最新-四川省成都市2018届高三数学第二次诊断性检测 文 精品
高考最新-成都市2018届高中毕业班第二次诊断性检测题数学(文) 精品
成都市2018届高中毕业班第二次诊断性检测题数学(文科)试题录制：四川省成都市新都一中 肖宏参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )＝P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：P n (k )＝C n k P k (1－P )n －k球的表面积公式：S ＝4πR 2(其中R 表示球的半径) 球的体积公式：V 球＝43πR 3(其中R 表示球的半径)一、选择题：本大题共有10个小题，每小题5分；在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在机读卡的指定位置上. 1.设集合P ＝{x |x ＝k 3＋16，k ∈Z }，Q ＝{x |x ＝k 6＋13，k ∈Z }，则A .p ＝QB .P ≠⊂Q C .P ≠⊃Q D .P ∩Q ＝Φ解：P :x ＝k 3＋16＝2k ＋16，k ∈Z ；Q :x ＝k 6＋13＝k ＋26，k ∈Z ,从而P 表示16的奇数倍数组成的集合，而Q 表示16的所有整数倍数组成的集合，故P ≠⊂Q .选B 2.已知函数y ＝sinx －cosx ，则当函数取最大值时，tanx 等于 A .1B .－1C .22D .－22解：y ＝2 sin (x －π4)，当x ＝3π4时，y max ＝2，此时tanx ＝tan 3π4＝－1，选B3.(x ＋1x －2)3的展开式中，不含x 的项是A .－4B .－8C .－12D .－20解：(x ＋1x －2)3＝(x －1x )6,设第r ＋1项不含x则T r ＋1＝C 6r (－1)r (x )6－r (1x)r ，令－r 2＋6－r2＝0，得r ＝3∴T 4＝C 64(－1)3＝－20.选D 4.直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋a ＋b 相切于点A (1,3)，则b 的值为 A .3B .－3C .5D .－5解：y '＝3x 2＋a ,y '|x ＝1＝3＋a ＝k 又3＝k ·1＋1 ⇒ k ＝2,a ＝－1 ∴3＝13＋(－1)·1＋b ⇒b ＝3.选A5.若点P (4,a )到直线4x ＋3y ＝1的距离不大于3，则实数a 的取值范围是 A .[0，10)B .(0，10]C .(－10，0]D .[0，10]解：由|4×4－3×a －1|42＋32≤3 ⇒ |5－a |≤5 ⇒ 0≤a ≤10.选D6.0＜a ≤15是函数f (x )＝ax 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞,4]上为减函数的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解：注意到a ＝0时f (x )也是减函数，故不是必要条件而当0＜a ≤15时，二次函数f (x )开口向上，对称轴x ＝1－a a ＝1a －4≥4使得f (x )在区间(－∞，4]上为减函数，是充分条件.选A 7.若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为 A .等腰直角三角形B .直角三角形C .等腰三角形D .等边三角形解：OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC → 于是|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →| ⇒ |AB →＋AC →|2＝|AB →－AC →|2 ⇒ AB →·AC →＝0，即AB ⊥AC .选B 8.已知等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若S 16＞0，且S 17＜0，则当S n 最大时，n 的值为 A .16B .9C .8D .10解：S 16＞0 ⇒ 16(a 1＋a 16)2＞0，即a 1＋a 16＞0，也即a 8＋a 9＞0S 17＜0 ⇒ 17a 9＜0，即a 9＜0 ∴a 9＜0，a 8＞0∴当n ＝8时，S n 最大.选C 9.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱A 1B 1上任意一点，则直线OP 与支线AM 所成角的大小为 A .45º B .90º C .60ºD .不能确定解：设AD 中点为N ，不难知PO 在平面ADD 1A 1上的射影为A 1N 在正方形ADD 1A 1中有A 1N ⊥AM ，由三垂线定理可得PO ⊥AM .选B 10. 椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于 A .2B .4A BA 1 PD 1 D COMC .6D .32解：设椭圆的另一个焦点为F 2，则|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10∵|MF 1|＝2，∴|MF 2|＝8，∵N 是MF 1的中点，O 是F 1F 2的中点， ∴ON 是△MF 1F 2的中位线， ∴|ON |＝12|MF 2|＝4.选B二、填空题：本大题共有6个小题，每小题4分，共计24分.11. 已知□ABCD 的三个顶点A (0,0),B (3,1),C (4,3)，则第四个顶点D 的坐标为_________________.解：BC →＝(1,2),|BC →|＝5,∵OD →∥BC →，可设OD →＝(λ,2λ) 则|OD →|＝5λ＝5，所以λ＝1,∴D (1,2).12. 已知sin (α＋β)＝23,sin (α－β)＝15，则tan αcot β的值是_____________解：由已知sin αcos β＋cos αsin β＝23 ①sin αcos β－cos αsin β＝15 ②12(①＋②)：sin αcos β＝1330， 12(①－②)：cos αsin β＝730 于是tan αcot β＝137.13. 口袋中有红球2个，黑球3个，白球5个，它们只有颜色不同.从中摸出四个，摸出的球中同色的两个为一组，若红色一组得5分，黑色一组得3分，白色一组得1分，则得分总数取得最大值的概率为________________解：要使得总分数取得最大，只有两个红球与两个黑球的取法， 其概率为P ＝C 22·C 32C 104＝170. 14. 如图，ABCD 是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与AC →平行且长度为22的向量个数是__________.解：图中共有四个边长为2的正方形，每个正方形中有符合条件的向量两个(他们分别是连接左下和右上顶点的向量，方向相反).故满足条件的向量共有8个.15. 在书柜的某一层上原来有5本不同的书，如果保持原有书的相对顺序不变，再插进去3本不同的书，那么共有____________种不同的插入方法(用数字作答)C解：原有的5本书加上新加入的3本书，共需要8个位置，先选择5个位置由原来5本书按原来顺序放入，有C 85＝56种方法，然后由新加入的3本书在余下3个位置上进行排列，有A 33＝6种方法共有56×6＝336种方法.16. 一个三棱锥三条侧棱两两垂直，其长分别为3，4，5，则它的外接球的表面积为________解：以三条两两垂直的侧棱为棱，将三棱锥补成长方体，则长方体的对角线就是外接球的直径 即(2R )2＝32＋42＋52＝50 故S 球＝4πR 2＝50π三、解答题：本大题共有6个小题，共计76分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 17. (12分)已知函数f (x )＝x 3＋3bx ＋2c ，若函数f (x )的一个极值点落在x 轴上，求b 3＋c 2的值.解：f '(x )＝3x 2＋3b……2' 由题意，可设f (x )的极值点为(x 0，0) ……3' 则f (x 0)＝0，f '(x 0)＝0……5' ∴⎩⎨⎧x 03＋3bx 0＋2c ＝0 ①3x 02＋3b ＝0 ②……7'∴由②得x 18＝－b∴代入①：－bx 0＋3bx 0＋2c ＝0 ∴ 2bx 0＋2c ＝0……10'∴ (bx 0)2＝c 2，即b 2(－b )＝c 2 即 b 3＋c 2＝0……12'18. (12分)解关于x 的不等式：log a (x 2＋x －2)－log a 3＞log a (x ＋13)，其中a ＞0且a ≠1.19. (13分)如图，已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的一点.(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)设SA ＝4,AB ＝2,求点A 到平面SBD 的距离； (3)当SAAB 的值为多少时，二面角B －SC －D 的大小为120º.解：(1)证明：∵SA ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，∴SA ⊥BD ∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ∴BD ⊥平面SAC ，又BD ⊂平面EBD ∴平面EBD ⊥平面SAC .……4'(2)解：设AC ∩BD ＝O ，连结SO ，则SO ⊥BD 由AB ＝2，知BD ＝22SO ＝SA 2＋AO 2＝42＋(2)2＝32 ∴S △SBD ＝12 BD ·SO ＝12·22·32＝6令点A 到平面SBD 的距离为h ，由SA ⊥平面ABCDA BDESADESO则13·S △SBD ·h ＝13·S △ABD ·SA ∴6h ＝12·2·2·4 ⇒ h ＝43∴点A 到平面SBD 的距离为43……8'(3)解：设SA ＝a ，建立如图所示空间直角坐标系，为计算方便，不妨设AB ＝1则C (1，1，0)，S (0，0，a )，B (1，0，0)，D (0，1，0) ∴SC →＝(1，1，－a )，SB →＝(1，0，－a )，SD →＝(0，1，－a )再设平面SBC 和平面SCD 的法向量分别为n 1→＝(x 1，y 1，z 1)，n 2→＝(x 2，y 2，则⎩⎨⎧n 1→·SC →＝0n 1→·SB →＝0 ⇒ ⎩⎨⎧x 1＋y 1－az 1＝0x 1－az 1＝0∴y 1＝0，取x 1＝a ，则z 1＝1 ∴可取n 1→＝(a ，0，1)又⎩⎨⎧n 2→·SC →＝0n 2→·SD →＝0 ⇒ ⎩⎨⎧x 2＋y 2－az 2＝0y 2－az 2＝0∴x 2＝0，∴取y 2＝a ，则z 2＝1 ∴可取n 2→＝(0，a ，1) ∴cos <n 1→，n 2→>＝1a 2＋1要使得二面角B －SC －D 的大小为120º 则1a 2＋1＝12.从而a ＝1 即当SA AB ＝a1＝1时，二面角B －SC －D 的大小为120º.……12'20. (13分)某中项目的射击比赛规则是：开始时在距离目标100m 处射击，如果命中记3分，同时停止射击；若第一次射击未命中目标，可以进行第二次射击，但目标已在150m 远处，这时命中记2分，同时停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200m 远处，若第三次命中则记1分，同时停止射击.若三次都未命中，则记0分.已知甲射手在100m 处击中目标的概率为12，他命中目标的概率与距离的平方成反比，且各次射击都是独立的.(1)求射手在200m 处命中目标的概率；(2)设射手甲得k 分的概率为P k ，求P 3,P 2,P 1,P 0的值； (3)求射手甲在三次射击中击中目标的概率.x解：(1)设射手甲在xm 处命中目标的概率为P (x )，则P (x )＝kx 2……1'当x ＝100m 时，P (x )＝12∴12＝k 1002 ⇒ k ＝5000 ∴P (x )＝5000x2……3'当x ＝200m 时，P (200)＝50002002＝18即射手在200m 处命中目标的概率为18……4' (2)由(1)知，当x ＝150m 时，P (150)＝50001502＝29……6' ∴P 3＝12P 2＝(1－12)×29＝19P 1＝(1－12)×(1－29)×18＝7144P 0＝(1－12)×(1－29)×(1－18)＝49144……9' (3)P ＝12＋(1－12)·29＋(1－12)·(1－29)·18＝95144……13' 21. (12分)已知：如图：直线l 与双曲线xy ＝1交于P 、Q 两点，并与x 轴交于A ，与y 轴交于B .证明：线段AP 与线段BQ 的长度相等.解：证明：由已知，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，并设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2) 则A (－b k ,0),B (0,b ).AB 的中点坐标为(－b 2k ，b2)……4' ∴⎩⎨⎧y ＝kx ＋bxy ＝1 ∴kx 2＋bx －1＝0∵直线l 与xy ＝1有两个不同的交点 x 1＋x 2＝－bk∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2b ＝b ∴PQ 的中点坐标为(－b 2k ，b2)∴PQ 的中点与AB 的中点重合，设其中点为M 则|AM |＝|MB |,|QM |＝|MP |∴|AQ |＝|BP | ∴|AP |＝|BQ |. ……12'22. (14分)观察下表：1 2，3 4，5，6，78，9，10，11，12，13，14，15 ……(1)求此表中第n 行的最后一个数； (2)求此表中第n 行的各个数之和； (3)2018是此表中第几行的第几个数？(4)是否存在n ∈N *，使得从第n 行起的连续10行的所有数之和为227－213－120？若存在，求出n 的值；若不存在，则说明理由.解：(1)第n ＋1行的第一个数是2n ，故第n 行的最后一个数是2n －1 ……2'(2)第n 行的各数之和为2n －1＋(2n －1＋1)＋(2n －1＋2)＋……＋(2n －1)＝2n －1＋(2n －1)2·2n －1＝2n －2(2n －1＋2n －1)＝2n －2(3·2n －1－1)……5'(3)∵210＝1184,211＝2188 而1184＜2018＜2188 ∴2018在表中的第11行 该行第一个数为210＝1184 ∴2018－1184＋1＝982即2018为第11行的第982个数.……9'(4)设第n 行的所有数之和为a n ,第n 行起连续10行的所有数之和为S n ， 则a n ＝3·22n －3－2n －2,a n ＋1＝3·22n －1－2n －1,a n ＋2＝3·22n＋1－2n ,……a n ＋9＝3·22n＋15－2n ＋7∴S n ＝3(22n －3＋22n －1＋22n ＋1＋……＋22n ＋15)－(2n －2＋2n －1＋2n ＋……＋2n ＋7)＝3·22n －3(410－1)4－1－2n －2(210－1)2－1＝22n＋17－22n －3－2n ＋8＋2n －2当n ＝5时，S 5＝227－128－213＋8＝227－213－120故存在n ＝5，使得从第5行开始的连续10行所有数之和为227－213－120. ……14'。
