小学五年级奥数 圆和扇形的周长与面积(二)
五年级奥数题解第二讲《不规则图形面积的计算(二)》[1]
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第二讲不规则图形面积的计算（二）不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”合并使用才能解决。
例1：如下图（1），在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆，求阴影部分的面积。
(1)(2)解法一：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到图（2）。
这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等。
所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。
解法二：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如图（3）所示。
阴影部分的面积是正方形面积的一半。
(3)(4)解法三：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如图（4）所示。
阴影部分的面积是正方形的一半。
例2：如下图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。
解：由容斥原理，S阴影=S扇形ACB＋S扇形ACD－S正方形ABCD=4π×AB2×2－AB2=4π×42×2－42=16×（2π－1）≈16×2214.3-=9.12（平方厘米）。
例3：如下图，矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形ABE半径AE=6厘米，扇形CBF的半径CB=4厘米。
求阴影部分的面积。
EB解：S阴景=S扇形ABE＋S扇形CBF－S矩形ABCD=41×π×62＋41×π×42－6×4=41×π（36＋16）－24=13π－24=15（平方厘米）（取π=3）例4：如下图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB=20厘米，如果阴影（1）的面积比阴影（2）的面积大7平方厘米，求BC长。
学而思培优之圆和扇形的周长与面积(二)
3
差不变——化不规则为规则
【例4】(★★★) ( ) 如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形 边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取 3.14) D A E
B
C
F
等积变形——化不可求为可求
【例5】(★★★★) 【例 】( ) 如图，矩形ABCD中，AB＝ 6厘米，BC＝ 4厘米，扇形ABE 半径AE ＝6 厘米，扇形CBF 的半径CB＝ 4厘米，求阴影部分的面积。(π 取3)
圆和扇形的周长与面积(二)
加油站
圆的周长
弓形： 弓形 弓形一般不要求周长 般不要求周长，主要求面积。 主要求面积。 弓形面积＝扇形面积－三角形面积。
C＝πd 或 C＝2πr
圆的面积
“弯角”：弯角的面积=正方形 弯角 ：弯角的面积=正方形-扇形 扇形
S＝πr2 扇形的弧长 C＝2 r
n 360
“谷子”： “谷子”的面积=弓形面积×2
整体考虑——柳暗花明 【例6】(★★★) (1)如图，求阴影部分的面积。( π取3)
北大附中“资优博雅杯”数学竞赛) (2)如图，阴影正方形的顶点分别是大正方形EFGH各边的中点，分别以 大正方形各边的一半为直径向外做半圆，再分别以阴影正方形的各边 为直径向外作半圆，形成8个“月牙形”。这8个“月牙形”的总面积 为32平方厘米 问大正方形EFGH的面积是多少？ 为32平方厘米，问大正方形 A E H C F B G D
从简单情况入手 从特殊到一般 【例7】(★★★★★) 传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有 10平方米。每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如下图)。那么， 阴影部分的面积是多少平方米？ 12 1 11 2 10
9 8 7 6 5 4
五年级奥数圆和扇形的周长与面积二
加油站
C B
答案：1
【例6】（★★★★）（北大附中“资优博雅杯”数学竞赛）（2）如图，阴影正方形的顶点分别是大正方形
各边的中点，分别以大正方形各边的一半为直径向外
各边的中点分别以大正方形各边的一半为直径向外
做半圆，再分别以阴影正方形的各边为直径向外作半
圆，形成个月牙形个月牙形
圆，形成8个“月牙形”。
