2014年全国高考湖南省理科数学试题及答案详解
2014年全国高考理科数学试题及答案-湖南卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、满足1z i z+=（i 的虚数单位）的复数z= A 、1122i + B 、1122i - C 、1122i -+ D 、1122i -- 2、对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1p 、2p 、3p ，则 A 、123p p p =< B 、123p p p >= C 、132p p p =< D 、132p p p == 3、已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）-g （x ）= 321x x ++，则(1)(1)f g+=A 、3-B 、1-C 、1D 、34、51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是A 、-20B 、-5C 、5D 、20 5、已知命题p ：若x>y ，则-x<-y ：命题q ：若x>y ，在命题①p q Λ ②p q ∨ ③()p q ∧⌝ ④()p q ⌝∨ 中，真命题是A 、①③B 、①④C 、②③D 、②④ 6、执行如图1所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于A 、[-6,-2]B 、[-5,-1]C 、[-4，5]D 、[-3,6]7、一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于A 、1B 、2C 、3D 、48、某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年的生产总值的年平均增长率为 A 、2p q + B 、(1)(1)12p q ++- CD19、已知函数发()sin(x )f x ϕ=-，且230()0xf x dx =⎰，则函数()f x 的图象的一条对称轴是A 、5x=6π B 、x=712π C 、x=3π D 、x=6π 10、已知函数21()-(0)2xf x x e x =+<与2()ln()g x x x a =++的图象在存在关于y 轴对称点，则a的取值范围是A、-∞（ B、-∞（ C、（ D、（ 二、填空题，本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分（一）选做题(请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线 l 与曲线 2cos :1sin x a C y a =+⎧⎨=+⎩（a 为参数）交于A ，B两点，且 2AB =.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是_________。
2014年高考理科数学湖南卷(含答案解析)
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页.时量120分钟.满分150分.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.满足ii z z +=（i 为虚数单位）的复数z =( )A .11i 22+B .11i 22-C .11i 22-+D .11i 22--2.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽 样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为1p ,2p ,3p ,则( ) A .123p p p =＜ B .231p p p =＜ C .132p p p =＜D .123p p p ==3.已知()f x ,()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且32()()1f x g x x x -=++,则 (1)(1)f g +=( )A .3-B .1-C .1D .3 4.51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是( )A .20-B .5-C .5D .205.已知命题p ：若x y ＞,则x y -＜-；命题q ：若x y ＞,则22x y ＞.在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中,真命题是( )A .①③B .①④C .②③D .②④6.执行如图1所示的程序框图,如果输入的[2,2]t ∈-,则输出的S 属于 ( )A .[6,2]--B .[5,1]--C .[4,5]-D .[3,6]-7.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A .1B .2C .3D .48.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A .2p q+ B .(1)(1)12p q ++-CD19.已知函数()sin()f x x ϕ=-,且2π30()d 0f x x =⎰,则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )A .5π6x =B .7π12x =C .π3x =D .π6x = 10.已知函数21()e (0)2x f x x x =+-＜与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( )A.(-∞ B.(-∞ C.( D.(二、填空题：本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分）11.在平面直角坐标系中,倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：2cos ,1sin ,x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于A ,B 两点,且||2AB =.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是 .12.如图3,已知AB ,BC 是O 的两条弦,AO BC ⊥,ABBC =则O 的半径等于 .13.若关于x 的不等式|2|3ax -＜的解集为51{|}33x x -＜＜,则a = . （二）必做题（14～16题）14.若变量x ,y 满足约束条件,4,,y x x y y k ⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥且2z x y =+的最小值为6-,则k = .15.如图4,正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b ＜,原点O 为AD 的中点,抛物线22(0)y px p =＞经过C ,F 两点,则ba= .16.在平面直角坐标系中,O 为原点,(1,0)A -,(0,3)B ,(3,0)C ,动点D 满足||1CD =,则||OA OB OD ++的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立. （Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A 研发成功,预计企业可获利润120 万元；若新产品B 研发成功,预计企业可获利润100 万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望.-----在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效---------姓名________________ 准考证号_____________图1图2图3图418.（本小题满分12分）如图5,在平面四边形ABCD 中,1AD =,2CD =,AC = （Ⅰ）求cos CAD ∠的值；（Ⅱ）若cos BAD ∠=sin 6CBA ∠=, 求BC 的长.19.（本小题满分12分）如图6,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,AC BD O =,11111AC B D O =,四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形. （Ⅰ）证明：1O O ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）若60CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足11a =,1||n n n a a p +-=,*n ∈N .（Ⅰ）若{}n a 是递增数列,且1a ,22a ,33a 成等差数列,求p 的值； （Ⅱ）若12p =,且21{}n a -是递增数列,2{}n a 是递减数列,求数列{}n a 的通项公式.21.（本小题满分13分）如图7,O 为坐标原点,椭圆1C ：()222210x y a b a b +=＞＞的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为1e ；双曲线2C ：22221x y a b -=的左、右焦点分别为3F ,4F ,离心率为2e .已知12e e =,且241F F =-. （Ⅰ）求1C ,2C 的方程；（Ⅱ）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点.当直线OM 与2C 交于P ,Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.21.（本小题满分13分）已知常数0a ＞,函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+. （Ⅰ）讨论()f x 在区间(0+)∞，上的单调性；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ,2x ,且12()()0f x f x +＞,求a 的取值范围.图5图6图72014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）答案解析一、选择题 1.【答案】B【解析】由题意可知i i z z +=，所以i ()1z z =+，令z a bi =+，经化简可知1a ba b =-⎧⎨=+⎩，所以12a =，12b =-，即11i 22z =-，故选B.【提示】根据复数的基本运算即可得到结论. 【考点】复数的四则运算 2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，系统抽样和分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==.故选D.【提示】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论. 【考点】随机抽样的概率 3.【答案】C【解析】因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x =--，即()()()()f x f x g x g x =-⎧⎨-=-⎩，联立3232()()1()()1f xg x x x f x g x x x ⎧-=++⎪⎨---=-++⎪⎩，得出2()1f x x =+，3()g x x =-，所以(1)(1)211f g +=-=，故选C.【提示】因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x =--，联立方程得出()f x 和()g x 的解析式，再令1x =即可. 【考点】对数奇偶性 4.【答案】A【解析】根据()()555122rr rr r C x y --⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以23x y 的系数为23351(2)202C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故选A.【提示】利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可. 【考点】二项式定理 5.【答案】C【解析】根据不等式的性质可知，若x y >，则x y -<-成立，即p 为真命题，当1x =，1y =-时，满足x y >，但22x y >不成立，即命题q 为假命题，则①p q ∧为假命题；②p q ∨为真命题；③()p q ∧⌝为真命题；④()p q ⌝∨为假命题，故选：C.【提示】根据不等式的性质分别判定命题p ，q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论.【考点】非、或、且，真假命题 6.【答案】D【解析】当[2,0)t ∈-时，运行程序如下，221(1,9]t t =+∈，(26]3,S t -=∈-，当[0,2]t ∈时，[,1]33S t ∈--=-，则(2,6][3,1][3,6]S ∈---=-，故选D.【提示】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论. 【考点】循环结构流程图 7.【答案】B【解析】由图可知该几何体的为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则628r r r -+=-，故选B.【提示】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r .【考点】几何体的体积 8.【答案】D【解析】由题意可知：设平均增长率为x ，由2(1)(1)(1)p q x ++=+，1x +=所以1x =，故选D.【提示】根据增长率之间的关系，建立方程关系即可得到结论. 【考点】增长率 9.【答案】A 【解析】由2π30⎰()0f x dx =，可以得出2πcos cos()3ϕϕ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即π3ϕ=，所以()s i n 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因此一条对称轴为πππ32x k -=+（k ∈Z ）所以5π6x =，故选A. 【提示】由2π3⎰()0f x dx =，可以得到ϕ的值，可以知道对称轴x 从而求得x 的值.【考点】积分，对称轴，三角函数 10.【答案】B【解析】由题可得函数()f x 的图象上存在020001,e (0)2x P x x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭关于y 轴对称的点02001,e 2x Q x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭在函数2()l n ()g x x x a =++的图象上，从而0220001e ()ln()2x x x x a +-=-+-+，即001e ln()02x x a --+-=，问题等价于函数001()e ln()2xh x x a =--+-在(,0)x ∈-∞存在零点.即(a ∈-∞【提示】由题意可得001e ln()02xx a ---+=有负根，采用数形结合的方法可判断出a 的取值范围. 【考点】对称性 二、填空题11.【答案】(cos sin )1p θθ-=【解析】设直线方程y x b =+，联立22(2)(1)1x y y x b ⎧-+-=⎨=+⎩得出2222(3)420x x b b b --++-=，由韦达定理212422b b x x +-=，123x x b +=-，又有||2AB ===所以最后得出1b =-，故直线方程1x y -=，所以极坐标方程为(cos sin )1p θθ-=【提示】由题意可得直线l 的方程为y x b =+，曲线方程化为直角坐标，表示一个圆，由于弦长正好等于直径，可得圆心(2,1)在直线l 上，由此求得b 的值，可得直线的方程. 【考点】直线与参数方程的位置关系，极坐标12.【答案】32【解析】设线段AO 与BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E，则BD DC =，由ABD △的勾股定理可得1AD =，由双隔线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒=，则直线332AE r =⇒=，故填32.【提示】设垂足为D ，O 的半径等于R ，先计算AD ，再计算R 即可. 【考点】勾股定理，双割线定理 13.【答案】3-【解析】由题可得523231233aa a ⎧--=⎪⎪⇒=-⎨⎪-=⎪⎩，故填：3- 【提示】由题可得52321233aa ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得a 的值.【考点】绝对值不等式 14.【答案】2-【解析】作出不等式组4y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的区域，可以得出三条直线的交点(),k k ，(4),k k -，(2)2,，且y x ≤，4x y +≤的可行域，所以2k ≤，则当(),k k 为最优解时，362k k =-⇒=-，当(4),k k -为最优解时，2(4)614k k k -+=-⇒=，因为2k ≤，所以2k =-，故填2-.【提示】做出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定k 的值即可. 【考点】线性规划 15.1【解析】由,2a C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,2a F b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则22122a pab a a b p b ⎧=⎪⇒=⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩1. 【提示】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C ，F 两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p 后，得到a ，b 的关系式，再寻求ba 的值.【考点】抛物线16.【答案】1]【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆，设为(3cos ,sin )θθ+([0,2π))θ∈，则||OA OB OD ++==，因为2c o s 3s i nθθ的取值范围为[[=，827(11+=+1=，所以||OA OB OD ++的取值范围为1]+.【提示】由题意设点D 的坐标为(3c o s θθ+，求得||8OA OB OD ++=+.根据2cos sin θθ的取值范围，可得||OA OB OD ++的最大值.【考点】平面向量的基本运算 三、解答题 17.【答案】（Ⅰ）1315（Ⅱ）140【解析】（Ⅰ）记{}E =甲组研发新产品成功，{}F =乙组研发新产品成功.由题设知2()3P E =，1()3P E =，3()5P F =，2()5P F =，故所求的概率为13()()()()()()15P P F P E P E P F P E P F =++=. （Ⅱ）设企业可获利润为X （万元），则X 的可能取值为0，100，120，220.因122(0)()3515P X P EF ===⨯=，133(100)()3515P X P EF ===⨯=，224(120)()3515P X P EF ===⨯=，236(220)()3515P X P EF ===⨯=，数学期望为30048013202100()0100120220140151515151515E X ++=⨯+⨯+⨯+⨯===. 【提示】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，计算即可， （Ⅱ）求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可.【考点】分布列和数学期望，概率 18.【答案】（Ⅱ）3【解析】（Ⅰ）在ADC △中，由余弦定理，得222cos 2AC AD CD CAD AC AD+-∠=故由题设知，cos CAD ∠==（Ⅱ）sin 14BAD ∠== 于是sin sin()BAC BAD CAD ∠=∠-∠sin cos cos sin BAD CAD BAD CAD =∠∠-∠∠27721⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ . 在ABC △中，由正弦定理，sin sin BC ACBAC CBA=∠∠，故37sin 3sin AC BACBC CBA∠===∠. 【提示】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos CAD ∠的值.（Ⅱ）根据cos CAD ∠，cos BAD ∠的值分别，求得sin BAD ∠和sin CAD ∠，进而利用两角和公式求得sin BAC ∠的值，最后利用正弦定理求得BC . 【考点】解三角形，余弦定理，正弦定理19.【答案】（Ⅰ）如图，因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥. 同理1DD BD ⊥.因为11CC DD ∥，所以1CC BD ⊥. 而ACBD O =，因此1C C B D C A ⊥底面.由题设知，11O O C C ∥. 故1C O B D O A ⊥底面.（Ⅱ）如图2，过1O 作11O H OB ⊥于H ，连接1HC . 由（Ⅰ）知，1C O B D O A ⊥底面， 所以11111O O A B C D ⊥底面， 于是111O O AC ⊥.又因为四棱柱1111A B ABC C D D -的所有棱长都相等， 所以四边形1111A B C D 是菱形，因此1111AC B D ⊥，从而1111AC BDD B ⊥平面， 所以111AC OB ⊥，于是111OB O HC ⊥平面， 进而11OB C H ⊥.故11C HO ∠是二面角11C OB D --的平面角. 不妨设2AB =.因为60CBA ∠=︒，所以OB =1OC =，1OB =. 在11Rt OO B △中，易知11111OO O B O H OB ==而111O C =，于是1C H故1111cos O H C HO C H∠==. 即二面角11C OB D --【提示】（Ⅰ）由已知中，四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等，ACBD O =，11111AC B D O =，四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形.可得111O O CC BB ∥∥且1CC AC ⊥，1BB BD ⊥，进而1OO AC ⊥，1OO BD ⊥，再由线面垂直的判定定理得到1O O ABCD ⊥底面；（Ⅱ）由线面垂直，线线垂直推得111AC OB ⊥，11OB C H ⊥，所以11C HO ∠是二面角11C OB D --的平面角.再由三角函数求得二面角11C OB D --的余弦值.【考点】线线关系、线面关系，二面角20.【答案】（Ⅰ）13p =（Ⅱ）141(1)332nn n a --=+ 【解析】解（Ⅰ）因为{}n a 是递增数列，所以11||nn n n n a a a a p ++-=-=.而11a =，因此又1a ，22a ，33a 成等差数列， 所以21343a a a =+，因而230p p -=，解得13p =，0p =，当0p =时，1n n a a +=， 这与{}n a 是递增数列矛盾.故13p =.