数列山东理科2007-2016
2016山东省高考数学理科试题及完美解析
俯视图俯（左）视图正（主）视图2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =(A) 12i + (B) 12i - (C) 12i -+ (D) 12i -- （2）设集合{}{}22,,10,xA y y x RB x x ==∈=-<，则A B U =(A) (-1,1) (B) (0,1) (C) (-1,+) (D) (0,+) （3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位:小时），制成了如图所示的频率分布直方图，期中自习时间的范围是[]17.5,30，样本数据分组为[)[)[)[)[)17.5,20,20,22.5,22.5,25,25,27.5,27.5,30,根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(A)56 (B) 60 (C) 120 (D) 140（4）若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值是(A) 4 (B)9 (C) 10 (D)12 （5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为 (A)1233π+(B) 13(C) 136+(D) 16+（6）已知直线,a b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）函数())cos sin f x x xx x =+-的最小正周期是（A ）2π（B ）π （C ）32π（D ）2π （8）已知非零向量m ，n 满足43m n = ，1cos ,3m n = ，()n tm n ⊥+，则实数t 的值为（A ）4 （B ）4-（C ）94 （D ）94-（9）已知函数()f x 的定义域为R .当0x <是，()2=1f x x -；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()6f =（A ）2- （B ）1-（C ）0 （D ）2（10）若函数()y f x =的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 （A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）x y e = （D ）3y x =二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 （11）执行右边的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为________. (12)若25(ax+的展开式中5x 的系数是80-，则 实数a =_______.（13）已知双曲线E 1：22221x y a b-=()0,0a b >>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且23AB BC =，则E 的离心率是_______.（14）在[]1,1-上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆()2259x y -+=相交”发生的概率为 .（15）已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩其中0m >，.若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是________.三、解答题：本大题共6小题，共75分。
2016年高考理科数学山东卷及答案解析
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内,直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.设x ∈R ,则不等式|3|1x -<的解集为 .2.设32i iz +=,其中i 为虚数单位,则Imz= .3.已知平行直线1l :210x y +-=,2l :210x y ++=,则1l 与2l 的距离是 .4.某次体检,6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,则这组数据的中位数是 （米）.5.已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图象上,则()f x 的反函数1()f x -= .6.如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 的边长为3,1BD 与底面所成的角的大小为2arctan 3,则该正四棱柱的高等于 .7.方程3sin 1cos2x x =+在区间[]0,2π上的解为 .8.在2)n x的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于 .9.已知ABC △的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于 .10.设0a >,0b >.若关于x ,y 的方程组1,1,ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解,则a b +的取值范围是 .11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意的*n ∈N ,{23}n S ∈，,则k 的最大值为 .12.在平面直角坐标系中,已知(1,0)A ,(0,1)B -,P是曲线y =上一个动点,则·BP BA 的取值范围是 .13.设,a b R ∈,[)0,2c π∈,若对任意实数x 都有2sin(3)sin()3x a bx c π-=+,则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为 .14.如图,在平面直角坐标系xOy 中,O 为正八边形128A A A 的中心,1(1,0)A .任取不同的两点i A ,j A ,点P 满足i j OP OA OA ++=0,则点P 落在第一象限的概率是 .二、选择题（本大题共4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.设a ∈R ,则“1a >”是“21a >”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分也非必要条件16.下列极坐标方程中,对应的曲线为如图所示的是( )A .65cos ρθ=+B .65sin ρθ=+C .65cos ρθ=-D .65sin ρθ=-17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且lim n n S S →∞=.下列条件中,使得2()n S S n N *<∈恒成立的是( )A .10a >,0.60.7q <<B .10a <,0.70.6q -<<-C .10a >,0.70.8q <<D .10a <,0.80.7q -<<-18.设)(f x ,()g x ,()h x 是定义域为R 的三个函数.对于命题:①若)(()x f g x +,)()(x f h x +,)()(x g h x +均是增函数,则)(f x ,()g x ,()h x 中至少有一个增函数;②若(())x f g x +,)(()f x h x +,)()(x g h x +均是以T 为周期的函数,则)(f x ,()g x ,()h x 均是以T 为周期的函数,下列判断正确的是( )A .①和②均为真命题B .①和②均为假命题C .①为真命题,②为假命题D .①为假命题,②为真命题三、解答题（本大题共5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本小题满分12分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱,如图,AC 长为23π,11A B 长为3π,其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧.（Ⅰ）求三棱锥111C O A B -的体积;（Ⅱ）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小.姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共18页） 数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）20.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F 点或河边运走.于是,菜地分为两个区域1S 和2S ,其中1S 中的蔬菜运到河边较近,2S 中的蔬菜运到F 点较近,而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等.现建立平面直角坐标系,其中原点O 为EF 的中点,点F 的坐标为(1,0),如图.（Ⅰ）求菜地内的分界线C 的方程;（Ⅱ）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍,由此得到1S 面积的“经验值”为83.设M 是C 上纵坐标为1的点,请计算以EH 为一边、另有一边过点M 的矩形的面积,及五边形EOMGH 的面积,并判断哪一个更接近于1S 面积的“经验值”.21.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b-=＞的左、右焦点分别为1F ,2F ,直线l 过2F 且与双曲线交于A ,B两点.（Ⅰ）若l 的倾斜角为2π,1F AB △是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;（Ⅱ）设b =.若l 的斜率存在,且11()0F A F B AB +=,求l 的斜率.22.（本小题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知a R ∈,函数21()log ()f x a x=+.（Ⅰ）当5a =时,解不等式()0f x >;（Ⅱ）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰有一个元素,求a 的取值范围;（Ⅲ）设0a >,若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1,求a 的取值范围.23.（本小题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.若无穷数列{}n a 满足:只要*(,)p q a a p q N =∈,必有11p q a a ++=,则称{}n a 具有性质P . （Ⅰ）若{}n a 具有性质P ,且11a =,22a =,43a =,52a =,67821a a a ++=,求3a ; （Ⅱ）若无穷数列{}n b 是等差数列,无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列,151b c ==,5181b c ==,n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ,并说明理由;（Ⅲ）设{}n b 是无穷数列,已知1sin ()n n n a b a n +=+∈*N .