这8个“月牙形”的总面积
为32平方厘米，问大正方形EFGH的面积是多少？
A
H
D
加加点睛
三个转化：化未知为已知；
化不规则为规则；为不可求为可求
四个基本方法：割补、变换、
差不变、整体、
重点例题：例1，例2，例3，例4，例5。
高思奥数导引小学五年级含详解答案第15讲：圆与扇形
第15讲：圆与扇形内容概述掌握圆与扇形的基本概念和性质，以及它们的周长和面积计算公式，并能熟练运用公式处理相关的几何问题；学习如何利用割补法和包含排除的思想计算图形中特定部分的面积；学会分析几何图形的运动过程，并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域。
典型问题兴趣篇1.已知一个扇形的圆心角为120︒，半径为2，这个扇形的面积和周长各是多少？（π取3.14）2.已知一个扇形面积为18.84平方厘米，圆心角为60︒，这个扇形的半径和周长是多少？（π取3.14）3.（1）根据图15-1所给的数值，求这个图形的外周长和面积。
（π取3.14）（2）如图15-2，有8个半径为1厘米的小圆，用它们圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心。
如果圆周率π取3.14，那么花瓣图形的周长和面积分别是多少？4.如图15-3，求各图形中阴部分的面积。
（图中长度单位为厘米，π取3.14）5.如图15-4，求各图中阴部部分的面积。
（图中长度单位为厘米，π取3.14）6.图15-5中甲区域比乙区域的面积大57平方厘米，且半圆的半径是10厘米。
其中直角三角形竖起的直角边的长度是多少？（π取3.14）7.求图15-6中阴影部分的面积。
（π取3.14）8.如图15-7，在33⨯的方格表中，分别以、A E 为圆心，3、2为半径，画出圆心角都是90︒的两段圆弧。
图中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）9.如图15-8，在一块面积为36平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板。
问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米？10.一条直线上放着一个长和宽分别为4厘米和3厘米的长方形Ⅰ（图15-9）。
让这个长方形绕顶点B 顺时针旋转90︒后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，A 点到达E 点的位置。
求A 点经过的总路程的长度。
（圆周率按3计算）拓展篇1.（1）已知一个扇形的半径为2厘米，弧长为3.14，这个扇形的面积是多少？ （2）已知一个半圆形的面积是56.52平方厘米，求这个半圆形的周长。
第二讲圆和扇形的周长与面积学案及详解[六年级秋]
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第二讲图形问题(二)————圆的周长与面积知识导航一、概念。
圆：到定点等于定长的点的集合叫做圆，其中定点叫做圆心，圆心用字母O表示。
圆的半径：从圆心到圆上任意一点之间的线段叫做圆的半径，用字母r表示。
在同一个圆中有无数条半径，所有半径长度都相等。
圆的直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径，直径用字母d表示。
在同一个圆里有无数条直径，所有直径长度都相等。
圆周率：圆的周长与它的直径的比值叫做圆周率，用字母π表示。
它是一个固定的数，是一个无限不循环小数（即无理数）。
圆的周长：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。
圆是轴对称图形，圆的直径所在的直线就是圆的对称轴，它有无数条对称轴。
二、常用公式。
用字母C、S分别表示圆的周长与面积，计算公式可以表示为：C=πd或C=2πr S=πr²三、解题策略数形结合、代换……精典例题例1：把一个圆切拼成一个宽等于半径的近似长方形后，周长增加12cm，那么这个圆的面积与周长各是多少？(2007年成都七中育才学校东区衔接班招生考试题1)思路点拨想一想：你能画出切拼图吗？并在图上标出切拼图与圆的关系吗？模仿练习把一个圆切拼成一个宽等于半径的近似长方形后，这个长方形的周长是33.12cm，那么这个圆的面积与周长各是多少？例2：在一个面积为20cm²的正方形中画一个最大的圆，这个圆的面积是多少？思路点拨想一想：在一个正方形中画一个最大的圆，这个圆与正方形有什么关系？如果从另一个角度想：要求圆的面积必须知道的最直接的条件是什么？友情提示：所谓的最直接的条件，就是指知道后可以只用一步计算就能回答问题的。