【数学】四川省成都市2018届高三第二次诊断性检测数学(文)试题
成都市2015级高中毕业班第二次诊断性检测数学（文科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】故选D.2. 已知向量，，.若，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题，故选B.3. 若复数满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】................. ..........故选A.4. 设等差数列的前项和为.若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】又.可得，则故选D.5. 已知，是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】C【解析】由题设，则A. 若，则，错误；B. 若，，则错误；D. 若，，当时不能得到，错误.故选C.6. 在平面直角坐标系中，经过点且离心率为的双曲线的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，得，当焦点在x轴时，设双曲线方程为，代入，得，解得，当焦点在y轴时，设双曲线方程为，代入，得，无解。
所以，即双曲线方程为，选B.【点睛】求圆锥线方程，一定要先定位，再定量，当不能定位时，要根据焦点在x轴，y轴分类讨论。
7. 已知函数的部分图象如图所示.现将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意可知的振幅，周期则，由，，解得：，将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则故选D.【点睛】本题考查求函数的解析式，函数的坐标变换，考查数形结合思想，属于基础题．8. 若为实数，则“”是“”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解不等式可得，是的真子集，故“”是“”成立的必要不充分条件.故选B.9. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，该几何体为四棱锥．底面为矩形，其中底面．则该阳马的外接球的直径为∴该阳马的外接球的体积=故选C.10. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框中的条件可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，当时．此时有，算法结束，所以判断框中的条件应填，这样才能保证进行7次求和．故选D．【点睛】本题考查了程序框图中的直到型循环，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等．11. 已知数列满足：当且时，有.则数列的前项的和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得，选A. 【点睛】由于，所以可以考虑并项求和，两项一并，分成100组再求和。
四川省成都市2018届高三第二次诊断性检测数学(理)-----精校Word解析版
设集合，，则B. C. D.【答案】【解析】已知向量，，若，则实数的值为（B. C.若复数，则B. C. D.【答案】【解析】的前项和为若，则B. C. D.【解析】.故选D.，是空间中两条不同的直线，，，则 B. 若，， D. 若，则【解析】由题设，，则，，则，，当时不能得到的展开式中含项的系数为，则实数B. C. D.的展开式的通项为，解得，，解得已知函数的部分图象如图所示现将函数图象上的所有点向右个单位长度得到函数的图象，则函数B.D.【解析】由题意可知的振幅，周期，由，，图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则故选D.为实数，则“”是“B. 必要不充分条件【解析】解不等式，是的真子集，故“”成立的必要不充分条件故选B.B. C. D.【答案】【解析】该几何体为四棱锥底面其中...........................执行如图所示的程序框图，若输出的结果为B. C. D.【解析】当时，；当；当；当时，时已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围为（B.D.【答案】A在区间，解得在区间上单调递增，的取值范围为：，经过点的直线与双曲线，分别位于第一，四象限，当时，的面积为B. C. D.【答案】【解析】的面积为由题意可得，解得，可得即为代入双曲线的方程，可得已知，则【答案】即答案为.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运名（假设所有学生都参加了调查）名女同学中喜欢篮球运动的频率为名男同学中喜欢篮球运动的频率为，即男同学中喜欢篮球运动的由人，则抽取的男生人数为：的焦点为，准线与，是抛物线上的点，且为直径的圆截直线所得的弦长为，则实数【答案】，直线到直线的距离为为直径的圆截直线所得的弦长为，则即答案为已知数列共，记关于的函数，是函数的极值点，且曲线在点处的切线的斜率为数列的个数为__________【答案】，是函数的极值点，即中方法，又曲线在点处的切线的斜率为，即或（或共有（或中方法，所以方法总数为已知函数.）求函数的单调递减区间；的内角所对的边分别为，，，，，求..）【解析】试题分析：（1化简可得，，可得，由正弦定理可得，最后由余弦定理可得试题解析;（1），，.∴函数的单调递减区间为，，∴，∴由正弦定理，得，解得.现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的向用户随机派送每张面额为元，元，用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是，若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额，求随机变量参考公式：，其中1）见解析；（2）见解析.）由题意首先求得分布列，然后求解数学期望即可．.因此，在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系）由题意，可知一次骑行用户获得.，，，，，，∴的分布列为：如图，的中点，四边形是菱形，平面，，，）若点是线段的中点，证明：平面；）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.）连接，由四边形为菱形，可证平面平面.即可证明平面设线段的中点为连接易证平面以为坐标原点，，，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系求出相应点及向量的坐标，求得平面，平面，。
2018届四川省成都市高三第二次诊断性考试理科数学试题及答案
四川省成都市2018届高三第二次诊断性检测理数试题数学（理工类）本试卷分选择题和非选择题两部分，第I卷（选择题）第1至2页，第II卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名，考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦拭干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上做答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，只将答题卡交回。
第I卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1. 设复数i=3（i为虚数单位）在复平面中对应点A，z+将OA绕原点O逆时针旋转0°得到OB，则点B在（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限2. 执行如图的程序框图，若输入的x 值为7，则输出的x 的值为 （A ）41（B ）3log 2 （C ）2 （D ）33. ()101-x 的展开式中第6项系的系数是（A ）510C - （B ）510C （C ）610C - （D ）610C4. 在平面直角坐标系xoy 中，P 为不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≤01021y x y x y 所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为（A ）2 （B ）31 （C ）21 （D ）15. 已知βα,是两个不同的平面，则“平面//α平面β”成立的一个充分条件是（A ）存在一条直线l ，βα//,l l ⊂ （B ）存在一个平面γ，βγαγ⊥⊥,（C ）存在一条直线βα⊥⊥l l l ,, （D ）存在一个平面βγαγγ⊥,//,6. 设命题()；000000cos cos --cos ,,:βαβαβα+∈∃R p 命题,,:R y x q ∈∀且ππk x +≠2，Z k k y ∈+≠,2ππ，若y x ＞,则y x tan tan ＞，则下列命题中真命题是（A ）q p ∧ （B ）()q p ⌝∧ （C ）()q p ∧⌝ （D ）()()q p ⌝∧⌝7. 已知P 是圆()1122=+-y x 上异于坐标原点O 的任意一点，直线OP 的倾斜角为θ，若d OP =，则函数()θf d =的大致图像是8. 已知过定点()0,2的直线与抛物线y x =2相交于()()2211,,,y x B y x A 两点.若21,x x 是方程0cos sin 2=-+ααx x 的两个不相等实数根，则αtan 的值是（A ）21 （B ）21- （C ）2 （D ）-29. 某市环保部门准备对分布在该市的H G F E D C B A ,,,,,,,等8个不同检测点的环境监测设备进行监测维护.要求在一周内的星期一至星期五检测维修完所有监测点的设备，且每天至少去一个监测点进行检测维护，其中B A ,两个监测点分别安排在星期一和星期二，E D C ,,三个监测点必须安排在同一天，F 监测点不能安排在星期五，则不同的安排方法种数为（A ）36 （B ）40 （C ）48 （D ）6010. 已知定义在[)+∞,0上的函数()x f ，当[]1,0∈x 时，;2142)(--=x x f 当1＞x 时，()()a R a x af x f ,,1∈-=为常数.下列有关函数()x f 的描述：①当2=a 时，423=⎪⎭⎫⎝⎛f ； ②当，＜1a 函数()x f 的值域为[]2,2-； ③当0＞a 时，不等式()212-≤x ax f 在区间[)+∞,0上恒成立；④当01-＜＜a 时，函数()x f 的图像与直线()*-∈=N n a y n 12在[]n ，0内的交点个数为()211nn -+-.其中描述正确的个数有 （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
四川省成都市2018届高三数学第二次诊断性检测试题理
