第五章向量 5 (1)

A.B→C
B.12A→D
C.A→D
解析 E→B＋F→C＝12(A→B＋C→B)＋12(A→C＋B→C)
＝12(A→B＋A→C)＝A→D.
D.12B→C
解析答案
(2)在△ABC 中，A→B＝c，A→C＝b，若点 D 满足B→D＝2D→C，则A→D等于( A )
A.23b＋13c
B.53c－23b
C.23b－13c 解析 ∵B→D＝2D→C，
1.设 O 是正方形 ABCD 的中心，则向量A→O，B→O，O→C，O→D是( D )
A.相等的向量 C.有相同起点的向量
B.平行的向量 D.模相等的向量
解析 这四个向量的模相等.
解析答案
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2.设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正确的是( C )
A.a0＝b0
B.a0·Leabharlann 0＝1C.|a0|＋|b0|＝2
D.|a0＋b0|＝2
解析 因为是单位向量，
所以|a0|＝1，|b0|＝1.
解析答案
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3.在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝3DC，E 为 BC 的中点，则A→E等
于( A )
A.23A→B＋12A→D
B.12A→B＋23A→D
C.56A→B＋13A→D
D.13A→B＋56A→D
解析 B→C＝B→A＋A→D＋D→C＝－23A→B＋A→D，
A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋12B→C＝A→B＋12A→D－23A→B＝23A→B＋12A→D.
解析答案
失误与防范
1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更 重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别 注意零向量的特殊性. 2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相 反向量，导致错误.
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练出高分
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答案
2
考点自测
1.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若 a，b 都是单
位向量，则 a＝b；③向量A→B与B→A相等.则所有正确命题的序号是( A )
A.①
B.③
C.①③
D.①②
解析 根据零向量的定义可知①正确；
根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，
故两个单位向量不一定相等，故②错误； 向量A→B与B→A互为相反向量，故③错误.
(1)|λa|＝ |λ||a| ； (2)当λ>0时，λa的方向与a (1)λ(μa)＝ (λμ)a ； 数乘 求实数λ与向量a 的方向 相同 ；当λ<0时，(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； 的积的运算 λa的方向与a的方向 相反；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb 当λ＝0时，λa＝ 0 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
解析答案
(2)设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.
若D→E＝λ1A→B＋λ2A→C(λ1，λ2
为实数)，则
λ1＋λ2
1 的值为____2____.
解析 D→E＝D→B＋B→E＝12A→B＋23B→C
＝12A→B＋23(A→C－A→B)＝－16A→B＋23A→C，
B→C＝O→C－O→B＝－O→A－O→B＝－a－b.
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解析答案
5.已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝ ___－__13___.
解析 由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，
∴λ＝－k， 3k＝1.
解得kλ＝＝－13. 31，
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即P→C＝A→P－P→A＝2A→P，
所以点P在线段AC上.
解析答案
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5.已知点 O 为△ABC 外接圆的圆心，且O→A＋O→B＋O→C＝0，则△ABC 的
内角 A 等于( B )
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
解析 由O→A＋O→B＋O→C＝0，知点 O 为△ABC 的重心，
又∵O为△ABC外接圆的圆心， ∴△ABC为等边三角形，A＝60°.
解析答案
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B.A→D＝13A→B－43A→C
C.A→D＝43A→B＋13A→C
D.A→D＝43A→B－13A→C
解析 ∵B→C＝3C→D，∴A→C－A→B＝3(A→D－A→C)，
即 4A→C－A→B＝3A→D， ∴A→D＝－13A→B＋43A→C.
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解析答案
4.(教材改编)已知▱ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O，且O→A＝a，O→B＝ b，则D→C＝__b_－__a___，B→C＝_－__a_－__b__(用 a，b 表示). 解析 如图，D→C＝A→B＝O→B－O→A＝b－a，
解析答案
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 解 ∵ka＋b和a＋kb共线， ∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a、b是两个不共线的非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0， ∴k2－1＝0.∴k＝±1.
思维升华
解析答案
跟踪训练3
(1)已知向量A→B＝a＋3b，B→C＝5a＋3b，C→D＝－3a＋3b，则( B )
A.A，B，C三点共线
B.A，B，D三点共线
C.A，C，D三点共线
D.B，C，D三点共线
解析 ∵B→D＝B→C＋C→D＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2A→B，
∴B→D、A→B共线，又有公共点 B，
∴A，B，D三点共线.故选B.
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4.已知平面内一点 P 及△ABC，若P→A＋P→B＋P→C＝A→B，则点 P 与△ABC
的位置关系是( C )
A.点P在线段AB上
B.点P在线段BC上
C.点P在线段AC上
D.点P在△ABC外部
解析 由P→A＋P→B＋P→C＝A→B得P→A＋P→C＝A→B－P→B＝A→P，
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题型分类 深度剖析
题型一 平面向量的概念
例1 下列命题中，正确的是________.(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； ③向量A→B与向量C→D共线，则 A、B、C、D 四点共线； ④两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.
∵D→E＝λ1A→B＋λ2A→C，
∴λ1＝－16，λ2＝23，故 λ1＋λ2＝12.
解析答案
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思想与方法系列
思想与方法系列 10.方程思想在平面向量线性运算中的应用
典例 (12 分)如图所示，在△ABO 中，O→C＝14O→A，O→D＝12O→B，AD 与 BC 相交于点 M，设O→A＝a，O→B＝b.试用 a 和 b 表示向量O→M.
思维升华
解析答案
跟踪训练1
设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0 平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命 题的个数是( D )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一 定相同，故①是假命题；
第五章 平面向量
§5.1 平面向量的概念及线性运算
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想与方法系列 思想方法 感悟提高 练出高分
基础知识 自主学习
1
知识梳理
1.向量的有关概念
名称
定义
既有 大小 又有方向的量；向量的 向量
大小叫做向量的 长度 (或称 模 )
备注 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量；其方向是任意的
若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向 时a＝－|a|a0，故②③也是假命题. 综上所述，假命题的个数是3.
解析答案
题型二 平面向量的线性运算
命题点1 向量的线性运算
例 2 (1)设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则E→B
＋F→C等于( C )
思维点拨
解析答案
温馨提醒
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思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注 意三角形法则与平行四边形法则的要素.向量加法的三角形法则要素是 “首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合， 指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”. 2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点 共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线. 3.对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点 O，O→A，O→B不共线， 满足O→P＝xO→A＋yO→B(x，y∈R)，则 P，A，B 共线⇔x＋y＝1.
答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.( × ) (2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关.( √ ) (3)若a∥b，b∥c，则a∥c.( × ) (4)向量A→B与向量C→D是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上.( × ) (5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.( √ ) (6)△ABC 中，D 是 BC 中点，则A→D＝12(A→C＋A→B).( √ )