求证:“对任意1a ,{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学答案解析(0,A B=+∞【提示】求解指数函数的值域化简案．【答案】B【解析】()n tm n⊥+，()0n tm n∴+=，2||||cos,||0t m n m n n∴<>+=，4||3||m n=，1cos,3m n<>=，21||||||043t n n n∴+=，104∴+=，4t∴=-．【提示】若(π)n t n⊥+，则(π)0n t n+=，进而可得实数【考点】平面向量数量积的运算【解析】输入的数学试卷第7页（共18页）数学试卷第8页（共18页）数学试卷第9页（共18页）数学试卷 第10页（共18页） 数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）22232b c a =，即为a2b24,x mx m x m-+>⎩x m >时，程(f 3m >（Ⅱ）2a b +=22)b a =+号，231122c ab -≥G 、H 为GQ EF ∴∥又EF BO ∥GQ BO ∥且平面GQH GH ⊂面GH ∴∥平面数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第15页（共18页）（Ⅱ）AB BC =AC ⊥，又OO '⊥面为原点，OA 为x 轴，建立空间直角坐标系，则(23,0,0)C -，(0,23,0)B 3,0)，(23,3,FC =---(23,2CB =，由题意可知面的法向量为(0,0,OO '=，设(,,n x y z FCB 的法向量，00n FC n CB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即，取0x 则1,2,n ⎛=-- ⎝7,7||||OO n OO n OO n ''<>==-'二面角--F BC A 的平面角是锐角，的余弦值为77n n a b =+1n n a b -∴=11a b =+1112b =+14b ∴=，4n b ∴=+1)2n ， 126[2232(1)2]n n ++++…①，2316[22322(1)2]n n n n ++++++…②，②可得：231112222(1)2]1)2)232n n n n n n n +++++++-+=-…，232n n +．【提示】（Ⅰ）求出数列{}a 的通项公式，再求数列（Ⅱ）求出数列{c 22112233232211443433C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝队”两轮得分之和为X 可能为2232113⎛⎫-= ⎪⎝⎭22332322101111443433144⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--=⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦3232323232323232111111114343434343434343144⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+--+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3232114343144⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23322236011443334144⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦222363144⎛⎫= ⎪⎝⎭，的分布列如下图所示：x 1)2x数学试卷 第16页（共18页） 数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）1a =21)1x x+-++--()F x f =0001122y FG x x =⎛⎫+= ⎪⎝⎭30000000022004441111424148x y x x x y PM x y x x +-⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭22022)(41)1)x x x ++，令11)x +21111140001212FG x x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=00414x y x x -+，整理可得t 的二次方程，进而得到最大值及此时。
数列历年高考试题
近几年山东高考数列真题1、2016文理同（19）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（I ）求数列{}n b 的通项公式；（II ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T .2、2015山东文科19．已知数列}{n a 是首项为正数的等差数列，数列11{}n n a a +的前n 项和为12+n n。
（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）设b (1)2n an n a =+，求数列}{n b 的前n 项和n T .3、2015山东理科（18）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233nn S =+.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log 2n n a b =，求{}n b 的前n 项和n T .4、2014山东理科（19）已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令114(1)n n n n nb a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T .5、2014山东文科(19)在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项.（Ｉ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设(1)2n n n b a +=，记1234(1)nn n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .6、2013山东理科（20） 设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且S 4=4S 2，a 2n =2a n +1 （1） 求数列｛a n ｝的通项公式；7、2013山东文科(20)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244S S =,122+=n n a a(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设数列{}n b 满足*121211,2n n n b b b n N a a a +++=-∈ ，求{}n b 的前n 项和n T8、2012山东理科（20）在等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5=84，a 9=73. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）对任意m ∈N ﹡，将数列{a n }中落入区间（9m ，92m）内的项的个数记为bm ，求数列{b m }的前m 项和S m 。
2007年山东省高考数学试卷(理科)
2007年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若z=cosθ+isinθ（i为虚数单位），则z2=﹣1的θ值可能是（）A．B．C．D．2．（5分）已知集合M={﹣1，1}，N=，则M∩N=（）A．{﹣1，1}B．{﹣1}C．{0}D．{﹣1，0}3．（5分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．（1），（2）B．（1），（3）C．（1），（4）D．（2），（4）4．（5分）设a∈，则使函数y=x a的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是（）A．1，3 B．﹣1，1 C．﹣1，3 D．﹣1，1，35．（5分）函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）的最小正周期和最大值分别为（）A．π，1 B． C．2π，1 D．6．（5分）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx7．（5分）命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞08．（5分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可以分析出x和y分别为（）A．0.9，35 B．0.9，45 C．0.1，35 D．0.1，459．（5分）下列各小题中，p是q的充要条件的是（）（1）p：m＜﹣2或m＞6；q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点．（2）；q：y=f（x）是偶函数．（3）p：cosα=cosβ；q：tanα=tanβ．（4）p：A∩B=A；q：∁U B⊆∁U A．A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）10．（5分）阅读右边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是（）A．2550，2500 B．2550，2550 C．2500，2500 D．2500，255011．（5分）在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（）A．B．C．D．12．（5分）位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是．质点P移动5次后位于点（2，3）的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）设O是坐标原点，F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则为．14．（4分）设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P（x，y）到直线x+y=10距离的最大值是．15．（4分）与直线x+y﹣2=0和曲线x2+y2﹣12x﹣12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是．16．（4分）已知函数y=log a（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中最小值为．