四川省成都市2018届高三数学第二次诊断性检测试题 理第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|11}P x x =-<，{|12}Q x x =-<<，则PQ =（ ）A ．1(1,)2- B ．(1,2)- C ．(1,2) D ．(0,2)2.已知向量(2,1)a =，(3,4)b =，(,2)c k =.若(3)//a b c -，则实数的值为（ ） A ．8- B ．6- C ．1- D ．3.若复数满足3(1)12i z i +=-，则z 等于（ ）A ．32 C ．2D ．124.设等差数列{}n a 的前项和为n S .若420S =，510a =，则16a =（ ） A ．32- B ．12 C ．16 D ．325.已知m ，是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥6.若6(x的展开式中含32x 项的系数为160，则实数的值为（ ）A ．B ．2-C ．．- 7.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的部分图象如图所示.现将函数()f x 图象上的所有点向右平移4π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()2sin(2)4g x x π=+B ．3()2sin(2)4g x x π=+C ．()2cos 2g x x =D ．()2sin(2)4g x x π=-8.若为实数，则“2x ≤≤223x x +≤≤”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A B ． C D ．24π 10.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为56，则判断框中的条件可以是（ ）A ．7?n ≤B ．7?n >C ．6?n ≤D ．6?n > 11.已知函数()1ln m f x n x x =--(0,0)m n e >≤≤在区间[1,]e 内有唯一零点，则21n m ++的取值范围为（ ）A ．22[,1]12e e e e ++++ B ．2[,1]12e e ++ C ．2[,1]1e + D ．[1,1]2e+ 12.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点P ，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点.若点A ，B 分别位于第一，四象限，O 为坐标原点.当12AP PB =时，AOB ∆的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为（ ） A ．329 B ．169 C ．89 D ．49第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知132a =，231()2b =，则2log ()ab = ．14.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为 ．15.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线与轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF x ⊥轴.若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为，则实数p 的值为 ．16.已知数列{}n a 共16项，且11a =，84a =.记关于的函数321()3n n f x x a x =-2(1)n a x +-，*n N ∈.若1(115)n x a n +=≤≤是函数()n f x 的极值点，且曲线8()y f x =在点16816(,())a f a 处的切线的斜率为15.则满足条件的数列{}n a 的个数为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()cos 22x x f x =21cos 22x -+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，1()2f A =，a =sin 2sin B C =，求.18.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22⨯列联表如下：（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送每张面额为元，元，元的三种骑行券.用户每次使用APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是12，15，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，60FBD ∠=，AB BC ⊥，AB BC ==（1）若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ； （2）求平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，离心率为，点B 是椭圆上的动点，1ABF ∆. （1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点1F 的直线与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中垂线为'l .若直线'l 与直线相交于点P ，与直线2x =相交于点Q ，求PQ MN的最小值.21.已知函数()ln 1f x x x ax =++，a R ∈.（1）当时0x >，若关于的不等式()0f x ≥恒成立，求的取值范围； （2）当*n N ∈时，证明：223ln 2ln 242n n <++21ln 1n nn n ++⋅⋅⋅+<+.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
四川省成都市金牛区2018届高三二诊模拟数学文科参考答案
20.解： （1）设 P(x,y)，则 PA 的中点为（ y 轴相切 所以 |
|洠t
0 㘱t 0 |
（ 2 ）设所作切线方程是 y 㘱 t洠
t洠
洠
|
洠
㘹x 㘱 洠 t洠
0
洠
,化简得：
0 ，令
洠
, ， PA
洠
洠
=2，即
因
洠 、
0
㘱
洠 0 0 㘱⸸ 0 , 洠 㘱⸸ 0 0
∈ h⸸,
t t洠
洠 0
0
㘱
t
0
，因该切线与圆 E 相切，则
⸸
洠‹ 洠
| 0=
洠 洠 0
0㘱
， 故△QMN 的面积的最小值是 洠
洠h
0
㘱
0㘱
洠h
洠‹
1 1 x 1 解 ：（1） f ( x ) 0 a ln x , 记 h ( x ) ln x ( x 0), 则 h '( x ) 2 . x x x
易知，当x (0,1) 时， h ( x ) 单减；当x (1, ) 时， h ( x ) 单增. h ( x ) min h (1) 1, a的取值范围是 ( ,1]
' （2）当a=1时，g(x)=x 2 -x -x 2 ln x，g( x)=x -1 2 x ln x，
金牛区数学二诊模拟文科参考答案
一、选择题 1 A 2 A 3 D 14、 4 D 7 5 A 6 B 15、 2 7 C 16、 8 B 2
9 B
10 A
11 C
12 C
二、填空题 13、 6
三 、 解 答 题 ： 17 、 解 ：（ 1 ） 由 已 及 正 弦 定 理 有 ： sinAcosB=2sinCcosA-cosAsinB 所以 A=
四川省成都市2018届高三数学二诊试卷理科 含解析
2018年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|y=}，B={x||x|≤2}，则A∪B=（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，4] C．[0，2]D．[0，4]2．函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在区间是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣l，0）C．（0，1）D．（1，2）3．复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．2i D．24．已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（）A． B．C．D．5．将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个减区间是（）A．[﹣，] B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]6．某校高三（1）班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[100，128]内，将该班所有同学的考试分数分为七组：[100，118），[118，118），[118，112），[112，116），[116，120），[120，124），[124，128]，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于112分的有18人，则分数不低于120分的人数为（）A．10 B．12 C．20 D．407．某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（）A．35种B．24种C．18种D．9种8．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点．则下列说法错误的是（）A．当AE⊥PB时，△AEF﹣定为直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF﹣定为直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF﹣定为直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF﹣定为直角三角形9．已知函数f（x）=，则不等式f（f（x））＜4f（x）+1的解集是（）A．（﹣3，0）B．（﹣，1）C．（0，2）D．（﹣，log32）10．已知抛物线y=x2的焦点为F，经过y轴正半轴上一点N作直线l与抛物线交于A，B两点，且=2（O为坐标原点），点F关于直线OA的对称点为C，则四边形OCAB面积的最小值为（）A．3 B．C．2D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知双曲线=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于______．12．的展开式中，x2项的系数为______．（用数字作答）13．已知实数x，y满足，则x2+y2﹣2x的取值范围是______．14．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为______15．已知函数f（x）=x+sin2x．给出以下四个命题：①∀x＞0，不等式f（x）＜2x恒成立；②∃k∈R，使方程f（x）=k有四个不相等的实数根；③函数f（x）的图象存在无数个对称中心；④若数列{a n}为等差数列，且f（a l）+f（a2）+f（a3）=3π，则a2=π．其中的正确命题有______．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，且b2+c2=3+bc．（I）求角A的大小；（Ⅱ）求bsinC的最大值．17．已知数列{a n}满足a1=1，（n+1）a n=（n﹣1）a n，（n≥2，n∈N*）．﹣1（I）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n．证明：S n＜2．18．某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．（I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．19．如图．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB1的中点，M为AC上一点，=．（I）证明：CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）若二面角C1﹣A1E﹣M的余弦值为，求AA1的长度．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF1|=．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）与抛物线相切于第一象限的直线l，与椭圆交于A，B两点，与x轴交于M点，线段AB的垂直平分线与y轴交于N点，求直线MN斜率的最小值．21．设函数f（x）=lnx．（I）求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值；（Ⅱ）若关于x的不等式mf（x）≥在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）已知a∈（0，），试比较f（tana）与﹣cos2a的大小，并说明理由．2018年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|y=}，B={x||x|≤2}，则A∪B=（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，4] C．[0，2]D．[0，4]【考点】并集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|y=}={x|4x﹣x2≥0}={x|0≤x≤4}，B={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}，则A∪B={x|﹣2≤x≤4}，故选：B．2．函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在区间是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣l，0）C．