zltlover的结构动力学笔记
结构动力学4
4.1 无阻尼体系的简谐振动
稳态反应 ：
p0 1 u (t ) sin t 2 k 1 ( / n )
u0—稳态反应的振幅：
p0 1 u0 k 1 ( / n ) 2
ust—等效静位移，或静位移： Rd—动力放大系数：
p0 u st k
u0 1 Rd 2 u st 1 ( / n )
(1) 当
1 2 1 2
时， Rd 1 ，即体系不发生放大反应。
(2) 当
时， ( Rd ) max
1 2 1 2 1 。 2
, (
) 峰值 1 2 2 。 n
(3) 当 / n 1 （共振时） ， Rd (4) 当 / n
2
4.2 有阻尼体系的简谐振动
通解uc对应于有阻尼自由振动反应：
uc (t ) e
nt
( A cos Dt B sin Dt )
特解up可以设为如下形式 :
u p (t ) C sin t D cost
p0 2 n u n u u sin t m
通解对应的方程是一个自由振动方程，其解uc 为无阻尼自由振动：
u c (t ) A cos n t B sin n t
n k / m
c - complementary
4.1 无阻尼体系的简谐振动
ku p0 sin t mu
特解—满足运动方程的解，记为up(t) ，是由动 荷载p0sinωt直接引起的振动解。 设特解为：u p (t ) C sin t D cost
待定系数A、B由初值条件确定
A u (0) (0) p0 / n u B 2 n k 1 ( / n )
结构动力学ch4-1
T [ S ] [ A][S ]，而其中每一次分 实现所想达到的最终旋转
步旋转则是通过正交矩阵 [ S ] 所实现。
9
i
§4.1 矩阵特征值问题及解法
若[A]经过i-1次分布旋转后，已成为矩阵 [ A]i ，设其绝对值最 大的非对角线元素为A pq ，则 [ S ]i 可取为
[M ] [ L][L]T
4
§4.1 矩阵特征值问题及解法
[M ] [ L][L]
T
[L] 为对角元素不为零的下三角矩阵。
[k ]{} 2[M ]{}
([ A] [ I ]){x} 0
广义特征值问题
标准特征值问题
([ A] [ I ]){x} 0 1 T T [ A] [ L] [ K ][L] , {} [ L] {x},
2
[K]是对称的，矩阵[A]也具有对称性。 所有对称矩阵特征值问题的算法均可以得到利用。 如果矩阵[K]是正定的，也可将其进行Cholesky分解，得到类似 5 于方程的标准特征值问题。
§4.1 矩阵特征值问题及解法
Cholesky分解:
l11 l l 22 21 [ L] l n1 l n 2 v11 v v 22 21 T [ L] v nl v n 2 l nn v nn
6
§4.1 矩阵特征值问题及解法
3、标准特征值问题解法
特征值问题: 一是求解它的全部特征值问题，即所有的特征值和对应的特征 向量；
另一是求解它的部分特征值问题，即部分（通常是最小或最大 的一部分）特征值和对应的特征向量。
高等结构动力学讲义概要共88页
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
结构动力学读书笔记
读书笔记——读《结构动力学》1.1 结构动力学计算的目的和特点结构动力学主要研究在动荷载作用下结构的位移和内力（以后统称为动力反应）的计算原理和计算方法。
结构动力分析要解决的问题有：地震作用下建筑结构、桥梁、大坝的振动；风荷载作用下大型桥梁、高层结构的震动；机器转动产生的不平衡力引起的大型机器基础的振动；车辆运行中由于路面不平顺引起的车辆振动及车辆引起的路面振动；爆炸荷载作用下防护工事的冲击动力反应等等，量大而面广。
结构动力破坏的特点是突发性、毁灭性、波及面大等。
结构动力分析的目的是确定动力荷载作用下的结构内力和变形；通过动力分析确定结构动力特性等。