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）设数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．（I）求方程x2+bx+c=0有实根的概率；（II）求ξ的分布列和数学期望；（III）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根的概率．19．（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD ⊥DC，AB∥DC．（Ⅰ）设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．20．（12分）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？21．（12分）已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．22．（14分）设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．（Ⅰ）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式都成立．请修改新增的标题2007年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2007•山东）若z=cosθ+isinθ（i为虚数单位），则z2=﹣1的θ值可能是（）A．B．C．D．【分析】先求出Z2，再利用复数相等的概念得到三角函数的等式，将答案代入验证即可．【解答】解：z=cosθ+isinθ，所以Z2=cos2θ+2icosθsinθ﹣sin2θ=﹣1．所以，将答案选项中的数值代入验证知D符合．故选D2．（5分）（2007•山东）已知集合M={﹣1，1}，N=，则M∩N=（）A．{﹣1，1}B．{﹣1}C．{0}D．{﹣1，0}【分析】N为指数型不等式的解集，利用指数函数的单调性解出，再与M求交集．求【解答】解：⇔2﹣1＜2x+1＜22⇔﹣1＜x+1＜2⇔﹣2＜x＜1，即N={﹣1，0}又M={﹣1，1}∴M∩N={﹣1}，故选B3．（5分）（2007•山东）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．（1），（2）B．（1），（3）C．（1），（4）D．（2），（4）【分析】法一排除法，从选项看只要判断正方体的三视图都相同就可以选出正确答案．法二直接法，把每一个几何体的三视图都找出来，然后可得答案．【解答】解：法一：由于正方体的三视图都是相同图形，所以排除（1），由于A、B、C中都含有（1），因而选项A、B、C都错误，可知选D．故选D．法二：正方体的三视图都是相同的正方形；圆锥的三视图中正视图、侧视图相同是三角形，俯视图是圆；三棱台的三视图都不相同，正视图是两个梯形，侧视图是一个梯形，俯视图是外部三角形、内部三角形对应顶点连线的图形；四棱锥的正视图与侧视图相同，是三角形，俯视图是有对角线的正方形．故选D．4．（5分）（2007•山东）设a∈，则使函数y=x a的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是（）A．1，3 B．﹣1，1 C．﹣1，3 D．﹣1，1，3【分析】分别验证a=﹣1，1，，3知当a=1或a=3时，函数y=x a的定义域是R 且为奇函数．【解答】解：当a=﹣1时，y=x﹣1的定义域是x|x≠0，且为奇函数；当a=1时，函数y=x的定义域是R且为奇函数；当a=时，函数y=的定义域是x|x≥0且为非奇非偶函数．当a=3时，函数y=x的定义域是R且为奇函数．故选A．5．（5分）（2007•山东）函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）的最小正周期和最大值分别为（）A．π，1 B． C．2π，1 D．【分析】化成y=Asin（ωx+φ）的形式，即y=cos2x进行判断．【解答】解：∵==cos2x∴原函数的最小正周期是=π，最大值是1故选A．6．（5分）（2007•山东）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f （x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx【分析】依据指、对数函数的性质可以发现A，C满足其中的一个等式，而D满足，B不满足其中任何一个等式【解答】解：f（x）=3x是指数函数满足f（x+y）=f（x）f（y），排除A．f（x）=log2x是对数函数满足f（xy）=f（x）+f（y），排除Cf（x）=tanx满足，排除D．故选B7．（5分）（2007•山东）命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0【分析】根据命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案．【解答】解：∵命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题∴否定命题为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0故选C．8．（5分）（2007•山东）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可以分析出x和y分别为（）A．0.9，35 B．0.9，45 C．0.1，35 D．0.1，45【分析】频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率．建立相应的关系式，即可求得．【解答】解：从频率分布直方图上可以看出x=1﹣（0.06+0.04）=0.9，y=50×（0.36+0.34）=35，故选：A9．（5分）（2007•山东）下列各小题中，p是q的充要条件的是（）（1）p：m＜﹣2或m＞6；q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点．（2）；q：y=f（x）是偶函数．（3）p：cosα=cosβ；q：tanα=tanβ．（4）p：A∩B=A；q：∁U B⊆∁U A．A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）【分析】（1）中求出q的范围，可得p是q的充要条件，排除B，C，再判断（2），p中为分式，应考虑分母不等于0．（3）中注意正切函数的定义域，（4）中，由A∩B=A可知A⊆B，由韦恩图可判．【解答】解：（1）q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点，△＞0，得m＜﹣2或m ＞6，即为p；排除B，C，（2）由可得f（﹣x）=f（x）⇒q，反之，若y=f（x）是偶函数，可以有f（0）=0，p不成立；故选D10．（5分）（2007•山东）阅读右边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是（）A．2550，2500 B．2550，2550 C．2500，2500 D．2500，2550【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加循环变量n的值，并将其保存在S、T中．【解答】解：依据框图可得：S=100+98+96+…+2=2550，T=99+97+95+…+1=2500故答案选A11．（5分）（2007•山东）在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（）A．B．C．D．【分析】根据，∴A是正确的，同理B也正确，再由D答案可变形为，通过等积变换判断为正确，从而得到答案．【解答】解：∵，∴A是正确的，同理B也正确，对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确故选C．12．（5分）（2007•山东）位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是．质点P移动5次后位于点（2，3）的概率为（）A．B．C．D．【分析】从条件知质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，本题考查的是独立重复试验，因此质点P移动5次后位于点（2，3）质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次．【解答】解：质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P移动5次后位于点（2，3）的概率为故选B二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2007•山东）设O是坐标原点，F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则为．【分析】先过A作AD⊥x轴于D，构造直角三角形，再根据与x轴正向的夹角为60°求出FA的长度，可得到A的坐标，最后根据两点间的距离公式可得答案．【解答】解：过A作AD⊥x轴于D，令FD=m，则FA=2m，p+m=2m，m=p．∴．故答案为：14．（4分）（2007•山东）设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P（x，y）到直线x+y=104．【分析】首先根据题意做出可行域，欲求区域D中的点到直线x+y=10的距离最大值，由其几何意义为区域D的点A（1，1）到直线x+y=10的距离为所求，代入计算可得答案．【解答】解：如图可行域为阴影部分，由其几何意义为区域D的点A（1，1）到直线x+y=10的距离最大，即为所求，由点到直线的距离公式得：d==4，则区域D中的点到直线x+y=10的距离最大值等于4，故答案为：4．15．（4分）（2007•山东）与直线x+y﹣2=0和曲线x2+y2﹣12x﹣12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．【分析】由题意可知先求圆心坐标，再求圆心到直线的距离，求出最小的圆的半径，圆心坐标，可得圆的方程．【解答】解：曲线化为（x﹣6）2+（y﹣6）2=18，其圆心到直线x+y﹣2=0的距离为．所求的最小圆的圆心在直线y=x上，其到直线的距离为，圆心坐标为（2，2）．标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．16．（4分）（2007•山东）已知函数y=log a（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中最小值为8．【分析】根据对数函数的性质，可以求出A点，把A点代入一次函数y=mx+n，得出2m+n=1，然后利用不等式的性质进行求解．【解答】解：∵函数y=log a（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，可得A（2，1），∵点A在一次函数y=mx+n的图象上，∴2m+n=1，∵m，n＞0，∴2m+n=1≥2，∴mn≤，∴（）==≥8（当且仅当n=，m=时等号成立），故答案为8．