（0，1）D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【分析】据函数零点的判定定理，判断f（﹣1），f（0），f（1），f（2）的符号，即可求得结论．【解答】解：f（﹣1）=2﹣1+1﹣2=﹣＜0，f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，f（2）=4＞0，故有f（0）•f（1）＜0，由零点的存在性定理可知：函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在的区间是（0，1）故选：C．3．复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．2i D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的化数形式的乘除运算法则求解．【解答】解：∵z=====1+2i，∴复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是2．故选：D．4．已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（）A． B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】几何体为椎体与柱体的组合体，分四种情况进行判断．【解答】解：由主视图和侧视图可知几何体为椎体与柱体的组合体，（1）若几何体为圆柱与圆锥的组合体，则俯视图为A，（2）若几何体为棱柱与圆锥的组合体，则俯视图为B，（3）若几何体为棱柱与棱锥的组合体，则俯视图为C，（4）若几何体为圆柱与棱锥的组合体，则俯视图为故选：D．5．将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个减区间是（）A．[﹣，] B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据三角函数的图象变换关系求出g（x）的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可．【解答】解：将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，则y=cos（2x+），即g（x）=cos（2x+），由2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，当k=0时，单调递减区间为[﹣，]，故选：D．6．某校高三（1）班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[100，128]内，将该班所有同学的考试分数分为七组：[100，118），[118，118），[118，112），[112，116），[116，120），[120，124），[124，128]，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于112分的有18人，则分数不低于120分的人数为（）A．10 B．12 C．20 D．40【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图求出得分数低于112分的频率，从而求出高三（1）班总人数，再求出分数不低于120分的频率，由此能求出分数不低于120分的人数．【解答】解：由频率分布直方图得分数低于112分的频率为：（0.01+0.18+0.18）×4=0.36，∵分数低于112分的有18人，∴高三（1）班总人数为：n==50，∵分数不低于120分的频率为：（0.18+0.18）×4=0.2，∴分数不低于120分的人数为：50×0.2=10人．故选：A．7．某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（）A．35种B．24种C．18种D．9种【考点】计数原理的应用．【分析】根据红包的性质进行分类，若甲乙抢的是一个2和一个3元的，若两个和2元或两个3元，根据分类计数原理可得．【解答】解：若甲乙抢的是一个2和一个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A32=12种，若甲乙抢的是两个和2元或两个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22C32=6种，根据分类计数原理可得，共有12+6=18种，故选：C．8．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点．则下列说法错误的是（）A．当AE⊥PB时，△AEF﹣定为直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF﹣定为直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF﹣定为直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF﹣定为直角三角形【考点】棱锥的结构特征．【分析】A．当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，可得AE⊥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得AE⊥EF，即可判断出正误．B．当AF⊥PC时，无法得出△AEF﹣定为直角三角形，即可判断出正误；C．当EF∥平面ABC时，可得EF∥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得：BC⊥AE，EF⊥AE，即可判断出正误；D．当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE利用线面垂直的判定与性质定理即可判断出正误．【解答】解：A．当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴AE⊥BC，可得：AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，∴△AEF﹣定为直角三角形，正确．B．当AF⊥PC时，无法得出△AEF﹣定为直角三角形，因此不正确；C．当EF∥平面ABC时，平面PBC∩ABC=BC，可得EF∥BC，∵PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AE，因此EF⊥AE，则△AEF﹣定为直角三角形，正确；D．当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE，∴AE⊥平面PBC，∴AE ⊥EF，因此△AEF﹣定为直角三角形，正确．故选：B．9．已知函数f（x）=，则不等式f（f（x））＜4f（x）+1的解集是（）A．（﹣3，0）B．（﹣，1）C．（0，2）D．（﹣，log32）【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式，讨论f（x）的符号，将不等式进行转化求解即可．【解答】解：由3x+1=0得x=﹣，当x＜﹣时，3x+1＜0，则由f（f（x））＜4f（x）+1得f（3x+1））＜4（3x+1）+1，即3（3x+1）+1＜12x+4+1，即9x+4＜12x+5，得x＞﹣，此时不等式无解，当x≥﹣时，当x≥0时，f（x）=3x≥1，则由f（f（x））＜4f（x）+1得＜4•3x+1，设t=3x，则不等式等价为3t＜4t+1，设g（t）=3t﹣4t﹣1，则g（0）=0，g（2）=9﹣8﹣1=0，即g（t）＜0的解为0＜t＜2，即0＜3x＜2，得0≤x＜log32，当﹣≤x＜0时，f（x）=3x+1≥0，则f（f（x））=33x+1，则由f（f（x））＜4f（x）+1得33x+1＜4（3x+1）+1，设t=3x+1，则不等式等价为3t＜4t+1，设g（t）=3t﹣4t﹣1，则g（0）=0，g（2）=9﹣8﹣1=0，即g（t）＜0的解为0＜t＜2，即0＜3x+1＜2，即﹣1＜3x＜1，得﹣＜x＜，此时﹣＜x＜0，综上所述，﹣＜x＜log32．即不等式的解集为（﹣，log32），故选：D10．已知抛物线y=x2的焦点为F，经过y轴正半轴上一点N作直线l与抛物线交于A，B两点，且=2（O为坐标原点），点F关于直线OA的对称点为C，则四边形OCAB面积的最小值为（）A．3 B．C．2D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设直线AB方程为y=kx+b（b＞0），联立y=x2求解利用=2，求出b，可得直线AB方程为y=kx+2，设d1、d2分别为F到OA、O到AB的距离，利用四边形OCAB的面积S=S△OAC+S△OAB=（OA•d1+AB•d2），可得S关于k的函数，利用导数知识即可求解．【解答】解：不妨设位于第一象限的交点为A（x1，y1）、第二象限的交点为B（x2，y2），则x1＞0，x2＜0．OA的直线方程为y=x=x1x，F点的坐标为（0，）．设直线AB方程为y=kx+b（b＞0），联立y=x2求解，有x2﹣kx﹣b=0∴x1+x2=k，x1x2=﹣b，∴y1y2=b2，∵=2，∴x1x2+y1y2=﹣b+b2=2∵b＞0，∴b=2∴△=k2+8，x1=（k+）①；线段AB=②．设d1、d2分别为F到OA、O到AB的距离．∵C是F关于OA的对称点，∴C到OA的距离=d1．∴四边形OCAB的面积S=S△OAC+S△OAB=（OA•d1+AB•d2）．根据点到直线距离公式，d1=③，d2=④．又线段OA=⑤，∴将①～⑤代入S，有S=（k+17）．由S对k求导，令导函数=0，可得1+=0，解得k=﹣时，S最小，其值为3．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知双曲线=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线=1的右焦点为（3，0），求出|a|，再利用双曲线的定义，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线=1的右焦点为（3，0），∴a2+5=9，∴|a|=2，∵c=3，∴双曲线的离心率等于．故答案为：．12．的展开式中，x2项的系数为﹣20．（用数字作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2项的系数．【解答】解：在的展开式中，它的通项公式为T r+1=•x5﹣r•（﹣1）r，令5﹣r=2，求得r=3，可得x2项的系数为﹣=﹣20，故答案为：﹣20．13．已知实数x，y满足，则x2+y2﹣2x的取值范围是[﹣1，19] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，而（x﹣1）2+y2的几何意义表示平面区域内的点与（1，0）的点距离的平方，求出（x﹣1）2+y2的范围，从而求出x2+y2﹣2x的范围即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得A（3，4），x2+y2﹣2x=（x﹣1）2+y2﹣1，而（x﹣1）2+y2的几何意义表示平面区域内的点与（1，0）的点距离的平方，0≤（x﹣1）2+y2≤20，∴﹣1≤（x﹣1）2+y2≤19，故答案为：[﹣1，19]．14．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=•tan•tan…tan的值．由于：S=•tan•tan…tan tan=•tan•tan…cot•cot=tan=．故答案为：．15．已知函数f（x）=x+sin2x．给出以下四个命题：①∀x＞0，不等式f（x）＜2x恒成立；②∃k∈R，使方程f（x）=k有四个不相等的实数根；③函数f（x）的图象存在无数个对称中心；④若数列{a n}为等差数列，且f（a l）+f（a2）+f（a3）=3π，则a2=π．其中的正确命题有③④．（写出所有正确命题的序号）【考点】函数的图象．【分析】①用特殊值的方法即可；②③根据函数图象判断；④可用反代的方法判断成立．【解答】解：①当x=时，显然f（x）＞2x，故错误；②根据函的图象易知，方程f（x）=k最多有三个不相等的实数根，故错误；③根据函数的图象易知函数f（x）的图象存在无数个对称中心，故正确；④f（a l）+f（a2）+f（a3）=3π，∴a l+a2+a3=3π，sina l+sina2+sina3=0，解得a2=π，故正确．故答案为：③④．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，且b2+c2=3+bc．（I）求角A的大小；（Ⅱ）求bsinC的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由余弦定理可得：cosA===，即可得出．（II）由正弦定理可得：可得b=，可得bsinC=2sinBsin=+，根据B∈即可得出．【解答】解：（I）由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．（II）由正弦定理可得：，可得b=，bsinC=•sinC=2sinBsin=2sinB=sin2B+=+，∵B∈，∴∈．∴∈．∴bsinC∈．17．已知数列{a n}满足a1=1，（n+1）a n=（n﹣1）a n，（n≥2，n∈N*）．﹣1（I）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n．证明：S n＜2．