结构动力学研究结构体系的动力特性及其在动力荷载作用下的动力反应分析原理和方法的一门理论和技术学科。
该学科的目的在于为改善工程结构体系在动力环境中的安全性和可靠性提供坚实的理论基础。
结构动力计算的特点为：a.动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问题复杂且要消耗更多的计算时间。
b.与静力问题相比，由于动力反应中结构的位移随时间迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要影响。
结构动力学和静力学的本质区别为是否考虑惯性力的影响。
结构产生动力反应的内因（本质因素）是惯性力。
惯性力的出现使分析工作变得复杂，而对惯性力的了解和有效处理又可使复杂的动力问题分析得以简化。
在结构动力反应分析中，有时可通过对惯性力的假设而使动力计算大为简化，如在框架结构地震反应分析中常采用的层模型。
惯性力的产生是由结构的质量引起的，对结构中质量位置及其运动的描述是结构动力分析中的关键，这导致了结构动力学和结构静力学中对结构体系自由度定义的不同。
动力自由度（数目）：动力分析中为确定体系任一时刻全部质量的几何位置所需要的独立参数的数目。
独立参数也称为体系的广义坐标，可以是位移、转角或其它广义量。
1.2 载荷确定载荷有三个因素，即大小、方向和作用点。
如果这些因素随时间缓慢变化，则在求解结构的响应时，可把载荷作为静载荷处理以简化计算。
结构动力学方程及有限元方程
8.4 振动系统响应分析
• 式中
——固有频率的对角阵。
• n 自由度无阻尼系统自由振动的动力学方程解耦后就转换为n 个独立 的微分方程的求解问题。求出特征方程的n 个特征值和对应的特征向 量后，就得到振动方程的n 个线性无关的特解，则式（8.66）可以写 为：
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8.4 振动系统响应分析
• 8.4.1 响应的分析方法
• 振动响应的分析方法主要有两种，一种是以系统主振型为基础的振型 叠加法，另一类是数值积分法。
• 8.4.2 无阻尼系统的自由振动
• 无阻尼系统自由振动的运动微分方程为：
• 令：
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8.4 振动系统响应分析
• 对振动方程进行正则变换后可得到： • 方程左乘以[Φ ]T ，得： • 由振型向量的正交性得：
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8.2 单元特性矩阵
• （3）矩形平面单元的一致质量矩阵为：
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8.3 固有特性分析
• 结构的固有特性由结构本身（质量与刚度分布）决定，而与外部载荷 无关，它可以由一组模态参数来定量描述。固有特性包括固有频率、 模态振型、模态质量、模态刚度以及模态阻尼比等。
• 固有特性分析就是对模态参数进行计算，其目的主要是避免结构出现 共振和有害的振型，同时为响应分析提供必要的依据。
阻尼力
（其中ρ 为材料的密度，v 是线性阻尼系数）
• ，则外力所做的虚功为：
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8.1 结构动力学方程及有限元方程
• 式中
——作用于单元上的动态体积力、
• 动态表面力和动态集中力； • V——单元体积； • S——单元面积。
[美]R.克里夫《结构动力学》补充详解及习题解
![[美]R.克里夫《结构动力学》补充详解及习题解](https://img.taocdn.com/s3/m/198055225627a5e9856a561252d380eb629423b8.png)
