学而思培优之圆和扇形的周长与面积(二)
第2讲圆、扇形的面积与周长(二)
第2讲圆形、扇形的面积与周长（二）重点摘要本讲主要讲授利用等积变形，重叠等方法求解圆形、扇形的面积与周长。
以及求解圆形、扇形与其他平面图形所组成的平面组合图形的面积。
精讲精练例题1、有七根直径5cm 的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒成一捆（如图所示），此时橡皮筋的长度是多少？(π取3.14)练习1、如下图所示,圆的周长为15.7分米,圆的面积是长方形面积的32,问图中阴影部分的周长是多少分米?(π=3.14)例题2、如图，图①和图②是两个相同的正方形，图①中阴影部分是4个圆，图②中阴影部分是9个圆。
那么图中阴影部分的面积大？为什么？练习2、下左图是一个圆环，L 是圆环内最长的线段，下右图是以L 为直径的圆。
问：下左图的圆环与下右图的圆相比，谁的面积大？L L例题3、如下图，等边三角形边长是10厘米，那么阴影部分的周长是厘米？(π取3.14)练习3、如图所示，图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积是7平方厘米，∠ABC＝30度，求阴影部分的面积（π取3.14，得数保留两位小数）。
例题4、如图所示,阴影部分的面积是200平方厘米，求两个圆之间的圆环面积。
(π取3.14)练习4、在正方形ABCD中，AC＝6厘米。
求阴影部分的面积。
例题5、如图所示，求图中阴影部分的面积（π取3.14）。
练习5、图中阴影部分的面积是多少平方厘米?（π取3.14）例题6、求图中阴影部分的面积（π取3.14）。
练习6、等腰直角三角形的一腰的长是8厘米，以它的两腰为直径分别画了两个半圆，那么阴影部分的面积共有多少平方厘米?(π取3.14)【拓展题】如图正方形边长为1,则阴影部分面积为多少？。
（结果保留π）【课堂练习】1、求图形中阴影部分的面积（π取3.14）。
2、右图是由五个圆所构成的，其中总共有3种不同长度的直径，且有部分的圆彼此相切，如图所示。
若最大圆内白色部分的总面积是20cm2，则其中阴影部分的面积是多少平方厘米？3、三角形ABC是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28平方厘米.AB长40厘米,BC长多少厘米？（π取3.14）4、下图三个圆的半径都是5厘米，三个圆两两相交于圆心。
五年级奥数圆和扇形的周长与面积二
加油站
C B
答案：1
【例6】（★★★★）（北大附中“资优博雅杯”数学竞赛）（2）如图，阴影正方形的顶点分别是大正方形
各边的中点，分别以大正方形各边的一半为直径向外
各边的中点分别以大正方形各边的一半为直径向外
做半圆，再分别以阴影正方形的各边为直径向外作半
圆，形成个月牙形个月牙形
圆，形成8个“月牙形”。
这8个“月牙形”的总面积
为32平方厘米，问大正方形EFGH的面积是多少？
A
H
D
加加点睛
三个转化：化未知为已知；
化不规则为规则；为不可求为可求
四个基本方法：割补、变换、
差不变、整体、
重点例题：例1，例2，例3，例4，例5。
扇形周长和面积公式弧度制
扇形周长和面积公式弧度制
以《扇形周长和面积公式弧度制》为标题，本文旨在讨论扇形在弧度制中的周长和面积的计算公式。
扇形是椭圆的一种特殊形式，其定义常以弧度制来表示，即一个有指定半径和弧段的圆形。
它与圆形在概念上具有相似性，但是比圆形有更多的功能，因此有许多应用。
例如，扇形经常用于制图和地理教学，并且经常用于建筑领域，如天花板或扇形墙等。
因此，如何以弧度制计算扇形的周长和面积对专业人士具有重要的意义。
首先，让我们以弧度制讨论扇形的周长。
计算扇形周长的公式是2πr，其中r是指扇形的半径，θ(弧度)是指扇形的弧度。
因此，当计算扇形周长时，我们首先需要计算扇形的半径和弧度值，然后将这两个数字相乘，结果就是扇形的周长。
例如，如果一个扇形的半径为5，其弧度为2π，则该扇形的周长为2π*5=10π。
其次，让我们以弧度制讨论扇形的面积。
计算扇形面积的公式为r2θ，其中r是指扇形的半径，θ(弧度)是指扇形的弧度。
因此，当计算一个扇形的面积时，我们需要先计算出该扇形的半径和弧度，然后将这两个数字相乘，结果就是该扇形的面积。
例如，如果一个扇形的半径是5，其弧度值为2π，则该扇形的面积为5×5×2π=50π。
最后，弧度制是一种常见的坐标系统，它的应用非常广泛，而扇形的周长和面积也是在弧度制下计算的。
以上是有关以弧度制计算扇形周长和面积的简要介绍，期望对读者有所帮助。