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）依题意，可得a n=••…×××a1=，再验证n=1时是否符合该式即可得到答案，（Ⅱ）先裂项求和，再放缩法证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，（n+1）a n=（n﹣1）a n，﹣1∴=，∴=，…，==，==，∴a n=••…×××a1=，又n=1时a1=1，满足上式，∴数列{a n}的通项公式a n=，（Ⅱ）∵a n==2（﹣），∴S n=a1+a2+…+a n=2（1﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）＜2，问题得以证明．18．某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．（I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i（i=1，2），没有中奖的概率为P0，由此能求出该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率．（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i（i=1，2），没有中奖的概率为P0，则P1+P2==，即中奖的概率为，∴该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率为：P==．（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，P（X=0）=，P（X=50）==，P（X=100）==，P（X=150）==，P（X=200）==，X∴EX==55（元）．19．如图．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB1的中点，M为AC上一点，=．（I）证明：CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）若二面角C1﹣A1E﹣M的余弦值为，求AA1的长度．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）建立空间直角坐标系，利用向量关系求出F的坐标，根据线面平行的判定定理即可证明证明：CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】（I）如图，连接AB1，交A1E于F，连接MF，∵E为BB1的中点，∴建立以A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：设AA1=h，则A（0，0，0），C1（0，1，h），A1（0，0，h），E（2，0，），M（0，，0），B1（2，0，h），设F（x，0，z），则∥，∥，∵=（x，0，z），=（2，0，h），∴①∵=（x，0，z﹣h），=（2，0，﹣），∴=②，由①②得z=h，x=，或F作FT⊥AB，则==，则∴AF=AB1，∵=．∴MF∥CB1，∵MF⊂平面平面A1EM，CB1⊄平面A1EM，∴CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）设平面C1A1E的法向量为=（x，y，z），平面MA1E的法向量为=（x，y，z），则，则，令z=1，则x=，y=0，则=（，0，1），由得，令z=1，则x=，y=，即=（，，1）|cos＜，＞|==，得h2=2，即h=，则AA1的长度为．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF1|=．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）与抛物线相切于第一象限的直线l，与椭圆交于A，B两点，与x轴交于M点，线段AB的垂直平分线与y轴交于N点，求直线MN斜率的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）求得抛物线的焦点，可得c=1，设P为（，m），由椭圆的焦半径公式可得，|PF1|=a+•=，由椭圆和抛物线的定义可得，2a=++1，解方程可得a=2，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（k＞0），代入抛物线的方程，由判别式为0，可得kb=1，再由椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，以及基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：（I）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），可得椭圆的c=1，设P为（，m），由椭圆的焦半径公式可得，|PF1|=a+•=，由椭圆和抛物线的定义可得，2a=++1，解得a=2，b==，即有椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（k＞0），代入抛物线的方程，可得k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0，由相切的条件可得，△=（2kb﹣4）2﹣4k2b2=0，化简可得kb=1，由y=kx+和椭圆方程3x2+4y2=12，可得（3+4k2）x2+8x+﹣12=0，由64﹣4（3+4k2）（﹣12）＞0，可得k＞，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=﹣，即有中点坐标为（﹣，），设N（0，n），由=﹣，可得n=﹣，由y=kx+，设y=0，则x=﹣，M（﹣，0），可得直线MN的斜率为k MN==﹣=﹣≥﹣=﹣．当且仅当k=＞时，取得最小值﹣．21．设函数f（x）=lnx．（I）求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值；（Ⅱ）若关于x的不等式mf（x）≥在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）已知a∈（0，），试比较f（tana）与﹣cos2a的大小，并说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）求导数，确定函数的单调性，即可求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值；（Ⅱ）mf（x）≥可化为mlnx﹣≥0，构造函数，得出m（x+1）2﹣2x≥0在[1，x0]上恒成立，即可求实数m的取值范围；（Ⅲ）已知a∈（0，），证明＜，分类讨论，即可比较f（tana）与﹣cos2a的大小．【解答】解：（I）函数g（x）=x﹣1﹣f（x）=x﹣1﹣lnx，g′（x）=（x＞0），∴g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，∴x=1时，g（x）的极小值为0；（Ⅱ）mf（x）≥可化为mlnx﹣≥0，令h（x）=mlnx﹣（x≥1），则h′（x）=，∵h（1）=0，∴∃x0＞1，h（x）在[1，x0]上单调递增，∴m（x+1）2﹣2x≥0在[1，x0]上恒成立，∴m≥；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知x＞1，＞．∵0＜x＜1，∴＞1∴＞，∴＜，令x=t2，可得t＞1，lnt＞，0＜t＜1，lnt＜，∵f（tana）=lntana，﹣cos2a=，∴0＜a＜，0＜tana＜1，f（tana）＜﹣cos2aa=，tana﹣1，f（tana）=﹣cos2a，＜a＜，tana＞1，f（tana）＞﹣cos2a．2018年9月20日。
四川省成都市2018届高三二诊模拟考试数学文科试卷有答案AlUAwK
2018 届 2017~2018 学年下期二诊模拟考试数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. i 是虚数单位，则复数 6i 的虚部为 1iA.3B. 3C.3iD. 4i2.已知全集UR ，集合A {x|x30} ，B {x|2x1}. 4那么集合A CU B等于A.{x | 2 x 3} B.{x | 2 x 3}C.{x | x 2} D.{x | x 3} x03.若x,y满足约束条件 x2y3,则zxy的最小值是2x y 6A. 3 B.6C. 3D.324.若 sin( ) 1 ， ,则 sin 2 的值为 32A. 4 2 B. 2 2 C. 2 2 D. 4 299995.执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为A.2 B. 3 2C. 5 D. 8 356. 一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积为 2 ，则此四棱锥最长的侧棱长为A.2 3 B. 11 C. 13 D. 10 7.等比数列{an}中， a2 0 则"a2 a5 " 是 "a3 a5 " 的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件8. 已 知 函 数 f (x) 对 任 意 x R 都 有 f (x 4) f (x) 2 f (2) ， 若y f (x 1) 的图象关于直线 x 1 对称，则 f (2) A.B.C. D.9、已知 是双曲线 的左、右焦点, 点 在 上, B 2 若 3,则 的离心率为A.B.C.D.10.已知函数 f (x) 2 3 sin x cos x 2 cos2 x 1，将 f (x) 图像的横坐标伸长为原来的 2 倍，再向左平移 个单位后得到函数 g(x) ，在区间[0, ]上随机取一个数 x ，则 g(x) 1的概率为 2A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 345 211.若函数 y=f(x)的图象上存在不同的两点,使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数 t, 则称函数 y=f(x)为“t 函数”.下列函数中为“2 函数”的是①y=x-x3②y=x+ex③y=xlnx④y=x+cosxA.① ②B.③④C.①③D.②④12、已知向量 满足 则 等于，若， 的最大值和最小值分别为 ，A.B.2C.D.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13、从某小学随机抽取 名同学,将他们的身高(单厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要高在三组内的中,用分层抽样的方法选取 人参加一项活动,身高在内的学生中选取的人数应为位: 从身 学生 则从14、已知数列an}的各项都为正数，前 n 项和为 Sn ，若{log2 an} 是公差为 1 的等差数列，且 S5 =62 ，则 a2 =15．已知四面体 ABCD 的所有棱长都为 ,O 是该四面体内一点,且点 O 到平面 ABC、平面 ACD、平面 ABD、平面 BCD 的距离分别为 ,x, 和 y,则 + 的最小值是.16． 为抛物线上一点，且在第一象限，过点 作 垂直该抛物线的准线于点点, 为坐标原点, 若四边形的四个顶点在同一个圆上,则该圆的方程为为抛物线的焦三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17－21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分17．（本小题满分 12 分） 如 图 ， a,b,c 分 别 是 锐 角 ABC 的 三 个 内 角 A，B，C 的 对 边 ，bsin A a cos B= 2a ， sin BAC 4 . 5（1）求 sinC 的值； （2）若点 D 在边 BC 上且 BD 3CD ， ABC 的面积为 14，求 AD 的长度.18. （本小题满分 12 分） 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通 6 座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为 a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，且保费与上一年车辆发生道路交通事故的情况相 联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：交强险浮动因素和费率浮动比率表浮动因素浮动比率A上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮 10%B上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮 20%C上三个以及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮 30%D上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 0%E上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮 10%F上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮 30%某机构为了研究某一品牌普通 6 座以下私家车的投保情况，随机抽取了 70 辆车龄已满三年该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型ABCDEF数量1013720146（1）求一辆普通 6 座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率；（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损 6000 元，一辆非事故车盈利 10000 元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：①若该销售商店内有 7 辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选 2 辆，求这 2 辆车恰好有一辆为事故车的概率；②若该销售商一次性购进 70 辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值(结果用分数表示).19．