前言结构动力学是比较难学的一门课程，但是你一旦学会并且融会贯通，你就会为成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。
结构动力学学习的难点主要有以下两个方面。
1 概念难理解，主要表现在两个方面，一是表达清楚难，如果你对概念理解的很透彻，那么你写的书对概念的表述也会言简意赅，切中要害（克里夫的书就是这个特点），有的书会对一个概念用了很多文字进行解释，但是还是没有说清楚，也有的书受水平限制，本身表述就不清楚。
二是理解难，有点只可意会不可言传的味道，老师讲的头头是道，自己听得云山雾绕。
2 公式推导过程难，一是力学知识点密集，推导过程需要力学概念清析，并且需要每一步的力学公式熟悉；二是需要一定的数学基础，而且有的是在本科阶段并没有学习的数学知识。
克里夫《结构动力学》被称为经典的结构动力学教材，但是也很难看懂。
之所以被称为经典，主要就是对力学的概念表达的语言准确，概念清楚。
为什么难懂呢？是因为公式的推导过程比较简单，省略过多。
本来公式的推导过程既需要力学概念清楚也需要数学公式熟悉，但是一般人不是力学概念不清楚，就是数学公式不熟悉，更有两者都不熟悉者。
所以在学习过程中感觉很难，本学习详解是在该书概念清楚的基础上，对力学公式推导过程进行详细推导，并且有的加以解释，帮助你在学习过程中加深理解和记忆。
达到融会贯通，为你成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。
以下黑体字是注释，其它为原书文字。
[美] R∙克里夫《结构动力学》辅导学习详解第1章结构动力学概述… …第Ⅰ篇单自由度体系第2章基本动力体系的组成… …§2-5 无阻尼自由振动分析如上一节所述，有阻尼的弹簧-质量体系的运动方程可表示为mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=p(t)（2-19）其中ν(t)是相对于静力平衡位置的动力反应；p(t)是作用于体系的等效荷载，它可以是直接作用的或是支撑运动的结构。
为了获得方程（2-19）的解，首先考虑方程右边等于零的齐次方程，即mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=0（2-20）mv(t)+kν(t)=0（2-20a）此处公式应该为mv(t)+kν(t)=0，因为该节是无阻尼自由振，而且（2-20）的解，式（2-21）也是公式mv(t)+kν(t)=0的解在作用力等于零时产生的运动称为自由振动，现在要研究的即为体系的自由振动反应。
结构动力学原理
结构动力学原理最近在研究结构动力学原理，发现了一些有趣的原理，今天就来跟大家分享分享。
你们有没有观察过那种高层建筑物在大风天的样子啊？就像那种很高的写字楼，风一吹，感觉大厦在微微晃动，就好像一个巨人在风中轻轻地摇摆。
这其实就跟结构动力学原理有关。
简单来说，建筑结构是有自身的振动特性的。
当外部的作用力，像风啊、地震这些按照一定的频率作用在建筑物上时，如果这个频率和建筑物自身结构的固有频率相似，就会引起比较大的振动。
就像我们荡秋千一样，如果按照秋千摆动的节奏去推它，它就会越荡越高，那个感觉是一样的。
这就要说到结构动力学里的固有频率这个概念。
说真的，我一开始也不太明白这东西到底是怎么个情况。
固有频率呢，是结构自身的一种特性，取决于结构的刚度、质量的分布等因素。
打个比方吧，就好比每个人都有自己独特的步频。
结构在没有外界持续激励的时候，只要施加一次初始的干扰，它就会按照自己的固有频率开始振动。
咱们家里的书架，如果不小心碰一下它，它晃动的过程就是在按照自己的固有频率在振动，只不过很快由于阻尼的作用而停止了。
阻尼这个词可能有些专业，其实就是让振动衰减的一种力，就像我们开车的时候，刹车装置就是个阻尼系统，能让车的运动状态慢慢停下来。
在实际应用方面，了解结构动力学原理特别重要。
就拿桥梁来说，在建造桥梁之前，工程师们就得详细地去分析桥梁结构的动力学特性。