模仿练习在一个正方形中画一个最大的圆，这个最大圆的面积是15.7cm²，那么这个正方形的面积是多少？例3：图中阴影部分的面积是4cm²，环形面积是多少？(2004年成都七中育才东区初中招生考试题)思路点拨想一想：难吧！其实不难，把问题想简单一点儿！什么叫做圆环，圆环的面积怎么计算？想清楚后，你会发现这道题格外的简单！模仿练习如图，阴影部分的面积是60cm²，那么圆环的面积是多少？例4：如图所示，已知正方形的边长是3cm，那么阴影部分的面积是多少？思路点拨想一想，计算阴影部分面积的基本方法是什么？你认为关键是要先求出什么？现在你可以计算了吗？再想一想，还有没有更巧的方法呢？模仿练习已知下图长方形的长宽分别是6cm、4cm，分别以长、宽为半径作了两个直角扇形，计算阴影部分的面积。
小学五年级奥数 圆和扇形的周长与面积(二)
圆和扇形的周长与面积(二)本讲主线1. 不规则图形的求解4. 其他相关扇形:2. 差不变和等积变形弓形＝扇形－△弯角=正方形-扇形.r2. 圆的面积：S=πr2谷子=弓形面积×23. 扇形：在圆的基础上×360120°5 5【例2】(★★★)板块一:不规则图形的常用解法求图中阴影部分的面积。
（π取3）如图， ABCD是正方形，且 FA＝AD＝DE＝1，求阴影部分的面积。
(π取3.14 ) 45°45°20cm1【例4】(★★★)板块二:差不变和等积变形如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分【例3】(★★★☆)面积是多少？(圆周率取 3.14)DE 在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差。
(圆周率取3 )AC FB【例5】(★★★★)如图，矩形ABCD中，AB＝ 6厘米，BC＝ 4厘米，扇形ABE 半径AE ＝6厘米，扇形CBF 的半径CB＝ 4厘米，求阴影部分的面积。
（π取3）5. 圆中的直角三角形：顶点在圆上，并且经过圆心的三角形是直角三.C△ABC中，∠C＝90°r B【超常大挑战】(★★★★)已知AB、AC、BC分别为3个半圆的直径. 请证明：阴影部分的面积＝△ABC的面积. AB C 2知识大总结【今日讲题】1. 公式：圆＝π×r2n扇形＝圆×3602. 基本模型：弓形，弯角，谷子3. 不规则图形：割补、平移、旋转、对称4. 两个考点：⑴同加同减差不变⑵等积变形5. 一个模型：两个月亮换个三角A例1~超常大挑战【讲题心得】____________________________________________________________【家长评价】______________________________________________________________B C3。
学而思-----第二讲 圆和扇形的周长与面积
D
E
D
E
A
A
B
C
F
B
C
F
4、旋转法（例 6） 旋转法是本讲的重 点与难点，对于“羊吃草”的问题还是比较 简单的。关键是直线型旋转面积，学员无法 想到
直线旋转后所扫发到 过的面积，其实，由教师讲解后你会发现， 一般情况下直线所扫过一周的面积（有特例 ，如：钝
角三角形的长边绕钝角顶点旋转时）就是一个圆环的面积。所以旋转多少度就再乘以 即可。
够活动的最大范围是 多少？（
）
分析：如图，羊活动的范围是受绳子的牵制的，所以羊活动的最大范围即绳子 AE 所扫过的总面积。（三部分）
（1） 红色部分为按绳长 30 米所能达到的最大范围（绳子不受任何牵制），此图形为半径 30，
圆心角 270 度的扇形。
（2） 黄色部分为按绳长 10 米所能达到的最大范围（绳子受点 D 牵制），所以之后只能按半径
由第三个图可知：所求面积已转化为扇环的面积，圆心角度数为 120 度。所以 阴影=
（
）
S=
E
E
E
C
C
G
C
G
A
B
D
A
F
B
D
A
F
B
D
第二讲 圆和扇形的周长和面积 2.2
五年级秋季班 第二讲 圆和扇形的周长与面积
曹威
拓展练习：“羊吃草 ”问题
草场上有一个长 20 米，宽 10 米的关闭着的羊圈，在羊圈外的一角，用长 30 米的绳子拴着一只羊，问这只羊能
B
C
C
B
O
A
O
A
分析：与丄题同理 A 点移到 O 点，阴影面积变为扇形 OBC 的面积，注意：圆心角 COB=60 度。
小学五年级下同步奥数20讲(五年级秋季同步奥数校外培训资料)