（Ⅱ）由于21{}n a -是递增数列，因而21210n n a a +-->，于是212221()()0n n n n a a a a +--+->①，但2211122n n -<，所以212221||||n n n n a a a a +--<-②， 由①②知，2210n n a a -->，因此21221221(1)122n nn nn a a ---⎛⎫⎪⎝⎭--==③， 因为{}n a 是递减数列，同理可得，2120n n a a +-<，故22121221(1)22nn n n na a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭--=-=④，由③④即知，11(1)2n n n na a ++--=.于是 121321()()...()n n n a a a a a a a a ----=++++2111(1)1222nn --=+-++112121()1121n ---=++ 141(1)332nn --=+. 故数列{}n a 的通项公式为141(1)332nn n a --=+. 【提示】（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令1n =，2代入求出2a 和3a ，再由等差中项的性质列出关于p 的方程求解，利用“{}n a 是递增数列”对求出的p 的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“1||nn n a a p +-=”、不等式的可加性，求出221n n a a --和1n n a a +-，再对数列{}n a 的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n 项和公式，求出数列{}n a 的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来. 【考点】等差、等比数列，数列的单调性，通项公式21.【答案】（Ⅰ）1C 的方程为2212x y +=2C的方程为2212xy -=（Ⅱ）2【解析】（Ⅰ）因为12e e =，22a b +=44434a b a -=，因此222a b =，从而2(,0)F b，4,0)F ， 24||1b F F -==， 所以1b =，22a =.故1C ，2C 的方程分别为2212x y +=，2212x y -=.（Ⅱ）因AB 不垂直于y 轴，且过点1(1,0)F -，故可设直线AB 的方程为1x my =-.由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)210m y my +--=，易知此方程的判别式大于0. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1y ，2y 是上述方程的两个实根，所以12222m y y m +=+，12212y y m =-+，因此121224()22x x m y y m -+=+-=+，于是AB 的中点为222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 故直线PQ 的斜率为2m-，PQ 的方程为2m y x =-，即20mx y +=.由22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得22(2)4m x -=， 所以220m ->，且2242x m =-，2222m y m=-，从而||PQ ==设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d =. 因为点A 、B 在直线20mx y +=的异侧， 所以1122(2)(2)0mx y mx y ++<，于是11221122|2||2||22|mx y mx y mx y mx y +++=+--，从而22d =，又因为21221||m y y +-=，所以2212m d +=.故四边形APBQ 的面积22212213||2221222mS PQ d mm+===-+--. 而2022m <-≤，故当0m =时，S 取得最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.【提示】（Ⅰ）由斜率公式写出1e ，2e 把双曲线的焦点用含有a ，b 的代数式表示，结合已知条件列关于a ，b 的方程组求解a ，b 的值，则圆锥曲线方程可求；（Ⅱ）设出AB 所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y 的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB 中点M 的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB 的长度，写出PQ 的方程，和双曲线联立后解出P ，Q 的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P ，Q 到AB 的距离，然后代入三角形面积公式得四边形APBQ 的面积，再由关于n 的函数的单调性求得最值.【考点】曲线标准方程，焦点、离心率，直线与曲线的位置关系，最值22.【答案】（Ⅰ）当1a ≥时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增当01a <<时，()f x 在区间⎛ ⎝上单调递减，在区间⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增 （Ⅱ）1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（Ⅰ）2222(2)24(1)()1(2)(1)(2)a x x ax a f x ax x ax x +-+-'=-=++++， 当1a ≥时，此时()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.当01a <<时，由()0f x '<得1x =2x =-舍去）. 当1(0,)x x ∈时()0f x '<；当11(,)x x ∈+∞时，()0f x '>， 故()f x 在区间1(0,)x 上单调递增，在区间1(,)x +∞上单调递增. 综上所述：当1a ≥时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；当01a <<时，()f x 在区间⎛ ⎝上单调递减，在区间⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）式知.当1a ≥，()0f x '>，此时()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点，必有01a <<. 又()f x 的极值点只可能是1x =2x =-，且由()f x 的定义可知，1x a >-且2x ≠-，所以1a -.2≠-，解得12a ≠. 此时，由上式易知，1x ，2x 分别是()f x 的极小值点和极大值点，而1221222()()ln(1)ln(1)22x xf x f x ax ax x x +=+-++-++ 21212ln[1()]a x x a x x =+++-1212121244()2()4x x x x x x x x +++++24(1)ln(21)21a a a -=--- 22ln(21)221a a =-+--， 令21a x -=，由01a <<且12a ≠知：当102a <<时，10x -<<；当112a <<时，01x <<. 记22()ln 2g x x x=+-.（ⅰ）当10x -<<时，2()2ln()2g x x x =-+-，所以222222()0x g x x x x -'=-=<. 因此，()g x 在区间(10)-,上单调递减，从而()(1)40g x g <-=-<， 故当102a <<时，12()()0f x f x +<.（ⅱ）当10x <<时，2()2ln 2g x x x =+-，所以222()0g x x x '=-<，因此.()g x 在区间(0)1,上单调递减，从而()(1)0g x g >=. 故当112a <<时，12()()0f x f x +>，综上所述.满足条件的a的取值范围为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.【提示】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决. 【考点】函数单调性，极值，导数的性质与应用。
14年高考真题——理科数学(湖南卷)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南）卷数学（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．满足z i i z+=（i 为虚数单位）的复数z =（ ） （A ）1122i + （B ）1122i - （C ）1122i -+ （D ）1122i -- 2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是123,,p p p ，则（ ）（A ）123p p p =< （B ）231p p p =< （C ）132p p p =< （D ）123p p p ==3．()(),f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()321f x g x x x -=++，则()()11f g +=（ ） （A ）3- （B ）1- （C ）1 （D ）34．5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 的系数是（ ） （A ）20- （B ）5-0 （C ）5 （D ）205．已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22x y >。
在命题①p q ∧ ②p q ∨ ③()p q ∧⌝ ④()p q ⌝∨中，真命题是（ ）（A ）①③ （B ）①④（C ）②③ （D ）②④6．执行如图1所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ）（A ）[]6,2-- （B ）[]5,1--（C ）[]4,5- （D ）[]3,6-7．一块石材表示的几何何的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）48．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）（A ）2p q + （B ）()()1112p q ++- （C（D1 9．已知函数()()sin f x x ϕ=-，且()2300f x dx π⎰=，则函数()f x 的图象的一条对称轴是（ ） （A ）56x π= （B ）712x π= （C ）3x π= （D ）6x π= 10．已知函数()()2102x f x x e x =+-<与()()2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）（A ）(-∞（B ）(-∞（C）(-（D）( 二．填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分）（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos :1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于,A B 两点，且||2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是_________________。
2014年高考湖南理科数学精彩试题及问题详解(详解纯word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 满足i z iz =+（i 为虚数单位）的复数=z A. i 2121+ B. i 2121- C. i 2121+- D. i 2121--2. 对一个容量为N 的总体抽取容量为m 的样本，若选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1p ，2p ，3p ，则 A. 321p p p <= B. 132p p p <= C. 231p p p <= D. 321p p p ==3. 已知分别)(x f ，)(x g 是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g fA. 3-B. 1-C. 1D. 34. 5)221(y x -的展开式中32y x 的系数是A. 20-B. 5-C. 5D. 205. 已知命题:p 若y x >， 则y x -<-；命题:q 若y x >，则22y x > . 在命题① q p ∧； ② q p ∨； ③ )(q p ⌝∧；④ q p ∨⌝)(中，真命题是A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④6. 执行如图1所示的程序框图. 如果输入的]2,2[-∈t ，则输出的S 属于 A. ]2,6[-- B. ]1,5[-- C. ]5,4[- D. ]6,3[-7. 一块石材表示的几何体的三视图如图2所示. 将该石材切割、打磨，加工成球，则能得到最大球的半径等于A. 1B. 2C. 3D. 48. 某市生产总值连续两年持续增加. 第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为A.2q p + B. 21)1)(1(-++q p C. pq D. 1)1)(1(-++q p9. 已知函数)sin()(ϕ-=x x f ，且⎰=3200)(πdx x f ，则函数)(x f 的图象的一条对称轴是A. 65π=x B. 127π=x C. 3π=x D. 6π=x 10. 已知函数)0(21)(2<-+=x e x x f x与)ln()(2a x x x g ++=的图象上存在关于y轴对称的点，则a 的取值范围是A. )1,(e -∞B. ),(e -∞C. ),1(e e -D. )1,(ee -二、填空题：本大题共7小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.(一) 选做题 (请考生在11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分) 11. 在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线:C ⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2y x (α为参数) 交于A 、B 两点，且2||=AB . 以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是____________________. 12. 如图3，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，BC AO ⊥，3=AB ，22=BC ，则⊙O 的半径等于_______.13. 若关于x 的不等式3|2|<-ax 的解集为}3135|{<<-x x ， 则=a ________.（二）必做题（14~16题）14. 若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤,,4,k y y x x y ，且yx z +=2的最小值为6-，则=k ____.15. 如图4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为b a ,)(b a <. 原点O 为AD 的中点，抛物线)0(22>=p px y 经过C 、F 两点，则=ab________.16. 在平面直角坐标系中，O 为原点，)0,1(-A ，)3,0(B ，)0,3(C . 动点D 满足1||=，则||++的最大值是_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别是32和53. 现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B. 设甲、乙两组的研发相互独立. （1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获得利润100万元. 求该企业可获利润的分布列和数学期望.18. (本小题满分12分)如图5，在平面四边形ABCD 中，1=AD ，2=CD ，7=AC .（1） 求CAD ∠cos 的值；（2） 若147cos -=∠BAD ，621sin =∠CBA ，求BC 的长.19. (本小题满分12分)如图6，四棱柱1111D C B A ABCD -的所有棱长都相等，O BD AC = ，11111O D B C A = ， 四边形11A ACC 和四边形11B BDD 均为矩形. （1） 证明：⊥O O 1底面ABCD ;（2）若60=∠CBA ，求二面角D OB C --11的余弦值.20. (本小题满分13分)已知数列}{n a 满足11=a ，nn n p a a =-+||1，*N n ∈.（1）若}{n a 是递增数列，且1a ，22a ，33a 成等差数列，求p 的值； （2）若21=p ，且}{12-n a 是递增数列，是}{2n a 递减数列，求数列}{n a 的通项公式.图6D 1B D21. (本小题满分13分)如图7，O 为坐标原点，椭圆:1C )0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点为21,F F ，离心率为1e ；双曲线:2C 12222=-by a x 的左、右焦点为43,F F ，离心率为2e . 已知2321=e e ，且13||42-=F F .（1）求1C 、2C 的方程；（2）过1F 作1C 的不垂直y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点. 当直线OM 与2C 交于Q P ,两点时，求四边形APBQ 面积的最小值.22. (本小题满分13分)已知常数0>a ，函数.22)1ln()(+-+=x xax x f （1） 讨论)(x f 在区间),0(∞+上的单调性；（2）若)(x f 存在两个极值点1x ，2x ，且0)()(21>+x f x f ，求a 的取值范围.2014年高考湖南卷理科数学参考答案一、选择题. 1.【答案】B【解析】由题可得i i z zi i z -=-⇒=+)1(，所以i i i z 21211-=--=，故选B 【考点定位】复数 2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得三种抽样方式都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即 321p p p ==，故选D【考点定位】抽样调查 3.【答案】C【解析】令1-=x 可得1)1()1()1()1(=+=---g f g f ，所以故选 C. 或者观察求得1)(2+=x x f ，3)(x x g -=，可求得1)1()1(=+g f .【考点定位】函数奇偶性 4.【答案】A【解析】第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭,则2n =时, ()()2532351*********nn n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选A. 【考点定位】二项式定理5.【答案】C 【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-,所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <,所以命题q 为假命题,所以②③为真命题, 故选C. 【考点定位】命题真假 逻辑连接词 6.【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-,当[]0,2t ∈时 ,则(][][]2,63,13,6S ∈---=-,故选D.【考点定位】程序框图 二次函数 7.【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则862r r r -+-=⇒=，故选B.【考点定位】三视图 内切圆 球 8.【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒=-，故选D.【考点定位】实际应用问题 9.【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++，又由⎰=3200)(πdx x f 得ϕ的一个值为3πϕ=，则56x π=是其中一条对称轴，故选A. 【考点定位】三角函数图像 辅助角公式 10.【答案】B【解析】由题可得存在()0,0x ∈-∞满足()()0220001ln 2xx e x x a +-=-+-+ ()001ln 2x e x a ⇒--+-0=，当0x 趋近于负无穷小时，()001ln 2x e x a --+-趋近于-∞,因为函数()1ln 2x y e x a =--+-在定义域内是单调递增的，所以ln a a <⇒<,故选B.【考点定位】指对数函数 方程二、填空题11.【答案】1)sin (cos =-θθρ （或22)4sin(-=-πθρ）【解析】曲线C 的普通方程为1)1()2(22=-+-y x ，直线l 截曲线C 所得弦长2|=AB ，知直线l 过圆心)1,2(，故直线l 的直角坐标方程为1-=x y 1cos sin -=⇒θρθρ.【考点定位】极坐标，参数方程 12.【答案】23 【解析】设AD 交BC 于点D ，延长AO 交圆于另一点E ，则2==CD BD ，在ABD ∆中由勾股定理可得1=AD ，再由相交弦定理得2=DE ，从而直径3=AE ，半径23=R .【考点定位】勾股定理，相交弦定理等 13.【答案】3-【解析】依得可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--3|231|3|235|a a ，解得3-=a .【考点定位】绝对值不等式14.【答案】2-【解析】画出不等式（组）表示的平面区域，知当y x z +=2过点）（k k ,时取得最小值，所以62-=+k k ，2-=k . 【考点定位】线性规划 15.1【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩1a b ⇒=+,故填1+.【考点定位】抛物线 16.【答案】71+【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆，则设为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈，则(3OA OB OD ++=)sin(728ϕθ++=，所以OA OB OD ++的最大值为17728+=+，故填71+.或由题求得点D 的轨迹方程为1)3(22=+-y x ，数形结合求出OA OB OD ++的最大值即为点)3,1(-到轨迹上的点最远距离( 到圆心的距离加半径) .【考点定位】参数方程 圆 三角函数 数形结合 三、解答题17. 解： 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题可知32)(=E P , 31)(=E P ，53)(=F P ，52)(=F P . 且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立.(1) 记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则F E H =，于是1525231)()()(=⨯==F P E P H P ，故所求概率为15131521)(1)(=-=-=H P H P .（2）设企业可获利润为X （万元），则X 的可能取值为0，100，120，220. 又因1525231)()0(=⨯===F E P X P ，1535331)()100(=⨯===F E P X P ，1545232)()120(=⨯===F E P X P ，1565332)()220(=⨯===EF P X P .