要是没考虑好，车辆行驶产生的振动，风的吹袭，甚至地震可能会让桥梁发生过度的振动，导致损坏。
前几年我看到有个新闻，说某个跨海大桥因为遭遇大风浪和地震，部分结构产生了振动，幸好当时工程师已经提前考虑很多因素做了加固等措施。
但这也让我意识到，尽管我们已经掌握了很多结构动力学的原理，但在面对复杂的实际环境时，还是存在很多挑战的。
说到这里，你可能会问，那建筑物设计成什么样子就能尽量避免共振（也就是因为频率相似导致的大振动）这种危险情况呢？其实这就需要精确的动力学分析了。
要合理布置结构的质量和刚度，增大结构的阻尼。
结构动力学4-2
u >0
cωu0
u0 u <0
u
2、等效粘性阻尼
（1）阻尼力的滞回曲线
f D = cω u0 − u (t )
2 2
对粘性阻尼力的滞回曲线整理可以得到： 粘性阻尼力 的滞回曲线 是一椭圆
fD 2 u 2 ( ) +( ) =1 u0 cω u 0
fD
研究滞回曲线的意义：力在一个循环内所做的功等于 证明： 滞回曲线所包围的面积。
2π / ω 0 2 = πcωu0 2π / ω 0
u (t ) = u 0 sin(ωt − ϕ )
2π / ω
(cu )udt = ∫
2
0
cu 2 dt
[ωu0 cos(ωt − ϕ )] dt
ω 2 = 2πζ ( )ku0 ωn
c = 2ζωn m = 2ζωn ( k / ω ) = 2ζ k / ωn
(4.35)
ωb = 1+ ζ ωn
,
ωa = 1− ζ ωn
(d)
由式(d)得到半功率点频率 ωb 和 ωa 与阻尼比 ζ 的关系，
ωb − ωa = 2ζ ωn
由此得到式（4.34） 。若再用式(d)得关系
(e)
ωb + ω a = 2 ，代入式(e)，又得到式（4.35） 。 ω
三种阻尼比的测量方法
汽车行驶速度为135km/h时， 车辆振幅=0.075×1.655=0.124m。
4.5 用简谐振动(强迫振动)试验 确定体系的粘性阻尼比
动力放大系数 Rd=u0/ust
可以用自由振动方法求阻尼比ζ 的原因是由于自振衰减的快慢由ζ控 制，或说衰减规律可以明显反应出阻 尼比ζ的影响。而动力放大系数同样 受ζ控制，Rd曲线形状可以反映出ζ 的影响，其影响主要有两点： (1)峰值大小， (2)曲线的胖瘦。
结构动力学小结
21m1 A1 ( 22 m2
2
) A2 + + 2 n mn An
k21 A1 (k22 m2 2 ) A2 k2 n An F2
2
kn1 A1 kn 2 A2 (knn mn 2 ) An Fn
m2 2 惯性力 幅值 方程 1
21 I1 ( 22
n1 I1 n 2 I 2 + +( nn
1
mn 2
) I n np 0
矩阵形式：
设在稳态阶段各质量按干扰力频率 作同步简谐振动，即取特解的形式为 yi Ai sin t
(11m1
动位移 幅值 方程
1
) A1 12 m2 A2 + +1n mn An 2 1
1 p
2
2 p
0 0
(k11 m1 ) A1 k12 A2 k1n An F1
无阻尼
有阻尼
ky 0 my
运动方程
cy ky 0 my
y 2 y 0
y (t ) y0 cos t v0 sin t
2 y 0 ，其中阻尼比 y 2 y
y (t ) e t ( y0 cos d t v0 y0
k11 k22 k k k2 ) 11 22 12 0 m1 m2 m1m2
1,2
自振频率
11m1 22 m2
2 1 2 (11m1 22 m2 ) 2 4m1m2 (11 22 12 ) 2
2 [(
k k k k k2 1 k11 k22 ) ( 11 22 )2 4( 11 22 12 )] 2 m1 m2 m1 m2 m1m2
(同济大学)结构动力学教程 第六章 结构动力学中常用的数值方法
（2） 求解位移向量： [K ]{x}t+θ∆t = {R}t+∆t
