2013-2014学年高中数学(人教A版)选修2-2基础达标 1.3.1 函数的单调性与导数 Word版含解析

1．(2013·马鞍山质检)函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)
解析：选D.f ′(x )＝(x －3)′e x
＋(x －3)(e x )′ ＝(x －2)e x ， 令f ′(x )>0，
解得x >2，故选D.
2．y ＝x ln x 在(0,5)上是( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数
C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1
e ，5上单调递增 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递增，在⎝⎛⎭
⎫1
e ，5上单调递减 解析：选C.y ′＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，令y ′＞0，解得x ＞1e ，∵5＞1
e
，∴y ＝x ln x 在⎝⎛⎭⎫1e ，5上为增函数，同理可求在⎝⎛⎭
⎫0，1
e 上为减函数． 3．下列区间中，使函数y ＝x ·cos x －sin x 为增函数的区间是( )
A ．(π2，3π2)
B ．(π，2π)
C ．(3π2，5π2
) D ．(2π，3π)
解析：选B.f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x ·sin x ， 当x ∈(π，2π)时，f ′(x )>0. 4．(2013·高考课标全国卷)若存在正数x 使2x (x －a )＜1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞)
解析：选D.∵2x (x －a )＜1，∴a ＞x －1
2
x .
令f (x )＝x －12
x ，∴f ′(x )＝1＋2－
x ln 2＞0.
∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )＞f (0)＝0－1＝－1，
∴a 的取值范围为(－1，＋∞)，故选D.
5．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0对任意正数a 、b ，若a ＜b ，则必有( )
A ．af (a )≤f (b )
B ．bf (b )≤f (a )
C ．af (b )≤bf (a )
D ．bf (a )≤af (b ) 解析：选C.设g (x )＝xf (x )， 则由g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )≤0， 知g (x )在(0，＋∞)上递减．
又0＜a ＜b ，f (x )≥0，∴bf (b )＜af (a )，∴af (b )＜bf (b )＜af (a )＜bf (a )． 当f (x )＝0时，f (b )＝f (a )＝0，∴af (b )≤bf (a )．故选C.
6．若函数y ＝a (x 3－x )的单调减区间为(－33，3
3)，则a 的取值范围是________．
解析：由f ′(x )＝a (3x 2－1)＝3a ⎝⎛⎭⎫x －33⎝⎛⎭⎫x ＋33＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－33
，3
3，知a ＞0.
答案：(0，＋∞)
7．(2013·武汉调研)若函数y ＝－4
3
x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________．
解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间， ∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×(－4)×a >0， ∴a >0.
答案：(0，＋∞)
8．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，那么实数k 的取值范围是________．
解析：显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，
y ′＝4x －1x ＝4x 2
－1
x
.
由y ′＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞；由y ′＜0，得函数f (x )的单调递减
区间为⎝⎛⎭
⎫0，1
2，由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数， ∴⎩⎪⎨
⎪⎧
k －1≥0，
k －1＜12，
k ＋1＞12
，解得：1≤k ＜3
2
.
答案：[1，3
2
)
9．求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝－x 2＋ln(x ＋1)；
(2)f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x ≤2π)．
解：(1)∵函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，
且f ′(x )＝－2x ＋1
x ＋1
(x ＋1)′
＝－2x ＋1
x ＋1＝－2x 2－2x ＋1x ＋1
(x ＞－1)，
由－2x 2－2x ＋1＞0，即2x 2＋2x －1＜0得 －1＋32＜x ＜－1＋32
，又x ＞－1，
∴f (x )的单调增区间是(－1，－1＋3
2
)，
类似可得f (x )的单调减区间是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1＋32，＋∞. (2)f ′(x )＝cos x (1＋cos x )＋sin x (－sin x ) ＝2cos 2x ＋cos x －1
＝(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵0≤x ≤2π，
∴由f ′(x )＝0得x 1＝π3，x 2＝π，x 3＝5
3
π，
↗ ↘
↘
∴f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x ≤2π)的单调递增区间为[0，π3]，[5π
3
，2π]，单调递减区间为
[π3，5π3
]． 10．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x .设f (x )在区间[－1，1]上是单调函数，求a 的取值范围．
解：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝e x [x 2＋2(1－a )x －2a ]．
令f ′(x )＝0，即x 2＋2(1－a )x －2a ＝0.
解得x 1＝a －1－1＋a 2，x 2＝a －1＋1＋a 2， 其中x 1<x 2.
当
∵∴x 1<－1，x 2≥0，f (x )在(x 1，x 2)上单调递减．
由此可得f (x )在[－1,1]上是单调函数的充要条件为x 2≥1，即a －1＋1＋a 2≥1，解得a ≥34
. 故所求a 的取值范围为⎣⎡⎭
⎫3
4，＋∞.。