论上预言了电磁波的存在，并指出光波就是一种电磁波。
2.电荷守恒定律的微分形式为 J 0tρ∂∇⋅+=∂r 3、均匀线性介质中电磁场的能量密度w 的表达式为 1()2w E D H B =⋅+⋅r r r r。
4、电磁波（电矢量和磁矢量分别为E ρ和H ρ）在真空中传播，空间某点处的能流密度=S ρ =S ρE H ⨯r r5、线性介质的电磁能量密度w ＝___________，能流密度S r＝____ _______。
答：w ＝1()2E D H B ⋅+⋅r r r r 或2211()2E B +εμ; S r ＝E H ⨯r r 或1E B μ⨯r r6、电场、磁场的切向分量的边值关系分别为：______________________________．答：21ˆ()0n e E E ⨯-=r r r 或21t t E E =；21ˆ()n e H H ⨯-=r r r r α或21t t H H -=α三、判断题1.稳恒电流场中，电流线是闭合的。
（ ）√2.电介质中E D ρρε=的关系是普遍成立的。
（ ）×3.跨过介质分界面两侧，电场强度E ρ的切向分量一定连续。
（ ）√4.电磁场的能流密度S r在数值上等于单位时间流过单位横截面的能量，其方向代表能量传输方向。
（ ）√5.电流元1、2分别属于两个闭合稳恒电流圈，则电流元1、2之间的相互作用力服从牛顿第三定律。
（ ）四、简答题1.写出一般形式的电磁场量D r、E r 、B r 、H r 的边值关系。
电动力学复习题库
一、单项选择题1.学习电动力学课程的主要目的有下面的几条,其中错误的是(D) A.把握电磁场的基本规律，深入对电磁场性质和时空概念的理解B.获得本课程领域内分析和处理一些基本问题的初步力量，为以后解决实际问题打下基础C.更深刻领悟电磁场的物质性，深入辩证唯物主义的世界观D.物理理论是否定之否定，没有肯定的真理，世界是不行知的 2.V∙(A×B)=(C ) A.A∙(V×B)+B∙(V×A) B.A(VxB)-B(VxA) C.B∙(V×A)-A∙(V×B) D.(V∙A)×B3.下列不是恒等式的为(CA.V×=OB.V∙V×/=0C.V ∖7φ=QD.V ∖7φ=V 2φ 4.设-=J(X 一f)2+(y-y ，)2+(z 一z ，)2为源点到场点的距离,「的方向规定为从源点指向场点，则(B)o B.Vr=- C.V7=0D.Vr=-5.若所为常矢量，矢量H=卑K 标量8=等，则除R=O 点外，Z 与。
应满意关系(A) A.V×A=V φB.V×A=-VφC.A=VφD.以上都不对6. 设区域V 内给定自由电荷分布夕(X),S 为P 的边界，欲使V 的电场唯一确定，则需要给定(A )。
A.0∣s 或?ISB.OlSC 后的切向重量D.以上都不对7. 设区域V 内给定自由电荷分布P(X),在V 的边界S 上给定电势时$或电势的法向导数器，则V 内 的电场(A) A.唯一确定B.可以确定但不唯一C.不能确定D.以上都不对8. 导体的静电平衡条件归结为以下几条,其中错误的是(C) A.导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面 B.导体内部电场为零 C.导体表面电场线沿切线方向D.整个导体的电势相等9. 一个处于元'点上的单位点电荷所激发的电势族(五)满意方程(C) A.V 2ι∕∕(x)=0C.^72ψ(x)= ------------ δ{x -x ,)⅞10 .对于匀称带电的球体，有(C)OA.电偶极矩不为零，电四极矩也不为零 C.电偶极矩为零，电四极矩也为零11 .对于匀称带电的长形旋转椭球体，有(BA.电偶极矩不为零，电四极矩也不为零C.电偶极矩为零，电四极矩也为零12 .对于匀称带电的立方体，则(C)A.Vr = OB.V 2ι∕∕(x) =-1 / D. V 2ψ(x) = --δ(x ,) εoB.电偶极矩为零，电四极矩不为零 D.电偶极矩不为零，电四极矩为零B.电偶极矩为零，电四极矩不为零 D.电偶极矩不为零，电四极矩为零A.电偶极矩不为零，电四极矩为零 C.电偶极矩为零，电四极矩也为零 13 .电四极矩有几个独立重量？（C ）A.9个B.6个C.5个14 .平面电磁波的特性描述如下：电磁波为横波，后和月都与传播方向垂直后和后相互垂直，后X 月沿波矢E 方向 □卢和方同相，振幅比为V 以上3条描述正确的个数为（D ） A.O 个B.1个C.2个15 .关于全反射下列说法正确的是（D ）。
电动力学复习题
一．填空题。
1．设线性各向同性的均匀媒质中电位为φ，媒质的介电常数为ε，电荷体密度为V ρ，电位所满足的方程为ρφV-=∇2。
2．在理想导体的表面， 电场 的切向分量等于零。
3．在无源区域中，变化的电场产生磁场，变化的磁场产生 电场 ，使电磁场以波的形式传播出去，即电磁波。
4．已知体积为V 的介质介电常数为ε，其中静电荷（体密度为ρ）在空间形成电位分布ϕ和电场分布,E D ，则空间静电能量密度为12D E ⋅ 。