{x}t+∆t = a4 ({x}t+θ∆t − {x}t ) + a5{x}t + a6{
（3） 求解加速度、速度、位移向量：{x}t+∆t = {x}t + a7 ({x}t+∆t + {x}t ) {x}t+∆t = {x}t + ∆t{x}t + a8 ({x}t+∆t + 2{x}
（{Q}t+θ∆t = {Q}t +θ ({Q}t+∆t −{Q}t )） 以位移 {x}t+θ∆t 为未知量建立求解方程，即：
[K ]{x}t+θ∆t = {R}t+θ∆t
式中，
[K ] = [K ] + 1 [M ] + 3 [C]
(θ∆t ) 2
θ∆t
{R }t +θ∆t
= {Q}t
+ θ ({Q}t+∆t
x
xt+∆
t + ∆t
用同样方法处理位移
泰勒展开：{x}t+∆t
= {x}t
+ {x}t ∆t +
1 {~x}∆t 2 2
类似地设 t → t + ∆t 时间间隔内：{x} = {x}t + 2δ ({x}t+∆t − {x}t )
(0 ≤ δ ≤ 0.5)
{x}t+∆t = {x}t + {x}t ∆t + (0.5 − δ ){x}t ∆t 2 + δ {x}t+∆t ∆t 2
与原矩阵a相关联的矩阵设矩阵a的特征值为对应的特征向量为的特征值为对应的特征向量为的特征值为对应的特征向量为的特征值为对应的特征向量仍为非奇异则的逆矩阵存在为其特征值相似即有可逆矩阵存在使的特征值也为特征向量为特征值的和与积设矩阵的特征值为则有供校核用特征向量规范化设矩阵的特征向量为的特征向量
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振型Φ 由无阻尼自由振动推得
第一正交关系（质量的振型正交性） 第二正交关系 （刚度的振型正交性） 证明见课本 振型的正交性 个人理解：振型的正交性 =数学上的线性无关=几何上的垂直= 力*位移*cos90度=0 将多自由度的求解变换为单自由度的求解 不满足正交性时运动方程是非解耦的
Zltlover
正则坐标变换
动力反应 数值分析方法
5.3中心差分法
两步法 有起步问题
位移=弹性力/刚度；弹性力=作用力-惯性力-阻尼力 此处的刚度为等效刚度
稳定性的证明（保证收敛）
Zltlover
简单，高效，但计算结果有时不稳定 单步法：无起步问题 加速度为一常量，记为a，经过简单 计算 可以得到速度、位移与a之间的关系式
5.4Newmark - β 法
单自由度体系对 简谐荷载的反应
自由振动工程中的能量
动能势能相互转化 有阻尼时，阻尼不断的消耗能量 阻尼引起的能量耗散Ed 外力做的功Ei 弹性力做的功Es 惯性力做的功Ek
粘性阻尼体系的能量耗散
阻尼力的滞回曲线 等效粘性阻尼 等效粘性阻尼比 其能量耗散与激振频率有关 第一种滞变阻尼表达 滞变阻尼(复阻尼)理论 第三种滞变阻尼表达 第二种滞变阻尼表达（复阻尼） 加速度计（强震仪） 振动的测量 体系的阻尼 （简谐荷载） 隔振原理
+振型的正交性
推得振型坐标q
假定位移为1
4.3多自由度体系 动力反应的
无阻尼强迫振动 体系 的振型叠加法
位移的振型分解： 位移ｕ＝ 振型Φ＊ 振型坐标 q
振型Φ由无阻尼自由振动推得 振型坐标 q由强迫振动 用杜积分或傅变换推得
0初始条件的情况 非零的情况
将初始条件也用振型展开
振型叠加法 杜积分求振型坐标q 阻尼正交 —振型分解 — 单自由度计算 有阻尼体系动力分析 的振型叠加法
阻尼变成了n个M和n个K的线性叠加
扩展的 Rayleigh阻尼
阻尼矩阵的构造
利用振型阻尼矩阵直接叠加 非经典阻尼矩阵的构造
4.5静力修正法
这里用到了结构体系的全部振型阻尼，没必要 见课本
低阶振型起的作用大， 高阶振型影响极小，振型叠加法忽略高阶振型的影响
为了避免 忽略高阶振型的影响所产生的误差，用静力修正法弥补：将高阶振型Φ*振型坐标 q等效成静力反应 为了避免忽略高阶振型的影响所产生的误差，也可用振型加速度法
单自由度体系 对任意荷载的反应