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第二讲圆和扇形的周长与面积学案及详解[六年级秋]
![第二讲圆和扇形的周长与面积学案及详解[六年级秋]](https://img.taocdn.com/s3/m/100c3e80f524ccbff121843f.png)
第二讲图形问题(二)————圆的周长与面积知识导航一、概念。
圆：到定点等于定长的点的集合叫做圆，其中定点叫做圆心，圆心用字母O表示。
圆的半径：从圆心到圆上任意一点之间的线段叫做圆的半径，用字母r表示。
在同一个圆中有无数条半径，所有半径长度都相等。
圆的直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径，直径用字母d表示。
在同一个圆里有无数条直径，所有直径长度都相等。
圆周率：圆的周长与它的直径的比值叫做圆周率，用字母π表示。
它是一个固定的数，是一个无限不循环小数（即无理数）。
圆的周长：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。
圆是轴对称图形，圆的直径所在的直线就是圆的对称轴，它有无数条对称轴。
二、常用公式。
用字母C、S分别表示圆的周长与面积，计算公式可以表示为：C=πd或C=2πr S=πr²三、解题策略数形结合、代换……精典例题例1：把一个圆切拼成一个宽等于半径的近似长方形后，周长增加12cm，那么这个圆的面积与周长各是多少？(2007年成都七中育才学校东区衔接班招生考试题1)思路点拨想一想：你能画出切拼图吗？并在图上标出切拼图与圆的关系吗？模仿练习把一个圆切拼成一个宽等于半径的近似长方形后，这个长方形的周长是33.12cm，那么这个圆的面积与周长各是多少？例2：在一个面积为20cm²的正方形中画一个最大的圆，这个圆的面积是多少？思路点拨想一想：在一个正方形中画一个最大的圆，这个圆与正方形有什么关系？如果从另一个角度想：要求圆的面积必须知道的最直接的条件是什么？友情提示：所谓的最直接的条件，就是指知道后可以只用一步计算就能回答问题的。
模仿练习在一个正方形中画一个最大的圆，这个最大圆的面积是15.7cm²，那么这个正方形的面积是多少？例3：图中阴影部分的面积是4cm²，环形面积是多少？(2004年成都七中育才东区初中招生考试题)思路点拨想一想：难吧！其实不难，把问题想简单一点儿！什么叫做圆环，圆环的面积怎么计算？想清楚后，你会发现这道题格外的简单！模仿练习如图，阴影部分的面积是60cm²，那么圆环的面积是多少？例4：如图所示，已知正方形的边长是3cm，那么阴影部分的面积是多少？思路点拨想一想，计算阴影部分面积的基本方法是什么？你认为关键是要先求出什么？现在你可以计算了吗？再想一想，还有没有更巧的方法呢？模仿练习已知下图长方形的长宽分别是6cm、4cm，分别以长、宽为半径作了两个直角扇形，计算阴影部分的面积。
六年级上奥数第7讲 圆与扇形(二)
六秋第7讲 圆与扇形（二）
一、教学目标
圆的周长 = 直径×圆周率，用字母表示为：C = πd ，或C=2πr
圆的面积S=πr ² 或 S= 14 πd 2 扇形弧长计算公式是L=2360⨯n πr=⨯180n πr,扇形面积计算公式是S=⨯360
n πr 2
二、例题精选 【例1】 如右图,扇形弧长6.28厘米,圆心角是120°，求扇形的面积。
【巩固1】右图中扇形的半径为8cm,弧长为6.28cm ，求圆心角的度数。
【例2】 如右图，圆内接正方形的边长为10cm ，求圆的面积。
【巩固2】正方形的周长是80厘米，用这张纸剪成一个最大的圆，圆的面积是多少平方米？
【例3】 图中扇形的半径OA =OB=6厘米.∠AOB=45°, AC 垂直OB 于C ,那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？
（π=3.14）
【巩固3】如图O是圆心，圆中直角三角形的面积是25平方厘米，求阴影部分的面积？
O
【例4】直经均为2米的四根管子被一根金属带紧紧地捆在一起,试求金属带的长度和阴影部分的面积。
【巩固4】右图中每个小圆的半径是10厘米，外围被一条金属带捆在一起。
求金属带长度和阴影部分的面积是多少？
【例5】如图所示,阴影部分的面积是200平方厘米，求两个圆之间的圆环面积。
【例6】牧场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊。
问：这只羊能够活动的范围有多大？。
学而思-----第二讲 圆和扇形的周长与面积
D
E
D
E
A
A
B
C
F
B
C
F