（本小题满分 12 分）已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为菱形，且 PA 平面 ABCD ， ABC 60o ，点 E 是 BC 中点，点 F 在线段 PD 上且满足 PF 2FD ，PA AB 2. （1）证明： AE 面 PAD ；（2）求多面体 PAECF 的体积.20、（本小题满分 12 分）已知椭圆 C :x2 a2y2 b2 1(ab 0) 的离心率为 1 2，过椭圆上顶点和右顶点的直线与圆 O : x2 y2 12 相切, O 为坐标原点. 7（1）求椭圆 C 的方程； uuur uuur（2）若斜率为 1 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点（ A 在 x 轴上方），交 x 轴正半轴于 P 点,若 PB 3PA 0 ，求 AOB 的面积.21.（本小题满分 12 分）已知 a R ， f (x) (ax 1) ln x . （1）若 f (x) x2 ln x x 在[2, ) 恒成立，求 a 的取值范围；（2）若 f (x) 有两个极值点 ，，求 a 的范围并证明 f (x1) 4 .（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．选修 4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 的极坐标方程为 sin2 2a cos (a 0) ，过点的直线的参数方程为 x22t 2 （ t 为参数）， y42t 2直线 与曲线 相交于 两点.(1)写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程;(2)若 PA PB AB 2 ,求 a 的值.23．选修 4-5：不等式选讲已知函数 f (x) | 3x 2 | ． （1）解不等式 f (x) 4 | x 1| （2）若 a 0 且| x a | f (x) 4 恒成立，求实数 a 的取值范围．2018 届 2017-2018 学年下期二诊模拟考试数学参考答案（文科）一、选择题.题号 12345678910 11 12答案 ACCACCADDDBC二、填空题.13. 3 ； 14. 4 ；三、解答题.15. 8 ；16. (x 1 )2 ( y 5 2 )2 27324817. 解：（1）由题知 sin B sin A sin Acos B 2 sin A ，则 sin B cos B 2 ，sin(B ) 1，因 B 为锐角，所以 B ……………………3 分，44由 sin BAC 4 ,得cosBAC 355所以 sin C sin(B BAC) 7 2 …………………….6 分 10（2）由正弦定理 BC sin BAC 4 2AB sin C7又 1 BC AB sin B 14 ， BC AB 28 2 ……………….8 分 2解得 AB 7, BC 4 2 ……………………9 分所以 BD 3 2 ，由余弦定理， AD2 AB2 BD2 2AB BD cos B ， 解得 AD 5…………………………12 分 18. .(1) 一辆普通 6 座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率为： 14+6 = 2 ；…4 分70 7 (2) ①由已知可得，7 辆（车龄已满三年）该品牌二手车中，有两辆事故车，记为 A1，A2 ， 5 辆非事故车，分别记为 a1, a2 , a3 , a4 , a5 ，从 7 辆车中任选两辆共有 21 种情况，其中恰好有一辆为事故车 共有 10 种情况，所以其概率为 10 . ……………8 分21②由已知可得，70 辆（车龄已满三年）该品牌二手车中，有 20 辆事故车， 50 辆非事故车，所以一辆车盈利的平均值为： 20 -6000 +5010000 = 38000 元. ……………12 分120719.（1）由 ABC D 是菱形，则 AB=BC，又 ABC 60o ，所以 ABC 是等边三角形，又 E 是 BC 中点，则 AE BC ，又 AD//BC，则 AE AD，由 PA 平面 ABCD，得 AE AP ， AP I AD=A ，则 AE 面 PAD ;……………6 分V PAECF=VP-ABCD-VP-ABE-VE-ACD(2)=1 3SABCDPA-1 3SABEPA-1 3SACD（1 3PA）……………12分=4 3- 3-2 3=7 3 339 920.解：（1）设切线为 bx ay ab 0 ，则 ab 12a2 b27又因为 e 1 21b2 a2，解得 a2 4, b2 3 ，所以椭圆 C 的方程 x2 4y2 3 1………5 分x y n（2）设直线l为xyn(n0)，联立 x2y2， 4 3 1得 7 y2 6ny 3n2 12 0 ，设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，y1y26n 7①y1 y23n2 12 7,②由 0 ，可得 0n27 …….7分又因为uuur PBuuur 3PA0 ，可得 3y1y2 ③…………8分由①③解得y13n 7,y29n 7，代入② 27n2 3n2 12 ，解得 n2 7 , n 7 ，………10 分49742SAOB1 2 n ( y1y2 )6n2 73 2………12 分21. 解(1)由题: ax ln x ln x x2 ln x x 得： a x 1 ……2 分 ln x设 h(x)x 1 (x ln x2)， h '(x)ln x 1 (ln x)21 x设： u(x) ln x 1 1 x，Q u '(x) 1 x1 x2x x210(x1)u(x) 在[1, ) 单增，u(x) u(1) 1 0 h '(x) 0(x 1) …………………………4 分h(x)在 [1,)单增， hmin(x)h(2)1 ln 2a1 ln 2……………………………………6分(2)f'(x)a lnxa1 x，f''( x)ax 1 x2 (x0) ，①若 a 0 时, 知: f '(x) 在 (0, ) 单调递增,不合题…②若 a 0 时, 知: f '(x) 在 (0, 1 ) 单调递增,在 ( 1 , ) 单调递减aa只需要 f '( 1 ) a ln( 1 ) 2a 0 1 e2 a e2 ………………….9 分aaa此时知道： f (x) 在 (0, x1) 单减， (x1, x2 ) 单增， (x2 , ) 单减,且易知:1 0 x1 a x2又由f'( x1 )0a lnx1a1 x10 lnx11 ax1111f( x1 )(ax11) lnx1(ax11)( ax11)2ax1ax1又 1 ax1 0 f (x1) 4 …………………………………………………12 分22. (1)由=整理得=,∴曲线 的直角坐标方程为 =,直线 的普通方程为 = …………………………………………………….5 分(2)将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程 =中,得,设 两点对应的参数分别为 ,则有==,∵= ,∴ =即=∴=即,解得 或者(舍去),∴ 的值为 1…………………………………………………………………………….10 分23. （1）不等式当，，解之得． ；当时，，解之得；当 时， 综上，不等式的解集为，无解． …………………..5 分（2）令，则当时，．欲使不等式恒成立，只需，即又因为 ，所以，即． ．………………………10 分。
2018届四川省成都市高三第二次诊断性模拟检测数学(理)试题(解析版)
2018届四川省成都市高三第二次诊断性模拟检测数学（理）试题（解析版）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】故选D.2. 已知向量，，.若，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题，故选B.3. 若复数满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】故选A.4. 设等差数列的前项和为.若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】又.可得，则故选D.5. 已知，是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】C【解析】由题设，则A. 若，则，错误；B. 若，，则错误；D. 若，，当时不能得到，错误.故选C.6. 若的展开式中含项的系数为，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】二项式的展开式的通项为令，解得，，解得故选B.7. 已知函数的部分图象如图所示.现将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意可知的振幅，周期则，由，，解得：，将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则故选D.【点睛】本题考查求函数的解析式，函数的坐标变换，考查数形结合思想，属于基础题．8. 若为实数，则“”是“”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解不等式可得，是的真子集，故“”是“”成立的必要不充分条件.故选B.9. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，该几何体为四棱锥．底面为矩形，其中底面．...........................则该阳马的外接球的直径为∴该阳马的外接球的体积=故选C.10. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框中的条件可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，当时．此时有，算法结束，所以判断框中的条件应填，这样才能保证进行7次求和．故选D．【点睛】本题考查了程序框图中的直到型循环，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等．11. 已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意在区间内有唯一实数解令，解得，∴函数在区间[1，e]上单调递增，则，则的取值范围为.故选A.12. 已知双曲线：右支上的一点，经过点的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于，两点.若点，分别位于第一，四象限，为坐标原点.当时，的面积为，则双曲线的实轴长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】可设的面积为由题意可得，解得由，可得即为代入双曲线的方程，可得解得故选A.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13. 已知，，则__________．【答案】【解析】由题即答案为.14. 如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取人，则抽取的男生人数为__________．【答案】24【解析】由等高条形图可知，500名女同学中喜欢篮球运动的频率为，即女同学中喜欢篮球运动的由100人，500名男同学中喜欢篮球运动的频率为，即男同学中喜欢篮球运动的由300人.故从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取人，则抽取的男生人数为即答案为24人.15. 已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，是抛物线上的点，且轴.若以为直径的圆截直线所得的弦长为，则实数的值为__________．【答案】【解析】由题，直线圆心到直线的距离为由题意以为直径的圆截直线所得的弦长为，则即答案为，16. 已知数列共项，且，.记关于的函数，.若是函数的极值点，且曲线在点处的切线的斜率为.则满足条件的数列的个数为__________．【答案】1176【解析】由题，，是函数的极值点，即又故这七项中必有2项取1,5项取-1，，即中方法，又曲线在点处的切线的斜率为.，即或，（或-4），故这八项中必有2项取-1,6项取1，（这八项中必有6项取-1,2项取1），故满足条件的数列共有（或中方法，所以方法总数为个即答案为1176.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求.【答案】（1），.（2）.【解析】试题分析：（1化简可得.由，了求其单调递减区间；（2）由，可得，由正弦定理可得，最后由余弦定理可得.试题解析;（1）.由，，得，.∴函数的单调递减区间为，.（2）∵，，∴.∵，∴由正弦定理，得.又由余弦定理，，得.解得.18. 近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的列联表如下：（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过向用户随机派送每张面额为元，元，元的三种骑行券.用户每次使用扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是，，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：参考公式：，其中.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由题意求得的值，然后即可确定结论；（2）由题意首先求得分布列，然后求解数学期望即可．试题解析（1）由列联表的数据，有.因此，在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.（2）由题意，可知一次骑行用户获得元的概率为.的所有可能取值分别为，，，，.∵，，，，，∴的分布列为：的数学期望为（元）.19. 如图，是的中点，四边形是菱形，平面平面，，，.（1）若点是线段的中点，证明：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接，. .由四边形为菱形，可证.由平面平面，可证平面.即可证明平面；2）设线段的中点为，连接.易证平面.以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.求出相应点及向量的坐标，求得平面，平面的法向量，.。