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2007•山东）设数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）由a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=⇒当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2a n﹣1=，两式作差求出数列{a n}的通项．（2）由（1）的结论可知数列{b n}的通项．再用错位相减法求和即可．【解答】解：（1）∵a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，①∴当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2a n﹣1=．②①﹣②，得3n﹣1a n=，所以（n≥2），在①中，令n=1，得也满足上式．∴．（2）∵，∴b n=n•3n．∴S n=3+2×32+3×33+…+n•3n．③∴3S n=32+2×33+3×34+…+n•3n+1．④④﹣③，得2S n=n•3n+1﹣（3+32+33+…+3n），即2S n=n•3n+1﹣．∴．18．（12分）（2007•山东）设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．（I）求方程x2+bx+c=0有实根的概率；（II）求ξ的分布列和数学期望；（III）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根的概率．【分析】（I）由题意知，本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的基本事件总数为6×6，满足条件的事件是使方程有实根，则△=b2﹣4c≥0，对于c的取值进行列举，得到事件数，根据概率公式得到结果．（II）由题意知用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数得到ξ的可能取值0，1，2根据第一问做出的结果写出变量对应的概率，写出分布列和期望．（III）在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根，这是一个条件概率，做出先后两次出现的点数中有5的概率和先后两次出现的点数中有5的条件下且方程x2+bx+c=0有实根的概率，根据条件概率的公式得到结果．【解答】解：（I）由题意知，本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的基本事件总数为6×6=36，满足条件的事件是使方程有实根，则△=b2﹣4c≥0，即．下面针对于c的取值进行讨论当c=1时，b=2，3，4，5，6；当c=2时，b=3，4，5，6；当c=3时，b=4，5，6；当c=4时，b=4，5，6；当c=5时，b=5，6；当c=6时，b=5，6，目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19，因此方程x2+bx+c=0有实根的概率为．（II）由题意知用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数得到ξ=0，1，2根据第一问做出的结果得到则，，，∴ξ的分布列为ξ012P∴ξ的数学期望．（III）在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根，这是一个条件概率，记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程ax2+bx+c=0有实根”为事件N，则，，∴．19．（12分）（2007•山东）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．（Ⅰ）设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．【分析】（1）由题意及图形所给的线段大小之间的关系，利用线线平行进而得到线面平行；（2）利用图形中两两垂直的线和题中所给的线段的大小，建立空间直角坐标系，利用向量的知识求出二面角的大小．【解答】解：（I）连接BE，则四边形DABE为正方形，∴BE=AD=A1D1，且BE∥AD∥A1D1，∴四边形A1D1EB为平行四边形，∴D1E∥A1B．∵D1E⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，∴D1E∥平面A1BD．（II）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设DA=1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C1（0，2，2），A1（1，0，2）．∴．设为平面A1BD的一个法向量，由得取z=1，则设为平面C1BD的一个法向量，由得，取z1=1，则∵.．由于该二面角A1﹣BD﹣C1为锐角，所以所求的二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值为．20．（12分）（2007•山东）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？【分析】连接A1B2，依题意可知A2B2，求得A1A2的值，推断出△A1A2B2是等边三角形，进而求得∠B1A1B2，在△A1B2B1中，利用余弦定理求得B1B2的值，进而求得乙船的速度．【解答】解：如图，连接A1B2，，，△A1A2B2是等边三角形，∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B22=A1B12+A1B22﹣2A1B1•A1B2cos45°=，．因此乙船的速度的大小为．答：乙船每小时航行海里．21．（12分）（2007•山东）已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．【分析】（Ⅰ）由题设条件可知解得，由此能够推导出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）由方程组消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，然后结合题设条件利用根的判别式和根与系数的关系求解．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a，半焦距为c，则解得∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）由方程组消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0由题意：△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0整理得：3+4k2﹣m2＞0 ①设M（x1，y1）、N（x2，y2），则，由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A（2，0）∴（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0即（1+k2）x1x2+（km﹣2）（x1+x2）+m2+4=0也即整理得：7m2+16mk+4k2=0解得：m=﹣2k或，均满足①当m=﹣2k时，直线l的方程为y=kx﹣2k，过定点（2，0），舍去当时，直线l的方程为，过定点，故直线l过定点，且定点的坐标为．22．（14分）（2007•山东）设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．（Ⅰ）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式都成立．【分析】（Ⅰ）先求函数的定义域，然后求出函数f（x）的导函数，利用二次函数的性质判定导函数的符号，从而确定函数f（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）需要分类讨论，由（Ⅰ）可知分类标准为b≥，0＜b＜，b≤0或f'（x）＜0．参数取某些特定值时，可只管作出判断，单列为一类；不能作出直观判断的，再分为一类，用通法解决，另外要注意由f'（x）=0求得的根不一定就是极值点，需要判断在该点两侧的异号性后才能称为“极值点”．（Ⅲ）先构造函数h（x）=x3﹣x2+ln（x+1），然后研究h（x）在[0，+∞）上的单调性，求出函数h（x）的最小值，从而得到ln（x+1）＞x2﹣x3，最后令，即可证得结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x2+bln（x+1）的定义域在（﹣1，+∞）令g（x）=2x2+2x+b，则g（x）在上递增，在上递减，g（x）=2x2+2x+b＞0在（﹣1，+∞）上恒成立，所以f'（x）＞0即当，函数f（x）在定义域（﹣1，+∞）上单调递增．（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知当时函数f（x）无极值点（2）当时，，∴，∴时，函数f（x）在（﹣1，+∞）上无极值点（3）当时，解f'（x）=0得两个不同解当b＜0时，，∴x1∈（﹣∞，﹣1），x2∈（﹣1，+∞），此时f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的极小值点当时，x1，x2∈（﹣1，+∞）f'（x）在（﹣1，x1），（x2，+∞）都大于0，f'（x）在（x1，x2）上小于0，此时f（x）有一个极大值点和一个极小值点综上可知，b＜0，时，f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的极小值点时，f（x）有一个极大值点和一个极小值点时，函数f（x）在（﹣1，+∞）上无极值点．（Ⅲ）当b=﹣1时，f（x）=x2﹣ln（x+1）．令上恒正∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，当x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0即当x∈（0，+∞）时，有x3﹣x2+ln（x+1）＞0，ln（x+1）＞x2﹣x3，对任意正整数n，取请修改新增的标题参与本试卷答题和审题的老师有：wdlxh；qiss；zlzhan；wsj1012；minqi5；豫汝王世崇；涨停；zhiyuan；庞会丽；邢新丽；zhwsd（排名不分先后）菁优网2017年2月4日。
2007--2013山东高考数学数列
k 1
2k 3 (2k 3) 2 2k 2 4(k 1)
4(k 1) 2 4( k 1) 1 1 (k 1) 1 ( k 1) 1 4(k 1) 4(k 1)
所以当 n k 1 时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立. 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 Sn 求 an 的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关 的命题,以及放缩法证明不等式.