第一讲：分数计算技巧（裂项）第二讲：分数计算技巧第三讲：圆和扇形的周长与面积（一）第四讲：圆和扇形的周长与面积（二）第五讲：分数应用题第六讲：燕尾模型第七讲：工程问题第八讲：因数与倍数——公因数公倍数第九讲：解分数系数方程第十讲：列分数系数方程解应第十一讲：多人相遇与追及第十二讲：多人相遇与追及第十三讲：因数与倍数——约数倍数综合运用第十四讲：游戏与对策（二）——数论类游戏第十五讲：比例应用题（一）——份数的应用第十六讲;完全平方数（一）第十七讲：数字谜综合（一）第十八讲：完全平方数（二）第十九讲：进位制与位值原第二十讲：本期重、难点归(美国长岛小学数学竞赛)111111223344556++++⨯⨯⨯⨯⨯(第五届《小数报》数学竞赛初赛计算题第3题)计算11111123420261220420+++++111111118244880120168224288+++++++(2009年迎春杯初赛六年级)计算111125=1335572325⎛⎫⨯++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭(第三届祖冲之杯邀请赛填空题第12题、人大附中入学测试题) 计算36579111357612203042++++++计算57911131517191612203042567290-+-+-+-+知识小结：1．黄金数列2．裂差：先裂再碎，掐头去尾。
抵消3．裂和凑整在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！1．1111112612203042+++++A．167B．117C．17D．672．111111112345676122030425672++++++A．12818B．72718C．12918D．728183．11111111111111 3610152128364555667891105120+++++++++++++A．18B．98C．78D．7104．2222......1335579799++++⨯⨯⨯⨯A．9899B．98199C．199D．11995．12＋56＋1112＋……＋109110A．101011B．91011C．9111D．101116．179111315131220304256-+-+-A．18B．98C．78D．710(10＋876＋312)×(876＋312＋918)－(10＋876＋312＋918) ×(876＋312)2009年第14届华杯赛决赛试题C 卷1111111111111111())()5791179111357911137911+++⨯+++-++++⨯++（）（1．(迎春杯竞赛试题)1111111111112200723200822008232007⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-+++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2．(迎春杯竞赛试题)621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(祖冲之杯竞赛试题)111111212312100++++++++++1＋2＋4＋8＋…＋512 ＝？知识小结：1、换元抵销法2、通项抵消找规律3、借来还去在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！1．(1＋0.12＋0.23)⨯(0.12＋0.23＋0.34)－(1＋0.12＋0.23＋0.34)⨯(0.12＋0.23) A．0.12 B．0.34 C．0.23 D．0.562．11111111111111(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++A．12B．13C．14D．153．321345432345432123321345432123345432 ()()()() 123234543234543321123234543321234543 ++⨯++-+++⨯+ A．1 B．2 C．3 D．44．573734573473()()()() 123217321713123217133217 ++⨯++-+++⨯+A．512B．413C．395D．5265．11111212312341299+++⋅⋅⋅+++++++++⋅⋅⋅+A．14950B．1150C．4950D．11506．计算：12＋14＋18＋116＋132＋164A．16364B．1164C．6364D．164圆是最美的图形1．圆上各点到圆心的距离相等。
圆与扇形的周长和面积
例题
5.草场上有一个长20米，宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米
的绳子拴着一只羊（如图）。问：这只羊能够活动的区域面积有多大？
ห้องสมุดไป่ตู้
（π取3.14）
2512平方米
练习
1.一只狗被拴在一个边长为3米的等边三角形建筑物的墙角上（见图）， 绳长是4米，求狗所能到的地方的总面积。（π取3.14）
43.96平方米
练习
1.在一个周长为20毫米的硬纸正方形内，要剪下一个最大的圆，这 个圆的直径是 5毫米 ；半径是 2.5毫米 ；周长是 15.7毫米 ； 面积是 19.625平方毫米 。（π取3.14）
2.在一个长10厘米，宽8厘米的长方形内，画一个最大的圆，这个 圆的直径是 8厘米 ；半径是 4厘米 ；周长是25.12厘米；面 积是 50.24平方厘米 。（π取3.14）
