数学必修三3.3.2

分析 6
3.3.2
你能设计一种随机模拟的方法近似计算上面事件 A
发生的概率吗？
答
方法一
(随机模拟的方法)做两个只带有分针的圆盘，
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标上时间，分别旋转两个圆盘，记下父亲在离家前能得到报 父亲在离家前能得到报纸的次数 纸的次数，则 P(A)＝ . 试验的总次数
方法二 用计算机产生随机数模拟试验． 是 0～1 之间的均匀 X 随机数，Y 也是 0～1 之间的均匀随机数．如果 Y＋7>X＋6.5， 即 Y>X－0.5， 那么父亲在离开家前能得到报纸． 在计算机上做 M 次试验，查一下 Y>X－0.5 的 Y 的个数，如果为 N，则所求 概率为 N/M.
问题 4 利用计算机产生 100 个[2,6]上的均匀随机数，具体如 何操作？ 答 (1)在 A1～A100 产生 100 个 0～1 之间的均匀随机数；
(2)选定 B1 格，键入“＝A1*4+2”按 Enter 键，则在此格中 的数是随机产生的［2，6］上的均匀随机数； (3)选定 B1 格,拖动至 B100,则在 B1～B100 的数都是［2,6］ 上的均匀随机数.
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3.3.2
1．均匀随机数的产生 (1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是 RAND 函数. (2)Excel 软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“ rand() ”. 2．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法 (1)试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统 计试验结果． (2)计算机模拟的方法：用 Excel 软件产生[0,1]区间上均匀随机 数进行模拟．注意操作步骤．
(2)选定 A1 格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比 如 A2～A100， 点击粘贴， 则在 A1～A100 的数都是[0,1]上的 均匀随机数． 这样我们就很快就得到了 100 个 0～1 之间的均 匀随机数，相当于做了 100 次随机试验．
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问题 3
3.3.2
N1 (4)计算 ，即为所求概率的近似值. N
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3.3.2
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1．在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是 等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个 实数，整数值随机数只取区间内的整数． 2．利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决 求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应 用价值．
根据几何概型的概率计算公式，事件 A 发生的概率为
多少？
答 试验的全部结果所构成的区域的面积为边长为 1 的正方
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1 1 1 7 形，面积为 1；图中的阴影部分面积为 1－ × × ＝ ，所 2 2 2 8 7 8 7 以 P(A)＝ ＝ . 1 8
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(2)进行平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)；
(3)数出落在阴影内的样本点数 N1， 用几何概型公式计算阴影 部分的面积．
例如做 1 000 次试验，即 N＝1 000，模拟得到 N1＝698，
阴影面积 698 所以 P＝ ＝ ， 矩形面积 1 000 698 698 即阴影面积 S＝矩形面积× ＝2× ＝1.396. 1 000 1 000
由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，
所以就得到了 π 的近似值．
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例2
解
3.3.2
利用随机模拟方法计算由 y＝1 和 y＝x2 所围成的图形的
以直线 x=1,x=-1,y=0,y=1 为边界作矩形,
面积．
(1)利用计算器或计算机产生两组 0～1 区间的 均匀随机数,a1＝RAND,b1＝RAND;
N
(5)设阴影部分面积为 S.由几何概型概率公式得点落在阴影 S 部分的概率为 . 12 S N1 ∴ ≈N. 12 12N1 ∴S≈ N 即为阴影部分面积的近似值．
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3.3.2
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1．将[0,1]内的均匀随机数转化为[－3,4]内的均匀随机数， 需要 实施的变换为 A.a=a1*7 C.a=a1*7-3 B.a=a1*7+3 D.a=a1*4 ( C )
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3.3.2
3．[a，b]上均匀随机数的产生． 利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数 x＝RAND， 然后利用伸缩和平移交换， x＝ x1*(b-a)+a 就可以得到[a，
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b]内的均匀随机数，试验的结果是[a，b]上的任何一个实数， 并且任何一个实数都是等可能的．
产生 0～1 之间的均匀随机数？如何利用计算机产生 0～1 之 间的均匀随机数？
答 用计算器产生 0～1 之间的均匀随机数的方法见教材；
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用计算机的方法如下：用 Excel 演示． (1)选定 A1 格，键入“＝rand()”，按 Enter 键，则在此格 中的数是随机产生的[0,1]上的均匀随机数；
解析 根据伸缩和平移变换
a=a1*[4-(-3)]+(-3)=a1*7-3.