所以 当n 2时，bn S n S n 1
1 n=1 2 因此，bn n≥2 n(n 1)
（Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为 q,且 q＞0. 因为
12 13 1 2 12 2
7 8 ,
所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列｛an｝的前 78 项， 故 a81 在表中第 13 行第三列，
q 因此 a81 b 13
2
4 . 91
Байду номын сангаас
又
b13
2 , 13 14
所以 q=2. 记表中第 k(k≥3)行所有项的和为 S， 则S
bk (1 q k ) 2 (1 2k ) 2 (1 2k ) （k≥3）. 1 q k (k 1) 1 2 k (k 1)
由①－②得：3
an
n n 1 1 (n 2). 3 3 3 1 (n N * ). n 3
验证 n 1 时也满足上式， an (II) bn n 3n ，
Sn 1 3 2 32 3 33 ...n 3n
3Sn 1 32 2 33 3 34 ...n 3n1
2007年山东高考数学理科试题及答案详解
AB∥DC ．
D1
（Ⅰ）设 E 是 DC 的中点，求证： D1E ∥平面 A1BD1 ； A1
B1
C1
（Ⅱ）求二面角 A1 BD C1 的余弦值．
（20）（本小题满分 12 分）
D
E C
A
B
如图，甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲
船位于 A1 处时，乙船位于甲船的北偏西105 方向的 B1 处，此时两船相距 20 海里，当甲船
（Ⅲ）记“先后两次出现的点数有中 5”为事件 D ，“方程 x2 bx c 0 有实数”为事件 E ，
由上面分析得
P(D) 11 ， P(D E) 7 ，
36
36
P(E D) P(D E) 7 ． P(D) 11
（19）（本小题满分 12 分）
解法一：
（Ⅰ）连结 BE ，则四边形 DABE 为正方形，
间直角坐标系，不妨设 DA 1，则 D(0，00，) ，A(1，0，0) ，B(1，1，0) ，C(0，2，2) ，A1(1，0，2) ，
DA1 (1，0，2) ， DB (1，1，0) ，
z
设 n (x，y，z) 为平面 A1BD 的一个法向量．
D1
C1
（Ⅰ）当 b 1 时，判断函数 f (x) 在定义域上的单调性； 2
（Ⅱ）求函数 f (x) 的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数 n
，不等式
ln
1 n
1
1 n2
1 n3
都成立．
2007 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学参考答案
山东历年高考理科数学试题及答案汇编十一数列
山东历年高考理科数学试题及答案汇编十一数列解答题1、19．（12分）（2008山东）将数列{a n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10…记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{b n}，b1=a1=1．S n为数列{b n}的前n项和，且满足．（Ⅰ）证明数列成等差数列，并求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当时，求上表中第k（k≥3）行所有项的和．2、20．（12分）（2009山东）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N+，点（n，S n）均在函数y=b x+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数的图象上．（Ⅰ）求r的值．（Ⅱ）当b=2时，记b n=2（log2a n+1）（n∈N+），证明：对任意的n∈N+，不等式成立．3、18．（12分）（2010山东）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．4、20．（12分）（2011山东）等比数列{a n}中．a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的123n（Ⅱ）如数列{b n}满足b n=a n+（﹣1）n lna n，求数列b n的前n项和s n．5、20．（12分）（2012山东）在等差数列{a n}中，a3+a4+a5=84，a9=73．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）对任意m∈N*，将数列{a n}中落入区间（9m，92m）内的项的个数记为b m，求数列{b m}的前m项和S m．6、20．（12分）（2013山东）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为T n且（λ为常数）．令c n=b2n（n∈N*）求数列{c n}的前n项和R n．7、19．（12分）（2014山东）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．8、18．（12分）（2015山东）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．（2016山东）已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（12分）9、18．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．10、19．（12分）（2017山东）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…P n+1（x n+1，n+1）得到折线P1 P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=x n+1所围成的区域的面积T n．答案1、解：（Ⅰ）证明：由已知，当n≥2时，，又S n=b1+b2+…+b n，所以，又S1=b1=a1=1．所以数列是首项为1，公差为的等差数列．由上可知，．所以当n≥2时，．因此（Ⅱ）设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q＞0．因为，所以表中第1行至第12行共含有数列{a n}的前78项，故a81在表中第13行第三列，因此．又，所以q=2．记表中第k（k≥3）行所有项的和为S，则．2、解：（1）因为对任意的n∈N+，点（n，S n），均在函数y=b x+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数的图象上．所以得S n=b n+r，当n=1时，a1=S1=b+r，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=b n+r﹣（b n﹣1+r）=b n﹣b n﹣1=（b﹣1）b n﹣1，又因为{a n}为等比数列，所以r=﹣1，公比为b，a n=（b﹣1）b n﹣1（2）当b=2时，a n=（b﹣1）b n﹣1=2n﹣1，b n=2（log2a n+1）=2（log22n﹣1+1）=2n则，所以下面用数学归纳法证明不等式成立．当n=1时，左边=，右边=，因为，所以不等式成立．假设当n=k时不等式成立，即成立则当n=k+1时，左边=所以当n=k+1时，不等式也成立．由①、②可得不等式恒成立．3、解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴有，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n==n2+2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=2n+1，∴b n====，∴T n===，即解：（Ⅰ）当a1=3时，不合题意当a1=2时，当且仅当a2=6，a3=18时符合题意当a1=10时，不合题意因此a1=2，a2=6，a3=18，所以q=3，所以a n=2•3n﹣1．（Ⅱ）b n=a n+（﹣1）n lna n=2•3n﹣1+（﹣1）n[（n﹣1）ln3+ln2]=2•3n﹣1+（﹣1）n（ln2﹣ln3）+（﹣1）n nln3所以s n=2（1+3+…+3n﹣1）+[﹣1+1﹣1+1+…+（﹣1）n]（ln2﹣ln3）+[﹣1+2﹣3+4﹣…+（﹣1）n n]ln3所以当n为偶数时，s n==当n为奇数时，s n==综上所述s n=数列{b n}的前n项和T n=．4、解：（Ⅰ）当a1=3时，不合题意当a1=2时，当且仅当a2=6，a3=18时符合题意当a1=10时，不合题意因此a1=2，a2=6，a3=18，所以q=3，所以a n=2•3n﹣1．（Ⅱ）b n=a n+（﹣1）n lna n=2•3n﹣1+（﹣1）n[（n﹣1）ln3+ln2]=2•3n﹣1+（﹣1）n（ln2﹣ln3）+（﹣1）n nln3所以s n=2（1+3+…+3n﹣1）+[﹣1+1﹣1+1+…+（﹣1）n]（ln2﹣ln3）+[﹣1+2﹣3+4﹣…+（﹣1）n n]ln3所以当n为偶数时，s n==当n为奇数时，s n==综上所述s n=5、解：（I）∵数列{a n}是等差数列∴a3+a4+a5=3a4=84，∴a4=28设等差数列的公差为d∵a9=73∴==9由a4=a1+3d可得28=a1+27∴a1=1∴a n=a1+（n﹣1）d=1+9（n﹣1）=9n﹣8（II）若则9m+8＜9n＜92m+8因此9m﹣1+≤n≤92m﹣1+故得∴S m=b1+b2+…+b m=（9+93+95+…+92m﹣1）﹣（1+9+…+9m﹣1）==6、解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a2n=2a n+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1﹣d+1=0①再由S4=4S2，得，即d=2a1②联立①、②得a1=1，d=2．所以a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）把a n=2n﹣1代入，得，则．所以b1=T1=λ﹣1，当n≥2时，=．所以，．R n=c1+c2+…+c n=③④③﹣④得：=所以；所以数列{c n}的前n项和．7、解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，∴S n==n2﹣n+na1，∵S1，S2，S4成等比数列，∴，∴，化为，解得a1=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=（﹣1）n﹣1==．∴T n=﹣++…+．当n为偶数时，T n=﹣++…+﹣=1﹣=．当n为奇数时，T n=﹣++…﹣+=1+=．∴Tn=．8、解：（Ⅰ）因为2S n=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，当n＞1时，2S n﹣1=3n﹣1+3，此时，2a n=2S n﹣2S n﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即a n=3n﹣1，所以a n=．