数学期望为 14015152201512015100150)(==⨯+⨯+⨯+⨯=X E .18. 解：（1）在ADC ∆中，则余弦定理，得ADAC CD AD AC CAD ⋅-+=∠2cos 222.由题设知，77272417cos =-+=∠CAD . （2）设α=∠BAC ，则CAD BAD ∠-∠=α因为772cos =∠CAD ，147cos -=∠BAD ， 所以721)772(1cos 1sin 22=-=∠-=∠CAD CAD ， 14213)147(1cos 1sin 22=--=∠-=∠BAD BAD . 于是CAD BAD CAD BAD CAD BAD ∠∠-∠∠=∠-∠=sin cos cos sin )sin(sin α23721)147(77214213=⋅--⋅=. 在ABC ∆中，由正弦定理，CBA ACBC ∠=sin sin α，故 3621237sin sin =⋅=∠⋅=CBA AC BC α. 19. 解：（1）如图 (a)，因为四边形11A ACC 为矩形，所以AC CC ⊥1，同理BD DD ⊥1. 由题知，11//CC OO ，11//DD OO ，所以AC OO ⊥1，BD OO ⊥1，又 O BD AC = ， 故 ⊥O O 1底面ABCD . (2)解法1 如图(a)，过1O 作11OB H O ⊥于H ，连接1HC . 由(1)知，⊥O O 1底面ABCD ，所以⊥O O 1底面1111D C B A ，于是. ⊥O O 111C A ，又因为四棱柱1111D C B A ABCD -的所有棱长都相等，所以四边形1111D C B A 为菱形，因此1111D B C A ⊥，从而⊥11C A 平面11B BDD ,所以O B C A 111⊥，于是⊥O B 1平面11HC O ，进而 ⊥O B 11HC ，故11HO C ∠是二面角D OB C --11的平面角.不妨设2=AB ,因为60=∠CBA ，所以1,311===C O OC OB ，71=OB ，在11B OO Rt ∆中，易知73211111=⋅=OB B O OO H O ，719212111=+=H O C O H C ，故19572719732cos 1111===∠HC HO HO C ，即二面角D OB C --11的余弦值为19572. 解法2因为四棱柱1111D C B A ABCD -的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，因此BD AC ⊥，又⊥O O 1底面ABCD ，从而OB ，OC ，1OO 两两垂直.如图(b)，以O 为坐标原点，OB ，OC ，1OO 分别为x 轴， y 轴，z 轴建立空间坐标系xyz O -.不妨设2=AB ,因为60=∠CBA ，所以1,3==OC OB ，于是相关各点的坐标为：)0,0,0(O ，)2,0,3(1B ，）2,1,0(1C ，易知 )0,1,0(1=n 是平面11B BDD 的一个法向量，设),,(2z y x n =是平面11C OB 的一个法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01212OC n OB n ，即⎩⎨⎧=+=+02023z y z x ，取3-=z ，则32,2==y x ，于是)3,32,2(2-=n .设二面角D OB C --11的大小为θ，易知θ为锐角，于是|,cos |cos 21><=n n θ2121=195721932==. 即二面角D OB C --11的余弦值为19572. 20. 解：（1）因为}{n a 是递增数列，所以nn n n n p a a a a =-=-++||11，而11=a ，因此p a +=12，231p p a ++=，又1a ，22a ，33a 成等差数列，所以31234a a a +=，因而032=-p p ，解得31=p 或0=p ， 但当0=p 时，n n a a =+1，与}{n a 是递增数列相矛盾，故31=p . (2) 由于}{12-n a 是递增数列，因而 01212>--+n n a a ，于是0)()(122212>-+--+n n n n a a a a ① 且 1222121-<n n ，所以 ||||122212-+-<-n n n n a a a a ②则①②可知，0122>--n n a a ，因此122121222)1(21----==-n nn n n a a ， ③因为是}{2n a 递减数列，同理可得0212<-+n n a a ，故nn n n n a a 21222122)1(21++-=-=-， ④ 由③④即得 n n n n a a 2)1(11++-=-. 于是 )()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a 122)1(21211--++-+=n n.2)1(3134211])21(1[(21111---⋅+=+--+=n n n 故数列}{n a 的通项公式为*).(2)1(31341N n a n nn ∈-⋅+=-21. 解：（1）因为2321=e e ，所以232222=+⋅-a b a a b a ，因此得 44443a b a =-，即222b a =，从而)0,(2b F ，)0,3(4b F ，于是13||342-==-F F b b ，所以1=b ，22=a .故1C 、2C 的方程分别是 1222=+y x ，1222=-y x . (2) 由于AB 过)0,1(1-F 且不垂直y 轴，故可设直线AB 的方程为 1-=my x 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12122y x my x 得 012)2(22=--+my y m 易知此方程的判别式大于0，设),(,),(2211y x B y x A ，则21,y y 是上述方程的两个实根，所以 22221+=+m m y y ，21221+-=⋅m y y . 因此242)(22121+-=-+=+m y y m x x ，于是AB 中点)2,22(22++-m m m M ， 因此直线PQ 的斜率为2m -，其方程为x m y 2-=. 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=12222y x x m y 得 4)2(22=-x m ，所以022>-m ，2224m x -=，2222m m y -=， 从而 22222422||m m y x PQ -+=+=.设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以 4|2||2|222211++++=m y mx y mx d ，因为点A 、B 在直线PQ 的异侧， 所以 0)2)(2(2211<++y mx y mx ，于是|22||2||2|22112211y mx y mx y mx y mx --+=+++从而 4||)2(22212+-+=m y y m d ，又21224)(||222122121++⋅=-+=-m m y y y y y y ， 所以 4122222++⋅=m m d ，故四边形APBQ 面积 2222312221222||21m mm d PQ S -+-⋅=-+⋅=⋅=， 而 2202≤-<m ，故当0=m 时，S 取最小值2.综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.22. 解：（1） 222)2)(1()1(4)2(2)2(21)('++-+=+-+-+=x ax a ax x x x ax a x f （*） 当1≥a 时，0)('>x f ，此时，)(x f 在区间),0(∞+上单调递增；当10<<a 时，由0)('=x f 得 a a x -=121（aa x --=122舍去）， 当),0(1x x ∈时，0)('<x f ，当),(1∞+∈x x 时，0)('>x f ，故)(x f 在区间),0(1x 上单调递减，在区间),(1∞+x 上单调递增. 综上所述，当1≥a 时， )(x f 在区间),0(∞+上单调递增；当10<<a 时，)(x f 在区间)12,0(a a -上单调递减，在区间),12(∞+-aa 上单调递增.（2）由（*）式知，当1≥a 时， 0)('>x f ，此时)(x f 不存在极值点. 因而要使 )(x f 存在两个极值点，必有10<<a ，且)(x f 的极值点只可能是a a x -=121和a a x --=122，且由)(x f 的定义可知，a x 1->且2-≠x ，所以a a a 112->-- 且212-≠--a a ，解得21≠a . 此时，则（*）式知，1x ，2x 分别是)(x f 的极小值点和极大值点. 而 22)1ln(22)1ln()()(22211121+-+++-+=+x x ax x x ax x f x f4)(2)(44])(1ln[2121212121221+++++-+++=x x x x x x x x x x a x x a 12)1(4)12ln(2----=a a a 2122)12ln(2--+-=a a . 令x a =-12，由10<<a 且21≠a 知，当210<<a 时，01<<-x ；当121<<a 时，10<<x . 并记22ln )(2-+=xx x g ， （i ）当01<<-x 时，22)ln(2)(-+-=x x x g ，02222)('22<-=-=x x x x x g ， 因此，)(x g 在区间)0,1(-上单调递减，从而04)1()(<-=-<g x g ，故当210<<a 时，0)()(21<+x f x f .(ii) 当10<<x 时，22ln 2)(-+=x x x g ，02222)('22<-=-=x x x x x g ， 因此，)(x g 在区间)1,0(上单调递减，从而0)1()(=>g x g ，故当121<<a 时，0)()(21>+x f x f .综上所述，满足条件的a 的取值范围是)1,21(.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试---理数(湖南)(1)
科目：数学（理科）（试题卷）注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。
2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。
考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3. 本试题卷共6页。
如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。
4. 考试结束后，将本试题卷和答题一并交回。
姓名准考证号祝你考试顺利!绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南1）理 科 数 学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{2,0,1}A =，集合{|||B x x a =<，且}x Z ∈，则满足A B ⊆的实数a 可以取的一个值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 2．已知命题p ：,x R $ 使1sin 2x x <成立． 则p Ø为（ ） A ．,x R " 1sin 2x x ³均成立 B ．,x R " 1sin 2x x <均成立 C ．,x R $ 使1sin 2x x ³成立 D ．,x R $ 使1sin 2x x =成立 3．已知函数2sin y x =的定义域为[a ,b ]，值域为[-2，1]，则b a -的值不可能是 （ ）A ．πB ．65πC ．π2D ．67π 4．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则sin4xπ的值介于12-与22之间的概率为( ) A ．14B ．56 C ．13 D ．235．按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值范围是（ ）A ．(20,25]B ．(30,57]C ．(30,32]D ．(28,57]6．当实数,x y 满足不等式0022x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，恒有2ax y +≤成立，则实数a 的取值集合是（ ）A ．(1,1]-B ．(1,2)C ．(0,1]D ．(,1]-∞ 开始输入x k =0x =2x +1k =k +1 x >115?.结束否是输出k7．已知三棱锥S —ABC 的三视图如图所示： 在原三棱锥中给出下列命题： ①BC ⊥平面SAC ； ②平面SBC ⊥平面SAB ； ③SB ⊥AC ．其中所有正确命题的代号是 （ ） A ．①② B ．①③ C ．② D ．①8．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，E 是双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．(1,3)B ．(1,3)C ．(1,2)D ．(1,2)9．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 0C ”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：① 甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ② 乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③ 丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8； 则肯定进入夏季的地区有 ( )A ． 3个B ．2个C ．1个D ． 0个 10．如图，在扇形OAB 中，︒=∠60AOB ，C 为弧．AB 上且与B A ,不重合．．．的一个动点，且OB y OA x OC +=，若 (0)u x y λλ=+>存在最大值，则λ的取值范围为（ ）A ．)3,1(B ．)3,31( C ．)1,21( D ．)2,21( A B SSA （B ） CC S （A ）B 正视图侧视图 俯视图COCBA （第10题图）二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答．题卡对应题号．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．已知向量(2,3)=a ，(2,1)=-b ，则a 在b 方向上的投影等于 ．12．从,,,,a b c d e 这5个元素中取出4个放在四个不同的格子中，且元素b 不能放在第二个格子中，问共有 种不同的放法．（用数学作答）13．若函数()(0x f x a x a a =-->且1)a ≠ 有两个零点，则实数a 的取值范围是 ． 14．科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ,如果n 是偶数，就将它减半（即2n）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即31n +），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为6，按照上述变换规则，我们可以得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：（1）如果2n =，则按照上述规则施行变换后的第8项为 ．（2）如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n 的所有不同值的个数．．为 ． （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，ABC ∆的外接圆的切线AE 与BC 的延长线相交 于点E ，BAC ∠的平分线与BC 相交于点D ， 若8EB =，2EC =，则ED =______．16．（选修4-4：坐标系与参数方程） 已知曲线C 的极坐标方程是)4cos(2πθρ+=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是：1413x ty t=-⎧⎨=-+⎩（为参数t ），则直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长为______．三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17． （本题满分12分）已知函数)cos()(ϕω+=x A x f （0>A ,0>ω,02<<-ϕπ）的图像与y 轴的交点为)1,0(，它在y 轴右侧的第一个最高点和 第一个最低点的坐标分别为)2,(0x 和)2,2(0-+πx （1）求函数)(x f 的解析式； （2）若锐角θ满足1cos 3θ=，求)2(θf 的值．18．（本题满分12分）节日期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km /h )分成六段 [80,85),[85,90),[90,95),[95,100), [100,105),[105,110)后得到如下图的频率分布直方图.(1)此调查公司在采样中,用到的是什么抽样方法? (2)求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.(3)若从车速在[80,90)的车辆中任抽取2辆,求抽出的2辆车中车速在[85,90)的车辆数ξ的分布列及数学期望.110 80 85 90 95100 105 车速0．0100．020 0．0400．050 0．060 频率 组距19．（本题满分12分）如图，在各棱长均为2的三棱柱111C B A ABC -中，侧面⊥11A C C A 底面ABC ，︒=∠601AC A ．（1）求侧棱1AA 与平面C AB 1所成角的正弦值的大小； （2）已知点D 满足BC BA BD +=，在直线1AA 上是 否存在点P ，使C AB DP 1//平面？若存在，请确定点P 的位置；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A 、B 两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A 、B 两个喷雾器中分别取1千克的药水，将A 中取得的倒入B 中，B 中取得的倒入A 中，这样操作进行了n 次后，A 喷雾器中药水的浓度为%n a ，B 喷雾器中药水的浓度为%n b ．（1）证明：n n a b +是一个常数； （2）求n a 与1n a -的关系式； （3）求n a 的表达式．21．（本小题满分13分）已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 以及椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的上、下焦点及左、右顶点均在圆22:1O x y +=上． （1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（2）过点F 的直线交抛物线1C 于,A B 两不同点，交y 轴于点N ，已知12,NA AF NB BF λλ==，求12λλ+的值；（3）直线l 交椭圆2C 于,P Q 两不同点，,P Q 在x 轴的射影分别为','P Q ，''10OP OQ OP OQ ⋅+⋅+= ，若点S 满足OS OP OQ =+，证明：点S 在椭圆2C 上．22．（本小题满分14分） 已知1()ln ,()1(0)f x x g x x x=-=-> （1）求()()()F x f x g x =-的极值，并证明：若12,(0,)x x ∈+∞有2121()()'()()f x f x f x x x -≥-； （2）设12,0λλ>，且121λλ+=，120,0x x >>， 证明：11221122()()()f x f x f x x λλλλ+≥+，若0,0(1,2,,)i i x i n λ>>= ，由上述结论猜想一个一般性结论（不需要证明）； （3）证明：若0(1,2,,)i a i n >= ，则12121212()nna a a a aan n a a a a a a n++++++≥参 考 答 案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 卷 A D D D C B A A C C B 卷DACBDDDCBD1．【答案】A ．【解析】a =3时，B ＝{－2，－1，0,1，2}，符合A ⊆B ． 2． 【答案】D【解析】原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2x x x ∀∈≥R ． 3．【答案】D【解析】值域[-2,1]含最小值不含最大值,故定义域小于一个周期,故选D 4．【答案】D 【解析】由题意可得644xπππ-≤≤，即213x -≤≤,其区间长度为53，由几何概型公式知所求概率为55326=．5．【答案】C【解析】当输出k ＝2时，应满足211152(21)1115x x +≤⎧⎨++>⎩，得28<x ≤57．6．【答案】B【解析】画出可行域，直线2ax y +=恒过定点（0，2），则可行域恒在直线2ax y +=的下方，显然当0a ≤时成立，当0a >时，直线即为122x ya+≤，其在x 轴的截距2201a a ≥⇒<≤，综上，可得1a ≤． 7．【答案】A【解析】：显然有三视图我们易知原几何体为三棱锥侧棱SA 垂直于底面ABC ，底面是个直角三角形AC BC ⊥，从而我们易知只有①是正确的8．【答案】A【解析】由于ABE ∆为等腰三角形，可知只需045AEF ∠<即可，即2||||b AF EF a c a<⇒<+，化简得23012e e e --<⇒<<．9．【答案】C【解析】甲地肯定进入，因为众数为22，所以22至少出现两次，若有一天低于22 0C ，则中位数不可能为24；丙地肯定进入，2210.85(3226)18(26)x ⨯--=≥-，若21x ≤，上式显然不成立．乙地不一定进入，如13，23，27，28，29．10．【答案】C【解析】设扇形所在的圆的半径为1，以OB 所在的直线为x 轴，O 为原点建立平面直角坐标系，((0,))3COB πθθ∠=∈，则13(cos ,sin ),(1,0),(,)22C B A θθ，由题意可得 21sin cos 1323(cos ,sin )(1,0)(,)sin 223cos sin 32x x y x y y y θθθθθθθ⎧⎧==+⎪⎪⎪⎪=+⇒⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩令2()sin cos 3f u x y λθλθλθ-==+=+，(0,)3πθ∈则()f θ在(0,)3πθ∈不是单调函数，从而2'()cos sin 03f λθθλθ-=-=在(0,)3πθ∈一定有解，即2tan 3λθλ-=在(0,)3πθ∈时有解，可得2(0,3)3λλ-∈，即1(,2)2λ∈，经检验此时()f θ此时正好有极大值点．11．【答案】 55-【解析】a 在b 方向上的投影为5cos ,5===-a b a b a a b a a b b ． 12．【答案】 96【解析】间接法435496A A -= 13．【答案】1a >【解析】作图分析知当01a <<时只有一个零点，当1a >时有两个零点 14．【答案】（1）1 ；（2）6【解析】（1）如果2n =，按以上变换规则，得到数列：12382,1,4,,1a a a a ==== ； （2）设对正整数n 按照上述变换，得到数列：1278,,,,a a a a ，∵81a =，则72a =1321541876321215432112832642181620124510312124816a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎧⎧=⎧=⇒=⇒⎪⎨⎪=⎪⎩⎪=⇒=⇒⎨⎪=⎧⎪⎪=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒⎨⎨⎪=⎩⎩⎪⎪=⇒=⎧⎪=⇒=⇒=⇒⎨⎪=⇒=⎩⎩则n 的所有可能取值为2，3，16，20，21，128，共6个．15．