5．静电场是保守场，故电场强度从1P 到2P 的积分值与 积分路径 无关。
6．通过一个面S 的磁通量SB dS ⋅⎰，用矢势来表示为lA dl ⋅⎰。
7．向z 方向传播的均匀平面波，电场的x 分量和y 分量振幅相等（或E x =E y ）、相位相差±90o时是圆极化波。
8．复波矢k i βα=+的实数部分描述 波传播的相位关系，虚数部分描述 波幅的衰减。
9．设电偶极子的电量为q ，正、负电荷的距离为d ，则电偶极矩矢量的大小可表示为qd p e =。
10．电势ϕ的边值关系为12ϕϕ=，1212s n nϕϕεερ∂∂-+=∂∂。
11．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为μ，则磁感应强度B 和磁场H满足的方程为：H Bμ=。
12．对于空间某一区域V ，电荷守恒定律的积分形式为sV j dS dV tρ∂⋅=-∂⎰⎰。
13．时变电磁场中，坡印廷矢量的数学表达式为H E S⨯=。
14．半径为R ，电势为ϕ的导体球静电场总能量为 202R πεϕ，球外空间电场为2r Re r ϕ。
15．存在稳恒电流J 的导体，电导率为σ，设导体中任意点的电势为ϕ，则ϕ∇=Jσ-，2ϕ∇= 0 。
16．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合 右手螺旋 17．一个微小电流环，设其半径为a 、电流为I ，则磁偶极矩矢量的大小为2a I π。
18. 库仑规范下磁矢势A 的边值关系为 21A A =。
电动力学复习题目及要点归纳
第一章长安街～麦克斯韦方程4．一圆柱形无穷长直导线，半径为a ，载有稳恒电流I ，I 均匀分布在横截面上．试求这导线内外磁场强度H的旋度．答案：导线内 2a J H π=⨯∇；导线外.0=⨯∇H解：由环路定理可得 ϕπe a IrH ˆ22= ，a r <ϕπe rIH ˆ2= ， a r > 以导线轴线为z 轴取柱坐标系，并使z 轴沿电流I 方向，则 ()z e r rH r H ˆ1⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⨯∇ϕ在导线内， ()z z ea Ie r rH r H ˆˆ12πϕ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⨯∇ 在导线外0=⨯∇H5．试证明：在均匀介质内部，极化电荷密度P ρ与自由电荷密度ρ的关系为ρεερ⎪⎭⎫⎝⎛-=10P ，其中ε是介质的电容率．证明：因为E D ε=，电容率ε与坐标无关，由P E D+=0ε，和f D ρ=⋅∇ ，得 ()()()fP D ED P ρεεεεερ/1/1000--=⋅∇--=-⋅-∇=⋅-∇=一般介质0εε>，因此P ρ与f ρ符号相反。
6．若在介质中挖一球形空腔，腔表面极化电荷密度为θσcos 'P -=，证明在球心Ｏ点的电场为.00εPE =证明：02020cos 44'εθπεπεσPR ds PR ds E S S -=-==⎰⎰，( 立体角界定义中的cos θ 为r 、ds 之夹角在球面上的ds ，其cos θ=1。
这里的cos θ？；P 是常量未说明；中心电场为所有电荷引起电场的合，这里引起极化电荷和另一部分极化电荷未计入，可认为二者太远。
本题有些问题)考虑到方向，则有.00εPE =7．求电荷分布为()re r αρρ-=0的电势和电场强度．其中α为常数．解：电荷球对称分布，所以()⎰⎰--==dr r e dv r e r rr ππερπερϕαα2440000 （该处dr r dv 24π=）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-r e r r r ααααερϕ3230022 电势球对称分布，由梯度运算 ()()r rr E ϕϕ∂∂-=-∇=得().2223223300⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-r e r r r rr E αααααερ 答案：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-r e r r r ααααερϕ3230022， ().2223223300⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-r e r r r rr E αααααερ9．平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为1l 和2l ，电容率为1ε和2ε．今在两极板间接上电动势为V 的电池，求⑴ 电容器两板上的自由电荷面密度； ⑵ 介质分界面上的自由电荷面密度．若分界面是漏电的，电导率分别为1σ和2σ，当电流达到恒定时，上述两问题的结果如何？