（Ⅱ）因为a n b n=log3a n，所以b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，所以T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），所以3T n=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），两式相减得：2T n=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n﹣1）×31﹣n）=﹣，所以T n=﹣，经检验，n=1时也适合，综上可得T n=﹣．9、解：（Ⅰ）S n=3n2+8n，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；∵a n=b n+b n+1，∴a n﹣1=b n﹣1+b n，∴a n﹣a n﹣1=b n+1﹣b n﹣1．∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，∴b n=4+3（n﹣1）=3n+1；（Ⅱ）c n===6（n+1）•2n，∴T n=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，∴2T n=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，①﹣②可得﹣T n=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]=12+6×﹣6（n+1）•2n+1=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，∴T n=3n•2n+2．10、解：（I）设数列{x n}的公比为q，则q＞0，由题意得，两式相比得：，解得q=2或q=﹣（舍），∴x1=1，∴x n=2n﹣1．（II）过P1，P2，P3，…，P n向x轴作垂线，垂足为Q1，Q2，Q3，…，Q n，即梯形P n P n+1Q n+1Q n的面积为b n，则b n==（2n+1）×2n﹣2，∴T n=3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2，①∴2T n=3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1，②①﹣②得：﹣T n=+（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1=+﹣（2n+1）×2n﹣1=﹣+（1﹣2n）×2n﹣1．∴T n=．。
近五年山东高考真题汇总之数列
山东高考真题之数列（2008年）（7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（A ）511 （B ）681 （C ）3061 （D ）4081解析：本题考查古典概型。
基本事件总数为31817163C =⨯⨯。
选出火炬手编号为13(1)n a a n =+-，11a =时，由1,4,7,10,13,16可得4种选法； 12a =时，由2,5,8,11,14,17可得4种选法； 13a =时，由3,6,9,12,15,18可得4种选法。
4441.1716368P ++==⨯⨯(19)(本小题满分12分)将数列｛a n ｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a 1a 2 a 3a 4 a 5 a 6a 7 a 8 a 9 a 10……记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为｛b n ｝,b 1=a 1=1. S n 为数列｛b n ｝的前n 项和，且满足＝nN n nS S b b 22-1=（n ≥2）.(Ⅰ)证明数列｛nS 1｝成等差数列，并求数列｛b n ｝的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当91481-=a 时，求上表中第k (k ≥3)行所有项和的和.(Ⅰ)证明：由已知，1, n =1=n b-,)1(2+n n n ≥2.（Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ,且q ＞0. 因为 1213121278,2⨯++⋅⋅⋅+== 所以表中第1行至第12行共含有数列｛a n ｝的前78项， 故 a 82在表中第13行第三列， 因此282134.91a b q ==- 又 132,1314b =-⨯所以 q =2.记表中第k (k ≥3)行所有项的和为S ，则(1)2(12)2(12)1(1)12(1)k k k k b q S q k k k k --===--+-+ （k ≥3）.).1(22122.12,2112111.2111.1,2111,12,1)(2,,121111*********+-=-+=-=≥+=+=-⎭⎬⎫⎩⎨⎧====-=--=---+++==-------n n h n S b n n S n n S S a b S S S S S S S S S S S S S b b b S S S b b n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n时，所以 当即 ）（＋＝由上可知 的等差数列，公差为是首项为所以数列又所以 ）（即 ）（所以 又 （2009年）（20）（本小题满分12分）等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值；（11）当b=2时，记 22(l o g 1)()n n b a n N +=+∈证明：对任意的n N +∈ ，不等式1212111·······1n nb b b n b b b +++>+成立 解:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数的图像上.所以得nn S b r =+,当1n =时,11a S b r==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列,所以1r =-,公比为b ,1(1)n n a b b -=-（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n -=+=+= 则1212n n b n b n ++=,所以121211135721·······2462n n b b b n b b b n++++=⋅⋅下面用数学归纳法证明不等式121211135721·······12462n n b b b n n b b b n++++=⋅⋅>+ 成立. ① 当1n =时,左边=32,右边=2,因为322>,所以不等式成立. ② 假设当n k =时不等式成立,即121211135721·······12462k k b b b k k b b b k++++=⋅⋅>+ 成立.则当1n k =+时,左边=11212111113572123 (246222)k k k k b b b b k k b b b b k k ++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅+ 2223(23)4(1)4(1)111(1)1(1)1224(1)4(1)4(1)k k k k k k k k k k k ++++++>+⋅===+++>++++++所以当1n k =+时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知n S 求n a 的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.（2010年）（18）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n 。
2016年高考山东理科数学试题及答案(解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2016年山东，理1，5分】若复数z 满足232i zz，其中i 为虚数为单位，则z （）（A ）12i （B ）12i （C ）12i （D ）12i 【答案】B 【解析】设,,zabi a bR ，则2()i23i32i zzz zz ab aab ，所以1,2a b，故选B ．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．（2）【2016年山东，理2，5分】已知集合22,,10xAy yxR B x x ，则A BU （）（A ）1,1（B ）0,1（C ）1,（D ）0,【答案】C【解析】由题意0,A，1,1B，所以1,A BU ，故选C ．【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题．（3）【2016年山东，理3，5分】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20，20,22.5，22.5,25，25,27.5，27.5,30．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）（A ）56（B ）60（C ）120（D ）140 【答案】D【解析】由图可知组距为 2.5，每周的自习时间少于22.5小时的频率为(0.020.1) 2.50.30，所以，每周自习时间不少于22.5小时的人数是20010.30140人，故选D ．【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．（4）【2016年山东，理4，5分】若变量x ，y 满足22390xy x y x，则22xy 的最大值是（）（A ）4 （B ）9 （C ）10（D ）12【答案】C 【解析】由22xy 是点,x y 到原点距离的平方，故只需求出三直线的交点0,2,0,3,3,1，所以3,1是最优解，22xy 的最大值是10，故选C ．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．（5）【2016年山东，理5，5分】有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）（A ）1233（B ）1233（C ）1236（D ）216【答案】C【解析】由三视图可知，半球的体积为26，四棱锥的体积为13，所以该几何体的体积为1236，故选C ．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．（6）【2016年山东，理6，5分】已知直线,a b 分别在两个不同的平面，内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面和平面相交”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由直线a 和直线b 相交，可知平面、有公共点，所以平面和平面相交．又如果平面和平面相交，直线a 和直线b 不一定相交，故选A ．【点评】本题考查的知识点是充要条件，空间直线与平面的位置关系，难度不大，属于基础题．（7）【2016年山东，理7，5分】函数()3sin cos 3cos sin f x xxx x 的最小正周期是（）（A ）2（B ）（C ）32（D ）2【答案】B 【解析】由()2sin cos 3cos22sin 23f x x xxx，所以，最小正周期是，故选B ．【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档．