【答案】4【解析】ADE ABD BAD ∠=∠+∠，DAE DAC EAC ∠=∠+∠ 而ABD EAC ∠=，BAD DAC ∠=∠，所以ADE DAE ∠=∠所以EA ED =， 2216ED EA EC EB ==⋅=，所以4ED =16．【答案】75【解析】把⎩⎨⎧+-=-=t y tx 3141化为普通方程为3410x y ++=，把2cos()4πρθ=+化为直角坐标系中的方程为220x y x y +-+=，∴圆心到直线的距离为110，∴弦长为117221005-=．17．解：（1）由题意可得2=Aπ22=T 即π4=T ，21=ω……………………………………………… 3分 )21cos(2)(ϕ+=x x f ，1)0(=f由21cos =ϕ且02<<-ϕπ，得3πϕ-=函数)321cos(2)(π-=x x f …… ………………………………………………6分（2）由于1cos 3θ=且θ为锐角，所以322sin =θ )2(θf )3sin sin 3cos(cos 2)3cos(2πθπθπθ+=-=…………………………………10分)233222131(2⨯+⨯⋅=3621+=……………………12分 18．解(1)系统抽样 …………………………………2分(2)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于97.5 设图中虚线所对应的车速为x ,则中位数的估计值为0.0150.0250.0450.06(75)0.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-=,解得97.5x =即中位数的估计值为77.5 …………………………………6分 (3)从图中可知,车速在[80,85)的车辆数为10.015402m =⨯⨯=(辆), 车速在[85,90)的车辆数为20.025404m =⨯⨯=(辆) ∴0,1,2ξ=,2024261(0)15C C P C ξ===,1124268(1)15C C P C ξ===,0224266(2)15C C P C ξ===,xzyOξ的分布列为ξ12P115 815 615均值864()01215153E ξ=+⨯+⨯=. …………………………………12分 19．解：（1)∵侧面⊥11ACC A 底面ABC ，作AC O A ⊥1于点O ，∴⊥O A 1平面ABC ．又︒=∠=∠601AC A ABC ，且各棱长都相等，∴1=AO ，31==OB OA ，AC BO ⊥． ………………………………………2分故以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -，则)0,1,0(-A ，)0,0,3(B ，)3,0,0(1A ，)0,1,0(C ，∴)3,1,0(1=AA ，)3,2,3(1=AB ， )0,2,0(=AC ．……4分设平面C AB 1的法向量为)1,,(y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧==⋅++=⋅023231y AC n y x AB n 解得)1,0,1(-=n ．由46223,cos 111==⋅⋅><nAA n AA n AA ． 而侧棱1AA 与平面C AB 1所成角，即是向量1AA 与平面C AB1的法向量所成锐角的余角， ∴侧棱1AA 与平面C AB 1所成角的正弦值的大小为46…………………6分（2）∵BC BA BD +=，而()()3,1,0,3,1,0.BA BC =--=-∴(23,0,0)BD =-又∵)0,0,3(B ，∴点D 的坐标为)0,0,3(-D ． 假设存在点P 符合题意，则点P 的坐标可设为),,0(z y P ，∴),,3(z y DP =． ∵C AB DP 1//平面，)1,0,1(-=n为平面C AB 1的法向量，∴由1AP AA λ= ，得0,331=∴⎩⎨⎧==+y y λλ． ……………10分 又⊄DP 平面C AB 1，故存在点P ，使C AB DP 1//平面，其坐标为)3,0,0(，即恰好为1A 点． ………………………12分 20．解：（1）开始时，A 中含有1012%⨯=1.2千克的农药，B 中含有106%⨯=0.6千克的农药，n 次操作后，A 中含有10%0.1n n a a ⨯=千克的农药，B 中含有10%0.1n n b b ⨯=千克的农药，它们的和应与开始时农药的重量和相等，从而0.10.1 1.20.6,18n n n n a b a b +=+∴+=（常数）． …………………………4分（2）第n 次操作后，A 中10千克的药水中农药的重量具有关系式：119110n n n a b a --⨯+⨯=由（1）知1118n n b a --=-，代入化简得14955n n a a -=+ ① …………………………8分 （3）令14()5n n a a λλ-+=+，利用待定系数法可求出λ=—9，所以149(9)5n n a a --=-，可知数列{}9n a -是以19a -为首项，45为公比的等比数列．由①，104949571255555a a =+=⨯+=由等比数列的通项公式知：111412449(9)()()3()5555n n n n a a ---=-==， 所以43()95nn a =+． …………………………12分21．解：（1）由抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点(,0)2p F 在圆22:1O x y +=上得：214p =，2p ∴=，∴抛物线21:4C y x = …………………………2分同理由椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的上、下焦点(0,),(0,)c c -及左、右顶点(,0),(,0)b b -均在圆22:1O x y +=上可解得：1,2b c a ==∴=．得椭圆222:12y C x +=． …………………………4分（2）设直线AB 的方程为1122(1),(,),(,)y k x A x y B x y =-，则(0,)N k -．联立方程组24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，消去y 得：2222(24)0,k x k x k -++=216160,k ∴∆=+>且212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩ …………………………5分由12,NA AF NB BF λλ==得：111222(1),(1),x x x x λλ-=-=整理得：121212,11x xx x λλ==-- 2212121221212224221241()11k x x x x k k x x x x k λλ+-+-∴+===-+-++-+． …………………………8分 （3）设(,),(,),(,)p p Q Q p Q p Q P x y Q x y S x x y y ∴++，则'(,0),'(,0)p Q P x Q x由''10OP OQ OP OQ ⋅+⋅+= 得21p Q p Q x x y y +=-；① 2212p p y x +=；②2212Q Q y x +=；③ …………………………11分由①+②+③得22()()12p Q p Q y y x x +++=∴(,)p Q p Q S x x y y ++满足椭圆2C 的方程，命题得证． …………………………13分22．解：（1）解：1()ln ,F x x x =--则21'(),x F x x-= 当x ∈（0，1）时'()0F x >，x ∈（1，＋∞）时'()0F x <， ∴()F x 在（0，1）递增，在（1，＋∞）递减，max ()(0)0F x F == …………………………2分∴当0x >时()()f x g x ≤恒成立，即0x >时1ln 1x x≥-恒成立。
2014年高考湖南理科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年湖南，理1，5分】满足ii z z+=（i 为虚数单位）的复数z =（ ）（A ）11i 22+ （B ）11i 22- （C ）11i 22-+ （D ）11i 22--【答案】B【解析】由题意()i i 11i i i 1i i i 1i 22z z z z z z +-=⇒+=⇒-=-⇒==--，故选B ．（2）【2014年湖南，理2，5分】对一个容量为N 的总体抽取容量为m 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ） （A ）123p p p =< （B ）231p p p =< （C ）132p p p =< （D ）123p p p == 【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，分层抽样，系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==，故选D ． （3）【2014年湖南，理3，5分】已知()f x ，()g x 分别是定义R 在上的偶函数和奇函数，且()()321f x g x x x -=++，则()()11f g +（ ）（A ）-3（B ）-1 （C ）1 （D ）3 【答案】C 【解析】分别令1x =和1x =-可得()()113f g -=且()()111f g ---=，则()()()()()()1131211111f g f f g g ⎧-=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩()()111f g ⇒+=，故选C ．（4）【2014年湖南，理4，5分】51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是（ ）（A ）-20 （B ）-5 （C ）5 （D ）20 【答案】A【解析】第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2n =时，()()2532351*********nn n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ．（5）【2014年湖南，理5，5分】已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22x y >．在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中，真命题是（ ）（A ）①③ （B ）①④ （C ）②③ （D ）②④ 【答案】C【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-，所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <，所以命题q 为假命题，所以②③为真命题，故选C ．（6）【2014年湖南，理6，5分】执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ）（A ）[]6,2-- （B ）[]5,1-- （C ）[]4,5- （D ）[]3,6- 【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下，(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-，当[]0,2t ∈时，[]33,1S t =-∈--，则(][][]2,63,13,6S ∈---=-，故选D ．（7）【2014年湖南，理7，5分】一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ，则862r r r -+-=，故选B ．（8）【2014年湖南，理8，5分】某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年的生产总值的年平均增长率为（ ）（A ）2p q +（B ）(1)(1)12p q ++- （C（D1【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒，故选D ．（9）【2014年湖南，理9，5分】已知函数发()()sin f x x ϕ=-，且230()0x f x dx =⎰，则函数()f x 的图象的一条对称轴是（ ）（A ）56x π= （B ）712x π= （C ）3x π= （D ）6x π=【答案】A【解析】解法一：函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++，因为()232sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭， 所以23k πϕπ=+或423k ππ+，则56x π=是其中一条对称轴，故选A ． 解法二：由定积分的几何性质与三角函数图象可知,03π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()sin()f x x ϕ=-的一个对称中心，所以sin()03πϕ-=，所以3k πϕπ=+，故选A ．（10）【2014年湖南，理10，5分】已知函数21()(0)2x f x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图像上存在关于y轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）（A ）(,)-∞（B ）(,-∞ （C）(（D）(【答案】B【解析】由题可得函数()f x 的图像上存在点020001(,)(0)2x P x x e x +-<关于y 轴对称的点02001(,)2x Q x x e -+-在函数2()ln()g x x x a =++的图像上，从而有()0220001ln()2x x e x x a +-=-+-+，即001ln()02x e x a --+-=．问题等价于函数1()ln()2x h x e x a =--+-在(),0x ∈-∞存在零点．解法一：1'()0x h x e x a=+>-+，()h x 在(),0x ∈-∞单调递增，当x →-∞时，()h x →-∞，要使()h x 在(),0-∞存在零点，则1(0)1ln 02h a =-->，从而a <B ．解法二： 问题等价于函数1()2x x e φ=-与()ln()x x a ϕ=-+的图象在(),0-∞有交点,在同一坐标系中作出这两个函数的图象，当()ln()x x a ϕ=-+的图象在左右平移的过程中，(0)(0)h ϕ>即可，即a e <，故选B ．二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．（一）选做题：在11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按全两题记分． （11）【2014年湖南，理11，5分】在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos :1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于,A B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系，则直线l 的极坐标方程是 ．【答案】2sin 4πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【解析】曲线C 的普通方程为()()22211x y -+-=,设直线l 的方程为y x b =+，因为弦长2AB =，所以圆心()2,1到直线l 的距离0d =，所以圆心在直线l 上，故1y x =-2sin cos 1sin 4πρθρθρθ⎛⎫⇒=-⇒-=- ⎪⎝⎭．（12）【2014年湖南，理12，5分】如图3，已知,AB AC 是O 的两条弦，,3AO BC AB ⊥=，22BC =则O的半径等于 ． 【答案】32【解析】设线段AO 交BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E ，则2BD DC ==，由三角形ABD 的勾股定理可得1AD =，由双割线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒=，则直径332AE r =⇒=．（13）【2014年湖南，理13，5分】若关于x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a = ．【答案】3-【解析】由题可得52331233a a ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3a ⇒=-．（二）必做题（14~16题）（14）【2014年湖南，理14，5分】若变量,x y 满足约束条件4y xx y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最小值为6-，则k = ． 【答案】2- 【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2，且,4y x x y ≤+≤的可行域如图,所以2k ≤，则当(),k k 为最优解时，362k k =-⇒=-，当()4,k k -为最优解时，()24614k k k -+=-⇒=，因为2k ≤，所以2k =-．（15）【2014年湖南，理15】如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线经过,C F 两点，则ba= ．【答案】21+【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩21a b ⇒=+．（16）【2014年湖南，理16，5分】在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),(0,3),(3,0)A B C -，动点D 满足1CD =，则OA OB OD ++的最大值是 ． 【答案】17+【解析】动点D 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，可设D 的坐标为(3cos ,sin )θθ+，则(2cos ,3sin )OA OB OD θθ++=++．()()222cos 3sin OA OB OD θθ++=+++()822cos 3sin θθ=++()87sin θϕ=++，其中43sin ,cos 77ϕϕ==， 当()sin 1θϕ+=时，OA OB OD ++的取到最大值17+．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2014年湖南，理17，12分】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35．现 安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ．设甲、乙两组的研发相互独立． （1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．解：记{E =甲组研发新产品成功}，{F =乙组研发新产品成功}．由题意知2132(),(),(),()3355P E P E P F P F ====， 且E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．（1）记{E =至少有一种新产品研发成功}，则H EF =，于是122()()()3515P H P E P F ==⋅=，故所求的概率为13()1()15P H P H =-=．（2）设企业可获利润为X ，则X 的可能取值为0,100,120,220．因122(0)()3515P X P EF ===⋅=，133224236(100)(),(120)(),(220)().351535153515P X P EF P X P EF P X P EF ===⋅====⋅====⋅=X0 100 120 220 P215 315 415 615 数学期望为：()0120100220151555E X =⨯+⨯+⨯+⨯14015==．（18）【2014年湖南，理18，12分】如图，在平面四边形ABCD 中，1,2,7AD CD AC ===．（1）求cos CAD ∠的值；（2）若7cos BAD ∠=-，21sin CBA ∠=，求BC 的长．解：（1）在ADC ∆中，由余弦定理，得：222cos 2AC AD CD CAD AC AD +-∠=⋅，故由题设知，27cos .27CAD ∠==． （2）设BAC α∠=，则BAD CAD α=∠-∠，因为27cos CAD ∠=，7cos BAD ∠=-，所以221sin 1cos CAD CAD ∠=-∠=, 2221sin 1cos BAD BAD ∠=-∠=， 于是()3sin sin sin cos cos sin BAD CAD BAD CAD BAD CAD α=∠-∠=∠∠-∠∠= 在ABC ∆中，由正弦定理，sin sin BC AC CBAα=∠，故37sin 23sin 21AC BC CBA α⋅⋅===∠． （19）【2014年湖南，理19，13分】如图,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,11111,AC BD O AC B D O ==，四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形．（1）证明:1O O ⊥底面ABCD ；（2）若060CBA ∠=，求二面角11C OB D --的余弦值．解：（1）如图（a ），因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥，同理1DC BD ⊥．因为11//CC DD ，所以1CC BD ⊥，而AC BD O =，因此1CC ⊥平面ABCD ， 由题设知11//O O C C ，故1O O ⊥平面ABCD ． （2）解法一： 如图（a ），过1O 作11O H B C ⊥于H ，连接1C H ．由（1）知，1O O ⊥平面ABCD ，所以1O O ⊥平面1111A B C D ，于是111O O AC ⊥，又四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相等，所以1111A B C D 是菱形，因此1111AC B D ⊥，从而11AC ⊥平面11B BDD ，所以111AC OB ⊥，于是1OB ⊥平面11O HC ，进而11OB C H ⊥，所以11O HC ∠为二面角11C OB D --的平面角，不妨设2AB =， 因为060CBA ∠=，所以11,OB OC OB === 在11Rt OO B ∆中，易知11111O O O H B O B O =⋅=,又111O C =．于是1C H ===故1111cos O H O HC C H ∠====11C OB D --． 解法二：因为四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相等，所以ABCD 是菱形，因此 AC BD ⊥，又1O O ⊥平面ABCD ，从而1,,OB OC OO 两两垂直．如图（b ），以1,,OB OC OO 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设2AB =，因为060CBA ∠=，所以1OB OC =．于是相关各点的坐标为11(0,0,0),(0,1,2)O B C ，易知，1(0,1,0)=n 是平面 平面11B BDD 的一个法向量．设2(,,)x y z =n 是平面11OB C 的一个法向量， 则212100OB OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即2020z y z +=+=⎪⎩，取z =2,x y ==所以2=n ．设二面角11C OB D --的大小为，易知是锐角，于是 121212cos cos ,θ⋅=<>===⋅n n n n n n ．二面角11C OB D -- （20）【2014年湖南，理20，13分】已知数列{}n a 满足111,,*n n n a a a p n N +=-=∈．