解 （1）（V →E →D →σ0; 理想电阻或电流测量精度不足）求两板上自由电荷面密度1f ω和2f ω，在介质绝缘情况下，电容器内不出现电流.22211122110D l D l l E l E V εε+=+= (1)如图所示，n D 11D = n D 22D = (2) 边值关系为 ω=-⋅)(21D D n , (3) 在两种绝缘介质的分界面上，没有自由电荷分布，03=f ω∴ 0)(12=-⋅D Dn 12D D = (4)因为两极板中（导体中）电场为0，故从(3)得两种介质和导体板的分界面上有; 在分界面2处有212)(f ω-=-⋅D D n得 22f D ω=- 在分界面1处有f ω=-⋅-)(12D D n （5）f D ω==-⋅-11)(D n 由（1）（4）（5）得221101εεωl l V f +=221102εεωl l V f +-=可见，整个电容器保持0321=++f f f ϖϖω（电中性）（2）（J →E →D →σ0;实际情况）当介质略为漏电，并达到稳恒时，要保持电流连续性条件成立0)(12=-⋅J J n 即 21J J =在两介质界面上有自由电荷积累，此时21D D ≠，J 3为导体板上电流密度。
电动力学复习题
《电动力学》复习题一、 简答题1． 分别写出电流的连续性方程的微分形式与积分形式，并简单说明它的物理意义。
2． 写出麦克斯韦方程组，并对每一个方程用一句话概括其物理意义。
3． 麦克斯韦方程组中的电场与磁场是否对称？为什么？4． 一个空间矢量场A K，给出哪些条件能把它唯一确定？5． 写出极化电流与极化强度、磁化电流密度与磁化强度之间的关系式。
6． 简述公式dd d d d V V w V f V S t σ−=⋅+⋅∫∫∫v K K K K v 的物理意义。
7． 简述介质中静电场的唯一性定理。
8． 写出无界空间、上半空间以及球外空间在第一类边值条件下的格林函数。
9． 写出电偶极矩和电四极矩的定义式。
10． 设体系的电荷密度分布为()x ρK，则该体系在外场e ϕ中的能量是多少？11． 写出麦克斯韦方程组的积分形式，并写出其对应的在介质分界面上的表达形式（即边值关系）。
12． 简述引入磁标势的基本条件，并写出磁标势所满足的泊松方程。
13． 写出磁偶极矩的定义式以及它所产生的矢势与标势的表达式。
14． 平面电磁波中，电场和磁场的能量密度各为多少？电场能与磁场能相等吗？15．简述全反射现象。
16．在导体内部，电荷密度随时间衰减的表达式是什么？衰减的特征时间如何定义？特征时间的表达式是什么？17．什么是穿透深度？电磁波从介质垂直入射到导体时，穿透深度是多少？良导体的条件是什么？18．简述趋肤效应。
19．谐振腔内亥姆霍兹方程的本征解的表达式是什么？20．若电磁波在一个宽为a，高为b的无穷长矩形波导管中传播，其截止角频率是多少？21．写出电磁场矢势与标势中的库仑规范与洛仑兹规范条件。
22．写出在洛仑兹规范下的标势与矢势方程（即达朗贝尔方程）。
23．写出真空中标势与矢势的达朗贝尔方程的推迟势解。
24．简述对小电流分布区域在远场区的矢势进行多极展开的基本条件。
25．写出电磁波动量密度的表达式，以及它与能流密度的关系式，独立的静电场或静磁场存在动量吗？26．简述狭义相对论中的两条基本假设。
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第一章电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：B A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇A A A A )()(21∇⋅-∇=⨯∇⨯A 解：（1）)()()(c c A B B A B A ⋅∇+⋅∇=⋅∇B A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=c c c cB A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=（2）在（1）中令B A =得：A A A A A A )(2)(2)(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇，所以AA A A A A )()()(21∇⋅-⋅∇=⨯∇⨯ 即A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为1l 和2l ，电容率为1ε和2ε，今在两板接上电动势为E 的电池，求：（1）电容器两极板上的自由电荷面密度1f ω和2f ω； （2）介质分界面上的自由电荷面密度3f ω。
(若介质是漏电的，电导率分别为1σ和2σ 当电流达到恒定时，上述两物体的结果如何？)解：忽略边缘效应，平行板电容器内部场强方向垂直于极板，且介质中的场强分段均匀，分别设为1E 和2E ，电位移分别设为1D 和2D ，其方向均由正极板指向负极板。