（8）【2016年山东，理8，5分】已知非零向量,m n 满足143,cos ,3m n m n，若ntmn 则实数t 的值为（）（A ）4 （B ）4（C ）94（D ）94【答案】B 【解析】因为21cos ,4nmm n m nn ，由ntmn ，有20n tmn tmn n ，即2104t n，4t ，故选B ．【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．（9）【2016年山东，理9，5分】已知函数()f x 的定义域为R ，当0x时，3()1f x x；当11x 时，()()f x f x ；当12x时，1122f xf x，则6f （）（A ）2（B ）1（C ）0（D ）2【答案】D 【解析】由1122f x f x，知当12x时，f x 的周期为1，所以61f f ．又当11x 时，f xf x ，所以11f f．于是3611112f f f ，故选D ．【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．（10）【2016年山东，理10，5分】若函数yf x 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y f x 具有T 性质．下列函数具有T 性质的是（）（A ）sin y x（B ）ln yx（C ）xye（D ）3yx【答案】A 【解析】因为函数ln yx ，xye 的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数3y x 的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直，即不具有T 性质，故选A ．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2016年山东，理11，5分】执行右边的程序框图，若输入的的值分别为0和9，则输出i 的值为．【答案】 3【解析】i 1时，执行循环体后1,8a b ，a b 不成立；i 2时，执行循环体后3,6a b，a b不成立；i 3时，执行循环体后6,3a b ，a b 成立；所以i 3，故填 3. 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．（12）【2016年山东，理12，5分】若521ax x的展开式中5x 的系数是80，则实数a．【答案】2【解析】由23222355551C C 80axa xx x，得2a，所以应填2．【点评】考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数，属常规题型．（13）【2016年山东，理13，5分】已知双曲线2222:10,0xyE a ba b，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，,AB CD的中点为E 的两个焦点，且23ABBC ，则E 的离心率为．【答案】 2 【解析】由题意BC 2c ，所以2AB3BC ，于是点3,2c c 在双曲线E 上，代入方程，得2222914c c ab，在由222ab c 得E 的离心率为2c ea．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A B C D ，，，的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．（14）【2016年山东，理14，5分】在1,1上随机的取一个数k ，则事件“直线y kx 与圆2259x y相交”发生的概率为．【答案】34【解析】首先k 的取值空间的长度为2，由直线ykx 与圆22(5)9xy相交，得事件发生时k 的取值空间为33,44，其长度为32，所以所求概率为33224．【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．（15）【2016年山东，理15，5分】在已知函数2,24,x x m f xxmxm xm，其中0m ，若存在实数b ，使得关于x 的方程f xb 有三个不同的根，则m 的取值范围是．【答案】3,【解析】因为224g x x mxm 的对称轴为xm ，所以xm 时224f x x mx m 单调递增，只要b 大于224g xxmxm 的最小值24m m 时，关于x 的方程f x b 在x m 时有一根；又h xx 在x m ，0m 时，存在实数b ，使方程f x b 在xm 时有两个根，只需0b m ；故只需24m mm即可，解之，注意0m ，得3m ，故填3，．【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到24m mm 是难点，属于中档题．三、解答题：本大题共6题，共75分．（16）【2016年山东，理16，12分】在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为a,b,c ，已知tan tan 2tan tan cos cos A B A BBA．（1）证明：2a b c ；（2）求cosC 的最小值．解：（1）由tan tan 2tan tan cos cos A BABB A得sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos C A B A BA BA B，2sin sin sin C B C ，由正弦定理，得2ab c ．（2）由222222cos 22a bab cabcCab ab222333111122222cc aba b．所以cosC 的最小值为12．【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式222a b ab 的应用，不等式的性质．（17）【2016年山东，理17，12分】在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O 的直径，FB 是圆台的一条母线．（1）已知,G H 分别为,EC FB 的中点，求证：//GH 平面ABC ；（2）已知123,2EFFBAC ABBC ，求二面角FBCA 的余弦值．解：（1）连结FC ，取FC 的中点M ，连结,GM HM ，因为//GM EF ，EF 在上底面内，GM 不在上底面内，所以//GM 上底面，所以//GM 平面ABC ；又因为//MH BC ，BC 平面ABC ，MH 平面ABC ，所以//MH 平面ABC ；所以平面//GHM 平面ABC ，由GH 平面GHM ，所以//GH 平面ABC ．（2）连结OB ，AB BC Q OA OB ，以为O 原点，分别以,,OA OB OO 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系．123,2EFFBAC ABBC Q ，22()3OOBFBO FO ，于是有23,0,0A ，23,0,0C ，0,23,0B ，0,3,3F ，可得平面FBC 中的向量0,3,3BF uu u r，23,23,0CB u u u r ，于是得平面FBC 的一个法向量为13,3,1n u u r，又平面ABC 的一个法向量为20,0,1n u u r，设二面角F BC A 为，则121217cos 77n n n n u u r u u r u u r u u r．二面角F BC A 的余弦值为77．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．（18）【2016年山东，理18，12分】已知数列n a 的前n 项和238nS nn ，n b 是等差数列，且1n n n a b b ．（1）求数列n b 的通项公式；（2）令1(1)(2)n n nnna cb ．求数列n c 的前n 项和n T ．解：（1）因为数列n a 的前n 项和238n S nn ，所以111a ，当2n时，221383(1)8(1)65nnna S S nn n n n，又65na n 对1n 也成立，所以65na n ．又因为n b 是等差数列，设公差为d ，则12nn nna b b b d ．当1n 时，1211b d ；当2n时，2217b d ，解得3d，所以数列n b 的通项公式为312nn a db n ．（2）由111(1)(66)(33)2(2)(33)n n n nnnn n a n c n b n ，于是23416292122(33)2n nT n L ，两边同乘以２，得341226292(3)2(33)2n n n T n n L ，两式相减，得2341262323232(33)2n n n T nL 22232(12)32(33)212nn n 2221232(12)(33)232nn n nT nn ．【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．（19）【2016年山东，理19，12分】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（1）“星队”至少猜对3个成语的概率；（2）“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX ．解：（1）“至少猜对3个成语”包括“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”．设“至少猜对3个成语”为事件A ；“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”分别为事件C B,，则1122332131225()4433443312P B C C；33221()44334P C ．所以512()()()1243P A P B P C ．（2）“星队”两轮得分之和X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，于是11111(0)4343144P X ；112212111131105(1)4343434314472P X C C；1211223311132125(2)443344334433144P X C；123211121(3)434314412P XC ；12321231605(4)()43434314412P XC ；3232361(6)43431444P X ；X 的分布列为：X12346P11445722514411251214X 的数学期望15251515522301234614472144121241446EX．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题．（20）【2016年山东，理20，13分】已知221()(ln ),x f x a x x a R x．（1）讨论f x 的单调性；（2）当1a时，证明3()()2f x f x 对于任意的[1,2]x成立．解：（1）求导数3122()(1)x f x a x x－－－23(1)(2x ax x－－)，当0a时，x (0,1)，()0f x ，()f x 单调递增，x ∈(1,)，()0f x ，()f x 单调递减当0a时，23322112()a x x xx axa af x xx①当02a时，21a，x (0,1)或2x a∈,，()0f x ，()f x 单调递增，2x a∈1,，()0f x ，、()f x 单调递减；②当a ２时，21a，x (0,)，()0f x ，()f x 单调递增，③当a ２时，201a，2xa 0,或x1,，()0f x ，()f x 单调递增，2xa,1，()0f x ，()f x 单调递减．