四川省成都市18届高三数学第二次诊断性检测试题理
四川省成都市2018届高三数学第二次诊断性检测试题 理第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|11}P x x =-<，{|12}Q x x =-<<，则PQ =（ ）A ．1(1,)2- B ．(1,2)- C ．(1,2) D ．(0,2)2.已知向量(2,1)a =，(3,4)b =，(,2)c k =.若(3)//a b c -，则实数的值为（ ） A ．8- B ．6- C ．1- D ．3.若复数满足3(1)12i z i +=-，则z 等于（ ）A ．32 C ．2D ．124.设等差数列{}n a 的前项和为n S .若420S =，510a =，则16a =（ ） A ．32- B ．12 C ．16 D ．325.已知m ，是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥6.若6(x的展开式中含32x 项的系数为160，则实数的值为（ ）A ．B ．2-C ．．- 7.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的部分图象如图所示.现将函数()f x 图象上的所有点向右平移4π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()2sin(2)4g x x π=+B ．3()2sin(2)4g x x π=+C ．()2cos 2g x x =D ．()2sin(2)4g x x π=-8.若为实数，则“2x ≤≤223x x +≤≤”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A B ． C D ．24π 10.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为56，则判断框中的条件可以是（ ）A ．7?n ≤B ．7?n >C ．6?n ≤D ．6?n > 11.已知函数()1ln m f x n x x =--(0,0)m n e >≤≤在区间[1,]e 内有唯一零点，则21n m ++的取值范围为（ ）A ．22[,1]12e e e e ++++ B ．2[,1]12e e ++ C ．2[,1]1e + D ．[1,1]2e+ 12.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点P ，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点.若点A ，B 分别位于第一，四象限，O 为坐标原点.当12AP PB =时，AOB ∆的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为（ ） A ．329 B ．169 C ．89 D ．49第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知132a =，231()2b =，则2log ()ab = ．14.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为 ．15.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线与轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF x ⊥轴.若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为，则实数p 的值为 ．16.已知数列{}n a 共16项，且11a =，84a =.记关于的函数321()3n n f x x a x =-2(1)n a x +-，*n N ∈.若1(115)n x a n +=≤≤是函数()n f x 的极值点，且曲线8()y f x =在点16816(,())a f a 处的切线的斜率为15.则满足条件的数列{}n a 的个数为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()cos 22x x f x =21cos 22x -+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，1()2f A =，a =sin 2sin B C =，求.18.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22⨯列联表如下：（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送每张面额为元，元，元的三种骑行券.用户每次使用APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是12，15，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，60FBD ∠=，AB BC ⊥，AB BC ==（1）若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ； （2）求平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，离心率为，点B 是椭圆上的动点，1ABF ∆. （1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点1F 的直线与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中垂线为'l .若直线'l 与直线相交于点P ，与直线2x =相交于点Q ，求PQ MN的最小值.21.已知函数()ln 1f x x x ax =++，a R ∈.（1）当时0x >，若关于的不等式()0f x ≥恒成立，求的取值范围； （2）当*n N ∈时，证明：223ln 2ln 242n n <++21ln 1n nn n ++⋅⋅⋅+<+.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
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成都市2018届高中毕业班第二次诊断性检测数学（文史类）本试卷分选择题和非选择题两部分。
第Ⅰ卷（选择题）l 至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至l 页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 )()()(B P A P B A P +=+ 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ， 334R V π= 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率),,2.1,0()1()(n k p p C k P k n nk n n =-=- 其中R 表示球的半径一、选择题： (1)计算=-2lg 20lg (A)4 (B)2 (C)l (D)21 解：20lg 20lg 2lglg1012-===，选C (2)已知向量)1,3(=a ，),2(λ=，若//，则实数λ的值为(A)32 (B)32- (C)23 (D)23- 解：2//3203a b λλ⇔-=⇔=，选A(3)在等比数列}{n a 中，若35-=a ，则=⋅82a a (A) —3 (B)3 (C)—9 (D)9解：22853a a a ⋅==，选B(4) 已知1010221052)2(x a x a x a a x x ++++=-- ，则10921a a a a ++++ 的值为 (A)—64 (B) —32 (C)0 (D)64解：2555(2)(2)(1)x x x x --=-+，令0x =得50(2)32a =-=-，令1x =，则0129a a a a a+++++ 32=-，所以129100a a a a ++++=，选C(5)在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ．若bc a c b 56222=-+，则)sin(C B +的值为(A)54-(B)54 (C)53- (D)53解：22222263cos 525b c a b c a bc A bc +-+-=⇒==，4sin()sin 5B C A +==，选B (6)设集合}14|),{(22=-=y x y x P ，}012|),{(=+-=y x y x Q ，记Q P A =，则集合A 中元素的个数有(A)3个 (B)1个 (C)2个 (D)4个解：由于直线210x y -+=与双曲线2214x y -=的渐近线12y x =平行，所以选B (7)定义在R 上的函数)(x f 满足1)1(2)(2-+-=⋅x x f x f ，则)0(f 的值为(A)32 (B) 32- (C) 31 (D) 31-解：以1x -代x 得2(1)2()(1)1f x f x x ⋅-=+--，从而223()2(1)3f x x x -=-+-，令0x =，则1(0)3f =-，选C(8)已知关于x 的方程0122=--mx x 在区间)1,0(上恰有一个实数根，则实数m 的取值范围是(A))1,0( (B)),0(+∞ (C)),1(+∞ (D))1,(-∞解：222112102x x mx m x x x---=⇒==-，由于函数12x x -在区间)1,0(上是增函数且值域为)1,(-∞，所以选D(9)某出租车公司计划用450万元购买A 型和B 型两款汽车投入营运，购买总量不超过50辆，其中购买A 型汽车需13万元／辆，购买B 型汽车需8万元／辆．假设公司第一年A 型汽车的纯利润为2万元／辆，B 型汽车的纯利润为1.5万元／辆，为使该公司第一年纯利润最大，则需安排购买(A) 10辆A 型出租车，40辆B 型出租车 (B)9辆A 型出租车，41辆B 型出租车 (C)11辆A 型出租车，39辆B 型出租车 (D) 8辆A 型出租车，42辆B 型出租车 解法一：A 时，成本为813428440⨯+⨯=万元，利润为8242 1.579⨯+⨯=万元 B 时，成本为913418445⨯+⨯=万元，利润为9241 1.579.5⨯+⨯=万元 C 时，成本为1113398455⨯+⨯=万元，利润为11239 1.580.5⨯+⨯=万元 D 时，成本为1013408450⨯+⨯=万元，利润为10240 1.580⨯+⨯=万元 而1113398455450⨯+⨯=>，选A解法二：设购买A 型出租车x 辆，购买B 型出租车y 辆，第一年纯利润为z ，则50138450**x y x y x N y N +≤⎧⎪+≤⎪⎨∈⎪⎪∈⎩，2 1.5z x y =+，作出可行域，由50138450x y x y +=⎧⎨+=⎩解得1040x y =⎧⎨=⎩，选A(10)过点)4,4(-P 作直线l 与圆25)1(:22=+-⋅y x C 交于A 、B 两点，若2||=PA ，则圆心C 到直线l 的距离等于(A)5 (B)4 (C)3 (D)2 解法一：如图，||PC ==，||5BC =，2=，当5d =时，2220||d B C d -=-A 当4d =23== B解法二：2=2222||4||PC d BC d --=-，5=，224d =，4d =，选B(11)某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有(A)144种 (B)150种 (C)196种 (D)256种解，把学生分成两类：311，221，所以共有31122133521531332222150C C C C C C A A A A +=，选B (12)已知定义在]8,1[⋅上的函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤≤--=82),2(2121|,23|84)(x x f x x x f ．