当介质不漏电时，介质内没有自由电荷，因此，介质分界面处自由电荷面密度为03=f ω取高斯柱面，使其一端在极板A 内，另一端在介质1内，由高斯定理得：11f D ω= 同理，在极板B 内和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：22f D ω-= 在介质1和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：21D D =所以有111εωf E =，212εωf E =由于 E )(d 22111221111εεωεωεωll l l l E f f f +=+=⋅=⎰所以=-=21f f ωω E)(2211εεl l +当介质漏电时，重复上述步骤，可得：11f D ω=， 22f D ω-=， 312f D D ω=-213f f f ωωω--=∴介质1中电流密度 111111111//εωσεσσf ===D E J介质2中电流密度 2312222222/)(/εωωσεσσf f +===D E J由于电流恒定，21J J =，2312111/)(/εωωσεωσf f f +=∴1121212211223)1()(f f f ωεσσεωεσεσσεω-=-=∴再由 E 2211l E lE d +=⋅=⎰l E 得E )(221111122112111l l l f f f σσεωεσεωσεεω+=+=221111/σσεωl l f +=∴E 211212l l σσεσ+=E )(312f f f ωωω+-=211221l l σσεσ+-=E 211212213l l f σσεσεσω+-= E14.内外半径分别为a 和b 的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为f λ，板间填充电导率为σ的非磁性物质。
（1）证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消，因此内部无磁场。
（2）求f λ随时间的衰减规律。
（3）求与轴相距为r 的地方的能量耗散功率密度。
（4）求长度l 的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能减少率。
解：（1）以电容器轴线为轴作一圆柱形高斯面，其半径为r ，长度为L ，其中b r a <<则由高斯定理得：L D rL f ⋅=⋅λπ2（1）所以r D f πλ2=，tr J fD ∂∂=λπ21（2）再由电流连续性方程得：)/(/2t L t q J rL f f ∂∂-=∂-∂=⋅λπ（3）所以D ff J tr J -=∂∂-=λπ21 （4） 即f J 与D J 严格抵消，因此内部无磁场。
（2）由E J σ=f 得：r D J ff λπεσεσ⋅==2（5）联立（2）（4）（5）得0d d =+f f t λεσλ（6） 所以0d d =+t f f εσλλtf Ceεσλ-=（7）设初始条件为00f t fλλ==，则由（7）式得0f C λ=所以，t f f eεσλλ-=0（8）（3）222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==r E p f πελσσ（9）（4）将上式在长度为l 的一段介质内积分，得⎰⎰=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=Vb af f f a b l r rl r V r P ln 2d 22d 22222πεσλππελσπελσ（10） 由221E w ε=得：a b l r rl r V w W f ba f V ln 4d 2221d 2122πελππελε=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰ 所以ta b l t W ff d d ln 2d d λπελ⋅=（11） 由（6）（10）（11）得：tWP d d -=即总的能量耗散功率等于这段介质的静电能减少率。
第二章静电场1. 一个半径为R 的电介质球，极化强度为2/r K r P =，电容率为ε。
（1）计算束缚电荷的体密度和面密度： （2）计算自由电荷体密度； （3）计算球外和球内的电势；（4）求该带电介质球产生的静电场总能量。
解：（1）P ⋅-∇=p ρ2222/)]/1()/1[()/(r K r r K r K -=∇⋅+⋅∇-=⋅∇-=r r r)(12P P n -⋅-=p σR K R r r /=⋅==P e （2）)/(00εεεε-=+=P P E D 内200)/()/(r K f εεεεεερ-=-⋅∇=⋅∇=P D 内（3）)/(/0εεε-==P D E 内内r r fr KRr Ve e D E 200200)(4d εεεεπερε-===⎰外外r KRr )(d 00εεεεϕ-=⋅=⎰∞r E 外外 )(ln d d 00εεεεϕ+-=⋅+⋅=⎰⎰∞r R K R R r r E r E 外内内（4）⎰⎰⎰∞-+-=⋅=R Rr rr R K rr r K V W 42200222022202d 4)(21d 4)(21d 21πεεεεπεεεE D20))(1(2εεεεπε-+=K R9.（第十题参考）接地的空心导体球的内外半径为1R 和2R ，在球内离球心为a 处(a <1R )置一点电荷Q 。