解析解u（ t） 得到复频域反应函数 再进行fourier逆变换 实际采用DFT 运动方程
Duhamel 积分 =左右同时进行fourier正变换
频域分析法
结构地震反应分析的 反应谱法
线弹性
求得u（t） 进而得到绝对加速度 引入g得出地震影响系数
- -
求得元频率 ω和振型 Φ 振型≈各振幅的比值 ≈不同自由度变化的比例关系 无阻尼自由振动 方程+ 设解（假设中包含ω、 Φ） 位移= 两种简谐振动的叠加 坐标耦联
将有些半正定的质量化为正定矩阵
静力凝聚
半正定的由来
转化见课本，推导很 简单 解释：将振型按某一标准归一化 振型的标准化
4.2多自由度体系的 无阻尼自由振动
标准化 的方法
特定坐标的归一化方法 最大位移值的归一化 正交归一化
指定振型向量中的某一坐标值为 1，其它元素值按比例确定
振型分析 位移的振型分解
位移变成了振型与 广义坐标（振型坐标） 乘积的线性叠加u=Φ*q
复模态分析 若不能正交--方程耦联--运算量大 初始条件非零的情况
局限性：叠加只能用于线性体系；要求阻尼正交 杜积分不再适用，可采用频域分析方法（傅变换） 也可采用时域的逐步积分法（迭代算法）
复模态分析：将运动方程改写为状态方程
经典阻尼 Rayleigh
4.4结构中的阻尼和
阻尼变成了 M和K的线性叠加
4.1两自由度体系的 无阻尼自由振动
振型与初始条件无关
ω 和Φ 均只与 m和 k有关
质量耦联 耦联与非耦联 坐标的耦联 静力耦联 阻尼耦联 某些体系是否耦联取决于坐标的选取 位移表示成了振型向量的线性组合 正则坐标 频率方程 =特征方程 这样，几何坐标转化为振型坐标 将求解多自由体系的位移反应问题，转化为求振型坐标问题 运动方程 ——假定为简谐振动 ——频率方程 求得ω和 Φ
无阻尼自由振动
振幅、初相角 自振圆频率、自振周期、自振频率 此时方程的解是复数 低阻尼ξ＜1
u（ t） =指数衰减的位移解
有阻尼自由振动
临界阻尼 ξ=1 过阻尼ξ＞ 1
自由振动试验 阻尼比
阻尼比ξ
库伦阻尼自由振动
位移解 振幅衰减4*uf 位移解 无阻尼 位移图形：喇叭 动力放大系数Rd=动 /静 位移解 位移图形：山间起舞，越舞越累 共振反应：此时，位移解的公式被简化 有阻尼 动力放大系数Rd*：考虑稳态振动，未考虑瞬态振动 位移图形是子弹形，收缩于一个稳定值 阻尼体系动力反应和荷载的相位关系 外部荷载作用的越快，动力反应的滞后时间越长 用简谐振动试验 确定体系的粘性阻尼比 共振放大法 半功率点（宽带）法
4.6振型加速度法
将振型坐标 q用加速度和速度表示，因为涉及到 加速度和速度所以比较麻烦
振型叠加法 =振型分解法 =振型位移法
静力修正法=振型加速度法，但静力修正法能更好的解释加快收敛的原因,用起来也更方便
- -
任意荷载作用下结构动力反应 可以得到解析解（线弹性）
时域（杜积分） 频域（傅变换） 分段解析法 中心差分法
位移=弹性力/刚度；弹性力=作用力-惯性力-阻尼力 此处的刚度为等效刚度
稳定性的证明
被广泛应用
5.5Wilson -θ 法
存在很多弊病 刚度变了变量
5.6结构非线性反应计算
- -
பைடு நூலகம்
阻止振动的输入 阻止振动的输出
Zltlover
速度计 位移计（地震仪） 力的传递与隔振 基底振动的隔离 周期荷载P（t）展开成fourier级数 因为时间无限，假定t=0时，初始影响已经消失 所以只需考虑稳态反应，求特解 狄拉克δ函数 时域分析法
Duhamel 积分= 卷积
单自由度体系 对周期荷载的反应
Newmark — β 法 Wilson —θ 法
时域逐步积分法 （用分段直线逼近曲线）
5.1数值算法的基本问题
几何非线性
逐步积分法优劣判断
收敛性
计算精度 稳定性 计算效率
5.2分段解析法
思路： 对荷载P（ t）进行离散、采样，微段内满足线性动力方程
一般用于单自由度体系的动力分析 思路：用代替位移对时间的 求导（即速度和加速度）