（1）若数列{}n a 是递增数列，且123,2,3a a a 成等差数列，求p 的值；（2）若12p =，且{}2+1n a 是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式． 解：（1）因为数列{}n a 是递增数列，11nn n n n a a a a p ++-=-=，而11a =，因此2231,1a p a p p =+=++，又123,2,3a a a 成等差数列，所以21343a a a =+，因而得230p p -=．解得1,03p p ==．当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，故13p =．（2）{}2+1n a 是递增数列，因而2+1210n n a a -->，于是()()2+122210n n n n a a a a --+-> ① 但2211122n n -<，所以2+12221n n n n a a a a --<- ② 由①，②知，2210n n a a -->，因此()221221211122n n n n n a a ----⎛⎫-== ⎪⎝⎭③ 因为{}2n a 是递减数列，同理可得2120n n a a +-<，故()21221221122n nn n na a ++-⎛⎫-=-=⎪⎝⎭④图a 1A OC B D1C 1B 1D A1O H1由③，④知，()1112n n n na a ++--==，于是121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-()()()11211111111412111222233212n n nnnn -+-----=+-++=+=+⋅+．数列{}n a 的通项公式为()1141332nn n a --=+⋅．（21）【2014年湖南，理21，13分】如图，O 为坐标原点，椭圆221221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线222221(0)x yC a b a b-=>>：的左右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ，已知123e e =，且2431F F =-．（1）求12C C ，的方程；（2）若1F 过作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值． 解：（1）因为123e e =，所以2222311b b a a -+=，即4434a b -=，因此222a b =，从而24(,0),(3,0)F b F b ， 24331b b F F -==-，所以1b =，22a =，椭圆1C 方程为2212x y +=，双曲线2C 的方程为2212x y -=． （2）因为直线AB 不垂直于y 轴且过点()11,0F -，故课设直线AB 的方程为1x my =-．由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my +--=．易知此方程的判别式大于0．设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,y y 是上述方程的两个实根，所以12122221,22m y y y y m m -+=⋅=++，因此()12122422x x m y y m -+=+-=+，AB 的中点为222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，故直线PQ 的斜率为2m -，PQ 的方程为2m y x =-，即20mx y +=． 由22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得()2224m x -=，222222420,,22m m x y m m ∴->==--，2222+4222m PQ x y m ∴=+=- 设点A 到直线PQ 的距离为d ，则B 点到直线PQ 的距离也为d ，所以112222224mx y mx y d m +++=+因为点,A B 在直线20mx y +=的异侧，所以()()1122220mx y mx y +++<， 于是112211222222mx y mx y mx y mx y +++=+--，从而()2122224my y d m +-=+又因为()22121212222144m y y y y y y m +-=+-=+，所以2222124m d m +=+四边形APBQ 面积222122132221222m S PQ d m m+=⋅==-+-- 而2022m <-<，故当0m =时，S 取得最小值2．四边形APBQ 面积的最小值为2．（22）【2014年湖南，理22，13分】已知常数0a >，函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+．（1）讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，且12()()0f x f x +>，求a 的取值范围．解：（1）()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x +-=++，（*）因为()()2120ax x ++>， 所以当10a -≤时，当1a ≥时，()'0f x ≥，此时，函数()f x 在()0,+∞单调递增，当01a <<时,()12'0f x x x =⇒==-，当1(0,)x x ∈时，()'0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，()'0f x <． 故()f x 在区间1(0,)x 单调递减，在1(,)x +∞单调递增的． 综上所述：当1a ≥时,()'0f x ≥，此时，函数()f x 在()0,+∞单调递增，当01a <<时, ()f x 在区间10,2a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减,在12a a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增的． （2）由（*）式知，当1a ≥时，()'0f x ≥函数()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点，必有01a <<，又()f x 的极值点只可能是1x =2x =-，且由()f x 的定义可知，1x a >-且2x ≠-，所以1a ->-，2--，解得12a ≠-，此时，（*）式知1x ，2x 分别是()f x 的极小值点和极大值点，而1212121222()()ln(1)ln(1)22x x f x f x ax ax x x +=+-++-++ ()()()121221212121244ln 1224x x x x a x x a x x x x x x ++⎡⎤=+++-⎣⎦+++()()()22412ln 21ln 2122121a a a a a -=--=-+---． 令21a x -=，由01a <<且12a ≠-知当102a <<时，10x -<<；当112a <<时，01x <<．记22()ln 2g x x x =+-．（ⅰ）当10x -<<时，()2()2ln 2g x x x =-+-，所以222222'()x g x x x x -=-=，因此，()g x 在()1,0-上单调递减，从而()(1)40g x g <-=-<，故当102a <<时，12()()0f x f x +<．（ⅱ）当01x <<时，2()2ln 2g x x x =+-，所以222222'()x g x x x x-=-=，因此，()g x 在()0,1上单调递减， 从而()(1)0g x g >=，故当112a <<时，12()()0f x f x +>． 综上所述，满足条件的a 的取值范围是为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．。
2014年高考理科数学湖南卷答案及解析(word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)一.选择题. 1.【答案】B 【解析】由题可得()111122z i i i z i zi z i i z i z i +-=⇒+=⇒-=-⇒==--,故选B. 【考点定位】复数2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样,系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即123p p p ==,故选D. 【考点定位】抽样调查3.【答案】C【解析】分别令1x =和1x =-可得()()113f g -=且()()111f g ---=()()111f g ⇒+=,则()()()()()()1131211111f g f f g g -==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩()()111f g ⇒+=,故选C.【考点定位】奇偶性4.【答案】A【解析】第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭, 则2n =时, ()()2532351121022022nn n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选A.【考点定位】二项式定理5.【答案】C【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-,所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <,所以命题q 为假命题,所以②③为真命题,故选C. 【考点定位】命题真假 逻辑连接词6.【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-,当[]0,2t ∈时,[]33,1S t =-∈--,则(][][]2,63,13,6S ∈---=-,故选D.【考点定位】程序框图 二次函数7.【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则862r r r -+-==,故选B.【考点定位】三视图 内切圆 球8.【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒=,故选D.【考点定位】实际应用题9.【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++,因为()232sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭, 所以23k πϕπ=+或423k ππ+,则56x π=是其中一条对称轴,故选A.【考点定位】三角函数图像 辅助角公式10.【答案】B【解析】由题可得存在()0,0x ∈-∞满足()()0220001ln 2xx e x x a +-=-+-+ ()001ln 2x e x a ⇒--+-0=,当0x 取决于负无穷小时,()001ln 2x e x a --+-趋近于-∞,因为函数()1ln 2x y e x a =--+-在定义域内是单调递增的,所以()01ln 002e a-+->ln a a ⇒<<故选B.【考点定位】指对数函数 方程二.填空题.11.【答案】sin 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 【解析】曲线C 的普通方程为()()22211x y -+-=,设直线l 的方程为y x b =+,因为弦长2AB =,所以圆心()2,1到直线l 的距离d =,所以圆心在直线l上,故1y x=-sin cos 1sin 42πρθρθρθ⎛⎫⇒=-⇒-=- ⎪⎝⎭,故填sin 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.【考点定位】极坐标 参数方程12.【答案】32【解析】设线段AO 交BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E ,则BD DC ==由三角形ABD 的勾股定理可得1AD =,由双割线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒=,则直径332AE r =⇒=,故填32.【考点定位】勾股定理 双割线定理13.【答案】3-【解析】由题可得52331233a a ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3a ⇒=-,故填3-. 【考点定位】绝对值不等式14.【答案】2-【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2,且,4y x x y ≤+≤的可行域如图,所以2k ≤,则当(),k k 为最优解时,362k k =-⇒=-,当()4,k k -为最优解时,()24614k k k -+=-⇒=, 因为2k ≤,所以2k =-,故填2-.【考点定位】线性规划15.1【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩1a b ⇒=,1. 【考点定位】抛物线16.【答案】【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则设为()[)()3c o s ,s i n 0,2θθθπ+∈,则(3OA OB OD ++==因为cos sin θθ的最大值为2,所以OA OB OD ++的最大值为=,故填【考点定位】参数方程 圆 三角函数17.某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35,现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲,乙两组的研发是相互独立的. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A 研发成功,预计企业可获得120万元,若新产品B 研发成功,预计企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望. 17.【答案】(1)1315(2)详见解析 【解析】(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件,则事件B 为一种新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为23,35, 则()2312211353515P B ⎛⎫⎛⎫=-⨯-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据对立事件概率之间的公式可得()()13115P A P B =-=,所以至少一种产品研发成功的概率为1315. (2)由题可得设该企业可获得利润为ξ,则ξ的取值有0,1200+,1000+,120100+,即0,120,100,220ξ=,由独立试验的概率计算公式可得:()2320113515P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;()23412013515P ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭;()2311001355P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭;()232220355P ξ==⨯=;所以ξ的分布列如下:则数学期望0120100220151555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯322088130=++=. 【考点定位】分布列 期望 独立试验的概率18.如图5,在平面四边形ABCD 中,1,2,AD CD AC ===. (1)求cos CAD ∠的值;(2)若cos 14BAD ∠=-,sin 6CBA ∠=,求BC 的长.18.【答案】(1) cos CAD ∠=(2)67【解析】解:(1)由DAC ∆关于CAD ∠的余弦定理可得222cos 2AD AC DC CAD AD AC +-∠==7=,所以cos 7CAD ∠=. (2)因为BAD ∠为四边形内角,所以s i n 0BAD ∠>且sin 0CAD ∠>,则由正余弦的关系可得s i n BAD ∠=14=且sin 7CAD ∠==,再有正弦的和差角公式可得()sin sin sin cos sin cos BAC BAD CAD BAD CAD CAD BAD ∠=∠-∠=∠∠-∠∠⎛= ⎝⎭=714+7=再由ABC ∆的正弦定理可得 sin sin AC BC CBA BAC =∠∠BC ⇒=⎝⎭67=. 【考点定位】正余弦定理 正余弦之间的关系与和差角公式19.如图6,四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等,11111,AC BD O AC B D O ==,四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形. (1)证明:1O O ⊥底面ABCD ;(2)若060CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.19.【答案】(1) 详见解析 (2) 【解析】(1)证明:四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等∴四边形ABCD 和四边形1111A B C D 均为菱形11111,ACBD O AC B D O ==∴1,O O 分别为11,BD B D 中点四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形∴1//OO 11//CC BB 且11,CC AC BB BD ⊥⊥ 11,OO BD OO AC ∴⊥⊥又AC BD O =且,AC BD ⊆底面ABCD1OO ∴⊥底面ABCD .(2)过1O 作1B O 的垂线交1B O 于点E ,连接11,EO EC .不妨设四棱柱1111ABCD A BC D -的边长为2a . 1OO ⊥底面ABCD 且底面ABCD //面1111A B C D 1OO ∴⊥面1111A B C D又11O C ⊆面1111A B C D111OC OO ∴⊥四边形1111A B C D 为菱形1111O C O B ∴⊥又111OC OO ⊥且1111OO O C O =,111,O O O B ⊆面1OB D11O C ∴⊥面1OB D又1B O ⊆面1OB D111B O OC ∴⊥又11BO O E ⊥且1111O C O E O =,111,O C O E ⊆面11O EC 1B O ∴⊥面11O EC∴11O EC ∠为二面角11C OB D --的平面角,则1111cos O EO EC EC ∠=060CBA ∠=且四边形ABCD 为菱形11O C a ∴=,11,BO=112,OO a B O ===, 则111111111221sin 37OO O E B OO B O B Oa a B O a=∠=== 再由11O EC ∆的勾股定理可得1EC===, 则1111cos O E O EC EC ∠===,所以二面角11C OB D --. 【考点定位】线面垂直 二面角20.已知数列{}n a 满足111,nn n a a a p +=-=,*n N ∈.(1)若{}n a 为递增数列,且123,2,3a a a 成等差数列,求P 的值; (2)若12p =,且{}21n a -是递增数列,{}2n a 是递减数列,求数列n a 的通项公式. 20.【答案】(1)13p = (2) 1141,33241,332n n n n a n --⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数为偶数【解析】解:(1)因为数列{}n a 为递增数列,所以10n n a a +-≥,则11nnn n n n a a p a a p ++-=⇒-=,分别令1,2n =可得22132,a a p a a p -=-=2231,1a p a p p ⇒=+=++,因为123,2,3a a a 成等差数列,所以21343a a a =+()()224113130p p p p p ⇒+=+++⇒-=13p ⇒=或0,当0p =时,数列n a 为常数数列不符合数列{}n a 是递增数列,所以13p =.(2)由题可得122122212121111,222n n n n n n n n n a a a a a a +-++-+-=⇒-=-=,因为{}21n a -是递增数列且{}2n a 是递减数列,所以2121n n a a +->且222n n a a +<,则有22221221222121n n n n n n n n a a a a a a a a +-++-+-<-⎧⇒-<-⎨<⎩,因为 (2)由题可得122122212121111,222n n n n n n n n n a a a a a a +-++-+-=⇒-=-=,因为{}21n a -是递增数列且{}2n a 是递减数列,所以21210n n a a+-->且2220n n a a +-<()2220n n a a +⇒-->,两不等式相加可得()21212220n n n n a a a a +-+--->2212221n n n n a a a a -++⇒->-,又因为2212112n n n a a ---=22212112n n n a a +++>-=,所以2210n n a a -->,即2212112n n n a a ---=,同理可得2322212n n n n a a a a +++->-且2322212n n n n a a a a +++-<-,所以212212n n n a a +-=-,则当2n m =()*m N ∈时,21324322123211111,,,,2222m m m a a a a a a a a ---=-=--=-=,这21m -个等式相加可得2113212422111111222222m m m a a --⎛⎫⎛⎫-=+++-+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212222111111111224224113321144m m m -----=-=+--22141332m m a -⇒=+. 当21n m =+时, 2132432122321111,,,,2222m m m a a a a a a a a +-=-=--=-=-,这2m 个等式相加可得2111321242111111222222m m m a a +-⎛⎫⎛⎫-=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21222111111112242243321144m m m---=-=--- 21241332m m a +=-,当0m =时,11a =符合,故212241332m m a --=- 综上1141,33241,332n n n n a n --⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数为偶数.【考点定位】叠加法 等差数列 等比数列21.如图7,O 为坐标原点,椭圆1:C ()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ,离心率为1e ;双曲线2:C 22221x y a b -=的左右焦点分别为34,F F ,离心率为2e ,已知122e e =,且241F F =. (1)求12,C C 的方程;(2)过1F 点的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.21.【答案】(1) 2212x y += 2212x y -= (2)4 【解析】解:(1)由题可得12e e ==,且12F F =,因为12e e =,且24F F =,所以22212b a+=且1a ⇒=且1,b a ==所以椭圆1C 方程为2212x y +=,双曲线2C 的方程为2212x y -=. (2)由(1)可得()21,0F -,因为直线AB 不垂直于y 轴,所以设直线AB 的方程为1x ny =-,联立直线与椭圆方程可得()222210n y ny +--=,则222A B n y y n +=+,则22mny n =+,因为(),M M M x y 在直线AB 上,所以2222122M n x n n -=-=++,因为AB 为焦点弦,所以根据焦点弦弦长公式可得21222M AB e x n =+=++)2212n n +=+,则直线PQ 的方程为2M M y n y x y x x =⇒=-,联立直线PQ 与双曲线可得22202n x x ⎛⎫---= ⎪⎝⎭2284x n ⇒=-,22224n y n =-则24022n n ->⇒-<<,所以,P Q 的坐标为,⎛ ⎝,则点,P Q 到直线AB 的距离为221224n n n d n +-=,222224n nn d n --=,因为点,Q P 在直线AB 的两端所以()2221222224n n nn dd n ++-+==+,则四边形APBQ 面积()1212S AB d d =+= =因为2440n ≥->,所以当242n n =⇒=±时, 四边形APBQ 面积取得最小值为4.【考点定位】弦长 双曲线 椭圆 最值22.已知常数0a >,函数()()2ln 12xf x ax x =+-+. (1)讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性;(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ,且()()120f x f x +>,求a 的取值范围. 【答案】(1)详见解析【解析】解:(1)对函数()f x 求导可得()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++,因为()()2120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a ≤时,()'0f x x =⇒=则函数()f x 在区间⎛ ⎝⎭单调递减,在⎫⎪∞⎪⎝⎭单调递增的.(2) 解:(1)对函数()f x 求导可得()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++,因为()()2120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a <时, ()'0f x x =⇒=,则函数()f x 在区间⎛ ⎝⎭单调递减,在⎫⎪+∞⎪⎝⎭单调递增的.(2)函数()f x的定义域为1,a⎛⎫-+∞⎪⎝⎭,由(1)可得当01a<<时,()'0f x x=⇒=,则1a>-⇒12a≠,则()f x的两个极值点,()()12ln1ln1f x f x⎡⎡+=++-+⎣⎣()ln141a a=--+⎡⎤⎣⎦,因为112a<<或12a<<,则12<,则设t=12t⎛⎫<<⎪⎝⎭,则()()()212ln144f x f x t t+=-+,设函数()()2ln144g x x x=-+12t⎛⎫<<⎪⎝⎭, 后续有待更新!!!【考点定位】导数含参二次不等式对数。