用镜像法求电势。
导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是外表面？ 解：假设可以用球外一个假想电荷'Q 代替球内表面上感应电荷对空间电场的作用，空心导体球接'地，球外表面电量为零，由对称性，'Q 应在球心与Q 的连线上。
考虑球内表面上任一点P ，边界条件要求：0'/'/=+R Q R Q (1) 式R 为Q 到P 的距离，R’为'Q 到P 的距离，因此，对球面上任一点，应有=-=Q Q R R /'/'常数(2)只要选择'Q 的位置，使OPQ P OQ ∆∆~'，则==a R R R //'1常数 (3)设'Q 距球心为b ，则a R R b //11=，即a R b /21= (4)由（2）（3）两式得:a Q R Q /'1-=]/cos 2//cos 2[412124121220aR R a R R a Q R Ra a R Q θθπεϕ-+--+=导体内电场为零，由高斯定理可知球面上的感应电荷为Q -，分布于内表面。
由于外表面没有电荷，且电势为零，所以从球表面到无穷远没有电场，0=外ϕ。
10. 上题的导体球壳不接地，而是带总电荷0Q ，或使具有确定电势0ϕ，试求这两种情况的电势。
又问0ϕ与0Q 是何种关系时，两情况的解是相等的？解：由上题可知，导体球壳不接地时，球内电荷Q 和球的内表面感应电荷Q -的总效果是使球壳电势为零。
为使球壳总电量为0Q ，只需满足球外表面电量为0Q +Q 即可。
因此，导体球不接地而使球带总电荷0Q 时，可将空间电势看作两部分的迭加，一是Q 与内表面的Q -产生的电势1ϕ，二是外表面0Q +Q 产生的电势2ϕ。
]/cos 2//cos 2[412124121221aR R a R R aQ R Ra a R Qθθπεϕ-+--+=内，)(1R R <01=外ϕ，)(1R R ≥； 20024/)(R Q Q πεϕ+=内，)(2R R <； R Q Q 0024/)(πεϕ+=外，)(2R R ≥，所以 )(4/)()(4/)(21200200R R R R Q Q R R R Q Q ≤≤+=≥+=πεϕπεϕ)(]/cos 2//cos 2[41122124121220R R R Q Q aR R a R R aQ R Ra a R Q≤++-+--+=，θθπεϕ由以上过程可见，球面电势为2004/)(R Q Q πε+。
若已知球面电势0ϕ，可设导体球总电量为0'Q ，则有：02004/)'(ϕπε=+R Q Q ，即：20004/)'(R Q Q ϕπε=+电势的解为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+-+--+≤≤≥=)(]/cos 2//cos 2[41)()(/102124121220210220R R a R R a R R a Q R Ra a R Q R R R R R RR ϕθθπεϕϕϕ当0ϕ和0Q 满足20004/)(R Q Q πεϕ+=时，两种情况的解相同。
11.在接地的导体平面上有一半径为a 的半球凸部（如图），半Q θQ b a -Q ba Q-RPO球的球心在导体平面上，点电荷Q 位于系统的对称轴上，并与平面相距为b （b >a ），试用电象法求空间电势。
解：如图，根据一点电荷附近置一无限大接地导体平板和一点电荷附近置一接地导体球两个模型，可确定三个镜像电荷的电量和位置。
Q b a Q -=1，z b a e r 21=；Q b a Q =2，z b a e r 22-=；Q Q -=3，z b e r -=3，所以),20(,]cos 2cos 2cos 21cos 21[42242224222220a R R b ab a R b aR b a ba Rb aRb b R Rb b R Q ><≤-+++++++--+=πθθθθθπεϕ12. 有一点电荷Q 位于两个互相垂直的接地导体平面所 围成的直角空间内，它到两个平面的距离为a 和b ， 求空间电势。
解：用电像法，可以构造如图所示的三个象电荷来代替两导体板的作用。
--+-+-=22200)()()(1[4b z a y x x Q πεϕ2220)()()(1b z a y x x ++-+--)0,(,])()()(1)()()(122202220>++++-+-+++--z y b z a y x x b z a y x x13.设有两平面围成的直角形无穷容器，其内充满电导率为σ的液体。