4、旋转法（例 6） 旋转法是本讲的重 点与难点，对于“羊吃草”的问题还是比较 简单的。关键是直线型旋转面积，学员无法 想到
直线旋转后所扫发到 过的面积，其实，由教师讲解后你会发现， 一般情况下直线所扫过一周的面积（有特例 ，如：钝
角三角形的长边绕钝角顶点旋转时）就是一个圆环的面积。所以旋转多少度就再乘以 即可。
够活动的最大范围是 多少？（
）
分析：如图，羊活动的范围是受绳子的牵制的，所以羊活动的最大范围即绳子 AE 所扫过的总面积。（三部分）
（1） 红色部分为按绳长 30 米所能达到的最大范围（绳子不受任何牵制），此图形为半径 30，
圆心角 270 度的扇形。
（2） 黄色部分为按绳长 10 米所能达到的最大范围（绳子受点 D 牵制），所以之后只能按半径
由第三个图可知：所求面积已转化为扇环的面积，圆心角度数为 120 度。所以 阴影=
（
）
S=
E
E
E
C
C
G
C
G
A
B
D
A
F
B
D
A
F
B
D
第二讲 圆和扇形的周长和面积 2.2
五年级秋季班 第二讲 圆和扇形的周长与面积
曹威
拓展练习：“羊吃草 ”问题
草场上有一个长 20 米，宽 10 米的关闭着的羊圈，在羊圈外的一角，用长 30 米的绳子拴着一只羊，问这只羊能
B
C
C
B
O
A
O
A
分析：与丄题同理 A 点移到 O 点，阴影面积变为扇形 OBC 的面积，注意：圆心角 COB=60 度。
2013学而思五年级春季下学期超长123班讲义学案试题813讲
第八讲 圆与扇形进阶圆的面积＝π2r ；扇形的面积＝π2r ×360n ；圆的周长＝2πr ；扇形的弧长＝2πr ×360n。
二5.传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有10平方米。
每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如图)。
那么，阴影部分的面积是_______平方米。
作业4，图中正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是多少？作业5.在图中所示的正方形ABCD 中，对角线AC 长2厘米，扇形ADC 是以D 为圆心，以AD 为半径的圆的一部分，求阴影部分的面积？π=3.14作业6.图中正方形的边长为20厘米，中间的三段圆弧分别以为圆心，求阴影部分的面积？第九讲 比较与估算 一.大小比较1.通分2.化成小数3.倒数法4.参考值法5.交叉相乘 6、糖水原理 1.ab ＜c a db ++＜cd 7.糖水原理 2.a b＜m a m b ++二.估算1、整体放缩2、部分放缩3、中项放缩4、分组放缩 一1.把32、53、75、1915按照从小到大的顺序排列。
一2.将250131、4021、0.5、0.52、0.5 从小到大排列，第三个数是_______。
一3.比较大小：2713和5728；1111111和111111111。
交叉相乘若ab ＞cd (a 、b 、c 、d 为正整数)，则bc ＞ad 。
一5.下式中五个分数都是最简真分数，要使不等式成立，这些分母的和最小是多少？ (__)1＞(__)2＞(__)3＞(__)4＞(__)5一.7设321311301++=a ，521511501491481++++=b ，则在a 与b 中，较大的数是______。
参考值法 二6.将178、2413、3518、5931按从小到大的顺序排列。
糖水原理－结论1 若0＜ab ＜cd ＜1，则ab ＜ca db ++＜cd导问4.如果一个班的女生人数占全班人数的31和83之间，这个班至少有多少人？补充.54＜?25＜65糖水原理－结论2 若0＜ab ＜1，m ＞0，则ab ＜ma mb ++原理解读：(1)横向看：分子分母同时“+”一个常数，分数值变大；(2)纵向看：每个分数的“分母－分子”差是相同的，也就是说这个糖水原理的应用条件是：如果“分母－分子”差不同，可以通过扩倍变成差相同，之后就可以应用糖水原理 二2(2).比较75、2320、3329、161149的大小。
圆与扇形进阶 培优奥数课件 小学数学六年级
知识精讲 捆绳问题的秘密
捆绳问题总结 基本方法 确定圆心，连点作答，应用公式。 规律总结 绳子的长度＝外圈圆的个数×直径+圆的周长
知识精讲 旋转与轨迹
若线段绕某个点顺时针或逆时针进行旋转，旋转的线段的 长度即圆的半径，旋转360º所形成的图形是圆形，旋转其 他较小的度数，所形成的图形是扇形。
做此类题型时，千万要注意避开单位坑，注意 已知条件与问题单位的异同，计算后，进行单 位换算，单位变小，数要变大。单位变大，数 要变小。