2014年高考理科数学湖南卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共45页） 数学试卷 第2页（共45页） 数学试卷 第3页（共45页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页.时量120分钟.满分150分.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.满足ii z z +=（i 为虚数单位）的复数z =( )A .11i 22+B .11i 22-C .11i 22-+D .11i 22--2.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽 样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为1p ,2p ,3p ,则( ) A .123p p p =＜ B .231p p p =＜ C .132p p p =＜D .123p p p ==3.已知()f x ,()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且32()()1f x g x x x -=++,则(1)(1)f g += ( ) A .3-B .1-C .1D .34.51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是 ( )A .20-B .5-C .5D .205.已知命题p ：若x y ＞,则x y -＜-；命题q ：若x y ＞,则22x y ＞.在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中,真命题是( )A .①③B .①④C .②③D .②④6.执行如图1所示的程序框图,如果输入的[2,2]t ∈-,则输出的S 属于 ( )A .[6,2]--B .[5,1]--C .[4,5]-D .[3,6]-7.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A .1B .2C .3D .48.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A .2p q+ B .(1)(1)12p q ++-CD19.已知函数()sin()f x x ϕ=-,且2π30()d 0f x x =⎰,则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )A .5π6x =B .7π12x =C .π3x =D .π6x = 10.已知函数21()e (0)2x f x x x =+-＜与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( )A.(-∞ B.(-∞ C.( D.(二、填空题：本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分）11.在平面直角坐标系中,倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：2cos ,1sin ,x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于A ,B 两点,且||2AB =.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是 .12.如图3,已知AB ,BC 是O 的两条弦,AO BC ⊥,AB =BC =则O 的半径等于 .13.若关于x 的不等式|2|3ax -＜的解集为51{|}33x x -＜＜,则a = . （二）必做题（14～16题）14.若变量x ,y 满足约束条件,4,,y x x y y k ⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥且2z x y =+的最小值为6-,则k = .15.如图4,正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b ＜,原点O 为AD 的中点,抛物线22(0)y px p =＞经过C ,F 两点,则ba= . 16.在平面直角坐标系中,O 为原点,(1,0)A -,(0,3)B ,(3,0)C ,动点D 满足||1CD =,则||OA OB OD ++的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立. （Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A 研发成功,预计企业可获利润120 万元；若新产品B 研发成功,预计企业可获利润100 万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望.-----在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效---------姓名________________ 准考证号_____________图1图2图3图4数学试卷 第4页（共45页） 数学试卷 第5页（共45页） 数学试卷 第6页（共45页）18.（本小题满分12分）如图5,在平面四边形ABCD 中,1AD =,2CD =,AC （Ⅰ）求cos CAD ∠的值；（Ⅱ）若cos BAD ∠=,sin CBA ∠= 求BC 的长.19.（本小题满分12分）如图6,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,AC BD O =,11111AC B D O =,四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形. （Ⅰ）证明：1O O ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）若60CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足11a =,1||n n n a a p +-=,*n ∈N .（Ⅰ）若{}n a 是递增数列,且1a ,22a ,33a 成等差数列,求p 的值； （Ⅱ）若12p =,且21{}n a -是递增数列,2{}n a 是递减数列,求数列{}n a 的通项公式.21.（本小题满分13分）如图7,O 为坐标原点,椭圆1C ：()222210x y a b a b +=＞＞的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为1e ；双曲线2C ：22221x y a b -=的左、右焦点分别为3F ,4F ,离心率为2e .已知12e e =且241F F . （Ⅰ）求1C ,2C 的方程；（Ⅱ）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点.当直线OM 与2C 交于P ,Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.21.（本小题满分13分）已知常数0a ＞,函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+. （Ⅰ）讨论()f x 在区间(0+)∞，上的单调性； （Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ,2x ,且12()()0f x f x +＞,求a 的取值范围.图5图6图73 / 152014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）答案解析【提示】根据复数的基本运算即可得到结论. 【考点】复数的四则运算 2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，系统抽样和分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==.故选D.【提示】利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可. 【考点】二项式定理 5.【答案】C【解析】根据不等式的性质可知，若x y >，则x y -<-成立，即p 为真命题，当1x =，1y =-时，满足x y >，数学试卷 第10页（共45页）数学试卷 第11页（共45页） 数学试卷 第12页（共45页）但22x y >不成立，即命题q 为假命题，则①p q ∧为假命题；②p q ∨为真命题；③()p q ∧⌝为真命题；④()p q ⌝∨为假命题，故选：C.【提示】根据不等式的性质分别判定命题p ，q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论. 【考点】非、或、且，真假命题 6.【答案】D【解析】当[2,0)t ∈-时，运行程序如下，221(1,9]t t =+∈，(26]3,S t -=∈-，当[0,2]t ∈时，[,1]33S t ∈--=-，则(2,6][3,1][3,6]S ∈---=-，故选D.r5 / 15【提示】由题意可得001e ln()0x x a ---+=有负根，采用数形结合的方法可判断出a 的取值范围.BD DC AD DE DE =⇒=O 的半径等于R ，先计算AD ，再计算数学试卷 第16页（共45页）数学试卷 第17页（共45页）数学试卷 第18页（共45页）【提示】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C ，F 两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p 后，得到a ，b 的关系式，再寻求b的值.||OA OB OD ++=||OA OB OD ++的取值范围为cos,sin )θθ，求得||8OA OB OD ++=+||OA OB OD ++的最大值.【提示】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，计算即可，AC AD7 / 15数学试卷 第22页（共45页）数学试卷 第23页（共45页） 数学试卷 第24页（共45页）21277217147⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ 37sin 23sin 216AC BACCBA∠=∠. 【提示】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos CAD ∠的值.（Ⅱ）根据cos CAD ∠，cos BAD ∠的值分别，求得sin BAD ∠和sin CAD ∠，进而利用两角和公式求得sin BAC ∠的值，最后利用正弦定理求得BC . 【考点】解三角形，余弦定理，正弦定理19.【答案】（Ⅰ）如图，因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥. 同理1DD BD ⊥.因为11CC DD ∥，所以1CC BD ⊥. 而ACBD O =，因此1C C B D C A ⊥底面.由题设知，11O O C C ∥. 故1C O B D O A ⊥底面.（Ⅱ）如图2，过1O 作11O H OB ⊥于H ，连接1HC . 由（Ⅰ）知，1C O B D O A ⊥底面， 所以11111O O A B C D ⊥底面， 于是111O O AC ⊥.又因为四棱柱1111A B ABC C D D -的所有棱长都相等，所以四边形1111A B C D 是菱形，11112OO O BOB=19【提示】（Ⅰ）由已知中，四棱柱1111ABCD A B C D-的所有棱长都相等，AC BD O=，11111AC B D O=，四边形11ACC A和四边形11BDD B均为矩形.可得111O O CC BB∥∥且1CC AC⊥，1BB BD⊥，进而1OO AC⊥，1OO BD⊥，再由线面垂直的判定定理得到1O O ABCD⊥底面；（Ⅱ）由线面垂直，线线垂直推得111AC OB⊥，11OB C H⊥，所以11C HO∠是二面角11C OB D--的平面角.再由三角函数求得二面角11C OB D--的余弦值.【考点】线线关系、线面关系，二面角9 / 15数学试卷 第29页（共45页） 数学试卷 第30页（共45页）11(1)32nn -- 【解析】解（Ⅰ）因为{}n a 1(1)2n n --++112121()121n ---+11 / 1511(1)32nn --. }n 的通项公式为11(1)32nn --. 【提示】（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令1n =，2代入求出2a 和3a ，再由等差中项的性质列出关于p 的方程求解，利用“{}n a 是递增数列”对求出的p 的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“1||n n n a a p +-=”、不等式的可加性，求出221n n a a --和1n n a a +-，再对数列{}n a 的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n 项和公式，求出数列{}n a 的奇数项、偶数项对应22a b a +=，从而2(F数学试卷 第34页（共45页）数学试卷 第35页（共45页） 数学试卷 第36页（共45页） 22212m m ++，22214m m ++.2222213|222122m d m m +==-+--. S 取得最小值2.13 / 15【提示】（Ⅰ）由斜率公式写出1e ，2e 把双曲线的焦点用含有a ，b 的代数式表示，结合已知条件列关于a ，b 的方程组求解a ，b 的值，则圆锥曲线方程可求；（Ⅱ）设出AB 所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y 的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB 中点M 的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB 的长度，写出PQ 的方程，和双曲线联立后解出P ，Q 的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P ，Q 到AB 的距离，然后代入三角形面积公式得四边形APBQ n数学试卷第40页（共45页）数学试卷第41页（共45页）数学试卷第42页（共45页）【提示】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决. 【考点】函数单调性，极值，导数的性质与应用15 / 15。
2014年湖南高考理科数学试卷(带详解)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理工农医类)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.满足ii z z +=(i 为虚数单位)的复数z =( ) A.11i 22+ B.121i 2- C.11i 22-+ D.11i 22-- 【测量目标】复数的四则运算【考查方式】给出一个复数分式，求复数z 【参考答案】B 【难易程度】容易【试题解析】由题意可知i z +=z i ，所以z =(z +1)i,令z =a +b i,经化简可知1a b a b =-⎧⎨=+⎩，所以a =12,b =12-,即z =121i 2-,故选B. 2.对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则( )A.123p p p =<B.231p p p =<C.123p p p =<D.123p p p ==【测量目标】随机抽样的概率【考查方式】根据三种不同的方法，计算每种概率比较概率的大小 【参考答案】D 【难易程度】容易【试题解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，系统抽样和分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==.故选D.3.已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )- g (x )=321x x ++,则f(1)+g (1)=( ) A.－3 B.－1 C.1 D.3 【测量目标】对数奇偶性【考查方式】根据函数的奇偶性，先求出f (x ),g (x )的表达式，再求值 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】因为f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，所以f (x )= f (-x ),g (-x )= -g (x )，即()()()f x f xg x g x =-⎧⎪⎨-=-⎪⎩（），联立()()()323211f xg x x x f x g x x x ⎧-=++⎪⎨---=-++⎪⎩（）,得出f (x )=21x +，g (x )=-3x ，所以f(1)+g (1)=2-1=1，故选C. 4.5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 的系数是( ) A.－20 B.－5 C.5 D.20 【测量目标】二项式定理【考查方式】根据二项式展开式求其某项的系数 【参考答案】A 【难易程度】容易【试题解析】根据()()5551C 22rrrr r x y --⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以23x y 的系数为()23351C 22⎛⎫- ⎪⎝⎭= -20，故选A. 5.已知命题p :若x >y ,则-x <-y ;命题q :若x >y ,则22x y >在命题:①p q ∧;②p q ∨;③()p q ∧⌝;④()p q ⌝∨中，真命题是( )A.①③B.①④C.②③D.②④ 【测量目标】非、或、且，真假命题【考查方式】给出命题的关系，判断真假命题 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】由题意可知p 是真命题，q 是假命题，再根据逻辑关系得出②③是真命题，故选C. 6.执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于()第6题图 LLJ64A.[]6,2--B.[]5,1--C.[]4,5-D.[]3,6-【测量目标】循环结构流程图【考查方式】给出循环结构图，分析每一次是否满足条件，得出最终答案 【参考答案】D 【难易程度】中等【试题解析】当[)2,0t ∈-时，运行程序如下，(]2211,9t t =+∈，S =t -3(]2,6∈-,当t ∈[]0,2时，S =t -3[]3,1∈--，则S ∈(]2,6- []3,1--=[]3,6-，故选D.7.一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于()第7题图 LLJ65A.1B.2C.3D.4 【测量目标】几何体的体积【考查方式】给出三视图，还原成实物体，求出体积，再求能得到的最大球的半径 【参考答案】B 【难易程度】容易【试题解析】由图可知该几何体的为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则8-r +6-r =2286r +⇒=2,故选B.8.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.2p q+ B.()()1112p q ++- C.pq D.()()111p q ++-【测量目标】增长率【考查方式】给出第一年和第二年的增长率，计算平均增长率 【参考答案】D 【难易程度】中等【试题解析】由题意可知：设平均增长率为x ，由()()11p q ++=(1+x )2,1+x =()()11p q ++所以x =()()111p q ++-,故选D.9.已知函数f (x )=sin(x -ϕ),且2π30⎰f (x )dx =0,则函数f (x )的图象的一条对称轴是( )A.5π6x =B.7π12x =C.π3x =D.π6x =【测量目标】积分，对称轴，三角函数【考查方式】给出积分的值.求函数，在求出其对称轴 【参考答案】A 【难易程度】中等【试题解析】由2π30⎰f (x )dx =0,可以得出cos ()2πcos 3ϕϕ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即ϕ=π3，所以f (x )=sin(x -π3),因此一条对称轴为πππ32x k -=+(k ∈Z )所以5π6x =，故选A.10.已知函数f (x )=()2102x x e x +-<与g (x )=2x 21()2x f x x e =+-(x ＜0)与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( ) A.1(,)e -∞ B.