2.牧场上有一个正方形的木屋，木屋的边长是4米，在木屋的一角用一 根8米长的绳子拴着一只羊，这只羊能吃到的草地的面积是多少平方米？ （π取3.14）
175.84平方米
结束 谢谢观看
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2.判断正误 × ①从圆内到圆上任意一点的线段叫做半径。 × ②通过圆并且两端都在圆上的线段，叫做直径。 × ③所有的半径都相等，所有的直径都相等。 √ ④周长相等的两个圆，它们的面积也一定相等。
例题
2.在一个周长是80厘米的正方形中画一个最大的圆，这个圆的直 径是 20厘米 ；半径是 10厘米 ；周长是 62.8厘米 ；面积 是 314平方厘米 ；剩下部分的面积是是 86平方厘米 。 （π取3.14）
例题
4.将长为628毫米长的细钢丝在一根圆铁棒上刚好绕10圈，这根圆铁棒 的横截面是 314 平方毫米。（π取3.14）
圆和扇形周长与面积
为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。
刘徽——割圆术
魏晋时期数学家 所谓“割圆术”就是圆内接正多边形的周长去无限 逼近于圆的周长，并以此求圆周率的方法。
割之弥细，所失弥少。 割之又割，以至于不可割。 则与圆合体而无所失矣。
圆周率
圆周率用字母π （读作pài）表示，约等于 3.141592654……，是个无限不循环小数。
360分之1
l 1 2πr 1 πr
1° R
360
180
n°圆心角所对弧长是圆周长 的几分之几，弧长是多少？
360分之n
l n 2πr n πr
360
180
判断
1、圆心角相等，所对弧的长也相等。（ ）
2、如果一条圆弧所对的圆心角是45°，
那么这条圆弧的长与所在圆的周长的
比的比值是 1
2. 弧长
弧长
圆上 A、B 两点之间的部分就叫做弧，
记作： AB 读作：弧AB 。
∠AOB称为圆心角。
圆心角就是以圆心为顶点，以半径 为两边所组成的角。
记作： AOB
读作：角AOB
B
圆心角 O
A
90°圆心角所对的弧长是圆 周长的几分之几？
90° R
1°圆心角所对弧长是圆周长 的几分之几，弧长是多少？
解：Ｒ轨=500+6400=6900 Ｃ轨=2πＲ轨=2×3.14×6900 =43332 14Ｃ轨=43332×14=606648(千米)
答：卫星围绕地球一共飞行了约606648千米.
例题3：有一个圆环，圆环的外圆周长 C1=250cm，内圆周长C2=150cm，求圆环的宽度 d（精确到0.1cm)。
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【例2】(★★★) 求图中阴影部分的面积。（ π取3）
45°45°
20 cm
1
板块二:差不变和等积变形
【例3】(★★★☆) 在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积 差。(圆周率取3 )
【例4】(★★★)
如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分
面积是多少？(圆周率取 3.14)
已知AB、AC、BC分别为3个半圆的直径. 请证明：阴影部分的面积＝
△ABC的面积.
A
B
C2
知识大总结
1.
公式：圆＝π×r2 扇形＝圆×
n
360 2. 基本模型：弓形，弯角，谷子
3. 不规则图形：割补、平移、旋转、对称
4. 两个考点：
⑴同加同减差不变
⑵等积变形
5. 一个模型：两个月亮换个三角
A
B
D
E
A
B
C
F
【例5】(★★★★) 如图，矩形ABCD中，AB＝ 6厘米，BC＝ 4厘米，扇形ABE 半径AE ＝6 厘米，扇形CBF 的半径CB＝ 4厘米，求阴影部分的面积。（π 取3）
5. 圆中的直角三角形：顶点在圆上，并且经过圆心的三角形是直角三 角形. 例如：
C
A
△ABC中，∠C＝90°
rB
【超常大挑战】(★★★★)
本讲主线
圆和扇形的周长与面积(二)
1. 不规则图形的求解
2. 差不变和等积变形
1. 圆的周长 ：C=πd 或 C=2πr
r
2. 圆的面积：S=πr2
3.
扇形：在圆的基础上× n 360
120°
5
5
4. 其他相关扇形: 弓形＝扇形－△ 弯角=正方形-扇形
谷子=弓形面积×2
板块一:不规则图形的常用解法
【例1】(★★★) 如图， ABCD是正方形，且 FA＝AD＝DE＝1，求阴影部分的面积。(π 取3.14 )
3
【今日讲题】 例1~超常大挑战
【讲题心得】 ______________________________________________________________
【家长评价】 ______________________________________________________________