则下列结论中，错误的是(A) 2)3(=f(B)函数)(x f 的值域为]4,0[(C)对任意的]8,1[∈x ，不等式6)(≤x xf 恒成立(D)将函数)(x f 的极值由大到小排列得到数列*},{N n a n ∈，则}{n a 为等比数列 解：348||,122()1(),2,22x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩111348||,1221133()[48||]24||,24222222211133()()()[48||]12||,48224442421(),2222n n n n x x x x x f x x x x f x f f x x x f x ---⎧--≤≤⎪⎪⎪=--=--<≤⎪⎪⎪===--=--<≤⎨⎪⎪⎪⎪<≤⎪⎪⎩，其图象特征为：在每一段图象的纵坐标缩短到原来的一半，而横坐标伸长到原来的2倍，并且图象右移1322n -⨯个单位，从而A 对；显然33(3)24||222f =--= B 结合图象知对； C 00006()6()x f x f x x >⇔>，结合图象可知对； D 从而错，选D第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在答题卡上．(13)设53cos sin =+αα，则=α2sin ______________________． 解：23916sin cos (sin cos )sin 252525x αααα+=⇒+=⇒=-，填1625-(14)在底面边长为2的正四棱锥ABCD P -中，若侧棱PA 与底面ABCD 所成的角大小为4π，则此正四棱锥的斜高长为______________________．解：如图，OA==，2PA==，在正PAD∆中，2PE==(15)已知椭圆12:22=+yxC的右焦点为F，右准线l与x轴交于点B，点A在l上，若ABO∆(O为坐标原点)的重心G恰好在椭圆上，则=||______________________．解：设(2,)A y，则焦点(1,0)F，重心022004(,)(,)3333y yG++++=，因为重心G恰好在椭圆上，所以224()3()1123yy+=⇒=±，即(2,1)A±，所以||2AF=，填(16)如图，在半径为l的球O中．AB、CD是两条互相垂直的直径，半径⊥OP平面ACBD．点E、F分别为大圆上的劣弧BP、AC的中点，给出下列结论：①E、F两点的球面距离为32π；②向量在向量方向上的投影恰为21；③若点M为大圆上的劣弧AD的中点，则过点M且与直线EF、PC成等角的直线有无数条；④球面上到E、F两点等距离的点的轨迹是两个点；其中你认为正确的所有结论的序号为______________________．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,22E，F，(0,1,0)B，(0,0,1)P，(1,0,0)C①2212 cos cos cos co45cos(9045)2223 EOF EOB COB EOFπ∠=∠∠=+=-⨯=-⇒∠=，对；②向量在向量，错；③由于等角的值不是一定值，因此将直线EF 、PC 都平移到点M ，可知过点M 且与直线EF 、PC 成等角的直线有无数多条，对；④过点EF 的中点及球心O 的大圆上任意点到点E 、F 的距离都相等，错；填①③第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)（本小题满分12分） 已知函数m x x x x f +-+=2cos )6cos(sin 2)(π．(I)求函数)(x f 的最小正周期； (Ⅱ)当]4,4[ππ-∈x 时，函数)(x f 的最小值为3-，求实数m 的值． 解：(I)m x x x x f +-+=2cos )6cos(sin 2)(πm x x x x +--=2cos )sin 21cos 23(sin 2 ……1分m x x x x +--=2cos sin cos sin 32m x x x +---=.2cos 2)2cos 1(2sin 23 …3分 m x m x x +--=+--=21)62sin(212cos 212sin 23π．……5分 )(x f ∴的最小正周期ππ==22T ……6分 (Ⅱ)当]4,4[ππ-∈x ，即44ππ≤≤-x 时，有222ππ≤≤-x ，36232πππ≤-≤-∴x ． ……8分 23)32sin(1π-≤-∴x ． ……10分得到)(.x f 的最小值为m +--211．……11分由已知，有3211-=+--m ．23-=∴m ， ……12分(18)（本小题满分12分）如图，边长为1的正三角形SAB 所在平面与直角梯形ABCD 所在平面垂直，且CD AB //，AB BC ⊥，1=BC ，2=CD ，E 、F 分别是线段SD 、CD 的中点．(I)求证：平面//AEF 平面SBC ； (Ⅱ)求二面角F AC S --的大小．解：（Ⅰ）F 分别是CD 的中点，121==∴CD FC ．又1=AB ，所以AB FC =． AB FC // ，∴四边形ABCF 是平行四边形．BC AF //∴．……2分E 是SD 的中点，SC EF //∴.……3分又F EF AF = ，C SC BC = ，∴平面//AEF 平面.SBC ……5分 (Ⅱ)取AB 的中点O ，连接SO ，则在正SAB ∆中，AB SO ⊥，又 平面⊥SAB 平面ABCD ，=AB 平面 SAB 平面ABCD ，⊥∴SO 平面ABCD . …6分于是可建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -.则有)0,21,0(-A ，)0,21,1(C ，)23,0,0(S ，)0,21,1(-F ，)0,1,1(=，)23,21,0(=． …7分设平面SAC 的法向量为),,(z y x =，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02321000z y y x m AC ．取31,1,1=-==z y x ，得)311,1(,-=．……9分平面FAC 的法向量为)1,0,0(=. …10分77311131||||,cos =++=>=<n m n m …11分而二面角F AC S ---的大小为钝角，∴二面角F AC S --的大小为77cosarc -π． …12分(19)（本小题满分12分）某电视台拟举行“团队共享”冲关比赛，其规则如下：比赛共设有“常识关”和“创新关”两关，每个团队共两人，每人各冲一关，“常识关”中有2道不同必答题，“创新关”中有3道不同必答题；如果“常识关”中的2道题都答对，则冲“常识关”成功且该团队获得单项奖励900元，否则无奖励；如果“创新关”中的3道题至少有2道题答对，则冲“创新关”成功且该团队获得单项奖励1800元，否则无奖励，现某团队中甲冲击“常识关”，乙冲击“创新关”，已知甲回答“常识关”中每道题正确的概率都为32，乙回答“创新关”中每道题正确的概率都为21，且两关之间互不影响，每道题回答正确与否相互独立． (I)求此冲关团队在这5道必答题中只有2道回答正确且没有获得任何奖励的概率； (Ⅱ)求此冲关团队在这5道必答题中只有3道回答正确且获得1800元奖金的概率．解：(I)记“此冲关团队在这5道必答题中只有2道回答正确且没有获得任何奖励”为事件E ，事件E 发生即“常识关”和“创新关”两关中都恰有一道题答正确． 61)21(213132)(21312=⨯⨯⨯⨯⨯=C C E P ． ……6分 (Ⅱ)记“此冲关团队在这5道必答题中只有3道回答正确且获得1800元奖金”为事件F ，“‘常识关’中2道题都答错，且‘创新关’中3道题都答正确”为事件M ；“‘常识关’中2道题一对一错，且‘创新关’中3道题恰有2道正确”为事件N ，事件M 与N 为互斥事件．181)21()32()(32=⨯=M P ； ……8分6121)21(3132.)(22312=⨯⨯⨯⨯⨯=C C N P ； ……10分9261181)()()(=+=+=∴N P M P F P ． ……12分(20)（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知动点)0)(,(≤y y x P 到点)2,0(-F 的距离为1d ，到x 轴的距离为2d ，且221=-d d ． (I)求点P 的轨迹E 的方程；(Ⅱ)若A 、B 是(I)中E 上的两点，16-=⋅，过A 、B 分别作直线2=y 的垂线，垂足分别为P 、Q ．证明：直线AB 过定点M ，且⋅为定值． 解：（Ⅰ）)2,(+=y x ．由2||||=-y 及0≤y ，得2||)2(22=-++y y x . ……2分整理，得)0(82≤-=y y x .即为所求动点P 的轨迹E 的方程． ……3分 (Ⅱ)设),(.11y x A ，),(.22y x B ．由题意，知直线AB 的斜率必定存在， 故设直线AB 的斜率为k ，方程为.b kx y +=. ……4分联立088822=++⇒⎩⎨⎧-=+=b kx x yx bkx y ．则k x x 8.21-=+，b x x 821=. …6分))((21212121b kx b kx x x y y x x +++=+=⋅ 221212)()1(b x x bk x x k ++++= 168)1(8222-=+-+=b bk k b ．01682=++∴b b ．从而4-=b ． ……8分又032642>-=∆b k ，即22k b <，故4-=b ．经检验符合题意．当4-=b 时，直线AB 的方程为4-=kx y ，恒过定点)4,0(-M ． ……10分 由题意，知)2,(1x P ，)2,(2x Q ．则36)6,()6,(2121+=⋅=⋅x x x x . 故当4-=b 时，4=⋅为定值． ……12分 (21)（本小题满分12分）已知函数23)(ax x x f -=． (I)求以曲线)(x f 上的点)0,1(P 为切点的切线方程； (Ⅱ)当0≤a 时，讨论函数)(x f 的单调性；(Ⅲ)如果函数)(x f 的图象与函数2352)(x x x x g +-=的图象有四个不同的交点，求实数a 的取值范围．解：(Ⅰ) 函数)(x f 过点)0,1(P ，1=∴a ．x x x f 23)('2-= ，1)1('==f k ， ∴以)0,1(P 为切点的切线方程：1-=x y . ……3分(Ⅱ) )0)(23(23)('2≤-=-=a a x x ax x x f .①当0=a 时，0)('≥x f 恒成立，∴函数)(x f 在),(+∞-∞单调递增，②当0<a 时，令0)('≥x f ，则0≥x 或32a x ≤，∴函数)(x f 的单调递增区间为]32,(a -∞，),0[+∞；单调递减区间为]0,32[a ． …7分 (Ⅲ) 函数)(x f 的图象与函数2352)(x x x x g +-=的图象有四个不同的交点，235232x x x ax x +-=-∴，即0)1(3235=++-x a x x 有四个不同的根．显然0=x 为其中的一个根．0)1(33=++-∴a x x 有三个不同的非零根， …8分构造辅助函数)1(3)(3++-=a x x x M ．则)1)(1(333)('2-+=-=x x x x M ． )(x M ∴在区间)1,1(-上单调递减，在区间)1,(--∞，),1(∞上单调递增．)1()(-=∴M x M 极大值，)1()(M x M =极小值． …10分．0)1(33=++-∴a x x 有三个不同的非零根⎪⎩⎪⎨⎧=/+<>-⇔.01,0)1(0)1(a M M ， 即⎪⎩⎪⎨⎧-=/<->+.10103a a a ． 13<<-∴a ，且1-=/a ． …12分(22)（本小题满分14分）已知正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*,21N n S a a n nn ∈=+． (Ⅰ)求证：数列}{2n S 是等差数列；(Ⅱ)求解关于n 的不等式84)(11->+-+n S S a n n n 、； (Ⅲ)记数列32n n S b =，n n b b b T 11121+++= ，证明：nT n n 123111-<<+-．解：(Ⅰ) n n n S a a 21=+ ．n n n S a a 212=+∴．当2≥n 时，n n n n n S S S S S )(21)(121---=+-，化简得1212=--n n S S ．由11121a a a =+，得21211S a ==．∴数列}{2n S 是等差数列． ……5分 (Ⅱ)由(I)知n n S n =-+=)1(12，又由84)(11->+++n S S a n n n ，得84))((11->+-++n S S S S n n n n ．84221->-∴+n S S n n ，即841->n ．49<∴n ．又*N n ∈，∴不等式的解集为}2,1{． ……9分 (Ⅲ)当2≥n 时，n n n n n n n n n n n n n n b n 111)1(11)1(1211--=---<--=-+<= ．n n n T n 123)111)312)211(21(-=--++--+-+<∴111)112(11)1(1211+-=+⋅++->++-=++>=n n n n n n n n n n n n n b n ． 111)111.)31)211(+-=+-++-+->∴n n n h T n ，故n T n n 123111-<<+- …14分。