(),e -∞ C.1,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.1,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【测量目标】对称性【考查方式】根据函数的对称性，求参数的取值范围 【参考答案】B 【难易程度】中等【试题解析】由题可得函数f (x )的图象上存在点P (0x ，0x 2+0x e12-)(00x <)关于y 轴对称的点Q (-0x ，0x 2+0x e 12-)在函数2()ln()g x x x a =++的图象上，从而0212x x e +-=()()200ln x x a -+-+,即0x e -()0ln x a -+-12=0，问题等价于函数h (x )= 0xe -()0ln x a -+-12在x ∈(),0-∞存在零点.即a (),e ∈-∞二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.(一)选做题(请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)11.在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线:2cos 1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩，(α为参数)交于A ,B 两点，则||2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是 .【测量目标】直线与参数方程的位置关系，极坐标【考查方式】先求出交点坐标，在把交点转化为极坐标标 【参考答案】(cos sin )1p θθ-= 【难易程度】容易【试题解析】设直线方程y =x +b ,联立()()22211x y y x b⎧-+-=⎪⎨=+⎪⎩得出22x -2x (3-b )+4+2b -2b =0,由韦达定理12x x =2422b b +-，123x x b +=-，又有||2AB ==21k +21212()4x x x x +-，所以最后得出b =-1, 故直线方程x -y =1，所以极坐标方程为(cos sin )1p θθ-=.12.如图，已知AB,BC 是O 的两条弦，AO ⊥BC ,AB =3,BC =22,则O 的半径等于第12题图 LLJ66 【测量目标】勾股定理，双割线定理 【考查方式】在三角形中利用勾股定理 【参考答案】32【难易程度】容易【试题解析】设线段AO 与BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E ,则BD =DC =2,由ABD △的勾股定理可得AD =1，由双隔线定理可得BD DC AD DE DE ⋅=⋅⇒=2，则直线AE =3⇒32r =，故填32. 13.若关于x 的不等式|ax -2|<3的解集为{x |-53-<x <13}，则a = . 【测量目标】绝对值不等式【考查方式】给出不等式的解集，求参数 【参考答案】-3 【难易程度】容易【试题解析】由题可得5|2|3231|2|33aa a ⎧--=⎪⎪⇒=-⎨⎪-=⎪⎩，故填：-3. (二)必做题(14－16题)14.若变量y x ，满足约束条件4y x x y y k ⎧⎪+⎨⎪⎩………，则2z x y =+的最大值为-6，则k=_________.第14题图 LLJ67a【测量目标】线性规划【考查方式】给出不等式找出最优解，再求最大值 【参考答案】-2 【难易程度】容易【试题解析】作出不等式组4y x x y y k ⎧⎪+⎨⎪⎩………表示的区域，可以得出三条直线的交点(k ,k ),(4-k ,k ),(2,2),且,4y x x y +剟的可行域，所以k ≤2，则当(k ,k )为最优解时，3k =-6⇒k =-2,当(4-k ，k )为最优解时，2(4-k )+k =-6⇒k =14,因为k ≤2，所以k =-2，故填-2.15.如图，正方形ABCD 和正方形DEFG ,的边长分别为a ,b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线()220y px p =>经过C ,F 两点，则ba=.第15题图LLJ67【测量目标】抛物线【考查方式】根据抛物线的几何性质，得出两正方形的边长比 【参考答案】21+ 【难易程度】中等【试题解析】由C (2a ，-a )，F (2a +b ,b )，则22222a pab a a b p b ⎧=⎪⇒=⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩+1，故填21+. 16.在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，()0,3B ,()3,0C ，动点D 满足||CD=1,则||OA OB OD ++的取值范围是 .【测量目标】平面向量的基本运算【考查方式】先求出圆的轨迹方程在设点，再利用平面向量的基本运算求出取值范围. 【参考答案】71,71⎡⎤-+⎣⎦【难易程度】较难【试题解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆，设为(3+cos θ,sin θ) (θ∈[)0,2π),则||OA OB OD ++ =()()223cos 1sin 3θθ+-++=()822cos 3sin θθ++，因为2cos θ+3sin θ的取值范围为()()222223,23⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦=7,7⎡⎤-⎣⎦, ()282717+=+=1+7，827-=()217-=71-，所以||OA OB OD ++的取值范围为71,71⎡⎤-+⎣⎦.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望 【难易程度】容易【测量目标】分布列和数学期望，概率【考查方式】由甲、乙成功概率，计算满足条件的概率，在画出分布列并计算数学期望 【试题解析】(I)记E =｛甲组研发新产品成功｝，F =｛乙组研发新产品成功｝.由题设知21(),()33P E P E ==，32(),()55P F P F ==,故所求的概率为P =()P F ()P E +()P E ()P F +()P E ()P F =1315.(Ⅱ)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100,120,220.因122(0)()3515P X P EF ===⨯=, 133(100)()3515P X P EF ===⨯=, 224(120)()3515P X P EF ===⨯=, 236(220)()3515P X P EF ===⨯=,故所求的分布列为:X0 100 120220P 215 315415615数学期望为2()015E X =⨯+310015⨯+412015⨯+622015⨯=300480132021001401515++==. 18. (本小题满分12分)如图，在平面四边形ABCD ,中，AD =1，CD =2，AC =7 (1)求cos CAD ∠的值；(2)若cos BAD ∠=714-,sin CBA ∠=216求BC 的长.第18题图LLJ68【难易程度】容易【测量目标】解三角形，余弦定理、正弦定理 【考查方式】给出边长利用余弦定理求边长【试题解析】(1)在ADC △中，由余弦定理，得222cos .2AC AD CD CAD AC AD+-∠=⋅故由题设知，71427cos .727CAD +-∠==2sin 1BAD COS BAD ∠=-∠=273211().1414--=于是sin x =sin()BAD CAD ∠-∠ =sin cos BAD CAD ∠∠- cos sin BAD CAD ∠∠= 32127721()147147⋅--⋅=3.2在ABC △中，由正弦定理，sin sin BC AC a CBA =∠, 故BC =37sin 23sin 216AC a CBA ⋅⋅==∠. 19. (本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD -1111A B C D 的所有棱长都相等，AC BD =O ,1111AC B D =1O ,四边形1111ACC A BDD B 和四边形均为矩形. (1)证明：1O O ⊥底面ABCD(2)若°60CBA ∠=，求二面角11C OB D --的余弦值.第19题图 LLJ69【难易程度】中等【测量目标】线线关系、线面关系，二面角【考查方式】由线线关系来证线面关系，再利用求二面角 【试题解析】(1)如图，因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥.同理1DD BD ⊥.因为1CC ∥1DD ，所以1CC BD ⊥.而AC BD O = ，因此1CC ⊥底面ABCD.由题设知，1O O ∥1C C .故1O O ⊥底面ABCD .(2)如图2，过1O 作11O H OB ⊥于H ，连接1HC .由(1)知，1O O ⊥底面ABCD ，所以1O O ⊥底面1111A B C D ，于是1O O ⊥11AC .又因为四棱柱ABCD -1111A B C D 的所有棱长都相等，所以四边形1111A B C D 是菱形，因此1111AC B D ⊥，从而1111AC BDD B ⊥平面，所以111AC OB ⊥， 于是111OB O HC ⊥平面，进而11OB C H ⊥.故11C HO ∠是二面角11C OB D --的平面角.不妨设AB =2.因为60OCBA ∠=，所以3OB =，117OC OB ==，.在11Rt OO B △中， 易知11111327OO O B O H OB ⋅==.而111O C =，于是1C H =22111O C O H +=1219177+=. 故1111322577cos 19197O HC HO C H∠===.即二面角11C OBD --的余弦值为25719.第19题图 LLJ70 20. (本小题满分13分)已知数列{}n a 满足1a =1,|1n n a a +-|=np ,*n ∈N(1)若{}n a 是递增数列，且1a ，22a ，33a ,成等差数列，求p 的值；(2)若12p =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式. 【难易程度】中等【测量目标】等差、等比数列，数列的单调性，通项公式【考查方式】由数列的单调性，求出数列的通项公式,由等差数列性质求参数p【试题解析】解(1)因为{}n a 是递增数列，所以11n n n n n a a a a p ++-=-=.而11a =，因此又123,2,3a a a 成等差数列，所以21343a a a =+，因而230p p -=，解得1,03p p ==,当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾.故13p =.(2)由于{}21n a -是递增数列，因而21210n n a a +-->，于是()()2122210n n n n a a a a +--+->①,但2211122n n -<，所以212221a a a a n n n n -<-+-②,由①②知，2210n n a a -->，因此222121211(1)()22n nn n n a a -----==③，因为{}2n a 是递减数列，同理可得，2120n n a a +-<，故22121221(1)22nn n nna a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭--=-=④，由③④即知，11(1)2n n n n a a ++--=.于是 121321()()...()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-2111(1)1 (222)nn --=+-++111()1211212n ---=+⋅+141(1)332n n --=+⋅.故数列{}n a 的通项公式为141(1)332n n n a --=+⋅. 21. (本小题满分13分)如图，O 为坐标原点，椭圆221:221x y C a b+=(a >b >0)的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线222:221x y C a b -=的左、右焦点分别为34,F F ，离心率为2e .已知1232e e =且|24F F |=31-(1)求1C ,2C 的方程；(2)过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB 的中点.当直线OM 与2C 交于P ,Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值.第21题图LLJ71【难易程度】较难【测量目标】曲线标准方程，焦点、离心率，直线与曲线的位置关系，最值 【考查方式】先求出曲线标准方程，在利用直线与曲线的关系解决第二问【试题解析】(1)因为1232e e =，所以222232a b a b a a -+⋅=，即44434a b a -=，因此222a b =，从而24(,0),(3,0)F b F b ，于是24331b b F F -==-，所以1b =，22a =.故12,C C 的方程分别为2212x y +=，2212x y -=.(2)因AB 不垂直于y 轴，且过点1(1,0)F -,故可设直线AB 的方程为1x my =-.由221,12x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 22(2)210m y my +--=,易知此方程的判别式大于0. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,y y 是上述方程的两个实根，所以12222m y y m +=+，12212y y m =-+,因此121224()22x x m y y m -+=+-=+，于是AB 的中点为222(,)22mM m m -++，故直线PQ 的斜率为2m -，PQ 的方程为2m y x =-，即20mx y +=.由22,212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得22(2)4m x -=，所以220m ->，且2242x m =-，2222m y m =-，从而22224222m PQ x y m+=+=-.设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以112222224mx y mx y d m +++=+.因为点A 、B 在直线20mx y +=的异侧，所以1122(2)(2)0mx y mx y ++<，于是112211222222mx y mx y mx y mx y +++=+--，从而2122(2)24m y y d m +-=+,又因为2121212()4y y y y y y -=+-=222212m m ⋅++，所以2222124m d m ⋅+=+.故四边形APBQ 的面积 222122132221222m S PQ d mm ⋅+=⋅==⋅-+--.而2022m <-…，故当0m =时，S 取得最小值2.综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.第21题图LLJ7222. (本小题满分13分)已知常数0a >，函数f (x )=ln(1+ax )22xx -+. (1)讨论f (x )在区间()0,+∞上的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点12,x x 且()()120f x f x +>求a 的取值范围. 【难易程度】较难【测量目标】函数单调性，极值，导数的性质与应用【考查方式】利用求导证明单调性，由不等式求出参数【试题解析】(1)f '()1a x ax =+22(2)2(2)x x x +--+=224(1)(1)(2)ax a ax x +-++,当a …1时，此时()f x 在区间()0,+∞上单调递增.当0＜a ＜1时，由'()f x ＜0得112a x a -=(212a x a-=-舍去).当x ∈(0，1x )时'()f x ＜0；当x ∈11(,)x x ∈+∞时，'()f x ＞0,故()f x 在区间(0，1x )上单调递增，在区间(1x ，+∞)上单调递增.综上所述:当a …1时，()f x 在区间(0，+∞)上单调递增；当0＜a ＜1时，()f x 在区间(0，12a a -)上单调递减，在区间(12a a-，+∞)上单调递增.(2)由(1)式知.当a …1，'()f x …0，此时()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点，必有0＜a ＜1.又()f x 的极值点只可能是1x =12a a -和2x = -12a a-，且由()f x 的定义可知，x ＞1a -且x ≠—2，所以12a a -＞1a -.12a a-≠—2，解得a ≠12.此时，由上式易知，1x ，2x 分别是()f x 的极小值点和极大值点，而1()f x +2()f x =ln(1ax +)-122x x ++ln(1+2ax )-222x x + =()21212ln 1a x x a x x ⎡⎤+++⎣⎦-()()121212124424x x x x x x x x +++++=ln ()221a -—()4121a a --= ln ()221a -+2221a --,令2a -1=x ,由0＜a ＜1且a ≠12知:当0＜a ＜12时,-1＜x ＜0; 当12＜a ＜1时.0＜x ＜1.记g (x )=ln 2x +2x -2.(i)当-1＜x ＜0时，g (x )=2in(-x )+ 2x -2，所以g '(x )=2x -22x =222x x -＜0.因此，g (x )在区间(-1,0)上单调递减，从而g (x )＜g (-1)=-4＜0，故当0＜a ＜12时，1()f x +2()f x ＜0.(ii)当0＜x ＜1时，g (x )=2ln x +2x -2,所以()222g x x x'=-<0,因此.g (x )在区间(0,1)上单调递减，从而g (x )＞g (1)=0. 故当12＜a ＜1时，1()f x +2()f x ＞0,综上所述.满足条件的a 的取值范围为(12，1).。
2014年全国高考湖南省数学(理)试卷及答案【精校版】
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、 选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1． 满足(z ii i z +=为虚数单位）的复数z = A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+ D ．1122i--2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，学科网当选取简单随机抽样、zxxk 系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是123,,,p p p 则 A ．123p p p =< B ．231p p p =< C ．132p p p =< D ．123p p p == 3．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1,f x g x x x -=++(1)(1)f g +则＝A ．－3B ．－1C ．1D ．34．51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是zxxkA ．－20B ．－5C ．5D ．205．已知命题22:,;:,.p x y x y q x y x y >-<->>若则命题若则在命题①p q ∧②p q ∨③()p q ∧⌝④()p q ⌝∨中，真命题是 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④6．执行如图1所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于A ．[6,2]--B ．[5,1]--C ．[4,5]-D ．[3,6]-7．一块石材表示的几何何的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于A ．1B ．2C ．3D ．48．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A ．2p q + B ．(1)(1)12p q ++- C pq D (1)(1)1p q ++ 9．已知函数230()sin(),()0,f x x f x dx πϕ=-=⎰且则函数()f x 的图象的一条对称轴是A ．56x π=B ．712x π=C ．3x π=D ．6x π= 10．已知函数zxxk 221()(0)()ln()2x f x x e x g x x x a =+-<=++与的图象上存在关于y轴对称的点，则a 的取值范围是A ．(e -∞B ．()e -∞C ．()e eD ．(,e e - 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，学科网如果全做，则按前两题记分）11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos :,(1sin x C y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数）交于A B ，两点，则AB ｜｜＝2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是12．如图3，已知,AB BC 是O e 的两条弦，,3,22,AO BC AB BC ⊥==则O e 的半径等于13．若关于x 的不等式|2|3ax -<的解集为51{|}33x x -<<，则a = （二）必做题（14－16题）14．若变量,x y 满足约束条件4y xx y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最小值为－6，则k =15．如图4，正方形ABCD DEFG 和正方形的边长分别为,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线22(0)y px p =>经过,bC F a=两点，则16．在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),3),(3,0),A B C -动点D 满足||1,CD OA OB OD =++u u u r u u u r u u u r u u u r 则｜｜的最大值是三、解答题：本大题共6小题，共75分．学科网解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为2335和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ．设甲、乙两组的研发相互独立．（I ） 求至少有一种新产品研发成功的概率；（II ） 若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．18． （本小题满分12分）如图5，在平面四边形ABCD 中，127.AD CD AC ＝，＝，＝ （I ） 求cos CAD ∠的值； （II ） 若721cos ,sin ,6BAD CBA ∠=-∠=求zxxk BC 的长．19． （本小题满分12分）如图6，四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等，11111,,AC BD O AC B D O ==I I 四边形1111ACC A BDD B 和四边形均为矩形．（I ） 证明：1;O O ABCD ⊥底面（II ）若1160,CBA C OB D ∠=--o求二面角的余弦值．20． （本小题满分13分）已知数列{n a }满足*111,||,.n n n a a a p n N +=-=∈（I ） 若{n a }是递增数列，且12,3,23a a a 成等差数列，求p 的值； （II ）若12p =，且{21n a -}是递增数列，{2n a }学科网是递减数列，zxxk 求数列{n a }的通项公式．