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2 2
3.3.2
1 2．在区间[－1,1]上随机任取两个数 x，y，则满足 x ＋y < 的 4
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π 概率为________． 16
解析 当 x，y∈[－1,1]时，点(x，y)构成的区域是一个边长
解 因为乘客到达车站的时间是随机的，设乘客候车时间不 超过 4 分钟为事件 A.
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区间0，4的长度 2 由题意，可得 P(A)＝ ＝ . 区间0，10的长度 5
随机模拟试验的步骤：
(1)利用计算机产生[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND. (2)经过伸缩变换： a＝10*a1， 得到一组[0,10]上的均匀随机数． (3)统计试验总次数 N 和在［0，4］上的次数 N1.
计算机只能产生[0,1]上的均匀随机数，如果试验的结
果是区间[a，b]上等可能出现的任何一个值，则需要产生[a， b]上的均匀随机数，对此，你有什么办法解决？ 答 首先利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数 X＝
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RAND，然后利用伸缩和平移变换：Y＝X*(b—a)＋a 计算 Y 的值，则 Y 为[a，b]上的均匀随机数．
3.3.2
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a1＝RAND，b1＝RAND. (2) 经过平移和伸缩变换 a=a1*4-3,b=b1*3,得到一组[-3,1],一 组[0,3]上的均匀随机数. (3)统计试验总次数 N 和落在阴影部分的点数 N1(满足条件
b<2-2a-a2 的点(a,b)个数). N (4)计算频率 1 就是点落在阴影部分的概率的近似值.
分析 1 在例 1 中，事件 A 是哪种类型的事件？
答 随机事件．
分析 2
设 X、Y 为[0,1]上的均匀随机数，6.5＋X 表示送报
人到达你家的时间，7＋Y 表示父亲离开家的时间，若事件 A 发生，则 X、Y 应满足什么关系？
答
7＋Y >6.5＋X，即 Y>X－0.5.
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3.3.2
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[问题情境]
在古典概型中我们可以利用(整数值)随机数来模
拟古典概型的问题，那么在几何概型中我们能不能通过随机 数来模拟试验呢？如果能，我们又如何产生随机数呢？这就 是本节课要解决的问题．
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探究点一 问题 1 答 均匀随机数的产生
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探究点二 例1 随机模拟方法
3.3.2
假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6：30～7：30
之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上 7：00～8：00 之间，如果把“你父亲在离开家之前能得到报 纸”称为事件 A，则事件 A 的概率是多少？
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3.3.2
小结 用随机数模拟的关键是把实际问题中事件 A 及基本事 件总体对应的区域转化为随机数的范围．用转盘产生随机 数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不 可能很大．
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跟踪训练 1 在右图的正方形中随机撒一把豆 子,计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆 子数之比并以此估计圆周率的值.
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分析 3 设送报人到达你家的时间为 x，父亲离开家的时间 为 y，若事件 A 发生，则 x、y 应满足什么关系？
答 6.5≤x≤7.5， 7≤y≤8， y≥x.
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分析 4 画出上述不等式组表示的平面区域．
答
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3.3.2
小结
解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式
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分别求得几何概率，然后通过解方程求得阴影部分面积的近 似值， 解决此类问题时注意两点： 一是选取合适的对应图形， 二是由几何概型正确计算概率．
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跟踪训练 2 利用随机模拟的方法近似计算图中 阴影部分(y=2-2x-x2 与 x 轴围成的图形)的面积． 解 (1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数,
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