10×10＝100 3.14×10²÷4＝78.5 100－78.5＝21.5
例题8 下面3幅图中互相垂直的两条线段的长度均为10，求各图阴影部分 的面积。
3.14×10² ÷4＝78.5 78.5×2＝157 10×10＝100 157－100＝57
例题9
下图中圆的周长是20厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等， 则图中阴影部分的周长是多少厘米？ 设长方形的长为a,则πr² ＝ar，由此可 得，a＝πr。 由此得，阴影部分周长由四分之一圆+一 个圆的周长组成，列式可得。 20÷4+20＝5+20＝25(厘米 )
每份的面积 (16π )÷(2π ) ＝8 正方形面积 8×4＝32 小圆面积 8π
答 正方形的面积是32，里面小圆的面积是8π。
例题6 一根绳子将三根圆形的木头紧密地捆在了一起，已知一根木头的横 截面是半径为4的圆，求绳子的长度。 圆的周长 3.14×2×4＝25.12
圆的六条半径 4×6＝24
知识精讲 解几何问题的解题技巧
1.转化思想。也就是复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟 悉的。 2.等积变形。割补，平移，旋转，平行线间进行等积变形。 3.借来还去。加减法。 4.外围入手，曲线救国。从会求的图形或者能求的图形入 手，看与要求的部分之间的关系。 5.容斥原理。实际上这种思想是贯穿于加减法始终的。我 们把两部分面积加起来，去掉总面积，剩下的就是重叠部 分面积。 6.差不变原理。同加同减差不变。 7.整体减空白，用大图形的面积减去小图形的面积。
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差不变——化不规则为规则
【例4】(★★★) ( ) 如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形 边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取 3.14) D A E
B
C
F
等积变形——化不可求为可求
【例5】(★★★★) 【例 】( ) 如图，矩形ABCD中，AB＝ 6厘米，BC＝ 4厘米，扇形ABE 半径AE ＝6 厘米，扇形CBF 的半径CB＝ 4厘米，求阴影部分的面积。(π 取3)
圆和扇形的周长与面积(二)
加油站
圆的周长
弓形： 弓形 弓形一般不要求周长 般不要求周长，主要求面积。 主要求面积。 弓形面积＝扇形面积－三角形面积。
C＝πd 或 C＝2πr
圆的面积
“弯角”：弯角的面积=正方形 弯角 ：弯角的面积=正方形-扇形 扇形
S＝πr2 扇形的弧长 C＝2 r
n 360
“谷子”： “谷子”的面积=弓形面积×2
整体考虑——柳暗花明 【例6】(★★★) (1)如图，求阴影部分的面积。( π取3)
北大附中“资优博雅杯”数学竞赛) (2)如图，阴影正方形的顶点分别是大正方形EFGH各边的中点，分别以 大正方形各边的一半为直径向外做半圆，再分别以阴影正方形的各边 为直径向外作半圆，形成8个“月牙形”。这8个“月牙形”的总面积 为32平方厘米 问大正方形EFGH的面积是多少？ 为32平方厘米，问大正方形 A E H C F B G D
从简单情况入手 从特殊到一般 【例7】(★★★★★) 传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有 10平方米。每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如下图)。那么， 阴影部分的面积是多少平方米？ 12 1 11 2 10
9 8 7 6 5 4
3
利用图形的特殊性质
加 加 点 睛
三个转化：化未知为已知； 化不规则为规则；为不可求为可求 五个基本方法：割补、变换、 个基本方法 割补 变换 差不变、容斥、整体、 重点例题：例1 例2 例3 例4 例5 重点例题：例1，例2，例3，例4，例5
2 扇形的面积 S ＝ r
n 360
【例1】(★★★) 如图， ABCD是正方形，且 FA＝AD＝DE＝1，求阴影部分的面积。 (π取3.14 )
化未知为已知 【例2】(★★★) 求图中阴影部分的面积。( π取3) 求图中阴影部分的面积
45 45° 45 45°
20 cm
1
几何变换——化不规则为规则 【例3】(★★★) 在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积 差。(圆周率取3 )