21． （本小题满分13分）如图7，O 为坐标原点，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线22222:1x y C a b -=的左、右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ．已知123,2e e =且24||3 1.F F =- （I ） 求12,C C 的方程；（II ）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB 的中点．当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．22． （本小题满分13分）已知常数20,()ln(1).2xa f x ax x >=+-+函数 （I ） 讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；（II ）若()f x 存在学科网两个极值点12,,x x 且12()()0,f x f x +>求a 的zxxk 取值范围．2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）答案一、选择题1、B2、D3、C4、A5、C6、D7、B8、D9、A 10、B 二、填空题11、(cos sin )1p θθ-=12、3213、3- 14、2-15、12+ 16、17+三、解答题 17、（本小题满分12份） 解：（I ）记E=｛甲组研发新产品成功｝，F=｛乙组研发新产品成功｝.由题设知2132(),(),(),(),3355P E P E P F P F ====故所求的概率为（Ⅱ）设企业可获利润为X （万元），则X 的可能取值为0，100,120,220.因122(0)()3515P X P EF ===⨯=, 133(100)()3515P X P EF ===⨯=224(120)()3515P X P EF===⨯=,235(220)()3515P X P EF===⨯=,故所求的分布为数学期望为2()015E X=⨯+310015⨯+412015⨯+622015⨯=300480132021001401515++==18、（本小题满分12份）解：（I）如图5，在ADC∆中，由余弦定理，得222cos.2AC AD CDCADAC AD+-∠=⋅故由题设知，27cos.27CAD∠==227321sin11().1414BAD COS BAD∠=-∠=--=于是sin x=sin()BAD CAD∠-∠=sin cos cos sinBAD CAD BAD CAD∠∠-∠∠=32127721()147⋅--⋅=3.2在ABC∆中，由正弦定理，BC=37sin23sin21AC aCBA⋅==∠19、（本小题满分12份）解：（I ）如图（a ），因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥.同理1DD BD ⊥。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理工农医类)本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共5页,时量120分钟,满分150分.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.满足(z ii i z +=为虚数单位)的复数z =( ) A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+ D ．1122i--【解】选B.由(1)1111(1)(1)222z i i i i i iz i z i i i +---=====-----,即选B. 2.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别是123,,p p p 则( ) A ．123p p p =< B ．231p p p =< C ．132p p p =< D ．123p p p ==【解】选D. 根据随机抽样的原理可得简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即123p p p ==,故选D. 3.已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且32()()1f x g x x x -=++,则(1)(1)f g +=( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3【解】选C.由函数奇偶性,联想转化:32(1)(1)(1)(1)(1)(1)11f g f g +=---=-+-+=.4.51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是( )A ．－20B ．－5C ．5D ．20 【解】选A.二项式51(2)2x y -的通项为()5151()2,,2rr r r T C x y r r N -+=-≤5∈,令3r =时,()33223451()2202T C x y x y =-=-,故选A.5.已知命题:p 若x y >,则x y -<-,命题:q 若x y >,则22x y >.在命题:①p q ∧②p q ∨③()p q ∧⌝④()p q ⌝∨中,真命题是( ) A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④【解】选C.显然p 真q 假,所以可知复合命题①、③正确,选C.6.执行如图右所示的程序框图,如果输入的[2,2]t ∈-,则输出的S 属于( A. [6,2]-- B ．[5,1]--C ．[4,5]-D ．[3,6]-【解】选D. 由程序框图可知 ①当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-;②当[]0,2t ∈时,则[]33,1S t =-∈--; 综上①②可知,(][][]2,63,13,6S ∈---=-故选D.7.一块石材表示的几何体的三视图如图右所示,将该石材切削、 打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解】选B.由三视图可得该几何体为三棱柱(倒置:长为12、 宽为6的矩形侧面与地面接触).易知不存在球与该三棱 柱的上、下底面及三个侧面同时相切,故最大的球是与其 三个侧面同时相切,所以最大球的半径为上(下)底面直角 三角形内切圆的半径r ,则681022r +-==,故选B. 8.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两 年生产总值的年平均增长率为( )A ．2p q + B ．(1)(1)12p q ++- CD ．1【解】选D.设两年的年平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒=,故选D.9.已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0f x dx π=⎰,则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )A ．56x π=B ．712x π= C ．3x π= D ．6x π=【解】选A.由230()0f x dx π=⎰得,23cos()00x πϕ--=,即2cos cos()03πϕϕ--=,可化为3cos 02ϕϕ=,即tan ϕ可得,3k k Z πϕπ=+∈, 也所以()sin()sin()3f x x x πϕ=-=±-,经检验可知A 选项符合.10.已知函数21()(0)2x f x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称 的点,则a 的取值范围是( )A ．(-∞B ．(-∞C．(D．(【解】选 B.依题意在曲线()g x 取一点(,())(0)x g x x >,则在曲线()f x 上存在一点(,())x f x --与之对应(关于y 轴对称),所以()()f x g x -=在0x >上有解, 即221ln()2x x e x x a -+-=++,也即1ln()2x x a e -+=-在0x >上 有解,由于121ln(),2x y x a y e -=+=-分别为(0,)+∞上增函数、 减函数,于是结合图象易知,方程1ln()2xx a e -+=-在0x >上正视图 侧视图俯视图y有解的充要条件为01ln 2a e -<-,即a 选B.二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.(一)选做题(请考生在第11、12、13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)11.在平面直角坐标系中,倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos ,:(1sin x C y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数)交于A B 、两点,且||2AB =,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是 .【解】填(cos sin )1ρθθ-=.依题意曲线C 的普通方程为()()22211x y -+-=, 设直线l 的方程为y x b =+,因为弦长2AB =,所以圆心()2,1到直线l 的距离0d =, 所以圆心在直线l 上,故1y x =-sin cos 1(cos sin )1ρθρθρθθ=-⇔-=. 12.如图右,已知,AB BC 是O 的两条弦,,AO BC AB BC ⊥=则O 的半径等于 . 【解】填32.设AO BC D =,易知BD DC ==ABD ∆中由勾股定理可得1AD =,连接OB ,则有2222232(1)2OB BD OD r r r =+⇔=+-⇒=.13.若关于x 的不等式|2|3ax -<的解集为51{|}33x x -<<,则a = .【解】填 -3 .由题可得52331233a a ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩3a ⇒=-,故填3-. (二)必做题(14-16题)14.若变量,x y 满足约束条件,4,y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,且2z x y =+的最小值为－则k = .【解】填 -2 .如右图所示,2k <,且可行域为三角形, 故当目标函数2y x z =-+过点(,)A k k 时,z 有最小值, 即63k -=,即2k =-.15.如图右,正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b <,原点O 为AD 的中点,抛物线22(0)y px p =>经过,C F 两点,则ba= . 由条件可知(,),(,)22a a C a Fb b +在抛物线22y px =AB DCOA BCO上,代入C 点易得p a =,又代入F 点得,22()2a b a b =+,即2220b ab a --=,可化为2()210b b a a --=,得1b a =,又因为1b>,所以1ba=即求.16.在平面直角坐标系中,O 为原点,(1,0),(3,0)A B C -,动点D 满足||1CD =,则||OA OB OD ++的最大值是 .【解】填17+.由||1CD =知,动点(,)D x y 在22:(3)1C x y -+=设(1,OA OB OD x y =++=-m ,则222||(1)(x y =-+m 其几何意义为C 上动点(,)D x y 与定点(1,E 间距离的平方,如右图所示,由平面几何知,max ||||1EC r =+=m .三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立. (Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率; (Ⅱ)若新产品A 研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B 研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望. 【解】(Ⅰ)记E ={甲组研发新产品成功},F ={乙组研发新产品成功}.由题设知,E F 相互独立,且23(),()35P E P F ==,又记事件 “至少有一种新产品研发成功”为M , 则2313()1()1()1()()13(1)(1)3515P M P M P EF P E P F =-=-=-=---=……………6分(Ⅱ)记该企业可获利润为ξ(万元),则ξ的可能取值有0,100,120,220.且易知122133(0),(100)35153515P P ξξ==⨯===⨯=;224236(120),(220)35153515P P ξξ==⨯===⨯=; 故所求的分布列为(如右表所示):且2346()010012022014015151515E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.………………………………12分18.(本小题满分12分)如图右,在平面四边形ABCD 中,1,2,AD CD AC ===(Ⅰ)求cos CAD ∠的值;(Ⅱ)若cos BAD CBA ∠=∠=BC 的长. 【解】(Ⅰ)如图右,在ADC ∆中,由余弦定理,得2227c o s2AC AD CD CAD AC AD +-∠===⋅分(Ⅱ)设BAC α∠=,则BAD CAD α=∠-∠, ACDBAD因为cos CAD BAD ∠=∠=, 且,(0,)CAD BAD π∠∠∈,所以sin CAD ∠=同理sin BAD ∠=, 于是sin sin()sin cos cos sin BAD CAD BAD CAD BAD CAD α=∠-∠=∠⋅∠-∠⋅∠,(=-=,………………………………………10分 所以在ABC ∆中,由正弦定理有sin 3sin AC BC CBAα==∠,即求.………………12分 19.(本小题满分12分)如图,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,11111,,AC BD O AC B D O ==四边形11ACC A 和四边形 11BDD B 均为矩形. (Ⅰ)证明:1O O ⊥底面ABCD ;(Ⅱ)若60CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值. 【解】(Ⅰ)证明:如图右,因为四边形11ACC A 为矩形,所以1C C A C ⊥,同理1DD BD ⊥, 因为11//CC DD ,所以1CC BD ⊥,而AC BD O =,因此1CC ⊥底面ABCD .由题设知11//OO CC ,故1O O ⊥底面ABCD ;………………6分 (Ⅱ)解法1 如图右,由(Ⅰ)知1O O ⊥底面ABCD , 所以1O O ⊥底面1111A B C D ,于是1O O ⊥11AC . 又由题设知四边形1111A B C D 是菱形,所以1111AC B D ⊥,而1111B D OO O =,故11AC ⊥平面11BDD B ,于是过点1O 作11O H B O ⊥于H ,连结1HC 则11HC B O ⊥(三垂线定理),故11C HO ∠是二面角11C OB D --的平面角.不妨设2AB =,因为60CBA ∠=,所以11,OB OC OB ==在11Rt OO B ∆中,11111OO O B O H OB ⋅=,而111OC =,于是1C H ==, 故11Rt HO C ∆中,有1111cos O H C HO C H ∠==, 即二面角11C OB D --解法2 由题设知四边形ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥, 又(Ⅰ)已证1O O ⊥底面ABCD ,从而1,,OB OC OO 两 两垂直,如图右,以O 为原点,1,,OB OC OO 所在直线分别分x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系O xyz -. A 1B 1C 1D 1O 1ACDBO A 1B 1HC 1D 1O 1ACDBO1不妨设2AB =,因为60CBA ∠=,所以1OB OC ==,于是相关各点的坐标为11(0,0,0),(0,1,2)O B C ,易知1(0,1,0)=n 是平面11BDD B 的一个法向量.设2(,,)x y z =n 是平面11OB C 一个法向量,则21210,0,OB OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即20,20.z y z +=+=⎪⎩ ,令z =则2,x y ==,故2=n ,设二面角11C OB D --的大小为θ,由图可知θ为锐角,于是121212||cos |cos ,|||||θ⋅=<>==⨯n n n n n n , 故二面角11C OB D --.……………………………………………12分20.(本小题满分13分)已知数列{}n a 满足*111,||,.n n n a a a p n N +=-=∈ (Ⅰ)若{}n a 是递增数列,且123,2,3a a a 成等差数列,求p 的值;(Ⅱ)若12p =,且21{}n a -是递增数列,2{}n a 是递减数列,求数列{}n a 的通项公式. 【解】(Ⅰ)因为{}n a 是递增数列,所以11||n n n n n a a a a p ++-=-=,而11a =,因为2231,1a p a p p =+=++,又123,2,3a a a 成等差数列, 所以21343a a a =+,因而230p p -=,解得1,3p =或0p =,当0p =时,1n n a a +=,这与{}n a 是递增数列矛盾.故13p =;………………………………6分 (Ⅱ)由于21{}n a -是递增数列,因而21210n n a a +-->,于是212221()()0n n n n a a a a +--+->,……① 而22121222111||()||()22n n n n n n a a a a -+--=<-=,……② 由①②知,2210n n a a -->,即212211()2n n n a a ---=,……③因为2{}n a 是递减数列,同理可得2120n n a a +-<,故22121()2n n n a a +-=-……④由③④即知,11*111(1)()(),2,22n n n n n a a n n N ----=-=--≥∈,所以112211()()()(2)n n n n n a a a a a a a a n ---=-+-++-+≥121111[()()()]1222n n --=--+-++-+1111()141121()()1233212n n ----=--=--+,又当1n =时,11a =也适合上式,故1*411(),332n n a n N -=--∈.………………………13分21.(本小题满分13分)如图右,O 为坐标原点,椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>> 的左、右焦点分别为12,F F ,离心率为1e ;双曲线22222:x y C a b -1=的左、右焦点分别为34,F F ,离心率为2e .已知12e e =且24|| 1.F F (Ⅰ)求12,C C 的方程; (Ⅱ)过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦,AB M 为AB 的中点.当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值. 【解】(Ⅰ)因为12e e =所以222212223(1)(1)4b b e e a a =-+=, 得222a b =,从而24(,0),,0)F b F ,24||1b F F -=,即21,2b a ==,故12,C C 的方程分别为22221,122x x y y +=-=.………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)易知1(1,0)F -,依题意设:1AB x my =-,1122(,),(,)A x y B x y ,由221,22x my x y =-⎧⎨+=⎩,得22(2)210m y my +--=,显然0>恒成立, 所以12122221,21m y y y y m m -+==++, 故121224()22x x m y y m -+=+-=+,于是AB 的中点222(,)22mM m m -++,故直线PQ 的斜率为2m k -=,即直线:2mPQ y x =-,即20mx y +=,由22,222m y x x y ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩得22(2)4m x -=,即2224(2)2x m m =<-,由双曲线的对称性易PQ === 由M 为AB 的中点,显然,A B 到直线PQ 的距离相等,即d =,所以2d ,又因为,A B 在直线20mx y +=的两侧,故1122(2)(2)0mx y mx y +⋅+<,于是22d ===又因为12||y y-==即2d,故四边形APBQ的面积为21||22)2S PQ d m=⋅==≤<,由2022m<-≤,故当0m=时,S有最小值2,综上所述,四边形APBQ面积的最小值为2.……………………………………………13分22.(本小题满分13分)已知常数0a>,函数2()ln(1).2xf x axx=+-+(Ⅰ)讨论()f x在区间(0,)+∞上的单调性;(Ⅱ)若()f x存在两个极值点12,,x x且12()()0,f x f x+>求a的取值范围.【解】(Ⅰ)由2222(2)24(1)'()1(2)(1)(2)a x x ax af xax x ax x+-+-=-=++++,(0x>)①当1a≥时,'()0f x>;②当01a<<时,由()0f x'=得,12x x==-舍去),且由于二次函数24(1)y ax a=+-的图象是开口向上的抛物线,故易知:当10x x<<时,'()0f x<,当1x x>时,'()0f x>,综上所述,当1a≥时,()f x在区间(0,)+∞上单调递增;当01a<<时,()f x在区间上递减,在区间)+∞上递增.……6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知224(1)'()(1)(2)ax af xax x+-=++,所以①当1a≥时,()0f x'≥,此时()f x不存在极值点.②当01a<<时,'()0f x=的两根为12x x==-,依题意12,x x是()f x定义域上的两个极值点,故必有221,2x xa=->-≠-,解得12a≠,结合二次函数24(1)y ax a=+-的图象可知,当101,2a a<<≠时,12,x x分别是()f x的极小值、极大值点.且12124(1)0,ax x x xa-+==.而1212121222()()ln(1)ln(1)22x xf x f x ax axx x+=+-++-++,212121212121244()ln[1()]2()4x x x xa x x a x xx x x x++=+++-+++224(1)2ln(21)ln(21)2,2121a a a a a -=--=-+---令21(1,0)(0,1)t a =-∈-,则2122()()()ln 2,(11,0)f x f x g t t t t t+==+--<<≠,于是22(1)'()0t g t t-=<,即()g t 在(1,0),(0,1)t ∈-上递减,所以 ①当10t -<<时,()(1)40g t g <-=-<,与12()()()0f x f x g t +=>的题意矛盾,舍去; ②当01t <<时,()(1)0g t g >=,符合题意.综上可知,要使12()()0,f x f x +>则必须有21(0,1)t a =-∈,即1(,1)2a ∈为所求.……13分。