（2）当1a时，221()ln x f x x x x－－，2323(1)(212()1x x f x xx xx－－)2－－，于是2232112()()ln 1)x f x f x x xx x x x －2－－－(－－23312ln 1x x x x x ，[1,2]x 令g ln xxx ，2332h()x x x x11，[1,2]x ，于是()()g(()f x f x x h x ），1g ()10x x xx1，g x 的最小值为11g ；又22344326326()xx h x xxxx，设2326xxx ，[1,2]x，因为11，210，所以必有0[1,2]x ，使得0x ，且01x x 时，0x，h x 单调递增；02x x 时，0x，h x 单调递减；又11h ，122h ，所以h x 的最小值为122h ．所以13()()g(()g(1(2)122f x f x x h x h ））－．即3()()2f x f x 对于任意的[1,2]x 成立．【点评】本题考查利用导数加以函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是压轴题．（21）【2016年山东，理21，14分】平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:10x y C a b ab的离心率是32，抛物线2:2E xy 的焦点F 是C 的一个顶点．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点,A B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．（i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG 的面积为1S ，PDM 的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．解：（1）由离心率是32，有224ab ，又抛物线22xy 的焦点坐标为10,2F ，所以12b，于是1a ，所以椭圆C 的方程为2241xy ．（2）（i ）设P 点坐标为2,02mP m m，由22x y 得y x ，所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ，因此切线l 的方程为22mymx，设1122,,,A x y B x y ，00,D x y ，将22mymx代入2241xy，得223214410m xm xm．于是3122414mx x m，31222214x x mx m，又2222214mm y mx m，于是直线OD 的方程为14yx m．联立方程14yx m与xm ，得M 的坐标为1,4M m ．所以点M 在定直线14y上．（ii ）在切线l 的方程为22mymx 中，令0x ，得22my，即点G 的坐标为20,2mG ，又2,2mP m ，10,2F ，所以211(1)24m mS mGF；再由32222,41241mmDmm，得22232222112122441841m m m mm S mm于是有221222241121m mS S m ．令221t m，得12221211122tt S S tt t ，当112t 时，即2t 时，12S S 取得最大值94．此时212m ，22m ，所以P 点的坐标为21,24P．所以12S S 的最大值为94，取得最大值时点P 的坐标为21,24P．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运算能力，属于难题．。
2007-2012山东高考理科数学试题分类解析
2007—2011山东高考理科试题分类解析一、集合、函数、导数2007 选择题 15 填空题 0 解答题 22 14分 共 29分 2 已知集合{}1,1M =-，1124,2x N xx Z +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（A ）{}1,1- （B ） {}1- （C ）{}0 （D ） {}1,0- 4 设11,1,,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 （A ）1,3 （B ） 1,1- （C ）1,3- （D ） 1,1,3-6 给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-。
下列函数中不满足其中任何一个等式的是（A ）()3x f x = （B ） ()sin f x x = （C ）2()log f x x = （D ） ()tan f x x = 22（本小题满分14分） 设函数2()ln(1)f x x b x =++,其中0b ≠.(I)当0b >时,判断函数()f x 在定义域上的单调性; (II)求函数()f x 的极值点; (III)证明对任意的正整数n ,不等式23111ln(1)n nn+>-都成立.2008 选择题 15 填空题 4 解答题 21 12分 共 31分（1）满足M ⊆｛a 1, a 2, a 3, a 4｝,且M ∩｛a 1 ,a 2, a 3｝={ a 1,a 2}的集合M 的个数是 （A ）1 (b)2 (C)3 (D)4 （3）函数y ＝lncos x (-π＜x ＜π＝的图象是 ( )（4）设函数f (x )＝｜x +1｜+｜x -a ｜的图象关于直线x ＝1对称，则a 的值为(A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1（14）设函数f (x )=ax 2+c (a ≠0)，若)()(010x f dx x f =⎰，0≤x 0≤1，则x 0的值为 .（21）（本小题满分12分）已知函数1()ln(1),(1)nf x a x x =+--其中n ∈N*,a 为常数.---（Ⅰ）当n =2时，求函数f (x )的极值；（Ⅱ）当a =1时，证明：对任意的正整数n , 当x ≥2时，有f (x )≤x -1. 2009 选择题 15 填空题8 解答题 21 12分 共 35分 1.集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B = ,则a 的值为( )A.0B.1C.2D.4 6. 函数xx x xe e y e e--+=-的图像大致为( ).10. 定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x，则f （2009）的值为( )A.-1B. 0C.1D. 214.若函数f(x)=a x -x-a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .16.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=（21）（本小题满分12分） 两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065. （1）将y 表示成x 的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离;若不存在，说明理由。
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数列
17（本小题满分12分） （2007） 设数列{}n a 满足2
1
*12333 (3)
,.3
n n n
a a a a n N -+++=
∈ (I)求数列{}n a 的通项; (II)设,n n
n
b a =
求数列{}n b 的前n 项和n S . (19)(本小题满分12分)（2008）将数列｛a n ｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
a 1
a 2 a 3
a 4 a 5 a 6
a 7 a 8 a 9 a 10
……
记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为｛b n ｝,b 1=a 1=1. S n 为数列｛b n ｝的前n 项和，且满足
n
N n n
S S b b 22-=1（n ≥2）.
(Ⅰ)证明数列｛
n
S 1
｝成等差数列，并求数列｛b n ｝的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当91
4
81-
=a 时，求上表中第k (k ≥3)行所有项的和.. （20）（本小题满分12分）（2009） 等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +
∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x
y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. （1）求r 的值； （11）当b=2时，记 22(l o g 1)()
n n b a n N +=+
∈
（18）（本小题满分12分）（2010）已知等差数列}{n a 满足：}.{26,7753n a a a a =+=的前n 项和为.n S （Ⅰ）求4a 及n S ； （Ⅱ）令1
12
-=
n n a b )(*
N n ∈，求数列}{n b 的前n 项和.n T 20．（本小题满分12分）（2011） 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列．
{}n a 123,,a a a 123,,a a a
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前n 项和n S ． 20、（本题满分12分）（2012）在等差数列}{n a 中，84543=++a a a ，739=a 。
（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）对任意*
N m ∈，将数列}{n a 中落入区间)9,9(2m m 内的项的个数记为m b ，求数列}{m b 的前m 项和m S 。
19.(本小题满分12分）（2014）
已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列。
（I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）令n b =,4)1(1
1+--n n n a a n
求数列}{n b 的前n 项和n T 。
（18）（本小题满分12分）（2015）
设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知2n S =3n +3. （I ）求{}n a 的通项公式；
（II ）若数列{}n b 满足23=log n n a b ，求{}n b 的前n 项和n T .
（18）（本小题满分12分）（2016）
已知数列 的前n 项和S n =3n 2+8n ，是等差数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令 求数列的前n 项和T n .
{}n a {}n b (1)ln n n n b a a =+-{}n b {}n a {}n b 1.n n n a b b +=+{}n b 1
(1).(2)n n n n
n a c b ++=+{}n c。